Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy toán ở trung học phổ thông

  • Số trang: 103 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 22 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Diệp Văn An Lạc MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN TRONG DẠY TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Diệp Văn An Lạc MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP SỐ NHÂN TRONG DẠY TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Như Thư Hương, người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức về Didactic Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP. HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Thủ Thiêm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường ĐHSP TP.HCM. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic Toán khóa 21, những người đã cùng tôi học tập, chia sẻ vui buồn và những khó khăn trong khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, luôn khuyên, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt. DIỆP VĂN AN LẠC MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các bảng MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát .................................................................1 II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu.......................................1 III. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................3 IV. Cấu trúc của luận văn ........................................................................................4 CHƯƠNG 1: CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC ...............................................6 1.1. Khái niệm cấp số nhân .....................................................................................7 1.2. Kết luận ..........................................................................................................12 CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN .....14 2.1. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 ..................15 2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M 1 .............................................................15 2.1.2. Các tổ chức toán học ................................................................................23 2.1.3. Kết luận ....................................................................................................30 2.2. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007) .......................32 2.2.1. Cấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao ......................................................32 2.2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M 2 ......................................................32 2.2.1.2. Các tổ chức toán học .........................................................................38 2.2.1.3. Kết luận .............................................................................................53 2.2.2. Cấp số nhân trong bộ sách Cơ Bản ..........................................................55 2.2.2.1. Khái niệm cấp số nhân trong M 3 ......................................................56 2.2.2.2. Các tổ chức toán học .........................................................................57 2.2.2.3. Kết luận .............................................................................................64 2.2.3. Kết luận ....................................................................................................66 2.3. So sánh cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành ........................68 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ......................................................72 3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm..............................................................72 3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm ...................................73 3.2.1. Xây dựng bài toán thực nghiệm...............................................................73 3.2.2. Phân tích chi tiết bài toán thực nghiệm ...................................................75 3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm.............................84 3.4. Kết luận ..........................................................................................................90 KẾT LUẬN ...............................................................................................................91 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 .............................. 31 Bảng 2.2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân trong bộ sách Nâng Cao ........................................................................ 54 Bảng 2.3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng cấp số nhân trong bộ sách Cơ Bản ............................................................................ 65 Bảng 3.1: Thống kê bài làm bài tập 1 của các học sinh ......................................... 84 Bảng 3.2: Thống kê bài làm bài tập 2 của các học sinh .................................... 87-88 1 MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Hàm số là một đối tượng chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông. Ở bậc trung học phổ thông, chương trình toán lớp 11 hiện hành giới thiệu cho học sinh một loại hàm số mới, đó là dãy số. Thực tế giảng dạy cho thấy gắn liền với đối tượng dãy số, học sinh luôn được giới thiệu về đối tượng cấp số nhân. Vậy khái niệm cấp số nhân được định nghĩa như thế nào? Nó được giới thiệu cho học sinh ra sao? Những thắc mắc trên đã thúc đẩy chúng tôi chọn chủ đề: “Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy Toán ở trung học phổ thông” với những câu hỏi xuất phát như sau: - Cấp số nhân được đưa vào chương trình toán trung học phổ thông hiện hành như thế nào? Có sự tiến triển gì so với cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán trung học phổ thông chỉnh lí hợp nhất năm 2000? - Cách trình bày của sách toán lớp 11 hiện hành có ảnh hưởng gì đến học sinh khi học khái niệm cấp số nhân? - Các vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở chương trình toán trung học phổ thông được trình bày như thế nào ở bậc đại học? II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng Hợp đồng didactic và Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm như: mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O, mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O, tổ chức toán học. 2  Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy. Sự mô hình hóa này do nhà nghiên cứu lập ra. Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy. Hợp đồng didactic là một công cụ nghiên cứu thực tế dạy học và sai lầm của học sinh.  Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O Kí hiệu R(X,O) Mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà X có thể duy trì đối với O: nghĩ về O, thao tác O, có biểu tượng về O,… Mối quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O.  Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O Kí hiệu R(I,O) Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà I có thể duy trì đối với O: nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O,… Mối quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối với mối quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I. Mối quan hệ thể chế đó (với đối tượng O) phụ thuộc vào vị trí p mà cá nhân chiếm trong thể chế I.  Tổ chức praxeólogie Thuyết nhân học của Didactic xem mỗi hoạt động của con người như là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu T nào đó, nhờ vào một kĩ thuật , được giải thích bởi một công nghệ θ. Đồng thời, công nghệ này cho phép xác định kĩ thuật, 3 thậm chí tạo ra nó, và đến lượt mình, công nghệ lại giải thích được nhờ vào lí thuyết . Tổ chức praxeólogie là bộ gồm bốn thành phần [T,,θ,], trong đó khối [T,] là khối kĩ thuật, khối [θ,] là khối lí thuyết. Tổ chức praxeólogie được hình thành từ kiểu nhiệm vụ T. Khi T là kiểu nhiệm vụ của toán học thì praxeólogie gắn liền với nó là praxeólogie toán học (hay tổ chức toán học) Các praxeólogie là công cụ nghiên cứu R(I, O), nghiên cứu thực tế dạy học. Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày lại dưới đây các câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: - Q0: Ở cấp độ đại học, khái niệm cấp số nhân được trình bày như thế nào? - Q1: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân? - Q2: Trong thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành, mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân được xây dựng và tiến triển như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân? Cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển gì so với cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000? - Q3: Những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành có ảnh hưởng gì đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân? III. Phương pháp nghiên cứu Đầu tiên, chúng tôi sẽ phân tích giáo trình toán ở đại học để tìm hiểu cách trình bày một số vấn đề liên quan đến khái niệm cấp số nhân ở cấp độ đại học. Kết quả thu được sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q0. 4 Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số và Giải tích 11, tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với đối tượng cấp số nhân. Từ kết quả phân tích được, chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q1. Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân. Qua đó chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q2. Tổng hợp các kết quả thu được, chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết đó. Việc kiểm chứng được tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3. IV. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm năm phần: phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận. - Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lí thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. - Trong chương 1, chúng tôi trình bày một nghiên cứu về cấp số nhân ở cấp độ đại học. - Trong chương 2, chúng tôi tiến hành nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân. Dựa vào kết quả thu được, chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu. - Trong chương 3, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm trên học sinh lớp 11 để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đưa ra. 5 - Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được và nêu hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này. 6 CHƯƠNG 1: CẤP SỐ NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về đối tượng cấp số nhân ở cấp độ đại học. Chúng tôi chọn hai giáo trình sau để làm tài liệu nghiên cứu: - Giáo trình Giải tích 1 (Jean – Marie Monier, 2009, người dịch: Lý Hoàng Tú). - Giáo trình Giải tích 3 (Jean – Marie Monier, 2002, người dịch: Nguyễn Văn Thường). Đây là những giáo trình nằm trong bộ giáo trình Toán gồm bảy tập của tác giả. Trong hai giáo trình nêu trên thì định nghĩa cấp số nhân được trình bày ở giáo trình Giải tích 1. Sở dĩ chúng tôi chọn các tài liệu này vì đây là những giáo trình có ý nghĩa trong việc tra cứu, như lời của Giáo sư H.Durand đã dành cho tài liệu: […] Tôi đã nói về vai trò cơ bản mà một cuốn giáo trình, được sử dụng trong một thời gian dài như một công cụ tra cứu, có thể có trong việc hình thành một trí tuệ khoa học trẻ trung. Như vậy cấu trúc, cách biên soạn và trình bày một cuốn giáo trình là những yếu tố cơ bản: ở đây chúng ta chỉ được phép tạo ra một cái gì hoàn hảo. Đó chính là công việc mà J-M. Monier đã hoàn thành, với một trình độ hiểu biết, một cách lựa chọn và sự kiên trì tuyệt vời, từ bản thảo đầu tiên tới những công việc sửa chữa cuối cùng, tới từng chi tiết, trước khi hoàn chỉnh. Các tập sách này đáp ứng đúng một nhu cầu thực sự hiện có, và tôi tin chắc rằng chúng sẽ được đón chào nồng nhiệt từ đối tượng của chúng là các sinh viên – và chắc chắn là cả những người khác nữa – những người sau này sẽ nói rằng: “Tôi đã học được nền tảng Toán học trong các cuốn Monier!” (trích “Lời tựa” trong giáo trình Giải tích 1) Do việc tìm kiếm giáo trình đại học có trình bày cấp số nhân gặp nhiều khó khăn nên chúng tôi không có thêm tài liệu khác để phục vụ cho quá trình nghiên cứu. Điều này có thể sẽ làm cho nghiên cứu trong chương có hạn chế nhất định. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi kí hiệu giáo trình Giải tích 1 là M 01 , giáo trình Giải tích 3 là M 03 . 7 1.1. Khái niệm cấp số nhân Khái niệm cấp số nhân được đưa vào M 01 ở chương 3: “Dãy số”. Cụ thể, khái niệm cấp số nhân bắt đầu xuất hiện ở mục “3.1.4 Các ví dụ sơ cấp về dãy”. Ghi nhận này cho thấy việc xuất hiện của cấp số nhân ở M 01 như là một ví dụ đặc biệt về dãy số. Định nghĩa dãy số được trình bày ở M 01 như sau: Một dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K (K = R hoặc C); thay cho ký hiệu u : N → K , ta thường ký hiệu (un ) n∈ N hay (un ) n ≥ 0 hay (un ) n . n  u (n) Một dãy thực (tương ứng: phức) là một dãy (số) sao cho: ∀n ∈ N , un ∈ R (tương ứng: C). Với mỗi n ∈ N , u n được gọi là số hạng thứ n của dãy. Mỗi ánh xạ từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy (số); phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các u n <> (M 01 , tr. 49) Như vậy, dãy (số) là một ánh xạ với tập nguồn là tập các số tự nhiên N hoặc tập {n ∈ N ; n ≥ n0 } với n 0 cố định và tập đích K là tập các số thực ( K = R ) hoặc tập các số phức ( K = C ). Khi các số hạng của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức. Để thay cho việc sử dụng kí hiệu u : N → K , M 01 đã đưa ra các kí hiệu: (un ) n∈ N , (un ) n ≥ 0 và (un ) n . Chúng tôi n  u (n) nhận thấy những kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất ánh xạ của dãy số. Chỉ số n trong mỗi số hạng u n cho ta biết thứ tự của số hạng này trong dãy, chẳng hạn: u 0 là số hạng thứ 0 của dãy, u 1 là số hạng thứ 1 của dãy,… Trong trường hợp: Mỗi ánh xạ từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy (số) (M 01 , tr. 49) thì thứ tự của số hạng trong dãy được hiểu như thế nào? Phải chăng ở trường hợp này, un0 vẫn được gọi là số hạng thứ n 0 ? (Chẳng hạn nếu n 0 = 5 thì u 5 được gọi là số hạng thứ 5). 8 Nhận xét: Dựa vào định nghĩa dãy (un ) n∈N , chúng tôi nhận thấy trong định nghĩa “Mỗi ánh xạ từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K, với n0 ∈ K cố định cũng gọi là một dãy (số)” có chi tiết “với n0 ∈ K cố định” chưa chính xác. Theo chúng tôi, lẽ ra sẽ là “với n0 ∈ N cố định”. Có thể đây là sự nhầm lẫn trong việc in ấn. Sau khi đề cập đến các vấn đề liên quan đến sự hội tụ của dãy, M 01 đã đưa ra năm ví dụ sơ cấp về dãy. Cấp số nhân là một trong các ví dụ đó: 2) Dãy nhân  Định nghĩa Một dãy (un ) n∈ N trong K được gọi là dãy nhân (hoặc cấp số nhân) nếu và chỉ nếu tồn tại r ∈ K sao cho: ∀n ∈ N , un +1 =run . Phần tử r (được xác định duy nhất), trừ khi ( ∀n ∈ N , un =0 ) được gọi là công bội của dãy nhân (u n ) n . Khi đó ta có: ∀n ∈ N , un =u0 r n (M 01 , tr. 60) Như vậy, cấp số nhân là tên gọi khác của dãy nhân ở cấp độ đại học. Cấp số nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập đích: K = C hay K = R . Công bội r của cấp số nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi. Không có ràng buộc nào đối với công bội r. Nó thường được xác định duy nhất, chỉ khi cấp số nhân là dãy (un ) n∈ N có un = 0 , ∀n ∈ N thì công bội không duy nhất. Hệ thức ∀n ∈ N , un+1 =run biểu thị mối liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r của cấp số nhân (un ) n∈ N . Trong khi đó hệ thức ∀n ∈ N , un =u0 r n cho ta mối liên hệ giữa các đại lượng: số hạng u 0 , số hạng bất kì u n , chỉ số n và công bội r. Một mệnh đề liên quan đến cấp số nhân (r n ) n∈ N được trình bày ngay sau định nghĩa cấp số nhân:  Mệnh đề Cho r ∈ K ; dãy nhân (r n ) n∈ N hội tụ khi và chỉ khi r < 1 hay r = 1 . Hơn nữa:  r < 1 ⇒ r n → 0 n∞ 9  r ∈ ]1; +∞[ ⇒ r n → + ∞ (M 01 , tr. 60) n∞ (ghi chú: theo M 01 thì: r n → 0 tức là 0 = lim r n n∞ n →+∞ ]1; +∞= [ { x ∈ R : 1 < x} ) Mệnh đề cho ta kết quả về sự hội tụ, giới hạn của cấp số nhân (r n ) n∈ N ứng với các trường hợp của r: r < 1 , r = 1 và r > 1 . Theo đó, khi r < 1 thì cấp số nhân n (r n ) n∈ N hội tụ đến 0, khi r > 1 thì cấp số nhân (r ) n∈ N tiến tới +∞ . Sau khi trình bày năm ví dụ sơ cấp về dãy, M 01 đã đưa ra 19 bài tập. Có thể vì cấp số nhân chỉ là một ví dụ sơ cấp về dãy nên nó hiếm có cơ hội xuất hiện trong các bài tập. Có hai bài tập có sự xuất hiện của cấp số nhân (r n ) n : 3.1.13 Khảo sát (sự hội tụ, giới hạn nếu có) các dãy xác định bởi: u1 = 1  b)  * 1 ∀n ∈ N , un +=  un2 + 1 (M 01 , tr. 63, 64) 2n 3.1.15 a) Chứng minh: ∀n ∈ N , ∀z ∈ C , ∏ (1 + z n 2k k =0 1 + z2 ( ∏ n∞ n b) Suy ra, với mọi z ∈ C sao cho z < 1 : lim k =0 2n +1 −1 ) =∑ z l l =0 k 1 (M )= 1− z 01 , tr. 64) Phần chỉ dẫn và trả lời cho bài tập 3.1.13b và 3.1.15b được trình bày như sau: 3.1.13 1  2 un un2−1 + n −1 = 2  b)   1 2 u= u12 + 2  2 ⇒ un2 =1 + 1 1 1 + ... + n −1 =2 − n −1 2 2 2 Trả lời: un → 2 (M 01 , tr. 266) n∞ 3.1.15 10 2n +1 −1 n +1 1− z2 b)= ∑ z 1− z l =0 l → n∞ 1 (M 01 , tr. 267) 1− z Qua phần chỉ dẫn và trả lời trên, công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (r n ) n∈N (với r ∈ C , r ≠ 1) đã xuất hiện một cách ngầm ẩn: n −1 ∑ rk = k =0 1 − rn 1− r Tuy nhiên, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân tổng quát (un ) n∈ N không được đề cập đến. Tiếp đó, khi đề cập đến “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi”, M 01 đã cho thấy sự liên hệ giữa cấp số nhân với dãy này: 3.4.1 Dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi Đó là các dãy (un ) n∈N trong K sao cho tồn tại (a, b) ∈ K 2 thỏa mãn: ∀n ∈ N , un += aun + b 1 Nếu a = 1 , thì đó là dãy cộng (xem 3.1.4 1). Giải sử a ≠ 1 . Cho λ ∈ K (sẽ chọn sau) và dãy (vn ) n∈ N xác định bởi: ∀n ∈ N , vn= un + λ Ta có: ∀n ∈ N , vn += un +1 + = λ aun + b + λ 1 = a (vn − λ ) + b + λ= avn + ((1 − a )λ + b) Khi chọn λ = b , ta thấy (vn ) n∈ N là một dãy nhân với công bội a . Vậy: a −1 ∀n ∈ N , vn =a n v0 b  b  Từ đó: ∀n ∈ N= (M 01 , tr. 74, 75) , u n a n  u0 + −  a −1  a −1  Vậy là xuất phát từ dãy (un ) n∈ N trong đó ∀n ∈ N , un+= aun + b (với a ≠ 1 ) ta 1 có thể xây dựng được một cấp số nhân. Cụ thể dãy (vn ) n∈ N xác định bởi ∀n ∈ N , vn = un + b là một cấp số nhân với công bội a . Hơn nữa, dựa vào cấp a −1 số nhân (vn ) n∈ N này, ta sẽ xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy 11 (un ) n∈ N đã cho. Như vậy, khi “dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi” không phải là dãy cộng thì bằng cách thông qua cấp số nhân ta sẽ dễ dàng tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy này. Sau đó, qua tài liệu M 03 , chúng tôi nhận thấy cấp số nhân (r n ) n∈N tạo thành chuỗi lũy thừa trong K: 1) Chuỗi lũy thừa trong K  Định nghĩa ∑ rn Với mọi r thuộc K, chuỗi được gọi là chuỗi lũy thừa. n≥0  Định lý Cho r ∈ K . Chuỗi lũy thừa ∑ rn hội tụ khi và chỉ khi r < 1 . Hơn nữa n≥0 nếu r < 1 thì: +∞ 1 ∑ rn = 1− r (M 03 , tr. 281) n =0 Trong đó khái niệm chuỗi, chuỗi hội tụ được định nghĩa như sau: 1) Khái niệm chuỗi  Định nghĩa 1 Chuỗi với số hạng trong E là mọi cặp ((un ) n∈ N , ( S n ) n∈ N ) tạo nên bởi một dãy (un ) n∈ N có các số hạng thuộc E và dãy ( S n ) n∈ N định nghĩa là: ∀n ∈ N , n S n =∑ uk k =0 Một chuỗi số (tương ứng: thực; tương ứng: phức) là một chuỗi với các số hạng thuộc K (tương ứng: R; tương ứng: C). Phần tử u n gọi là phần tử thứ n (hoặc: số hạng tổng quát) của chuỗi, và S n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Chuỗi được ký hiệu là ∑ un n≥0 Đối với một dãy (un ) n ≥ n0 với chỉ số “xuất phát” là n 0 , n0 ∈ N , ta cũng dùng các thuật ngữ như trên.  Định nghĩa 2 1) Ta nói rằng chuỗi ∑ un n≥0 hội tụ khi và chỉ khi dãy ( S n ) n∈ N các tổng riêng hội tụ 12 (trong E), và trong trường hợp này thì giới hạn của dãy ( S n ) n∈ N được gọi là tổng của chuỗi ∑ un và được ký hiệu là +∞ ∑ un . n=0 n≥0 2) Ta nói rằng chuỗi ∑ un phân kỳ khi và chỉ khi nó không hội tụ (M 03 , tr. 269, n≥0 270) (ghi chú: E chỉ một K – kgvđc, với kgvđc là viết tắt của không gian vectơ định chuẩn) Như vậy, dãy (un ) n∈ N có các số hạng thuộc E sẽ tạo nên chuỗi với các số hạng trong E. Khi các số hạng của chuỗi đều thuộc tập R thì ta có chuỗi số thực, khi các số hạng của chuỗi đều thuộc tập C thì ta có chuỗi số phức. Chuỗi sẽ hội tụ khi dãy ( Sn ) n∈ N các tổng riêng hội tụ. Khái niệm tổng của chuỗi chuỗi ∑ un hội tụ, và được kí hiệu là n≥0 tổng riêng. Chuỗi lũy thừa ∑ rn ∑ un chỉ xuất hiện khi n≥0 +∞ ∑ un . Nó chính là giới hạn của dãy các n=0 là một trường hợp của chuỗi số, do cấp số nhân n≥0 (r n ) n∈ N (với r thuộc K) tạo nên. Chuỗi này chỉ hội tụ trong trường hợp r < 1 , và khi đó +∞ ∑ rn = n=0 n 1 , đây là giới hạn của dãy ( Sn ) n∈N với Sn = ∑ r k . 1− r k =0 1.2. Kết luận - Dãy (số) là một ánh xạ từ N vào K hoặc từ {n ∈ N ; n ≥ n0 } vào K (với n0 cố định), trong đó các số hạng có thể là số thực hoặc số phức. Khi các số hạng của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạng của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức. Cấp số nhân là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập đích: K = C hay K = R . Cấp số nhân còn được gọi là dãy nhân. Công bội của cấp số nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi, và không bị ràng buộc nào. Công bội của một cấp số nhân có thể duy nhất hoặc không duy nhất. Đối với cấp số nhân (un ) n∈ N thì: mối 13 liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội r được thể hiện qua hệ thức ∀n ∈ N , un+1 =run ; mối liên hệ giữa số hạng u0 , số hạng bất kì un , chỉ số n và công bội r được thể hiện qua hệ thức ∀n ∈ N , un =u0 r n . Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (r n ) n∈N (với r ∈ C , r ≠ 1 ) được đưa vào một cách ngầm ẩn: n −1 ∑r k =0 k 1 − rn . Trong khi đó, công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số = 1− r nhân tổng quát (un ) n∈ N không được đề cập đến. - Cấp số nhân có sự liên hệ với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi. Sự liên hệ này thể hiện như sau: Từ dãy (un ) n∈ N có ∀n ∈ N , un+= aun + b (với a ≠ 1 ), ta xây dựng được 1 cấp số nhân (vn ) n∈ N với ∀n ∈ N , vn = un + b . Tiếp đó, cấp số nhân này a −1 cho phép ta xác định được số hạng tổng quát của dãy (un ) n∈ N ban đầu. - Khi r < 1 hay r = 1 thì cấp số nhân (r n ) n∈ N hội tụ. Hơn nữa, trong trường hợp r < 1 thì cấp số nhân (r n ) n∈ N hội tụ đến 0. Khi r > 1 thì cấp số nhân (r n ) n∈ N có giới hạn + ∞ . Với r ∈ K , cấp số nhân (r n ) n∈ N tạo nên chuỗi lũy thừa Trong trường hợp r < 1 thì chuỗi này hội tụ và +∞ ∑ rn . n≥0 1 ∑ rn = 1− r . n=0 Những kết luận trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q0 được đặt ra ở phần mở đầu. 14 CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP SỐ NHÂN Mục đích của chương là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng cấp số nhân. Thể chế mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành và thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Qua đó, chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi Q1, Q2. Để thực hiện việc nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào các tài liệu sau: - Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001). - Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), 2001). - Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 (Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh, 2001). - Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), 2007). - Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), 2009). - Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao (Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), 2006). - Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2011). - Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Vũ Tuấn (Chủ biên), 2006). - Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Cơ Bản (Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2006).
- Xem thêm -