Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

  • Số trang: 71 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 18 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27700 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ MÃ SỐ: B.2007-19-18 MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2008 2 Tham gia thực hiện đề tài: GS.TS. Bedrich Puza . Trƣờng Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech. 3 MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................................. 3 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 4 SUMMARY ............................................................................................................................... 6 NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO.................................................................................................... 8 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 19 PHỤ LỤC................................................................................................................................. 21 4 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm. Mã số:B2007-19-18. Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn. Tel: 08.330124. E-Mail: nguenanhtuan2512@Gmail.com. Cơ quan chủ trì đề tài: Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh. Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Giáo sƣ,Tiến sỹ Bedrich Puza, bộ môn toán giải tích, khoa khoa học, trƣờng Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech. Thời gian thực hiện: tƣ tháng 4/2007 đến tháng 4/2009. 1.Mục tiêu nghiên cứu: - Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải đƣợc của hệ phƣơng trình vi phân hàm hoặc phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. 2.Nội dung chính: - Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân thƣờng với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. - Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc giải đƣợc của hệ phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. - Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. - Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đáng giá tiên nghiệm. 3. Kết quả chính: Kết quả chính của đề tài thu nhận đƣợc gồm bốn bài báo sau: 1).B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a bounảary value problem for system of ordinary differential equatons, East-west Journal of Matematics,Vol.6. No.2 (2004), 139151. 2).Nguyen Anh Tuan, An effective crỉterion of solvability of boundary value problems for a system of ordinary differential 5 equations. East-west Journal of Matematics,Vol.7. No. 1 (2005), 69-77. 3) Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phƣơng trình vi phân bậc cao, Tạp chí KHOA HỌC.ĐHSP.TP.HCM, số 4(38), 2004. 51-59. 4) Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải đƣợc của bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí KHOA HỌC. ĐHSP.TP.HCM, số 8(42),2006 6269. 6 SUMMARY Project Title: A class of boundary value problems for functional differential equations. Code number: B.2007-19-18. Coordinator: Nguyen Anh Tuan. Assoc.Prof,Ph.D., Department of Mathematics-Computer science. Implementing Institution: Ho Chi Minh City University of Pedagogy. Cooperating Institution: Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science, Masaryk University. Individuals attend the subject: Bedrich Puza, Prof.Ph.D., Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science, Masaryk University. Duration: From April, 2007 to April, 2009. 1)Objectives: Studying sufficient conditions of solvability of boundary value problem for system of ordinary differential equations or for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates. 2) Main contents: -Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solutions of boundary value problem for systems for ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates. -Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates. -Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solution of boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates. 7 - Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates. Results obtained: The main results had got as follows: 1) B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary valueproblem for system of ordinary differentiaỉ equations, East-west Journal of Matematics,Vol.6. No.2 (2004), 139151. 2) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems for a system of ordinary differential equations. East-west Journal of Matematics,Vol.7. No. 1 (2005) 69 - 77. 3) Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem functional differential equations of n-th order, Journal of science, Ho Chi Minh city university of Pedagogy, Vol 4. (38) (122004).51-59. 4) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems functional differential equations of n-th order. Journal of science, Ho Chi Minh City university of Pedagogy, Vol.8.(42) (7-2006).62-69. 8 NỘI DUNG CỦA BÁO CÁO I.Tính cấp thiết và tổng quan về đề tài: Lý thuyết bài toán biên cho phƣơng trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18 nhƣ một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học. Tuy nhiên đến nay nó còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống nhƣ: vật lý, cơ học, kỹ thuật công nghệ, nông nghiệp, sinh học và kinh tế… Song nghiên cứu và phát triển theo hƣớng này thực sự phát triển mạnh và thu đƣợc nhiều kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do nhóm các nhà toán học Grudia và Cộng hòa Czech dƣới sự dẫn dắt của giáo sƣ viện sỹ I.Kiguradze, viện trƣởng viện toán học Tbilisi. Các công trình khai phá cho hƣớng nghiên cứu này đƣợc trình bày trong các công trình nhƣ [1],[2],[3], ...[10]... Bài toán biên cho phƣơng trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm trong các năm gần đây đã đạt đƣợc một số kết quả trong [10], [11 ],.... II. Nội dung chính của đề tài. Nội dung chính của đề tài gồm hai phần: bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân và bài toán biên cho phƣơng trình hàm bậc cao với cùng điều kiện biên dạng hàm đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp đánh giá tiên nghiệm. Xét bài toán biên cho hệ phƣơng trình vi phân: với điều kiện biên: Trong đó với mỗi i ∈{1,...,n} hàm fi :[a,b] x Rn→R thỏa điều kiện Caratheodory, Φi là phiếm hàm tuyến tính không giảm trên không gian C([a,b]) và tập trung trên đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa là giá trị của hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp với đoạn [ai,bi] và đoạn này có thể suy biên thành một điểm) và φi là hàm số liên tục trên không gian Cn([a,b]). Trƣờng hợp đặc biệt của điều kiện (2) là: Điều kiện biên nhiều điểm hay đặc biệt hơn là điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoletti 9 Các bài toán (1), (5) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17],... Bài toán (1), (3) đã đƣợc nghiên cứu trong [16], [17]. Tƣơng tự bài toán (1), (4) đã đƣợc nghiên cứu trong [17],.... Các kết quả chính cho bài toán biên (1), (2) đƣợc đăng tải trong các bài báo [14], [15]. Sau đây ta nhắc lại một số kết quả chính mà tác giả đạt đƣợc trong bài báo [14]. Định nghĩa 1. Giả sử G= (gi)ni=1 : C([a,b]) → Rn , là toán tử thuần nhất dƣơng không giảm. Ta nói nếu hệ bất phƣơng trình vi phân với điều kiện biên chỉ có nghiệm tầm thƣờng. Định lý 1. Giả sử đƣợc thực hiện Và Với mọi và các bất đẳng thức sau 10 Trong đó ωi: [a, b] xR+→ R+ là hàm số đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biên thứ hai,ri : R+ → R+ là hàm số không giảm và thỏa: Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 2. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện : với với Trong đó thỏa điều kiện (6). Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Để chứng minh các định lý 1, 2 ta dựa vào bổ đề đánh giá tiệm cận sau: Bổ đề 1. Giả sử điều kiện (6) đƣợc thực hiện. Khi đó với mỗi hằng số dƣơng ro > 0, ωo ∈ L([a,b],R+) và với mỗi X ∈ ACn ([a,b]) thỏa các bất đẳng thức sau : với điều kiện biên 11 đều tồn tại hằng số dƣơng p > 0 sao cho đánh giá sau xẩy ra: Trong bài báo [15] ta sẽ xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả đề bài toán (1), (2) là giải đƣợc. Các kết quả chính của bài báo gồm các định lý sau: Định lý 3. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có: và trên Cn ([a,b]) ta có Trong đó ωi: [a, b] x R+ → R+, ri :R+ → R+ (i=1,... ,n) thỏa các điều kiện trong định lý l. và bán kính phổ của ma trận S=(Sij)ni,j=1’ bé hơn 1. Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 4. Giả sử trên [a,b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: 12 và trên Cn([a,b]) có Trong đó thỏa các điều kiện của định lý 3. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Định lý 5. Giả sử trên [a,b] x Rn ta có: và trên Cn ([a,b]) ta có Trong đó thỏa các điều kiện trong định lý 1 và là các phiếm hàm không giảm, thuần nhất dƣơng. Hơn nữa bán kính phổ của các ma trận 13 và có bán kính bé hơn 1. Trong đó. (i=1,...,n). Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm. Định lý 6. Giả sử trên [a, b] x Rn các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: và trên Cn([a,b]) có Trong đó hij, Ψij,gi (i,j=1,...,n) thỏa các điều kiện của định lý 5. Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm. Trong phần hai của đề tài chúng ta nghiên cứu tính giải đƣợc của phƣơng trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên nhƣ trên. Xét phƣơng trình vi phân hàm bậc cao sau : 14 với điều kiện biên dạng hàm: Trong đó toán tử f: C(n-1)([a,b]) →L([a,b]) , (i = l,2,...,n) thỏa mãn điều kiện Carathéodory. Với mỗi i ∈ {l,....,n} phiếm hàm Φi trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong không gian C([a, b]) và tập trung trong đoạn [ai,bi] [a,b] (có nghĩa là giá trị của phiếm hàm Φi chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hẹp đối với đoạn [ai, bi] và đoạn này có thể suy biến thành một điểm). Ta luôn có thể giả thiết Φi (1) = 1. Trong điều kiện (2) các phiếm hàm φi. (i= 1, 2,..., n) là liên tục trong không gian Cn-1 ([a, b]). Các trƣờng hợp riêng của điều kiên biên (25) là: Điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoleti hay điều kiện biên dạng tuần hoàn Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n-1) liên tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] và thỏa phƣơng trình (24) hầu khắp nơi trên đoạn [a,b] và thỏa điều kiện biên (25). Định nghĩa 2 : Giả sử là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất dƣơng, g(t) ∈ L([a,b]) Nếu hệ bất phƣơng trình vi phân với điều kiện chỉ có nghiệm tầm thƣờng, chúng ta nói rằng: Sản phẩn chính của phần này là các kết quả sau đây: 15 Định lý 7: Giả sử (g,fo, Ψ1, , Ψn) ∈ Nic ([a, b], a1,...,an, b1,..., bn) và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thực hiện các điều kiện sau : với mọi an ≤ t ≤ b, u ∈ Cn-1 ([a,b]) với mọi a < t < bn, u ∈ Cn-1 ([a,b]) với mọi u ∈ Cn-1 ([a,b]) , (i = 1,2 ...n). Trong đó hàm số ω : [a, b] x R+ →R+ là đo đƣợc đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai, hàm số r: R+→R+ là không giảm và thỏa Khi đó bài toán biên (24), (25) có ít nhất một nghiệm. Định lý 8: Giả sử điều kiện (28) đƣợc thực hiện và f,φ1,...,φn của bài toán (24), (25) thỏa các điều kiện sau : với an ≤ t ≤ b , u,v ∈ Cn-1 ([a,b]) (321) với a ≤ t ≤ bn, u,v ∈ Cn-1 ([a,b]) (322) 16 với mọi u,v ∈ Cn-1([a, b]) (33) Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm. Định lý 9 . Giả sử các điều kiện sau là đƣợc thực hiện: và Trên C(n-l)([a,b]) điều kiện sau đƣợc thực hiện Trong đó r , rij (i,j=l,2,...,n) là các số thực không âm ω:[a,b] x R+ → R+ là hàm đo đƣợc đo đối với biến thứ nhất và không giảm đối với biến thứ hai và thỏa điều kiện (31). (i=l,2,...,..n) là đơn điệu và 17 Trong đó Và Khi đó bài toán (24), (25) có ít nhất một nghiệm. Định lý 10. Giả sử các bất đẳng thức sau đƣợc thực hiện: và trong C(n-1)([a,b]) 18 Trong đó các hàm số hi, ki và các hằng số rịj ,Si Và δi (i,j=l,2,...,n) thỏa các điều kiện trong định lý 9. Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm. Các kết quả trên đƣợc chứng minh đầy đủ trong hai bài báo sau [12], [13] đƣợc đăng trên tạp chí khoa học của trƣờng.Tuy nhiên các kết quả còn đúng hay không cho bài toán biên dạng vall-Pussil hay bài toán biên không chính qui đến nay vẫn còn chƣa đƣợc tiếp tục xem xét. Các kết quả trên cho phƣơng trình vi phân cũng đƣợc tác giả xem xét trong [10], [11].
- Xem thêm -