Một nghiên cứu didactic về dạy học khái niệm căn bậc hai ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông

  • Số trang: 102 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 23 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lương Trọng Tường MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lương Trọng Tường MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Từ đáy lòng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Nguyễn Ái Quốc, người thầy đã tận tâm hướng dẫn khoa học; người thầy đã luôn quan tâm, yêu thương học trò và là người thầy luôn động viên tôi trong những lúc khó khăn nhất để tôi có thể vượt qua những trở ngại, để tôi có thể hoàn thành luận văn. Xin gửi lời cảm chân thành đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh. Cảm ơn quý Thầy Cô đã hết lòng truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong mấy năm qua. Xin cảm ơn Phòng Sau Đại Học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Lương Trọng Tường MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chương 1. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM CĂN .....................................................................................................................................5 1.1. Phân tích chương trình ......................................................................................5 1.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn ........................................................5 1.1.2. Giai đoạn tường minh .................................................................................6 1.2. Phân tích Sách giáo khoa ..................................................................................9 1.2.1. Sách giáo khoa Toán lớp 7 .......................................................................10 1.2.1.1. Lý thuyết ............................................................................................10 1.2.1.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................13 1.2.1.3. Kết luận từ phân tích SGK7 ...............................................................17 1.2.2. Sách giáo khoa Toán lớp 9 .......................................................................18 1.2.2.1. Lý thuyết ............................................................................................18 1.2.2.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................30 1.2.2.3. Kết luận từ phân tích SGK9 ...............................................................47 1.2.3. Tổng kết phân tích khái niệm căn bậc hai ở lớp 7 và lớp 9 .....................47 1.2.4. Sách giáo khoa toán lớp 12 cơ bản ...........................................................49 1.2.4.1. Lý thuyết ............................................................................................49 1.2.4.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................53 1.2.5. Sách giáo khoa toán lớp 12 nâng cao .......................................................57 1.2.5.1. Lý thuyết ............................................................................................57 1.2.5.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................61 1.2.6. Tổng kết phân tích trên SGK12cb và SGK12nc ......................................67 Chương 2. THỰC NGHIỆM ..................................................................................69 2.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................69 2.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm..................................................................69 2.3. Thực nghiệm đối với học sinh ........................................................................70 2.3.1. Hình thức thực nghiệm .............................................................................70 2.3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ......................70 2.3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ................76 2.4. Thực nghiệm đối với giáo viên .......................................................................79 2.4.1. Hình thức thực nghiệm .............................................................................79 2.4.2. Nội dung câu hỏi thực nghiệm .................................................................79 2.4.3. Phân tích các trả lời nhận được từ giáo viên ............................................81 KẾT LUẬN CHUNG ..............................................................................................85 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................87 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông VD : Ví dụ BT : Bài tập HĐ : Hoạt động SGK : Sách giáo khoa hiện hành SGK6 : Sách giáo khoa Toán lớp 6 hiện hành SGK7 : Sách giáo khoa Toán lớp 7 hiện hành SGK9 : Sách giáo khoa Toán lớp 9 hiện hành SGK12cb : Sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành SGK12nc : Sách giáo khoa Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành SGV : Sách giáo viên hiện hành SGV6 : Sách giáo viên Toán lớp 6 hiện hành SGV7 : Sách giáo viên Toán lớp 7 hiện hành SGV9 : Sách giáo viên Toán lớp 9 hiện hành SGV12cb : Sách giáo viên Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành SGV12nc : Sách giáo viên Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK7............................................ 17 Bảng 1.2 Các công thức biến đổi căn thức .......................................................... 29 Bảng 1.3 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK9 ........................................... 46 Bảng 1.4 Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK12bc và SGK12nc ............... 67 Bảng 2.1 Thống kê các lời giải câu 1 của học sinh (phiếu số 1) ......................... 77 Bảng 2.2 Thống kê các lời giải câu 2 của học sinh (phiếu số 2) ......................... 78 Bảng 2.3 Thống kê các lời giải câu 3 của học sinh (phiếu số 3) ......................... 79 1 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Khái niệm căn bậc hai được chính thức đưa vào từ lớp 7 thông qua việc giới thiệu về căn bậc hai của một số không âm. Đến lớp 9, khái niệm này được giới thiệu một cách chi tiết hơn thông qua việc nghiên cứu căn bậc hai số học của một số thực không âm, căn thức bậc hai cùng với các tính chất của nó. Ở chương trình THPT, cuối lớp 12, khi mà một trường số mạnh hơn trường số thực được giới thiệu, khái niệm căn bậc hai một lần nữa được nghiên cứu: căn bậc hai của một số thực dương, căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của một số phức. Việc chuyển từ khái niệm lũy thừa sang khái niêm căn bậc hai, rồi căn bậc hai số học, căn bậc hai số phức có thể gây ra một số khó khăn cho học sinh, dẫn tới những sai lầm. Đồng thời, qua thực tế chúng tôi nhận thấy hầu như học sinh không quan tâm đến điều kiện tồn tại của căn thức, điều kiện cho các phép biến đổi trên căn thức. Những nhận định trên gợi mở cho chúng tôi đến với đề tài “Một nghiên cứu didactic về dạy học khái niệm căn bậc hai ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông”. Từ đây, để tránh nhầm lẫn, chúng tôi sẽ dùng “căn bậc hai” hoặc “căn bậc hai thực” để chỉ khái niệm căn bậc hai trên tập số thực, khi muốn nói đến căn bậc hai trên tập số phức thì chúng tôi nêu rõ ràng: “căn bậc hai phức” hoặc “căn bậc hai trên tập số phức” Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát: - Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào, thông qua những tình huống nào, với mục đích gì? Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 2 - Sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai từ khi mới xuất hiện đến khi được được nghiên cứu hoàn chỉnh? Trong quá trình đó, nó phải chịu những ràng buộc nào? - Cùng với sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai thì người học gặp phải những khó khăn nào? - Khái niệm căn bậc hai trên tập số phức được đưa vào chương trình như thế nào, thông qua những tình huống nào, với mục đích gì? Khi chuyển từ căn bậc hai trên trường số thực sang căn bậc hai trên trường số phức, học sinh có sự nhầm lẫn nào giữa các khái niệm, ký hiệu liên quan hay không? Họ có mang những kiến thức về căn bậc hai trên trường số thực sang áp đặt cho khái niệm này trên trường số phức? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu này trong phạm vi didactic toán, cụ thể chúng tôi sử dụng các khái niệm công cụ của Lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học) và khái niệm hợp đồng didactic. Trong phạm vi đã chọn cùng với những câu hỏi xuất phát, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi của luận văn như sau: Q1. Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm căn bậc hai trong chương trình phổ thông hiện hành? Q2. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS trong quá trình dạy – học khái niệm căn bậc hai? HS phản ứng thế nào trong các tình huống phá vỡ hợp đồng? Q3. Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, HS có thể gặp những khó khăn gì, mắc phải những sai lầm nào khi học khái niệm căn bậc hai? Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 3 Q4. Ở học sinh, kiến thức về căn bậc hai trên trường số thực có tạo nên chướng ngại cho việc học căn bậc hai trên trường số phức hay không? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu: Trong chương trình Toán phổ thông, khái niệm căn bậc hai thâm nhập vào các lĩnh vực số học, đại số, hình học và cả giải tích. Phạm vi hoạt động của công cụ này rất rộng, trải dài đến hết chương trình phổ thông. Do đó, vì lý do thời gian nên chúng tôi chỉ quan tâm đến việc nghiên cứu phương diện đối tượng của khái niệm căn bậc hai. Khái niệm căn bậc hai xuất hiện sau khái niệm lũy thừa, được xem là một phép toán ngược của phép bình phương. Vì là một phép toán ngược nên có thể gây ra một số khó khăn nhất định cho học sinh. Trong phạm vi đã chọn, chúng tôi đi tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi Q1, Q2, Q3, Q4. Để đạt được điều đó, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu sau: - Phân tích chương trình và một số SGK toán THCS và THPT hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm căn, thấy được những ràng buộc của thể chế lên khái niệm này. - Từ phân tích trên, chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu và xây dựng thực nghiệm đối với giáo viên và học sinh để kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết đã phát biểu. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận chung. - Phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu; khung lý thuyết tham chiếu; phạm vi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 4 - Chương 1, chúng tôi nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, SGV và SGK. Việc phân tích SGK cho phép làm rõ các tổ chức toán học gắn liền với khái niệm căn và các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy và học khái niệm này. Thông qua việc phân tích trên cho phép chúng tôi có thể xác định mối quan hệ của thể chế với đối tượng căn, từ đó hình thành các giả thuyết nghiên cứu. Chúng tôi chọn phân tích các sách giáo khoa Toán hiện hành: SGK7, SGK9; SGK12cb và SGK12nc. - Chương 2, chúng tôi xây dựng thực nghiệm và tiến hành đối với giáo viên, học sinh để kiểm chứng một số giả thuyết nghiên cứu đã phát biểu. - Phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở hai chương và đề xuất hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn này Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 5 Chương 1. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM CĂN Mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán hiện hành với khái niệm căn bậc hai. Chúng tôi đi tìm các yếu tố để trả lời cho các câu hỏi sau: - Trước khi chính thức xuất hiện, có giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn bậc hai hay không, lúc nào? - Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình và SGK toán phổ thông như thế nào, với nghĩa gì? - Có những đối tượng nào liên quan đến khái niệm căn, chúng có vai trò gì? - Những tổ chức toán học nào liên qua đến khái niệm căn được đưa vào SGK? - Có những hợp đồng didactic nào chi phối việc dạy – học khái niệm căn bậc hai? - Học sinh gặp những khó khăn, có thể mắc những sai lầm nào khi làm việc với căn bậc hai? 1.1. Phân tích chương trình 1.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm căn Bài toán: Trong một hệ thống số, a là số đã cho, tìm số b sao cho bn=a. Lần đầu tiên xuất hiện trong chương trình là một bài tập trong SGK6 trang 28 được yêu cầu học sinh giải sau khi giới thiệu khái niệm Lũy thừa với số mũ tự nhiên: (SGK6, tr.28, BT58) a) Lập bảng bình phương của các số tự nhiên từ 0 đến 20. b) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 169; 196 Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 6 Kỹ thuật giải cũng đã được thể chế gợi ý thông qua các yêu cầu được nêu tuần tự câu a) đến câu b). Có thể nói đây là lần đầu tiên học sinh được thực hiện phép toán ngược với phép bình phương. Số chính phương Số chính phương được SGK6 giới thiệu sau đó thông qua một bài tập: (SGK6, tr.31, BT72) Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ: 0, 1, 4, 9, 16, …). Mỗi tổng sau có là một số chính phương không? a) 13 + 23 b) 13 + 23 + 33 c) 13 + 23 + 33 + 43 Những trích dẫn trên là minh chứng cho sự tồn tại ngầm ẩn của khái niệm căn bậc hai trong chương trình lớp 6 (phạm vi Số học) Ở lớp 6, a là số tự nhiên. Đến lớp 7, bài toán trên được mở rộng với a là một số hữu tỉ: (SGK7, tr.19, BT29) 2 16 16  4  Viết số dưới dạng một lũy thừa. Ví dụ =   . Hãy tìm các cách viết khác 81 81  9  1.1.2. Giai đoạn tường minh Số tự nhiên 1  → số nguyên 2  → số hữu tỉ 3  → số thực 4  → số phức Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 7 Khái niệm căn bậc hai được giới thiệu tường minh vào giai đoạn 3 trong chương trình lớp 7. Chương trình lớp 7 giới thiệu: Định nghĩa căn bậc hai của một số không âm và ký hiệu với mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là: học sinh “Hiểu thế nào là căn bậc hai của một số không âm. Biết sử dụng đúng ký hiêu “ (SGV7, tr.45). Kiến thức về căn bậc hai của một số không âm được sử dụng ở cả chương trình lớp 7 về sau và lớp 8 qua các bài toán tính giá trị của biểu thức, áp dụng định lý Py-ta-go, giải phường trình bậc nhất một ẩn. Khái niệm căn bậc hai số học, các tính chất và các phép biến đổi trên căn bậc hai chưa được giới thiệu. Như vậy một trong những vai trò của căn bậc hai như là cầu nối trên con đường giới thiệu các tập số trong chương trình. “Việc giới thiệu căn bậc hai … nhằm mục đích sớm hoàn chỉnh khái niệm số cho học sinh” (SGV7, tr.4). Trong chường trình lớp 9: khái niệm căn bậc hai được giới thiệu hoàn chỉnh. Nội dung cụ thể như sau: - Căn bậc hai - Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A - Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương - Bảng căn bậc hai - Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai - Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 8 Mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là: “ Học sinh nắm được định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai số học; Biết được liên hệ giữa phép khai phương với phép bình phương, quan hệ thứ tự, phép nhân, phép chia. Biết cách xác định điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai, biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai.”. (SGV9, tr.12) “Đi sâu nghiên cứu tính chất phép khai phương, xét các phép biến đổi tương ứng với các tính chất đó và ứng dụng của chúng là nội dung chủ yếu của chương này.” (SGV9, tr.14). Học sinh được tiếp cận tính chất của phép khai phương, cụ thể là những liên hệ của phép khai phương với quan hệ thứ tự và với các phép toán đã biết trên tập số theo hai phương diện: - Để tìm hiểu thêm về phép khai phương: phép toán ngược của phép bình phương, bảo toàn quan hệ thứ tự, có quy ước ưu tiên khi thực hiện cúng với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. - Làm cơ sở cho các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Phương diện thứ nhất, học sinh hiểu về phép khai phương như là phép toán một ngôi trên tập số thực không âm. Phương diện thứ hai, cần thiết cho kỹ năng biến đổi trên các biểu thức toán học sau này. Chúng tôi nhận thấy rằng quá trình chuyển từ phương diện thứ nhất sang phương diện thứ hai biểu thị bước chuyển từ tính toán trên các số sang tính toán trên các chữ. Học sinh được dành nhiều thời lượng nghiên cứu các vấn đề liên quan căn thức bậc hai, chương trình chỉ yêu cầu học sinh biết cách xác định điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai. Tuy nhiên, có điều đáng chú ý là “phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chứa chữ đều cho trước điều kiện của các chữ” và khi thực hiện biến đổi biểu thức, việc đối chiếu với điều kiện cũng không bắt buộc phải nêu rõ ràng” (SGV9, tr.14). Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 9 Chúng tôi nảy sinh một số câu hỏi: - Tồn tại hay không một quy tắc của hợp đồng phát biểu tạm thời như sau: RD1. “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai khi làm việc với các biểu thức chứa chữ dưới căn” - Việc tập trung phần lớn yêu cầu làm việc trên căn bậc hai số học, căn thức bậc hai, các phép biến đổi trên căn thức bậc hai có làm lu mờ khái niệm căn bậc hai của một số hay không? Đến cuối chương trình 12, học sinh một lần nữa được nghiên cứu khái niệm căn bậc hai, nhưng lần này là trên một trường số hoàn toàn mới – Trường số phức. Các nội dung được giới thiệu: căn bậc hai của số thực dương, căn bậc hai của số thực âm và căn bậc hai của số phức . Mục đích của chương trình: “Học sinh biết tìm căn bậc hai của một số thực âm” (SGV12cb, tr.156) và “Học sinh hiểu được định nghĩa căn bậc hai của số phức, biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của một số phức về việc giải một hệ phương trình hai ẩn thực” (SGV12nc, tr.237). Có một sự khác biệt ở hai chương trình cơ bản và nâng cao. Ở chương trình 12 cơ bản có yêu cầu khá nhẹ nhàng: “không có định nghĩa chính thức về căn bậc hai, các căn bậc hai của một số thực âm tìm được chỉ bằng trực giác” (SGV12cb, tr.157). SGV ở hai chương trình đều lưu ý: không đưa ra ký hiệu căn bậc hai của số thực âm” và không nên dùng ký hiệu để chỉ căn bậc hai của số phức. Liệu học sinh có sự lẫn lộn nào giữa căn bậc hai thực và căn bậc hai phức không? 1.2. Phân tích Sách giáo khoa Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi chọn phân tích các sách giáo khoa hiện hành sau: SGK7, SGK9, SGK12cb và SGK12nc. Việc lựa chọn này xuất phát từ Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 10 phân tích chương trình, ở SGK7 thì khái niệm căn bậc hai lần đầu tiên xuất hiện chính thức, ở lớp 9 thì được nghiên cứu hoàn chỉnh, đến lớp 12 khái niêm căn bậc hai một lần nữa được nghiên cứu nhưng trên một hệ thống số mới. 1.2.1. Sách giáo khoa Toán lớp 7 1.2.1.1. Lý thuyết Khái niệm căn bậc hai Khái niệm căn bậc hai được được chính thức đưa vào SGK7 trong bài “Số vô tỉ - Khái niệm căn bậc hai” trong chương “Số hữu tỉ - số thực” sau khi đã nghiên cứu số hữu tỉ. Tình huống dẫn đến xuất hiện khái niệm căn bậc hai: (SGK7, tr.40, Bài toán) Cho hình vẽ, trong đó hình vuông AEBF có cạnh bằng 1m, hình vuông ABCD có cạnh AB là một đường chéo của hình vuông AEBF. a) Tính diện tích hình vuông ABCD. b) Tính độ dài đường chéo AB. Lời giải: a) Có thể thấy ngay diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích hình vuông AEBF tức là bằng 2.1.1 = 2 (m2). b) Nếu gọi x(m) (x>0) là độ dài cạnh AB của hình vuông ABCD thì ta có x2 = 2. Người ta đã chứng minh được rằng không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2 và đã tính được x = 1.4142135623730950488016887… Ta gọi số như vậy là số vô tỉ. Định nghĩa căn bậc hai Sau khi giới thiệu số vô tỉ, SGK7 đưa ra một nhận xét: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 11 32 = 9 ; (-3)2 = 9 ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9. rồi phát biểu định nghĩa căn bậc hai của một số: “Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.” (SGK7, tr.40) Ký hiệu cũng được chính thức đưa vào trong một kết luận” “Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là âm ký hiệu là − a . Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0, cũng viết a , một số 0 = 0 “ (SGK7, tr.41) Cuối bài SGK khẳng định: Có thể chứng minh rằng các số 2 , 3 , 5 , 6 ,… là những số vô tỉ. Nhận xét: Ở bài toán SGK7 đưa vào không phải là một hoạt động mà là bài toán nêu lên kèm theo lời giải và bình luận, bài toán đưa đến một chướng ngại cho học sinh (câu b). Chướng ngại này xuất phát từ việc học sinh luôn có lời giải trong việc tìm một số tự nhiên có bình phương bằng một số tự nhiên khác, tìm một số hữu tỉ có bình phương bằng một số hữu tỉ khác như trước đây (Các bài toán mà chúng tôi đã trích dẫn khi phân tích giai đoạn ngầm ẩn). Một điểm đáng lưu ý là đến thời điểm này học sinh chưa biết định lý Py-ta-go (sẽ được giới thiệu ở phần sau của SGK7). Dó đó bài toán tìm cạnh của một tam giác vuông cạnh 1 đơn vị không thể giải quyết bằng định lý Py-ta-go. Ở đây, thể chế chọn hướng giải quyết bằng việc tính diện tích dựa vào các diện tích thành phần (hình vẽ). Có được kết quả sau: S= S ABF 2 S AEBF . 4= ABCD Như vậy, khái niệm căn bậc hai của một số hình thành từ một tình huống hình học, kéo theo một chướng ngại trong phạm vi số học (tìm một số hữu tỉ biết bình Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 12 phương của nó bằng 2). Tình huống này mang lại một nghĩa về mặt số học cho khái niệm căn bậc hai. Như vậy, bài toán vừa nêu trên là tình huống dẫn đến sự xuất hiện khái niệm căn bậc hai của một số không âm. Trong định nghĩa căn bậc hai, số a không được chỉ rõ là thuôc tập số nào. Có lẽ đây là một quy ước: Khi nói đến một số mà không nêu rõ thuôc tập số nào thì mặc định là thuộc tập số lớn nhất đã biết (trong trường hợp này là tập số hữu tỉ). Theo SGV7: Bài toán được đưa vào là để dẫn đến một ví dụ về số vô tỉ và số vô tỉ đầu tiên học sinh được biết là 2. được giới thiệu : “số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số Ký hiệu dương ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là − b .” Như vậy SGK7 chỉ dừng lại ở việc giới thiệu định nghĩa căn bậc hai của một . Căn bậc hai số học chưa được nhắc tới và đương nhiên các tính số và ký hiêu chất của căn cũng không xuất hiện. Sang bài “Số thực”, sau khi khẳng định: “Với hai số thực x, y bất kỳ, ta luôn có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y” . SGK7 giới htiệu: “Với a, b là hai số thực dương, ta có: nếu a > b thì a > b “. Có lẽ việc SGK7 đưa ra tính chất này là để minh họa cho tính sắp thứ tự tốt của tập số thực. Chúng tôi không tìm thấy một ví dụ minh họa hay một hoạt động nào cho kiến thức về so sánh các căn số. Cuối cùng, SGK7 giới thiệu Trục số thực, cách biểu diễn số vô tỉ trên trục số (đại diện là 2 ) và kết thúc quá trình hoàn chỉnh khái niệm số ở bậc THCS. Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán 13 1.2.1.2. Các tổ chức toán học TB1: Tìm căn bậc hai của một số dương τB 11 : Tính nhẩm chỉ ra hai số: b và -b thỏa b2 = a và (-b)2 = a. Kết luận: b và –b là các căn bậc hai của a. θ 1 1 : Định nghĩa căn bậc hai của một số, lũy thừa của một số hữu tỉ Ví dụ: (SGK7, tr.41, nhận xét) Nhận xét: 32 = 9 ; (-3)2 = 9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9. Đặc điểm của TB1: - Số dương a luôn có thể biểu diễn dễ dàng dưới dạng a = b2 : hoặc là số chính phương (không vượt quá 36) hoặc phân số mà tử và mẫu là các số chính phương (không vượt quá 36) hoặc một lũy thừa dạng hn - Ít trường hợp số a được cho dưới dạng thập phân hữu hạn (a < 1), nếu có thì cũng là số dễ dàng biểu diễn dưới dạng một bình phương (đã biết kết quả ở các bài học liền trước). - Kết quả chấp nhận: “số đúng”. Việc cho số a như trên giúp cho các kỹ thuật nhẩm bình phương luôn giải quyết tốt kiểu nhiệm vụ TB1. Không cần nhờ đến công cụ máy tính bỏ túi. TB2 : Tính tB 21 : Tính a τB 21 : Tìm số dương b sao cho b2 = a. Kết hợp mẫu Kết luận: a =b Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học LL & PP Dạy học môn Toán
- Xem thêm -