Tài liệu Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông, vectơ hình học và vectơ vật lý

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Ngô Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Ngô Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, dù bộn bề công việc nhưng cô đã nhiệt tình hướng dẫn, luôn động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu đồng thời dẫn dắt chúng tôi tiếp cận một chuyên ngành mới, thú vị: didactic toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Tập thể lớp Didactic K18, những người đã cùng tôi làm quen, học tập và nghiên cứu về didactic toán. Đặc biệt là các bạn: Hoàng Thị Oanh, Đinh Quốc Khánh, Nguyễn Thị Tố Như, Lê Thị Huỳnh Liên, Nguyễn Thị Cẩm Trinh. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Phú nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn thông cảm, động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. Ngô Thị Hồng Hạnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3 MỤC LỤC ................................................................................................... 4 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ....................................................... 6 MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 1.Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 1 2. Lý thuyết tham chiếu ................................................................................................. 2 3. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 3 4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................... 3 5. Tổ chức của luận văn ................................................................................................. 3 CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC ................................................................................................. 4 1.1. Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006 ............................ 4 1.2. Vectơ trong chương trình hình học hiện hành........................................................ 4 1.2.1. Vectơ với tư cách là đối tượng trong sách giáo khoa hiện hành .................... 5 1.2.2. Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành ....................... 7 1.2.3. Các tổ chức toán học liên quan đến vectơ ...................................................... 9 1.3. Kết luận ................................................................................................................ 18 CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG DẠY HỌC VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG ........................................................................................... 19 2.1. Vectơ trong chương trình Vật lý hiện hành.......................................................... 19 2.2. Vectơ trong SGK Vật lý hiện hành ...................................................................... 20 2.2. 1. Vectơ trong SGK Vật lý 8 và SGK Vật lý 9 .................................................. 20 2.2.2. Vectơ trong SGK Vật lý 10 ............................................................................ 21 2.2.3. Vectơ trong SGK Vật lý 11 ............................................................................ 24 2.2.4. Vectơ trong SGK Vật lý 12 ............................................................................ 26 2.3. Các tổ chức vật lý liên quan đến vectơ ................................................................ 28 2.4. Kết luận: ............................................................................................................... 50 CHƯƠNG 3 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................ 52 3.1. Đối tượng thực nghiệm: ....................................................................................... 52 3.2. Giới thiệu bài thực nghiệm: .................................................................................. 52 3.3. Phân tích tiên nghiệm: .......................................................................................... 53 3.4. Phân tích hậu nghiệm: .......................................................................................... 60 3.4.1. Phân tích bài 1 .............................................................................................. 60 3.4.2. Phân tích bài 2 và bài 3: ............................................................................... 63 KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................... 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 68 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT: Trung học phổ thông THCS: Trung học cơ sở SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách bài tập SGV: Sách giáo viên MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học hiện đại, như đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, ... Nó còn mang lại một công cụ hiệu quả cho việc nghiên cứu hình học sơ cấp. Không chỉ trong phạm vi toán học, vectơ còn được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của vật lý và kỹ thuật. Ở Việt Nam, khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học, đồng thời phục vụ cho việc học môn vật lý. Cụ thể là vectơ được sử dụng ở cả ba lớp 10, 11, 12 để biểu diễn và nghiên cứu các đại lượng vật lý. Trong khuộn khổ của luận văn chúng tôi quy ước dùng các thuật ngữ vectơ vật lý và vectơ hình học để nói về các vectơ được dùng tương ứng trong hai phạm vi khoa học này. Liên quan đến khái niệm vectơ, chúng tôi tìm thấy một số công trình nghiên cứu didactique đề cập đến phương diện đối tượng cũng như phương điện công cụ của nó: Lê Thị Hoài Châu (Luận án tiến sĩ, 1997), Đỗ Công Đoán (Luận văn thạc sĩ, 2002), Võ Hoàng (Luận văn thạc sĩ, 2002), Hoàng Hữu Vinh (Luận văn thạc sĩ, 2002). Kết quả nghiên cứu của các công trình này cho thấy học sinh gặp khó khăn trong việc chiếm lĩnh khái niệm vectơ cũng như sử dụng công cụ vectơ trong phạm vi hình học. Cụ thể, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã vạch ra những khó khăn mà học sinh thường gặp khi học tập phần vectơ: - Khó khăn trong việc vượt ra khỏi mô hình mêtric để xem xét các đặc trưng định hướng của vectơ. - Khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ. - Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ. Hơn thế, tác giả còn chứng tỏ được rằng ngoài nguồn gốc khoa học luận, những khó khăn trên còn có thể bị làm cho trầm trọng thêm bởi một sự lựa chọn chuyển đổi sư phạm. Các công trình mà chúng tôi đã kể ra ở trên chỉ nghiên cứu vectơ trong phạm vi hình học mà chưa đề cập đến khái niệm vectơ trong phạm vi vật lí. Mặc khác những công trình này nghiên cứu về khái niệm vectơ trong các chương trình: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000. Trong khi chương trình hiện hành là chương trình phân ban được áp dụng từ năm 2006 trên toàn quốc. Thực tế này dẫn chúng tôi đến những câu hỏi sau: Khái niệm vectơ được đưa vào chương trình hình học hiện hành có gì thay đổi so với các chương trình trước đó: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000? Trong dạy học vật lý ở trường phổ thông, vectơ được đưa vào và sử dụng như thế nào? Học sinh gặp vectơ trong vật lý trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong dạy học toán? Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải thuận lợi hay khó khăn gì? Việc nghiên cứu vectơ trong hình học có ảnh hưởng gì đến việc học tập các khái niệm có liên quan đến vectơ trong vật lí không? Đó là những câu hỏi mà chúng tôi đặt ra và cũng là lý do mà chúng tôi chọn đề tài “Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông : vectơ hình học và vectơ vật lý” để trả lời các câu hỏi trên. 2. Lý thuyết tham chiếu Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là thuyết nhân học. Trong thuyết nhân học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “praxéologie ”. Để thuận lợi trong việc trình bày, từ nay về sau chúng tôi quy ước gọi: I1: là thể chế dạy học hình học THPT theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành. I2 : là thể chế dạy học vật lí ở trường phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Nghiên cứu quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “vectơ” xuất hiện ở đâu, tồn tại như thế nào, có vai trò gì trong các thể chế I1 và I2. Nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “vectơ trong vật lý” sẽ cho chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm vectơ, từ đó trả lời cho câu hỏi “ Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải những thuận lợi và khó khăn gì?”. Mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân được xác định thông qua việc nghiên cứu các “praxéologie ”. 3. Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn chúng tôi cụ thể hóa những câu hỏi khởi đầu mà việc trả lời chúng chính là mục đích của đề tài: Q1. Trong thể chế I1, mối quan hệ thể chế với khái niệm vectơ có những đặc trưng cơ bản nào? Q2. Trong thể chế I2, mối quan hệ thể chế với đối tượng vectơ có những đặc trưng cơ bản nào? Vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào trong vật lý? Những tổ chức vật lý có liên quan đến vectơ ? Những kiểu nhiệm vụ nào đòi hỏi học sinh hiểu đúng khái niệm vectơ đặc biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ? Q3. Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí? 4. Phương pháp nghiên cứu - Trước hết, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa hình học hiện hành nhằm thấy được mối quan hệ thể chế đối với đối tượng vectơ trong thể chế I1. Trên cơ sở tham khảo kết quả nghiên cứu về vectơ trong các chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất của tác giả : Lê Thị Hoài Châu, Đỗ Công Đoán và Hoàng Hữu Vinh. Chúng tôi sẽ chỉ ra có sự thay đổi hay không về đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1 với các thể chế dạy học vectơ theo các chương trình hình học: chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất. Kết quả thu được cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q1. - Tiếp đến chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, sách giáo viên vật lý phổ thông hiện hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các tổ chức vật lý gắn với đối tượng vectơ. Nghiên cứu này cũng cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3. - Từ những kết quả đạt được ở trên chúng tôi sẽ nghiên cứu và thiết lập một hệ thống câu hỏi thực nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết mà chúng tôi đưa ra về những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ trong vật lý. 5. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau : Chương 1- Nghiên cứu quan hệ thể chế với vectơ hình học. Chương 2- Vectơ trong dạy học vật lý ở trường phổ thông Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC Bắt đầu từ năm 2006, chương trình phân ban được áp dụng trên cả nước. Qua đó chương trình toán THPT gồm có: chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; tương ứng có hai bộ sách giáo khoa. Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ của thuyết nhân học để phân tích chương trình chuẩn nhằm làm rõ đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1. Chúng tôi sẽ so sánh với vai trò của vectơ trong thể chế dạy học hình học theo chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các chương trình trước năm 2006). 1.1. Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006 Trước hết vectơ được nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học trong chương trình hình học 10. Cụ thể, chương trình đưa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, tọa độ của vectơ. Tiếp đến, vectơ được sử dụng làm công cụ để xây dựng định nghĩa tọa độ của điểm. Sau đó, công cụ vectơ được dùng để nghiên cứu các hệ thức lượng, các phép dời hình và đồng dạng. Các kiến thức vectơ trong mặt phẳng ở chương trình hình học 10 được dùng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình hình học 12. 1.2. Vectơ trong chương trình hình học hiện hành Về mặt cấu trúc, trong chương trình hình học hiện hành có một số thay đổi về trình tự đưa vào các kiến thức. Ở chương trình hình học 10 phần các phép dời hình và phép đồng dạng được đưa lên chương trình hình học 11, thay vào đó là phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng từ chương trình hình học lớp 12 trước kia đưa vào cuối lớp 10.Tuy nhiên so với các chương trình cũ mục đích của việc dạy học vectơ không thay đổi, nó được đưa vào nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp mới để nghiên cứu hình học: phương pháp vectơ. Qua đó, trong chương trình hình học 10, trước hết vectơ cũng được nghiên cứu với tư cách là đối tượng. Sau đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Trong chương trình hình học 11, công cụ vectơ được sử dụng để nghiên cứu các phép biến hình. Nếu như trong các chương trình hình học trước năm 2006, ở chương trình hình học 11, phần hình học không gian được nghiên cứu hoàn toàn bằng phương pháp tổng hợp thì trong chương trình hiện hành khái niệm vectơ trong không gian được đưa vào ngay từ lớp 11 nhằm cung cấp thêm công cụ để nghiên cứu một số nội dung của phần hình học không gian. Cụ thể là quan hệ vuông góc trong không gian. Sau đó công cụ vectơ tiếp tục được sử dụng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình hình học 12. Như vậy với sự thay đổi về cấu trúc của chương trình hình học hiện hành thì phương pháp vectơ được đề cập đến xuyên suốt từ lớp 10 đến lớp 12 mà không bị gián đoạn ở lớp 11 như trong các chương trình hình học trước năm 2006. Một điểm đáng lưu ý là trong chương trình hình học hiện hành có nhấn mạnh vai trò của vectơ trong vật lý qua mục tiêu “Giới thiệu cho học sinh một số ứng dụng trong vật lý. Trong vật lý 8, học sinh đã được học cách biểu diễn một lực bằng vectơ và cũng chỉ dừng lại ở cách biểu diễn. Khi có kiến thức về vectơ học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình THPT.”(SGV hình học 10 trang 22) Trong khi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với yêu cầu “ giảm tải” đã bỏ bớt một số nội dung lý thuyết trong đó có phần “ý nghĩa vật lý của vectơ”. Để kết luận, chúng tôi có thể nói rằng dù có sự thay đổi về mặt cấu trúc của chương trình hiện hành so với các chương trình trước năm 2006 nhưng vai trò của vectơ không thay đổi. Mục đích của việc dạy học vectơ là cung cấp một công cụ hiệu quả để nghiên cứu hình học đồng thời phục vụ cho việc tiếp thu thuận lợi một số kiến thức trong phạm vi vật lý. 1.2.1. Vectơ với tư cách là đối tượng trong sách giáo khoa hiện hành Các khái niệm liên quan đến vectơ trong mặt phẳng được trình bày trong “Chương I. Vectơ” của SGK hình học 10. Trong chương này, các tác giả đưa vào khái niệm vectơ, tổng và hiệu của hai vectơ, tích của vectơ với một số, hệ trục tọa độ. Chúng tôi sẽ phân tích cách đưa vào khái niệm vectơ trong SGK hình học 10 hiện hành trên cơ sở so sánh với cách đưa vào khái niệm vectơ trong các SGK thuộc chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các SGK trước năm 2006). Trong toán học, để định nghĩa khái niệm vectơ hình học người ta có thể định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ, qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự. Trong chương trình toán trung học, khái niệm vectơ thường được trình bày theo tư tưởng lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc lớp tương đương các cặp điểm. Theo xu hướng này, khái niệm vectơ được xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoặc khái niệm vectơ buộc. Trong các chương trình hình học trước năm 2006 đều lựa chọn xây dựng khái niệm vectơ qua khái niệm vectơ buộc theo sơ đồ trình bày: định nghĩa vectơ là đoạn thẳng có hướng, sau đó định nghĩa hai vectơ cùng phương, mô tả hai vectơ cùng hướng, định nghĩa độ dài (hay môđun) của vectơ, cuối cùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau. Trong đó khái niệm vectơ tự do có thể được đưa vào một cách tường minh hay ngầm ẩn . Khi nghiên cứu SGK hiện hành chúng tôi thấy rằng về cơ bản không có sự thay đổi trong việc đưa vào khái niệm vectơ so với các SGK trước năm 2006. Ở đây khái niệm vectơ cũng được đưa vào thông qua khái niệm vectơ buộc. Khái niệm vectơ tự do không được trình bày tường minh. Theo các tác giả: “Vì lí do sư phạm khi định nghĩa vectơ, ta không đề cập đến khái niệm vectơ tự do. Tuy nhiên khi định nghĩa hai vectơ bằng nhau giáo viên cần hiểu hai vectơ này cùng thuộc một lớp tương đương và sau khi xây dựng tọa độ của vectơ thì tất cả các vectơ bằng nhau đều có cùng một tọa độ, như vậy thông qua tọa độ ta đã dùng các vectơ tự do” (SGV hình học 10 trang 23) Sau khi định nghĩa và nêu ra các tính chất của phép nhân vectơ với một số SGK đưa ra mệnh đề về việc phân tích một vectơ qua cơ sở:    “Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích một   cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho    = x ha + kb .”(SGK hình học 10 trang 16) Mệnh đề này chính là cơ sở để xây dựng khái niệm tọa độ của vectơ trong hệ trục tọa độ vuông góc. Khái niệm vectơ trong không gian được đưa vào trong chương III “ Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian” của SGK hình học 11. Trong đó định nghĩa vectơ, các khái niệm liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ,..., các phép toán vectơ được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Như vậy, cách đưa vào khái niệm vectơ trong không gian hoàn toàn tương tự cách đưa vào khái niệm vectơ trong mặt phẳng. Tiếp theo SGK đưa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng và định lí về điều kiện để ba vectơ đồng phẳng. Định lí này cung cấp công cụ để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một mặt phẳng. Sau đó SGK giới thiệu định lí về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.     “Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a , b , c . Khi đó với mọi vectơ x     ta tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc . Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất .”(SGK hình học 11 trang 90) Vai trò của định lí này được chương trình khẳng định là cơ sở để xây dựng phương pháp tọa độ trong không gian: “ Định lí 2 này là một định lí quan trọng vì dựa vào định lí này người ta mới xây dựng được khái niệm tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm trong không gian. Điều đó đặt nền móng cho sự hình thành việc nghiên cứu hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian.”(SGV hình học 11 trang 90) 1.2.2. Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành II.2.1. Công cụ vectơ trong SGK hình học 10 Công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Để đưa vào các hệ thức lượng trong tam giác, trước hết SGK đưa vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của tích vô hướng để tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Nhờ đó, các tác giả chứng minh định lí côsin, công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác…Trong các ứng dụng của tích vô hướng, SGK có đề cập đến ứng dụng trong vật lý:  “Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực F tác động lên một vật tại  điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của lực F được tính theo công thức:     A = F . OO ' cos ϕ (hình 2.8) trong đó | F | là cường độ của lực F tính bằng Niutơn   (viết tắt là N), | OO ' | là độ dài của vectơ OO ' tính bằng mét (m), ϕ là góc giữa hai  vectơ OO ' và F , còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J). Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô   hướng của hai vectơ F và OO ' .”(SGK hình học 10 trang 41) Điều này cho thấy ý nghĩa vật lý của tích vô hướng của hai vectơ. Để xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, ngay từ chương I các tác giả đưa vào các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ: khái niệm trục tọa độ và hệ trục tọa độ vuông góc, tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ đối với trục và hệ trục. Về khái niệm tọa độ của vectơ SGK trình bày như sau:   A u 2 A Vẽ “Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý.    vuông OA = u và gọi A 1 , A 2 lần lượt là hình chiếu u     cặp số góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA = OA1 + OA2 và j     O i A1  duy nhất (x;y) để OA1 = xi , OA2 = y j . Như vậy     u= xi + y j . Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa  độ Oxy và viết u = ( x; y ) . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai gọi là tung độ của  vectơ u ” (SGK hình học 10 trang 23) Ở đây sự duy nhất của cặp số (x; y) là do sự phân tích duy nhất của một vectơ qua cơ sở. Sau khi đã đưa khái niệm tọa độ của vectơ thì vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó và các phép toán vectơ cũng được thực hiện trên tọa độ các vectơ. Tọa độ của điểm được định nghĩa như sau: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy  Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó” (SGK hình 10 trang 23) M2  j O i M ( x; y ) ý. là M1 học Việc đưa vào các khái niệm tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm là cơ sở để xây dựng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương III. Từ đó, người ta nghiên cứu đường thẳng, đường tròn và đường elip. Công thức tính độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng được suy ra từ tích vô hướng của hai vectơ. Phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được xây dựng dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Phương trình đường tròn và đường elip được thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực tiếp của vectơ (gián tiếp thì người ta đã sử dụng vectơ thông qua công thức tính độ dài một đoạn thẳng) II.2.2. Công cụ vectơ trong SGK hình học 11 và 12 Trong SGK Hình học 11, trước hết công cụ vectơ được dùng để nghiên cứu phép biến hình. Cụ thể là vectơ được dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự; chứng minh tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm và phép vị tự. Một điểm khác biệt so với các SGK trước năm 2006 là trong SGK hiện hành có đưa vào biểu thức tọa độ của một số phép biến hình: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm. Khi đó phương pháp tọa độ được sử dụng trong việc xác định ảnh của các đối tượng điểm, đường thẳng, đường tròn qua các phép biến hình trên. Để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian, SGK đưa vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian và vectơ chỉ phương của đường thẳng. Từ đó công cụ vectơ được dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Trên cơ sở khái niệm vectơ trong không gian được giới thiệu ở Hình học 11, trong SGK Hình học 12 xây dựng phương pháp tọa độ trong không gian. Các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm đối với hệ trục được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Các khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng, phương trình tham số của đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xây dựng dựa vào vectơ thông qua các khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ngoài ra việc xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng cũng dựa vào kiến thức vectơ. 1.2.3. Các tổ chức toán học liên quan đến vectơ Như trong phần phân tích chương trình đã chỉ ra, trong các SGK Hình học 11 và 12 công cụ vectơ chủ yếu được sử dụng để xây dựng các kiến thức trong phần lý thuyết, đồng thời được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong phần bài tập ở SGK hình học 11. Do đó trong phần này chúng tôi chỉ phân tích SGK Hình học 10, 11 nhằm làm rõ vai trò của vectơ trong các tổ chức toán học liên quan đến vectơ. Nghiên cứu các SGK này chúng tôi thấy các tổ chức toán học được hình thành từ những kiểu nhiệm vụ cơ bản sau: T1 Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ) T2 Xác định tọa độ của vectơ T3 Chứng minh một đẳng thức vectơ T4 Tính tích vô hướng T5 Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương T6 Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ T7 Chứng minh hai điểm trùng nhau T8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng T9 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc So với các SGK trước năm 2006, trong SGK hiện hành đã bỏ đi các kiểu nhiệm vụ: Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng Chứng minh một đường thẳng di động đi qua một điểm cố định Chứng minh các đường thẳng đồng quy. Dưới đây chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK từ các kiểu nhiệm vụ này. Khi phân tích, chúng tôi sẽ dừng ở thành phần công nghệ, vì chúng là các tổ chức toán học bộ phận đều có chung Θ là lý thuyết vectơ và tập số thực R với các phép toán đại số. Tổ chức toán học gắn với T1 - Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ) T1 gồm các kiểu nhiệm vụ con sau đây : • T 11 : Tìm vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một B bằng một vectơ cho trước. Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.  a) Tìm các vectơ khác vectơ 0 và cùng phương với  b)Tìm các vectơ bằng vectơ AB vectơ hoặc C A D O F E  OA Kỹ thuật τ 11 : Dựa vào hình vẽ và tính chất hình học của hình, chỉ ra các vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước. Công nghệ θ 11 : định nghĩa vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau • T 12 : Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu (vẽ vectơ tổng hoặc vectơ hiệu; tính độ dài của vectơ tổng hoặc vectơ hiệu) Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các     vectơ MA + MB và MA − MB .    Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tìm độ dài của các vectơ AB + BC và AB  BC . Kỹ thuật t 12 : dựa vào định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ để vẽ vectơ tổng và vectơ hiệu. Dựa vào tính chất hình học của hình để tính độ dài của các vectơ này. Công nghệ θ 12 : định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ. Tổ chức toán học gắn với T2 - Xác định tọa độ của vectơ T2 cũng gồm hai kiểu nhiệm vụ con. • T 21 : Tìm tọa độ của một vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc. Ví dụ: Tìm tọa độ của các vectơ sau:    a) a = 2i        c) c= 3i − 4 j d)= d 0, 2i + 3 j b) b = −3 j Kỹ thuật τ 21 : Trong biểu thức đã cho, xác định hệ số của các vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy. Nếu các hệ số đó theo thứ tự là x, y thì tọa độ của vectơ đã cho là (x, y)     Công nghệ τ 21 : u = ( x; y ) ⇔ u = xi + y j • T 22 : Tìm tọa độ của một vectơ thỏa mãn một hệ thức vectơ cho trước    Ví dụ: Cho a = (2;1), b =− (3; 4), c = (−7; 2).     a) Tìm tọa độ của vectơ u = 3a + 2b − 4c      b) Tìm tọa độ vectơ x sao cho x + a = b − c Kỹ thuật τ 22 : Tính tọa độ của vectơ bằng cách dùng công thức tọa độ của các vectơ      u + v, u − v, ku .      Công nghệ θ 22 : định nghĩa tọa độ của vectơ, tọa độ của các vectơ u + v, u − v, ku . Tổ chức toán học gắn với T3 - Chứng minh một đẳng thức vectơ Kỹ thuật: τ 31 : Biến đổi vế này thành vế kia bằng cách dùng quy tắc 3 điểm τ 32 : Dùng quy tắc ba điểm kết hợp với hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi hai vế về cùng một vectơ Công nghệ θ 3 : - Các định nghĩa: vectơ bằng nhau, vectơ-không, phép cộng và hiệu hai vectơ, phép nhân vectơ với một số. - Tính chất của phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số - Tính chất của tích vô hướng       - Quy tắc 3 điểm:Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN + NP = MP , MN = ON − OM - Hệ thức trung điểm - Hệ thức trọng tâm Ví dụ: (Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ 31 ) Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D, ta     có: AB + CD = AD + CB (Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ 32 ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB      và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN = AC + BD = BC + AD Tổ chức toán học gắn với T4 - Tính tích vô hướng a) Có hai kiểu nhiệm vụ con gắn với T4: T 41 : Cho trước độ dài đoạn thẳng, số đo góc. Tính tích vô hướng T 42 : Cho tọa độ vectơ, tính tích vô hướng b) Kỹ thuật: τ 41 : dùng định nghĩa τ 42 : dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng c) Công nghệ θ 4 : Định nghĩa tích vô hướng Các tính chất của tích vô hướng d)Ví dụ: (Kiểu nhiệm vụ T 41 , kỹ thuật τ 41 ) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a.     Tính các tích vô hướng AB. AC , AC.CB  (Kiểu nhiệm vụ T 42 , kỹ thuật τ 42 ) Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a = (-3;1) và    b =(2;2), hãy tính tích vô hướng a . b Tổ chức toán học gắn với T5 - Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương a) Hai kiểu nhiệm vụ con của T5: T 51 : Cho trước hai vectơ không cùng phương. Hãy biểu thị các vectơ khác qua hai vectơ đó T 52 : Cho tọa độ các vectơ. Hãy biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. b) Kỹ thuật: τ 51 : dùng quy tắc ba điểm,hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để phân tích vectơ theo hai vectơ cho trước.        τ 52 Để phân tích vectơ c theo a và b ta tìm các số h và k sao cho = c ha + kb theo a  và b c) Công nghệ θ 5 :    - Mệnh đề: “Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều   phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k    sao cho = x ha + kb .” - Quy tắc ba điểm - Nhận xét: “ Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau”      - Công thức tính tọa độ của các vectơ u + v, u − v, ku Tổ chức toán học gắn với T6 - Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ Kỹ thuật τ 6 : Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để rút gọn hệ thức đã cho về một trong các dạng:       - MA = k AB . Vậy M nằm trên AB sao cho MA = k AB - AM = BC . Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM    - MA + MB = 0 . Vậy M là trung điểm AB   - AM = 0 . Vậy M ≡ A Công nghệ θ 6 : - Định nghĩa: vectơ-không, vectơ bằng nhau, - Quy tắc ba điểm    0 - Hệ thức trung điểm: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = - Tích của vectơ với một số và các tính chất - Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:”Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ   khi có số k khác 0 để AB = k AC     Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = 0 Tổ chức toán học gắn với T7: chứng minh hai điểm trùng nhau a) Có hai kiểu nhiệm vụ con của T7 được xem xét trong SGK: T 71 : Chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm T 72 : Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm b)Kỹ thuật:   τ 71 : Để chứng minh I ≡ I’ ta chứng minh II ' = 0 τ 72 : Tính tọa độ trọng tâm G và G’ của các tam giác ABC và A’B’C’, suy ra G và G’ có tọa độ bằng nhau, từ đó kết luận G ≡ G’ c)Công nghệ θ 7 : - Định nghĩa vectơ-không - Quy tắc ba điểm