Tài liệu Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ DUNG MÔ HÌNH HÓA SỰ PHỤ THUỘC VỚI CÁC COPULA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ DUNG MÔ HÌNH HÓA SỰ PHỤ THUỘC VỚI CÁC COPULA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN TRỌNG NGUYÊN HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu 5 Lời cảm ơn 7 Bảng kí hiệu 8 1 9 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Giới thiệu về copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Một vài định nghĩa và tính chất của copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Các biên Fre’chet- Hoeffding có các hàm phân phối đồng thời . . . . . . . 13 1.1.4 Các copula và các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sự phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Sự phụ thuộc hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.3 Sự phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.4 Hệ số Kendall tau (τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.5 Hệ số Spearman rho (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 1.2.6 Sự phụ thuộc đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng 2.1 30 34 Kỹ thuật xây dựng các copula nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Họ Farlie- Gumbel- Morgenstern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Họ Marshall- Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Các Copula Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Copula Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2 t- copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Các Copula Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Các tổng lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Các định nghĩa, tính chất và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.3 Sự phụ thuộc đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Các copula Archimede nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Ứng dụng của mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula trong bảo hiểm . . . . . . 68 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2 2.3 2.4 4 Mở đầu Trong kỷ nguyên hội nhập kinh tế, các thị trường kinh tế khác nhau có sự phụ thuộc nhất định. Nói riêng, trong một nước các ngành kinh tế khác nhau cũng có sự phụ thuộc nhất định, ví dụ: sự phụ thuộc giữa thị trường vàng và thị trường chứng khoán, thị trường chứng khoán và thị trường dầu mỏ, . . . . Nếu ta đo lường được sự phụ thuộc giữa các thị trường tài chính với nhau thì sẽ quản trị rủi ro tốt hơn. Như ta đã biết, nếu các thị trường có sự phụ thuộc tuyến tính với nhau thì chúng ta sử dụng hệ số tương quan tuyến tính và hiệp phương sai để tính toán. Nhưng nếu các thị trường không có sự phụ thuộc tuyến tính với nhau mà chúng có sự phụ thuộc phi tuyến thì chúng ta không thể dùng hệ số tương quan tuyến tính và hiệp phương sai để tính toán. Vậy vấn đề đặt ra là: Nếu giữa các thị trường có sự phụ thuộc phi tuyến với nhau thì chúng ta dùng công cụ nào để tính toán? Để giải quyết vấn đề này chúng ta sẽ dùng mô hình hóa sự phụ thuộc giữa các biến nhẫu nhiên bằng phương pháp copula. Copula là các hàm liên kết hoặc nối các phân phối biên duyên một chiều với các hàm phân phối nhiều chiều. Copula thường được quan tâm trong các lĩnh vực nghiên cứu về sự phụ thuộc và xây dựng các phân phối nhiều chiều. Trong lĩnh vực tài chính, copula thường được sử dụng như một công cụ quan trọng trong các bài toán nghiên cứu sự tương quan giữa các thị trường, đo lường rủi ro của các danh mục đầu tư và nhiều bài toán liên quan khác. Vì vậy, trong những năm gần đây những nghiên cứu về copula và các ứng dụng của nó được rất nhiều người quan tâm. 5 Trong luận văn này trình bày về các họ copula và mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua việc nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi giữa hai phân phối. Các kết quả này cung cấp một cơ sở cho những ai quan tâm đến mô hình hóa sự phụ thuộc trong lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Với mong muốn tìm hiểu về các vấn đề trên, luận văn nghiên cứu về đề tài: ”Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng” . Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị . Chương này trình bày những khái niệm cơ sở, tính chất của copula, sự phụ thuộc và một số ví dụ minh họa. Chương 2: Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng. Chương này trình bày việc mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua sự phụ thuộc đuôi của các phân phối copula. Phần cuối của chương này, luận văn trình bày ứng dụng của mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula với các số liệu trong thực tế. 6 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và tận tình chỉ bảo của TS Trần Trọng Nguyên. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 20112013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà Nội, Tháng 01 năm 2014. 7 Bảng kí hiệu R: Tập số thực R: Tập số thực mở rộng[−∞, ∞] 2 R = R×R I = [0, 1] I2 = I × I In = [0, 1]n [0, 1] = {x ∈ R |0 6 x 6 1 } (0, 1) = {x ∈ R |0 < x < 1} [0, 1) = {x ∈ R |0 6 x < 1 } (0, 1] = {x ∈ R |0 < x 6 1 } Họ copula FGM: Họ copula Farlie- Gumbel- Morgenstern F −1 : Nghịch đảo của F t−1 : Nghịch đảo của t tυ : t- phân phối với độ tự do υ 8 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về copula, các tính chất của chúng và khái niệm sự phụ thuộc để sử dụng cho chương sau. 1.1 1.1.1 Copula Giới thiệu về copula Giả sử R biểu thị đường thẳng thực thông thường (−∞, ∞), R biểu thị đường thẳng thực mở 2 2 rộng [−∞, ∞] và R biểu thị mặt phẳng mở rộng R × R. Một hình chữ nhật trong R là tích Đề các B của hai khoảng đóng B = [x1 , x2 ] × [y1 , y2 ]. Các đỉnh của hình chữ nhật B là các điểm (x1 , y1 ) , (x1 , y2 ) , (x2 , y2 ) , (x2 , y1 ). Hình vuông đơn vị I2 là tích I × I, ở đó I = [0, 1]. Một hàm thực 2 n- vị trí H là một hàm mà miền xác định của DomH là một tập hợp con của R và miền giá trị của RanH là một tập con của R. Định nghĩa 1.1 Cho S1 , S2 , ..., Sn là các tập con không rỗng của R , trong đó R kí hiệu là đường 9 thẳng thực mở rộng [−∞; ∞]. Giả sử H là hàm thực với n biến trên miền xác định DomH = S1 × S2 × ... × Sn và cho a 6 b (trong đó a = (a1 , a2 , ..., an ) , b = (b1 , b2 , ..., bn ) và ak 6 bk với mọi k = 1, n), giả sử B = [a, b] = [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ] là một nhộp có tất cả các đỉnh trong DomH. Khi đó thể tích-H của B được cho bởi VH (B) = P sgn (c) H (c) (1.1) với tổng được thực hiện  tại tất cả các đỉnh c của B , và sgn (c) được cho bởi:    1, nếu ck = ak với k chẵn sgn (c) = (1.2)    −1, nếu ck = ak với k lẻ Một cách tương đương, thể tích- H của một n- hộp B = [a, b] là thứ tự thứ n khác của H trong B ...∆ba11 H (t) VH (B) = ∆ba H (t) = ∆abnn ∆ban−1 n−1 trong đó ∆bakk H (t) = H (t1 , t2 , ..., tk−1 , bk , tk+1 , ..., tn ) − H (t1 , t2 , ..., tk−1 , ak , tk+1 , ..., tn ). Định nghĩa 1.2 Một hàm thực H của n biến là n tăng nếu VH (B) > 0 của tất cả n- hộp B có đỉnh nằm trong miền xác định DomH hay có thể nói thể tích của nó trên hộp bất kì là không âm. Giả sử miền của một hàm thực H của n biến được cho bởi DomH = S1 × S2 × ... × Sn ở đó mỗi Sk một phần tử nhỏ nhất là ak . Chúng ta nói rằng H có đáy (ground: đáy) nếu H (t) = 0 với mọi t trong DomH sao cho tk = ak với ít nhất một k. Nếu mỗi Sk là không rỗng và có một phần tử lớn nhất là bk , khi đó chúng ta nói rằng H có phân phối biên biên duyên, và phân phối biên duyên một chiều của H là hàm Hk cho bởi DomHk = Sk và Hk (x) = H (b1 , b2 , ..., bk−1 , x, bk+1 , ..., bn ) (1.3) với tất cả x trong Sk . Phân phối biên duyên một- chiều sẽ được gọi đơn giản là “phân phối biên duyên” với k > 2 phân phối biên duyên k- chiều sẽ được gọi là “k- phân phối biên duyên”. 10 Bổ đề 1.1 Cho S1 , S2 , ..., Sn là tập con khác rỗng của R , và giả sử hàm H có đáy n- tăng với miền xác định S1 ×S2 ×...×Sn . Khi đó là không giảm theo mỗi đối số, tức là nếu (t1 , t2 , ..., tk−1 , x, tk+1 , ..., tn ) và (t1 , t2 , ..., tk−1 , y, tk+1 , ..., tn ) nằm trong miền xác định DomH và x < y khi đó H (t1 , t2 , ..., tk−1 , x, tk+1 , ..., tn ) 6 H (t1 , t2 , ..., tk−1 , y, tk+1 , ..., tn ) . Bổ đề 1.2 Cho S1 , S2 , ..., Sn là tập con khác rỗng của R, và giả sử hàm H có đáy n- tăng với phân phối biên duyên và miền xác định là S1 × S2 × ... × Sn . Nếu bất kì điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) và y = (y1 , y2 , ..., yn ) trong S1 × S2 × ... × Sn . Khi đó |H (x) − H (y)| 6 n P |Hk (xk ) − Hk (yk )|. k=1 Chứng minh: (xem Schweizer và Sklar (1983) , [10]). n Định nghĩa 1.3 Hàm phân phối n- chiều là một hàm H với miền R mà: 1. H là n- tăng n 2. H (t) = 0 với tất cả t trong R như vậy tk = −∞ với ít nhất một k và H(∞, ∞, ..., ∞) = 1. n Do H có đáy, và DomH = R , nên theo bổ đề 1.2 các biên duyên của một hàm phân phối nchiều là các hàm phân phối mà chúng ta sẽ kí hiệu F1 , F2 , ..., Fn . 1.1.2 Một vài định nghĩa và tính chất của copula Đầu tiên chúng ta xác định các subcopula như một lớp của các hàm n- tăng cơ sở với các biên, khi đó chúng ta xác định các copula như các subcopula với miền xác định In . Định nghĩa 1.4 Một subcopula n- chiều là một hàm C’ với những tính chất sau: 1. DomC 0 = S1 × S2 × ... × Sn , với mỗi Sk là một tập con của I chứa 0 và 1. 2. C 0 có đáy và n- tăng. 3. C 0 có phân phối biên duyên Ck0 , k = 1, 2, ..., n thỏa mãn Ck0 (u) = u với mọi u trong Sk . 11 Chú ý rằng với mỗi u thuộc DomC 0 , 0 6 C 0 (u) 6 1 vì vậy C 0 cũng là tập con của I. Định nghĩa 1.5 Một copula n-chiều là một n-subcopula C mà miền xác định là I n . Một cách tương đương , n- copula là một hàm C từ I n tới I với những tính chất sau: 1. Với mọi u trong I n , C (u) = 0 nếu ít nhất một tọa độ của u là 0 và nếu tất cả tọa độ của u là 1 trừ uk thì C (u) = uk . 2. Với mọi a và b trong I n được xác định a 6 b , VC ([a, b]) > 0 . Chú ý rằng với bất kì n- copula C, n > 3, mỗi k- biên duyên của C là k- copula, 2 6 k < n . Định lý sau suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.2. Định lý 1.1 Cho C 0 là n- subcopula. Khi đó với mỗi u và v thuộc DomC 0 , n P |C 0 (v) − C 0 (u)| 6 |vk − uk | k=1 Vì thế C 0 là liên tục đều trên miền xác định của nó. Định lý 1.2 (Định lý Skalar với n- chiều) Cho H là một hàm phân phối n- chiều với các phân n phối biên duyên F1 , F2 , ..., Fn . Khi đó tồn tại một n- copula C sao với mọi x thuộc R , ta có: H (x1 , x2 , ..., xn ) = C (F1 (x1 ) , F2 (x2 ) , .........Fn (xn )) (1.4) Nếu tất cả F1 , F2 , ..., Fn liên tục , khi đó C là duy nhất, nói cách khác C là xác định duy nhất trên RanF1 ×RanF2 ×...×RanFn . Ngược lại , nếu C là n- copula và F1 , F2 , ..., Fn là các hàm phân phối, thì hàm H xác định ở trên là một hàm phân phối n- chiều với các biên duyên F1 , F2 , ..., Fn . Chứng minh: (xem Sklar (1996) , [13]). Định nghĩa 1.6 Cho F là một hàm phân phối. Khi đó ma trận tựa nghịch đảo của F là bất kì hàm F (−1) với miền xác định I sao cho: 1. Nếu t thuộc RanF thì F (−1) (t) là số x bất kì trong R sao cho F (x) = t, nghĩa là với tất cả
t thuộc RanF , F F (−1) (t) = t. 12 2. Nếu t không thuộc RanF thì F (−1) (t) = inf {x |F (x) > t } = sup {x |F (x) 6 t}. Nếu F là tăng ngặt thì ma trận tựa nghịch đảo là nghịch đảo thường, chúng ta kí hiệu : F −1 . Hệ quả 1.1 Cho H, C, F1 , F2 , ..., Fn như trong định lý 1.2 và cho (−1) F1 (−2) , F2 (−n) , ...., Fn là ma trận tựa nghịch đảo của F1 , F2 , ..., Fn tương ứng. Khi đó với u bất kì trong I n ,   (−1) (−1) (−1) C (u1 , u2 , ..., un ) = H F1 (u1 ) , F2 (u2 ) , ...., Fn (un ) . Ví dụ 1.1 Kí hiệu Φ là hàm phân phối chuẩn tắc đơn biến và kí hiệu Φnρ là hàm phân phối chuẩn nhiều chiều với ma trận tương quan tuyến tính ρ. Khi đó C (u1 .u2 , ..., un ) = Φnρ (Φ−1 (u1 ) , Φ−1 (u2 ) , ..., Φ−1 (un ) là Gauss hoặc n-copula chuẩn. Copula này thường được sử dụng trong thực tế, bởi vì nó có một số tính chất đẹp như là một thành viên của họ copula elliptic và nó rất dễ dàng mô phỏng với những người thực hành có hiểu biết hạn chế về các copula . 1.1.3 Các biên Fre’chet- Hoeffding có các hàm phân phối đồng thời Xét các hàm Mn , Πn và Wn cho bởi M n (u) = min (u1 , u2 , ..., un ) Πn (u) = u1 u2 .....un W n (u) = max (u1 + u2 + ... + un − n + 1, 0) Các hàm M n và Πn là n-copula với mọi n > 2 trong khi hàm Wn không là copula với bất kì n > 2 như trong ví dụ sau. Ví dụ 1.2 Xét n- hình lập phương [1/2, 1]n ⊂ I n . Bởi vì lực lượng của W là đối xứng thể tích-W 13 của [1/2, 1]n là cho bởi: n VW([1/2,  1] ) = max (1 + ... + 1 − n + 1, 0) − n max (1/2 + 1 + ... + 1 − n + 1, 0) +  n  +   max (1/2 + 1/2 + 1 + ... + 1 − n + 1, 0) − 2 ... + max (1/2 + 1/2 + ... + 1/2 − n + 1, 0) = 1 − n (1/2) + 0 + ... + 0 Vì thế, W n không là copula với n > 3. Tiếp theo định lý mở rộng n chiều của Fre’chet-Hoeffding của bất đẳng thức các biên Định lý 1.3 Nếu C 0 là n-subcopula bất kì, khi đó với mỗi u trong DomC 0 , W n (u) 6 C 0 (u) 6 M n (u) (1.5) . Chứng minh:(xem Nelsen (1999) , [9]). Mặc dù Fre’chet-Hoeffding biên dưới W n không là một copula với n > 2, vế trái của (1.5) là có thể đạt được theo hướng với mọi n > 3 và bất kì u trong I n , có một n-copula mà C (u) = W n (u). Định lý 1.4 Với bất kì n > 3và u bất kì trong I n , có một n-copula C (mà phụ thuộc vào u) chẳng hạn C (u) = W n (u) Chứng minh:(xem Nelsen (1999) , [9]). Định nghĩa 1.7 Nếu C1 và C2 là các copula, chúng ta nói rằng C1 nhỏ hơn C2 (hoặc C2 lớn hơn C1 ) và viết C1 ≺ C2 ) (hoặc C2  C1 ) nếu C1 (u1 , u2 , ..., un ) 6 C2 (u1 , u2 , ..., un ) với mọi u1 , u2 , ..., un thuộc I . 14 1.1.4 Các copula và các biến ngẫu nhiên Giả sử X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm phân phối F1 , ..., Fn tương ứng và hàm phân phối đồng thời H. Khi đó (X1 , ..., Xn ) có duy nhất một copula C, với C được cho bởi (1.4). Định lý 1.5 Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với copula C. Khi đó X1 , X2 , ..., Xn là các biến độc lập nếu và chỉ nếu C = Πn . Một tính chất đẹp của các copula là phép biến đổi đơn điệu ngặt của các biến copula là bất biến. Chú ý rằng nếu hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X là liên tục, và nếu α là hàm đơn điệu ngặt có miền xác định chứa miền giá trị RanX, khi đó hàm phân phối của biến ngẫu nhiên α (X) cũng là liên tục. Định lý 1.6 Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với copula C. Nếu α1 , α2 , ..., αn là đơn điệu tăng ngặt trên RanX1 , RanX2 , ..., RanXn tương ứng, khi đó α1 (X1 ) , α2 (X2 ) , ..., αn (Xn ) có copula C. Do đó C là bất biến dưới các phép biến đổi tăng ngặt của X1 , X2 , ..., Xn . Chứng minh. Cho F1 , F2 , ..., Fn kí hiệu là các hàm phân phối của X1 , X2 , ..., Xn tương ứng, và kí hiệuG1 , G2 , ..., Gn theo thứ tự là các hàm phân phối của α1 (X1 ) , α2 (X2 ) , ..., αn (Xn ). Cho X1 , X2 , ..., Xn có copula C, và cho α1 (X1 ) , α2 (X2 ) , ..., αn (Xn ) có copula Cα . Vì αk tăng ngặt với mỗi một k , 
 Gk (x) = P [αk (Xk ) 6 x] = P Xk 6 αk−1 (x) = Fk αk−1 (x) với bất kì x trong R. Cα (G1 (x1 ) , ..., Gn (xn )) = P [α1 (X1 ) 6 x, ..., αn (Xn ) 6 x] 15   = P X1 6 α1−1 (x1 ) , ..., Xn 6 αn−1 (xn )

= C F1 α1−1 (x1 ) , ..., Fn αn (xn ) = C (G1 (x1 ) , ..., Gn (xn )) Vì X1 , X2 , ..., Xn là liên tục, RanG1 = RanG2 = ... = RanGn = I. Từ đó suy ra rằng Cα = C trong I n . Từ định lý Sklar chúng ta biết rằng hàm copula, C , tập hợp tách một hàm phân phối n- chiều b tồn tại hàm từ các phân phối biên duyên của nó. Định lý tiếp theo cũng sẽ cho biết một hàm, C, tách n- chiều các phân phối biên duyên sống sót của nó. Hơn nữa, hàm này có thể được biểu diễn bằng một copula, và copula sống sót có thể hoàn toàn dễ biểu diễn trong các số hạng của C và kphân phối biên duyên của nó. Định lý 1.7 Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với copula CX1 ,X2 ,...,Xn . Cho α1 , α2 , ..., αn là đơn điệu ngặt theo thứ tự trên RanX1 , RanX2 , ..., RanXn , và cho α1 (X1 ) , α2 (X2 ) , ..., αn (Xn ) có copula Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),...,αn (Xn ) . Hơn nữa cho αk là hàm giảm ngặt với một số k thỏa mãn 1 6 k 6 n. Không mất tính tổng quát cho k = 1 khi đó Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (u1 , u2 , ..., un ) = = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (u2 , ..., un ) − CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (1 − u1 , u2 , ..., un ) Chứng minh. Cho X1 , X2 , ..., Xn có các phân phối biên duyên F1 , F2 , ..., Fn và cho α1 (X1 ) , α2 (X2 ) , ..., αn (Xn ) có các phân phối biên duyên G1 , G2 , ..., Gn . Khi đó 16 Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G1 (x1 ) , G2 (x2 ) , ..., Gn (xn )) = = P [α1 (X1 ) 6 x1 , α2 (X2 ) 6 x2 , ..., αn (Xn ) 6 xn ]   = P X1 > α1−1 (x1 ) , α2 (X2 ) 6 x2 , ..., αn (Xn ) 6 xn    = P AC ∩ B = P [B] − P [A ∩ B] = P [α2 (X2 ) 6 x2 , ..., αn (Xn ) 6 xn ] −   −P X1 > α1−1 (x1 ) , α2 (X2 ) 6 x2 , ..., αn (Xn ) 6 xn = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G2 (x2 ) , ..., Gn (xn )) −

−CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) F1 α1−1 (x1 ) , G2 (x2 ) , ..., Gn (xn )   
= G1 (x) = P [α1 (X1 ) 6 x] = P X1 > α1−1 (x1 ) = 1 − F1 α1−1 (x1 ) = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G2 (x2 ) , ..., Gn (xn )) − −CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (1 − G1 (x1 ) , G2 (x2 ) , ..., Gn (xn )) Vậy định lý đã được chứng minh xong. Từ đó ta có kết luận sau đây. Bằng cách sử dụng kết quả của hai định lý trên rõ ràng một cách tổng quát hơn copula Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),...,αn (Xn ) có thể được biểu diễn trong các số hạng của copula CX1 ,X2 ,...,Xn . Điều này được thực hiện trong ví dụ sau. Ví dụ 1.3 Xét trường hợp phân phối hai chiều. Cho α1 là giảm ngặt và cho α2 là tăng ngặt. Khi đó: Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) (u1 , u2 ) = u2 − CX1 ,α2 (X2 ) (1 − u1 , u2 ) = u2 − CX1 ,X2 (1 − u1 , u2 ) Cho α1 và α2 là giảm ngặt. Khi đó : 17 Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) (u1 , u2 ) = u2 − CX1 ,α2 (X2 ) (1 − u1 , u2 ) = u2 − (1 − u1 − CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 )) = u1 + u2 − 1 + CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 ) b của X1 và X2 , nghĩa là : Ở đây Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) cũng là copula sống sót, C,
b F1 (x1 ) , F2 (x2 ) H (x1 , x2 ) = P [X1 > x1 , X2 > x2 ] = C Xét trường hợp phân phối 3 chiều. Cho α1 , α2 và α3 là giảm ngặt. Khi đó : Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),α3 (X3 ) (u1 , u2 , u3 ) = = Cα2 (X2 ),α3 (X3 ) (u2 , u3 ) − CX1 ,α2 (X2 ),α3 (X3 ) (1 − u1 , u2 , u3 ) = ... = u1 + u2 + u3 − 2 + CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 ) + CX1 ,X3 (1 − u1 , 1 − u3 ) +CX2 ,X3 (1 − u2 , 1 − u3 ) − CX1 ,X2 ,X3 (1 − u1 , 1 − u2 , 1 − u3 ) Ở đây Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),α3 (X) là copula sống sót của X1 , X2 , X3 . Cũng chú ý rằng hàm sống sót đồng thời của n biến ngẫu nhiên đều (0, 1) có hàm phân phối đồng thời là copula C là b (1 − u1 , 1 − u2 , ..., 1 − un ). C (u1 , u2 , ..., un ) = C Mỗi phân phối đồng thời H cảm sinh một độ đo xác suất trên Rn qua VH ((−∞, x1 ] × (−∞, x2 ] × ... × (−∞, xn ]) = H (x1 , x2 , ..., xn ). Từ các copula có hàm phân phối đồng thời, mỗi copula cảm sinh một độ đo xác suất trên In qua VC ([0, u1 ] × [0, u2 ] × ... × [0, un ]) = C (u1 , u2 , ..., un ). Do đó, ở mức độ trực quan C- độ đo của một tập con của In là giới hạn xác suất mà n biến ngẫu nhiên thuộc (0, 1) có phân phối đồng thời C, giả thiết các giá trị trong tập hợp con đó. Với bất kì copula C, lấy : 18 C (u1 , u2 , ..., un ) = AC (u1 , u2 , ..., un ) + SC (u1 , u2 , ..., un ) Trong đó Zu1 AC (u1 , u2 , ..., un ) = Zun ... 0 ∂n C (u1 , u2 , ..., un ) ds1 ...dsn ∂u1 ...∂un 0 SC (u1 , u2 , ..., un ) = C (u1 , u2 , ..., un ) − AC (u1 , u2 , ..., un ) Không giống như các phân phối nhiều chiều tổng quát, các phân phối biên duyên của một copula là liên tục, do đó một copula không có các điểm cá thể trên In mà C- độ đo dương. Nếu C = AC trên In khi đó C được gọi là liên tục tuyệt đối. Trong trường hợp này C có mật độ đồng thời được cho bởi ∂n C ∂u1 ...∂un (u1 , ..., un ). Nếu C = SC trên In khi đó C được gọi là suy biến, và ∂n C ∂u1 ...∂un (u1 , ..., un ) = 0 hầu khắp nơi trong In . Giá của một copula là phần bù của hợp tất cả các tập con mở của In với C- độ đo không. Khi giá của một copula C là In , Chúng ta nói C có “giá toàn phần”. Khi C là suy biến thì giá của C có độ đo Lebesgue không và ngược lại. Tuy nhiên, một copula có thể có giá toàn phần mà không cần phải liên tục tuyệt đối. Ví dụ 1.4 Xét phân phối hai chiều Fre’chet-Hoeffding biên trên M . Khi ∂2 M ∂u∂v (u, v) = 0 khắp nơi trên I2 ngoại trừ trên đường chéo chính (trong đó có độ đo Lebesgue không), và M - độ đo của tất cả các hình chữ nhật I2 hoàn toàn trên hoặc dưới đường chéo chính là không, M là kì dị. Giá của M là đường chéo chính của I2 như trong hình 1.1 . Tương tự như vậy giá của phân phối hai chiều Fre’chet-Hoeffding biên dưới W là đường chéo thứ hai của I2 như trong hình 1.1 . Ta sẽ trình bày các thuật toán có kết quả của các biến ngẫu nhiên sinh ra từ các họ copula nghiên cứu khác nhau. Các thuộc tính cụ thể của họ copula thường là cần thiết cho tính hiệu quả của các thuật toán tương ứng. Bây giờ chúng ta trình bày một thuật toán chung cho biến ngẫu 19 1.jpg Hình 1.1: Giá của Fre’chet- Hoefding các biên trên và dưới nhiên được tạo thành từ các copula. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp thì nó không phù hợp để sử dụng. Xét trường hợp tổng quát của biến ngẫu nhiên tạo thành từ n-copula C. Cho: Ck (u1 , u2 , ..., un ) = C (u1 , u2 , ..., uk , 1, ..., 1) , k = 1, 2, ..., n − 1 kí hiệu k- phân phối biên duyên của C (u1 , u2 , ..., un ). Hơn nữa C1 (u1 ) = u1 và Cn (u1 , u2 , ..., un ) = C (u1 , u2 , ..., uk ). Cho (U1 , U2 , ..., Un ) có hàm phân phối đồng thời C. Khi đó phân phối cá điều kiện của Uk cho các giá trị là k − 1 thành phần đầu tiên của (U1 , U2 , ..., Un ) được cho bởi Ck (uk |u1 , u2 , ..., uk−1 ) = P [Uk 6 uk |U1 = u1 , ..., Uk−1 = uk−1 ] . = ∂ k−1 Ck (u1 ,...,uk ) ∂ k−1 Ck−1 (u1 ,...,uk−1 ) / ∂u1 ...∂uk−1 ∂u1 ...∂uk−1 Chú ý rằng khi tăng các hàm một biến được cho bởi uj 7→ C (u) với j = 1, 2, ..., n là lấy vi phân 20