Tài liệu Mặt kiểu không gian trong không gian lorentz minkowski

Lời cảm ơn Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự hỗ trợ, giúp đỡ dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của những người xung quanh. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học cho đến khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, ngoài nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Quảng Bình, gia đình và bạn bè. Trước tiên, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS. Nguyễn Lê Trâm, giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên em, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên em trong suốt quá trình học tập cũng như trong khi thực hiện và hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã rất cố gắng để hoàn thiện nội dung lẫn hình thức nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Nên em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! Sinh viên Nguyễn Thị Duyên 1 Mục lục Lời nói đầu 1 MỞ ĐẦU 3 1 2 KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 6 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tính chất của tích Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Tích có hướng Lorentz của hai vectơ trong R31 . . . . . . . . . . . . 15 MẶT KIỂU KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 19 2.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Dạng cơ bản thứ nhất - Diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Mặt cực đại trong không gian Lorentz - Minkowski . . . . . . . . . 28 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 2 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hình học Euclide được nghiên cứu từ rất lâu với nội dung vô cùng phong phú, được xây dựng dựa trên cơ sở tích vô hướng thông thường, có nghĩa là bình phương mỗi vectơ đều không âm. Song song với hình học Euclide là hình học Lorentz - Minkowski, được xây dựng dựa trên dạng song tuyến tính đối xứng không xác định dương, do đó bình phương mỗi vectơ có thể dương, âm hoặc bằng không. Từ đó dẫn đến sự khác nhau giữa hình học trên không gian Euclide và trên không gian Lorentz - Minkowski. Với mong muốn tìm hiểu sự khác biệt giữa hình học trên hai không gian đó, đồng thời tìm hiểu thêm sâu hơn về một số đặc điểm nổi bật của không gian mới nên thầy giáo ThS. Nguyễn Lê Trâm đã lựa chọn cho em đề tài "Mặt tham số kiểu không gian trên không gian Lorentz - Minkowski" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận tốt nghiệp này, em nghiên cứu tổng quan về không gian Lorentz - Minkowski và mặt tham số kiểu không gian của nó: 1. Trình bày lại hệ thống các kiến thức cơ bản về định nghĩa, các kiểu vectơ và các tính chất khác biệt của không gian Lorentz - Minkowski so với không gian Euclide về: tính chất của tích vô hướng Lorentz, sự trực giao của hai vectơ, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, hệ quả là bất đẳng thức tam giác và tích có hướng Lorentz của hai vectơ trong không gian. 2. Trình bày về một số đặc điểm của mặt tham số kiểu không gian về dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai, độ cong Gauss, độ cong trung bình và đặc biệt là tính cực đại địa phương của mặt kiểu không gian trên không gian Lorentz - Minkowski. 3 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài này bao gồm: các kiểu vectơ trong không gian Lorentz - Minkowski, tích vô hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz của vectơ, mặt kiểu không gian, độ cong trung bình, độ cong Gauss và mặt cực đại. 4. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài này là không gian Lorentz - Minkowski về các kiểu vectơ, tích vô hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz của vectơ và một số tính chất của mặt kiểu không gian và mặt cực đại. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu giáo trình về các vấn đề nghiên cứu dựa trên cơ sở là không gian Euclide như: định nghĩa, đặc điểm phân loại vectơ, tính chất của tích vô hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz của hai vectơ, mặt kiểu không gian, công thức về tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt, điều kiện để một mặt kiểu không gian là một mặt cực đại trong không gian Lorentz - Minkowski. - Phương pháp lấy ý kiến giảng viên chuyên môn: tham khảo, lấy ý kiến góp ý của giảng viên hướng dẫn thầy giáo ThS. Nguyễn Lê Trâm và các giảng viên khác trong Bộ môn toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình. 6. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Quảng Bình có mong muốn tiếp tục tìm hiểu không gian Lorentz - Minkowski. Với bản thân em, khóa luận này giúp em tìm hiểu thêm được về một không gian mới là không gian Lorentz - Minkowski, trên cơ sở không gian Euclide, từ đó thấy được sự khác biệt giữa hai không gian và đặc biệt là một số đặc điểm, tính chất của mặt kiểu không gian trong không gian Lorentz - Minkowski. 4 7. Nội dung nghiên cứu Đề tài nghiên cứu gồm các chương như sau: Chương 1 : Không gian Lorentz - Minkowski. Chương này trình bày lại hệ thống một số kiến thức cơ bản về không gian Lorentz - Minkowski. Trình bày định nghĩa, các kiểu vectơ, tính chất của tích vô hướng Lorentz, sự trực giao và tích có hướng Lorentz của hai vectơ. Chương 2 : Mặt kiểu không gian trong không gian Lorentz - Minkowski. Chương này trình bày một số định nghĩa cơ bản: mặt tham số chính quy, không gian tiếp xúc, mặt kiểu không gian. Dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai, công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt kiểu không gian và điều kiện để một mặt kiểu không gian là một mặt cực đại. 8. Bố cục khóa luận Gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận. PHẦN MỞ ĐẦU bao gồm: 1. Lí do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Đối tượng nghiên cứu 4. Phạm vi nghiên cứu 5. Phương pháp nghiên cứu 6. Tầm khoa học và thực tiễn 7. Nội dung đề tài 8. Bố cục khóa luận PHẦN NỘI DUNG bao gồm: Chương 1 : Không gian Lorentz - Minkowski Chương 2 : Mặt kiểu không gian trong không gian Lorentz - Minkowski PHẦN KẾT LUẬN 5 Chương 1 KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski Định nghĩa 1.1.1. Trong không gian vectơ R3 . Xét dạng song tuyến tính h, i1 xác định bởi: hx, yi1 = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 với x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Khi đó ta có dạng toàn phương: hx, xi1 = x21 + x22 − x23 . Không gian vectơ R3 cùng với h, i1 xác định ở trên được gọi là không gian Lorentz - Minkowski, kí hiệu R31 . Ta thấy rằng h, i1 không xác định dương nên hx, xi1 có thể âm hoặc bằng không. Từ đó các vectơ trên R31 được phân thành các kiểu vectơ sau: • x là vectơ kiểu không gian (spacelike) nếu hx, xi1 > 0 hoặc x = 0, • x là vectơ kiểu thời gian (timelike) nếu hx, xi1 < 0, • x là vectơ kiểu ánh sáng (lightlike) nếu hx, xi1 = 0, x 6= 0. * Nhận xét: Cho vectơ x ∈ R31 , nếu x là vectơ kiểu ánh sáng khi đó ta không xác định được độ dài mà ta chỉ xác định được độ dài khi nó là vectơ kiểu thời gian hoặc kiểu không gian. Từ đó ta có định nghĩa độ dài vectơ như sau: 6 Với x ∈ R31 , x không phải là vectơ kiểu ánh sáng. Khi đó: p |x|1 = |hx, xi1 | • Nếu x là vectơ kiểu không gian thì |x|1 = • Nếu x là vectơ kiểu thời gian thì |x|1 = p hx, xi1 , p −hx, xi1 . • x được gọi là vectơ đơn vị nếu |x|1 = 1. Hình vẽ mô tả không gian Lorentz - Minkowski Định nghĩa 1.1.2. (Sự trực giao của vectơ trong R31 ) Với x, y ∈ R31 , x, y khác vectơ không. Khi đó hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi1 = 0. Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian R31 i. Hệ hai vectơ ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau. ii. Hệ gồm hai vectơ khác loại (khác vectơ không) thì độc lập tuyến tính với nhau. iii. Nếu một vectơ khác vectơ không trực giao với một vectơ kiểu thời gian thì nó là vectơ kiểu không gian. 7 Chứng minh. i. Với x, y ∈ R31 , x, y là hai vectơ kiểu thời gian, phụ thuộc tuyến tính. Khi đó x, y trực giao với nhau khi và chỉ khi hx, yi1 = 0. Chứng minh. Ta có hx, xi1 = hy, yi1 = 0 (Vì x, y là vectơ kiểu ánh sáng ). Giả sử x, y là phụ thuộc tuyến tính ta có: ∃λ ∈ R sao cho x = λy . khi đó hx, yi1 = hλy, yi1 = λhy, yi1 = λ.0 = 0, suy ra hx, yi1 = 0 hay x, y là trực giao với nhau. ii. Với x, y ∈ R31 , trong đó x là vectơ kiểu không gian, y là vectơ kiểu thời gian. Khi đó x, y là hai vectơ độc lập tuyến tính. Chứng minh. Giả sử x, y là hai vectơ phụ phuộc tuyến tính khi đó: ∃λ ∈ R sao cho x = λy . Ta có 0 < hx, xi1 = hλy, λyi1 = λ2 hy, yi1 < 0. Điều trên không đúng. Vậy nên suy ra x, y là hai vectơ độc lập tuyến tính. Với x, y, z ∈ R31 , trong đó x là vectơ kiểu không gian, y là vectơ kiểu thời gian và z là vectơ kiểu ánh sáng. Khi đó chứng minh tương tự như trên ta cũng có hệ {x, y}, {y, z} độc lập tuyến tính. iii. Nếu x là vectơ khác vectơ không, y là vectơ kiểu thời gian và x, y trực giao với nhau (hx, yi1 = 0) thì x là vectơ kiểu không gian hay hx, xi1 > 0. Chứng minh. Với x, y ∈ R3 , x 6= 0, y là vectơ kiểu thời gian. Khi đó: hy, yi1 < 0. Giả sử Với hy, yi1 = −λ < 0, ∀λ > 0, λ ∈ R x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ). Khi đó ta có: hy, yi1 = −λ ⇔ y12 + y22 − y32 = −λ 8 ⇔ y12 +y22 = y32 −λ. (1.1) Ta thấy y12 + y22 > 0 nên theo (1.1) ⇒ y32 − λ > 0 hay y32 6= 0 hx, yi1 = 0 Ta có ⇔ x1 y 1 + x2 y 2 − x3 y 3 = 0 ⇔ x1 y 1 + x2 y 2 = x3 y 3 ⇔ (x1 y 1 + x2 y 2 )2 ⇔ x23 = = (x3 y3 )2 (x1 y 1 + x2 y 2 )2 (y3 6= 0) y32 (x1 y1 + x2 y2 )2 ⇔ x23 = y32 ⇒ x23 6 (x21 + x22 )(y12 + y22 ) 6 y32 (x21 + x22 )(y32 − λ) y32 . (theo(1.1)) (1.2) hx, xi1 = x21 + x22 − x23 . Ta lại có Từ (1.2) suy ra hx, xi1 > (x21 + x22 ) − (x21 + x22 )(y32 − λ) = (x21 + x22 )(1 − = (x21 + x22 ) y32 y32 − λ ) y32 λ > 0 y32 (λ > 0) ⇒ hx, xi1 > 0. Nếu hx, xi1 = 0 ⇒ x21 + x22 = 0 ⇒ ( −λ > 0) y32   x1 = 0 x = 0 2 ⇒ hx, xi1 = 0 ⇔ x21 + x22 − x23 = 0 ⇒ x3 = 0. Khi đó x = (0, 0, 0) ( mâu thuẫn với giả thiết x là vectơ khác vectơ không). ⇒ hx, xi1 > 0. Vậy x là vectơ kiểu không gian. Từ đó cơ sở trực chuẩn của R31 là hệ {e1 , e2 , e3 } với e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). 9 Hình vẽ mô tả hai vectơ trực giao trong không gian Lorent Minkoski Từ hình vẽ tư thấy: trong không gian R31 , cho vectơ u = (1, 0, 2) và vectơ v = (2, 0, 1). Khi đó theo định nghĩa thì u, v là hai vectơ trực giao với nhau theo định nghĩa ( vì 1.2 + 0.0 − 2.1 = 0). Bằng trực quan ta thấy góc giữa hai vectơ không còn là 90◦ như trong không gian Euclide thông thường. 1.2 Tính chất của tích Lorentz Với x, y ∈ R31 . Khi đó ta có: i. hx, yi1 = hy, xi1 . ii. hλx, yi1 = λhx, yi1 . iii. hx, y + zi1 = hx, yi1 + hx, zi1 , ∀λ ∈ R. (h, i1 là một dạng song tuyến tính đối xứng ). Chứng minh. Với x, y, z ∈ R31 , x = (x1 , x2 , x3 ); y = (y2 , y2 , y3 ); z = (z1 , z2 , z3 ). 10 i. Ta có hx, yi1 = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 = y1 x1 + y2 x2 − y3 x3 = hy, xi1 . ⇒ hx, yi1 = hy, xi1 . ii. Với ∀λ ∈ R ⇒ λx = (λx1 , λx2 , λx3 ). Khi đó: hλx, yi1 = λx1 y1 + λx2 y2 − λx3 y3 = λ(x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 ) = λhx, yi1 . ⇒ hλx, yi1 = λhx, yi1 . iii. Ta có hx, y + zi1 = x1 (y1 + z1 ) + x2 (y2 + z2 ) − x3 (y3 + z3 ). = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 + x1 z1 + x2 z2 − x3 z3 = hx, yi1 + hx, zi1 . ⇒ hx, y + zi1 = hx, yi1 + hx, zi1 . Trên cơ sở bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong không gian Euclide với tích vô hướng thông thường và tích có hướng của các vectơ trong Rn1 . Trong phần này ta tập trung nghiên cứu bất đẳng thức này với hai loại vectơ kiểu không gian và thời gian trong không gian Lorentz - Minkowski R31 để chỉ ra sự khác biệt giữa hai không gian trên, đồng thời nghiên cứu tích Lorentz của các vectơ trong không gian Lorentz - Minkowski R31 . Mệnh đề 1.2.1. ∀x, y ∈ R31 , x, y là vectơ kiểu không gian. Khi đó: |x|1 . |y|1 > |hx, yi1 | dấu ” = ” xảy ra khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. • Nếu y = 0 thì BĐT (1.3) luôn đúng. • Xét hx, yi = 6 0 và x, y là hai vectơ độc lập tuyến tính. Khi đó: Với ∀λ ∈ R ta luôn có: 11 (1.3) |x + λy|21 > 0 ⇔ hx + λy, x + λyi1 > 0 hx, xi1 + 2λhx, yi1 + λ2 hy, yi1 > 0 0 Ta thấy BĐT (1.4) luôn đúng ⇔ ∆ < 0 hay suy ra (1.4) (vì hy, yi1 < 0) hx, yi21 − hx, xi1 .hy, yi1 < 0 ⇒ hx, yi21 < hx, xi1 .hy, yi1 Vậy (1.5). |hx, yi1 | < |x|1 . |y|1 Nếu x, y phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta có |hx, yi1 | = |x|1 . |y|1 . (1.6) Vậy từ (1.5) và (1.6) ta có được: |hx, yi1 | 6 |x|1 . |y|1 . Bất đẳng thức (1.3) được chứng minh. Mệnh đề 1.2.2. Với ∀x, y ∈ R31 với x, y là hai vectơ kiểu thời gian cùng thuộc một nón thời gian. Khi đó ta có: (1.7) |x|1 . |y|1 6 |hx, yi1 | dấu "=" xảy ra khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. • Gọi T là tập hợp tất cả các vectơ kiểu thời gian trong R31 . Với mỗi u ∈ T ta định nghĩa nón thời gian của u là tập hợp được xác định bởi: C (u) = {v ∈ T /hu, vi1 < 0} = 6 ∅. • Với ∀x, y ∈ C , giả sử x, y độc lập tuyến tính khi đó ∃λ ∈ R sao cho phương trình sau luôn có nghiệm: hx + λy, x + λyi1 = 0 ⇔ λ2 hy, yi1 + 2λhx, yi1 + hx, xi1 = 0. Phương trình trên là phương trình bậc 2 theo ẩn λ luôn có nghiệm khi và chỉ khi: ∆0 > 0 hay hx, yi21 − hy, yi1 .hx, xi1 > 0 ⇒ hx, yi21 > hy, yi1 .hx, xi1 12 (1.8) ⇒ |hx, xi1 | > |y|1 . |x|1 . Nếu x, y phụ thuộc tuyến tính khi đó ta luôn có: |hx, yi1 | = |x|1 . |y|1 (1.9) Vậy từ (1.8) và (1.9) ta có được: |hx, yi1 | > |x|1 . |y|1 . Bất đẳng thức (1.7) được chứng minh. Ta thấy dấu của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz đối với vectơ kiểu thời gian trong không gian Lorentz - Minkowski R31 hoàn toàn trái ngược với dấu của bất đẳng thức Cauchy - Shwarz trong không gian Euclide thông thường, đây chính là sự khác biệt giữa hai không gian này. Theo (1.7) ta có : khi đó hx, yi21 > hy, yi1 .hx, xi1 hx, yi21 >1 (−hx, xi1 )(−hy, yi1 ) −hx, yi1 p ⇒p > 1. −hx, xi1 −hy, yi1 Vì hx, yi1 = −x3 y3 < 0. Vậy khi đó tồn tại hàm cosh : [0, ∞) −→ [1, ∞) và duy nhất một số thực không âm η (x, y ) sao cho: cosh η (x, y ) = p −hx, yi1 −hx, xi1 ⇒ p −hy, yi1 = −hx, yi1 |x|1 |y|1 hx, yi1 = − |x|1 |y|1 cosh η (x, y ). Và η (x, y ) được gọi là góc Lorentz kiểu thời gian giữa hai vectơ x và y . Trong không gian Euclide từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz người ta thu được hệ quả là bất đẳng thức tam giác và điều tương tự cũng xảy ra đối với không gian Lorentz - Minkowski và trong phần này em đã chứng minh được tính chất đó. Mệnh đề 1.2.3. Với ∀x, y ∈ R31 , x, y là hai vectơ kiểu không gian. Khi đó: |x + y|1 6 |x|1 +|y|1 Dấu ” = ” xảy ra khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử x, y là độc lập tuyến tính. Khi đó: 13 (1.10) |x + y|21 = |hx + y, x + yi1 | = |hx, xi1 + 2hx, yi1 + hy, yi1 | = |x|21 + 2 |hx, yi| + |y|21 < |x|21 + 2 |x|1 |y|1 + |y|21 (theo (1.3)) = (|x|1 + |y|1 )2 . Suy ra hay |x + y|21 < (|x|1 + |y|1 )2 , |x + y|1 < |x|1 +|y|1 . (1.11) Nếu x, y phụ thuộc tuyến tính khi đó ta có: |x + y|1 = |x|1 +|y|1 . (1.12) Vậy từ (1.11) và (1.12) ta có được |x + y|1 6 |x|1 + |y|1 . Bất đẳng thức (1.10) được chứng minh. Mệnh đề 1.2.4. Với ∀x, y ∈ R31 , x, y là hai vectơ kiểu thời gian. Khi đó: |x + y|1 > |x|1 + |y|1 (1.13) Dấu ” = ” xảy ra khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử x, y là độc lập tuyến tính. Khi đó: |x + y|21 = |hx + y, x + yi1 | = |hx, xi1 + 2hx, yi1 + hy, yi1 | = |−hx, xi1 − 2hx, yi1 − hy, yi1 | = |x|21 + 2 |hx, yi| + |y|21 > |x|21 + 2 |x|1 |y|1 + |y|21 (theo (1.7)) = (|x|1 + |y|1 )2 . Suy ra hay |x + y|21 > (|x|1 + |y|1 )2 , |x + y|1 > |x|1 + |y|1 . (1.14) Khi x, y phụ thuộc tuyến tính ta có: |x + y|1 = |x|1 +|y|1 . Vậy từ (1.14) và (1.15) ta có |x + y|1 > |x|1 + |y|1 . 14 (1.15) Bất đẳng thức (1.13) được chứng minh. Dựa vào định nghĩa và tính chất của tích có hướng của các vectơ trong không gian Euclide người ta đã xây dựng được định nghĩa và các tính chất tương tự của các vectơ trong không gian Lorentz - Minkowski. Trong phần tiếp theo em đã kiểm tra được các tính chất đó. 1.3 Tích có hướng Lorentz của hai vectơ trong R31 Định nghĩa 1.3.1. Với x, y ∈ R31 và x = (x1 , x2 , x3 ); y = (y1 , y2 , y3 ). Khi đó tích có hướng trong R31 được xác định:       x x  x x  x x   2 3  1 3  1 2 x ∧1 y = ( ,− ,− ).  y2 y3   y1 y3   y1 y2  Mệnh đề 1.3.1. Với x, y, z, w ∈ R31 . Ta có : i. x ∧1 y = −y ∧1 x. ii. x ∧1 y vuông góc   x 1  iii hx ∧1 y, zi1 =  y1   z1 với cả x và y .   x2 x3   y2 y3 .  z2 z3  4i. x ∧1 y = 0 khi và chỉ khi x, y cùng phương với nhau.   hx, zi hx, wi  1 1  5i. hx ∧1 y, z ∧1 wi1 = −  . hy, zi1 hy, wi1  Chứng minh. Với x, y, z, w ∈ R31 và x = (x1 , x2 , x3 ); y = (y1 , y2 , y3 ); z = (z1 , z2 , z3 ); w = (w1 , w2 , w3 ). Khi đó ta có: i.       x x  x x  x x   2 3  1 3  1 2 x ∧1 y = ( ,− ,− )  y2 y3   y1 y3   y1 y2  15       −y −y  −y −y  −y −y  2 3 3  1  1  2 = ( ) ,− ,−  x2 x3   x1 x3   x1 x2  = −y ∧1 x. Suy ra x ∧1 y = −y ∧1 x. hx ∧1 y, xi1 ii.       x x  x x  x x   1 2  1 3  2 3 =   x3  x2 +   x1 −   y1 y2   y1 y3   y2 y3  = x2 y 3 x 1 − x1 y 2 x3 + x3 y 1 x2 − x1 x2 y 3 + x1 x3 y 2 − x 2 y 1 x3 = 0. Suy ra x ∧1 y vuông góc với x. hx ∧1 y, yi1       x x  x x  x x   1 2  1 3  2 3 =   y3  y2 +   y1 −   y1 y2   y1 y3   y2 y3  = x2 y1 y3 − x3 y1 y2 + x3 y1 y2 − x1 y2 y3 + x1 y2 y3 − x2 y1 y3 = 0. Suy ra iii. x ∧1 y vuông góc với y . hx ∧1 y, zi1       x x  x x  x x   2 3  1 3  1 2 =   z1 −   z2 +   z3  y2 y3   y1 y3   y1 y2  = x2 y3 z1 − x3 y2 z1 + x3 y1 z2 − x1 y3 z2 + x1 y2 z3 − x2 y1 z3 = (x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 ) − (x3 y2 z1 + x1 y3 z2 + x2 y1 z3 )      x1 x2 x3    =  y1 y2 y3 .    z1 z2 z3  4i. Ta có x ∧1 y = 0 ⇔ ⇔ ⇔        x x  x x  x x  2 3 1 3 1 2       ( ,− ,− )  y2 y3   y1 y3   y1 y2    x y = x3 y 2    2 3 x3 y 1 = x1 y 3    x y = x y 1 2 2 1  x2  = xy33    y2 x3 y3 =     x1 = y1 x1 y1 x2 y2 16 = (0, 0, 0) ⇔ x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 hay x, y cùng phương với nhau.             x x   z z  x x   z z  x x   z z   2 3  2 3   1 3  1 3   1 2  1 2  5i. hx∧1 y, z∧1 wi1 =   . − . + .  y2 y3  w2 w3   y1 y3  w1 w3   y1 y2  w1 w2  = (x2 y3 − x3 y2 )(z2 w3 − z3 w2 ) + (x1 y3 − x3 y1 )(z1 w3 − z3 w1 ) − (x1 y2 − x2 y1 )(z1 w2 − z2 w1 ) = −[(x1 z1 + x2 z2 − x3 z3 )(y1 w1 + y2 w2 − y3 w3 ) − (x1 w1 + x2 w2 − x3 w3 )(y1 z1 + y2 z2 − y3 z3 )]   hx, zi hx, wi  1 1  = − . hy, zi1 hy, wi1  Hệ quả 1.3.1. Với x, y ∈ R31 , x, y độc lập tuyến tính. Khi đó: i. Nếu x, y là hai vectơ kiểu thời gian (tương ứng kiểu không gian) thì x ∧1 y là vectơ kiểu không gian (tương ứng kiểu thời gian). ii. Nếu x là vectơ kiểu thời gian, y là vectơ kiểu ánh sáng thì x ∧1 y là vectơ kiểu không gian. iii. Nếu x là vectơ kiểu không gian, y là vectơ kiểu ánh sáng thì x ∧1 y là vectơ kiểu không gian hoặc là kiểu ánh sáng. Chứng minh Với ∀x, y ∈ R31 . Theo tính chất (5i) của tích có hướng ta có:   hx, xi hx, yi  1 1  hx ∧1 y, x ∧1 yi1 = −   hy, xi1 hy, yi1  = −(hx, xi1 .hy, yi1 − hx, yi21 ) = hx, yi21 −hx, xi1 .hy, yi1 . i. Giả xử x, y là hai vectơ kiểu thời gian. Khi đó ta có: hx, yi21 > hx, xi1 .hy, yi1 ⇒ hay (theo (1.7)) hx, yi21 − hx, xi1 .hy, yi1 > 0. hx ∧1 y, x ∧1 yi1 > 0. ( theo (1.16)) Vậy x ∧1 y là vectơ kiểu không gian. 17 (1.16) Giả xử x, y là hai vectơ kiểu không gian. Khi đó ta có: hx, yi21 < hx, xi1 .hy, yi1 ⇒ hay (theo (1.3)) hx, yi21 − hx, xi1 .hy, yi1 < 0 hx ∧1 y, x ∧1 yi1 < 0 ( theo (1.16)) Vậy x ∧1 y là vectơ kiểu thời gian. ii. Giả sử x là vectơ kiểu không gian, y là vectơ kiểu ánh sáng. Ta có hx ∧1 y, x ∧1 yi1   hx, xi hx, yi  1 1  = −  hy, xi1 hy, yi1  = hx, yi21 − hx, xi1 .hy, yi1 mà y là vectơ kiểu ánh sáng nên hy, yi1 = 0. suy ra Vậy hx ∧1 y, x ∧1 yi1 = hx, yi21 > 0. x ∧1 y là vectơ kiểu không gian. iii. Giả sử x là vectơ kiểu thời gian, y là vectơ kiểu ánh sáng. Ta có hx ∧1 y, x ∧1 yi1   hx, xi hx, yi  1 1   = −  hy, xi1 hy, yi1  = hx, yi21 − hx, xi1 .hy, yi1 mà y là vectơ kiểu ánh sáng nên hy, yi1 = 0 suy ra hx ∧1 y, x ∧1 yi1 = hx, yi21 > 0 Vậy x ∧1 y là vectơ kiểu không gian. 18 Chương 2 MẶT KIỂU KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 2.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 2.1.1. (Mặt tham số chính quy) Một tập hợp con S ⊂ R31 được gọi là mặt chính quy nếu với ∀p ∈ S tồn tại lân cận V ⊂ R31 của p và ánh xạ X : U −→ V ∩ S , với U là một tập con mở trong R21 , thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1. Ánh xạ X là khả vi, có nghĩa là X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )), (u, v ) ∈ U với x, y, z là các hàm có đạo hàm riêng mọi cấp. 2. Ánh xạ X là một đồng phôi từ U vào V ∩S . Vì X là liên tục theo điều kiện 1, nên X là một đồng phôi có nghĩa là X có ánh xạ ngược X −1 : V ∩S −→ U liên 19 tục. Nói cách khác, X −1 là hạn chế của ánh xạ liên tục F : W ⊂ R31 −→ R21 xác định trên một tập mở chứa V ∩ S . 3. (Tính chính quy) Với mọi q ∈ U , đạo hàm DXp : R21 −→ R31 là một đơn ánh. Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa của S , cặp (U, X ) gọi là một hệ tọa độ địa phương của S . Định nghĩa 2.1.2. (Không gian tiếp xúc) Cho mặt chính quy S ⊂ R31 và một điểm p ∈ S . Khi đó không gian tiếp xúc với mặt S tại p là tập các vectơ tiếp xúc với S tại p, kí hiệu Tp S . Mặt phẳng tiếp xúc của S tại p là mặt phẳng đi qua p và sinh bởi hai vec tơ {Xu }p , {Xv }p . Định nghĩa 2.1.3. (Mặt kiểu không gian) Một mặt chính quy S ⊂ R31 được gọi một mặt kiểu không gian nếu h, i1 |Tp S xác định dương hay có nghĩa là mọi vectơ tiếp xúc của S đều là vectơ kiểu không gian. Từ đây các kết quả trong đề tài này tập trung chủ yếu nghiên cứu về mặt tham số chính quy kiểu không gian. Định nghĩa 2.1.4. (Tham số hóa kiểu đồ thị của mặt kiểu không gian) Cho S ⊂ R31 là mặt kiểu không gian, xét ánh xạ: X : Ω −→ R31 (u, v ) 7−→ X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) khi đó X (u, v ) được gọi là một tham số hóa kiểu đồ thị của mặt kiểu không gian S . 2.2 Dạng cơ bản thứ nhất - Diện tích Cho S ⊂ R31 là một mặt chính quy. Khi đó tích Lorentz trên R31 sẽ cảm sinh tích Lorentz trên từng mặt phẳng tiếp xúc Tp S . Cụ thể: ∀w1 , w2 ∈ Tp S , hw1 , w2 ip = hw1 , w2 i1 (tích Lorentz trong R31 ). Định nghĩa 2.2.1. (Dạng cơ bản thứ nhất) 20