Tài liệu Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con serre

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số M· sè: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng 6 1.1 Ph¹m trï con Serre 1.2 2 2 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §iÒu kiÖn (CI ) trªn ph¹m trï con Serre 6 S . . . . . . . . . 11 1.3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . . . . . . . . . . . 15 S -chÝnh quy vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng 19 D·y 2.1 D·y S -chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 HIi (M ) ∈ S víi mäi cÊp i < n . . . . . . . . 27 S -®é s©u vµ mét sè ®Æc tr­ng cña S -®é s©u . . . . . . . . . 35 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 §iÒu kiÖn ®Ó 2.3 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. Nh©n dÞp nµy t«i xin ch©n thµnh bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c« vµ gia ®×nh. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi GS. TSKH NguyÔn Tù C­êng, GS. TSKH Lª TuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi; TS. NguyÔn ThÞ Dung cïng toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n vµ Phßng §µo t¹o sau §¹i häc tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i tr­êng. T«i còng rÊt biÕt ¬n c¸n bé, gi¸o viªn tr­êng PTTH Phôc Hoµ, Së GD§T Cao B»ng, TØnh Cao B»ng n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh kÕ ho¹ch häc tËp cña m×nh. T«i còng xin bµy tá sù quý mÕn cña m×nh tíi gia ®×nh, bè mÑ, anh chÞ vµ chång t«i, c¸c b¹n t«i, nh÷ng ng­êi ®· lu«n ®éng viªn, khuyÕn khÝch t«i hoµn thµnh c«ng viÖc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 Lêi nãi ®Çu Trong suèt luËn v¨n nµy lu«n gi¶ thiÕt Noether, cã ®¬n vÞ. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n, I lµ i®ªan cña R. MÆc dï ®· cã nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng mét HIi (M ) cña R-m«®un M øng víi gi¸ I , nh­ng cho ®Õn nay ng­êi ta vÉn biÕt rÊt Ýt th«ng tin vÒ m«®un nµy. Ngay c¶ khi M lµ h÷u h¹n sinh, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng vÉn kh«ng nhÊt thiÕt lµ h÷u h¹n sinh vµ còng kh«ng nhÊt thiÕt lµ Artin. ThËm chÝ ng­êi ta cßn kh«ng biÕt khi nµo th× m«®un nµy triÖt tiªu, trõ mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt ®­îc chØ ra. MÆt kh¸c, c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh­ tÝnh triÖt tiªu, tÝnh h÷u h¹n sinh, tÝnh Artin, tÝnh chÊt h÷u h¹n cña gi¸ l¹i ®­îc quan t©m ®Æc biÖt v× nh÷ng øng dông cña nã trong nhiÒu lÜnh vùc cña to¸n häc nh­ §¹i sè Giao ho¸n, H×nh häc §¹i sè, §¹i sè Tæ hîp. Ch¼ng h¹n, chiÒu vµ ®é s©u cña mét m«®un h÷u h¹n sinh quan träng cña M lµ nh÷ng bÊt biÕn M ®Òu ®­îc ®Æc tr­ng qua tÝnh triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh­ sau: §é s©u depth(I, M ) cña M trong i®ªan I lµ cÊp i bÐ nhÊt sao cho HIi (M ) = 0; Khi (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng th× chiÒu dim M cña M lµ cÊp i lín nhÊt ®Ó Hmi (M ) 6= 0. V× lÝ do ®ã, ng­êi ta ®Æt ra nh÷ng c©u hái: Khi nµo th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu triÖt tiªu? M«®un nµy h÷u h¹n sinh ë nh÷ng cÊp nµo? T×m ®iÒu kiÖn ®Ó nã lµ m«®un Artin. Khi nµo nã cã gi¸ h÷u h¹n?... C¸c c©u hái nµy ®· ®­îc tr¶ lêi bé phËn bëi nhiÒu nhµ to¸n häc cho tr­êng hîp nhÊt ®Ó M lµ h÷u h¹n sinh. G. Faltings 1978 ®· chØ ra r»ng cÊp r bÐ HIr (M ) kh«ng h÷u h¹n sinh lµ min{depth(Mp ) + ht((I + p)/p) : p 6⊇ I}. L. Melkersson 1995 tr×nh bµy mét kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ cña Faltings, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4 trong ®ã tÝnh h÷u h¹n sinh ®­îc thay b»ng tÝnh Artin. ¤ng chØ ra r»ng cÊp n bÐ nhÊt ®Ó HIn (M ) kh«ng Artin lµ sè depth(IRp , Mp ) bÐ nhÊt víi .. p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}. Sau ®ã Lu - Tang 2002 ®· chøng minh cÊp n nµy chÝnh lµ ®é s©u läc f-depth(I, M ) cña M trong I . TiÕp theo, Lª Thanh Nhµn 2005 ®· ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®é s©u suy réng cña M trong I , kÝ hiÖu lµ gdepth(I, M ), vµ chØ ra r»ng gdepth(I, M ) chÝnh lµ cÊp n bÐ nhÊt ®Ó Supp HIn (M ) v« h¹n (xem Ch­¬ng II)... N¨m 2008, b»ng viÖc sö dông kh¸i niÖm ``ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un", M. Aghapournahr vµ L. Melkersson ®· nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Chó ý r»ng líp gåm mét m«®un 0, líp c¸c m«®un h÷u h¹n sinh, líp c¸c m«®un Artin, líp c¸c m«®un cã gi¸ h÷u h¹n,... ®Òu t¹o thµnh nh÷ng ph¹m trï con Serre. V× thÕ c¸c c©u hái nªu ë phÇn trªn cã thÓ quy vÒ mét c©u hái tæng qu¸t: Víi S lµ mét ph¹m trï con Serre cho tr­íc, khi nµo HIi (M ) ∈ S? KÕt qu¶ mµ hä ®¹t ®­îc trong bµi b¸o nµy lµ ®Æc tr­ng cÊp n bÐ nhÊt ®Ó HIn (M ) ∈ / S víi S lµ mét ph¹m trï con Serre vµ M lµ R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n sinh), ®ång thêi giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm S -d·y, S -®é s©u vµ ®Æc tr­ng S -®é s©u nh­ mét sù tæng qu¸t hãa cña c¸c ®Æc tr­ng ®· biÕt vÒ ®é s©u, ®é s©u läc, ®é s©u suy réng ... N¨m 2008, b»ng viÖc sö dông kh¸i niÖm ``ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un", M. Aghapournahr vµ L. Melkersson ®· nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Chó ý r»ng líp gåm mét m«®un 0, líp c¸c m«®un h÷u h¹n sinh, líp c¸c m«®un Artin, líp c¸c m«®un cã gi¸ h÷u h¹n,... ®Òu t¹o thµnh nh÷ng ph¹m trï con Serre. V× thÕ c¸c c©u hái nªu ë phÇn trªn cã thÓ quy vÒ mét c©u hái tæng qu¸t: Víi nµo S lµ mét ph¹m trï con Serre cho tr­íc, khi HIi (M ) ∈ S? KÕt qu¶ mµ hä ®¹t ®­îc trong bµi b¸o nµy lµ ®Æc tr­ng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 5 cÊp / S víi S lµ mét ph¹m trï con Serre vµ M lµ n bÐ nhÊt ®Ó HIn (M ) ∈ R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n sinh), ®ång thêi giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm S -d·y, S -®é s©u vµ ®Æc tr­ng S -®é s©u nh­ mét sù tæng qu¸t hãa cña c¸c ®Æc tr­ng ®· biÕt vÒ ®é s©u, ®é s©u läc, ®é s©u suy réng ... Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ trªn cña Aghapournahr - Melkersson trong bµi b¸o Local cohomology modules and Serre subcategories, Journal of Algebra (2008). LuËn v¨n chia lµm 2 ch­¬ng. Ch­¬ng I nãi vÒ ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Ch­¬ng II tr×nh bµy vÒ S -d·y, S -®é s©u vµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh»m tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái khi nµo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên HIi (M ) ∈ S?. http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 Ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Trong suèt luËn v¨n nµy, cho R lµ mét vµnh giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un. 1.1 Ph¹m trï con Serre 1.1.1 §Þnh nghÜa. Cho S S lµ líp kh¸c rçng nh÷ng R-m«®un. Ta gäi S lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un nÕu víi mçi d·y khíp c¸c R-m«®un 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 ta cã M ∈ S khi vµ chØ khi M 0 , M 00 ∈ S. 1.1.2 Bæ ®Ò. Gi¶ sö m«®un. Khi ®ã S ExtiR (N, M ) ∈ S Chøng minh. Cho S lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R- ®ãng kÝn víi phÐp lÊy m«®un con, m«®un th­¬ng vµ víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh N vµ mäi M ∈ S. M ∈ S vµ N lµ h÷u h¹n sinh. Ta chØ cÇn chøng minh ExtiR (N, M ) ∈ S . Do N h÷u h¹n sinh vµ R lµ vµnh Noether nªn N cã mét gi¶i tù do . . . −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0, 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 7 trong ®ã mçi Fi lµ m«®un tù do h÷u h¹n sinh. T¸c ®éng hµm tö ph¶n biÕn Hom(−, M ) vµo gi¶i tù do cña N ë trªn ta ®­îc ®èi phøc f0 f1 f2 0 −→ Hom(F0 , M ) −→ Hom(F1 , M ) −→ Hom(F2 , M ) −→ . . . . Theo ®Þnh nghÜa cña m«®un më réng ta cã ExtiR (N, M ) = Ker fi / Im fi−1 , ∀i = 0, 1, 2, . . . Víi mçi i, v× Fi lµ tù do, h÷u h¹n sinh nªn Fi ∼ = Rni . Do ®ã
n Hom(Fi , M ) = Hom(Rni , M ) = Hom(R, M ) i = M ni . B»ng quy n¹p theo ta suy ra ni , tõ d·y khíp 0 −→ M ni −1 −→ M ni −→ M −→ 0 M ni ∈ S. Do ®ã Hom(Fi , M ) ∈ S. Suy ra Ker fi ∈ S. Suy ra ExtiR (N, M ) ∈ S. Víi mçi R-m«®un M , ta gäi gi¸ cña M , kÝ hiÖu bëi Supp M , lµ tËp Supp M = {p ∈ Spec R | Mp 6= 0}. 1.1.3 VÝ dô. C¸c líp sau lµ nh÷ng ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. i) Líp gåm mét m«®un ii) Líp c¸c 0. R-m«®un Artin. iii) Líp c¸c R-m«®un Noether. iv) Líp c¸c R-m«®un M cã gi¸ lµ tËp h÷u h¹n. v) Líp c¸c Chøng minh. R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n. (i). V× m«®un con vµ m«®un th­¬ng cña 0 lµ 0 nªn kh¼ng ®Þnh (i) lµ hiÓn nhiªn. (ii). Gi¶ sö M lµ Artin vµ N lµ m«®un con cña M. Khi ®ã mçi d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña N còng lµ d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M , do ®ã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 8 nã ph¶i dõng. V× thÕ N lµ Artin. V× mçi d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M/N t­¬ng øng víi mét d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M ch÷a N , v× thÕ d·y nµy ph¶i dõng. Do ®ã cña M/N lµ Artin. Ng­îc l¹i, cho N lµ m«®un con M sao cho N vµ M/N lµ Artin. LÊy M0 ⊇ M1 ⊇ . . . lµ mét d·y gi¶m nh÷ng m«®un con cña M. Khi ®ã ta cã d·y gi¶m M0 ∩ N c¸c m«®un con cña ⊇ M1 ∩ N ⊇ . . . N vµ d·y gi¶m (M0 + N )/N ⊇ (M1 + N )/N ⊇ . . . c¸c m«®un con cña M/N. V× N vµ M/N lµ Artin nªn tån t¹i sè tù nhiªn k sao cho Mn ∩ N = Mk ∩ N vµ (Mn + N )/N = (Mk + N )/N víi mäi n ≥ k. Cho n ≥ k. Khi ®ã Mk ⊇ Mn . LÊy m ∈ Mk . Khi ®ã m+N ∈ (Mk +N )/N = (Mn +N )/N. Suy ra m+N = x+a+N = x+N víi x ∈ Mn , a ∈ N. Do ®ã m−x ∈ N ∩Mk = N ∩Mn . Suy ra m−x ∈ Mn . Do ®ã m ∈ Mn . Suy ra Mk = Mn víi mäi n ≥ k. V× thÕ M lµ Artin. VËy líp c¸c m«®un Artin lµ mét ph¹m trï con Serre. (iii) Chøng minh t­¬ng tù nh­ (ii). (iv). Gi¶ sö M lµ mét R-m«®un vµ N lµ m«®un con cña M. DÔ dµng kiÓm tra ®­îc Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ). V× thÕ nÕu M cã gi¸ h÷u h¹n th× Supp N vµ Supp(M/N ) lµ h÷u h¹n, vµ ng­îc l¹i, nÕu Supp N vµ Supp(M/N ) lµ h÷u h¹n th× Supp M lµ tËp h÷u h¹n. VËy líp c¸c m«®un cã gi¸ h÷u h¹n lµ mét ph¹m trï con Serre. (v). NÕu M cã ®é dµi h÷u h¹n th× mäi m«®un con vµ mäi m«®un th­¬ng cña M còng cã ®é dµi h÷u h¹n. Ng­îc l¹i, nÕu N lµ m«®un con cña M sao cho N vµ M/N cã ®é dµi h÷u h¹n th× `(M ) = `(N ) + `(M/N ) < ∞. V× thÕ líp c¸c R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n lµ mét ph¹m trï con Serre. Nh¾c l¹i r»ng mét d·y i®ªan nguyªn tè p0 cho pi 6= pi+1 víi mäi i ®­îc gäi lµ ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn cña R sao mét d·y i®ªan nguyªn tè ®é dµi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n. 9 Ta gäi chiÒu Krull cña R, kÝ hiÖu lµ dim R, lµ cËn trªn cña c¸c ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè cña R, tøc lµ dim R = sup{n | tån t¹i mét d·y i®ªan nguyªn tè cña R ®é dµi n}. Víi mçi i®ªan I cña R, ta kÝ hiÖu Var(I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I. Víi mçi R-m«®un M , ta ®Æt dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M }. Ta gäi dim Supp M lµ chiÒu cña gi¸ cña M . 1.1.4 Chó ý. lµ a) Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. ChiÒu Krull cña M , kÝ hiÖu dim M , lµ chiÒu Krull cña vµnh R/ Ann M. V× M lµ h÷u h¹n sinh nªn Supp M = Var(Ann M ). Do ®ã ta cã dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M } = dim(R/ Ann M ). V× thÕ chiÒu cña gi¸ cña nµy ta viÕt b) Khi M chÝnh lµ chiÒu Krull cña M . Trong tr­êng hîp dim M thay cho dim Supp M. M 6= 0 lµ R-m«®un Artin th× Supp M lµ mét tËp h÷u h¹n gåm nh÷ng i®ªan tèi ®¹i cña R. V× thÕ dim Supp M = 0. PhÇn tiÕp theo lµ mét sè vÝ dô kh¸c vÒ ph¹m trï con Serre. 1.1.5 VÝ dô. Víi mçi sè tù nhiªn s, líp c¸c R-m«®un M sao cho dim Supp M s lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. Chøng minh. Cho M lµ R-m«®un vµ N lµ m«®un con cña M . V× Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) nªn dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N )}. §iÒu nµy chøng tá r»ng dim Supp M vµ 6 s nÕu vµ chØ nÕu dim Supp N 6 s dim Supp(M/N ) 6 s. VËy líp c¸c m«®un M tháa m·n tÝnh chÊt dim Supp M 6 s lµm thµnh mét ph¹m trï con Serre. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 6 10 KÝ hiÖu Max R lµ tËp c¸c i®ªan tèi ®¹i cña R. Nh­ ®· nh¾c ë trªn, nÕu M lµ Artin th× Supp M ⊆ Max R vµ Supp M lµ tËp h÷u h¹n. Tuy nhiªn ®iÒu ng­îc l¹i lµ kh«ng ®óng, tøc lµ cã nh÷ng m«®un M víi Supp M vµ ⊆ Max R Supp M lµ tËp h÷u h¹n nh­ng M kh«ng lµ m«®un Artin. Ch¼ng h¹n, kh«ng gian vÐct¬ v« h¹n chiÒu xÐt nh­ mét m«®un trªn mét tr­êng kh«ng lµ Artin nh­ng gi¸ cña nã gåm ®óng mét i®ªan tèi ®¹i. Sö dông VÝ dô 1.1.5 trong tr­êng hîp 1.1.6 VÝ dô. Líp c¸c s = 0 ta ®­îc ph¹m trï con Serre sau ®©y. R-m«®un M víi Supp M ⊆ Max R lµ mét ph¹m trï con Serre. Ph¹m trï con Serre nµy chøa tÊt c¶ c¸c gäi nã lµ ph¹m trï c¸c R-m«®un nöa Artin (semiartinian modules). Nh¾c l¹i r»ng mét i®ªan nguyªn tè tè liªn kÕt cña R-m«®un Artin, ta p cña R ®­îc gäi lµ i®ªan nguyªn R-m«®un M nÕu tån t¹i m ∈ M sao cho p = AnnR m = {r ∈ R | rm = 0}. TËp c¸c idean nguyªn tè liªn kÕt cña ý r»ng M ®­îc kÝ hiÖu lµ Ass M . Chó Ass M ⊆ Supp M . H¬n n÷a, v× R lµ vµnh Noether nªn ta cã min Ass M = min Supp M. Cho Z lµ mét tËp con cña phæ nguyªn tè Spec R cña R. Ta nãi Z lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa nguyªn tè p ∈ Z kÐo theo q ∈ Z víi mäi cÆp i®ªan p, q ∈ Spec R sao cho p ⊆ q. 1.1.7 VÝ dô. líp c¸c nÕu Gi¶ sö Z ⊆ Spec R lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa. Khi ®ã R-m«®un M víi Ass M ⊆ Z lµ mét ph¹m trï con Serre. Chøng minh. Cho M lµ R-m«®un vµ N lµ m«®un con cña M. V× R lµ vµnh Noether nªn Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪Ass(M/N ). V× thÕ, nÕu Ass N ⊆ Z vµ Ass(M/N ) ⊆ Z th× Ass M ⊆ Z. Ng­îc l¹i, cho Ass M ⊆ Z. Khi ®ã Ass N ⊆ Z. Ta cÇn chøng minh Ass(M/N ) ⊆ Z. V× Ass M ⊆ Z vµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 11 min Ass M = min Supp M nªn min Supp M ⊆ Z. Do Z ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa nªn ta cã Supp M ⊆ Z. V× Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) nªn Supp(M/N ) ⊆ Z. Suy ra Ass(M/N ) ⊆ Supp(M/N ) ⊆ Z. Víi mçi m«®un vËy, nÕu M , tËp Supp M lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa. ThËt p, q ∈ Spec R, p ⊆ q vµ p ∈ Supp M th× 0 6= Mp ∼ = (Mq )pRq . V× thÕ Mq 6= 0, tøc lµ q ∈ Supp M. Do ®ã theo VÝ dô 1.1.7 ta cã ph¹m trï con Serre sau ®©y. 1.1.8 VÝ dô. NÕu Z ⊆ Spec R lµ ®ãng víi phÐp ®Æc biÖt hãa th× líp c¸c R-m«®un M víi Supp M ⊆ Z lµ mét ph¹m trï con Serre. 1.2 Cho §iÒu kiÖn (CI ) trªn ph¹m trï con Serre S I lµ mét i®ªan cè ®Þnh cña R vµ cho M lµ R-m«®un. Chóng ta sÏ xÐt mét ®iÒu kiÖn h÷u Ých sau ®©y trªn c¸c ph¹m trï m«®un con Serre cña ph¹m trï c¸c ΓI (M ) = [ R-m«®un. Nh¾c l¹i r»ng víi mçi R-m«®un M ta ®Þnh nghÜa (0 :M I n ), trong ®ã 0 :M I n = {m ∈ M | I n m = 0}. n≥0 1.2.1 §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng Cho S lµ ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. S tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ) nÕu M ∈ S víi mäi R-m«®un M tháa m·n c¸c tÝnh chÊt M = ΓI (M ) vµ 0 :M I ∈ S . Tr­íc khi ®­a ra mét tiªu chuÈn ®Ó mét ph¹m trï con Serre tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (CI ), chóng ta cÇn nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®Õn m«®un néi x¹. Mét R-m«®un E ®­îc gäi lµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên m«®un néi x¹ nÕu víi mçi http://www.Lrc-tnu.edu.vn 12 ®¬n cÊu f : N −→ M vµ mçi ®ång cÊu g : N −→ E , tån t¹i mét ®ång cÊu h : M −→ E sao cho g = hf. Cho E lµ mét R-m«®un vµ M lµ m«®un con cña E. Ta nãi E lµ mét mäi m«®un con më réng cèt yÕu cña M nÕu M ∩ L 6= 0 víi L 6= 0 cña E. Ta nãi E lµ bao néi x¹ cña M nÕu E lµ mét më réng cèt yÕu cña M vµ E lµ m«®un néi x¹. Chó ý r»ng mçi R-m«®un M ®Òu cã bao néi x¹ vµ bao néi x¹ cña M lµ x¸c ®Þnh duy nhÊt sai kh¸c mét ®¼ng cÊu. V× thÕ ta kÝ hiÖu bao néi x¹ cña 1.2.2 Bæ ®Ò. Cho NÕu S S lµ ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c lµ ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹ th× Chøng minh. Gi¶ sö M lµ ER (M ) hay E(M ). S R-m«®un. tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). M lµ mét R-m«®un cã tÝnh chÊt M = ΓI (M ) vµ 0 :M I ∈ S . Ta cÇn chøng minh M ∈ S. V× M = ΓI (M ) nªn bao néi x¹ E(M ) cña M chÝnh lµ bao néi x¹ E(0 :M I) cña 0 :M I. V× 0 :M I ∈ S vµ S lµ ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹ nªn E(0 :M I) ∈ S . Suy ra E(M ) ∈ S. Chó ý r»ng M ⊆ E(M ). H¬n n÷a, S lµ ph¹m trï Serre. Do ®ã theo Bæ ®Ò 1.1.2 ta cã M ∈ S. Sau ®©y lµ mét tiªu chuÈn ®Ó mét ph¹m trï con Serre tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). 1.2.3 Bæ ®Ò. Cho S lµ ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un. Khi ®ã S M tháa m·n c¸c tÝnh chÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn ®ã trong (CI ) nÕu vµ chØ nÕu M ∈S M = ΓI (M ) vµ 0 :M x ∈ S víi mäi R-m«®un víi phÇn tö x nµo I. Chøng minh. cã tÝnh chÊt Gi¶ sö S tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). Cho M lµ mét R-m«®un M = ΓI (M ) vµ 0 :M x ∈ S víi x ∈ I. V× 0 :M I ⊆ 0 :M x vµ S lµ ph¹m trï con Serre nªn theo Bæ ®Ò 1.1.2 ta cã 0 :M I ∈ S. Do S tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ) nªn M ∈ S. Ng­îc l¹i, cho M lµ R- m«®un sao cho M = ΓI (M ) vµ 0 :M I ∈ S. ViÕt I = (x1 , . . . , xn ). §Æt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 13 M0 = M vµ Mi = 0 :M (x1 , . . . , xi )R víi i = 1, . . . , n. Ta chøng minh b»ng quy n¹p lïi theo thiÕt i r»ng Mi ∈ S víi mäi i = n, . . . , 1, 0. Theo gi¶ Mn = 0 :M I ∈ S, kÕt qu¶ ®óng cho i = n. Víi i < n, gi¶ thiÕt quy n¹p r»ng Mi+1 ∈ S. V× Mi+1 = 0 :Mi xi+1 ∈ S vµ xi+1 ∈ I nªn theo gi¶ thiÕt ta suy ra Mi ∈ S. VËy Mi ∈ S víi mäi i. Chän i = 0 ta cã M ∈ S. PhÇn cuèi cña tiÕt nµy, chóng ta xem xÐt xem trong c¸c ph¹m trï con Serre ë VÝ dô 1.1.3, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, ph¹m trï con nµo tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). 1.2.4 VÝ dô. C¸c ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c tháa m·n ®iÒu kiÖn R-m«®un sau ®©y (CI ). i) Ph¹m trï con Serre gåm mét m«®un ii) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c 0. R-m«®un Artin. iii) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un M cã gi¸ Supp M lµ tËp h÷u h¹n. iv) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c sao cho R-m«®un nöa Artin (c¸c R-m«®un M Supp M ⊆ Max R). v) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c trong ®ã R-m«®un M víi dim Supp M 6 s, s ≥ 0 lµ mét sè nguyªn cho tr­íc. vi) Ph¹m trï con Serre gåm c¸c R-m«®un M víi Ass M ⊆ Z, trong ®ã Z ⊆ Spec R lµ mét tËp ®ãng d­íi phÐp ®Æc biÖt ho¸. Chøng minh. (i) V× bao néi x¹ cña m«®un 0 lµ 0 nªn ph¹m trï con nµy ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹. V× thÕ theo Bæ ®Ò 1.2.2 ta cã kÕt qu¶. (ii) Theo Bæ ®Ò 1.2.2, ta chØ cÇn chøng minh bao néi x¹ cña mçi m«®un Artin lµ Artin. Gi¶ sö M lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã Ass M ⊆ Max R vµ Ass M lµ tËp h÷u h¹n. ViÕt Ass M = {m1 , . . . , mt }. KÝ hiÖu E(M ) lµ bao néi x¹ cña M vµ Ei = E(R/mi ) lµ bao néi x¹ cña tr­êng thÆng d­ R/mi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 14 Khi ®ã tån t¹i c¸c sè tù nhiªn n1 , . . . , nt sao cho ta cã ph©n tÝch tæng trùc tiÕp E(M ) = E1n1 ⊕ E2n2 ⊕ . . . ⊕ Etnt , trong ®ã Eini ®­îc hiÓu lµ tæng trùc tiÕp cña ni m«®un, mçi m«®un ®Òu ®¼ng cÊu víi Ei . Chó ý r»ng mçi Ei ®Òu lµ m«®un Artin. Do ®ã E(M ) lµ Artin. V× thÕ ph¹m trï c¸c m«®un Artin lµ mét ph¹m trï con Serre tháa m·n ®iÒu kiÖn (CI ). (iii), (iv), (v), (vi). Gi¶ sö néi x¹ cña M lµ mét R-m«®un. KÝ hiÖu E(M ) lµ bao M . Khi ®ã theo [SV] ta cã M M ∼ Ei (R/p), E(M ) = p∈Ass M i∈Λp trong ®ã Λp lµ nh÷ng tËp hîp (cã thÓ lµ v« h¹n hoÆc h÷u h¹n) vµ Ei (R/p) lµ bao néi x¹ cña R/p. V× thÕ ta cã Ass M = Ass E(M ). V× R lµ vµnh Noether nªn min Ass M = min Supp M vµ min Ass E(M ) = min Supp E(M ). Do ®ã Supp M = Supp E(M ). V× thÕ M lµ nöa Artin (t­¬ng øng Supp M lµ tËp h÷u h¹n, dim Supp M 6 s, Ass M ⊆ Z ) nÕu vµ chØ nÕu E(M ) nöa Artin (t­¬ng øng Supp E(M ) lµ tËp h÷u h¹n, dim Supp E(M ) 6 s, Ass E(M ) ⊆ Z ). Do ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh (iii), (iv), (v), (vi) ®­îc suy ra tõ Bæ ®Ò 1.2.2. 1.2.5 VÝ dô. NÕu dim R > 0 th× tån t¹i i®ªan I cña R sao cho ph¹m trï con Serre c¸c R-m«®un Noether kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (CI ). ThËt vËy, chän m lµ i®ªan tèi ®¹i cña R sao cho ht m > 0. Chon E = E(R/m) lµ bao néi x¹ cña ®ã R/m. V× R lµ vµnh Noether nªn E lµ R-m«®un Artin. Do E lµ m-xo¾n, tøc lµ E = Γm (E). V× E lµ Artin vµ m lµ cùc ®¹i nªn 0 :E m cã ®é dµi h÷u h¹n, v× thÕ nã lµ Noether. Do ht m > 0 nªn E kh«ng lµ m«®un Noether. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 15 1.2.6 VÝ dô. NÕu dim R > 0 th× tån t¹i i®ªan I cña cña mét vµnh Noether R sao cho ph¹m trï con Serre c¸c R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (CI ). ThËt vËy, chän m lµ i®ªan tèi ®¹i cña R sao cho ht m > 0. Khi ®ã m«®un E = E(R/m) lµ m«®un Artin tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt E = Γm (E) vµ 0 :E m cã ®é dµi h÷u h¹n. Tuy nhiªn E cã ®é dµi v« h¹n. Chó ý r»ng ph¹m trï Serre c¸c vµ ph¹m trï con Serre c¸c R-m«®un Noether xÐt trong VÝ dô 1.2.5 R-m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n xÐt trong VÝ dô 1.2.6 ®Òu kh«ng ®ãng víi phÐp lÊy bao néi x¹. Cô thÓ lµ víi cùc ®¹i cña m lµ i®ªan R sao cho ht m > 0 th× R/m lµ m«®un cã ®é dµi h÷u h¹n vµ tÊt nhiªn còng lµ m«®un Noether, nh­ng bao néi x¹ cña nã kh«ng lµ m«®un Noether vµ v× thÕ nã cã ®é dµi v« h¹n. 1.3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Trong suèt tiÕt nµy lu«n gi¶ thiÕt lµ c¸c R-m«®un. 1.3.1 §Þnh nghÜa. nghÜa R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ M, N Cho S ΓI (N ) = I lµ i®ªan cña R. Víi mçi R-m«®un N ta ®Þnh (0 :N I n ). NÕu f : N −→ N 0 lµ ®ång cÊu c¸c R- n≥0 m«®un th× ta cã ®ång cÊu Khi ®ã f ∗ : ΓI (N ) −→ ΓI (N 0 ) cho bëi f ∗ (x) = f (x). ΓI (−) lµ hµm tö khíp tr¸i, hiÖp biÕn tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c R-m«®un. ΓI (−) ®­îc gäi lµ hµm tö I -xo¾n. Mét gi¶i néi x¹ cña N lµ mét d·y khíp 0 −→ N −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . trong ®ã mçi Ei lµ m«®un néi x¹. Chó ý r»ng víi mçi m«®un ®Òu nhóng ®­îc vµo mét m«®un néi x¹, v× thÕ, mçi m«®un ®Òu cã gi¶i néi x¹. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 16 1.3.2 §Þnh nghÜa. suÊt ph¶i thø Cho N lµ R-m«®un vµ I lµ i®ªan cña R. M«®un dÉn n cña hµm tö I -xo¾n ΓI (−) øng víi N ®­îc gäi lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña N víi gi¸ I , kÝ hiÖu lµ HIn (N ). Cô thÓ, nÕu u u 0 1 0 −→ N −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . lµ gi¶i néi x¹ cña N, t¸c ®éng hµm tö ΓI (−) ta cã ®èi phøc u∗ u∗ 0 1 0 −→ Γ(E0 ) −→ Γ(E1 ) −→ Γ(E2 ) −→ . . . Khi ®ã HIn (N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña ®èi phøc trªn, m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i néi x¹ cña Cho nÕu N. I lµ i®ªan cña R. Nh¾c l¹i r»ng R-m«®un N ®­îc gäi lµ I -xo¾n N = ΓI (N ). Sau ®©y lµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. 1.3.3 MÖnh ®Ò. Cho (i) lµ mét R-m«®un. C¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng. HI0 (N ) ∼ = ΓI (N ). (ii) NÕu (iii) NÕu (iv) mäi N N N lµ néi x¹ th× lµ HIi (N ) = 0 víi mäi i ≥ 1. I -xo¾n th× HIi (N ) = 0 víi mäi i ≥ 1. HIi (M ) lµ m«®un I -xo¾n víi mäi i. §Æc biÖt, HIj (HIi (M )) = 0 víi j > 0. 1.3.4 MÖnh ®Ò. Cho ng¾n c¸c R-m«®un. 0 −→ N 0 −→ N −→ N 00 −→ 0 Khi ®ã tån t¹i víi mçi sè tù nhiªn n lµ d·y khíp mét ®ång cÊu δn : HIn (N 00 ) −→ HIn+1 (N 0 ) sao cho ta cã d·y khíp dµi δ 0 0 −→ ΓI (N 0 ) −→ ΓI (N ) −→ ΓI (N 00 ) −→ HI1 (N 0 ) δ 1 −→ HI1 (N ) −→ HI1 (N 00 ) −→ HI2 (N 0 ) −→ . . . C¸c ®ång cÊu δn trong MÖnh ®Ò 1.3.4 ®­îc gäi lµ c¸c ®ång cÊu nèi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 17 1.3.5 MÖnh ®Ò. §Æt ta cã M = M/ΓI (M ). Khi ®ã víi mäi sè tù nhiªn n≥1 HIn (M ) ∼ = HIn (M ). TÝnh chÊt trªn liªn quan ®Õn kh¸i niÖm phÇn tö chÝnh quy. 1.3.6 §Þnh nghÜa. quy tö nÕu Mét phÇn tö 0 6= a ∈ R ®­îc gäi lµ tö chÝnh quy cña mét M -chÝnh am = 0 kÐo theo m = 0 víi mäi m ∈ M. Mét d·y c¸c phÇn a1 , . . . , an cña R ®­îc gäi lµ M -d·y phÇn tö phÇn tö chÝnh quy nghÌo nÕu ai lµ phÇn M/(a1 , . . . , ai−1 )M víi mäi i = 1, . . . , n. Mét d·y c¸c a1 , . . . , an ∈ R ®­îc gäi lµ M -d·y chÝnh quy nÕu a1 , . . . , an lµ M -d·y chÝnh quy nghÌo vµ M/(a1 , . . . , an )M 6= 0. ViÖc sö dông MÖnh ®Ò 1.3.5 ®Ó chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng lµ mét kÜ thuËt quen thuéc. Cô thÓ, ®Ó chØ ra mét tÝnh chÊt trªn m«®un phÇn tö chÝnh quy trong HIi (M ) khi M lµ h÷u h¹n sinh vµ M kh«ng cã I , ng­êi ta ¸p dông mÖnh ®Ò nµy ®Ó chuyÓn vÒ tÝnh to¸n trªn m«®un HIi (M ). Khi M kh«ng lµ I -xo¾n th× M lu«n cã phÇn tö chÝnh quy Cho x ∈ I. I lµ mét i®ªan cña R. Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã mçi d·y chÝnh quy cña M trong I cã thÓ më réng thµnh mét d·y chÝnh quy tèi ®¹i, vµ c¸c d·y chÝnh quy tèi ®¹i cña M trong I cã chung ®é dµi. §é dµi chung nµy ®­îc gäi lµ ®é s©u cña M trong I vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ depth(I, M ). §é s©u cña c¸c m«®un h÷u h¹n sinh cã thÓ ®­îc ®Æc tr­ng qua tÝnh kh«ng triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh­ sau: 1.3.7 MÖnh ®Ò. NÕu M lµ h÷u h¹n sinh vµ I lµ i®ªan cña R th× depth(I, M ) = inf{i : HIi (M ) 6= 0}. KÕt qu¶ sau ®©y nãi r»ng chiÒu cña mét m«®un cã liªn quan trùc tiÕp tíi tÝnh triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 18 1.3.8 MÖnh ®Ò. Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã HIi (M ) = 0 i > dim Supp M . H¬n n÷a, nÕu M lµ h÷u h¹n sinh vµ ph­¬ng víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt m th× víi mäi (R, m) lµ vµnh ®Þa dim M = sup{i : Hmi (M ) 6= 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 2 D·y S -chÝnh quy vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Trong suèt ch­¬ng nµy lu«n gi¶ thiÕt R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ M, N lµ c¸c R-m«®un. 2.1 D·y S -chÝnh quy Trong tiÕt nµy chóng ta sÏ tr×nh bµy kh¸i niÖm d·y S -chÝnh quy vµ c¸c tÝnh chÊt cña d·y nµy. Kh¸i niÖm d·y S -chÝnh quy thùc chÊt lµ mét sù tæng qu¸t ho¸ cña c¸c kh¸i niÖm ®· biÕt: Kh¸i niÖm d·y chÝnh quy (xem §Þnh nghÜa 1.3.6), kh¸i niÖm d·y läc chÝnh quy ®Þnh nghÜa bëi N.T. C­êng, P. Schenzel, N. V. Trung [CST], kh¸i niÖm d·y chÝnh quy suy réng ®Þnh nghÜa bëi Lª Thanh Nhµn [Nh], kh¸i niÖm d·y chÝnh quy theo chiÒu >s ®Þnh nghÜa bëi Lª Thanh Nhµn vµ M. Brodmann [BN]. 2.1.1 §Þnh nghÜa. Cho S lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c R-m«®un vµ M lµ mét R-m«®un. Mét phÇn tö x ∈ R ®­îc gäi lµ phÇn tö S -chÝnh tö cña quy trªn M nÕu 0 :M x ∈ S. Mét d·y x1 , . . . , xn c¸c phÇn R ®­îc gäi lµ mét S -d·y chÝnh quy trªn M nÕu xj lµ S -d·y trªn M/(x1 , . . . , xj−1 )M víi mäi j = 1, . . . , n. Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ së cña S -d·y. 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn