Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabri...
Tài liệu Lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabriel
.PDF
67
126
105
minhtuan
Báo vi phạm
Tải xuống
105
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Mục lục Lời mở đầu .................................................................................................................1 Bảng ký hiệu ..............................................................................................................3 Chương 1 - Các vấn đề cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô .........5 1.1. Vành .................................................................................................................5 1.2. Môđun ..............................................................................................................9 1.3. Không gian tôpô.............................................................................................22 Chương 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ .........25 2.1. Preradicals.....................................................................................................26 2.2. Lý thuyết xoắn ................................................................................................34 2.3. Lý thuyết xoắn di truyền.................................................................................39 Chương 3 - Mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn tổng quát và tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel và một số ví dụ ............................................................................................45 3.1. Tôpô tuyến tính ..............................................................................................46 3.2. Tôpô Gabriel ..................................................................................................51 3.3. Một số ví dụ....................................................................................................54 Kết luận ....................................................................................................................61 Tài liệu tham khảo....................................................................................................63 Lời mở đầu Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.Tiến sĩ Bùi Tường Trí, Người đã giảng dạy, trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy ở Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập như: PGS. TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô dạy Triết học, Ngoại ngữ và các thầy cô ở Phòng Khoa học – Công nghệ và sau đại học đã tạo mọi điều kiện để cho học viên khóa cao học K.19 hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Luận văn này sẽ đưa ra những khái niệm cơ bản về lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải C,tôpô tuyến tính trên một vành A, tôpô Gabriel trên một vành A, và sẽ minh họa bằng những ví dụ cụ thể cho những khái niệm này. Đồng thời, luận văn cũng sẽ trình bày mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải Cvớitôpô tuyến tính, tôpô Gabriel trên một vành A. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về Vành, Môđun, và Không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc trình bày các chương tiếp theo của luận văn. Chương 2. Chương này sẽ giới thiệu khái niệm Preradical, Preradical lũy đẳng, Radical của một phạm trù A-môđun phải C, và các khái niệm về lớp tiền xoắn, lớptiền xoắn tự do, lớp tiền xoắn di truyền, lớp xoắn, lớp xoắn tự do, lớp xoắn di truyền của những vật trong phạm trù A-môđun phải C, cũng như sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của Lý thuyết xoắn và Lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải C, đồng thời sẽ đưa ra một số ví dụ minh họa. Chương 3. Chương này sẽ trình bày về tôpô tuyến tính của một vành A và tôpô Gabriel của một vành A, đồng thời sẽ trình bày mối quan hệ của tôpô tuyến tính của một vành A, tôpô Gabriel của một vành A vớiLý thuyết xoắn, Lý thuyết xoắn di truyền của phạm trù A-môđun phải C. Cuối cùng là một số ví dụ minh họa. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian không nhiều nên sẽ khó tránh khỏi có nhiều sai sót.Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý chân tình của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa Z Tập hợp các số nguyên Q Tập hợp các số hữu tỉ Mod- A Phạm trù những A-môđun phải MA Môđun phải M trên vành A AM Môđun trái M trên vành A M(n,Z) Tập hợp các ma trận cấp n có hệ số là những số nguyên M(n,2Z) Tập hợp các ma trận cấp n có hệ số là những số nguyên chẵn M(n,Q) Tập hợp các ma trận cấp ncó hệ số trong Q
Ideal con sinh bởi S A[S-1] Vành các phân số phải của vành Adựa vào S Qrcl (A) Vành các thương cổ điển phải của vành A 1 C :C→C Đồng cấu đồng nhất trên C,tức là 1 C (x) = x,∀x∈C Ker𝛼 Hạt nhân của đồng cấu 𝛼,tức làKer𝛼 = {x∈M | 𝛼(x) = 0},(với Im 𝛼 Ann(x) 𝛼: M→N là một đồng cấu A-môđun) Ảnh của đồng cấu𝛼, tức làIm 𝛼= {y∈N |∃x∈M, 𝛼(x) =y},(với 𝛼: M→N là một đồng cấu A-môđun) Linh hóa tử (phải) của phần tử x, tức là Ann(x) = {a∈A | x.a = 0} Vành thương của vành A trên ideal a của A A/a HomA (M,N) Tập hợp các đồng cấu A-môđun phải từ M đến N Môđun con S-xoắn của M, tứclà t(M) t(M)={x∈M|∃s∈S,x.s= 0} Tập hợp tất cả các phần tử chính quy của một vành A( tức S reg lànhững phần tử không phải là ước của 0). Phần tử a∈A gọi là ước của 0 nếu tồn tại 0 ≠ b∈A sao cho a.b = 0 Tập hợp tất cả những vật của một phạm trù C Ob(C) Mor C (C,C’) Tập hợp tất cả các cấu xạ từ vật C đến C’ của phạm trù C Cop Phạm trù đối ngẫu của phạm trù C ∑𝐼 𝑀𝑖 Tổng của một họ môđun {M i } i∈I π i :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i i i :C i→⊕ I C i R Đồng cấu chiếu chính tắc, tức là π i ((x i ) i ) = x i ,∀(x i ) I ∈∏𝐼 𝐶𝑖 Đơn cấu nhúng chính tắc, tức là i i (x i ) = (x j ) j , trong đó 𝑥𝑗 = 𝑥𝑖 𝑛ế 𝑢𝑗 = 𝑖 � 𝑥𝑗 = 0 𝑛ế 𝑢𝑗 ≠ 𝑖 Spec(A) Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành A (a:a) Ideal phải của A, xác định bởi (a:a) = {b∈A|a.b∈a} E(M) Bao nội xạ của môđun M Top(A) Tập hợp tất cả các tôpô trên vành A Sets Phạm trù các tập hợp Ab Phạm trù các nhóm aben Chương 1 -Các vấn đề cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô Chương này nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô, việc chứng minh chúng có thể được tìm thấy ở các sách tham khảo sẽ chỉ ra ở trang cuối cùng của luận văn. 1.1. Vành Trong luận văn này, vành được hiểu là vành không giao hoán, có đơn vị. Định nghĩa 1.1.1.Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các tính chất sau: (R1). (R,+) là một nhóm Abel; (R2). (R,.)là nửa nhóm; (R3). Phép nhân phân phối với phép cộng, tức là:∀x,y,z∈R, ta có: x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx +zx. Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử-không, kí hiệu là 0. Phần tử đối xứng của x∈R gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là -x. Nếu phép nhân có phần tử đơn vị ta nói vành R là vành có đơn vị. Phần tử đơn vị được kí hiệu là e hay 1. Nếu phép nhân giao hoán ta nói vành R giao hoán. Cho vành R có đơn vị 1. Phần tử x được gọi là khả nghịch nếu x khả đối xứngđối với phép nhân, nghĩa là tồn tại y∈R sao cho xy = yx = 1. Kí hiệu R*={x∈R | x khả nghịch}. Khi đó,R* là một nhóm đối với phép nhân, còn gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của R. Định nghĩa 1.1.2.Cho (R,+,.) là một vành, tập con A khác rỗng của R được gọi là vành con của R nếu A ổn định đối với hai phép toán trong vành R và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành. Định nghĩa 1.1.3.Vành con I của R được gọi là idealphải (tương ứng ideal trái) của R nếu với mọi r∈R, x∈I, ta có: xr∈I (tương ứng rx∈I). Ta nói I là ideal của R nếu nó vừa là ideal trái vừa là ideal phải của R. Ví dụ : • {0}, R là hai ideal tầm thường của R. • Giả sử R chứa đơn vị, I là một ideal của R. Khi đó: I = R⇔Ichứa ít nhất một phần tử khả nghịch ⇔I chứa phần tử đơn vị. • I là ideal của Z⇔I có dạng nZ, n∈Z. • M(n,Z) là vành con của M(n,Q) nhưng không là ideal của M(n,Q). • M(n,2Z) là ideal của M(n,Z). Định nghĩa 1.1.4.Cho S là tập con khác rỗng của vành R. Ta định nghĩa giao của tất cả vành con của R có chứa S là vành con sinh bởi S. Giao của tất cả các ideal của R có chứa S là ideal sinh bởi S. Kí hiệu là:
. Giả sử I =
. Nếu S hữu hạn thì ta nói I là hữu hạn sinh. Đặc biệt, S = {a} thì ta viết I =
, gọi là ideal chính sinh bởi a. Xét vành (R,+,.) và I là một ideal tùy ý của R. Vì phép cộng giao hoán nên nhóm con (I,+) chuẩn tắc trong (R,+) và ta có thể lập nhóm thương (R/I,+). Định lý 1.1.5.Giả sử I là một ideal của (R,+,.).Trên nhóm thương (R/I,+), ta định nghĩa phép toán nhân như sau:(x+I).(y+I) = x.y + I. Khi đó:(R/I,+,.) là một vành và được gọi là vành thương của R trên ideal I. Ví dụ : ������� • Vành thươngZ/nZ = Z n = { 0� , 1� , 2� ,…,𝑛 − 1 }. Định nghĩa 1.1.6.(Các vành đặc biệt) Miền nguyên là một vành giao hoán có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và không có ước của 0. Trường là một miền nguyên mà mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo. Vành chính là vành không có ước của 0 mà mọi ideal đều là ideal chính. Vành chính quy (theo nghĩa Von Neumann)là vành R mà : Với mọi a∈R, tồn tại x∈R sao cho a = axa. Vành đơn là vành chỉ có hai ideal là 0 và R. Ideal a của A được gọi là ideal lũy linh nếu ∃n∈N* sao cho an = 0. Ideal a của A được gọi là ideal cốt yếu của A nếua∩b≠ 0, với mọi ideal b ≠ 0của A. Ideal p của A được gọi là ideal nguyên tố nếu với mọi a, b∈A mà a.b∈p thìa∈p hoặc b∈p. Vành A được gọi là vành không đơn nếu nó chỉ có ideal đơn là 0. Định nghĩa 1.1.7.Lấy A là một vành và S là tập con đóng nhân của A, nghĩa là: Với mọi t, s∈S, ta có: ts∈S và 1∈S. Vành các phân số (Rings of fractions)phải của A dựa vào S là vành A[S-1] cùng với đồng cấu vành 𝜑 : A →A[S-1] thỏa mãn: (F1).𝜑(s) khả nghịch với mọi s∈S, (F2).Mọi phần tử trong A[S-1] có dạng 𝜑(a).𝜑(s)-1với s∈S, (F3).𝜑(a) = 0⇔∃s∈S,a.s = 0. Định lý 1.1.8.Khi A[S-1] tồn tại, nó có tính chất phổ dụng sau: Với mọi đồng cấu g: A → B sao cho g(s) khả nghịch trong B,∀s∈S thì tồn tại duy nhất đồng cấu h: A[S-1] → B sao cho h 𝜑 =g. Mệnh đề 1.1.9.Cho S là một tập con đóng nhân của A. Khi đó, A[S-1] tồn tại khi và chỉ khi S thỏa mãn: (S1).∀s∈S, a∈A ⇒∃t∈S và b∈A sao cho sb = at, (S2). Nếu sa = 0 với s∈S thì at = 0 với t∈S. Khi đó: A[S-1] = A×S /~, trong đó ~ là quan hệ tương đương với (a,s) ~ (b,t) nếu tồn tại c, d∈A sao cho ac = bd và sc = td∈S. Định nghĩa 1.1.10.Tập S được gọi là tập mẫu số phải nếu nó là tập đóng nhân thỏa mãn (S1), (S2). Ví dụ : • Nếu A là vành giao hoán thì mọi tập con đóng nhân của A đều là tập mẫu số, vì (S1) và (S2) tự động thỏa mãn. • Một ví dụ quan trọng của tập đóng nhân là tập S reg gồm tất cả những phần tử chính quy (tức là những phần tử không phải là ước của 0) của A. Khi đó, vành phân số A[S-1] thường được gọi là “vành các thươngcổ điển phải” của A. Ta thường kí hiệu là: Qrcl (A) hoặc Qrcl . Mệnh đề1.1.11.Qrcl (A)tồn tại khi và chỉ khi A thỏa mãn điều kiện Ore, nghĩa là :∀a, s∈A, s chính quy,∃b, t∈A, t chính quy sao cho at = s b. Định nghĩa 1.1.12.Một vành A được gọi là vành các thương(rings ofquotients) nếu mọi phần tử không phải là ước của 0 của A đều khả nghịch, nghĩa là A là vành các thương trái và phải của chính nó. Chẳng hạn, mọi vành chính quy đều là vành các thương. 1.2. Môđun Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm môđun được hiểu là môđun phải. Định nghĩa 1.2.1.Lấy A là một vành có đơn vị 1. Một A-môđun phải là một nhóm aben M cùng với ánh xạ : M×A→M (x,a)→xa thỏa mãn các tiên đề sau:∀x, y∈M,∀a,b∈A, ta có: (M1) .(x+y)a =xa+ya, (M2) .x(a+b) = xa+xb, (M3) .x(ab) = (xa)b, (M4) .x1 = x. Ví dụ : 1. Z- môđun. Mọi nhóm aben được xem là một Z-môđun, được xác định bởi x.n = x+x+…+x (n lần) với n>0. 2. Vành A được xem như một A-môđun (trái cũng như phải) với phép nhân ngoài chính là phép nhân của vành A. Những môđun con của vành A A chính là một ideal phải của A. 3. Nếu A là một vành, ta xác định một vành đối Aop giống như một nhóm aben A nhưng phép nhân mới * được định nghĩa bởia*b = b.a, trong đó .là phép nhân trong vành A. Một A-môđun trái giống như một Aop-môđun phải. Định nghĩa 1.2.2.Cho M, N là những A-môđun. Ánh xạ 𝛼: M→N được gọi là một đồng cấu(hay ánh xạ A-tuyến tính) nếu : Với mọi x, y∈M, a∈A, ta có: 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼(𝑥) + 𝛼(𝑦), 𝛼(𝑥. 𝑎) = 𝛼(𝑥). 𝑎 Mệnh đề 1.2.3.Đồng cấu 𝛼: M→N cảm sinh ra đẳng cấu: M / Ker 𝛼 ≅ Im 𝛼. Mệnh đề 1.2.4.Nếu L⊂M⊂N là những môđun, thì (N/L)/(M/L)≅(N/M). Mệnh đề 1.2.5.Nếu L,M là những môđun con của N, thì (L+M)/ M ≅ L/(L∩M). 𝛼𝑖−1 𝛼𝑖 𝛼𝑖+1 Định nghĩa 1.2.6.Dãy đồng cấu A-môđun…→M i-1�⎯�M i→M i+1�⎯�…được gọi là khớp tại M i nếu Ker𝛼𝑖 = Im𝛼𝑖−1 và được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi M i . 𝛼 𝛽 Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng: 0 → A→B→ 𝐶→0. Định nghĩa 1.2.7.Môđun M được gọi là sinh bởi họ (x i ) I của các phần tử của M nếu mọi x∈M có thể viết x = ∑𝐼 𝑥𝑖 . 𝑎𝑖 , tất cả bằng 0 trừ một số hữu hạn 𝑎𝑖 ≠ 0. Môđun M được gọi là môđun hữu hạn sinh nếu có một tập sinh hữu hạn hoặc nói cách khác, nếu có một toàn cấu An→M, với n∈N. Nếu hệ số 𝑎𝑖 xác định duy nhất bởi x thì họ (x i ) I gọi là cơ sở của M. Môđun được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở. Mệnh đề 1.2.8.Môđun M tự do khi và chỉ khi M ≅ 𝐴(𝐼) với I là một họ nào đó. Định nghĩa 1.2.9.Môđun con sinh bởi một tập S⊂M là môđun con gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Tổng của một họ môđun con {M i } i∈I là môđun con sinh bởi tập ⋃𝐼 𝑀𝑖 , ký hiệu là ∑𝐼 𝑀𝑖 . Như vậy, ta có ∑𝐼 𝑀𝑖 = <⋃𝐼 𝑀𝑖 >. Các phần tử của ∑𝐼 𝑀𝑖 là các tổng hữu hạn ∑𝐼 𝑥𝑖 , trong đó x i ∈M i và hầu hết các x i = 0 trừ một số hữu hạn. Định nghĩa 1.2.10.Môđun M được gọi là môđun Nơ-te nếu mọi môđun con của M là hữu hạn sinh. Vành A là Nơ-te phải nếu A A là một môđun Nơ-te, nghĩa là mọi ideal phải của A là hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.2.11.Lấy L là một môđun con của M. Khi đó, M là Nơ-te khi và chỉ khi L và M / L là Nơ-te. Mệnh đề 1.2.12.Nếu A là một vành Nơ-te phải thì mọi môđun hữu hạn sinh là Nơ-te. Định nghĩa 1.2.13.Môđun M được gọi là môđun cyclic nếu nó được sinh ra từ một phần tử. Hay định nghĩa một cách tương đương có một toàn cấu A→M. Những môđun con cyclic. Lấy M là một môđun và x∈M. Phần tử x sinh ra một môđun con cyclic xA của M. Có một toàn cấu 𝛼 : A→xA được cho bởi 𝛼(a) = xa và Ker 𝛼 = {a|xa = 0} = Ann(x), gọi là linh hóa tử của x. Do đó, x A≅A/Ann(x). Mệnh đề 1.2.14.Môđun M là cyclic khi và chỉ khi M ≅ A/a,với alà ideal phải của A. Định nghĩa 1.2.15. Mộtphạm trùC xác định gồm 3 thành phần: (i). Lớp Ob(C) của những vật của C, (ii). Tập Mor C (C,C’), những phần tử của nó gọi là những cấu xạ từ C đến C’với mỗi cặp thứ tự (C,C’) của hai vật của C, (iii). Một luật lấy tích các cấu xạ: Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) với mỗi bộ ba (C,C’,C’’) của những vật của C. o Kí hiệu: 𝛼∈Mor(C,C’) là 𝛼: C→C’. o Tích của 𝛼: C→C’ và 𝛼′: C’→C’’ được viết là 𝛼’𝛼. Ngoài ra những tiên đề sau phải được thỏa mãn: (C1).Mor(C,C’) và Mor(D,D’) phân biệt nếu (C,C’) ≠ (D,D’). (C2).Nếu 𝛼 : C→C’ và 𝛼′ : C’→C’’và 𝛼′′ : C’’→C’’’là những cấu xạ thì𝛼 ′′ (𝛼 ′ 𝛼) = (𝛼 ′′ 𝛼 ′ )𝛼. (C3). Với mỗi vật C, tồn tại 1 C ∈Mor(C,C) sao cho 1 C α = αvà β1 C = βvới𝛼: C’→C và β: C→C’’. Phạm trù đối: Đối với mỗi phạm trù C có một phạm trù đối ngẫu Cop, chứa tất cả những vật của C, nhưngMor𝐂𝑜𝑝 (C,C’) = Mor C (C’,C) và α*β=β.α,trong đó * là phép nhân trong Cop, và . là phép nhân trong C. Ví dụ : 1. Phạm trù Ab các nhóm Aben. Với các vật là các nhóm Aben và các cấu xạ là những đồng cấu nhóm. Tích của hai cấu xạ là tích của hai đồng cấu nhóm. 2. Phạm trù các A- môđun phải Mod-A. Với các vật là các A- môđun phải và các cấu xạ là các đồng cấu A- môđun phải. Tích của hai cấu xạ là tích của hai đồng cấu A- môđun. Dễ dàng kiểm tra được Mod-A thỏa mãn tất cả các điều kiện trong định nghĩa phạm trù. Định nghĩa 1.2.16.Phạm trù C được gọi là phạm trù tiền cộng tính nếu mỗi tập Mor C (C,C’) là một nhóm aben và luật lấy tích các cấu xạ :Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) là một ánh xạ song tuyến tính. Ví dụ : • Phạm trù Mod-Alà một phạm trù tiền cộng tính, bởi vì dễ dàng kiểm tra được Hom(M,N) là một nhóm aben và ánh xạ Hom(M’,M’’)×Hom(M,M’)→Hom(M,M’’) là một ánh xạ song tuyến tính. Định nghĩa 1.2.17.Cho các phạm trù B và C. Hàm tửT:B → C là một quy luật, tương ứng mỗi vật B∈Bvới một vật T(B)∈C, và tương ứng mỗi cấu xạ 𝛼:B→C trong phạm trù B với một cấu xạ T(𝛼): T(B)→T(C) trong phạm trù C. Hơn nữa, các tiên đề sau phải được thỏa mãn: (F1). Với mỗi vật B∈B:T(1 B ) = 1 T(B) . (F2).T(βα) = T(β)T(α) với mỗi cặp cấu xạ (α, β) trong B mà xác định đượctích βα. Hàm tửT :B → C xác định một ánh xạ:Mor B (B,B’) → Mor C (T(B),T(B’))(1) (với mỗi cặp (B,B’) của B). Hàm tử T:B → C được gọi là trung thành nếu ánh xạ (1) là một đơn ánh. Hàm tử T:B → C được gọi là đầy (full) nếu ánh xạ (1) là một toàn ánh. Định nghĩa 1.2.18.NếuB và C là những phạm trù tiền cộng tính thì hàm tử T:B → C được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn: (F3).T(α+β ) = T(α)+ T(β ), với𝛼,𝛽: B→C, với B, C∈Ob(B). Do đó, T là hàm tử cộng tính khi và chỉ khi ánh xạ (1) là một đồng cấu nhóm. Ví dụ : 1. Những phạm trù con. Nếu B và C là những phạm trù thì B là phạm trù con của C nếu Ob(B) là một lớp con của Ob(C), Mor B (B,B’)là một tập con của Mor C (B,B’) với mọi B, B’ trong Ob(B),và luật lấy tích trên B giống như trên C. Khi đó, ta có một hàm tử nhúng B→Clà trung thành. Bđược gọi là phạm trù đầy của C nếu hàm tử này đầy.Nếu C là một phạm trù tiền cộng tính và B là một phạm trù con đầy của C thì B cũng là tiền cộng tính và hàm tử nhúng B→C là cộng tính. 2. Hàm tử Hom. Lấy Clà một phạm trù Mod-A. Ta định nghĩa hàm tử Hom : (Mod-A)op×Mod- A →Sets, tương ứng mỗi cặp (C,D) của (Mod-A)op× Mod-A với tập Hom A (C,D). Đối với mỗi cặp 𝛼: C’→C và 𝛽: D→D’của những đồng cấu trong C ta đặt tương ứng với ánh xạ Hom( 𝛼, 𝛽 ): Hom(C,D)→Hom(C’,D’) được định nghĩa bởi 𝜑 →𝛽 𝜑 𝛼 . Dễ dàng kiểm tra được Hom(𝛼, 𝛽) là một đồng cấu nhóm vì thế Hom là một hàm tử từ(Mod- A)op ×Mod-A →Ab. Nó là một hàm tử cộng tính theo từng biến. Định nghĩa 1.2.19.Hàm tử T:B → Ccộng tính được gọi là hàm tử khớp nếu nó biến mọi dãy khớp trong phạm trù B thành một dãy khớp trong phạm trù C. Tính khớp của những hàm tử của phạm trù Môđun. Lấy A và B là những vành và T:Mod-A→Mod-B là một hàm tử cộng tính. Khi đó, T là một hàm tử khớp nếu nó biến mọi dãy khớp trong Mod-A thành một dãy khớp trong Mod-B. T là một hàm tử khớp trái nếu nó có tính chất yếu hơn là biến mỗi dãy khớp 0→M’→M→M’’→0 trong Mod-A thành một dãy chỉ khớp bên trái0→T(M’)→T(M)→T(M’’) trong Mod-B. Tương tự cho tính khớp phải của hàm tử.Hàm tử T là khớp khi và chỉ khi nó vừa khớp trái vừa khớp phải. Ví dụ : • Hàm tử Hom: (Mod-A)op×Mod - A→Ab. Hàm tử Hom :(Mod-A)op ×Mod-A→Ab là khớp trái đối với mỗi biến của nó. 𝛼 𝛽 Thật vậy, lấy 0→M’→M→ 𝑀′′ →0 là một dãy khớp trong Mod-A và N là một A- môđun khác, ta sẽ chứng minh dãy sau khớp: 𝛽∗ 𝛼∗ 0→Hom(M’’,N)→Hom(M,N)→ Hom (𝑀′ , 𝑁) Ta có: 𝛽 ∗ là một đơn cấu, bởi vì nếu 𝜑: M’’→N sao cho 0 = 𝛽 ∗ (𝜑) = 𝜑 𝛽, từ đây suy ra 𝜑 = 0. Ker𝛼 ∗ chứa tất cả các đồng cấu 𝜑: M→N sao cho 𝜑 𝛼 = 0. Nhưng nếu 𝜑 𝛼 = 0 thì ta có thể định nghĩa 𝜑�: M’’→N theo quy tắc 𝜑�(𝛽(x)) = 𝜑(x), và do đó 𝜑 = 𝛽 ∗ (𝜑�). Ngược lại, nếu 𝜑∈Im𝛽 ∗ , thì 𝜑 = 𝛾 𝛽 với 𝛾: M’’→N, và điều này chỉ rằng 𝜑 𝛼 = 𝛾 𝛽 𝛼 = 0. Do đó, Ker 𝛼 ∗ = Im𝛽 ∗ , và như vậy ta đã chứng minh được tính khớp trái của hàm tử Hom(. ,N). Tính khớp trái của hàm tử Hom(N, .) được chứng minh tương tự. Định nghĩa 1.2.20.Cho C là một phạm trù tiền cộng tính.Tích trực tiếp của họ (C i ) i∈I của những vật của C là một vật C cùng với cấu xạ πi : C→C i (i∈I) sao cho mỗi vật X và họ đồng cấu 𝜀 i : X→C i , tồn tại duy nhất một cấu xạ 𝜀 : X→C sao R cho πi 𝜀 = 𝜀 i . R Kí hiệu Clà ∏𝐼 𝐶𝑖 . Các cấu xạ πi :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i được gọi là các đồng cấu chiếu. Tính chất: Hom(X,∏𝐼 𝐶𝑖 ) ≅ ∏𝐼 Hom (𝑋, 𝐶𝑖 ). Ví dụ : • Tích trực tiếp của một họ môđun. Để xây dựng khái niệm tích trực tiếp của một họ môđun,trước hết ta cần nhắc lại một vài điều cần thiết về khái niệm tích Descartes của họ tập hợp. Cho họ không rỗng các tập hợp {A i } i∈I . Tích Descartes của họ tập hợp {A i }, kí hiệu là ∏𝐼 𝐴𝑖 , là tập các hàm x: I→∪A i sao cho x(i)∈A i ,∀i∈I. Bởi mỗi hàm x∈∏𝐼 𝐴𝑖 được xác định duy nhất bởi bộ giá trị (x(i)) i∈I nên ta có quyền đồng nhất x với bộ giá trị (x(i)) i∈I của nó. Và ta ký hiệu x i = x(i) thì phần tử của ∏𝐼 𝐴𝑖 là bộ x = (x i ) i∈I với điều kiện x i ∈A i ,∀i. Vậy ∏𝐼 𝐴𝑖 = {(x i ) i∈I |x i ∈A i ,∀i∈I} Về cách viết bộ x = (x i ) i∈I , đôi khi để tránh rườm rà ta có thể viết gọn là x = (x i ). Bây giờ với họ khác rỗng các môđun {X i } i∈I trên cùng vành hệ tử R, ta xác định trên tập tích Descartes ∏𝐼 𝑋𝑖 các phép toán sau: (x i ) + (x i ’) = (x i + x i ’) r.(x i ) = (r.x i ) với mọi (x i ), (x i ’)∈∏𝐼 𝑋𝑖 và mọi r∈R. Dễ thấy các phép toán đưa vào ∏𝐼 𝑋𝑖 được xác định theo mỗi thành phần thứ i. Và vì các phép toán trên mỗi thành phần X i là thỏa các yêu cầu của một R- môđun, nên không khó khăn mấy để thấy rằng các phép toán trên ∏𝐼 𝑋𝑖 cũng thỏa hết các yêu cầu của R-môđun. Ta gọi môđun được xây dựng ở trên ∏𝐼 𝑋𝑖 là môđun tích trực tiếp của họ {X i }. Nó cũng được ký hiệu là: ∏𝐼 𝑋𝑖 . Các môđun X i được gọi là các môđun thành phần của tích trực tiếp. Sự liên hệ giữa các môđun thành phần và tích trực tiếp được thực hiện thông qua các phép nhúng và các phép chiếu. Với mỗi k∈I ta có cặp phép nhúng và chiếu được xác định như sau: j k :X k →∏𝐼 𝑋𝑖 với j k (x k ) = ([ j k (x k )] i ), 𝑥 𝑛ế 𝑢 𝑖 = 𝑘 , với mọi x k ∈X k trong đó [ j k (x k )] i = � 𝑘 0 𝑛ế 𝑢 𝑖 ≠ 𝑘 p k :∏𝐼 𝑋𝑖 →X k với p k [(x i )] = x k , với mọi (x i )∈∏𝐼 𝑋𝑖 Hiển nhiên phép nhúngj k là các đơn cấu, nhúng các môđun thành phần X k vào môđun tích trực tiếp ∏𝐼 𝑋𝑖 như một môđun con, trong khi các phép chiếu p k là các toàn cấu chiếu môđun tích trực tiếp ∏𝐼 𝑋𝑖 lên các môđun thành phầnX k , có giá trị tại bộ (x i ) bất kỳ là thành phần thứ k của bộ đó. Tích trực tiếp của các môđun có tính phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.21. Cho họ môđun {X i } i∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ đồng cấu {f i : X→X i } được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu{p i : ∏𝐼 𝑋𝑖 →X i } i∈I . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu f:X→∏𝐼 𝑋𝑖 sao cho f i =p i f với mọi i∈I. Định nghĩa 1.2.22.Đối ngẫu của khái niệm tích trực tiếp là khái niệm đối tíchtrực tiếp(hoặc là tổng trực tiếp), được kí hiệu là: ⊕ I C i , được đặc trưng bởi R công thức sau:Hom(⊕ I C i , X)≅ ∏𝐼 Hom (𝐶𝑖 , 𝑋). R Đẳng cấu này được sinh từ những đơn cấu chính tắc i i :C i→ ⊕ I C i . R Ví dụ : • Tổng trực tiếp của họ môđun. Cho họ khác rỗng các môđun {X i } i∈I trên cùng vành hệ tử R. Xét tập con của ∏𝐼 𝑋𝑖 gồm các bộ x = (x i ), mà hầu hết các thành phần x i = 0, trừ ra một số hữu hạn. Dễ thấy đó là một tập con ổn định trong ∏𝐼 𝑋𝑖 vì vậy nó là môđun con của ∏𝐼 𝑋𝑖 . Ta gọi nó là môđun tổng trực tiếp của họ {X i } i∈I và ký hiệu là : ⊕ I X i R Tổng trực tiếp của các môđun cũng có tính chất phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.23.Cho họ môđun {X i } i∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ đồng cấu {f i : X i →X}được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng {j i : X i→⊕ I X i } i∈I . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấuf :⊕ I X i→X sao R R cho f i =f. j i với mọi i∈I. Định nghĩa 1.2.24.Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi toàn cấu môđun 𝛼:M→N và mọi đồng cấu 𝜑: 𝑃 → 𝑁, tồn tại đồng cấu 𝜑 ′ : 𝑃 → 𝑀 sao cho 𝛼𝜑 ′ = 𝜑.
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng “to...
11
114265
66
Bộ đề thi trắc nghiệm môn cơ sở văn hóa việt nam 167...
21
89845
164
Một số giải pháp nhằm nâng cao mức sống cho các hộ d...
111
79945
140
Phát triển dịch vụ ngân hàng bán lẻ tại chi nhánh ng...
131
79931
187
Ths32.011_công cuộc xoá nạn mù chữ ở thái nguyên (19...
99
79898
150
Thế giới nghệ thuật tiểu thuyết Những ngã tư và nhữn...
26
79888
150
Ths32.013_tỉnh hoà bình trong công cuộc vận động các...
118
79880
160
Tái tạo video dựa vào kỹ thuật nội suy bù chuyển độn...
64
79859
137
Thực hiện pháp luật về thuế trên địa bàn tỉnh thanh ...
138
79826
143
Nghiên cứu thực trạng và đề xuất dùng hợp lý đất đai...
96
79817
155
Phân quyền sở hữu trong giao rừng cho cộng đồng ở tâ...
88
79751
182
Hệ thống kết nối thanh toán điện tử paymentconnect...
144
79737
186
Nghiên cứu công tác giải phóng mặt bằng một số dự án...
146
79656
187
Nghiên cứu nâng cao chất lượng hệ điều khiển quá trì...
120
79656
198
đánh giá công tác bồi thường, hỗ trợ giải phóng mặt ...
100
79632
159
Nghiên cứu sự thu hút lao động nông thôn qua phát tr...
129
79626
194
Giáo dục pháp luật thông qua hoạt động xét xử hình s...
128
79620
196
Cơ sở khoa học và thực tiễn để xây dựng mô hình đảm ...
108
79579
132
Nghiên cứu giải pháp xây dựng hồ sơ địa chính số và ...
105
79556
138
Kiến trúc chương trình đảm bảo yêu cầu chất lượng dị...
78
79538
158
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
34Cedaw gioi thieu tom tat tinh huong
21
39057
97
123.Báo Cáo Thực Tập Luật Sư
29
53133
162
Kpi doanh nghiệp việt nam
113
16391
50
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG THỰC KHUẨN THỂ TRONG PHÒNG TRỪ BỆNH HÉO XANH DO VI KHUẨN Ralstonia solanacearum TRÊN CÂY HOA CÚC Chrysanthemum spp.)
184
11566
30
ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU ÁP XOAY CHIỀU MỘT PHA ĐIỀU KHIỂN TỐC ĐỘ ĐỘNG CƠ ĐIỆN.
37
48628
112
Nghiên cứu tình hình tài chính và khả năng thanh toán tại công ty môi trường đô thị xuân mai, chương mỹ, hà nội
67
32231
80
Nghiên cứu công tác kế toán bán hàng và xác định kết quả kinh doanh tại công ty cổ phần xây dựng và sản xuất vật liệu hoàng long, hà nội
81
8829
12
Đánh giá kết quả cấp giấy chứng nhận quyền sử dụng đất trên địa bàn xã an mỹ, huyện mỹ đức, tp hà nội
64
32346
99
Đánh giá kết quả cấp giấy chứng nhận quyền sử dụng đất trên địa bàn huyện lâm thao, tỉnh phú thọ
67
12088
50
Đánh giá hiện trạng sử dụng đất năm 2019 xã mã ba, huyện hà quảng, tỉnh cao bằng và đề xuất kế hoạch sử dụng đất giai đoạn năm 2020 2025
59
64231
152
Tài liệu xem nhiều nhất
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng “toán chuyển động” lớp 9
11
114265
66
Bộ đề thi trắc nghiệm môn cơ sở văn hóa việt nam 167 câu (cơ bản + nâng cao) có đáp án
21
89845
164
Một số giải pháp nhằm nâng cao mức sống cho các hộ dân sau khi bị thu hồi đất nông nghiệp tại các xã vùng ven thành phố việt trì, tỉnh phú thọ
111
79945
140
Phát triển dịch vụ ngân hàng bán lẻ tại chi nhánh ngân hàng tmcp đầu tư và phát triển tuyên quang
131
79931
187
Ths32.011_công cuộc xoá nạn mù chữ ở thái nguyên (1945 - 1954)
99
79898
150
Thế giới nghệ thuật tiểu thuyết Những ngã tư và những cột đèn (Trần Dần)
26
79888
150
Ths32.013_tỉnh hoà bình trong công cuộc vận động cách mạng và khởi nghĩa vũ trang giành chính quyền (1930 – 1945)
118
79880
160
Tái tạo video dựa vào kỹ thuật nội suy bù chuyển động
64
79859
137
Thực hiện pháp luật về thuế trên địa bàn tỉnh thanh hóa
138
79826
143
Nghiên cứu thực trạng và đề xuất dùng hợp lý đất đai thị trấn Yên Viên, Huyện Gia Lâm, Thành phố Hà Nội
96
79817
155