Tài liệu Mô hình số giải hệ phương trình nước nông hai chiều trên lưới không cấu trúc. Một số kiểm nghiệm và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Nguyễn Tất Thắng MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC. MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI – 2005 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC Nguyễn Tất Thắng MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC. MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60.44.22 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. Dương Ngọc Hải HÀ NỘI – 2005 1 Môc lôc Më ®Çu.........................................................................................................................5 Ch−¬ng 1 Tæng quan ...................................................................................................8 1.1 C¸c m« h×nh to¸n häc vµ mét sè kh¸i niÖm..............................................8 1.2 C¸c ®èi t−îng vËt lý..................................................................................9 1.2.1 CÊu tróc h×nh häc cña khèi n−íc .......................................................9 1.2.2 C¸c tÝnh chÊt cña chÊt láng................................................................9 1.2.3 C¸c d¹ng øng xö trong dßng ch¶y ...................................................10 1.2.4 C¸c lùc ngoµi ...................................................................................11 1.3 HÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu ....................................................11 1.4 C¸c nhãm sè h¹ng vµ ý nghÜa vËt lý cña chóng......................................15 1.4.1 Gia tèc ®Þa ph−¬ng...........................................................................15 1.4.2 Gia tèc convective (sè h¹ng convective) .........................................15 1.4.3 §é dèc cña mÆt tho¸ng....................................................................16 1.4.4 Lùc do øng suÊt giã bÒ mÆt .............................................................16 1.4.5 Ma s¸t ®¸y .......................................................................................16 1.4.6 C¸c lùc khèi.....................................................................................17 1.5 Mét sè d¹ng dÉn xuÊt cña hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu ...........17 1.5.1 D¹ng trong hÖ täa ®é Decard (theo c¸c biÕn u, v vµ h) ...................17 1.5.2 D¹ng kh¸c trong hÖ täa ®é Decard (theo c¸c biÕn qx, qy vµ h) ........18 1.5.3 D¹ng b¶o toµn..................................................................................18 1.6 Mét sè tÝnh chÊt cña hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu....................19 1.7 C¸c tÝnh chÊt cña nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu .....19 2 1.7.1 Sè c¸c ®iÒu kiÖn gi¶i (®iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu) ...........20 1.7.2 D¹ng cña c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu..........................20 1.7.3 Yªu cÇu ®èi víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu................20 1.8 VÒ ph−¬ng ph¸p sè gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu ..............21 1.9 Ph−¬ng ph¸p thÓ tÝch h÷u h¹n (FVM) ....................................................22 1.10 Ph−¬ng ph¸p cña Godunov ...................................................................24 1.11 L−íi kh«ng cÊu tróc vµ c¸c ph−¬ng ph¸p sinh l−íi kh«ng cÊu tróc .....25 1.11.1 Yªu cÇu chung cña l−íi kh«ng cÊu tróc ........................................25 1.11.2 C¸c ph−¬ng ph¸p sinh l−íi kh«ng cÊu tróc ®· ®−îc ph¸t triÓn......26 1.11.3 Mét sè ph−¬ng ph¸p ®ang ®−îc ph¸t triÓn ....................................31 Ch−¬ng 2 Gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu kh«ng dõng, kh«ng cã gi¸n ®o¹n b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n trªn l−íi kh«ng cÊu tróc .......................................33 2.1 HÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu kh«ng dõng tæng qu¸t ................33 2.2 Ph−¬ng ph¸p sai ph©n trªn l−íi kh«ng cÊu tróc......................................33 2.3 §iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu ......................................................38 2.3.1 Biªn cøng .........................................................................................38 2.3.2 Biªn mÒm.........................................................................................38 2.3.3 §iÒu kiÖn ban ®Çu............................................................................38 2.4 C¸ch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sai ph©n ........................................................39 2.5 CÊu tróc ch−¬ng tr×nh .............................................................................39 2.5.1 C¸c thñ tôc tÝnh to¸n chÝnh..............................................................40 2.5.2 S¬ ®å khèi m« ®un tÝnh to¸n............................................................41 2.6 KiÓm ®Þnh ch−¬ng tr×nh víi sè liÖu thÝ nghiÖm dßng ch¶y trµn .............41 2.6.1 M« t¶ thÝ nghiÖm .............................................................................42 3 2.6.2 C¸c th«ng sè m« pháng ...................................................................45 2.6.3 Mét sè kÕt qu¶ tÝnh to¸n so s¸nh .....................................................47 2.6.4 NhËn xÐt ..........................................................................................48 2.7 ¸p dông cho bµi to¸n dßng ch¶y lò trµn do vì ®ª gi¶ ®Þnh ....................49 2.7.1 M« t¶ bµi to¸n..................................................................................49 2.7.2 C¸c th«ng sè m« pháng ...................................................................50 2.7.3 Mét sè kÕt qu¶ m« pháng ................................................................51 2.7.4 NhËn xÐt ..........................................................................................56 Ch−¬ng 3 Gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu kh«ng dõng, cã xÐt ®Õn gi¸n ®o¹n sö dông ph−¬ng ph¸p Godunov víi xÊp xØ hµm dßng kiÓu Roe .......................57 3.1 Ph−¬ng ph¸p Godunov víi xÊp xØ Roe cho bµi to¸n mét chiÒu..............57 3.2 Tæng qu¸t hãa cho hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu ......................62 3.2.1 S¬ ®å sai ph©n..................................................................................63 3.2.2 Xö lý thµnh phÇn ma s¸t t¹i biªn cøng ............................................68 3.3 Ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n dßng ch¶y hai chiÒu cã xÐt ®Õn gi¸n ®o¹n ........72 3.3.1 Ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n.....................................................................72 3.3.2 §iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu ...............................................72 3.3.3 C¸c thñ tôc tÝnh to¸n chÝnh..............................................................73 3.3.4 S¬ ®å khèi m« ®un tÝnh to¸n............................................................74 3.4 KiÓm ®Þnh ch−¬ng tr×nh víi thÝ nghiÖm dßng ch¶y cã gi¸n ®o¹n ..........74 3.4.1 M« t¶ thÝ nghiÖm .............................................................................74 3.4.2 C¸c th«ng sè m« pháng ...................................................................75 3.4.3 KÕt qu¶ tÝnh to¸n so s¸nh ................................................................75 3.4.4 NhËn xÐt ..........................................................................................78 4 3.5 Bµi to¸n dßng ch¶y trong kªnh h×nh ch÷ nhËt, ®¸y ph¼ng......................79 3.5.1 M« t¶ bµi to¸n..................................................................................79 3.5.2 TÝnh to¸n so s¸nh víi m« h×nh DuFlow...........................................81 3.5.3 NhËn xÐt ..........................................................................................84 3.6 Bµi to¸n dßng ch¶y trong s«ng ®Þa h×nh phøc t¹p cã c«ng tr×nh ............85 3.6.1 M« t¶ bµi to¸n..................................................................................85 3.6.2 TÝnh to¸n so s¸nh víi m« h×nh Telemac..........................................87 3.6.3 NhËn xÐt ..........................................................................................89 KÕt luËn .....................................................................................................................91 Danh môc c«ng tr×nh cña t¸c gi¶...............................................................................93 Tµi liÖu tham kh¶o.....................................................................................................93 TiÕng ViÖt.....................................................................................................93 TiÕng Anh .....................................................................................................93 5 Më ®Çu M« h×nh n−íc n«ng mét chiÒu ®· ®−îc nghiªn cøu vµ øng dông réng r·i trong c¸c m« pháng thñy lùc cña c¸c hÖ thèng kªnh, r¹ch hay c¸c m¹ng s«ng Ýt phøc t¹p vÒ mÆt ®Þa h×nh, lßng dÉn. C¸c nghiªn cøu, ¸p dông chuyªn s©u c¸c m« h×nh sè gi¶i bµi to¸n dßng ch¶y n−íc n«ng mét chiÒu cho nhiÒu chÕ ®é dßng ch¶y trong c¸c ®iÒu kiÖn ®Þa h×nh kh¸c nhau ®· ®−îc nghiªn cøu tõ l©u trªn thÕ giíi còng nh− ë ViÖt Nam [6]. Tuy vËy do c¸c h¹n chÕ cña c¸c m« h×nh mét chiÒu mµ kh¶ n¨ng øng dông cña chóng trong mét sè tr−êng hîp, khi bµi to¸n ®−îc xÊp xØ b»ng m« h×nh mét chiÒu lµ kh«ng tèt, cÇn ph¶i cã sù xem xÐt kü. Bªn c¹nh c¸c h¹n chÕ cña m« h×nh dßng ch¶y n−íc n«ng mét chiÒu th× tÝnh phøc t¹p cïng khèi l−îng tÝnh to¸n lín cña c¸c m« h×nh gi¶i sè dßng ch¶y ba chiÒu mµ trong mét sè tr−êng hîp m« h×nh dßng ch¶y n−íc n«ng hai chiÒu lµ lùa chän phï hîp. ViÖc m« h×nh ho¸ c¸c dßng ch¶y n−íc n«ng dùa trªn viÖc gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh Saint Venant hai chiÒu ®· vµ ®ang ®−îc nghiªn cøu, øng dông ë nhiÒu n¬i trªn thÕ giíi còng nh− ë ViÖt Nam. Thùc tÕ cho thÊy viÖc m« pháng dßng ch¶y n−íc n«ng hai chiÒu, cã hoÆc kh«ng xÐt ®Õn c¸c tÝnh chÊt gi¸n ®o¹n trong dßng ch¶y, trong c¸c ®iÒu kiÖn ®Þa h×nh phøc t¹p kh¸c nhau nh− c¸c khu ®« thÞ, c¸c miÒn tho¸t lò víi sù cã mÆt cña c¸c c«ng tr×nh trong miÒn tÝnh nh»m phôc vô c¸c yªu cÇu tÝnh to¸n dù b¸o, quy ho¹ch phßng chèng lò lôt ®· ®Æt ra nhu cÇu ph¸t triÓn c¸c m« h×nh gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu trªn l−íi kh«ng cÊu tróc do tÝnh mÒm dÎo, thÝch øng cao cña nã. Cïng víi sù ph¸t triÓn cña kü thuËt tÝnh to¸n còng nh− kh¶ n¨ng cña m¸y tÝnh, c¸c ph−¬ng ph¸p sè sö dông l−íi tÝnh to¸n kh«ng cÊu tróc còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p sinh l−íi kh«ng cÊu tróc ngµy cµng ®−îc ph¸t triÓn m¹nh. Cã hai ph−¬ng ph¸p sè th−êng sö dông l−íi kh«ng cÊu tróc gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu lµ ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n (FEM) vµ ph−¬ng ph¸p thÓ tÝch h÷u h¹n (FVM). Ph−¬ng ph¸p FEM mét mÆt phøc t¹p vÒ lËp tr×nh, chi phÝ lËp tr×nh vµ khèi l−îng tÝnh to¸n lín, mÆt kh¸c trong c¸c nghiªn cøu hiÖn t¹i, trong 6 tr−êng hîp hai chiÒu, ph−¬ng ph¸p nµy còng míi chØ dõng ë møc ®é ¸p dông ®èi víi l−íi tam gi¸c nªn d−êng nh− xu h−íng hiÖn nay trªn thÕ giíi lµ sö dông ph−¬ng ph¸p FVM [7]. So víi ph−¬ng ph¸p FEM, ph−¬ng ph¸p FVM kh«ng nh÷ng ®ßi hái khèi l−îng tÝnh to¸n Ýt h¬n mµ cßn cho c¸c s¬ ®å b¶o toµn víi c¸c tÝnh chÊt b¾t gi¸n ®o¹n bëi ph−¬ng ph¸p nµy dùa trªn d¹ng tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh b¶o toµn [8, pp.3841]. Trong mét sè nghiªn cøu b−íc ®Çu [1 - 5] häc viªn còng ®· t×m hiÓu, nghiªn cøu vµ ¸p dông thö nghiÖm c¸c kü thuËt rêi r¹c ho¸ trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p FVM. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ: thùc hiÖn c¸c nghiªn cøu ¸p dông c¬ së lý thuyÕt, x©y dùng vµ kiÓm nghiÖm m« h×nh gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu trªn l−íi kh«ng cÊu tróc theo hai h−íng kü thuËt rêi r¹c hãa kh¸c nhau. H−íng thø nhÊt lµ ¸p dông kÕt hîp ph−¬ng ph¸p FVM vµ kü thuËt sai ph©n ng−îc dßng (upwind) øng dông cho c¸c bµi to¸n dßng ch¶y trµn hai chiÒu tæng qu¸t kh«ng dõng kh«ng cã gi¸n ®o¹n. H−íng nµy do mét sè t¸c gi¶ NhËt B¶n nghiªn cøu ph¸t triÓn [9]. H−íng thø hai lµ kÕt hîp ph−¬ng ph¸p FVM, ph−¬ng ph¸p Godunov víi xÊp xØ hµm dßng kiÓu Roe gi¶i c¸c bµi to¸n Riemann ®Þa ph−¬ng, ®−îc ph¸t triÓn cho l−íi kh«ng cÊu tróc. S¬ ®å nµy, cã sö dông kÕt hîp kü thuËt sai ph©n ng−îc dßng, cã kh¶ n¨ng m« pháng tèt c¸c tÝnh chÊt gi¸n ®o¹n cña dßng ch¶y [7]. H−íng nghiªn cøu nµy hiÖn nay ®ang ®−îc thÕ giíi quan t©m nghiªn cøu, øng dông [10, 11, 12, 13, 14, 15]. C¸c m« h×nh sè ®−îc nghiªn cøu, x©y dùng sÏ lµ c¬ së ban ®Çu quan träng cho nh÷ng øng dông thùc tÕ tiÕp theo nh− nghiªn cøu ®¸nh gi¸ qu¸ tr×nh lò trµn hay qu¸ tr×nh lan truyÒn sãng gi¸n ®o¹n do vì ®ª, ®Ëp trong c¸c miÒn hai chiÒu. Chóng còng cã thÓ ®−îc sö dông ®Ó ghÐp nèi víi c¸c m« h×nh mét chiÒu m« pháng ®ång thêi diÔn biÕn lò trong s«ng (dßng ch¶y mét chiÒu) vµ qu¸ tr×nh lò ë b·i s«ng hay c¸c miÒn tho¸t lò (dßng ch¶y hai chiÒu). §ång thêi chóng còng cã thÓ lµ c¬ së cho mét sè øng dông kh¸c cã liªn quan trong lÜnh vùc m«i tr−êng nh− khi ghÐp nèi víi c¸c bµi to¸n vÒ m« pháng chÊt l−îng m«i tr−êng n−íc s«ng ngßi, ao hå hoÆc c¸c bµi to¸n vÒ båi xãi, vËn chuyÓn bïn c¸t v.v. Néi dung cña luËn v¨n gåm c¸c phÇn chÝnh sau: • PhÇn Më ®Çu gåm c¸c giíi thiÖu chung vÒ ®Ò tµi, c¸c nghiªn cøu liªn quan, 7 ph¹m vi nghiªn cøu, ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn cña ®Ò tµi vµ néi dung luËn v¨n. • Ch−¬ng 1 giíi thiÖu vÒ c¬ së vËt lý, to¸n häc, hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu, c¸c ph−¬ng ph¸p sè sÏ ®−îc sö dông trong c¸c ch−¬ng tiÕp theo gåm ph−¬ng ph¸p FVM vµ ph−¬ng ph¸p Godunov, mét sè vÊn ®Ò kh¸i qu¸t vÒ l−íi kh«ng cÊu tróc. • Ch−¬ng 2 tr×nh bµy kü thuËt rêi r¹c ho¸ trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p FVM kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p sai ph©n ng−îc dßng ¸p dông cho hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu kh«ng dõng, kh«ng cã gi¸n ®o¹n, s¬ ®å khèi ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n cña ph−¬ng ph¸p, kÕt qu¶ kiÓm nghiÖm m« h×nh nµy b»ng c¸ch so s¸nh kÕt qu¶ tÝnh to¸n víi sè liÖu thÝ nghiÖm dßng ch¶y trµn theo m« h×nh khu vùc ®« thÞ vµ kÕt qu¶ ¸p dông thö nghiÖm m« pháng lò trµn do vì ®ª gi¶ ®Þnh vµo khu vùc Hµ Néi. • Ch−¬ng 3 tr×nh bµy kü thuËt rêi r¹c ho¸ trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p FVM kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p Godunov víi xÊp xØ hµm dßng kiÓu Roe trªn c¹nh, kü thuËt xö lý sè h¹ng nguån ¸p dông cho hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu d¹ng b¶o toµn cã xÐt ®Õn tÝnh chÊt gi¸n ®o¹n cã thÓ tån t¹i trong dßng ch¶y, s¬ ®å khèi ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n cña ph−¬ng ph¸p, kÕt qu¶ kiÓm nghiÖm m« h×nh (so s¸nh víi sè liÖu thÝ nghiÖm dßng ch¶y cã gi¸n ®o¹n do vì ®Ëp tøc thêi cña CADAM) vµ c¸c kÕt qu¶ ¸p dông m« h×nh nµy tÝnh to¸n dßng ch¶y hai chiÒu trong s«ng. • PhÇn cuèi lµ mét sè kÕt luËn vµ nh÷ng vÊn ®Ò cÇn nghiªn cøu tiÕp. PhÇn nµy ghi nhËn tãm t¾t nh÷ng thu nhËn chÝnh cña luËn v¨n vµ nªu mét sè vÊn ®Ò, theo ý kiÕn cña t¸c gi¶, cã thÓ lµ ®èi t−îng cña c¸c nghiªn cøu tiÕp theo. Ngoµi ra cßn cã danh môc Tµi c¸c liÖu tham kh¶o liªn quan ®Õn chñ ®Ò cña luËn v¨n. 8 Ch−¬ng 1 Tæng quan 1.1 C¸c m« h×nh to¸n häc vµ mét sè kh¸i niÖm C¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng ®· vµ ®ang trë thµnh mét c«ng cô phæ biÕn cho viÖc m« h×nh hãa c¸c bµi to¸n kü thuËt vµ m«i tr−êng cã liªn quan ®Õn c¸c dßng ch¶y kh«ng dõng. C¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng ®−îc b¾t nguån tõ nh÷ng nghiªn cøu tõ thÕ kû XIX cña nhµ to¸n häc ng−êi Ph¸p BarrÌ de Saint Venant [16]. MÆc dï c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã lµ nh÷ng m« t¶ ®· ®−îc ®¬n gi¶n hãa cña mét hiÖn t−îng phøc t¹p, chóng ®· chøa ®ùng c¸c ®Æc tÝnh quan träng nhÊt chi phèi chuyÓn ®éng kh«ng dõng cña chÊt láng. Víi sù xuÊt hiÖn cña c¸c thÕ hÖ m¸y tÝnh hiÖn ®¹i kÕt hîp víi c¸c kü thuËt tÝnh to¸n ngµy cµng hiÖu qu¶, nghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã ngµy nay ®· cã thÓ hiÓu râ vµ m« t¶ kh¸ chÝnh x¸c. VÊn ®Ò lín nhÊt ®èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng lµ chóng cã thÓ chøa ®ùng c¸c nghiÖm kh«ng liªn tôc. §Æc tÝnh phi tuyÕn cña c¸c ph−¬ng tr×nh còng hµm chøa r»ng c¸c nghiÖm gi¶i tÝch cña nh÷ng ph−¬ng tr×nh ®ã chØ h¹n chÕ trong mét sè tr−êng hîp bµi to¸n rÊt ®Æc biÖt. HÖ qu¶ lµ c¸c ph−¬ng ph¸p sè cÇn ph¶i ®−îc sö dông ®Ó thu nhËn c¸c nghiÖm xÊp xØ. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng víi c¸c kü thuËt truyÒn thèng, ch¼ng h¹n nh− sö dông s¬ ®å Preissmann, ®· ®−îc nghiªn cøu nhiÒu [17]. Cã nhiÒu s¬ ®å sè kh¸c nhau, sö dông c¸c tÝnh chÊt cña c¸c hÖ hyperpolic, ®· ®−îc ph¸t triÓn ®Ó gi¶i quyÕt mét c¸ch chuÈn x¸c c¸c tÝnh chÊt kh«ng liªn tôc trong dßng ch¶y mµ vÉn cho nghiÖm chuÈn x¸c trong c¸c miÒn nghiÖm tr¬n. Nh÷ng s¬ ®å ®ã ®· vµ ®ang ®−îc ph¸t triÓn cho c¸c hÖ ®Þnh luËt b¶o toµn tæng qu¸t ch¼ng h¹n nh− c¸c ph−¬ng tr×nh Euler cho ®éng häc c¸c chÊt khÝ. GÇn ®©y h¬n, c¸c kü thuËt ®ã ®· ®−îc ¸p dông vµo gi¶i sè c¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng. Trong c¸c m« h×nh “b¾t” gi¸n ®o¹n c¸c s¬ ®å hiÖn th−êng hay ®−îc sö dông h¬n lµ c¸c s¬ ®å Èn. §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn, ch¼ng h¹n c¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng, viÖc sö dông s¬ ®å Èn t¹o ra hÖ c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i sè phi tuyÕn. Trong 9 tr−êng hîp ®ã hoÆc lµ thñ tôc gi¶i lÆp sÏ ®−îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã hoÆc lµ to¸n tö Èn sÏ ®−îc tuyÕn tÝnh hãa ®Ó tr¸nh tiªu tèn thêi gian víi thñ tôc gi¶i lÆp. §èi víi c¸c bµi to¸n dßng ch¶y dõng, c¸c s¬ ®å Èn ®−îc tuyÕn tÝnh hãa t¹o ra nh÷ng thuËn lîi rÊt lín so víi c¸c s¬ ®å hiÖn [18]. §èi víi c¸c bµi to¸n dßng ch¶y kh«ng dõng, tÝnh æn ®Þnh vµ chÝnh x¸c cã thÓ kh«ng ®−îc ®¶m b¶o do viÖc tuyÕn tÝnh hãa vµ do bÞ h¹n chÕ bëi ®iÒu kiÖn CFL [18]. MÆc dï vËy c¸c s¬ ®å hiÖn còng cã sù phô thuéc vµo sù h¹n chÕ th«ng th−êng cña sè Courant, do vËy th−êng c¸c s¬ ®å hiÖn tÝnh to¸n rÊt l©u nªn chóng cßn cÇn ®−îc nghiªn cøu gi¶m thiÓu thêi gian tÝnh to¸n. 1.2 C¸c ®èi t−îng vËt lý Khi xem xÐt dßng ch¶y n−íc n«ng ta tu©n theo c¸c quy −íc sau [19, pp.1-3]: 1.2.1 CÊu tróc h×nh häc cña khèi n−íc CÊu tróc h×nh häc cña khèi n−íc ®−îc ®Æc tr−ng bëi: • MÆt tho¸ng • §é dèc ®¸y tho¶i, nÕu gäi α lµ gãc nghiªng th× tan (α ) ≈ α vµ kh«ng cã bÊt kú sù biÕn ®æi ®ét ngét nµo ®èi víi ®Þa h×nh ®¸y. • N−íc n«ng: ®é s©u cét n−íc (h) nhá h¬n rÊt nhiÒu so víi b−íc sãng hoÆc chiÒu dµi ®Æc tr−ng cña khèi n−íc L. Nh×n chung h/L cì 10-3 ®Õn 10-4. • KÝch cì kh«ng gian theo chiÒu ngang tõ cì 1m ®Õn cì 1000km. 1.2.2 C¸c tÝnh chÊt cña chÊt láng • TÝnh liªn tôc: c¸c tÝnh chÊt c¬ häc vµ vËt lý cña chÊt láng kh«ng ®¹t ®Õn gi¸ trÞ v« h¹n hoÆc chøa ®ùng b−íc nh¶y ë bÊt kú mét ®iÓm rêi r¹c nµo. • TÝnh nhít: víi dßng ch¶y ph©n tÇng, chÊt láng cã thÓ ®−îc m« t¶ mét c¸ch xÊp xØ nh− lµ chÊt láng Newton trong ®ã nhít ph©n tö ®ãng vai trß quan träng. Víi c¸c dßng ch¶y rèi, chÊt láng lµ phi Newton vµ ®−îc ®Æc tr−ng bëi nhít rèi. 10 • TÝnh kh«ng nÐn ®−îc: mËt ®é cña c¸c phÇn tö chÊt láng kh«ng thay ®æi theo chuyÓn ®éng. • TÝnh ®ång nhÊt: chÊt láng, m«i tr−êng trong qu¸ tr×nh truyÒn t¶i vËt chÊt vµ dÉn nhiÖt, ®−îc trén lÉn tèt, hay ph©n bè theo kh«ng gian cña mËt ®é cña chÊt láng kh«ng cã ¶nh h−ëng ®Õn dßng ch¶y. TÝnh ®ång nhÊt cïng víi tÝnh kh«ng nÐn ®−îc hµm ý r»ng mËt ®é ρ lµ h»ng sè. Ta th−êng xem gi¸ trÞ cña mËt ®é cña n−íc tÝnh khiÕt lµ 1000kg/m3, n−íc biÓn lµ 1025kg/m3. • TÝnh ®¼ng h−íng: c¸c tham sè tÝnh chÊt vËt chÊt, vÝ dô nh− hÖ sè nhít µ , kh«ng thay ®æi theo h−íng. 1.2.3 C¸c d¹ng øng xö trong dßng ch¶y Dßng ch¶y dõng cã thÓ ®−îc xem nh− lµ giíi h¹n cña dßng ch¶y kh«ng dõng d−íi c¸c ®iÒu kiÖn ngoµi cè ®Þnh khi thêi gian t¨ng v« h¹n. Trong tÝnh to¸n dßng ch¶y n−íc n«ng th−êng ta sö dông mét mÆt ph¼ng n»m ngang nh− lµ mÆt ph¼ng täa ®é vµ bá qua tÝnh cong cña vá tr¸i ®Êt. Do tÝnh n«ng, vËn tèc theo ph−¬ng ngang trªn trôc th¼ng ®øng ®−îc coi lµ cã mét ph©n bè thèng nhÊt mét c¸ch t−¬ng ®èi do vËy trung b×nh hãa theo chiÒu s©u lµ cã thÓ ¸p dông ®−îc. Do ®ã mµ dßng ch¶y ba chiÒu cã thÓ ®−îc ®¬n gi¶n hãa nh− dßng ch¶y hai chiÒu trong mÆt ph¼ng b»ng viÖc tÝch ph©n vËn tèc ngang theo ph−¬ng th¼ng ®øng ®Ó nhËn ®−îc gi¸ trÞ trung b×nh theo chiÒu s©u vµ b»ng viÖc bá qua ¶nh h−ëng cña vËn tèc theo ph−¬ng th¼ng ®øng. Dßng ch¶y th−êng lµ xo¸y, trong ®ã c¸c sù kÕt hîp, truyÒn t¶i, khuÕch t¸n vµ tiªu t¸n xo¸y cã thÓ x¶y ra mét c¸ch ®ång thêi vµ liªn tôc. NhiÖt ®é th−êng ®−îc coi nh− h»ng sè do qu¸ tr×nh sinh nhiÖt do ma s¸t vµ qu¸ tr×nh truyÒn nhiÖt lµ cã thÓ bá qua. NÕu cã sù thay ®æi nhiÖt ®é ta còng kh«ng xÐt ®Õn sù biÕn ®æi mËt ®é, ®é nhít vµ tÝnh dÉn nhiÖt do vËy tr−êng dßng ch¶y ®−îc t¸ch khái tr−êng nhiÖt ®é, chóng cã thÓ ®−îc tÝnh to¸n riªng rÏ. Cao tr×nh mÆt tho¸ng biÕn thiªn ®Òu víi ®é cong nhá, do ®ã so s¸nh víi gia tèc träng tr−êng th× gia tèc theo ph−¬ng th¼ng ®øng cã thÓ ®−îc bá qua. §iÒu nµy còng 11 t−¬ng tù nh− gi¶ thiÕt ¸p suÊt thñy tÜnh. Søc c¨ng bÒ mÆt cã thÓ bá qua. Cì thêi gian cña dßng ch¶y tõ vµi gi©y ®Õn nhiÒu ngµy. 1.2.4 C¸c lùc ngoµi • Lùc hÊp dÉn lµ lùc chÝnh chi phèi dßng ch¶y. • Lùc qu¸n tÝnh Coriolis do chuyÓn ®éng quay cña tr¸i ®Êt quanh trôc. • Lùc g©y ra thñy triÒu. • C¸c lùc ma s¸t gi÷a dßng ch¶y vµ ®¸y. Sù tiªu t¸n n¨ng l−îng c¬ häc do nhít rèi vµ nhít ph©n tö còng cã thÓ ®uîc kÕt hîp vµo trong sè h¹ng nµy. • Lùc øng suÊt giã do tr−êng giã trªn mÆt tho¸ng. • Lùc gradient ¸p suÊt do tr−êng ¸p suÊt khÝ quyÓn trªn mÆt tho¸ng. Ba lùc ®Çu tiªn ë trªn lµ lùc khèi, gi¸ trÞ cña chóng liªn quan ®Õn mËt ®é n−íc trong khi c¸c lùc cßn l¹i phô thuéc vµo diÖn tÝch mÆt tho¸ng cña khèi n−íc ®−îc nghiªn cøu. 1.3 HÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu C¸c ph−¬ng tr×nh thñy ®éng lùc häc 3 chiÒu tæng qu¸t m« t¶ ®éng l−îng vµ tÝnh liªn tôc cña chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc víi mËt ®é h»ng sè vµ kh«ng xÐt ®Õn søc c¨ng bÒ mÆt cã thÓ ®−îc biÓu diÔn nh− sau [20]: ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p 1 ⎡ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx ⎤ +u +v +w =− + + + + Fx ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ρ ⎢⎣ ∂x ∂y ∂z ⎥⎦ ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p 1 ⎡ ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ⎤ +u +v +w =− + + + + Fy ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ρ ⎢⎣ ∂x ∂y ∂z ⎥⎦ ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p 1 ⎡ ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz ⎤ +u +v +w =− + + + + Fz ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ρ ⎢⎣ ∂x ∂y ∂z ⎥⎦ (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) trong ®ã u, v, w lµ c¸c gi¸ trÞ t−¬ng øng khi chiÕu vect¬ vËn tèc lªn c¸c trôc täa ®é x, 12 y, z; ρ lµ mËt ®é n−íc; p lµ ¸p suÊt thñy tÜnh cña n−íc; Fx, Fy vµ Fz lµ c¸c thµnh phÇn theo ph−¬ng x, y, z cña lùc khèi trªn mçi ®¬n vÞ khèi l−îng; τ lµ øng suÊt tr−ît víi c¸c quy −íc sau: chØ sè d−íi ®Çu tiªn chØ h−íng ph¸p tuyÕn víi mÆt ph¼ng ®ang ®−îc xÐt, chØ sè d−íi thø hai chØ h−íng cña øng suÊt. C¸c ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t trªn m« t¶ cho c¶ hai hiÖn t−îng dßng ch¶y ph©n tÇng vµ dßng ch¶y rèi. §èi víi dßng ch¶y rèi c¸c thµnh phÇn u, v vµ w biÓu diÔn vËn tèc trung b×nh trong kho¶ng thêi gian ®ñ nhá. C¸c øng suÊt tr−ît biÓu diÔn nh− ë trªn bao gåm c¶ øng suÊt nhít vµ øng suÊt Reynold ph¸t sinh tõ sù ®èi l−u ®éng l−îng cña c¸c chuyÓn ®éng rèi. §Ó ng¾n gän chØ c¸c biÓu thøc øng suÊt tr−ît trong ph−¬ng tr×nh (1.2) ®−îc tr×nh bµy d−íi ®©y. C¸c biÓu thøc øng suÊt tr−ît trong c¸c ph−¬ng tr×nh (1.3) vµ (1.4) ®−îc ®Þnh nghÜa hoµn toµn t−¬ng tù. ∂u − ρ u 'u ' ∂x ∂u τ yx = µ − ρ (u 'v ' ) ∂y ∂u τ zx = µ − ρ (u ' w' ) ∂z τ xx = µ ( ) (1.5) (1.6) (1.7) trong ®ã µ lµ hÖ sè nhít ®éng häc cña n−íc; u’, v’ vµ w’ lµ c¸c dao ®éng cña c¸c thµnh phÇn vËn tèc quanh gi¸ trÞ trung b×nh t−¬ng øng cña chóng vµ dÊu ngoÆc chØ sù trung b×nh hãa trong mét kho¶ng thêi gian ®ñ nhá. Trong c¸c ph−¬ng tr×nh ë trªn c¸c nhãm sè h¹ng thø nhÊt vµ thø hai trong c¸c vÕ ph¶i cña c¸c ph−¬ng tr×nh biÓu diÔn øng suÊt nhít vµ øng suÊt Reynold t−¬ng øng. z y i ξ ( x, y , t ) h = ξ −η η ( x, y , t ) q f x H×nh 1.1 S¬ ®å biÓu diÔn dßng ch¶y n−íc n«ng trong hÖ täa ®é Decard 3 chiÒu C¸c ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc sau ®©y ®−îc ®Þnh nghÜa cho c¸c ph−¬ng tr×nh 13 ®éng häc tæng qu¸t: t¹i mÆt tho¸ng: z=ξ(x,y,t) dz dξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ = = + uξ + vξ = wξ − R( x, y, t ) dt dt ∂t ∂x ∂y (1.8) t¹i mÆt ®¸y: z=η (x,y,t) dz dη ∂η ∂η ∂η = = + uη + vη = wη + F ( x, y, t ) dt dt ∂t ∂x ∂y (1.9) trong ®ã ξ, η lµ c¸c cao tr×nh cña mÆt tho¸ng vµ mÆt ®¸y t−¬ng øng; uξ , vξ vµ wξ lµ c¸c thµnh phÇn vËn tèc ë mÆt tho¸ng theo c¸c ph−¬ng x, y vµ z; uη , vη vµ wη lµ c¸c thµnh phÇn vËn tèc ë mÆt ®¸y theo c¸c ph−¬ng x, y vµ z; R lµ l−îng m−a; F lµ tèc ®é thÈm thÊu qua ®¸y. C¸c ph−¬ng tr×nh dßng ch¶y hai chiÒu ®−îc thu nhËn b»ng viÖc trung b×nh hãa c¸c ph−¬ng tr×nh (1.1) – (1.4) theo chiÒu s©u sö dông c¸c ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc (1.8 vµ 1.9) cïng mét sè gi¶ thiÕt [21] vµ c¸c ph−¬ng tr×nh hai chiÒu sÏ cã d¹ng: ∂ (ξ − η ) ∂qx ∂q y + + = R ( x, y , t ) − F ( x, y , t ) ∂t ∂x ∂y ∂qx ∂ β x qx2 (ξ − η ) ∂ β xy qx q y (ξ − η ) + + − uξ R = ∂t ∂x ∂y [ ] [ ] ⎡ ∂ (ξ − η ) ∂η ⎤ 1 ξ − g (ξ − η )⎢ + + τ x − τ ηx ⎥ ∂x ⎦ ρ ⎣ ∂x 2 ∂q y ∂ β y q y (ξ − η ) ∂ β xy q x q y (ξ − η ) + + − vξ R = ∂t ∂y ∂x ( [ ] [ (1.11) ) ] ⎡ ∂ (ξ − η ) ∂η ⎤ 1 ξ + τ y − τ ηy − g (ξ − η )⎢ + ⎥ ∂y ⎦ ρ ⎣ ∂y ( (1.10) (1.12) ) trong ®ã g lµ gia tèc träng tr−êng; q lµ l−u l−îng dßng ch¶y trªn mçi ®¬n vÞ chiÒu réng; τ ξ lµ øng suÊt tr−ît trªn mÆt tho¸ng; τ η lµ øng suÊt tr−ît t¹i mÆt ®¸y; β lµ hÖ sè hiÖu chØnh ®éng l−îng ®Ó xÐt ®Õn ¶nh h−ëng cña tÝnh kh«ng ®ång nhÊt cña ph©n bè vËn tèc; c¸c hÖ sè d−íi x vµ y lµ chØ sè chØ ph−¬ng. §èi víi dßng ch¶y ph©n tÇng, øng suÊt nhít chiÕm −u thÕ vµ cã thÓ bá qua øng suÊt Reynold. Ph−¬ng tr×nh cho øng suÊt tr−ît t¹i biªn mÆt ®¸y khi ®ã ®−îc x¸c ®Þnh 14 nh− sau: 2 2 f qx (qx + q y ) τx = ρ 8 (ξ − η )2 12 η 2 2 f q y (qx + q y ) τy = ρ 8 (ξ − η )2 12 η (1.13) (1.14) trong ®ã f lµ hÖ sè c¶n trë dßng ch¶y. §èi víi dßng ch¶y ph©n tÇng, hÖ sè c¶n dßng ch¶y ®−îc ®Þnh nghÜa bëi ph−¬ng tr×nh Darcy-Weisbach nh− sau: f=K0/Re (1.15) trong ®ã K0 lµ tham sè nh¸m bÒ mÆt vµ Re lµ sè Reynolds cña dßng ch¶y. §èi víi dßng ch¶y rèi, øng suÊt Reynolds chiÕm −u thÕ vµ øng suÊt nhít cã thÓ bá qua. Lùc øng suÊt tr−ît trªn biªn cã thÓ xÊp xØ bëi ph−¬ng tr×nh Manning nh− sau: n2 τx = g (qx2 + q y2 )1 2 43 (ξ − η ) (1.16) n2 τy = g (qx2 + q y2 )1 2 43 (ξ − η ) (1.17) η η trong ®ã n lµ hÖ sè nh¸m Manning. C¶ hai ph−¬ng tr×nh Darcy-Weisbach vµ ph−¬ng tr×nh Manning ®Òu ®−îc thu nhËn cho dßng ch¶y dõng vµ ®ång nhÊt. Do vËy c¸c ph−¬ng tr×nh øng suÊt tr−ît trªn biªn ®−îc cho ë trªn chØ ®−îc xem nh− lµ mét xÊp xØ. C¸c hÖ sè K0 vµ n th−êng ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch chuÈn hãa hay hiÖu chØnh theo c¸c sè liÖu ®o ®¹c. B¶ng gi¸ trÞ cña hai tham sè ®ã trong mèi liªn hÖ víi c¸c ®iÒu kiÖn bÒ mÆt cã thÓ ®−îc t×m thÊy trong nhiÒu tµi liÖu chuyªn kh¶o (vÝ dô theo [22]). Lùc øng suÊt tr−ît trªn mÆt tho¸ng th−êng ®−îc t¹o ra bëi hai yÕu tè: m−a vµ giã. Trong khi ¶nh h−ëng cña giã ®èi víi dßng ch¶y trªn mÆt ®Êt cã thÓ ®−îc bá qua th× ¶nh h−ëng cña m−a lµ ®¸ng kÓ. Khi c¸c h¹t m−a r¬i vµo dßng n−íc ®ang ch¶y, chóng ¶nh h−ëng ®Õn mÆt tho¸ng cña dßng ch¶y vµ t¹o ra rèi trong dßng ch¶y. Nh÷ng yÕu tè ®ã cã thÓ g©y mÊt m¸t n¨ng l−îng vµ lµm gia t¨ng søc c¶n dßng ch¶y [23]. Nh÷ng ¶nh h−ëng ®ã lµ lín h¬n ®èi víi dßng ch¶y n−íc n«ng ph©n tÇng nh−ng 15 l¹i nhá h¬n ®èi víi dßng ch¶y n−íc s©u vµ dßng ch¶y rèi. Khi n−íc trë nªn s©u h¬n vµ dßng ch¶y trë nªn rèi h¬n th× ¶nh h−ëng cña m−a ®Õn søc c¶n dßng ch¶y cã thÓ ®−îc bá qua [24]. Tãm l¹i, trong kh«ng gian hai chiÒu c¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng d−íi d¹ng b¶o toµn ®−îc viÕt nh− sau [19]: ht + (hu )x + (hv )y = 0 (uh )t + ⎛⎜ u 2h + 1 gh 2 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠x (1.18) + (uhv )y = − gh(S0 x − S fx ) (vh)t + (uvh)x + ⎛⎜ v 2 h + 1 gh 2 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠y = − gh(S 0 y − S fy ) (1.19) (1.20) trong ®ã h = ξ − η lµ ®é s©u; u vËn tèc trung b×nh theo chiÒu s©u theo ph−¬ng x; v lµ vËn tèc trung b×nh theo chiÒu s©u theo ph−¬ng y; g lµ gia tèc träng tr−êng; t lµ thêi gian; S0x vµ S0y lµ ®é dèc ®¸y theo ph−¬ng x vµ y; Sfx vµ Sfy t−¬ng øng lµ hÖ sè ma s¸t theo c¸c ph−¬ng x vµ y trong hÖ täa ®é Decard. 1.4 C¸c nhãm sè h¹ng vµ ý nghÜa vËt lý cña chóng 1.4.1 Gia tèc ®Þa ph−¬ng C¸c sè h¹ng qu¸n tÝnh ®Þa ph−¬ng, vÝ dô ∂u ∂t , biÓu diÔn tèc ®é thay ®æi theo thêi gian cña vËn tèc ë bÊt kú mét ®iÓm cè ®Þnh nµo vµ lµ nh÷ng sè h¹ng duy nhÊt thÓ hiÖn tÝnh kh«ng dõng cña cña dßng ch¶y [19, pp.26]. 1.4.2 Gia tèc convective (sè h¹ng convective) C¸c biÓu thøc gia tèc convective, vÝ dô u∂u ∂x , biÓu diÔn ¶nh h−ëng cña gradient theo kh«ng gian cña vËn tèc ®ang ®−îc truyÒn t¶i theo dßng ch¶y. Ng−êi ta còng ®· chØ ra r»ng c¸c sè h¹ng ®ã còng quyÕt ®Þnh sù h×nh thµnh vµ truyÒn t¶i xo¸y. Tæng cña c¸c sè h¹ng gia tèc ®Þa ph−¬ng vµ gia tèc convective chÝnh lµ ®¹o hµm vËt chÊt thÓ hiÖn gia tèc tæng thÓ cña h¹t chÊt láng, biÓu thøc tæng ®−îc gäi lµ sè h¹ng qu¸n tÝnh. B»ng viÖc lo¹i bá sè h¹ng gia tèc convective, hÖ ph−¬ng tr×nh trë thµnh tuyÕn tÝnh. XÊp xØ nµy phï hîp trong tr−êng hîp sè Reynold nhá. Thùc nghiÖm chøng tá r»ng xÊp xØ nh− vËy tho¶ m·n tÝnh æn ®Þnh tÝnh to¸n. Tuy nhiªn c¬ 16 chÕ cña sù t¹o thµnh vµ lan truyÒn xo¸y khi ®ã sÏ bÞ mÊt do ®ã c¸c xo¸y vµ hoµn l−u cã thÓ kh«ng m« pháng ®−îc n÷a [19, pp.26]. 1.4.3 §é dèc cña mÆt tho¸ng C¸c sè h¹ng ®é dèc mÆt tho¸ng, vÝ dô g ∂z ∂x , biÓu diÔn t¸c ®éng cña träng tr−êng. §èi víi dßng ch¶y n−íc n«ng cã mÆt tho¸ng, nh÷ng sè h¹ng ®ã th−êng lµ c¸c yÕu tè t¸c ®éng chÝnh vµ chóng ph¸t sinh tõ gi¶ thiÕt ¸p suÊt thñy tÜnh. Trong c¸c nghiªn cøu lý thuyÕt chóng ta th−êng hay ph©n tÝch thµnh phÇn ®ã thµnh ⎛ ∂h ∂η ⎞ + ⎟ . PhÇn thø nhÊt biÓu diÔn gradient ¸p ⎝ ∂x ∂x ⎠ gradient ¸p suÊt vµ ®é dèc ®¸y, g ⎜ suÊt do biÕn thiªn ®é s©u, phÇn thø hai biÓu diÔn ¶nh h−ëng cña ®Þa h×nh ®¸y, mµ nã thÓ hiÖn t¸c ®éng nh− mét lùc ngoµi. Theo d¹ng nµy th× cã thÓ coi h lµ mét Èn trong tÊt c¶ c¸c ph−¬ng tr×nh. Nh−ng trong c¸c tÝnh to¸n thùc tÕ chóng th−êng ®−îc tÝch hîp vµo trong biÓu thøc, ∂z ∂x , ®Ó cùc tiÓu hãa c¸c sai sè do rêi r¹c hãa, do ®é dèc cña mÆt tho¸ng lµ th−êng nhá h¬n rÊt nhiÒu so víi ®é dèc ®¸y [19, pp.26-27]. 1.4.4 Lùc do øng suÊt giã bÒ mÆt C¸c biÓu thøc øng suÊt giã trªn bÒ mÆt, vÝ dô τ xξ , biÓu diÔn lùc kÐo sinh ra bëi giã thæi trªn bÒ mÆt. T¸c ®éng cña øng suÊt giã tû lÖ nghÞch víi ®é s©u khèi n−íc do vËy mµ thµnh phÇn nµy cã vai trß quan träng trong dßng ch¶y n−íc n«ng [19, pp.2829]. 1.4.5 Ma s¸t ®¸y C¸c sè h¹ng liªn quan ®Õn nh¸m ë ®¸y, vÝ dô τ ηx , cã ¶nh h−ëng phi tuyÕn lµm chËm dßng ch¶y. Th«ng th−êng nh¸m ®¸y ®−îc −íc l−îng sö dông c¸c c«ng thøc thùc nghiÖm hoÆc b¸n thùc nghiÖm nh−: • C«ng thøc thñy lùc: trong tr−êng hîp hÖ ph−¬ng tr×nh Saint-Venant mét chiÒu, biÓu thøc nh¸m cã thÓ ®−îc biÓu diÔn b»ng gSf víi Sf lµ ®é nh¸m thñy lùc. Gi¶ thiÕt r»ng lùc ma s¸t ®¸y trong dßng ch¶y hë hai chiÒu kh«ng dõng cã thÓ ®−îc −íc l−îng b»ng c¸ch liªn hÖ t−¬ng tù tíi c«ng thøc nµy, c¸c c«ng thøc chi tiÕt cã thÓ ®−îc t×m thÊy trong [19, pp.31-34]. 17 • C«ng thøc h¶i d−¬ng häc: do mét sè kh¸c biÖt gi÷a vËt chÊt cÊu t¹o ®¸y s«ng vµ ®¸y biÓn nªn c¸c c«ng thøc cho biÓn cã sù kh¸c biÖt vµ còng cã thÓ ®−îc t×m thÊy trong [19, pp.31-34]. 1.4.6 C¸c lùc khèi C¸c sè h¹ng lùc khèi biÓu diÔn ngo¹i lùc t¸c ®éng lªn phÇn tö chÊt láng trªn mçi ®¬n vÞ khèi l−îng. Bªn c¹nh träng lùc ®· ®−îc xÐt ®Õn cßn cã hai ngo¹i lùc kh¸c gåm: • Lùc qu¸n tÝnh Coriolis: sinh ra do chuyÓn ®éng quay cña tr¸i ®Êt. • Lùc sinh ra thñy triÒu: ®©y lµ lùc hÊp dÉn vò trô theo ®Þnh luËt Newton. Lùc nµy t¸c ®éng lªn khèi n−íc vµ chñ yÕu sinh ra do t¸c ®éng cña mÆt tr¨ng vµ mÆt trêi. Ngo¹i trõ c¸c khèi n−íc lín nh− biÓn vµ ®¹i d−¬ng th× lùc sinh ra thñy triÒu nh×n chung cã thÓ bá qua ®−îc [19, pp.34-36]. 1.5 Mét sè d¹ng dÉn xuÊt cña hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu 1.5.1 D¹ng trong hÖ täa ®é Decard (theo c¸c biÕn u, v vµ h) ∂h ∂ (hu ) ∂(hv ) + + =0 ∂t ∂x ∂y 1 ∂pa ∂z τ − τ ∂u ∂u ∂u ∂h +u +v + g =− − g b + ax bx + Fx ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x h 1 ∂pa ∂h ∂z τ − τ ∂v ∂v ∂v +u +v + g =− − g b + ay by + Fy ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂y ∂y h (1.21) (1.22) (1.23) C¸c lùc ngoµi ë vÕ ph¶i cña hai ph−¬ng tr×nh cuèi cïng ®−îc ký hiÖu ng¾n gän bëi Fx vµ Fy; ¸p suÊt khÝ quyÓn trªn mÆt tho¸ng ®−îc ký hiÖu lµ pa; Ta cã thÓ thÊy xuÊt hiÖn vÊn ®Ò lùa chän biÕn ®éc lËp lµ h hay z. Do cao tr×nh ®¸y cã thÓ biÕn ®æi rÊt m¹nh vµ do ®é dèc ®¸y ®−îc xÊp xØ bëi c¸c h»ng sè theo tõng ®o¹n trong ph−¬ng ph¸p sai ph©n nªn sai sè chøa ®ùng trong xÊp xØ sai ph©n cho c¸c biÓu thøc g ∂zb ∂x v.v., th−êng lín h¬n nhiÒu so víi c¸c sai sè kh¸c. §iÒu nµy cã thÓ g©y sai sè lín vµ cã thÓ g©y mÊt æn ®Þnh tÝnh to¸n. Do vËy c¸c ®¹o hµm riªng theo kh«ng gian cña h trong ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng cã thÓ ®−îc viÕt l¹i nh− ®¹o hµm cña z trong khi h vÉn ®−îc sö dông trong tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c. 18 1.5.2 D¹ng kh¸c trong hÖ täa ®é Decard (theo c¸c biÕn qx, qy vµ h) ∂h ∂qx ∂q y + =0 + ∂y ∂t ∂x ∂ ⎛ qx ⎞ qx ∂ ⎛ qx ⎞ q y ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ∂t ⎝ h ⎠ h ∂x ⎝ h ⎠ h ∂ ⎛ q y ⎞ qx ∂ ⎛ q y ⎞ q y ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ∂t ⎜⎝ h ⎟⎠ h ∂x ⎜⎝ h ⎟⎠ h (1.24) ∂ ⎛ qx ⎞ ∂h = Fx ⎜ ⎟+ g ∂y ⎝ h ⎠ ∂x ∂h ∂ ⎛ qy ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + g = Fy ∂y ∂y ⎝ h ⎠ (1.25) (1.26) ThuËn lîi cña d¹ng nµy lµ do c¸c biÕn qx vµ qy (thay v× u vµ v) lµ c¸c dßng ®−îc sö dông trong ®Þnh luËt b¶o toµn vËt chÊt vµ còng lµ c¸c ®¹i l−îng vËt lý ®−îc b¶o toµn trong b¶o toµn ®éng l−îng. MÆt kh¸c khi viÕt theo d¹ng nµy ph−¬ng tr×nh liªn tôc trë thµnh tuyÕn tÝnh vµ do ®ã tÝnh b¶o toµn cã thÓ ®−îc b¶o ®¶m dÔ dµng h¬n trong c¸c tÝnh to¸n. 1.5.3 D¹ng b¶o toµn Mét hÖ c¸c ®Þnh luËt b¶o toµn víi 3 biÕn ®éc lËp (w, F, G) cã thÓ ®−îc viÕt d−íi d¹ng b¶o toµn nh− sau: ∂w ∂F ∂G + + =S ∂t ∂x ∂y (1.27) §èi víi hÖ ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng hai chiÒu th× w lµ mét vÐc t¬ t¹o bëi c¸c ®¹i l−îng vËt lý b¶o toµn, w=(qx, qy, h)T, vµ: T ⎞ ⎛ q x q y q y2 ⎞ ⎛ q x2 h2 h2 qx q y ⎜ ⎟ ⎜ F =⎜ +g , , q x ⎟ vµ G = , +g , qy ⎟ ⎟ ⎜ h h h 2 2 ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ T (1.28) trong ®ã F, G lµ c¸c dßng truyÒn t¶i. Mét d¹ng b¶o toµn cña c¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng cã thÓ ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng th«ng th−êng. Nh−ng mét d¹ng th«ng th−êng cã thÓ kh«ng thÓ viÕt l¹i ®−îc d−íi d¹ng b¶o toµn. ThuËn lîi chÝnh cña d¹ng b¶o toµn cña c¸c ph−¬ng tr×nh n−íc n«ng bao gåm [19, pp.45]: • Cã mét mèi quan hÖ gÇn gòi gi÷a ®Þnh luËt b¶o toµn, hÖ ®èi xøng vµ hÖ hyperbolic, ®iÒu ®ã rÊt cã Ých trong c¸c nghiªn cøu lý thuyÕt dùa trªn c¸c hÖ hyperbolic.