Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010
MÔ PHỎNG SỰ LAN TRUYỀN VẾT NỨT TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU
Trương Tích Thiện, Trần Kim Bằng
Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 28 tháng 06 năm 2010, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 12 tháng 11 năm 2010)
TÓM TẮT: Trong lĩnh vực cơ học nứt, việc dự ñoán hướng ñi của vết nứt khi xảy ra hiện tượng
vết nứt lan truyền ñóng vai trò quan trọng vì việc này sẽ ñánh giá ñược vết nứt khi lan truyền liệu có
xâm phạm vào những vùng quan trọng, nguy hiểm của cấu trúc hay không. Bài báo cáo này sẽ ñề cập
tới ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt là thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến
cực ñại, thuyết suất giải phóng năng lượng cực ñại và thuyết mật ñộ năng lượng biến dạng cực tiểu.
Đồng thời, chương trình FRANC2D sẽ ñược sử dụng ñể mô phỏng sự lan truyền của vết nứt dựa trên cơ
sở các lý thuyết trên.
Từ khóa: Cơ học nứt, vết nứt, lan truyền, chương trình FRANC2D.
1. GIỚI THIỆU
toán góc uốn của vết nứt. Bài báo này sẽ trình
Hệ số cường ñộ ứng suất là thông số vô
bày cơ sở lý thuyết của các phương pháp này
cùng quan trọng trong cơ học nứt, nói lên mức
và một số mô hình vết nứt lan truyền ñơn giản
ñộ tập trung ứng suất tại ñỉnh vết nứt. Trong
ñược tham khảo từ các tài liệu khác.
không gian 3 chiều, các hệ số cường ñộ ứng
2. PHƯƠNG PHÁP DỰ ĐOÁN HƯỚNG
suất KI, KII, KIII, ñặc trưng cho 3 sự chuyển vị
LAN TRUYỀN CỦA VẾT NỨT
ñộc lập của vết nứt gồm dạng mở rộng
(opening – mode I), dạng trượt (sliding – mode
2.1. Thuyết ứng suất pháp theo phương
tiếp tuyến cực ñại σθθmax
II) và dạng xé (tearing – mode III). Khi dự
Các biểu thức dạng hỗn hợp của trường
ñoán hướng lan truyền của vết nứt hai chiều, 3
ứng suất ñàn hồi quanh ñỉnh vết nứt khi ñược
phương pháp σθθmax, Smin, Gmax ñều sử dụng 2
biểu diễn theo tọa ñộ cực như sau
thông số quan trọng chính là KI và KII ñể tính
σ rr =
1
θ
θ 3
θ
cos [ K I 1 + sin 2 + K II sin θ − 2 K II tan ]
2
2 2
2
2π r
(1)
σ θθ =
1
θ
θ 3
cos [ K I cos 2 − K II sin θ ]
2
2 2
2π r
(2)
σ rθ =
1
θ
cos [ K I sin θ + K II ( 3cos θ − 1)]
2
2 2π r
Trong ñó, KI, KII là hai hệ số cường ñộ
ứng suất ñặc trưng cho hai dạng chuyển vị ñộc
Trang 40
(3)
lập của vết nứt là dạng mở rộng (mode I) và
dạng trượt (mode II).
Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010
Thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp
theo hướng vuông góc với ứng suất pháp theo
tuyến cực ñại σθθmax bậc nhất ñối với vật liệu
phương tiếp tuyến cực ñại. Thuyết này ñược
ñẳng hướng khẳng ñịnh vết nứt sẽ phát triển
Sih và Erdogan ñưa ra vào năm 1963.
Hình 1. Ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến cực ñại trong hệ tọa ñộ cực.
Đạo hàm biểu thức (2) theo biến θ và gán
ñược tính toán theo công thức ñược tham khảo
bằng 0.
∂σ θθ
= 0 (4)
∂θ
từ tài liệu [4] như sau
Sau khi sắp xếp lại và ñặt θ = ∆θc, biểu
thức (2) sẽ có dạng sau
− sin ∆θ c
K II
(5)
=
K I 3cos ∆θ c − 1
−2 K II / K I
∆θ c = 2arctan
1 + 1 + 8 K / K 2
( II I )
(7)
Theo công thức (7), nếu KII = 0 thì ∆θC = 0
( dạng mở rộng thuần túy). Nếu KII > 0 thì góc
Giải phương trình (5) theo biến ∆θc, ta sẽ
tính ñược góc uốn của vết nứt.
Theo sự tham khảo từ tài liệu [3], dựa trên
thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến
cực ñại, góc uốn của vết nứt còn có thể ñược
uốn của vết nứt ∆θC < 0. Nếu KII < 0 thì góc
uốn của vết nứt ∆θC > 0.
2.2. Thuyết mật ñộ năng lượng biến
dạng cực tiểu Smin
Thuyết này ñược Sih ñưa ra vào năm
1974. Sih ñã phát triển công thức tính mật ñộ
tính từ công thức sau
3K 2 + K 4 + 8 K 2 K 2
I
I
II
∆θ c = arccos II
K I2 + 9 K II2
Ngoài ra, góc uốn của vết nứt còn có thể
năng lượng biến dạng S theo hệ số cường ñộ
(6)
Theo công thức (6), ∆θC < 0 khi KII > 0.
Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
ứng suất KI và KII như sau
S = a11 K I2 + 2a12 K I K II + a22 K II2
(8)
Với
Trang 41
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010
a11 =
a12 =
a22 =
1
(1 + cosθ )(κ − cosθ )
16µ
(9)
Theo sự tham khảo từ tài liệu [5], giá trị cực
ñại Scr ñược tính theo công thức sau
2
Scr = (1 − 2ν )(1 + ν ) K IC
/ 2E
1
sin θ 2cosθ − (κ − 1) (10)
16µ
(13)
Với KIC là giới hạn phá hủy.
1
[(κ +1)(1− cosθ ) + (1+ cosθ )( 3cosθ −1)]
16µ
(11)
2.3. Thuyết suất giải phóng năng lượng
cực ñại Gmax
Thuyết này dựa trên sự tính toán của
E là module ñàn hồi và ν là hệ số Possion.
µ=
Hussain vào năm 1974. Đó là các hệ số cường
ñộ ứng suất KI(θ) và KII(θ) của một vết nứt
E
2 (1 + ν )
chính ban ñầu với một phần bị uốn với góc θ
κ = 3 − 4ν trong trường hợp biến dạng
phẳng.
3 −ν
κ=
trong trường hợp ứng suất
1 +ν
phẳng.
Vết nứt sẽ phát triển theo hướng θ = ∆θc,
nơi mà mật ñộ năng lượng biến dạng ở ñó là
rất nhỏ ở ñỉnh ñược tính toán dựa theo các hệ
số cường ñộ ứng suất KI và KII của vết nứt
thường.
3
K I (θ ) = g (θ ) K I cos θ + K II sin θ (14)
2
3
K II (θ ) = g (θ ) K II cos θ − K I sin θ (15)
2
θ
cực tiểu.
dS
d 2S
= 0 và
>0
dθ
dθ 2
(12)
4
1 − θ / π 2π
g (θ ) =
2
3 + cos θ 1 + θ / π
(16)
Vết nứt bắt ñầu lan truyền khi mật ñộ năng
lượng biến dạng tiến tới giá trị cực ñại S = Scr.
Hình 2. Vết nứt chính ban ñầu với một phần bị uốn với góc θ.
Theo biểu thức tổng quát của Irwin, suất
giải phóng năng lượng G cho vết nứt ban ñầu
G (θ ) =
1
K I2 (θ ) + K II2 (θ ) ) (17)
(
E′
với một phần bị uốn với góc θ sẽ như sau
Trang 42
Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010
Với E ′ =
E
cho biến dạng phẳng.
(1 −ν 2 )
Kết hợp với các biểu thức (14), (15), (16),
biểu thức (17) trở thành
E ′ = E cho ứng suất phẳng.
G (θ ) =
1 2
g (θ ) [(1 + 3cos 2 θ ) K I2 − 8sin θ cosθ K I K II + ( 9 − 5cos 2 θ ) K II2 ] (18)
4E′
Góc lan truyền của vết nứt ñược tìm bằng
∂θ 2
cách cực tiểu hóa G(θ).
∂G (θ )
∂θ
=0
∂ 2G (θ )
(19)
<0
(20)
Dạng tổng quát của biểu thức (18) có thể
ñược viết gọn lại như sau:
Và phải thỏa mãn ñiều kiện ổn ñịnh sau
G (θ ) =
1
[ A11 K I2 (θ ) + A22 K II2 (θ ) + 2 A12 K I (θ ) K II (θ )]
′
4E
(21)
4 − 3sin 2 θ
A11
A = g 2 θ −2sin 2θ
( )
12
4 + 5sin 2 θ
A22
(22)
3. SỰ SO SÁNH GIỮA BA PHƯƠNG
cực tiểu ñược tham khảo từ tài liệu [7]. Để
PHÁP DỰ ĐOÁN HƯỚNG LAN TRUYỀN
thuận tiện cho việc so sánh, ñặt
CỦA VẾT NỨT
Sau ñây là ñồ thị so sánh kết quả giữa
Me =
K
tan −1 I (23)
π
K II
2
thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến
cực ñại với thuyết suất giải phóng năng lượng
cực ñại và thuyết mật ñộ năng lượng biến dạng
Hình 3. Đồ thị so sánh kết quả giữa ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt.
Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Trang 43
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010
Ngoài ra, bài báo cáo này xin ñược ñưa ra
một kết quả so sánh khác giữa 3 phương pháp
dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt. Kết quả
này ñược tham khảo từ tài liệu [2].
Hình 4. Đồ thị so sánh kết quả giữa ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt.
4. MÔ HÌNH TÍNH TOÁN
ñang xét là biến dạng phẳng.Với E = 30 [(ñơn
4.1 Mô hình 1
vị lực)2/(ñơn vị dài)], hệ số Poisson ν = 0,25.
Mô hình ñược tham khảo trong tài liệu [6]
Ứng suất trượt τ = 1 (ñơn vị áp suất). Độ tăng
với các kích thước W = 7 (ñơn vị dài), H = 8
trưởng vết nứt ∆a = 0,5 (ñơn vị dài).
(ñơn vị dài), a = 3,5 (ñơn vị dài). Trường hợp
Hình 5. Tấm phẳng với một vết nứt biên và chịu ứng suất tiếp.
Kết quả hình ảnh biến dạng của mô hình sau khi ñược tính toán bằng FRANC2D như sau
Trang 44
Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010
Hình 6. Kết quả biến dạng ban ñầu và sau khi vết nứt phát triển sau 7 step.
So sánh kết quả biến dạng của mô hình khi vết nứt phát triển sau 7 step với kết quả tham khảo từ tài
liệu [6].
Hình 7. So sánh kết quả biến dạng.
So sánh kết quả tính toán hướng lan truyền của vết nứt giữa 3 thuyết σθθmax, Gmax, Smin.
Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Trang 45
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010
Hình 8. So sánh kết quả vết nứt lan truyền giữa ba thuyết σθθmax, Gmax, Smin.
4.2. Mô hình 2
liệu ñàn hồi ñẳng hướng là hợp kim nhôm
Mô hình ñược tham khảo từ tài liệu [3].
7075-T6 với E = 71,7 GPa, ν = 0,33. Chiều dài
Trường hợp ñang xét là biến dạng phẳng. Các
vết nứt ban ñầu a0 = 10 mm. Lực P = 20KN.
kích thước trong hình vẽ có ñơn vị là mm. Vật
Độ tăng trưởng của vết nứt ∆a = 3 mm.
Hình 9. Tấm phẳng với một vết nứt biên và ba lỗ tròn.
Kết quả hình ảnh biến dạng của mô hình sau khi ñược tính toán bằng FRANC2D như sau
Trang 46
Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010
Hình 10. Kết quả biến dạng ban ñầu và sau khi vết nứt phát triển sau 11 step.
So sánh kết quả tính toán hướng lan truyền
của vết nứt sau 11 step giữa 3 thuyết σθθmax,
Gmax, Smin và các kết quả tham khảo từ tài liệu
[3].
Hình 11. So sánh kết quả vết nứt lan truyền.
Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Trang 47
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010
Hình 12. So sánh kết quả vết nứt lan truyền giữa ba thuyết σθθmax, Gmax, Smin.
Đặt Me = (2/π)tan-1(KI/KII)
Bảng 1. So sánh các giá trị Me sau 11 step khi tính toán bằng ba phương pháp σθθmax, Gmax, Smin.
Trang 48
Step
σθθmax
Gmax
Smin
0
-0,98669
-0,98669
-0,98669
1
0,99632
0,99486
0,99632
2
0,99547
0,99614
0,99547
3
0,99238
0,99275
0,99238
4
0,98495
0,98574
0,98498
5
0,98254
0,98389
0,98254
6
0,97162
0,97303
0,97159
7
0,96291
0,96512
0,96283
8
0,95365
0,95568
0,95365
9
0,93246
0,93511
0,93235
10
0,90906
0,90128
0,90880
11
0,85618
0,85156
0,85633
Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010
Hình 13. Đồ thị so sánh các giá trị Me sau 11 step khi tính toán bằng ba phương pháp σθθmax, Gmax, Smin.
nhau. Điều này phù hợp với ñồ thị so sánh kết
5. KẾT LUẬN
Các giá trị Me ñược tính toán ở mỗi step
theo 3 thuyết σθθmax, Gmax, Smin ñều có giá trị
xấp xỉ bằng 1 (nằm trong khoảng 0,8 – 1). Do
ñó, góc uốn của vết nứt ñược tính theo 3 thuyết
σθθmax, Gmax, Smin ở mỗi step có giá trị gần bằng
quả giữa ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền
của vết nứt ñược tham khảo từ tài liệu [7]
(Hình 3). Vì vậy, ñường ñi của vết nứt ñược
mô phỏng theo 3 thuyết σθθmax, Gmax, Smin có
dạng gần giống nhau.
SIMULATION OF CRACK PROPAGATION IN TWO DIMENSIONAL PROBLEMS
Tich Thien Truong, Kim Bang Tran
University of Technology, VNU-HCM
ABSTRACT: Predicting crack trajectory when crack propagation occurs plays an important
role in fracture mechanics problems because this will evaluate whether important areas of structure are
heavily influenced by crack propagation. This article will introduce three theories to predict crack path,
including maximum tangential stress theory, maximum energy release rate theory and minimum strain
energy density theory. Besides, the FRANC2D program is used to simulate the crack propagation based
on three above theories.
Keywords: crack trajectory, crack propagation, FRANC2D program.
Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Trang 49
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010
[5]. Ali Hassan CHAHROUR and Masayasu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
OHTSU, Simulation of Discrete Cracking
[1]. Soheil
Mohammadi,
Extended
Finite
Element Method, Blackwell Publishing,
(2008).
to
Catastrophic
Aerosapcas
Determine
Failure
Thin-Rim
Benign
Modes
Gear,
or
for
Army
Research Laboratory, Technical Report
ARL-TR-971.
J.
Fuenmayor,
of mixed – mode crack propagation using
scaled boundary finite element method,
Engineering Fracture Mechanics 73, pp.
1711 – 1731, (2006).
[7]. Ingraffea A. R., Lecture Notes, Cornell
University, CEE 770, Fall (2007).
[3]. E. Giner, N. Sukumar, J. E. Tarancon and
F.
(1994).
[6]. Zhenjun Yang, Fully automatic modelling
[2]. David G. Lewicki, Crack Propagation
Studies
in a Concrete Gravity Dam, Vol. 16, No.2,
An
Abaqus
[8]. CFG. FRANC2D Users Guide – Version
3.1, (2003).
implementation of the extended finite
element method, Preprint submitted to
Engineering Fracture Mechanics, (2008).
[4]. N. Sukurmar and J. –H. Prevost, Modeling
Quasi-Static Crack Growth with the
Extended Finite Element Method. Part I:
Computer Implementation, International
Journal of Solids and Structures, (2003).
Trang 50
Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
- Xem thêm -