Tài liệu Ma trận đối xứng lệch và giá trị riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– TRIỆU VIỆT THỊNH MA TRẬN ĐỐI XỨNG LỆCH VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– TRIỆU VIỆT THỊNH MA TRẬN ĐỐI XỨNG LỆCH VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. HỒ MINH TOÀN THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hồ Minh Toàn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực, không sao chép của bất cứ ai và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng tài liệu, thông tin được đăng tải trên các tạp trí và một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2020 Tác giả Triệu Việt Thịnh Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn TS. Hồ Minh Toàn i Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự giúp sức và hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của người hướng dẫn khoa học, TS. Hồ Minh Toàn. Ngoài ra, trong quá trình học tập và làm luận văn, từ các bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư đang công tác tại Viện Toán học, các Thầy Cô trong Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, tôi đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức, kỹ năng phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tôi còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót. Tôi mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2020 Tác giả Triệu Việt Thịnh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt v Lời mở đầu 1 1 Giới thiệu về không gian véc tơ đối xứng lệch 3 1.1 Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Cơ sở đối xứng lệnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Trực giao Gram-Schmidt đối xứng lệnh . . . . . . . . . . . 7 2 Ma trận Đối xứng lệnh và giá trị riêng 2.1 2.2 14 Ma trận đối xứng lệnh, một số tính chất cơ bản và ví dụ . . 14 2.1.1 Giới thiệu về ma trận đối xứng lệnh . . . . . . . . . 14 2.1.2 Đa thức Pfaffian của ma trận phản xứng. . . . . . . 15 2.1.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Một số kết quả về giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Giá trị riêng của ma trận đối xứng lệch . . . . . . . 18 2.2.2 Nhóm Unita U(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 iii 2.3 Định lý chéo hóa Williamson và ứng dụng . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Định lý chéo hóa Williamson . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iv Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt R2n không gian véctơ 2n− chiều E1 ⊕ E2 tổng trực tiếp của hai không gian véc tơ dim A số chiều của không gian A ∅ tập rỗng det A định thức của ma trận A AT ma trận chuyển vị của A Sp(n) tập tất cả các ma trận symplectic cấp 2n Pf(A) đa thức Pfaffian của ma trận A U(n) tập tất cả các ma trận unita cấp n Specσ (M ) phổ symplectic của M || · || chuẩn toán tử thông thường ||| · ||| chuẩn bất biến unita 2 kết thúc chứng minh v Lời mở đầu Ngày nay, tầm quan trọng của lý thuyết ma trận được biết đến rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong vật lý, bao gồm quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, cơ học cổ điển và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của vật rắn và nghiên cứu các quỹ đạo tuần hoàn Hamilton. Trong kỹ thuật đồ họa máy tính ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, các ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp. Lý thuyết ma trận giúp tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Trong giải tích số ma trận được dùng để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như ma trận sparse và ma trận chéo, giúp giải quyết những bài toán phức tạp và những tính toán khác. Phép tính ma trận tổng quát hóa các khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ đối với số chiều lớn hơn. Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành một chủ đề độc lập trong toán học bởi một số lượng lớn các ứng dụng của nó. Một trong các công cụ chính trong giải tích ma trận là định lý chéo hóa Williamson và một số kết quả về giá trị riêng. Trong toán học, giải tích ma trận nghiên cứu về các cấu trúc tô-pô trên ma trận, hàm ma trận và các bất đẳng thức toán tử. Chính vì một số 1 lượng lớn các ứng dụng của lý thuyết ma trận mà các chủ đề của giải tích ma trận luôn được chọn làm các đề tài nghiên cứu khoa học. Trong luận văn này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian véc tơ đối xứng lệch, tiếp theo là định lý Gram-Schmidt trực giao hóa đối xứng lệch, định lý chéo hóa Williamson và phổ đối xứng lệch. Phần này được trích dẫn trong tài liệu số [1] và [2]. Ứng dụng các kết quả nghiên cứu về ma trận đối xứng lệch, tôi trình bày một số kết quả về chuẩn bất biến unita qua giá trị riêng đối xứng lệch. Nội dung phần này được trích dẫn trong tài liệu số [3] và [4]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương cụ thể như sau: Chương 1. Giới thiệu về không gian véc tơ đối xứng lệch Trong chương này tôi giới thiệu tổng quan về một số khái niệm cơ bản và ví dụ được trích dẫn trong cuốn sách “Symplectic geometry and quantum mechanics”. Và các bài giảng “Introduction to symplectic mechanics: lectures I-II-III, lecture notes (2006)” của tác giả Maurice de Gosson. Chương 2. Ma trận đối xứng lệch và giá trị riêng Đây là phần chính của luận văn, trong chương này tôi giới thiệu về ma trận đối xứng lệch, một số tính chất cơ bản và ví dụ minh họa. Tiếp theo tôi trình bày một số tính chất của ma trận đối xứng lệch, định lý chéo hóa Williamson, phổ đối xứng lệch. Phần cuối của chương chúng tôi trình bày về chuẩn bất biến unita liên quan tới phổ đối xứng lệch. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Triệu Việt Thịnh 2 Chương 1 Giới thiệu về không gian véc tơ đối xứng lệch Trong toàn bộ luận văn, từ khóa symplectic tạm dịch là đối xứng lệch. 1.1 Một số khái niệm và ví dụ 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ thực. Một dạng dạng đối xứng lệnh (a symplectic form hay skew-product) trên E là một ánh xạ ω : E × E → R nếu thỏa mãn ba điều kiện sau. • Tuyến tính đối với từng biến: ω (α1 z1 + α2 z2 , z 0 ) = α1 ω (z1 , z 0 ) + α2 ω (z2 , z 0 ) ω (z, α1 z10 + α2 z20 ) = α1 ω (z, z10 ) + α2 ω (z, z20 ) với mọi z, z 0 , z1 , z10 , z2 , z20 ∈ E và α1 , α2 , α10 , α20 ∈ R. • Đối xứng lệch (nói cách khác là phản xứng): ω (z, z 0 ) = −ω (z 0 , z) với mọi z, z 0 ∈ E. 3 • Không suy biến: ω (z, z 0 ) = 0 với mọi z ∈ E nếu và chỉ nếu z 0 = 0. Nhận xét 1.1.2. Từ tính đối xứng lệch ta suy ra ω(z, z) = 0 với mọi z ∈ E. Định nghĩa 1.1.3. Một không gian véc tơ đối xứng lệnh thực là một cặp (E, ω) trong đó E là một không gian véc tơ thực và ω là một dạng đối xứng lệnh trên E . Số chiều của (E, ω) được hiểu là số chiều của E . Trong toàn bộ luận văn về sau ta nói không gian đối xứng lệnh nghĩa là không gian véc tơ đối xứng lệnh thực. Định nghĩa 1.1.4. Cho (E, ω) và (E 0 , ω 0 ) là hai không gian đối xứng lệnh. Ta nói (E, ω) và (E 0 , ω 0 ) là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đẳng cấu giữa hai không gian véc tơ s : E → E 0 sao cho ω 0 (s (z) , s (z 0 )) = ω (z, z 0 ) , ∀z, z 0 ∈ E. Vì vậy hai không gian đối xứng lệnh đẳng cấu tuyến tính với nhau thì có cùng số chiều. Ở mục sau, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai không gian đối xứng lệnh hữu hạn chiều luôn luôn đẳng cấu theo nghĩa trên nếu chúng có cùng số chiều. Định nghĩa 1.1.5. Tổng trực tiếp của hai không gian đối xứng lệnh Cho (E1 , ω1 ) và (E2 , ω2 ) là hai không gian đối xứng lệnh tùy ý. E1 ⊕ E2 = {a ⊕ b : a ∈ E1 , b ∈ E2 } Với a ⊕ b, x ⊕ y ∈ E1 ⊕ E2 sao cho a, x ∈ E1 , b, y ∈ E2 , ta nói a ⊕ b = (a, b) và x ⊕ y = (x, y). Khi đó ta định nghĩa phép toán trên E1 ⊕ E2 như sau: a ⊕ b + x ⊕ y = (a + x) ⊕ (b + y) ∀λ ∈ R : λ (a ⊕ b) = λa ⊕ λb 4 Khi đó E1 ⊕ E2 là một không gain véc tơ thực. Xét ánh xạ ω = ω1 ⊕ ω2 : E 1 ⊕ E 2 → R được định nghĩa bởi: ω (z1 ⊕ z2 ; z10 ⊕ z20 ) = ω1 (z1 , z10 ) + ω2 (z2 , z20 ) , với z1 ⊕ z2 , z10 ⊕ z20 ∈ E1 ⊕ E2 . Ta dễ dàng chứng minh được ω thỏa mãn các điều kiện: Tuyến tính đối với từng biến và phản xứng. Hơn nữa ω có tính không suy biến. Thật vậy, giả sử ω (z, z 0 ) = 0 với mọi z, trong đó z = z1 ⊕ z2 , z ’ = z10 ⊕ z20 . Hay ω1 (z1 , z1 0 ) + ω2 (z2 , z2 0 ) = 0 (1.1) Nếu chọn z = z1 ⊕ 0 với z1 ∈ E1 , tùy ý thì ω1 (z1 , z1 0 ) + ω2 (0, z2 0 ) = ω1 (z1 , z1 0 ). Nên từ (1.1) ta thu được ω1 (z1 , z1 0 ) = 0 với mọi z1 . Vì ω1 không suy biến nên z1 0 = 0. Tương tự ta cũng chứng minh được z2 0 = 0. Vậy ω không suy biến. Do đó ω là một dạng đối xứng lệnh trên E1 ⊕ E2 . Không gian đối xứng lệnh (E, ω) = (E1 ⊕ E2 , ω1 ⊕ ω2 ) được gọi là tổng trực tiếp của (E1 , ω1 ) và (E2 , ω2 ) . Nhận xét 1.1.6. Nếu E là một không gian đối xứng lệnh hữu hạn chiều thì số chiều của E là chẵn. 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1.7. Không gian đối xứng lệnh chính tắc Ví dụ cơ bản và quan trọng nhất của một không gian đối xứng lệnh
hữu hạn chiều là không gian đối xứng lệnh chính tắc R2n , σ trong đó σ được xác định như sau: 5 σ (z, z 0 ) = n P j=1 pj x0j − p0j xj với z = (x1 , . . . , xn ; p1 , . . . , pn ) và z 0 = (x01 , . . . , x0n ; p01 , . . . , p0n ). Trong trường hợp đặc biệt khi n = 1 σ (z, z 0 ) = − det (z, z 0 ) .
Ví dụ 1.1.8. Cho R2n , σ là không gian đối xứng lệnh chính tắc. Ta có thể xác định trên R2n ⊕ R2n hai dạng đối xứng lệnh σ ⊕ và σ xác định như sau. σ ⊕ (z1 , z2 ; z10 , z20 ) = σ (z1 , z10 ) + σ (z2 , z20 ) σ (z1 , z2 ; z10 , z20 ) = σ (z1 , z10 ) − σ (z2 , z20 )
Ta có các không gian đối xứng lệnh tương ứng là R2n ⊕ R2n , σ ⊕ và R2n ⊕ R2n , σ ). Ví dụ 1.1.9. Không gian đối xứng lệnh không chính tắc Cho B là ma trận phản đối xứng thực cấp n (tức là B T = −B ). Đặt   −B I . JB =  −I 0 Ta có  JB2 =  2 B − I −B B −I  . Do đó JB2 6= −I nếu B 6= 0. Nhờ tính chất này ta suy ra dạng đối xứng lệnh σB được định nghĩa như sau. σB (z, z 0 ) = σ (z, z 0 ) − hBx, x0 i không phải là dạng đối xứng lệnh chính tắc. Dạng đối xứng lệnh này được sử dụng trong nghiên cứu của điện từ trường (tổng quát hơn trong các nghiên cứu hệ động lực Hamitonian). 6 1.2 Cơ sở đối xứng lệnh Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian đối xứng lệnh có số chiều là 2n. Tập hợp B = {e1 , . . . , en } ∪ {f1 , . . . , fn } các véc tơ của E được gọi là một cơ sở đối xứng lệnh của (E, ω) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau. • ω (ei , ej ) = ω (fi , fj ) = 0 với 1 6 i, j 6 n. • ω (fi , ej ) = δij với 1 6 i, j 6 n, trong đó δij là chỉ số Kronecker, δij = 1 nếu i = j và δij = 0 nếu i 6= j. Từ định nghĩa trên, một cơ sở đối xứng lệnh nhất thiết phải độc lập tuyến tính và do đó là một cơ sở của E. Ví dụ 1.2.2. Gọi (ci ) là cơ sở chính tắc của Rn . Ta định nghĩa các véc tơ e1 , . . . , en và f1 , . . . , fn trong R2n xác định bởi ei = (ci , 0) , fi = (0, ci ) . Khi đó, họ B := {e1 , . . . , en } ∪ {f1 , . . . , fn } là một cơ sở chính tắc của R2n . Hơn nữa, ta dễ kiểm tra rằng B là cơ sở đối xứng lệnh của không gian đối
xứng lệnh chính tắc R2n , σ , và cơ sở này còn được gọi là cơ sở đối xứng lệnh chính tắc. 1.3 Trực giao Gram-Schmidt đối xứng lệnh Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một tập con khác rỗng của không gian đối xứng lệnh (E, ω). Phần bù trực giao đối xứng lệnh (skew-orthogonal set) của M (hay phần bù trực giao theo dạng đối xứng lệnh ω ) được định nghĩa như sau: M ω = {z ∈ E : ω (z, z 0 ) = 0, ∀z 0 ∈ M } . 7 Ta quy ước phần bù trực giao đối xứng lệnh của tập rỗng là E. Từ định nghĩa phần bù, ta dễ dàng thu được các tính chất sau: M ⊂ N ⇒ N ω ⊂ M ω và (M ω )ω ⊂ M. Mệnh đề sau đây mô tả một số tính chất đơn giản nhưng hữu ích của phần bù trực giao – đối xứng lệnh của một không gian con tuyến tính của không gian đối xứng lệnh. Mệnh đề 1.3.2. (i) Nếu M là không gian con tuyến tính của E thì M ω cũng là một không gian con tuyến tính của E và dim M + dim M ω = dim E và (M ω )ω = M. (ii) Nếu M1 , M2 là các không gian con tuyến tính của không gian đối xứng lệnh (E, ω) thì (M1 + M2 )ω = M1ω ∩ M2ω (M1 ∩ M2 )ω = M1ω + M2ω . Chứng minh. (i) Thật vậy M ω là một không gian con tuyến tính của E là hiển nhiên. Với mỗi z ∈ E, ta đặt Φ(z) : E → E ∗ xác định bởi: Φ(z) (z 0 ) = ω (z, z 0 ) . Khi đó Φ(z) là một ánh xạ tuyến tính. Từ tính chất số chiều của E là hữa hạn và tính không suy biến của ω ta suy ra được Φ(z) đẳng cấu. Gọi {e1 , . . . , ek } là cơ sở của M, ta có: ω M = k \ ker (Φ (ej )) . j=1 Do đó 8 dim M ω = dim E − k = dim E − dim M. Từ đó suy ra đẳng thức đầu tiên trong (i). Bây giờ ta áp dụng công thức này cho không gian (M ω )ω thay cho M, ta được dim (M ω )ω = dim E − dim M ω = dim E − (dim E − dim M ) = dim M. Kết hợp với tính chất (M ω )ω ⊂ M ở trên, ta thu được M = (M ω )ω . (ii) Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu của (ii) vì đẳng thức sau thu được từ đẳng thức đầu bằng cách lấy đối ngẫu. Giả sử z ∈ (M1 + M2 )ω thì ω (z, z1 + z2 ) = 0 với mọi z1 ∈ M1 , z2 ∈ M2 . Do đó, nếu chọn z2 = 0, ω (z, z1 ) = 0 với mọi z1 ∈ M1 . Vậy z ∈ M1ω . Tương tự ta cũng chứng minh được z ∈ M2ω . Do đó (M1 + M2 )ω ⊂ M1ω ∩ M2ω . Ngược lại lấy z ∈ M1ω ∩ M2ω thì ω (z, z1 ) = ω (z, z2 ) = 0 với mọi z1 ∈ M1 , z2 ∈ M2 . Do đó ω (z, z 0 ) = 0 với mọi z 0 = z1 + z2 ∈ M1 + M2 . Ta suy ra M1ω ∩ M2ω ⊂ (M1 + M2 )ω . Bao hàm thức này cùng với bao hàm thức ngược lại được chứng minh ở trên suy ra điều cần chứng minh. Định lý 1.3.3. Định lý Gram-Schmidt đối xứng lệnh Cho A và B là hai tập hợp con (có thể rỗng) của {1, 2, ..., n} . Với hai tập con bất kì E = {ei : i ∈ A} , F = {fj : j ∈ B} của không gian đối xứng lệnh (E, ω) (dim E = 2n) sao cho các phần tử của E và F thỏa mãn các điều kiện sau: ω (ei , ej ) = ω (fi , fj ) = 0 và ω (fi , ej ) = δij Với (i, j) ∈ A × B, 9 khi đó tồn tại một cơ sở đối xứng lệnh B của (E, ω) chứa E ∪ F. Chứng minh. Ta sẽ chia làm ba trường hợp như sau. Trường hợp 1: A = B = ∅ Chọn một véc tơ e1 6= 0 trong E và đặt f1 là một véc tơ khác với e1 sao cho ω (f1 , e1 ) 6= 0 (sự tồn tại của f1 xuất phát từ sự không suy biến của ω ) các véc tơ này là độc lập tuyến tính, định lý được chứng minh trong trường hợp n = 1. Giả sử n > 1 và cho M là không gian con của E , sinh bởi tập {f1 , e1 } và đặt E1 = M ω ; theo công thức dim M +dim M ω = dim E và (M ω )ω = M ta có dim M + dim E1 = 2n. Từ ω (f1 , e1 ) 6= 0 ta có E1 ∩ M = 0 do đó E = E1 ⊕ M và hạn chế ω1 của ω trên E1 là không suy biến (vì nếu z1 ∈ E1 sao cho ω1 (z1 , z) = 0 với ω mọi z1 ∈ E1 thì z1 ∈ E1 = M và do đó z1 = 0 ) do đó cặp (E1 , ω1 ) là một không gian đối xứng lệnh 2(n − 1) chiều. Lặp lại quá trình trên (n − 1) lần ta được một dãy giảm (E, ω) ⊃ (E1 , ω1 ) ⊃ ... ⊃ (En−1 , ωn−1 ) của không gian đối xứng lệnh với dim Ek = 2(n − k) và là một dãy tăng {e1 , f1 } ⊂ {e1 , e2 ; f1 ; f2 } ⊂ · · · ⊂ {e1 , . . . , en ; f1 , . . . , fn } của tập hợp các véc tơ độc lập tuyến tính trong E, mỗi tập hợp thỏa mãn điều kiện: ω (ei , ej ) = ω (fi , fj ) = 0 và ω (fi , ej ) = δij với (i, j) ∈ A × B. Trường hợp 2: A = B 6= ∅ Ta có thể giả sử rằng A = B = {1, 2, ..., k} . Đặt M là không gian con sinh bởi {e1 , . . . , ek ; f1 , . . . , fk }. Tương tự như trường hợp đầu tiên ta nhận 10 thấy E = M ⊕ M ω và những hạn chế ωM và ωM ω của ω trên M và M ω là dạng đối xứng lệnh. Đặt {ek+1 , . . . , en ; fk+1 , . . . , fn } là cơ sở đối xứng lệnh của M ω thì B = {e1 , . . . , en ; f1 , . . . , fn } , là một cơ sở đối xứng lệnh của E. Trường hợp 3: B\A 6= ∅ (trường hợp A\B 6= ∅ chứng minh tương tự). Giả sử k ∈ B\A và chọn ek ∈ E sao cho ω (ei , ek ) = 0 với i ∈ A và ω (fj , ek ) = δjk với j ∈ B. Khi đó E ∪ F ∪ {ek } là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử λk ek + X λi ei + i∈A X µj ej = 0. j∈B Nhân hai vể của đẳng thức trên với fk , ta thu được X X λk ω (fk , ek ) + λi ω (fk , ei ) + µj ω (fk , ej ) = λk = 0 i∈A j∈B Tương thự ta cũng suy ra được λi = µj = 0. với mọi i ∈ A và mọi j ∈ B. Lặp lại quá trình trên nhiều lần sẽ quay trở lại trường hợp A = B 6= ∅. Cho (E, ω) là không gian véc tơ đối xứng lệnh, F là không gian véc tơ đối xứng lệnh và là không gian con của E. Khi đó phép hạn chế của ω trên
F sinh ra dạng đối xứng lệnh trên F và được kí hiệu là ω|F . Cặp F, ω|F là không gian đối xứng lệnh và được gọi là không gian con của E. Do đó ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3.4. Cho F, ω|F và F 0 , ω|F 0 là hai không gian đối xứng lệnh của (E, ω), nếu dim F = dim F 0 thì tồn tại một tự đẳng cấu đối xứng lệnh của (E, ω) sao cho phép hạn chế ϕ|F là một đẳng cấu đối xứng lệnh

ϕ|F : F, ω|F → F 0 , ω|F 0 . 11 Chứng minh. Giả sử rằng F và F 0 có cùng số chiều là 2k và đặt B(k) = {e1 , . . . , ek } ∪ {f1 , . . . , fk } 0 B(k) = {e01 , . . . , e0k } ∪ {f10 , . . . , fk0 } là các cơ sở đối xứng lệnh tương ứng với F và F 0 . Theo định lý trực giao hóa Gram-Schmidt đối xứng lệnh ta có thể bổ sung B(k) và B(k0 ) thành các cơ sở đối xứng lệnh đầy đủ B và B 0 của (E, ω). Khi đó xác định một tự đẳng cấu đối xứng lệnh Φ của E thỏa mãn Φ (ei ) = e0i và Φ (fj ) = fj0 . Do đó phép hạn chế ϕ = Φ|F là một tự đẳng cấu F → F 0.
Định nghĩa 1.3.5. Một cơ sở của R2n , σ vừa là dạng đối xứng lệnh vừa có tính trực giao với tích vô hướng hz, z 0 i = σ (Jz, z 0 ) còn được gọi là cơ sở orthosymplectic (cở sở trực chuẩn đối xứng lệnh). Rõ ràng cơ sở chính tắc là cơ sở orthosymplectic. Nhận xét 1.3.6. Thuật toán xây dựng các cơ sở orthosymplectic bắt đầu
từ một tập các véc tơ tùy ý {e01 , . . . , e0n } thỏa mãn điều kiện σ e0i , e0j = 0 như sau: Bước 1. Đặt ` là không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ {e01 , . . . , e0n } . Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram-Schmidt, ta xây đựng một cơ sở trực chuẩn (theo nghĩa thông thường) {e1 , . . . , en } của `. Bước 2. Đặt: f1 = −Je1 , . . . , fn = −Jen . Các véc tơ fi trực giao với các véc tơ ei và trực giao với nhau; ngoài ra σ (fi , fj ) = σ (ei , ej ) = 0, σ (fi , ej ) = hei , ej i = δij . 12 Do đó cơ sở B = {e1 , . . . , en } ∪ {f1 , . . . , fn } vừa là đối xứng lệnh vừa có tính trực giao (theo dạng ω ) 13