Tài liệu Một nghiên cứu didactic về phương trình bậc hai chứa tham số ở lớp 9, 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Hải Dương MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Ở LỚP 9, 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Hải Dương MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Ở LỚP 9, 10 Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Ái Quốc Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Trước hết, chúng tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tôi có những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn: • Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SDH, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học vừa qua. • Ban giám hiệu trường THPT Long Xuyên (An giang); THPT Trung An (Cần Thơ) đã hỗ trợ giúp tôi tổ chức thực nghiệm thực nghiệm. • Ban giám hiệu trường THPT Xuân Tô (An Giang) và các giáo viên của trường đã giúp đỡ, tạo đều kiện cho tôi có thể hoàn thành luận văn này. Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập. Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những người thân yêu trong gia đình tôi, những bạn bè tâm giao của tôi. Họ, những người đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tôi hoàn tất tốt luận văn. Phạm Hải Dương DANH MỤC VIẾT TẮT THCS: Trung học cơ sở THPT: Trung học phổ thông PTBH: Phương trình bậc hai một ẩn PTBN: Phương trình bậc nhất một ẩn GDTHPT: Giáo dục trung học phổ thông HS: Học sinh M1: Sách giáo khoa lớp 9 tập 2 G1: Sách giáo viên lớp 9 tập 2 E1: Sách bài tập lớp 9 tập 2 M2: Sách giáo khoa lớp 10 (cơ bản) G1: Sách giáo viên lớp 10 (cơ bản) E2: Sách bài tập lớp 10 (cơ bản) M3: Sách giáo khoa lớp 10 (nâng cao) G3: Sách giáo viên lớp 10 (nâng cao) E3: Sách bài tập lớp 10 (nâng cao) OM: Tổ chức toán học MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Bảng danh mục các chữ viết tắt Mục lục MỞ ĐẦU ..........................................................................................................1 Chương I .........................................................................................................5 I. Các khái niệm tham số và phương trình chứa tham số trong các giáo trình đại học: ....................................................................................................................5 1.1 Tham số .........................................................................................................5 1.2 Phương trình tham số ..................................................................................6 1.3 Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình ..........................7 II. Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số: ......................8 2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT: ........................................8 2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS: .......................................8 2.1.2 Phân tích chương trình bậc THPT: ..........................................9 2.2 Phân tích SGK: ...........................................................................................12 2.2.1 Phân tích M1 .............................................................................12 2.2.2 Phân tích M2 .............................................................................23 2.2.3 Phân tích M3 .............................................................................37 Kết luận chương 1: ..............................................................................................60 Chương 2 .......................................................................................................62 2.1 Mục tiêu thực nghiệm: ..................................................................................62 2.2 Đối tượng thực nghiệm: ................................................................................62 2.3 Mô tả thực nghiệm:........................................................................................62 2.3.1 Bài toán thực nghiệm: .............................................................................62 2.3.2. Cách thức tiến hành: ..............................................................................63 2.4 Phân tích apriori: ...........................................................................................63 2.4.1 Phân tích a priori tổng quát: ..................................................................63 2.4.1.1 Các biến didactic và biến tình huống:..................................64 2.4.1.2. Các chiến lược có thể ............................................................63 2.4.2 Phân tích a priori cụ thể: ........................................................................64 2.4.2.1 Đối với bài toán 1: ..................................................................64 2.4.2.2 Đối với bài toán 2: ..................................................................66 2.4.2.3 Đối với bài toán 3:…………….…………………………….67 2.5 Phân tích a posteriori các bài toán thực nghiệm: .......................................69 2.5.1 Đối với bài toán 1: ...................................................................................69 2.5.2 Đối với bài toán 2: ...................................................................................73 2.6 Kết luận từ thực nghiệm: ...........................................................................78 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................79 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................82 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: a. Lý do chọn đề tài: Xuất phát từ tầm quan trọng của PTBH chứa tham số trong chương trình Toán phổ thông: PTBH là khái niệm cơ bản và quan trọng của chương trình Toán ở cấp THCS và cấp THPT. Nó được xuất hiện đầu tiên vào năm lớp 8 nhưng tới năm lớp 9 thì mới được chính thức định nghĩa và nghiên cứu, đóng vai trò công cụ trong suốt cấp THPT. Đặc biệt là sự xuất hiện của PTBH chứa tham số vào cuối học kì 2 của lớp 9 sau khi định lý Vi-ét về các nghiệm của PTBH được dạy. Tới đầu năm lớp 10, PTBH chứa tham số được giới thiệu chính thức về mặt định nghĩa và nghiên cứu ở cấp độ cao và sâu hơn với việc biện luận số nghiệm của một phương trình tùy theo giá trị một tham số và việc biện luận này đóng một vai trò công cụ trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc cao, khảo sát hàm số,… Xuất phát từ thực tế giảng dạy: Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình nghiên cứu khái niệm PTBH chứa tham số, cụ thể là gặp khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp đại số hay phương pháp đồ thị để giải quyết các bài toán liên quan đến biện luận số nghiệm của PTBH chứa tham số. Ngoài ra, xuất phát từ mong muốn mở rộng hướng nghiên cứu trong luận án của TS. Nguyễn Ái Quốc khi nghiên cứu về việc dạy và học khái niệm PTBH ở hai nước Việt Nam và Pháp, mà trong đó sự khác biệt rất lớn là sự xuất hiện của khái niệm PTBH chứa tham số trong chương trình Việt Nam. Từ những lý do trên đã đưa chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu về PTBH chứ tham số trong chương trình Việt Nam nhằm làm sáng tỏ một số nghi vấn ban đầu sau: Khái niệm PTBH chứa tham số xuất hiện như thế nào trong chương trình Toán phổ thông? Tại sao lại có sự xuất hiện này? HS gặp những khó khăn nào trong việc học khái niệm PTBH chứa tham số? Nguyên nhân của những khó khăn đó là gì? 2. Khung lý thuyết tham chiếu: Lý thuyết nhân học sư phạm: Phần này chúng tôi chỉ mô tả một cách ngắn gọn các khái niệm cần tham chiếu để tìm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi đã đặt ra. • Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân: Quan hệ của thể chế I với tri thức O – R(I, O): là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì?... Quan hệ cá nhân X với tri thức O – R(X, O): là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu thế nào về O, có thể thao tác O ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh quan hệ R(X, O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I (mà cá nhân X là một thành phần) luôn luôn để lại dấu ấn trong quan hệ R(X, O). Do đó, muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nó trong R(I, O). • Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong xã hội, thực tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội, cho nên, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxéologie. Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học. Bosch M. và Chevallard Y. (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế đối với một đối tượng, với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên” Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I - giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với O. • Chuyển hóa sư phạm: Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho HS toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích lũy được trong lịch sử. Hơn nữa để tri thức của nhân loại trở nên có thể dạy được trong nhà trường phổ thông thì cần phải lựa chọn, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác định. Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ bản: hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri thức cần dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy. Các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ôn thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK. 3. Mục đích nghiên cứu: Qua việc phân tích chương trình và kinh nghiệm giảng dạy chúng tôi nhận thấy vấn đề PTBH chứa tham số là vấn đề khó khăn đối với học sinh. Với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi nghiên cứu mà việc tìm kiếm câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1: Khái niệm PTBH chứa tham số xuất hiện như thế nào trong chương trình Toán THCS và THPT? Sự xuất hiện này nhằm mục đích gì? Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số ở cấp THCS và THPT? Những quy tắc hợp đồng didactic nào liên quan đến PTBH chứa tham số? Q3: Những khó khăn và sai lầm nào HS gặp phải khi nghiên cứu về PTBH chứa tham số? 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn: Phương pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là: thực hiện một nghiên cứu thể chế bằng cách phân tích các chương trình và SGK liên quan. Tiếp đến, vận dụng lý thuyết nhân chủng học để nghiên cứu sự cho phép triển khai các TCTH tìm được trong thể chế phổ thông hiện nay. Sau đó, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên học sinh với mong muốn kiểm chứng các giả thuyết mà chúng tôi đặt ra. Việc tiến hành xây dựng thực nghiệm được chúng tôi lấy cơ sở từ việc phân tích thể chế. Dựa vào phương pháp nghiên cứu nêu trên, có thể trình bày tổ chức nghiên cứu của chúng tôi như sau:  Phân tích mối quan hệ thể chế đối với phương trình bậc hai chứa tham số.  Từ đó, đề xuất các hợp đồng didactic hay giả thuyết nghiên cứu.  Xây dựng bài toán thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu. Luận văn gồm 4 phần: Phần mở đầu: Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài nghiên cứu, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn. Chương 1: Mở đầu là sự trình bày các khái niệm về tham số, phương trình tham số. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học toán ở cấp THCS, THPT đối với các khái niệm PTBH chứa tham số. Chương 2: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 1. Phần kết luận: Tóm lược lại những kết quả đạt được trong chương 1, 2 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này. Chương I MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Chương này nhằm tìm câu trả lời các câu hỏi Q1, Q2, Q3 được đặt ra trong phần mở đầu. I. Các khái niệm tham số và phương trình chứa tham số trong các giáo trình đại học: Trước tiên chúng tôi tìm hiểu xem khái niệm tham số, phương trình chứa tham số được hiểu như thế nào trong toán học. 1.1 Tham số: Khái niệm tham số không được định nghĩa một cách duy nhất, chính vì thế mà sau đây chúng tôi đưa ra một số cách hiểu về tham số: Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là thuật ngữ không được định nghĩa rõ ràng, được sử dụng ngược với ẩn số, để chỉ các hệ số hay các đại lượng nào đó mà người ta muốn biểu đạt một mệnh đề hay các nghiệm của một hệ phương trình theo chúng” [25]. “Tham số: đại lượng mà giá trị của nó được dùng để phân biệt các phần tử của một tập hợp nào đó”.[18, tr.138 - 139] “Tham số: một biến vốn nhận các giá trị khác nhau, qua đó cung cấp các giá trị khác nhau cho biến khác”[16, tr.609 - 610] Theo cách hiểu này thì tham số được xem là “biến” có các giá trị khác nhau và nó cung cấp các giá trị khác nhau cho biến khác. Đó là cách hiểu về tham số được trình bày trong một số cuốn từ điển toán học. Ngoài ra, trong dạng phương trình ax = b thì “các biến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến x . Biến x là biến cần được biểu thị qua các biến còn lại, còn các biến dùng để biểu thị dạng của phương trình nên còn gọi là biến chỉ dạng hay tham biến”[14, tr 63 - 64]. Theo Hoàng Kỳ thì “cho hàm số f ( x) , ngoài các đối số ra còn có các chữ a, b, c… Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c… như là đã biết thì chúng được gọi là tham số, hay thông số, hay tham biến” [15, tr 94]. Vậy qua các cách trình bày trong các tài liệu thì tham số được xem là hằng số tùy ý. Như vậy, tất cả các mô tả trên đây đều không đưa ra một tiêu chí thống nhất cho việc phân biệt khi nào tham số là biến số, khi nào nó đóng vai trò là hằng số. Tham số trong phương trình chứa tham số được xem là hằng số tùy ý chứ không phải là “biến” có các giá trị khác nhau và nó cung cấp các giá trị khác nhau cho biến khác. Tiếp sau đây là khái niệm về phương trình tham số: 1.2 Phương trình tham số Để hiểu nghĩa của tham số thì ta phải gắn nó với một phương trình khi đó ta có phương trình chứa tham số. Vậy phương trình chứa tham số được hiểu như thế nào? Theo Nguyễn Bá Kim thì phương trình chứa tham số được hiểu như sau: “Một phương trình nhiều biến được xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng hạn: - Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó. - Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng, ví dụ như S = vt . Khi ấy vấn đề không phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa mãn phương trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian trong chuyển động đều. - Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định. Các 1 2 2 3 2 x 3; 0.4 = y 2;= t 0.15;= a phương trình= 4 đều có cùng một dạng là ax = b . 6 Vấn đề ở đây không phải tìm những bộ ba số thỏa mãn phương trình này. Trong hai trường hợp đầu, vai trò các biến là bình đẳng thì trong trường hợp thứ ba này các biến a, b có vai trò khác về căn bản so với biến x […] phương trình nhiều biến nếu được nhìn dưới góc độ như thế thì sẽ bao gồm được tất cả các phương trình có cùng một dạng. Dưới góc độ đó phương trình nhiều biến được gọi là dạng phương trình hay phương trình có chứa tham biến.[…] Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có ba biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các biến còn lại, còn a và b là các biến chỉ dạng phương trình.[…] Khi giải phương trình chứa tham biến, các tham biến được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham biến đó” [14, tr 63 -64] Như vậy, nghiệm và tập nghiệm của phương trình chứa tham số phụ thuộc vào tham số, khi tham số thay đổi sẽ dẫn đến việc thay đổi tập nghiệm của phương trình. Các tham số ở đây “được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham biến đó” [14, tr 64] Như vậy trong các bài toán chứa tham số người ta phải xem xét đối tượng tham số ở hai khía cạnh: • Một là tham số được xem như là một giá trị số cố định. • Hai là tham số có sự thay đổi giá trị của nó, vì sự thay đổi giá trị này mà tùy từng điều kiện cụ thể của bài toán mà nảy sinh sự phân chia các trường hợp khác nhau. Trong từng trường hợp đó thì tham số lại được xem là một giá trị số cố định. Vì vậy, biện luận chính là quá trình đi lập luận về số nghiệm của phương trình tùy theo giá trị nhận được của tham số, nghĩa là ứng với trường hợp này của tham số thì ta có tập nghiệm tương ứng, ứng với trường hợp khác thì ta cũng có tập nghiệm tương ứng… Trong phương trình thì khái niệm gắn liền với tham số nhiều nhất đó là ẩn số, vậy giữa ẩn số và tham số có mối quan hệ như thế nào? 1.3 Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình Từ các cách hiểu về tham số và ẩn số chúng tôi đưa ra được các vấn đề sau: - Những điểm tương tự và khác nhau giữa tham số và ẩn số Những điểm tương tự: Cùng biểu thị bằng một chữ cái, ẩn số thường dùng chữ x còn tham số - thì dùng chữ m,t ,… Có thể nhận được nhiều giá trị khác nhau và phải thỏa điều kiện cho - trước. Cùng hiện diện trong một phương trình, bất phương trình, hệ phương - trình, hệ bất phương trình… Cả hai đều được xem là biến số trong biểu thức đại số. - Những điểm khác nhau: Ẩn số là đại lượng cần phải xác định, chẳng hạn khi tìm nghiệm của - phương trình, bất phương trình… còn tham số là đại lượng đã biết rồi. Số giá trị mà ẩn nhận được, hay giá trị của ẩn số thỏa điều kiện cho - trước thì phụ thuộc vào giá trị của tham số, còn giá trị của tham số là độc lập. - Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số Từ sự phân tích trên ta thấy rằng giữa tham số và ẩn số có mối quan hệ một chiều, tức là các giá trị của ẩn số chỉ phụ thuộc vào các các giá trị của tham số, còn các giá trị của tham số không phụ thuộc vào giá trị của ẩn. Điều này được thể hiện như sau: “Phương trình ax = b được gọi là phương trình một ẩn chứa hai tham biến a và b. Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có 3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các biến còn lại, còn a, b là các biến chỉ dạng phương trình.[…] các tham biến được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham biến đó”.[12, tr 63 -64] Như vậy trong phương trình chứa tham số thì các giá trị của tham số là độc lập còn các giá trị của ẩn số thì lại phụ thuộc vào các giá trị của tham số. II. Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số: 2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT: 2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS: Theo chương trình GDTHPT thì vấn đề phương trình được học sinh tiếp thu chính thức từ năm lớp 8 trở đi, nhưng PTBH thì được chính thức học vào năm lớp 9 với đầy đủ lý thuyết và kỹ năng để giải. PTBH được trình bày ở trong chương IV của phần đại số lớp 9, trước đó là các chương: Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba Chương II: Hàm số bậc nhất Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Các chương này có thể xem là bước đầu để học sinh có thể tiếp thu phần PTBH. Trong chương IV: “Hàm = số y ax 2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn”, thì phần hàm= số y ax 2 (a ≠ 0) là bài đầu tiên trước khi bước vào PTBH. Theo chương trình GDTHPT thì đối với PTBH học sinh cần có kiến thức là “hiểu khái niệm phương trình bâc hai một ẩn” và về kỹ năng thì “vận dụng được cách giải phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là công thức nghiệm của phương trình đó (nếu phương trình có nghiệm)”. Còn kiến thức và kỹ năng về định lý Vi-ét là “hiểu và vận dụng được định lý Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm hai số biết tổng và tích của chúng”. Như thế, Chương trình GDTHPT không đặt yêu cầu học sinh giải các dạng toán PTBH chứa tham số mà chỉ tập trung vào việc giải PTBH với hệ số là số. Ngoài ra các vấn đề ứng dụng PTBH cũng được trình bày như: giải bài toán bằng cách lập phương trình. 2.1.2 Phân tích chương trình bậc THPT: Theo chương trình GDTHPT thì phần đại số đối với lớp 10 gồm: - “Mệnh đề. Tập hợp, các phép toán: giao, hợp, hiệu của hai tập hợp. Các tập hợp số. Số gần đúng, sai số. - Ôn tập và bổ túc về hàm số. Hàm số bậc hai và đồ thị. Hàm số y = x . - Đại cương về phương trình, hệ phương trình: các khái niệm cơ bản. Phương trình quy về bậc nhất, bậc hai. Phương trình bậc nhất hai ẩn; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. - Bất đẳng thức. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dấu của nhị thức bậc nhất. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai. - Góc và cung lượng giác, giá trị lượng giác của chúng. Công thức cộng. Công thức nhân đôi. Công thức biến đổi tổng thành tích. Công thức biến đổi tích thành tổng” Qua đó cho thấy trước khi giới thiệu về phương trình thì học sinh được tiếp xúc với các vấn đề như: mệnh đề, tập hợp; hàm số bậc nhất, bậc hai. Các vấn đề này ít nhiều cũng giúp học sinh phần nào trong quá trình tiếp thu vấn đề phương trình và bất phương trình. Về phương trình một ẩn được chia thành hai phần: một là đại cương về phương trình, hai là phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. Trong phần một thì các yêu cầu được đặt ra là: “Kiến thức: Hiểu khái niệm phương trình, nghiệm của phương trình. Hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương phương trình. Biết khái niệm phương trình hệ quả. Kỹ năng: Nhận biết một số cho trước là nghiệm của phương trình đã cho; nhận biết được hai phương trình tương đương. Nêu được điều kiện xác định của phương trình (không cần giải các điều kiện) Biết biến đổi tương đương phương trình.” Như vậy đối với bài này yêu cầu tập trung vào phần nắm các khái niệm về phương trình và các phép biến đổi tương đương. Chưa thấy xuất hiện vấn đề liên quan tham số trong phương trình. Còn phần hai liên quan nhiều đến việc tính toán giải phương trình được chương trình GDTHPT đặt ra yêu cầu như sau: “Kiến thức: 0 ; phương trình Hiểu cách giải và biện luận phương trình ax + b = ax 2 + bx + c = 0. Hiểu cách giải các phương trình quy về dạng bâc nhất, bậc hai: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích. Kỹ năng: 0 . Giải thành thạo Giải và biện luận thành thạo phương trình ax + b = phương trình bậc hai. Giải được các phương trình quy về bậc nhất, bậc hai: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích. Biết vận dụng định lý Vi-ét vào việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Biết giải các bài toán thực tế đưa về giải phương trình bậc nhất, bậc hai bằng cách lập phương trình. Biết giải phương trình bậc hai bằng máy tình bỏ túi.” Như vậy, đối với phần này chúng tôi nhận thấy tham số đã được đưa vào 0 , còn phương trình. Như trong dạng giải và biện luận phương trình dạng ax + b = đối với PTBH thì tham số được đưa vào khi “xét dấu các nghiệm của PTBH” bằng cách vận dụng định lý Vi-ét. Ngoài ra PTBH chứa tham số được xuất hiện nhiều trong phần “dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai”, yêu cầu của chương trình GDTHPT đối với phần này như sau: “Kiến thức: Hiểu định lý về dấu của tam thức bậc hai Kĩ năng: Áp dụng được định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc hai; các bất phương trình quy về bậc hai: bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. Biết áp dụng việc giải bất phương trình bậc hai để giải một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai như: điều kiện để phương trình có nghiệm, có hai nghiệm trái dấu” Như thế qua việc phân tích chương trình lớp 10 chúng tôi thấy đã có sự xuất hiện PTBH chứa tham số nhưng với mật độ rất thấp và sự yêu cầu chỉ ở mức cơ bản. 2.2 Phân tích SGK: 2.2.1 Phân tích SGK lớp 9 (M1) Trong M1 thì PTBH được trình bày ở chương thứ hai trước đó là chương về “hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn”, chương này “là bước tiếp theo của hệ thống kiến thức về phương trình và hệ phương trình”[G1]. Trong chương thứ hai của M1 gồm tất cả là 8 bài như sau: Bài 1: Hàm= số y ax 2 (a ≠ 0) Bài 2: Đồ thị của hàm= số y ax 2 (a ≠ 0) Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Bài 7: Phương trình qui về phương trình bậc hai Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Như vậy hai bài đầu của chương này trình bày trường hợp đơn giản nhất của hàm số bậc hai đó là hàm số dạng = y ax 2 (a ≠ 0) nhưng nó lại vô cùng quan trọng vì nó giải quyết hết mọi vấn đề cơ bản như: đồ thị là một đường cong gọi là parabol, nhận trục Oy làm trục đối xứng, có điểm thấp nhất nếu a > 0 (cao nhất nếu a < 0 ) gọi là đỉnh của parabol. Và đây cũng được xem là các kiến thức liên quan đến việc giải phương trình bậc hai. Các bài còn lại đều liên quan đến PTBH. Theo G1 thì những kiến thức về PTBH mà được trình bày trong M1 là “hầu như trọn vẹn mọi điều về lý thuyết cũng như về kỹ thuật tính toán” Mục tiêu của các bài về PTBH là: 0, “Nắm vững qui tắc giải phương trình bậc hai các dạng ax 2 + c = ax 2 + bx = 0 và dạng tổng quát. Mặc dù rằng có thể dùng công thức nghiệm để giải mọi phương trình bậc hai, song cách giải riêng cho hai dạng đặc biệt nói trên rất đơn giản. Do đó cần khuyên HS nên dùng cách giải riêng cho hai trường hợp ấy. Nắm vững các hệ thức Vi-ét và ứng dụng của chúng vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là trong trường hợp a + b + c = 0 và a − b + c = 0, biết tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Có thể nhẩm được nghiệm của các phương trình đơn giản như: x 2 − 5 x += 6 0, x 2 + 6 x += 8 0 ,…” Theo yêu cầu như vậy thì chương này chỉ tập trung cho việc giải các bài toán phương trình bậc hai với hệ số thuần số không có xuất hiện dạng chứa tham số, đồng thời cũng không thấy đưa ra cách giải thể hiện sự tương giao của các đồ thị. Nhưng đó chỉ là các yêu cầu về kiến thức cần đạt được khi học xong các bài về PTBH còn trong các bài tập các phần luyện tập trong M1 có xuất hiện các dạng PTBH chứa tham số không? Để biết được câu trả lời chúng tôi đi vào phân tích từng bài. Đầu tiên là bài “phương trình bậc hai một ẩn”, trong bài này thì trước hết M1 đưa ra một bài toán mở đầu để từ đó giới thiệu về định nghĩa PTBH, sau đó là các ví dụ về giải các PTBH dạng khuyết b, c và dạng tổng quát với cách giải dùng hằng đẳng thức đưa về dạng f 2 ( x) = m , m là hằng số. Trong phần bài tập thì có xuất hiện một dạng bài tập về PTBH chứa tham số: Bài tập 11/42 “Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 + bx + c = 0 và chỉ rõ hệ số a, b, c : d ) 2 x 2 + m 2 = 2(m − 1) x , m là một hằng số”. Như vậy M1 không đưa ra một định nghĩa gì liên quan đến khái niệm PTBH chứa tham số mà chỉ đưa kèm theo lời giải thích khi có sử dụng tham số. Kế tiếp là hai bài liên tiếp trình bày về công thức nghiệm và công thức thu gọn để giải PTBH, các bài tập cũng đều không có dạng chứa PTBH tham số mà chỉ là các PTBH thuần số. Nhưng sau các bài này thì có một bài luyện tập để rèn luyện cách giải PTBH đã học, ở cuối bài luyện tập này có xuất hiện một dạng toán về PTBH chứa tham số, đó là bài tập 24 trang 50: 0 “Cho phương trình (ẩn x ) x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 = a. Tính ∆ ' . b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm”. Cũng như bài tập trước thì trong bài tập này M1 cũng đưa ra lời giải thích nhằm để học sinh phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số. Bài 6 là về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó, đây là hệ thức quan trọng được vận dụng nhiều khi gặp các PTBH. Cũng như các bài trước thì trong bài này đều không xuất hiện PTBH chứa tham số cả trong phần lý thuyết lẫn phần bài tập. Sau bài này cũng có một bài luyện tập mà trong đó có xuất hiện dạng PTBH chứa tham số đó là bài tập 30 trang 54: “Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính tổng và tích các nghiệm theo m a. x 2 − 2 x + m = 0 0” b. x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 = Và bài tập 31 trang 54: “Tính nhẩm nghiệm của các phương trình d ) (m − 1) x 2 − (2m + 3) x + m + 4 = 0 với m ≠ 1 ” Hai bài tập này M1 không đưa ra lời giải thích như hai bài trước nhưng M1 lại sử dụng hai biến số x, m trong phương trình với dụng ý là xem x là ẩn số và tham số là m . Hai bài tập cuối cùng là vận dụng PTBH để giải các bài toán quy về PTBH và các bài toán thực tế ứng dụng của PTBH. Ngoài ra các dạng bài toán về PTBH chứa tham số còn xuất hiện ở phần bài tập ôn chương đó là các bài 60, 62 trang 64: Bài tập 60 “Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia: