Tài liệu Môn cơ học máy p.01_tich_phan_vi_phan_do_thi

Tích phân - Vi phân đồ thị Nguyễn Tấn Tiến ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ TÍCH PHÂN – VI PHÂN ĐỒ THỊ 1. Tích phân đồ thị Bài toán: cho đồ thị y ( x) = y= dY ( x) dx y1 y2 y3 dY ( x) , tìm đồ thị Y ( x) = ∫ y ( x)dx . dx A1 A2 A3 A4 y4 A5 y5 P H A6 y6 O1 x A7 y7 A8 y8 A9 y9 y10 y11 A10 A11 Y B4 B5 B6 B7 B8 B3 B9 B2 B0 O2 x0 B10 B1 x1 B11 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x Các bước tiến hành - Chia trục hoành x của đồ thị ( xO1 y và xO2Y ) bằng các điểm xi sao cho trong mỗi đoạn dY ( x) ∆xi = xi − xi−1 , giá trị của hàm y ( x) = được xem như là không đổi yi . dx - Chọn cực tích phân P với O1 P = H lớn tùy ý. - Trên đồ thị xO2Y , vẽ các đường Bi−1 Bi // Pyi . - Đường cong trơn đi qua các điểm Bi là đồ thị Y ( x) = ∫ y ( x)dx cần tìm. Xác định tỉ lệ xích các trục của đồ thị Trên đồ thị xO1 y ta có ____________________________________________________________________________________________________ Theory of Machine 1 Tích phân - Vi phân đồ thị Nguyễn Tấn Tiến ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Y ( xi ) = xi Bi = ∆xi tan O1 Py1 + ∆xi tan O1 Py2 + L + ∆xi tan Oi Pyi i = ∑ ∆xk tan O1 Pyk k =1 i O1 yk H = ∑ ∆x k k =1 1 H = i ∑ ∆x O y 1 k k k =1 Giả sử x, y, Y là các giá trị biểu diễn trên đồ thị của các giá trị thật ϕ ,V , S , ta có các quan hệ ∆x = ∆ϕ µϕ , O1 yi = y ( xi ) = V (ϕi ) µV Do đó Y ( xi ) = = = = = = Mặt khác, Y ( xi ) = Suy ra 1 H i ∑ ∆x O y 1 Hµϕ 1 k k k =1 i ∑ ∆ϕ k =1 1 Hµϕ µV 1 Hµϕ µV 1 Hµϕ µV 1 Hµϕ µV k V (ϕ k ) µV i ∑ ∆ϕ V (ϕ k =1 k k ) k ) i ∑ ∆ϕ V (ϕ k =1 k ϕi ∫ϕ V (ϕ )dϕ 0 S (ϕi ) S (ϕi ) µS µ S = Hµϕ µV 2. Vi phân đồ thị Bài toán: cho đồ thị Y ( x) = ∫ y ( x)dx , tìm đồ thị y ( x) = dY ( x) . dx Bài toán hoàn toàn tương tự như đối với bài toán tích phân đồ thị đã trình bày với các bước tiến hành như sau - Chia trục hoành x của đồ thị ( xO1Y và xO2 y ) bằng các điểm xi sao cho trong mỗi đoạn ∆xi = xi − xi−1 , giá trị của hàm Y (x) được xem gần đúng với đoạn thẳng Bi−1 Bi . - Chọn cực vi phân P với O2 P = H lớn tùy ý. ____________________________________________________________________________________________________ Theory of Machine 2 Tích phân - Vi phân đồ thị Nguyễn Tấn Tiến ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ - Trên đồ thị xO2 y , vẽ các đường Pyi // Bi−1Bi . - Trong đoạn xi−1 xi , giá trị của hàm y (x) được xem gần đúng bằng yi . dY ( x) ⎛x +x ⎞ cần tìm. - Đường cong trơn đi qua các điểm Ai ⎜ i−1 i , yi ⎟ là đồ thị y ( x) = dx ⎝ 2 ⎠ µS Hµϕ - Bằng lý luận tương tự ta vẫn có quan hệ tỉ lệ xích giữa các trục đồ thị như trên µV = Y B5 B4 B6 B7 B8 B3 B9 B2 B0 O1 y= B10 B1 dY ( x) dx y1 y2 y3 A1 B11 A2 A3 A4 y4 A5 y5 P H y6 O2 x 0 y7 y8 y9 y10 y11 x A6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 A7 x8 x9 x10 x11 x A8 A9 A10 A11 Chú ý trong quá trình thực hiện tích phân / vi phân đồ thị - Các đoạn chia ∆xi phụ thuộc vào đường cong biểu diễn, được chia càng nhỏ càng tốt để tăng độ chính xác. - Chọn cực tích phân / vi phân H sao cho độ lớn của đường cong sau khi tích phân / vi phân đủ lớn và rõ. - Chú ý các điểm cực trị, ví dụ Y ( ymax/ min ) = 0 , y (Ymax/ min ) = 0 ____________________________________________________________________________________________________ Theory of Machine 3