Tài liệu Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức. chuyên ngành hình học và tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC QUỲNH MỐI LIÊN HỆ ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG HÀ NỘI, 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Lê Ngọc Quỳnh ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. TSKH Sĩ Đức Quang. Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ sự tri ân và lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy đã hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ, động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến GS. TSKH Đỗ Đức Thái vì sự giúp đỡ và những lời khuyên quý báu của Giáo sư trong quá trình hoàn thành luận án. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên trong seminar hình học phức của Bộ môn Hình học, Khoa Toán - Tin, đặc biệt là TS Hà Hương Giang vì sự quan tâm và giúp đỡ tận tình trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Hà Nội. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của trường Đại học Sư phạm Hà Nội vì những sự giúp đỡ mà tác giả đã nhận được trong suốt quá trình học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm bộ môn Toán cùng các phòng ban chức năng của trường Đại học An Giang và anh chị, bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ Nghiên cứu sinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho luận án này. Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, những người thân luôn tin tưởng, thương yêu, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Tác giả iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU v MỞ ĐẦU 1 1 TỔNG QUAN 4 1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 7 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 4 11 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng di động không tính bội . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 SỰ PHỤ THUỘC TỰA PHÂN TUYẾN TÍNH CỦA HAI HÀM PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI CÁC CẶP HÀM NHỎ 16 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức . . . . . 17 2.2 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ . . . . 19 iv 3 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH VỚI BỘI BỊ NGẮT 35 3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 36 3.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI BỘI BỊ NGẮT 55 4.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình . . . . . . . . . . . . . . 60 5 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG KHÔNG TÍNH BỘI 71 5.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình . . . . . . . . . . . . . . . 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 85 NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 v MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, ta thống nhất một số kí hiệu như sau. • PN (C): không gian xạ ảnh phức N − chiều. • kzk = |z1 |2 + · · · + |zn |2
1/2 với z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn • B(r) := {z ∈ Cn : kzk < r} là hình cầu mở bán kính r trong Cn • S(r) := {z ∈ Cn : kzk = r} là mặt cầu bán kính r trong Cn √ −1 c • d = ∂ + ∂, d := (∂ − ∂): các toán tử vi phân. 4π • vn−1 := (ddc kzk2 )n−1 , σn := dc logkzk2 ∧ (ddc logkzk2 )n−1 : các dạng vi phân. • O(1): đại lượng bị chặn. • O(r): đại lượng vô cùng bé cùng bậc với r khi r → +∞. • o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. • log+ r = max{log r, 0}, r > 0. • “|| P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập con R Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞. • ] S: lực lượng của tập hợp S. • Rf : Trường tất cả các hàm phân hình nhỏ (tương ứng với hàm phân hình f ) trên C. • R{ai }qi=1 : Trường con nhỏ nhất của M (trường tất cả các hàm phân hình trên Cn ) chứa C và tất cả aik /ail với ail 6= 0 trong đó ai = (ai0 : · · · : aiN ) (1 ≤ i ≤ q) ∗ là các ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) . vi MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, được xây dựng đầu tiên bởi R. Nevanlinna [19] vào năm 1926 cho trường hợp hàm phân hình một biến phức. Sau khi bài báo của ông được công bố, lý thuyết này đã được mở rộng và nghiên cứu sâu sắc cho các ánh xạ phân hình nhiều biến phức bởi nhiều nhà toán học như A. Bloch, H. Cartan, H. J. Weyles, L. Ahlfors, W. Stoll, J. Noguchi và một số tác giả khác. Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lý thuyết quan trọng của toán học và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ và sâu sắc đã được công bố. Những kết quả của lý thuyết Nevanlinna đã được ứng dụng trong việc nghiên cứu nhiều vấn đề của hình học phức và giúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiên cứu như nghiên cứu về tính duy nhất, tính hữu hạn, sự phụ thuộc đại số và tính suy biến đại số của các ánh xạ phân hình. Đặc biệt, trong những năm gần đây, H. Fujimoto ([10], [11]), G. Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang ([6], [7], [15], [23], [24], [36], [37], [40]), Z. Chen Q. Yan [3] và nhiều tác giả khác đã thu được những kết quả quan trọng về tính duy nhất, hữu hạn và suy biến của ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu phẳng. Tuy nhiên, các kết quả trên hầu hết chỉ liên quan đến tính duy nhất hay hữu hạn của ánh xạ phân hình và cần ít nhất điều kiện trên 2N + 2 siêu phẳng. Việc nghiên cứu về mối liên hệ giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các siêu phẳng trong trường hợp số siêu phẳng (cố định hoặc di động) ít hơn thì đây vẫn là một vấn đề còn mới mẻ, có rất ít kết quả được công bố. 1 Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”. Cụ thể, chúng tôi tập trung nghiên cứu mối quan hệ đại số giữa các ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C), đồng thời chúng tôi cũng đưa ra kết quả về sự suy biến đại số của ánh xạ tích của hai ánh xạ phân hình vào PN (C). 2. Mục đích và đối tượng nghiên cứu Mục đích đầu tiên của luận án là nghiên cứu về hàm phân hình trên mặt phẳng phức C và đưa ra định lý về sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính (tựa Möbius) của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ. Tiếp theo chúng tôi áp dụng lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình nhiều biến vào không gian xạ ảnh phức dựa trên các điều kiện đặt ra trên ảnh ngược của họ các siêu phẳng cố định hoặc di động cho trước. Đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là các hàm phân hình trên C và các ánh xạ phân hình nhiều biến từ Cn vào không gian xạ ảnh PN (C). 3. Phương pháp nghiên cứu Dựa trên cơ sở các phương pháp nghiên cứu cũng như những kĩ thuật truyền thống của hình học phức và lý thuyết phân bố giá trị, chúng tôi sẽ cố gắng đề xuất những kĩ thuật mới nhằm giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh phức. Đồng thời, luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 2 5. Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và kiến nghị, danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án bao gồm năm chương: Chương I. Tổng quan. Chương II. Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ. Chương III. Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt. Chương IV. Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt. Chương V. Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng di động không tính bội. Luận án được viết dựa trên 4 bài báo, trong đó có 3 bài công bố trên các tạp chí International Journal of Mathematics, Kodai Mathematical Journal, Complex Variable and Elliptic Equation và 1 bài còn lại đang gửi đăng. 3 Chương 1 TỔNG QUAN Năm 1926, R. Nevanlinna đã chỉ ra rằng hai hàm phân hình phân biệt khác hằng f và g trong mặt phẳng phức C thì không thể có cùng ảnh ngược đối với năm giá trị phân biệt. Ngoài ra, hàm g sẽ là một biến đổi phân tuyến tính (tức là biến đổi Möbius) của f nếu chúng có cùng ảnh ngược tính cả bội đối với bốn giá trị phân biệt. Hai kết quả trên được gọi là định lý năm điểm và bốn điểm của Nevanlinna. Từ đó, việc tổng quát và mở rộng các kết quả nói trên cho trường hợp hàm phân hình trên C và ánh xạ phân hình nhiều biến từ Cn vào PN (C) đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ và sâu sắc được công bố. 1.1 Sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ Mục đích đầu tiên của luận án là nghiên cứu về hàm phân hình trên mặt phẳng phức C. Từ việc nghiên cứu hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với “các giá trị hay các cặp giá trị”, các tác giả đã mở rộng thành hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với “các hàm nhỏ hay các cặp hàm nhỏ”. Trong chương này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm phân hình nhỏ. 4 Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau: Giả sử f 6≡ 0 là một hàm chỉnh hình trên C. Với mỗi z0 ∈ C, tồn tại một lân cận ∞ P U ⊂ C của z0 và f (z) = bi (z − z0 )i trên U . Khi đó, ta định nghĩa hàm νf0 không âm i=0 trên C bởi νf0 (z0 ) := min{i : bi 6= 0}. Giả sử k là một số nguyên dương hay +∞, ta đặt 0 νf,≤k (z) :=   ν 0 (z) nếu νf0 (z) ≤ k,  0 nếu νf0 (z) > k. f Hàm phân hình a được gọi là nhỏ (tương ứng với f ) nếu || T (r, a) = o(T (r, f )) khi r → ∞. Ta kí hiệu Rf là trường tất cả các hàm phân hình nhỏ (tương ứng với f ) trên C. Hàm phân hình f trên C được gọi là một biến đổi tựa Möbius, hay biến đổi tựa phân tuyến tính, của hàm phân hình g nếu tồn tại các hàm phân hình nhỏ (tương ứng α1 g + α2 với g) αi (1 ≤ i ≤ 4) với α1 α4 − α2 α3 6≡ 0 sao cho f = . Nếu tất cả các hàm α3 g + α4 αi (1 ≤ i ≤ 4) là hàm hằng thì ta nói f là một biến đổi Möbius hay biến đổi phân tuyến tính của g. Năm 1997, T. Czubiak và G. Gundersen [4] đã chứng minh được rằng: Định lý A. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược không tính bội đối với sáu cặp giá trị (ai , bi ), 1 ≤ i ≤ 6, trong đó ai 6= aj , bi 6= bj với i 6= j, tức là 0 , 1} (1 ≤ i ≤ 6). min{νf0−ai , 1} = min{νg−b i Khi đó f là một biến đổi phân tuyến tính của g. Sau đó P. Li và C. C. Yang [18] đã đưa ra một ví dụ chỉ ra rằng hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với năm cặp giá trị có thể không liên kết với nhau bởi một biến đổi phân tuyến tính. Do vậy số các cặp giá trị trong kết quả trên của T. Czubiak và G. Gundersen là không thể thay thế bởi một số nhỏ hơn. Trong trường hợp này, con số năm cặp giá trị là không thể giảm hơn được nữa, bội giao đã được ngắt bởi 1 (hay nói cách khác là không kể bội). Vì vậy các kết quả gần đây liên quan đến chủ đề này là xoay quanh việc ta có thể “không quan tâm” đến những không điểm chung với bội kể từ một bậc nào đó trở đi. 5 Năm 2013, S. D. Quang [26] đã chỉ ra rằng chúng ta có thể không tính đến các không điểm chung có bội lớn hơn 17 trong trường hợp hai hàm phân hình khác hằng f và g trên C có chung ảnh ngược đối với 7 cặp hàm phân hình nhỏ không kể bội. Cụ thể, kết quả của S. D. Quang đạt được như sau: Định lý B. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai , bi )}7i=1 là bảy cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj , bi 6= bj với mọi i 6= j. Cho k là số nguyên dương hay +∞. Giả sử rằng 0 min{νf0−ai ,≤k , 1} = min{νg−b , 1} (1 ≤ i ≤ 7). i ,≤k Khi đó, nếu k ≥ 17 thì f là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g. Trong kết quả trên, tác giả đã dùng hàm phụ trợ Cartan để đánh giá hàm đếm và hàm đặc trưng. Tuy nhiên, việc sử dụng kỹ thuật này chưa đưa đến được đánh giá tối ưu nhất. Mong muốn của chúng tôi khi nghiên cứu trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược không tính bội đối với các cặp hàm phân hình nhỏ là có thể giảm được số cặp hàm nhỏ trong kết quả của Quang. Hơn thế nữa, chúng tôi sẽ không tính đến các không điểm chung của các cặp hàm (f − ai ) và (g − bi ) có bội lớn hơn một hằng số nào đó trở đi và các hằng số này có thể khác nhau đối với mỗi cặp hàm nhỏ khác nhau. Để làm được điều đó, chúng tôi đã phát triển các kỹ thuật của P. Li và C. C. Yang [18] khi thay các hàm phụ trợ Cartan như trong chứng minh của Quang bởi các hàm phụ trợ là đa thức theo f và g. Nhờ đó chúng tôi đánh giá các hàm đếm chặt chẽ hơn và đưa đến kết quả tốt nhất theo hướng này. Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). Kết quả chính chúng tôi đạt được về vấn đề này như sau: Định lý 2.2.1. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai , bi )}qi=1 (q ≥ 6) là q cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj , bi 6= bj với mọi i 6= j. Với ki (i = 1, ..., q) là q số nguyên dương hay +∞ sao cho q X 2q − 10 q − 2 1 < + , k 5 k0 i=1 i trong đó k0 = max1≤i≤q ki . Giả sử rằng 0 min{νf0−ai ,≤ki , 1} = min{νg−b , 1} (1 ≤ i ≤ q). i ,≤ki 6 Khi đó f là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g. Trong trường hợp k1 = k2 = · · · = kq = k, với giả thiết như trong định lý, ta thấy nếu k > 5 q−5 thì f sẽ là một phép biến đổi tựa phân tuyến tính của g (xem Hệ quả 2.2.2, chương 2). Trong trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với năm cặp hàm nhỏ, chúng tôi chứng minh định lý sau. Định lý 2.2.8. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và {(ai , bi )}5i=1 là năm cặp hàm nhỏ (tương ứng với f ) trên C, trong đó ai 6= aj , bi 6= bj với mọi i 6= j. Với ki (1 ≤ i ≤ 5) là các số nguyên dương hay +∞ trong đó k5 ≥ 2, sao cho 5 X 1 3 843 240 < + + , k 361 361k 361k i 0 5 i=1 trong đó k0 = max1≤i≤5 ki . Giả sử rằng 0 min{νf0−a5 ,≤k5 , 1} = min{νg−b , 1} 5 ,≤k5 0 , 2} (1 ≤ i ≤ 4). và min{νf0−ai ,≤ki , 2} = min{νg−b i ,≤ki Khi đó f là biến đổi tựa phân tuyến tính của g. Trong trường hợp k1 = k2 = · · · = k5 = k, với giả thiết như trong định lý, ta thấy nếu k ≥ 241 thì f sẽ là một biến đổi tựa phân tuyến tính của g (xem Hệ quả 2.2.9, chương 2). Chúng tôi chú ý rằng, trong trường hợp chỉ có năm cặp hàm nhỏ thì việc sử dụng các hàm phụ trợ là không đủ để đưa ra kết luận gì về các hàm f và g, do vậy chúng tôi đã đưa ra kỹ thuật chứng minh hoàn toàn khác các tác giả trước với ý tưởng rút ra từ chứng minh của bồ đề Borel. 1.2 Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt Ngoài việc mở rộng định lý 4 điểm và 5 điểm của Nevanlinna cho hàm phân hình thì việc tổng quát và mở rộng các kết quả nói trên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều 7 biến từ Cn vào PN (C) cũng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ được công bố. Đặc biệt về bài toán nghiên cứu tính hữu hạn và phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình. Cụ thể, năm 1975, H. Fujimoto [9] đã chứng minh rằng với hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f và g từ Cn vào PN (C), nếu chúng có cùng ảnh ngược kể cả bội với (3N + 2) siêu phẳng trong PN (C) ở vị trí tổng quát thì f ≡ g, và tồn tại một phép biến đổi xạ ảnh L của PN (C) sao cho g = L(f ) nếu chúng có cùng ảnh ngược kể cả bội của (3N + 1) siêu phẳng trong PN (C) ở vị trí tổng quát. Tiếp theo, năm 1983, L. Smiley [34] chỉ ra rằng khẳng định của H. Fujimoto vẫn đúng nếu hai ánh xạ trên có chung ảnh ngược không kể bội với 3N + 2 siêu phẳng nhưng có thêm điều kiện là chúng trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này. Năm 1999, H. Fujimoto [11] đã chỉ ra rằng có không quá 2 ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi hai đối với 3N + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Các chứng minh trên của L. Smiley và H. Fujimoto dựa vào việc đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan. Năm 2006, bằng việc đưa ra kĩ thuật mới cho việc đánh giá hàm đếm này và cách phân hoạch họ các siêu phẳng, D. D. Thai - S. D. Quang [37] đã chứng minh rằng kết quả của Smiley vẫn đúng trong trường hợp q ≥ 3N + 1 và N ≥ 2. Kỹ thuật này đã khởi đầu cho nhiều kết quả nghiên cứu về vấn đề duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình trong các năm sau đó. Năm 2009, Dethloff - Tan [7] đã chỉ ra rằng với mỗi số nguyên không âm c thì tồn tại một số nguyên dương N (c) phụ thuộc vào c sao cho kết quả của Smiley vẫn đúng với q ≥ 3N + 2 − c và N ≥ N (c), hơn nữa các tác giả cũng đưa ra được định lý duy nhất trong trường hợp hai ánh xạ phân hình chia sẻ 2N + 3 siêu phẳng với bội bị ngắt bởi N . Gần đây, kết quả tốt nhất về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình vào PN (C) trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng được đưa ra bởi Chen - Yan [3] và Quang [24]. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi nhắc lại các khái niệm sau. Cho f là ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN ), cho q siêu phẳng H1 , · · · , Hq trong PN (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:
a) dim Zero(f, Hi ) ∩ Zero(f, Hj ) ≤ n − 2 với mọi 1 ≤ i < j ≤ q. Với mỗi số nguyên dương d (hay +∞), ta kí hiệu F {Hj }qj=1 , f, d) là tập hợp tất cả ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g từ Cn vào PN (C) sao cho 8 0 0 b) min{ν(g,H , d} = min{ν(f,H , d} (1 ≤ j ≤ q) và j) j) S c) g = f trên qj=1 Zero(f, Hj ). Năm 2009, Z. Chen và Q. Yan [3] đã chứng minh rằng: Định lý C. Nếu q ≥ 2N + 3 thì g1 = g2 với bất kỳ g1 , g2 ∈ F {Hi }qi=1 , f, 1). Gần đây, S. D. Quang [24] đã đạt được: Định lý D. Nếu q ≥ 2N + 2 và N ≥ 2 thì F {Hi }qi=1 , f, 1) chứa nhiều nhất hai ánh xạ. Chúng ta cần chú ý rằng, tất cả các kết quả về vấn đề hữu hạn của các ánh xạ phân hình đều đòi hỏi ít nhất là có 2N + 2 siêu phẳng tham gia. Do vậy các câu hỏi sau đây nảy sinh một cách rất tự nhiên. a) Có mối quan hệ nào giữa các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của q siêu phẳng không kể bội với q < 2N + 2 hay không? b) Có bất kì mối quan hệ nào giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược của một số siêu phẳng không kể bội và chỉ đòi hỏi trùng nhau trên một số ít các siêu phẳng trong đó hay không? Trong chương 3, chúng tôi sẽ chỉ ra các ánh xạ trong các trường hợp trên là phụ thuộc đại số với nhau. Kết quả của chương 3 được chúng tôi viết dựa trên bài báo [2] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). Cụ thể như sau: Định lý 3.2.1. Giả sử f1 , f2 , f3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cn vào PN (C) và {Hi }qi=1 là một họ siêu phẳng trong PN (C) ở vị trí tổng quát với dim (Zero(f1 , Hi ) ∩ Zero(f1 , Hj )) ≤ n − 2 (1 ≤ i < j ≤ q). Giả sử rằng các khẳng định sau được thỏa mãn: 0 0 0 (a) min{ν(f , N } = min{ν(f , N } = min{ν(f , N } (1 ≤ i ≤ q), 1 ,Hi ) 2 ,Hi ) 3 ,Hi ) S (b) f1 = f2 = f3 trên qi=1 Zero(f1 , Hi ). Khi đó, nếu q > √ 2N +5+ 28N 2 +20N +1 4 thì một trong các khẳng định sau xảy ra: 9 (i) Tồn tại q 3 + 1 siêu phẳng Hi1 , ..., Hi[ q ]+1 sao cho 3 (fu , Hi[ q ]+1 ) (fu , Hi1 ) (fu , Hi2 ) 3 , (1 ≤ u, v ≤ 3), = = ··· = (fv , Hi1 ) (fv , Hi2 ) (fv , Hi[ q ]+1 ) 3 (ii) f1 ∧ f2 ∧ f3 ≡ 0. Ở đây, f1 ∧f2 ∧f3 ≡ 0 có nghĩa là với mọi biểu diễn rút gọn (fi0 : · · · : fiN ) của fi , 1 ≤ i ≤ 3, thì f˜1 (z) ∧ f˜2 (z) ∧ f˜3 (z) = 0 với mỗi z ∈ Cn . Trong đó, f˜i (z) = (fi0 (z), . . . , fiN (z)) được coi là một vectơ trong CN +1 và f1 (z) ∧ f2 (z) ∧ f3 (z) một phần tử trong Λ3 CN +1 . Trong luận án này, ta nói ba ánh xạ f1 , f2 , f3 là phụ thuộc đại số nếu f1 ∧ f2 ∧ f3 ≡ 0. Đối với trường hợp thu gọn tập đồng nhất, chúng tôi đạt được kết quả như sau. Định lý 3.2.3 Giả sử f1 , f2 , f3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cn vào PN (C) và cho H1 , .., Hq là q siêu phẳng trong PN (C) ở vị trí tổng quát với dim (Zero(f1 , Hi ) ∩ Zero(f1 , Hj )) ≤ n − 2 (1 ≤ i < j ≤ q). Giả sử rằng các khẳng định sau được thỏa mãn: (a) f1 là không suy biến tuyến tính trên Rf1 , 0 0 0 (b) min{ν(f , N } = min{ν(f , N } = min{ν(f , N } (1 ≤ i ≤ q − N − 1), 1 ,Hi ) 2 ,Hi ) 3 ,Hi ) S S (c) f1 = f2 = f3 trên qi=q−N 3u=1 Zero(fu , Hi ).   Khi đó, nếu q > 3 N2+1 + N + 1 thì một trong các khẳng định sau xảy ra:   sao cho (i) Tồn tại N2+1 + 1 siêu phẳng Hi1 , ..., Hi N +1 [ 2 ]+1 (fu , Hi N +1 ) (fu , Hi1 ) (fu , Hi2 ) [ 2 ]+1 , = = ··· = (fv , Hi1 ) (fv , Hi2 ) (fv , Hi N +1 ) +1 [ 2 ] (ii) f1 ∧ f2 ∧ f3 ≡ 0. 10 1.3 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt Khi nghiên cứu bài toán về tính hữu hạn và phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình, ba đối tượng thường được quan tâm là số siêu phẳng tham gia, mức độ được ngắt của bội giao và các siêu phẳng tham gia là cố định hay di động. Sau khi tìm cách giảm được số siêu phẳng cố định trong nghiên cứu bài toán ở chương 3, ở chương 4 này chúng tôi sẽ chuyển sang nghiên cứu vấn đề trong trường hợp các siêu phẳng di động. Cũng trong bài báo năm 1999, H. Fujimoto [11] đã chứng minh được rằng: Định lý E. Giả sử H1 , . . . , H2N +2 là các siêu phẳng trong PN (C) ở vị trí tổng quát. Khi đó tồn tại một số nguyên l0 sao cho, với bất kỳ hai ánh xạ phân hình f và g từ Cn 0 0 , l0 ) (1 ≤ i ≤ 2N + 2) thì ánh xạ f × g vào , l0 ) = min(ν(g,H vào PN (C), nếu min(ν(f,H i) i) PN (C) × PN (C) là suy biến đại số. Ở đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN (C) × PN (C) xác định bởi (f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN (C) × PN (C), ∀z 6∈ If ∪ Ig . Ta nói rằng một ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh là suy biến đại số nếu ảnh của nó nằm trong một tập con đại số thực sự của đa tạp đó. Ngược lại nó sẽ được nói là không suy biến đại số. Khi đó các câu hỏi sau được đặt ra một cách tự nhiên: Có kết quả tương tự nào như kết quả trên của Fujimoto trong trường hợp siêu phẳng cố định được thay thế bằng siêu phẳng di động hay không? Mục đích của Chương 4 là đưa ra câu trả lời cho câu hỏi trên. Chúng tôi sẽ tổng quát và mở rộng kết quả của Fujimoto trong trường hợp siêu phẳng di động. Kết quả của Chương 4 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo [3] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết sau đây. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C). Ta gọi mỗi ánh xạ phân hình a từ 11 Cn vào PN (C)∗ là một siêu phẳng di động trong PN (C). Ta nói rằng a là di động chậm tương ứng với f nếu || T (r, a) = o(T (r, f )) khi r → ∞. Cho a1 , . . . , aq (q ≥ N + 1) là q siêu phẳng di động trong PN (C) với biểu diễn rút gọn ai = (ai0 : · · · : aiN ) (1 ≤ i ≤ q). Ta nói rằng a1 , . . . , aq ở vị trí tổng quát nếu det(aik l ) 6≡ 0 với mọi họ chỉ số 1 ≤ i0 < i1 < · · · < iN ≤ q, 0 ≤ l ≤ N. Ta kí hiệu M là trường tất cả các hàm phân hình trên Cn và R{ai }qi=1 là trường con nhỏ nhất của M chứa C và tất cả aik /ail with ail 6≡ 0. Kết quả của Fujimoto được chúng tôi mở rộng và tổng quát như sau: Định lý 4.2.1 Giả sử f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) và a1 , . . . , a2N +2 là các siêu phẳng di động chậm (tương ứng với f ) trong PN (C) ở vị trí tổng quát. Khi đó tồn tại số nguyên dương l0 (không phụ thuộc vào f và g) sao cho nếu 0 0 min(ν(f,a , l0 ) = min(ν(g,a , l0 ) (1 ≤ i ≤ 2N + 2) i) i) +2 thì ánh xạ f × g vào PN (C) × PN (C) là suy biến đại số trên R{ai }2N i=1 . Liên quan đến vấn đề hữu hạn và suy biến của ánh xạ phân hình với siêu phẳng di động, có nhiều kết quả đã được đưa ra bởi M. Ru [30] , Z. Tu [41], Thai-Quang [36], Dethloff-Tan [6] và các tác giả khác. Tuy nhiên, chúng tôi chú ý rằng trong các kết quả đó các tác giả đều giả thiết rằng f và g bằng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng. Đây là một điều kiện mạnh và khó kiểm tra. 1.4 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng di động không tính bội Tiếp tục hướng nghiên cứu trong trường hợp siêu phẳng di động, chúng tôi tìm hiểu về sự phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình trong chương 5. Lý thuyết về sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến vào đa tạp xạ ảnh phức với siêu phẳng cố định được đưa ra bởi W. Stoll [35]. Sau đó, M. Ru [30] đã tổng quát kết quả của W. Stoll cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức với siêu phẳng di động. 12 Gần đây, P. D. Thoan, P. V. Duc và S. D. Quang [8] [39] đã cải thiện các kết quả của W. Stoll và M. Ru. Mục đích của chúng tôi trong chương 5 này là tổng quát và cải thiện hơn nữa các kết quả của các tác giả trên. Chương 5 được viết dựa trên bài báo [4] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết sau đây. Cho fi : Cn → PN (C) (1 6 i 6 λ) là ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn fi := (fi0 : · · · : fiN ). Cho gj : Cn → PN (C)∗ (0 6 j 6 q − 1) là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát có biểu diễn rút gọn gj := (gj0 : · · · : gjN ). P Đặt (fi , gj ) := N s=0 fis gjs 6= 0 với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1 và giả sử rằng 0 0 0 min{1, ν(f } = · · · = min{1, ν(f }. Đặt Aj = Supp (ν(f ) và giả sử rằng 1 ,gj ),≤kj 1 ,gj ),≤kj λ ,gj ),≤kj S Stj mỗi Aj có phân tích bất khả quy Aj = s=1 Ajs . Đặt A = Ajs 6≡Aj0 s0 {Ajs ∩ Aj 0 s0 } với 1 ≤ s ≤ tj , 1 ≤ s0 ≤ tj 0 , 0 ≤ j, j 0 ≤ q − 1. Ta kí hiệu T [N + 1, q] là tập hợp của tất cả các đơn ánh từ {1, · · · , N + 1} đến S S {0, · · · , q−1}. Với z ∈ Cn \{ β∈T [N +1,q] {z|gβ(1) (z)∧· · ·∧gβ(N +1) (z) = 0}∪A∪ λi=1 I(fi )}, ta định nghĩa ρ(z) = ]{j|z ∈ Aj }. Khi đó ρ(z) ≤ N. Với bất kì số dương r > 0, ta định nghĩa ρ(r) = sup{ρ(z)||z| ≤ r}, và khi đó ρ(r) là một hàm giảm. Đặt d := lim ρ(r). r→+∞ Dễ thấy nếu với mỗi i 6= j đều có dim{Ai ∩ Aj } ≤ n − 2 thì d = 1. Năm 2001, M. Ru [30] đã chứng minh rằng: Định lý F. Giả sử f1 , · · · , fλ : C → PN (C) là đường cong chỉnh hình khác hằng và gj : C → PN (C)∗ (0 ≤ j ≤ q − 1) là siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát và T (r, gj ) = o(max1≤ig≤λ T (r, fi )) (0 ≤ j ≤ q − 1). Giả sử rằng (fi , gj ) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1 và Aj := (f1 , gj )−1 {0} = · · · = (fλ , gj )−1 {0} với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1. S Kí hiệu A = q−1 j=0 Aj . Cho l, 2 ≤ l ≤ λ, là một số nguyên sao cho với mỗi dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ, fi1 (z) ∧ · · · ∧ fil (z) = 0 với mỗi điểm z ∈ A. Nếu dN 2 (2N + 1)λ q> , thì f1 , · · · , fλ là phụ thuộc đại số trên C, tức là f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 λ−l+1 trên C. Năm 2010, Duc - Thoan [8] đã phát triển kết quả trên của M. Ru bằng cách giảm 13 dN (2N + 1)λ . λ−l+1 Trong trường hợp d = 1, vào năm 2013, Thoan - Duc - Quang [39] đã chứng minh giả thiết q > định lý về sự phụ thuộc đại số như sau. Định lý G. Giả sử f1 , . . . , fλ : Cn → PN (C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và gj : Cn → PN (C)∗ (0 ≤ j ≤ q − 1) là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát sao cho T (r, gj ) = o(max1≤i≤λ T (r, fi )) (0 ≤ j ≤ q − 1) và (fi , gj ) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 0 i) min{1, ν(f } = · · · = min{1, ν(f } với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1, 1 ,gj ) λ ,gj ) ii) dim{z|(f1 , gi )(z) = (f1 , gj )(z) = 0} ≤ n − 2 với mỗi 0 ≤ i < j ≤ q − 1, iii) tồn tại một số nguyên l, 2 ≤ l ≤ λ, sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < S −1 il ≤ λ, fi1 (z) ∧ · · · ∧ fil (z) = 0 với mỗi điểm z ∈ q−1 j=0 (f1 , gj ) {0}. Khi đó, nếu q > N (2N +1)λ−(N −1)(λ−1) λ−l+1 thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0. Trong chương 5 này, chúng tôi sẽ tổng quát và phát triển các kết quả trên bằng cách xem xét vấn đề bội chặn và giảm số siêu phẳng. Cụ thể, chúng tôi chứng minh các Định lý sau. Định lý 5.2.1 Giả sử f1 , . . . , fλ : Cn → PN (C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và N {gj }q−1 j=0 là các siêu phẳng di động của P (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj ) = o(max1≤i≤λ T (r, fi )) (0 ≤ j ≤ q − 1). Cho kj (0 ≤ j ≤ q − 1) là các số nguyên dương hay 0 +∞. Giả sử rằng (fi , gj ) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1 và Aj := Supp ν(f = 1 ,gj ),≤kj S 0 · · · = Supp ν(f với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1. Kí hiệu A = q−1 j=0 Aj . Cho l, 2 ≤ λ ,gj ),≤kj l ≤ λ, là một số nguyên sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ đều có fi1 (z) ∧ · · · ∧ fil (z) = 0 với mọi z ∈ A. Khi đó, nếu q−1 X 1 q dλ < − k N (N + 2) λ − l + 1 j=0 j thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0. Trong kết quả trên, nếu ta cho kj = +∞ (0 ≤ j ≤ q − 1) thì ta sẽ nhận lại kết luận dλN (N + 2) của Đức - Thoan với q > . Cũng như vậy, nếu thêm giả thiết d = 1 thì kết λ−l+1 14