Tài liệu Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính egodic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Vũ Tiến Đức MÔ HÌNH THÚ MỒI NGẪU NHIÊN VÀ TÍNH ERGODIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60460106 Người hướng dẫn khoa học GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI- Năm 2014 1 Mục lục Lời cảm ơn 3 Lời nói đầu 4 1 Một số khái niệm mở đầu 6 1.1 1.2 1.3 1.4 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Quá trình thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Tích phân Itô của hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn . . . . . . . . . 11 Vi phân ngẫu nhiên. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Tích phân Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Quá trình Wiener n- chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 17 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 17 2.2 Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . 21 2 2.4.1 Quá trình hồi quy đối với một miền . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Hồi quy và không hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3 Hồi quy dương và hồi quy không . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.4 Sự tồn tại phân phối dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính ergodic 26 3.1 Cạnh tranh loài, tính ergodic và các elip . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 So sánh với các kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy giáo GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến người thầy, người đã chỉ dạy những kiến thức và kinh nghiệm trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này, tác giả bảy tỏ lởi cảm ơn chân thành thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ-Tin học, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học tự nhiênĐại học Quốc gia Hà Nội. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo trong bộ môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn trong lớp Cao học toán khóa học 2011-2013, đã thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn. Mặc dù có nhiều cố gắng, song vì năng lực còn hạn chế nên chắc chắn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy giáo, cô giáo, các góp ý của bạn đọc để luận văn ngày càng hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả 4 Lời nói đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất, đồng thời cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài toán học như Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác...), Sinh học (động lực học quần thể ), Công nghệ ( lý thuyết lọc, ổn định và điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên...) và đặc biệt trong kinh tế và tài chính (định giá quyền lựa chọn trong thị trường chứng khoán...). Ngày nay, phép tích tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề của vật lý, cơ học, sinh học và kinh tế (kể cả thị trường chứng khoán). Trong luận văn này, chúng tôi xin trình bày tính ergodic của nghiệm của phương trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss. Luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1. Trong chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên bao gồm quá trình ngẫu nhiên, quá trình đo được và các tính chất của quá trình ngẫu nhiên quan trọng- quá trình Wiener, đồng thời ta cũng tìm hiểu khái niệm, sự tồn tại của tích phân ngâu nhiên Itô đối với hàm ngẫu nhiên bị chặn và khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô (xem xét đồng thời trường hợp một chiều và nhiều chiều). Chương 2. Ở chương này ta nhắc lại khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên và điều kiện sự tồn tại duy nhất nghiệm. Trong chương này ta cũng đi tìm hiểu một số khái niệm gắn liền với quá trình ngẫu nhiên (tính chính quy, hồi 5 quy, hồi quy dương) và đặc biệt ta đi nghiên cứu tính chất ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Chương 3. Chúng ta đi xét mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên với tốc độ tăng trưởng chịu nhiễu tiếng ồn trắng Gauss. Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu cường độ tiếng ồn không qua lớn, khi đó nghiệm của phương trình ngẫu nhiên có tính ergodic. Một mối liên hệ hiển giữa cường độ tiếng ồn và các tham số của các loài cạnh tranh ban đầu cho ta điều kiện đủ cho tính chất ergodic. Bên cạnh đó ta cũng đi thảo luận và so sánh điều kiện đủ cho tính ergodic mà chúng ta nhận được với những kết quả thu được trong bài báo của Rudnicki[20], đồng thời cũng đề cập đến tính ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich. 6 Chương 1 Một số khái niệm mở đầu Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm • Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó. • F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ - trường các tập con của Ω. Mỗi tập A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. • P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F). 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1. a) Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất và T là một tập nào đó. Một ánh xạ X : T × Ω → R sao cho với mỗi t ∈ T , ánh xạ ω 7→ X(t, ω) là đo được, được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X(t), t ∈ T }. Như vậy, một hàm ngẫu nhiên trên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } được chỉ số hóa bởi tập tham số T . • Nếu T = N là tập các số tự nhiên thì ta gọi X = {X(n), n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên. • Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến thời gian . 7 • Nếu T là một tập con của Rd thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một trường ngẫu nhiên. Nếu quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị trong Rn thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n− chiều. Giả sử X = {X(t), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, ký hiệu n Z  o 2 L2 (Ω) = X(t) : E |X(t)| dP (ω) < ∞ . Ω 1.1.2 Quá trình thích nghi với một bộ lọc Định nghĩa 1.2. a) Một họ các σ - trường con {Ft }t≥0 của F , Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: i) Đó là một họ tăng, tức Fs ⊂ Ft nếu s < t. ii) Đó là một họ liên tục phải, tức Ft = T Ft+ε . ε>0 iii) Mọi tập P- bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F0 , tức là A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 . b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0}. Ta xét họ các σ - trường {FtX }t≥0 sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức FtX = σ(Xs , 0 ≤ s ≤ t). σ - trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay là lịch sử của X , hay cũng còn gọi là trường thông tin về X . c) Một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc {Ft }t≥0 , được gọi là một không gian xác suất lọc và ký hiệu là (Ω, F, (Ft ), P). c) Cho một bộ lọc bất kì, {Ft }t≥0 . Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft }t≥0 , nếu với mỗi t ≥ 0 thì Xt là Ft - đo được. 1.1.3 Quá trình Wiener Định nghĩa 1.3. Cho σ > 0. Quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ≥ 0} được gọi là quá trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham số σ 2 nếu nó thỏa mãn 8 các điều kiện sau i) W (0) = 0 hầu chắc chắn. ii) W có gia số độc lập, tức là với 0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên W (t1 ), W (t2 ) − W (t1 ), ..., W (tn ) − W (tn−1 ), là độc lập. iii) Với 0 ≤ s < t thì W (t) − W (s) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn W (t) − W (s) ∼ N (0; σ 2 (t − s)). Trong trường hợp σ 2 = 1 thì quá trình được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn. Một số tính chất của quá trình Wiener Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}. a) W (t) là martingale đối với bộ lọc tự nhiên {FtW }t≥0 của quá trình Wiener W , tức là E(Wt |FsW ) = Ws , ∀s < t. b) P{ω : quĩ đạo t 7→ W (t, ω) là khả vi } = 0. c) P{ω : quĩ đạo t 7→ W (t, ω) có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ } = 0. d) W tuân theo luật lôgarit- lặp như sau: n W (t) P ω : lim sup √ t→∞ 1.2 2t ln ln t o = 1 = 1. Tích phân ngẫu nhiên Itô Định nghĩa 1.4. Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} trên không gian xác suất (Ω, F, P). a) Với mỗi t ≥ 0, ký hiệu Ht = FtW là σ - trường sinh bởi họ {W (s), 0 ≤ s ≤ t}. Khi đó Ht được gọi là σ - trường đại số chứa các thông tin về lịch sử của hàm ngẫu nhiên W cho tới thời điểm t. 9 b) Ký hiệu Ht+ là σ - trường sinh bởi họ {W (u) − W (t), u ≥ t}. Khi đó Ht+ được gọi là σ - trường đại số chứa các thông tin về tương lai của hàm ngẫu nhiên W sau thời điểm t. c) Một họ {Ft }t≥0 các σ - trường con của F được gọi là họ lọc đối với quá trình Wiener W nếu • Fs ⊂ Ft nếu s < t. • Ht ⊂ Ft với mọi t ≥ 0. • Ft độc lập với Ht+ với mọi t ≥ 0. Định nghĩa 1.5. Giả sử f (t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiên nào đó. a) Ta nói rằng f (t, ω) là phù hợp đối với họ lọc {Ft }t≥0 nếu với mỗi t ≥ 0, ánh xạ ω 7→ f (t, ω) là Ft - đo được. Điều này có nghĩa là tại mỗi thời điểm t, biến ngẫu nhiên f (t, ω) chỉ phụ thuộc vào các thông tin trong σ - trường Ft . b) Ta nói rằng f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {Ft }t≥0 nếu với mỗi t ≥ 0, hàm (t, ω) 7→ f (t, ω) xác định trên [0, t] × Ω là Bt × Ft đo được, ở đây Bt là σ trường Borel của [0, t]. Rõ ràng nếu f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {Ft }t≥0 thì nó phù hợp với lọc {Ft }t≥0 . c) Ký hiệu N 2 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và  ZT E  f 2 (t, ω)dt < ∞. 0 Ta có N 2 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn v u u  ZT  u 2 f (t, ω)dt . ||f || = tE 0 d) Ký hiệu N 1 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và  ZT E 0  |f (t, ω)|dt < ∞. 10 Ta có N 1 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn ||f || = E  ZT  |f (t, ω)|dt . 0 1.2.1 Tích phân Itô của hàm bậc thang Cho {Ft }t≥0 là họ lọc tự nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}, f (t, ω) là quá trình ngẫu nhiên thuộc N 2 (0, T ). Định nghĩa 1.6. Quá trình ngẫu nhiên (hàm ngẫu nhiên) f (t, ω) ∈ N 2 (0, T ) được gọi là hàm bậc thang nếu tồn tại một phép phân hoạch của đoạn [0, T ] : 0 ≡ t0 < t1 < ... < tn ≡ T, sao cho f (t, ω) = n−1 P ck (ω)1Ak , ở đây Ak = [tk , tk+1 ) và ck (ω) là F(tk )− đo được. k=0 Với hàm ngẫu nhiên bậc thang f (t, ω) ở trên, ta định nghĩa tích phân Itô của hàm f (t, ω) trên đoạn [0, T ] bằng công thức ZT f (t, ω)dW (t) = I(f ) = n−1 X ck (ω)[W (tk+1 ) − W (tk )]. k=0 0 • Với 0 ≤ t ≤ T ta định nghĩa Zt f (s, ω)dW (s) = m X ck (ω)(W (tk+1 ) − W (tk )) + cm+1 (ω)(W (t) − W (tm+1 )), k=0 0 với tm+1 < t là số gần t nhất. • Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa Zt Zt f (u, ω)dW (u) − f (u, ω)dW (u) = s Zs 0 f (u, ω)dW (u). 0 Một số tính chất của tích phân Itô của hàm bậc thang Giả sử f, g ∈ N 2 (0, T ) là các hàm bậc thang, khi đó ta có ZT a) ZT [af + bg]dW (t) = a 0 ZT gdW (t) ∀a, b ∈ R. f dW (t) + b 0 0 11  ZT  b) E(I(f )) = E f (t, ω)dW (t) = 0. 0  ZT  2 2 c) E(I(f )) = E f (t, ωdt . 0 Zt d) Với 0 ≤ t ≤ T ta có M (t) = f (u, ω)dW (u) là martingale đối với σ− đại số 0 Ft , tức là E(M (t)|Fs ) = M (s), với mọi 0 ≤ s < t ≤ T . 1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ N 2 (0, T ). Khi đó tồn tại một dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φn ∈ N 2 (0, T ) sao cho lim E  ZT n→∞  |φn − f |2 dt = 0. 0 Chứng minh. Bước 1. Tồn tại dãy hn ∈ N 2 (0, T ) sao cho hn bị chặn với mỗi n và  ZT  lim E |hn − f |2 dt = 0. n→∞ 0 Bước 2. Giả sử h ∈ N 2 (0, T ) bị chặn, khi đó tồn tại dãy ngẫu nhiên liên tục bị chặn un ∈ N 2 (0, T ) sao cho  ZT  2 lim E |h − un | dt = 0. n→∞ 0 Bước 3. Nếu u ∈ N 2 (0, T ) là hàm ngẫu nhiên liên tục bị chặn. Khi đó tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φn ∈ N 2 (0, T ) sao cho lim E  ZT n→∞ 0  |u(t, ω) − φn (t, ω)|2 dt = 0. 12 Nhờ các kết quả trên ta suy ra với mỗi hàm f ∈ N 2 (0, T ), tồn tại một dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φn ∈ N 2 (0, T ) sao cho lim E  ZT n→∞  |φn − f |2 dt = 0. 0 Ta có {φn } là dãy Cauchy trong N 2 (0, T ), từ đó suy ra {I(φn )} là dãy Cauchy trong L2 (Ω), do đó tồn tại giới hạn l.i.m I(φn ). n→∞ vì L2 (Ω) là không gian Hilbert. Ta định nghĩa tích phân Itô của hàm f trên [0, T ] là ZT I(f ) = ZT f (t)dW (t) = l.i.m I(φn ) = l.i.m n→∞ φn (t, ω)dW (t). n→∞ 0 0 Định lý sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của tích phân Itô. Định lý 1.1. Với mọi quá trình ngẫu nhiên f, g ∈ N 2 (0, T ) ta có a) Ánh xạ I : N 2 (0, T ) → L2 (Ω); f 7→ I(f ) là tuyến tính.  ZT  b) E f (t, ω)dW (t) = 0. 0 ZT  ZT   ZT  c) E f (t, ω)dW (t) g(t, ω)dW (t) = E f (t, ω)g(t, ω)dt . 0 0 0 Nói riêng, ta có  ZT 2  ZT  E f (t, ω)dW (t) = E f 2 (t, ω)dt . 0 0 Zt d) Với 0 ≤ t ≤ T ta có M (t) = f (u, ω)dW (u) là martingale đối với σ− trường 0 Ft , tức là E(M (t)|Fs ) = M (s), với mọi 0 ≤ s < t ≤ T . 13 e) Với 0 ≤ s < t ≤ T ta có ZT Zt f (u, ω)dW (u) = ZT f (u, ω)dW (u) + s s f (u, ω)dW (u). t 1.3 Vi phân ngẫu nhiên. Công thức Itô 1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên Định nghĩa 1.7. Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: a) Hầu hết quỹ đạo t 7→ X(t, ω) là liên tục. b) Hầu chắc chắn X(t) có biểu diễn Zt X(t) = X(r) + h(s, ω)ds + 0 ở đó h ∈ N 1 (0, T ), g ∈ Zt g(s, ω)dW (s), 0 N 2 (0, T ). Khi đó ta nói X có vi phân ngẫu nhiên Itô và viết dX(t) = h(t, ω)dt + g(t, ω)dW (t), hay viết gọn là dX = hdt + gdW. Quy tắc vi phân Itô Định lý 1.2. Cho quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0} có vi phân ngẫu nhiên dX(t) = h(t)dt + g(t)dW (t). Giả sử u : R+ × R → R (t, x) 7→ u(t, x), là hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t, X(t)), 0 ≤ t ≤ T có vi phân ngẫu nhiên được tính bởi công thức h ∂u ∂u 1 ∂ 2u ∂u dY (t) = (t, X(t))+ (t, X(t))h(t)+ (t, X(t))g 2 (t) dt+ (t, X(t))g(t)dW (t). 2 ∂t ∂x 2 ∂x ∂x i 14 1.3.2 Công thức Itô tổng quát Giả sử X1 (t), X2 (t), ..., Xn (t) là các quá trình ngẫu nhiên có các vi phân ngẫu nhiên là dXk (t) = hk (t, ω)dt + gk (t, ω)dW (t); k = 1, 2, ..., n, ở đó hk ∈ N 1 (0, T ); gk ∈ N 2 (0, T ). Định lý 1.3. Cho u : R+ × Rn → R (t, x1 , x2 , ..., xn ) 7→ u(t, x1 , x2 , ..., xn ), là hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo các biến x1 , x2 , ..., xn . Đặt X(t) = (X1 (t), X2 (t), ..., Xn (t)). Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t, X(t)) có vi phân ngẫu nhiên được tính bởi công thức n n n h ∂u X 1 X X ∂ 2u ∂u dY (t) = ∂t (t, X(t))+ k=1 ∂xk (t, X(t))hk (t)+ n hX ∂u + k=1 ∂xk ∂t (t, X(t))dt+ k=1 j=1 k=1 ∂xj ∂xk (t, X(t))gj (t)gk (t) dt+ i (t, X(t))gk (t) dW (t). Công thức trên được viết gọn dưới dạng n X ∂u ∂u dY (t) = 2 n n 1 X X ∂ 2u (t, X(t))dXk (t)+ (t, X(t))gj (t)gk (t)dt. ∂xk 2 ∂xj ∂xk j=1 k=1 Ví dụ. Xét hàm u(t, x, y) = xy . Nếu dX1 (t) = f1 (t, ω)dt + g1 (t, ω)dW (t), dX2 (t) = f2 (t, ω)dt + g2 (t, ω)dW (t), thì từ công thức Itô suy rộng cho ta d[X1 X2 (t)] = X1 (t)dX2 (t) + X2 (t)dX1 (t) + g1 (t)g2 (t)dt 1.4 1.4.1 i Tích phân Itô nhiều chiều Quá trình Wiener n- chiều Định nghĩa 1.8. Véc tơ ngẫu nhiên W (t) = (W1 (t), W2 (t), ..., Wn (t)), 15 được gọi là quá trình ngẫu nhiên Wiener n- chiều nếu i) Mỗi thành phần Wr (t); r = 1, 2, ..., n là quá trình Wiener. ii) Các thành phần Wr (t); r = 1, 2, ..., n là những quá trình ngẫu nhiên độc lập từng đôi. Nếu mỗi thành phần Wr (t); r = 1, 2, ..., n là quá trình Wiener tiêu chuẩn thì ta có W (t) = (W1 (t), W2 (t), ..., Wn (t)) là quá trình tiêu Wiener chuẩn n- chiều. 1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều Giả sử f = [fij (t, ω)] là ma trận cỡ m × n sao cho mỗi fij (t, ω) thuộc N 2 (0, T ). Khi đó ta định nghĩa Zt X(t) = f dW (s), 0 là ma trận cỡ m × 1 mà thành phần thứ j của nó là Xj = n Z X t fjr (s, ω)dWr (s); j = 1, 2, ..., m. r=1 0 1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều Cho quá trình ngẫu nhiên m- chiều X(t) = (X1 (t), X2 (t), ..., Xm (t)) và quá trình Wiener n- chiều W (t) = (W1 (t), W2 (t), ..., Wn (t)). Giả sử Xj (t) có vi phân ngẫu nhiên dXj = hj (t, ω)dt + n X fjr (t, ω)Wr (t), r=1 ở đây hj ∈ N 1 (0, T ), fjr ∈ N 2 (0, T ) ∀r = 1, 2, .., n; j = 1, 2, ..., m, thì ta nói quá trình ngẫu nhiên X(t) có vi phân ngẫu nhiên m- chiều, ký hiệu là n X dX(t) = h(t, ω)dt + f (t)dW (t, ω) hay dX(t) = h(t, ω)dt + fr (t, ω)dWr (t), r=1 trong đó     f = (f1 , f2 , ..., fr ); h =    h1   f1r   dW1        f2r   dW2       ; fr =  . ; dW =  .  , ..   ..   ..  .       h2  hm fmr dWn 16 Định lý 1.4. Cho vi phân ngẫu nhiên m- chiều dX = h(t)dt + n X fr (t)dWr (t). r=1 Giả sử g(t, x) là ánh xạ từ R+ × Rm → R, trong đó các đạo hàm riêng ∂g(t, x) ∂g(t, x) ∂ 2 g(t, x) , , , ∂t ∂xi ∂xi ∂xj liên tục với mọi i, j = 1, 2, ..., m. Khi đó g(t, X(t)) có vi phân ngẫu nhiên là dg(t, X(t)) = h ∂g(t, X(t)) ∂t + m X i=1 + m X n X i=1 r=1 m m ∂g(t, X(t)) 1 X X ∂ 2 g(t, X(t)) hi + aij dt ∂xi 2 ∂xi ∂xj i i=1 j=1 fri ∂g(t, X(t)) dWr (t), ∂xi ở đây aij là các phần tử của ma trận vuông cấp m, A = f.f ∗ , với f ∗ là ma trận liên hợp của f . 17 Chương 2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên Cho W (t) = (W1 (t), W2 (t), ..., Wn (t)), t ∈ [0, T ] là quá trình Wiener tiêu chuẩn n- chiều với các thành phần độc lập xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Ký hiệu (Ft )t∈[0,T ] là một bộ lọc tự nhiên của W (t). Định nghĩa 2.1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều là phương trình có dạng dX(t) = h(t, X(t))dt + f (t, X(t))dW (t), (2.1) trong đó h(t, x) : [0, T ] × Rm → Rm ; f (t, x) : [0, T ] × Rm → Rm×n . Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên m- chiều, độc lập với quá trình W (t) sao cho E|ξ|2 < ∞. Ta nói quá trình X(t), t ∈ [0, T ] là nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu ξ nếu i) Mỗi thành phần của X(t) thích nghi với bộ lọc (Ft )t∈[0,T ] , đo được đối với σ− trường tích B[0,T ] × Ft và  ZT E  Xi2 (t, ω)dt < ∞ ∀i = 1, 2, ..., m. 0 ii) với xác suất 1 ta có  ZT   ZT  E |h(s, X(s))|ds < ∞ và E |f (s, X(s)|2 ds < ∞. 0 iii) P(X(0) = ξ) = 1. 0 18 iv) với xác suất 1 ta có Zt X(t) = ξ + Zt f (s, X(s))dW (s) ∀t ∈ [0, T ]. h(s, X(s))ds + 0 0 Giả sử X = (X(t), t ∈ [0, T ]) là lời giải của phương trình (2.1). Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện: Giả sử Y = (Y (t), t ∈ [0, T ]) cũng là một lời giải của phương trình trên thì khi đó P{ sup |X(t) − Y (t)| = 0} = 1. 0≤t≤T Chú ý. Phương trình (2.1) còn được viết dưới dạng dX(t) = h(t, X(t))dt + n X fr (t, X(t))dWr (t). (2.2) r=1 Dưới đây là định lý cho sự tồn tại, duy nhất nghiệm của phương trình (2.2). 2.2 Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều (2.2). Định lý 2.1 (Xem Định lý 3.4 [18]). Cho các véc tơ h(s, x), f1 (s, x), ..., fn (s, x) (s ∈ [t0 , T ], x ∈ Rm ) là các hàm liên tục của (s, x), sao cho với hằng số B nào đó thỏa mãn các điều kiện trong toàn bộ miền xác định |h(s, x) − h(s, y)| + n X |fr (s, x) − fr (s, y)| ≤ B|x − y|, r=1 |h(s, x)| + n X (2.3) |fr (s, x)| ≤ B(1 + |x|). r=1 a) Với mỗi biến ngẫu nhiên ξ độc lập với quá trình Wr (t) − Wr (t0 ) sao cho E|ξ|2 < ∞, tồn tại duy nhất quá trình X(t) liên tục hầu chắc chắn là nghiệm của phương trình (2.2) với giá trị ban đầu ξ . b) Nghiệm của phương trình (2.2) là quá trình Markov với hàm chuyển xác suất được xác định bởi P (s, x, t, A) = P{X s,x (t) ∈ A}, 19 ở đây X s,x (t) là nghiệm của phương trình X s,x (t) = x + Zt h(u, X s,x (u))du + s n Z X t fr (u, X s,x (u))dWr (u), r=1 s với điều kiện ban đầu x lấy tại thời điểm s < t, tức X(s) = x. c) Nếu hệ số của phương trình độc lập với s, khi đó hàm chuyển xác suất của quá trình Markov tương ứng là thuần nhất theo thời gian. Chú ý a) Từ nay về sau trong luận văn, ta sẽ thay ký hiệu P{X s,x (t, ω) ∈ A} bởi ký hiệu Ps,x {X(t, ω) ∈ A}. b) Nếu các hàm b(s, x) và f1 (s, x), f2 (s, x), ..., fn (s, x) độc lập với s thì ta chỉ cần quan tâm đến quá trình X 0,x (t) (ta sẽ ký hiệu là X x (t)). Như vậy, chỉ số x cho các biến ngẫu nhiên trong quá trình X x (t) đôi lúc sẽ được đính kèm thêm vào ký hiệu E và P, chính vì thế ta sẽ viết Ex và Px . 2.3 Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Từ Định lý 2.1 ở trên ta thấy rằng nếu điều kiện (2.3) thỏa mãn với mọi t > t0 , khi đó nghiệm của phương trình (2.2) xác định và liên tục với mọi t > t0 . Điều kiện đó khá hạn chế. Ví dụ, bằng trực giác ta thấy rõ ràng rằng bài toán (trong trường hợp 1 chiều) dX(t) = −X 3 (t)dt + dW (t), X(0) = x0 có nghiệm duy nhất với mọi t > 0, nhưng điều kiện (2.3) chỉ thỏa mãn đối với miền compact trong không gian R. Do đó chúng ta rất cần tìm điều kiện rộng hơn cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (2.2). Nếu điều kiện (2.3) đúng với mỗi tập trụ I × UR , trong đó I = [0, +∞) và (n) UR = {x ∈ Rm : |x| < R}, ta có thể xây dựng dãy các hàm hn (t, x) và fr (t, x) sao cho với |x| < n (n) hn (t, x) = h(t, x) và fr (t, x) = fr (t, x), và với mỗi hn , fr(n) thỏa mãn điều kiện (2.3) ở khắp nơi trong Rm . Bởi định lý 2.1, tồn tại dãy quá trình Markov Xn (t) tương ứng với các hàm hn , fr(n) . Để đơn giản hóa các vấn đề, ta chỉ xét trường hợp mà ở đó phân phối của X0 (t) có giá