Tài liệu MÔ HÌNH PHÂN BỐ XÁC SUẤT THÔNG DỤNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở LỚP 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Hương MÔ HÌNH PHÂN BỐ XÁC SUẤT THÔNG DỤNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Hương MÔ HÌNH PHÂN BỐ XÁC SUẤT THÔNG DỤNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở LỚP 11 Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong khoa Toán tin trường Đại học Sư phạm TPHCM đã tận tình giảng dạy và đóng góp ý kiến cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Đặc biệt, đề tài được hoàn thành là nhờ có những ý kiến đóng góp quan trọng của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Qua đây, tôi muốn được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô về tất cả những gì cô đã dành cho tôi và các bạn trong suốt thời gian qua. Tôi cũng cảm ơn hai giáo sư người Pháp Annie Bessot và Alain Birebent đã cho chúng tôi những lời góp ý chân thành và quý báu, giúp chúng tôi có những định hướng tốt hơn cho luận văn của mình. Tôi xin chân thành cám ơn :  Các anh chị và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 22 đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập.  Cô Trương Thị Thủy Tiên và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Lý Tự Trọng đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.  Mẹ, chị gái, hai em trai yêu quý và những người thân trong gia đình đã luôn tin tưởng, động viên và ủng hộ tôi về mọi mặt. Lê Thị Hương 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... 4 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................. 5 2. Khung lý thuyết tham chiếu........................................................................................... 7 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu................................................................................... 8 4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 9 5. Cấu trúc luận văn ........................................................................................................... 9 CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN BỐ NHỊ THỨC ....................................................................................... 11 1.1. Biến ngẫu nhiên và quy luật nghiên cứu biến ngẫu nhiên ..................................... 11 1.2. Vai trò của biến ngẫu nhiên trong XS - TK ............................................................ 15 1.3. Về phân bố nhị thức................................................................................................... 22 1.3.1. Sơ lược về qui luật phân bố nhị thức .................................................................... 23 1.3.2. Một vài kiểu nhiệm vụ suy luận cho tỉ lệ .............................................................. 26 1.4. Kết luận chương 1 ...................................................................................................... 30 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ MÔ HÌNH PHÂN BỐ NHỊ THỨC TRONG DẠY HỌC XS Ở TRƯỜNG PT VIỆT NAM .......................................... 31 2.1. Biến ngẫu nhiên trong SGK lớp 11 nâng cao .......................................................... 32 2.1.1. Mục đích dạy học biến ngẫu nhiên........................................................................ 32 2.1.2. Biến ngẫu nhiên trong SGK lớp 11 ....................................................................... 33 2.2. Kết luận chương 2 ...................................................................................................... 48 CHƯƠNG 3: MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ......................................... 50 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................... 50 3.2. Bài toán thực nghiệm và mục đích xây dựng .......................................................... 50 3.3. Dàn dựng kịch bản ..................................................................................................... 53 3.4. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................................ 54 3.4.1. Biến didactic, biến tình huống và giá trị của chúng .............................................. 54 3.4.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát được .......................................................... 56 3.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................................ 59 3.6. Kết luận chương 3 ...................................................................................................... 69 KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 70 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 71 PHỤ LỤC ................................................................................................................... 73 3 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Tên đầy đủ Chữ viết tắt HS Học sinh Nxb Nhà xuất bản SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên THPT Trung học phổ thông TK Thống kê TP HCM Thành phố Hồ Chí Minh Tr Trang XS Xác suất 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Tổng quan về một số công trình nghiên cứu đối tượng “biến ngẫu nhiên” trong dạy học toán ở trường phổ thông Lý thuyết Xác suất (XS) và Thống kê (TK) toán là hai ngành toán học điển hình cho cả hai hướng : toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Đối tượng nghiên cứu của chúng là các hiện tượng ngẫu nhiên, đó là những hiện tượng phổ biến trong cuộc sống và trong nhiều lĩnh vực khoa học. Thế nhưng khái niệm “ngẫu nhiên” lại không dễ dàng được thừa nhận và là một chướng ngại cho việc nghiên cứu XS. Thừa nhận sự ngẫu nhiên rồi sau đó lại phải thừa nhận là có những quy luật cho phép nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên thực sự là một khó khăn với học sinh (HS). Vì vậy, nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề dạy học XS - TK ở trường phổ thông (PT) đã đề cập tới ngẫu nhiên. Dưới đây chúng tôi sẽ điểm qua một số công trình với những kết quả chủ yếu mà tác giả đã đạt được :  Sự ngẫu nhiên trong dạy học TK lớp 10, luận văn thạc sĩ của tác giả Võ Mai Như Hạnh (2012)  Đề tài đã thực hiện nghiên cứu sơ lược về ngẫu nhiên, sự tác động của ngẫu nhiên tới nhiều ngành khoa học, đặc biệt là vai trò của ngẫu nhiên đối với XS – TK. Các mẫu dữ liệu chịu tác động rất lớn của ngẫu nhiên nên những kết quả thu được chỉ mang tính chất tương đối, chỉ là một giá trị gần đúng dao động xung quanh một giá trị lí tưởng nào đấy, do đó cần phải ý thức được nguy cơ sai lầm từ những kết luận trên mẫu dữ liệu. Qua phân tích SGK lớp 10, chương TK, tác giả khẳng định vấn đề chọn mẫu và độ tin cậy của những kết luận rút ra từ mẫu đã không được đề cập đến, khiến HS không ý thức được những nguy cơ về sự thiếu chính xác từ việc nghiên cứu mẫu. Tác giả đã tiến hành một thực nghiệm về sự biến động của tần suất để kiểm chứng ở HS vấn đề này.  Khái niệm XS trong dạy - học toán ở trường THPT, luận văn thạc sĩ của tác giả Vũ Như Thư Hương (2005)  Nghiên cứu quan hệ thể chế của tác giả (thực hiện qua việc phân tích chương trình và sách giáo khoa (SGK)) cho thấy ở Việt Nam ưu tiên cách tiếp cận khái niệm XS theo quan điểm của Laplace. Điều này kéo theo ràng buộc của SGK trong việc lựa chọn các phép thử. Định nghĩa TK có xuất hiện trong chương XS nhưng thể hiện khá mờ nhạt dẫn tới “nghĩa 5 thực tế” của khái niệm XS cũng ít có cơ hội hình thành nơi HS. Một tiểu đồ án được thiết kế đã làm nổi rõ mối liên hệ giữa TK và XS mà cụ thể là mối liên hệ giữa tần suất và XS, phân biệt hai khái niệm này, làm rõ phạm vi sử dụng hợp thức của định nghĩa cổ điển của XS.  Une étude didactique sur l’introduction dans l’enseignement mathématique vietnamien de notions statistiques dans leurs liens avec les probabilités, luận án tiến sĩ của Vũ Như Thư Hương (2009)  Từ phân tích tri thức luận về quan hệ giữa XS và TK, tác giả chỉ ra ba bài toán ứng viên có thể làm cho mối quan hệ TK - XS sống được trong một thể chế dạy học. Đó là : bài toán về sự không chắc chắn của các độ đo, bài toán so sánh giữa các phân bố TK thực nghiệm hay so sánh các phân bố TK thực nghiệm với các phân bố lý thuyết, bài toán về tính đại diện của một mẫu dữ liệu. Trong đó, bài toán thứ hai (cũng chính là bài toán kiểm định giả thiết) là nơi có thể tiếp cận gần của các đối tượng chung của TK mô tả và Lý thuyết XS, như các khái niệm biến (TK hay ngẫu nhiên), phân bố (TK hay XS), v.v… Thực nghiệm dàn dựng nên một biến động của quá trình chọn mẫu trong bài toán về “sự không chắc chắn của ngẫu nhiên”, hình thành nên khoảng tin cậy thực nghiệm chính là khoảng biến động của tần suất.  Rèn luyện năng lực tư duy TK cho HS trong dạy học XS-TK ở môn Toán THPT , luận án tiến sĩ của tác giả Trần đức Chiển (2007)  Đề tài chủ yếu khai thác lợi ích của việc rèn luyện tư duy TK cho HS. Tác giả cũng điểm qua về khái niệm biến ngẫu nhiên. Theo tác giả, những số liệu có trong chương TK lớp 10 chính là một cuốn sổ tay để các em sử dụng trong việc tiếp thu các kiến thức XS. Chẳng hạn: từ bảng phân bố tần suất có thể xem đó là hình ảnh gần đúng của bảng phân bố XS, xấp xỉ giá trị trung bình của mẫu số liệu làm kì vọng của biến ngẫu nhiên. Như vậy, các công trình đã phần nào làm rõ mối liên hệ giữa XS và TK, khai thác các qui luật thực nghiệm để tìm ra qui luật lý thuyết. Tuy nhiên, vấn đề sử dụng các phân bố lý thuyết vào suy luận cho các mẫu rút ra từ tổng thể, hay bài toán so sánh giữa các phân bố lý thuyết với các phân bố thực nghiệm thì chưa được đề cập tới. 1.2. Câu hỏi nghiên cứu của chúng tôi Trong bài báo của mình, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2010) đã nhắc lại ý kiến của J-C. Girard : “nếu ta gặp nhiều khó khăn đến thế trong dạy học XS, phải chăng là vì rất khó lĩnh hội khái niệm ngẫu nhiên ?”. Vậy thì khái niệm này đã được đưa vào như thế nào trong chương trình, sách giáo khoa (SGK) Đại số và Giải tích lớp 11, nơi mà khái niệm XS được 6 đề cập đến ? Đặc biệt, các quy luật cho phép nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên được xem xét như thế nào ở cấp lớp này ? Đó là câu hỏi nghiên cứu đầu tiên mà chúng tôi cần phải đặt ra. Câu hỏi thứ hai xuất phát từ việc ủng hộ một nhận định của tác giả Lê Văn Phong (1982) : “Chính Lý thuyết XS sẽ cung cấp cho chúng ta những quy luật lý thuyết dùng để soi sáng các qui luật TK giúp ta nghiên cứu các quy luật thực nghiệm một cách hoàn thiện hơn”. Vậy câu hỏi thứ hai mà chúng tôi đặt ra cho mình là : có hay không trong SGK lớp 11 các kiểu nhiệm vụ có sự tác động của các qui luật lý thuyết tới các qui luật thực nghiệm ? Câu hỏi thứ ba nảy sinh từ việc ngẫu nhiên là hạt nhân của mối quan hệ giữa XS với TK. Hiểu được tác động của ngẫu nhiên trong trong suy luận TK là hiểu được sự cần thiết phải tính đến XS xẩy ra một biến cố ngẫu nhiên. Đó là một biểu hiện của tư duy TK. Vậy, nếu như các công trình trên đã chỉ ra rằng tư duy TK không được tính đến một cách đầy đủ trong dạy học TK ở lớp 10 thì trong dạy học khái niệm biến ngẫu nhiên ở lớp 11 có được quan tâm một cách thỏa đáng hay không ? Đây là câu hỏi thứ ba mà chúng tôi muốn tìm câu trả lời. 1.3. Giới hạn của luận văn Chịu ảnh hưởng của chương trình XS được giảng dạy ở trường PT nên chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trong đối tượng biến ngẫu nhiên rời rạc. Mặt khác, chúng tôi ghi nhận rằng trong các qui tắc thực hành TK, người ta quan tâm nhiều hơn tới các qui luật phân bố đặc biệt của biến ngẫu nhiên bởi chính các qui luật này chi phối cách thức sử dụng lý thuyết XS vào suy luận cho mẫu. Các suy luận về số lượng và tỉ lệ là một dạng thức suy luận thông dụng trong XS – TK, có ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các ngành khoa học, và các phân bố đặc biệt của biến ngẫu nhiên rời rạc có vai trò quan trọng trong việc hình thành các qui tắc suy luận. Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ đề cập tới qui luật phân bố nhị thức bởi đây là mô hình lí tưởng cho các suy luận trong tổng thể lớn và cũng là qui luật duy nhất xuất hiện trong các tài liệu hướng dẫn dạy học. Qui luật này cũng cho phép có những ứng dụng của đại số tổ hợp, một phần lý thuyết được quan tâm ở trường PT. Do đó, với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chúng tôi giới hạn cho những phân bố lý thuyết có qui luật phân bố nhị thức. 2. Khung lý thuyết tham chiếu Mỗi khung lý thuyết tham chiếu có những đặc trưng riêng, cung cấp những công cụ lý thuyết giúp các nhà nghiên cứu vạch ra cho mình những hướng nghiên cứu lôgic, phù hợp 7 để có thể đạt được mục đích cuối cùng. Đứng trước những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi lựa chọn và vận dụng một số kiến thức của Didactic toán. Các đối tượng nghiên cứu của luận văn là biến ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên có qui luật phân bố nhị thức mà chúng tôi gọi là đối tượng O và O1, trong đó O1 là một trường hợp riêng của O. Ba câu hỏi mà chúng tôi đặt ra xoay quanh cuộc sống hiện tại của đối tượng O trong thể chế dạy học XS ở lớp 11 của Việt Nam (thể chế I). Sự lựa chọn của I đối với O và sự vận hành của O trong I có ảnh hưởng tới quan hệ cá nhân cá nhân HS lớp 11 (cá nhân X) với O (đó là cách mà X hiểu về O, thao tác O, sử dụng O, suy nghĩ về O). Chúng tôi sử dụng các kiến thức của Thuyết nhân học : quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học để tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi của mình. Làm rõ mối quan hệ của thể chế I với đối tượng O giúp chúng tôi xác định bước đi đầu tiên trong nghiên cứu đề tài này. Nghiên cứu quan hệ thể chế với O được thực hiện thông qua phân tích SGK, bởi SGK vốn được các giáo viên ở Việt Nam xem như là thước đo chuẩn cho các kiến thức được giảng dạy ở trường PT. Việc phân tích đánh giá các tổ chức toán học liên quan tới đối tượng O trong thể chế I, thấy được cách thức mà I đang khai thác O tạo điều kiện cho chúng tôi có những nhận định ban đầu về quan hệ giữa X với O. Những kết luận cho đối tượng O1 cũng được rút ra trong quá trình phân tích cho đối tượng O. Để đạt được mục đích cuối cùng của luận văn, chúng tôi sử dụng các công cụ khái niệm đồ án didactic của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất làm kim chỉ nam để xây dựng thực nghiệm sư phạm. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn và giới hạn nghiên cứu của luận văn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi ban đầu và trình bày lại thành ba nhóm câu hỏi nghiên cứu sau : CH1 : Trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao, đối tượng O và qui luật nghiên cứu đối tượng O được trình bày ra sao ? Có những ràng buộc nào trong việc lựa chọn các kiểu nhiệm vụ xoay quanh nó hay không ? Nếu có thì HS sẽ gặp khó khăn gì khi đối tượng O biến đổi vượt ra khỏi các ràng buộc đó ? CH2 : Các biến ngẫu nhiên cho số lượng và tỉ lệ xuất hiện trong SGK, đối tượng O1 có được lựa chọn sử dụng hay không ? 8 CH3 : Mối quan hệ giữa phân bố XS và phân bố thực nghiệm có được khai thác trong dạy học biến ngẫu nhiên ? Và có hay không các kiểu nhiệm vụ cho sự tác động của các qui luật lý thuyết tới các qui tắc thực hành và suy luận trong thực nghiệm ? 4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm ra câu trả lời cho 3 nhóm câu hỏi trên. Công việc tìm kiếm các câu trả lời được tiến hành thông qua phân tích SGK, SBT và SGV Đại số và Giải tích lớp 11 theo chương trình nâng cao. Nhưng trước hết phải hiểu rõ bản thân đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần nghiên cứu, trong đề tài này, tri thức mà chúng tôi đang nói đến là biến ngẫu nhiên rời rạc và qui luật phân bố nhị thức. Bởi vì những kiến thức được giảng dạy ở trường PT đã qua một quá trình “chuyển hóa sư phạm” làm cho tri thức bị biến đổi so với nguồn gốc ban đầu của nó. Chính quá trình này đã tạo ra một khoảng cách thường là khá lớn giữa tri thức được giảng dạy với tri thức ở cấp độ khoa học. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian nên chúng tôi không thể tiến hành một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ về đối tượng mà chỉ tiến hành tham khảo các giáo trình XS - TK ở bậc đại học - nơi mà các kiến thức được trình bày trong đó được xem là có một khoảng cách gần hoặc nối tiếp các kiến thức ở trường PT. Những kết quả nghiên cứu tri thức trong các giáo trình ở bậc đại học cho phép xác định được những vấn đề mà các đối tượng cho phép giải quyết nhưng có thể bị lãng quên trong SGK PT. Mặt khác, có rất nhiều qui luật phân bố XS đặc biệt, nhưng tham khảo một số giáo trình XS - TK dành cho nhiều ngành nghề khác nhau chúng tôi nhận thấy chỉ có một vài mô hình XS thông dụng cho những dạng thức suy luận phổ biến trong XS – TK. Từ các kết quả nghiên cứu tri thức luận và phân tích SGK cho phép chúng tôi rút ra những kết luận làm điểm tựa cho việc xây dựng tiểu đồ án didactic tạo cơ hội cho HS thấy được ứng dụng của phân bố XS suy luận cho các mẫu dữ liệu, bổ sung cho mối quan hệ giữa XS và TK mô tả. 5. Cấu trúc luận văn Phần chính của luận văn gồm 3 chương : Chương 1 - Một điều tra khoa học luận về biến ngẫu nhiên và phân bố nhị thứ : Chúng tôi trình bày các kết quả phân tích về đối tượng biến ngẫu nhiên và phân bố nhị thức thu được từ việc tham khảo các giáo trình dành cho bậc đại học. Từ đó chúng tôi chỉ rõ qui luật nghiên cứu biến ngẫu nhiên về mặt toán học, vai trò của biến ngẫu nhiên trong XS – 9 TK, những đặc trưng khoa học luận của phân bố nhị thức, sự ảnh hưởng của mô hình phân bố này tới các qui tắc suy luận cho mẫu. Chương 2 - Biến ngẫu nhiên và qui luật phân bố nhị thức trong dạy học XS ở trường PT Việt Nam : Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả từ phân tích SGK, SBT, SGV Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao. Các kết quả phân tích trong chương 1 và chương 2 là cơ sở cho chúng tôi xây dựng tình huống thực nghiệm. Chương 3 – Một nghiên cứu thực nghiệm : Chương cuối cùng chúng tôi trình bày cách xây dựng và triển khai tiểu đồ án didactic với đối tượng HS lớp 11 đã được học về khái niệm XS và khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc. 10 CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN BỐ NHỊ THỨC Mở đầu Trong chương này, chúng tôi tham khảo một vài giáo trình XS-TK dùng ở bậc đại học và cố gắng làm rõ đối tượng mà chúng tôi đang nghiên cứu là biến ngẫu nhiên và qui luật phân bố nhị thức. Cụ thể :  Khái niệm và phương pháp nghiên cứu một biến ngẫu nhiên, vai trò của biến ngẫu nhiên trong XS – TK  Phân bố XS thông dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc : phân bố nhị thức ; ứng dụng của mô hình này trong suy luận TK. Các tài liệu được tham khảo trong chương : - Tô Văn Ban (2010), XS – TK. - David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig (2010), Thực hành TK. - Lê Văn Phong (1982), Toán kinh tế PT tập 4, những khái niệm cơ bản của Lý thuyết XS và TK toán. - Lê Văn Phong (1968), TK toán và một vài ứng dụng trong kinh tế - Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại XS &TK - Đặng Hùng Thắng (1997), Mở đầu về Lý thuyết XS - Bùi Minh Trí (2011), XS - TK & quy hoạch thực nghiệm. Chúng tôi tham khảo các giáo trình cho nhiều ngành nghề trong quá trình nghiên cứu, tuy nhiên các giáo trình này đều có nét tương tự nhau trong phần trình bày về biến ngẫu nhiên và qui luật phân bố nhị thức. Những kết quả trình bày dưới đây chủ yếu nghiên cứu từ các giáo trình của tác giả Lê Văn Phong, tác giả Đặng Hùng Thắng và tác giả David S. Moore. 1.1. Biến ngẫu nhiên và quy luật nghiên cứu biến ngẫu nhiên Biến cố hay hiện tượng ngẫu nhiên là những sự kiện mà việc xảy ra hay không xảy ra hoàn toàn ngẫu nhiên và người ta không thể đoán trước được. Trong cuộc sống, chúng ta thường xuyên bắt gặp những hiện tượng ngẫu nhiên như vậy nhưng hiếm khi thấy được sự lặp lại hay tính quy luật của chúng. Cách tốt nhất để hiểu được tính ngẫu nhiên là quan sát những biểu hiện ngẫu nhiên. 11 Có nhiều phương pháp được thiết lập cho phép gạt bỏ ngẫu nhiên hoặc trong trường hợp nào đó cũng làm giảm được hậu quả phá hoại của nó. Một trong những vấn đề thú vị và quan trọng nhất của loại này là vấn đề tách được tín hiệu cần thiết ra khỏi mớ hỗn độn những nhiễu ngẫu nhiên với tín hiệu đó. (L. Raxtrigin (1997), tr.6) XS - TK là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách xây dựng các mô hình toán học cho những hiện tượng ấy và tìm ra những qui luật ẩn dấu đằng sau đám đông các hiện tượng ngẫu nhiên cùng loại. Trong Lý thuyết XS, ngoài khái niệm XS của một biến cố là một số thể hiện khả năng xảy ra của biến cố đó, còn một khái niệm rất quan trọng cung cấp cho ta phương pháp nghiên cứu gần như hoàn chỉnh về hiện tượng ngẫu nhiên là “biến ngẫu nhiên” và đó cũng chính là một mô hình toán học cho các hiện tượng ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên) là đại lượng biến đổi phụ thuộc vào các biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị định tính hay định lượng, tuy nhiên trong Lý thuyết XS bằng khái niệm ánh xạ, chúng ta có thể chuyển việc nghiên cứu mọi biến ngẫu nhiên về nghiên cứu các biến ngẫu nhiên chỉ nhận các giá trị bằng số. Bởi vậy, biến ngẫu nhiên được định nghĩa như sau: Biến ngẫu nhiên (thực) là một hàm (thực) các phần tử của không gian mẫu. (Lê Thị Hoài Châu (2012), tr. 23) Như vậy, trong XS – TK chỉ xét biến ngẫu nhiên thực. Có hai loại biến ngẫu nhiên cũng chính là hai mô hình XS chi phối việc áp dụng XS vào suy luận TK đó là : biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Biến ngẫu nhiên là rời rạc hay liên tục phụ thuộc vào các giá trị mà nó nhận được. Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến chỉ nhận rời rạc các giá trị, nghĩa là khi các giá trị được sắp xếp từ bé đến lớn thì giữa hai giá trị liên tiếp của 𝑋 ta không thể tìm được giá trị thứ ba. Biến ngẫu nhiên liên tục là biến nhận giá trị liên tục trong một khoảng, nghĩa là giữa hai giá trị bất kì luôn tìm được giá trị thứ ba. Để xác định một biến ngẫu nhiên trước tiên cần phải xác định được tập giá trị của nó. Tuy nhiên, tập giá trị cho chúng ta rất ít thông tin về hiện tượng ngẫu nhiên. Điều quan trọng là xác định được biến ngẫu nhiên nhận mỗi giá trị đó với XS bao nhiêu. Qua tham khảo nhiều giáo trình ở bậc đại học chúng tôi nhận thấy sự giống nhau trong nghiên cứu biến ngẫu nhiên là tìm ra mối liên hệ giữa các giá trị với XS tương ứng, thông thường được thể hiện bằng bảng hay bằng hàm số gọi là luật phân bố hay luật phân bố XS của biến ngẫu nhiên đó. 12 Định nghĩa : Mối quan hệ giữa các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên với XS tương ứng được gọi là luật phân bố của biến ngẫu nhiên ấy. (Tô Văn Ban (2010), tr.39) Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc thì luật phân bố XS của nó được thể hiện thông qua bảng phân bố XS và hàm phân bố XS, đối với biến ngẫu nhiên liên tục thì luật phân bố XS của nó thể hiện thông qua hàm phân bố XS và hàm mật độ XS. Phần trình bày sau đây, chúng tôi làm rõ về phân bố XS và các chỉ số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Từ đó làm nổi bật qui trình, cách thức nghiên cứu hiện tượng ngẫu nhiên. Do giới hạn nghiên cứu, chúng tôi trình bày cụ thể hơn cho biến ngẫu nhiên rời rạc. Biến ngẫu nhiên liên tục nằm ngoài giới hạn của luận văn. Tuy nhiên, nếu thể hiện phân bố XS bằng hàm phân bố hay hàm mật độ XS, và trong các công thức tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn nếu thay dấu ∑ bởi dấu ∫, 𝑝𝑖 bởi hàm phân phối xác suất 𝑓(𝑥) ta cũng được các công thức tương ứng của biến ngẫu nhiên liên tục.  Phân bố XS Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }, với XS tương ứng 𝑝𝑖 = 𝑝(𝑋 = 𝑥𝑖 ). Bảng phân bố XS của X có dạng : X P 𝑥1 𝑝1 𝑥2 𝑝2 … … 𝑥𝑛 𝑝𝑛 Biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị nên số n ở trên có thể là +∞. Tuy nhiên trên thực tế chúng ta thường chỉ gặp những biến ngẫu nhiên có hữu hạn giá trị. Để tìm được bảng phân bố XS của biến ngẫu nhiên rời rạc X trước tiên cần xác định được các giá trị có thể có của X. Các giá trị được xác định bằng phương pháp suy diễn (nếu các kết cục là đồng khả năng), hay phương pháp điều tra chọn mẫu (phương pháp TK). Gọi 𝐸𝑖 là biến cố “𝑋 = 𝑥𝑖 ” thì các biến cố 𝐸𝑖 là những biến cố đơn tức là biến cố không thể chia nhỏ được nữa và loại trừ lẫn nhau, đồng thời tất cả các biến cố khác liên quan tới biến ngẫu nhiên đang xét được biểu diễn thông qua các biến cố 𝐸𝑖 . Tiếp theo, việc thiết lập hàng thứ 2 được thực hiện bằng cách tính XS của các biến cố đơn vừa được xác định, đồng thời phải chú ý tới một điều kiện cần là ∑ 𝑝𝑖 = 1. Một khi đã xác định được phân bố XS của X thì coi như ta đã nắm được toàn bộ thông tin về X. (Đặng Hùng Thắng (1997), tr.44) Thật vậy, bảng phân bố XS của biến ngẫu nhiên được xem như một bảng tóm tắt về dữ liệu tổng thể, cho ta cái nhìn trực quan về phân bố XS của 𝑋 như : giá trị nào có XS xảy ra lớn nhất, XS của các giá trị phân bố tập trung hay trải đều… Mặt khác, việc tính XS của những biến cố phức hợp được thực hiện rất đơn giản là xác định những giá trị 𝑥𝑖 làm nên 13 biến cố, sau đó cộng các XS tương ứng với những giá trị vừa xác định sẽ được XS của biến cố cần tính. Trong TK mô tả, nếu bảng phân bố tần số, tần suất cho phép thu gọn dữ liệu và cho ta những nhìn nhận ban đầu về dữ liệu thu được trên mẫu, thì trong XS, bảng phân bố XS cũng cho phép ta hình dung được sự phân bố của của các giá trị (dữ liệu) của tổng thể, việc thiết lập một bảng phân bố XS của biến ngẫu nhiên cung cấp một phương pháp nghiên cứu khoa học về hiện tượng ngẫu nhiên. Việc phản ánh quy luật phân bố XS của một biến ngẫu nhiên bằng bảng chỉ tiện lợi với biến ngẫu nhiên rời rạc và hữu hạn giá trị, còn với biến ngẫu nhiên rời rạc vô hạn giá trị hay biến ngẫu nhiên liên tục việc liệt kê các giá trị có thể có của nó là khó khăn, và có khi là không thể. Vì vậy, người ta sử dụng một khái niệm tổng quát có thể áp dụng cho mọi đại lượng ngẫu nhiên là hàm phân bố XS. Hàm phân bố XS (hay hàm phân bố) của đại lượng ngẫu nhiên X là một hàm F(x) xác định với mội x theo công thức sau : F(x) = p(X < 𝑥). (Đặng Hùng Thắng (1997), tr.46) Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc thì biến cố “ X < 𝑥” được tạo bởi các giá trị xi bé hơn 𝑥 nên công thức trên trở thành : F(x) = ∑xi <𝑥 pi Như vậy F(x) chính là XS để xảy ra biến cố “X nhận giá trị nhỏ hơn x”, và đối với biến ngẫu nhiên rời rạc thì tùy theo x biến thiên tới đâu thì sẽ cộng các XS của các giá trị 𝑥𝑖 nhỏ hơn x tới đó. Do đó, hàm phân bố XS 𝐹(𝑥) còn được gọi là XS tích lũy. Hàm phân bố XS là hình thức tổng quát nhất thể hiện qui luật phân bố XS của 𝑋, hàm phân bố của biến ngẫu nhiên liên tục là liên tục, của biến ngẫu nhiên rời rạc là gián đoạn. Do đó, người ta còn phân loại biến ngẫu nhiên dựa vào đặc tính của hàm phân bố : Một đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu hàm phân phối XS của nó là một hàm gián đoạn. Tương tự nó được gọi là liên tục nếu hàm phân phối của nó là liên tục. (Lê Văn Phong tập 4, Q1 (1982), tr.148) Tuy nhiên, hàm phân bố XS hữu dụng cho việc trình bày dữ liệu liên tục, còn dữ liệu rời rạc trong XS – TK chủ yếu vẫn là dùng bảng phân bố XS.  Các chỉ số đặc trưng Bảng phân bố XS cũng như bảng phân bố tần số, tần suất đã phần nào thu gọn và phản ánh được sự phân bố của các giá trị trong mẫu hay tổng thể. Tuy nhiên, các số liệu vẫn còn nhiều không thuận tiện cho việc phân tích hay so sánh các mẫu hay tổng thể với nhau. 14 Vì vậy, sau khi tìm được bảng phân bố XS của một biến ngẫu nhiên, cần thiết phải tóm tắt chúng qua một vài con số đặc trưng : + Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X, kí hiệu là E(X), được tính theo công thức : E(X) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 . + Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V(X) hay D(X), được xác định : V(X) = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝑝𝑖 . + Độ lệch chuẩn : 𝛿 (𝑋 ) = �𝑉(𝑋). Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo XS) của biến ngẫu nhiên 𝑋, nó phản ánh giá trị trung tâm của 𝑋. Phương sai và độ lệch chuẩn là các tham số đo độ phân tán của các giá trị quanh kì vọng. Chẳng hạn, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị trong kĩ thuật, hay trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của nhà đầu tư ... Ba tham số : kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn là các tham số quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên, nó có vai trò tương tự như số trung bình 𝑋�, phương sai 𝑠 2 và độ lệch chuẩn 𝑠 trong thực nghiệm. Ngoài ra, trong từng trường hợp người ta cũng quan tâm tới các tham số : mode, mômen, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn, phân vị. Tuy nhiên, những tham số này chỉ dùng trong một số trường hợp nhất định nên chúng tôi không làm rõ ở đây. Tóm lại, các tham số của tổng thể cũng như các trị số thống kê của mẫu được chia làm 2 nhóm là các tham số định tâm (kì vọng, mode) và các tham số đo độ phân tán (phương sai, độ lệch chuẩn). Như vậy, XS gắn bó chặt chẽ và liên hệ mật thiết với khoa học TK về phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày và diễn dịch dữ liệu. Hơn nữa, các tham số trong tổng thể, đặc biệt là kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn có mối liên hệ mật thiết với các trị số TK của mẫu. Những gì được trình bày ở trên phần nào đã làm rõ về khái niệm và cách thức nghiên cứu một biến ngẫu nhiên nói chung và biến ngẫu nhiên rời rạc nói riêng. Biến ngẫu nhiên trong XS chính là một sự mô hình hóa toán học của các hiện tượng ngẫu nhiên, cung cấp một phương pháp khoa học để nghiên cứu chúng. Bước đầu cho thấy mối quan hệ giữa XS với TK về phương pháp thu thập, và xử lý số liệu. 1.2. Vai trò của biến ngẫu nhiên trong XS - TK  Biến ngẫu nhiên – công cụ để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên 15 Trong Lý thuyết XS, người ta tập trung nghiên cứu các biến ngẫu nhiên, đó là mô hình toán học cho hiện tượng ngẫu nhiên đang xem xét. Nghiên cứu biến ngẫu nhiên là tổng quát hơn, bao quát được hiện tượng hơn so với chỉ nghiên cứu các biến cố riêng lẻ. Để làm rõ hơn vấn đề này chúng tôi xét một bài toán rất gần gũi với Lý thuyết XS : Bài toán “vé số” : Mỗi tờ vé số phát hành hàng ngày của công ty Xổ số Miền nam là một dãy gồm 6 chữ số và trúng thưởng nếu các chữ số cuối trùng với các dãy số theo đúng thứ tự mà công ty đưa ra tương ứng với các giải. Chẳng hạn, kết quả xổ số tỉnh Tây Ninh ngày 24/10/2013 như sau Giải Số trúng Tiền thưởng Đặc biệt 049573 1 500 000 000 Nhất 31375 30 000 000 Nhì 48713 20 000 000 Ba 73722 – 22039 10 000 000 Tư 73296-15806-64762-92174- 3 000 000 27225-20656-24644 Năm 0097 1 000 000 Sáu 8387 - 2259 – 3183 400 000 Bảy 358 200 000 Tám 63 100 000 Kết quả trúng thưởng mỗi ngày được công ty quay số ngẫu nhiên, giả thiết rằng các số trúng giải không trùng với các chữ số tận cùng của các giải lớn hơn theo đúng thứ tự. Một người mua một tờ vé số, gọi 𝑋 là số tiền người đó nhận được. Ta có bảng phân bố XS của 𝑋 : 𝑋 P 1 500 000 000 0.000001 30 000 000 0.00001 20 000 000 0.00001 10 000 000 0.00002 3 000 000 0.00007 1 000 000 0.0001 400 000 0.0003 16 200 000 0.001 100 000 0.01 -10 000 0.988489 Từ bảng ta thấy ngay được sự phân bố XS không đồng đều, có một sự chênh lệch rất lớn trong phân bố XS. Ta cũng nhanh chóng tính được XS của một số biến cố quan tâm như : XS trúng thưởng là 0,011511 (nhỏ hơn khoảng 86 lần) so với XS không trúng thưởng. XS trúng thưởng lớn hơn hoặc bằng 1 triệu đồng là 0,000211, … Kì vọng E(𝑋) ≈ - 6055 (đồng). Con số này cho thấy trung bình mỗi người mua một tờ vé số bị lỗ 6055 đồng. Nếu các giải thưởng được trao hết thì trung bình công ty vé số được lợi trên mỗi tờ vé số được bán là 6055 đồng. Giả sử, mỗi dãy số chỉ in một tờ và được bán hết trong ngày thì số tiền lời công ty thu được là 6,055 tỉ đồng. Con số này trừ đi các khoản chi phí in ấn, trả công vận chuyển và công cho người bán, … thì số tiền lời ước tính vẫn là con số rất lớn. Như vậy, XS của từng biến cố cho phép ta dự đoán được khả năng xảy ra của từng biến cố, nhưng biến ngẫu nhiên cho phép ta dự đoán kết cục bình quân của các giá trị trong tổng thể bằng kì vọng, gán độ phân tán của các giá trị bằng các con số là phương sai hay độ lệch chuẩn, cho chúng ta có những suy luận chính xác hơn khi so sánh các tổng thể với nhau, hay dự toán sự “được – mất” của mỗi bên ... Ví dụ trên là sử dụng biến ngẫu nhiên một chiều, tuy nhiên số tiền lãi mà công ty thu được mỗi ngày còn phụ thuộc vào số tờ vé số bán được mỗi ngày. Một hiện tượng ngẫu nhiên phụ thuộc cùng một lúc nhiều biến cố ngẫu nhiên khác nhau, người ta xác lập các biến ngẫu nhiên phụ thuộc, biến ngẫu nhiên ta quan tâm lúc này là biến ngẫu nhiên n chiều. Ví dụ sau đây làm rõ hơn vai trò quan trọng của biến ngẫu nhiên. Ví dụ : Một năm bán hàng, một cửa hàng kinh doanh hoa tươi tại Hà Nội nhận thấy số lẵng hoa 𝑋 bán ra trong ngày theo tỉ lệ (XS) sau : 𝑋 𝑃 9 10 11 12 13 14 15 0.05 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 Mỗi lẵng hoa tươi mua vào 60 000 đồng, bán ra 100 000 đồng. Nếu trong ngày bán không hết thì số hoa còn lại vứt bỏ. Số lẵng hoa cần mua vào là bao nhiêu để lợi nhuận trung bình thu được là cao nhất. Giải Gọi 𝑌 là số lẵng hoa dự định mua, ta có bảng sau về số tiền lời dự định thu được : 17 𝑋 9 𝑌 9 10 11 360 300 240 12 13 14 15 𝑃 180 120 60 0 0.05 10 400 340 280 220 160 100 0.10 11 440 380 320 260 200 0.15 12 480 420 360 300 0.25 13 520 460 400 0.20 14 560 500 0.15 600 0.10 15 Từ bảng trên ta thấy : + Nếu mua vào 9 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 360 nghìn đồng + Nếu mua vào 10 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 360 .0,05 + 400.0.95 = 395 nghìn đồng + Nếu mua vào 11 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 240 .0,05 + 340.0,1 + 440.0,85 = 420 nghìn đồng + Nếu mua vào 12 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 180 .0,05 + 280.0,1 + 380.0,15 + 480.0,7 = 430 nghìn đồng + Nếu mua vào 13 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 415 nghìn đồng + Nếu mua vào 14 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 380 nghìn đồng + Nếu mua vào 15 lẵng hoa tiền lời trung bình là 𝐸𝑋 = 330 nghìn đồng Như vậy, ta chọn phương án mua vào 12 lẵng hoa thì tiền lời trung bình là cao nhất. Qua hai ví dụ, việc suy luận cho những con số xác thực cho thấy nghiên cứu biến ngẫu nhiên là tổng quát hơn chỉ nghiên cứu các biến cố riêng lẻ của hiện tượng ngẫu nhiên.  Biến ngẫu nhiên - một yếu tố tạo nên mối liên hệ giữa XS và TK Ứng dụng to lớn của Lý thuyết XS là cung cấp các công cụ lý thuyết để giải quyết các bài toán TK, cho phép nhà TK sử dụng thông tin của một mẫu để đưa ra những suy luận hay để mô tả về tổng thể mà từ đó mẫu này được lấy ra. Trước hết là phương pháp xác định XS theo quan điểm TK có phạm vi ứng dụng hết sức rộng rãi trong nhiều ngành khoa học, kinh tế, kỹ thuật, điều tra xã hội, … Cơ sở toán học cho việc dùng TK để tính XS là luật số lớn và các định lý giới hạn. 18