Tài liệu Mođun chéo aben và phạm trù picard chặt chẽ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MÔĐUN CHÉO ABEN VÀ PHẠM TRÙ PICARD CHẶT CHẼ Mã số: CS2014-37 Chủ nhiệm đề tài: TS. Chế Thị Kim Phụng Thành viên tham gia: ThS. Nguyễn Thị Vân Khánh TP. Hồ Chí Minh, 5/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MÔĐUN CHÉO ABEN VÀ PHẠM TRÙ PICARD CHẶT CHẼ Mã số: CS2014-37 Xác nhận của Chủ nhiệm đề tài Chủ tịch Hội đồng PGS. TS. Tôn Thất Trí TS. Chế Thị Kim Phụng TP. Hồ Chí Minh, 5/2015 i DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA THỰC HIỆN STT Họ và tên 1 TS. Chế Thị Kim Phụng 2 ThS. Nguyễn Thị Vân Khánh Đơn vị công tác Ghi chú Khoa Toán - Ứng dụng Chủ nhiệm Khoa Toán - Ứng dụng Thành viên ii MỤC LỤC Thông tin kết quả nghiên cứu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Đối đồng điều aben (đối xứng) của các nhóm aben . . . . . . . . . 9 1.3. Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard 9 . . . . . . . . . . . . . 1.4. Phân lớp hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ϕ, f ) . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện 2.1. Nhóm phạm trù chặt chẽ bện liên kết với môđun chéo bện 2.2. Phân lớp môđun chéo bện 14 . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 3. Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ 3.1. Phạm trù Picard chặt chẽ liên kết với môđun chéo aben 23 . . . . . . 23 3.2. Phân lớp môđun chéo aben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận và kiến nghị 34 Tài liệu tham khảo 35 Thuyết minh đề tài 1 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung - Tên đề tài: Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ - Mã số: CS2014-37 - Chủ nhiệm: TS. Chế Thị Kim Phụng - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sài Gòn - Thời gian thực hiện: từ 9/2014 đến 9/2015 (theo Hợp đồng số 475/HĐ-ĐHSG-QLKH&SĐH) 2. Mục tiêu Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo bện, phạm trù các môđun chéo aben và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. 3. Tính mới và sáng tạo - Phát triển tương đương Brown-Spencer cho trường hợp môđun chéo bện và môđun chéo aben; - Phát triển bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo cho trường hợp môđun chéo aben; - Chỉ ra sự khác nhau giữa kỹ thuật chứng minh được sử dụng trong đề tài và trong một số công bố đã biết; - Cung cấp ví dụ và một số tính chất để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và những vấn đề liên quan. 4. Kết quả nghiên cứu - Xây dựng tương đương phạm trù giữa phạm trù các môđun chéo bện với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện; - Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ; - Phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. 5. Sản phẩm Các kết quả chính của đề tài được trình bày trong Chương 2 và Chương 3, trong đó kết quả của Chương 3 đã được công bố trong bài báo khoa học: N. T. Quang, C. T. K. Phung and N. S. Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 37–48. 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi J. Bénabou [28] và S. MacLane [18]. Các tác giả đã xét các phạm trù trên đó có trang bị một phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp a và ràng buộc đơn vị l, r thỏa mãn một số biểu đồ giao hoán. S. MacLane [18] gọi phạm trù này là phạm trù monoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên a, l, r. S. MacLane cũng chỉ ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên trong một phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm đẳng cấu giao hoán c tương thích với các ràng buộc kết hợp và đơn vị. Sau đó, lý thuyết phạm trù monoidal đã được nhiều nhà toán học quan tâm và phát triển theo nhiều hướng khác nhau. Phạm trù monoidal có thể được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem M. L. Laplaza [16] và N. S. Rivano [30]). Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem A. Fr¨hlich và C. T. C. o Wall [12]), hay Gr-phạm trù (xem H. X. Sính [31]). Trong đề tài này, chúng tôi gọi phạm trù như thế là nhóm phạm trù theo cách gọi phổ biến gần đây (xem P. Carrasco và A. R. Garzón [7], A. R. Garzón và A. Del Río [14]). Sự phân lớp các nhóm phạm trù bởi đối đồng điều nhóm đã được H. X. Sính trình bày trong [31]. Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm đẳng cấu giao hoán thì nó trở thành phạm trù Picard (xem [31]), hay nhóm phạm trù đối xứng (xem M. Bullejos và các đồng tác giả [5]). Phạm trù monoidal bện xuất hiện trong công trình của A. Joyal và R. Street [15] và là sự mở rộng của khái niệm phạm trù monoidal đối xứng. Họ cũng đã “mịn hoá” phạm trù monoidal bện để trở thành nhóm phạm trù bện khi bổ sung điều kiện mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên là đẳng cấu. Các tác giả đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm toàn phương dựa trên kết quả của S. Eilenberg và S. MacLane [11] về biểu diễn hàm toàn phương bởi 3 nhóm đối đồng điều aben Hab (G, A). Một trường hợp riêng của nhóm phạm trù 3 bện là phạm trù Picard đã được phân lớp trước đó bởi H. X. Sính [31]. Theo một hướng khác, một số tác giả đã quan tâm đến lớp nhóm phạm trù đặc biệt, trong đó các ràng buộc là các đồng nhất và các vật đều khả nghịch chặt chẽ, nghĩa là X ⊗ Y = I = Y ⊗ X . Lớp phạm trù này được gọi là G -groupoid (xem R. Brown và C. B. Spencer [4]), Gr-phạm trù chặt chẽ (xem H. X. Sính [32]), nhóm phạm trù chặt chẽ (xem A. Joyal và R. Street [15]), 2-nhóm chặt chẽ (xem J. C. Baez và A. D. Lauda [2]) hay 2-nhóm (xem B. Noohi [20]). Trong công trình của R. Brown và C. B. Spencer [4], môđun chéo được giới thiệu bởi J. H. C Whitehead [27] đã được xác định bởi một G -groupoid và ngược lại. Từ đó các tác giả đã chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G -groupoid (tương đương Brown-Spencer) (xem [4, Định lý 1]). Như trên, mỗi G -groupoid còn được gọi là nhóm phạm trù chặt chẽ, tuy nhiên phạm trù các G -groupoid chỉ là phạm trù con của phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ. N. T. Quang và cộng sự [23] đã chỉ ra mối liên hệ của phạm trù thứ hai này với phạm trù các môđun chéo, mà tương đương Brown-Spencer chỉ là trường hợp riêng. Kết quả trong [23] cho phép ứng dụng các kết quả về lý thuyết cản trở đối với các hàm tử và lý thuyết đối đồng điều vào việc nghiên cứu các môđun chéo. Ý tưởng trong [4] cũng đã được A. Joyal và R. Street [15] phát triển cho môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Tuy nhiên, A. Joyal và R. Street mới chỉ dừng lại ở việc xác định lẫn nhau giữa các cấu trúc nói trên, nghĩa là chỉ giữa các vật. Vấn đề đặt ra là có hay không một tương đương Brown-Spencer cho phạm trù các môđun chéo bện và phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Chúng tôi cho rằng đây là một vấn đề cần được giải quyết. Ngoài môđun chéo bện, môđun chéo aben cũng đã nhận được sự quan tâm của các nhóm tác giả (xem P. Carrasco và các đồng tác giả [6], K. Norrie [21]). Theo cách làm của N. T. Quang và các cộng sự [23], chúng tôi mong muốn kết nối được kiểu môđun chéo này với đại số phạm trù thích hợp, và hy vọng sẽ nhận được tương đương Brown-Spencer cho những đối tượng này. Theo một hướng khác, môđun chéo có liên quan chặt chẽ đến bài toán mở rộng nhóm (xem S. Eilenberg và S. MacLane [9]). Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo được giới thiệu trong các công trình [26] và [29] đã được nghiên cứu bởi R. Brown và O. Mucuk [3]. Điều đó gợi ý cho chúng tôi một hướng nghiên 4 cứu là tìm hiểu bài toán mở rộng kiểu môđun chéo aben. Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ”. 2. Mục tiêu của đề tài Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo bện, phạm trù các môđun chéo aben và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. 3. Đối tượng nghiên cứu Nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, môđun chéo bện và môđun chéo aben. 4. Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu về tính chặt chẽ và tính đối xứng trong nhóm phạm trù bện để phân lớp môđun chéo bện, môđun chéo aben và giải các bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây: - Dùng cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộng; - Dùng đối đồng điều giải quyết sự phân lớp môđun chéo. 6. Nội dung và cấu trúc của đề tài Trong đề tài này, chúng tôi thiết lập tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo bện, phạm trù các môđun chéo aben và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Các kết quả nhận được là sự phát triển những kết quả trong [3, 4]. Về cấu trúc, ngoài các phần Thông tin kết quả nghiên cứu, Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo, đề tài gồm có ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về phạm trù monoidal, đối đồng điều aben (đối xứng) của các nhóm aben, nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard. Đồng thời, chúng tôi còn trình bày sự phân lớp các hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ϕ, f ). Chương 2 nghiên cứu nhóm phạm trù chặt chẽ bện để phân lớp môđun chéo bện. Mục 2.1 trình bày nhóm phạm trù chặt chẽ bện liên kết với môđun chéo bện. Mục 2.2 xác định mũi tên trong phạm trù các môđun chéo bện và chứng 5 minh phạm trù các môđun chéo bện tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện (Định lý 2.2.5). Chương 3 nghiên cứu phạm trù Picard chặt chẽ để phân lớp môđun chéo aben và mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Mục 3.1 chỉ ra rằng mỗi môđun chéo aben được xây dựng từ một phạm trù Picard chặt chẽ và ngược lại. Mục 3.2 trình bày sự xác định mũi tên trong phạm trù các môđun chéo aben và chứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ (Định lý 3.2.5). Mục 3.3 phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben (Định lý 3.3.3, Định lý 3.3.4). Các kết quả chính của đề tài được trình bày trong Chương 2 và Chương 3, trong đó kết quả của Chương 3 đã được công bố trong bài báo khoa học: N. T. Quang, C. T. K. Phung and N. S. Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 37–48. 6 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạm trù monoidal (xem S. MacLane [18]), đối đồng điều aben (đối xứng) của các nhóm aben (xem [17]), nhóm phạm trù bện (xem A. Joyal và R. Street [15]), phạm trù Picard (xem H. X. Sính [31]) và hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ϕ, f ). Những nội dung này làm cơ sở cho các chương tiếp theo. 1.1. Phạm trù monoidal Phạm trù monoidal (hay phạm trù tenxơ) được nghiên cứu đầu tiên bởi S. MacLane [18] và J. Bénabou [28] vào năm 1963. Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về phạm trù monoidal theo S. MacLane [18]. 1.1.1 Định nghĩa. Phạm trù monoidal C = (C, ⊗, a, I, l, r) là một ⊗-phạm trù C cùng với một vật đơn vị I và các đẳng cấu tự nhiên a = (aX,Y,Z ), l = (lX ) và r = (rX ), trong đó: ∼ aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z −→ X ⊗ (Y ⊗ Z), ∼ lX : I ⊗ X −→ X, ∼ rX : X ⊗ I −→ X, thỏa mãn điều kiện lI = rI và làm cho các biểu đồ sau giao hoán: (X ⊗ I) ⊗ Y aX,I,Y E r X ⊗ (I ⊗ Y ) ¨ ¨¨ % ¨ idX ⊗lY r j r rX ⊗idY r X ⊗Y (1.1.1) 7 aX,Y,Z ⊗idT ((X ⊗ Y ) ⊗ Z) ⊗ T E (X ⊗ (Y ⊗ Z)) ⊗ T aX⊗Y,Z,T aX,Y ⊗Z,T c c (X ⊗ Y ) ⊗ (Z ⊗ T ) rr r X ⊗ ((Y ⊗ Z) ⊗ T ) (1.1.2) ¨ ¨¨ r aX,Y,Z⊗T rr rr j r ¨¨ % ¨ ¨ ¨¨ idX ⊗aY,Z,T X ⊗ (Y ⊗ (Z ⊗ T )) với mọi X, Y, Z, T thuộc C . Các đẳng cấu tự nhiên a, l và r tương ứng được gọi là ràng buộc kết hợp, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải. Một hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal C đến phạm trù monoidal C , là bộ ba (F, F , F∗ ) bao gồm: (i) Một hàm tử F : C −→ C , (ii) Một đẳng cấu hàm tử F = (FX,Y ) với ∼ FX,Y : F (X ⊗ Y ) −→ F X ⊗ F Y, ∼ (iii) Một mũi tên đẳng cấu F∗ : F I −→ I , sao cho với mọi vật X, Y, Z ∈ C , các biểu đồ sau giao hoán: F ((X ⊗ Y ) ⊗ Z) F (aX,Y,Z ) ¨ % ¨ ¨ ¨¨ ¨ ¨ ¨¨ r rr F r X⊗Y,Z rr r r j F (X ⊗ (Y ⊗ Z)) F (X ⊗ Y ) ⊗ F Z FX,Y ⊗Z FX,Y ⊗ idF Z c c F X ⊗ F (Y ⊗ Z) rr (F X ⊗ F Y ) ⊗ F Z r rr idF X ⊗ FY,Z ¨ ¨¨ r r j r ¨ % ¨ ¨ ¨¨ aF X,F Y,F Z F X ⊗ (F Y ⊗ F Z) (1.1.3) 8 FX,I FI,X F (X ⊗ I) − − F X ⊗ F I −→     F (rX ) FX F (I ⊗ X) − − F I ⊗ F X −→     F (lX ) idF X ⊗ F∗ r ←F− F X ⊗ I −X− FX F∗ ⊗ idF X (1.1.4) l ←F− I ⊗ F X −X− Hàm tử monoidal (F, F , F∗ ) được gọi là một hàm tử monoidal chặt chẽ nếu F và F∗ là các đồng nhất. Hàm tử monoidal (F, F , F∗ ) từ phạm trù monoidal C đến phạm trù monoidal C được gọi là tương đương monoidal nếu F : C −→ C là một hàm tử tương đương. Khi đó ta cũng nói phạm trù monoidal C và phạm trù monoidal C tương đương monoidal với nhau. Giả sử (F, F , F∗ ) và (G, G, G∗ ) là hai hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal C đến phạm trù monoidal C . Mũi tên hàm tử θ : F −→ G được gọi là một mũi tên hàm tử monoidal nếu các biểu đồ sau giao hoán: FI FX,Y d F∗ ‚ d F (X ⊗ Y ) − − F X ⊗ F Y −→ θX⊗Y     GX,Y θX ⊗ θY G(X ⊗ Y ) − − GX ⊗ GY −→ θI (1.1.5) I    c  G∗ GI Giả sử (F, F , F∗ ) và (G, G, G∗ ) là hai hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal C đến phạm trù monoidal C . Một đồng luân (hay tương đương tự nhiên monoidal ) ∼ θ : F −→ G của hai hàm tử monoidal là một tương đương tự nhiên sao cho các biểu đồ trong (1.1.5) giao hoán. Phạm trù monoidal đã được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm khi bổ sung khái niệm vật khả nghịch bởi N. S. Rivano [30] vào năm 1972. Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm theo A. Fr¨hlich và C. T. C. Wall [12], hay o Gr-phạm trù theo H. X. Sính [31], hay nhóm phạm trù theo P. Carrasco và A. R. Garzón [7]. 1.1.2 Định nghĩa. ([31]) Một nhóm phạm trù là một phạm trù monoidal mà tất cả các mũi tên đều đẳng cấu và mọi vật đều khả nghịch theo nghĩa với mọi ∼ ∼ vật X đều tồn tại vật X cùng với các mũi tên đẳng cấu X ⊗X − I , X ⊗X − I . → → 9 1.2. Đối đồng điều aben (đối xứng) của các nhóm aben Theo S. MacLane [17], với các nhóm aben Π và A, các nhóm đối đồng điều n aben Hab (Π, A) (n = 1, 2, 3) của nhóm aben Π lấy hệ tử trong nhóm aben A được tính như sau: (i) Một 1-đối chu trình aben là một đồng cấu của các nhóm aben f : Π → A. (ii) Một 2-đối chu trình aben là ánh xạ f : Π2 → A thỏa mãn các hệ thức f (y, z) + f (x, yz) = f (xy, z) + f (x, y) f (x, y) = f (y, x) (iii) Một 3-đối chu trình aben là một cặp các hàm f (x, y, z) ∈ A, d(x, y) ∈ A thỏa mãn các hệ thức f (y, z, t) − f (x + y, z, t) + f (x, y + z, t) + f (x, y, z + t) − f (x, y, z) = 0 d(x + y, z) − d(y, z) − d(x, z) + f (x, y, z) − f (x, z, y) + f (z, x, y) = 0 d(x, y + z) − d(x, y) − d(x, z) − f (x, y, z) + f (y, x, z) − f (y, z, x) = 0 (1.2.1) Tại chiều 1 và 2, đối chu trình aben của các nhóm aben trùng với đối chu trình đối xứng của các nhóm aben. Còn 3-đối chu trình aben là một 3-đối chu trình đối xứng khi hệ thức (1.2.1) được thay bởi hệ thức d(x, y) = −d(y, x). 1.3. Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard Phạm trù monoidal bện và nhóm phạm trù bện đã xuất hiện trong công trình của A. Joyal và R. Street [15]. Một trường hợp riêng của nhóm phạm trù bện là phạm trù Picard đã được nghiên cứu bởi H. X. Sính [31]. Một phạm trù monoidal bện (hay phạm trù tenxơ bện) là một phạm trù monoidal C cùng với đẳng cấu tự nhiên c = (cX,Y ) : X ⊗ Y → Y ⊗ X thỏa mãn các biểu đồ giao hoán: (X ⊗ Y ) ⊗ Z aE X ⊗ (Y ⊗ Z) cE (Y ⊗ Z) ⊗ X a c⊗id c (Y ⊗ X) ⊗ Z aE Y ⊗ (X ⊗ Z) id⊗E c c Y ⊗ (Z ⊗ X) (1.3.1) 10 X ⊗ (Y ⊗ Z) a−1 E (X ⊗ Y ) ⊗ Z cE Z ⊗ (X ⊗ Y ) a−1 id⊗c c X ⊗ (Z ⊗ Y ) a−1 E (X ⊗ Z) ⊗ Y c⊗id E (1.3.2) c (Z ⊗ X) ⊗ Y Đẳng cấu tự nhiên c được gọi là một bện. Nếu bện c trong phạm trù monoidal bện C thỏa mãn cY,X ◦ cX,Y = idX,Y thì c được gọi là ràng buộc giao hoán (hay ràng buộc đối xứng) và C được gọi phạm trù monoidal đối xứng (xem S. MacLane [18]). Trong trường hợp này, hai biểu đồ (1.3.1) và (1.3.2) trùng nhau. 1.3.1 Định nghĩa. ([15]) Một nhóm phạm trù bện là một phạm trù monoidal bện mà tất cả các vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều đẳng cấu. Nếu bện c của nhóm phạm trù bện P là một ràng buộc giao hoán thì P được gọi là một phạm trù Picard (xem H. X. Sính [31]) hay nhóm phạm trù đối xứng (xem M. Bullejos và các đồng tác giả [5]). Giả sử (C, ⊗) và (C , ⊗ ) là hai phạm trù monoidal bện. Hàm tử monoidal đối xứng (F, F , F∗ ) : (C, ⊗) → (C , ⊗ ) là một hàm tử monoidal thỏa mãn biểu đồ giao hoán F (X ⊗ Y ) FX,Y E FX ⊗ FY cF X,F Y F (cX,Y ) c F (Y ⊗ X) FY,X E (1.3.3) c FY ⊗ FX A. Joyal và R. Street [15] đã phân lớp các nhóm phạm trù bện và hàm tử monoidal đối xứng bởi các hàm toàn phương. Năm 2011, N. T. Quang và các cộng sự [24] đã chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù thu gọn là một hàm tử kiểu (ϕ, f ). Hơn nữa, các tác giả trong [24] đã sử dụng hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f ) như một kỹ thuật để chứng minh định lý phân lớp chính xác cho các nhóm phạm trù và nhóm phạm trù bện. Kết quả phân lớp nhóm phạm trù này là một dạng đầy đủ hơn kết quả phân lớp của H. X. Sính [31]. Nội dung tiếp theo trình bày về phép dựng nhóm phạm trù bện thu gọn của một nhóm phạm trù bện theo tài liệu [24]. Cho P = (P, ⊗, I, a, l, r, c) là một nhóm phạm trù bện. Ký hiệu M = π0 (P) là nhóm aben các lớp vật đẳng cấu của P với phép toán được cảm sinh bởi tích 11 tenxơ, N = π1 (P) là nhóm aben các tự đẳng cấu của vật đơn vị I của P với phép toán của nhóm là phép hợp thành. Khi đó, nhóm phạm trù bện thu gọn của P, ký hiệu là P(h), được xây dựng như sau. Vật của P(h) là các phần tử x ∈ M và các mũi tên là những tự đẳng cấu (a, x) : x → x, a ∈ N . Phép hợp thành của các mũi tên được xác định bởi (a, x) ◦ (b, x) = (a + b, x). Phép toán ⊗ được cho bởi x ⊗ y = x + y, (a, x) ⊗ (b, y) = (a + b, x + y). Các ràng buộc đơn vị trong B là chặt chẽ. Ràng buộc kết hợp và bện lần lượt liên kết với các hàm ξ : M 3 → N và η : M 2 → N . Do tính khớp của ràng buộc kết hợp (xem (1.1.2)) và tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc bện (xem (1.3.1) và (1.3.2)) nên cặp (ξ, η) lần lượt thỏa mãn các hệ thức ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.3.4) ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0, (1.3.5) ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) − η(x + y, z) + η(y, z) + η(x, z) = 0 (1.3.6) và do tính tương thích của ràng buộc kết hợp và ràng buộc đơn vị (xem (1.1.1)) nên ξ thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0. Vậy h = (ξ, η) thỏa mãn các hệ thức (1.3.4)-(1.3.6) là một 3-đối chu trình aben 3 thuộc Zab (M, N ) (xem Mục 1.2). Nhóm phạm trù bện thu gọn P(h) còn được gọi là một nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) và tương đương với P bởi các hàm tử monoidal đối xứng chính tắc G và H . Các hàm tử này được xây dựng như sau. Trong P, ta chọn hệ đại diện (Xs ) với s ∈ π0 (P) sao cho X0 = I và chọn họ các đẳng cấu iX : X → Xs sao cho iXs = idXs , iI⊗Xs  G : P → P(h)   G(X) = [X] = s −1 G(u) = (γXs (iY ui−1 ), s) X   GX,Y = G(iX ⊗ iY ) = lXs , iXs ⊗I = rXs . Khi đó  H : P(h) → P   H(s) = Xs H(a, s) = γXs (a)   Hs,t = i−1⊗Xt Xs 12 với X, Y ∈ s, u : X → Y và γX : Aut(I) → Aut(X) được xác định bởi γX (a) = lX (a ⊗ idX )l−1 . X Trong trường hợp P là một phạm trù Picard, hệ thức (1.3.6) được thay bởi η(x, y) + η(y, x) = 0. (1.3.7) Khi đó P(h) là một phạm trù Picard thu gọn và h là một phần tử thuộc nhóm HomZ (M, N/2N ), trong đó N/2N là nhóm con của N bao gồm các phần tử cấp hai của N (xem H. X. Sính [31]). Sau này, A. M. Cegarra và E. Khmaladze [8] đã chỉ ra nhóm HomZ (M, N/2N ) chính là nhóm đối đồng điều đối xứng của các 3 nhóm aben Hs (M, N ). 1.4. Phân lớp hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ϕ, f ) Trong mục này, chúng tôi sẽ mô tả và phân lớp các hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ϕ, f ) giữa hai nhóm phạm trù Picard thu gọn như N. T. Quang và các cộng sự đã làm đối với hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f ) trong [24]. Với các dữ liệu M, N, h (thay thế cho π0 (P), π1 (P), h), nhóm phạm trù bện thu gọn P(h) còn được ký hiệu bởi (M, N, h) (để chỉ rằng nó không phụ thuộc vào P). Hàm tử F : (M, N, h) → (M , N , h ) được gọi là một hàm tử kiểu (ϕ, f ) nếu có cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M , f : N → N thỏa mãn F (x) = ϕ(x), F (a, x) = (f (a), ϕ(x)) với x ∈ M, a ∈ N . Khi đó hàm k = ϕ∗ h − f∗ h, (1.4.1) trong đó ϕ∗ và f∗ là các đồng cấu f∗ ϕ∗ 3 Zs (M, N ) − Zs (M, N ) ← Zs (M , N ), → 3 − 3 được gọi là một cản trở của hàm tử F . Khái niệm cản trở của một hàm tử được trình bày lần đầu tiên trong [22] đối với các Ann-hàm tử kiểu (R, A). Lưu ý rằng nếu (F, F ) là một hàm tử monoidal đối xứng thì ϕ∗ h − f∗ h = ∂(gF ), 13 3 trong đó Fx,y = (gF (x, y), F (xy)), và do đó k = 0 trong Hs (M, N ). Từ các kết quả của N. T. Quang và các cộng sự trong [24], bằng một vài thay đổi cần thiết chúng tôi thu được kết quả sau. 1.4.1 Mệnh đề. Giả sử P và P là hai phạm trù Picard. P(h) và P (h ) lần lượt là các phạm trù Picard thu gọn của P và P . Khi đó mỗi hàm tử monoidal đối xứng (F, F ) : P → P cảm sinh một hàm tử monoidal đối xứng Fh : P(h) → P (h ) kiểu (ϕ, f ). Hơn nữa, Fh = G F H, trong đó H và G là những tương đương monoidal đối xứng chính tắc. 1.4.2 Mệnh đề. Cho S = (M, N, h) và S = (M , N , h ) là các phạm trù Picard. Khi đó (i) Mỗi hàm tử monoidal đối xứng (F, F ) : S → S là một hàm tử kiểu (ϕ, f ). (ii) Hàm tử F : S → S kiểu (ϕ, f ) có thể hiện, nghĩa là tồn tại Fx,y để (F, F ) là một hàm tử monoidal đối xứng, nếu và chỉ nếu cái cản trở k triệt tiêu trong 3 Hs (M, N ). Khi đó tồn tại song ánh 2 Hom(ϕ,f ) [S, S ] ↔ Hs (M, N ), trong đó Hom(ϕ,f ) [S, S ] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ϕ, f ) từ S đến S . 14 CHƯƠNG 2 MÔĐUN CHÉO BỆN VÀ NHÓM PHẠM TRÙ CHẶT CHẼ BỆN R. Brown và C. B. Spencer đã chỉ ra rằng phạm trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G -groupoid (xem [4, Định lý 1]). Sau đó, N. T. Quang và các cộng sự [23] không chỉ biểu diễn kết quả trên bằng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm phạm trù mà còn nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo với các hàm tử monoidal của các nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết. Từ đó, các tác giả trong [23] đã thu được định lý phân lớp các môđun chéo, là mở rộng kết quả trong [4]. Ý tưởng trong [4] cũng được A. Joyal và R. Street [15] phát triển cho môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Tuy nhiên, các kết quả trong [15] mới chỉ dừng lại ở sự xác định lẫn nhau giữa hai đối tượng này. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo bện và hàm tử monoidal đối xứng giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ bện liên kết. Từ đó, chúng tôi chứng minh phạm trù các môđun chéo bện tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện (Định lý 2.2.5). 2.1. Nhóm phạm trù bện liên kết với môđun chéo bện A. Joyal và R. Street [15] đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo bện được xác định bởi một nhóm phạm trù chặt chẽ bện và ngược lại. Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết khẳng định này. Ta ký hiệu phép toán trong B là phép cộng và phép toán trong D là phép nhân. Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm môđun chéo của J. H. C. Whitehead [27] và các tính chất có liên quan. 2.1.1 Định nghĩa. Một môđun chéo là một bộ bốn M = (B, D, d, ϑ), trong đó B, D là các nhóm, d : B → D và ϑ : D → AutB là các đồng cấu nhóm thỏa mãn các hệ thức sau: 15 (C1 ) ϑd = µ; (C2 ) d(ϑx (b)) = µx (d(b)), trong đó x ∈ D, b ∈ B và µx là tự đẳng cấu trong sinh bởi x. Các tính chất sau đây của môđun chéo được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. 2.1.2 Mệnh đề. Cho môđun chéo M = (B, D, d, ϑ). Khi đó (i) Kerd ⊂ ZB ; (ii) Imd là nhóm con chuẩn tắc trong D; (iii) Đồng cấu ϑ cảm sinh đồng cấu ϕ : D → Aut(Kerd) được xác định bởi ϕx = ϑx |Kerd ; (iv) Kerd là Cokerd-môđun trái với tác động sa = ϕx (a) với a ∈ Kerd và x ∈ s ∈ Cokerd. Tiếp theo chúng tôi nhắc lại khái niệm môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện của A. Joyal và R. Street [15]. 2.1.3 Định nghĩa. ([15]) Môđun chéo bện là một môđun chéo M = (B, D, d, ϑ) cùng với ánh xạ η : D × D → B thỏa mãn các điều kiện sau: (C3 ) η(x, yz) = η(x, y) + ϑy η(x, z); (C4 ) η(xy, z) = ϑx η(y, z) + η(x, z); (C5 ) dη(x, y) = xyx−1 y −1 ; (C6 ) η(d(b), x) + ϑx b = b; (C7 ) η(x, d(b)) + b = ϑx b với mọi b ∈ B và mọi x, y, z ∈ D. Môđun chéo bện M = (B, D, d, ϑ, η) được gọi là một môđun chéo đối xứng (xem E. Aldrovandi và B. Noohi [1]) nếu η(x, y) + η(y, x) = 0 với mọi x, y ∈ D. Khi đó, điều kiện C3 trùng với điều kiện C4 và điều kiện C6 trùng với điều kiện C7 . 2.1.4 Định nghĩa. ([15]) Nhóm phạm trù chặt chẽ bện là một nhóm phạm trù bện, trong đó ràng buộc kết hợp và ràng buộc đơn vị là các đồng nhất (a = id, l = id = r) và với mỗi vật X đều có vật Y sao cho X ⊗ Y = I = Y ⊗ X. Nhóm phạm trù chặt chẽ bện P được gọi là một nhóm phạm trù chặt chẽ đối xứng nếu bện c thỏa mãn cX,Y ◦ cY,X = idY,X với mọi X, Y ∈ Ob(P). 16 Mỗi môđun chéo bện M = (B, D, d, ϑ, η) xác định một nhóm phạm trù chặt chẽ bện liên kết P = PM như sau. Ob(P) = D, Hom(x, y) = {b ∈ B/x = d(b)y} với x, y ∈ D. Hợp thành của các mũi tên được xác định b c b+c (x → y → z) = (x → z). (2.1.1) Phép toán tenxơ trên các vật là phép nhân trong nhóm D và phép toán tenxơ b b trên hai mũi tên (x → y), (x → y ) được định nghĩa b b+ϑy b b (x → y) ⊗ (x → y ) = (xx −→ yy ). (2.1.2) Ràng buộc kết hợp và ràng buộc đơn vị là các đồng nhất. Phép bện c được cho bởi cx,y = η(x, y) : xy → yx. Từ định nghĩa của môđun chéo bện và cách xác định trên, ta được P là một nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Ngược lại, mỗi nhóm phạm trù chặt chẽ bện (P, ⊗, I, id, id, id, c) xác định một môđun chéo bện liên kết MP = (B, D, d, ϑ, η) như sau. Lấy b D = Ob(P), B = {x → 1 | x ∈ D}. − Các phép toán trên D và B lần lượt được xác định xy = x ⊗ y, b + c = b ⊗ c. Khi đó D là một nhóm với phần tử đơn vị là vật 1 và phần tử nghịch đảo của x id 1 là x−1 với x ⊗ x−1 = 1. B là một nhóm với phần tử trung hòa là mũi tên 1 −→ 1 − b b và phần tử đối của mũi tên x → 1 là mũi tên x−1 → 1 với b ⊗ b = id1 . − − Hai đồng cấu d : B → D, ϑ : D → Aut B lần lượt cho bởi b d(x → 1) = x, − b idy +b+idy−1 ϑy (x → 1) = (yxy −1 − − − − → 1). − −−−− Ánh xạ η : D × D → B được định nghĩa η(x, y) = cx,y ⊗ idx−1 ⊗ idy−1 : (xyx−1 y −1 → 1).