Lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabriel

  • Số trang: 67 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Mục lục Lời mở đầu .................................................................................................................1 Bảng ký hiệu ..............................................................................................................3 Chương 1 - Các vấn đề cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô .........5 1.1. Vành .................................................................................................................5 1.2. Môđun ..............................................................................................................9 1.3. Không gian tôpô.............................................................................................22 Chương 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ .........25 2.1. Preradicals.....................................................................................................26 2.2. Lý thuyết xoắn ................................................................................................34 2.3. Lý thuyết xoắn di truyền.................................................................................39 Chương 3 - Mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn tổng quát và tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel và một số ví dụ ............................................................................................45 3.1. Tôpô tuyến tính ..............................................................................................46 3.2. Tôpô Gabriel ..................................................................................................51 3.3. Một số ví dụ....................................................................................................54 Kết luận ....................................................................................................................61 Tài liệu tham khảo....................................................................................................63 Lời mở đầu Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.Tiến sĩ Bùi Tường Trí, Người đã giảng dạy, trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy ở Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập như: PGS. TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô dạy Triết học, Ngoại ngữ và các thầy cô ở Phòng Khoa học – Công nghệ và sau đại học đã tạo mọi điều kiện để cho học viên khóa cao học K.19 hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Luận văn này sẽ đưa ra những khái niệm cơ bản về lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải C,tôpô tuyến tính trên một vành A, tôpô Gabriel trên một vành A, và sẽ minh họa bằng những ví dụ cụ thể cho những khái niệm này. Đồng thời, luận văn cũng sẽ trình bày mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải Cvớitôpô tuyến tính, tôpô Gabriel trên một vành A. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về Vành, Môđun, và Không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc trình bày các chương tiếp theo của luận văn. Chương 2. Chương này sẽ giới thiệu khái niệm Preradical, Preradical lũy đẳng, Radical của một phạm trù A-môđun phải C, và các khái niệm về lớp tiền xoắn, lớptiền xoắn tự do, lớp tiền xoắn di truyền, lớp xoắn, lớp xoắn tự do, lớp xoắn di truyền của những vật trong phạm trù A-môđun phải C, cũng như sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của Lý thuyết xoắn và Lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù A-môđun phải C, đồng thời sẽ đưa ra một số ví dụ minh họa. Chương 3. Chương này sẽ trình bày về tôpô tuyến tính của một vành A và tôpô Gabriel của một vành A, đồng thời sẽ trình bày mối quan hệ của tôpô tuyến tính của một vành A, tôpô Gabriel của một vành A vớiLý thuyết xoắn, Lý thuyết xoắn di truyền của phạm trù A-môđun phải C. Cuối cùng là một số ví dụ minh họa. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian không nhiều nên sẽ khó tránh khỏi có nhiều sai sót.Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý chân tình của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa Z Tập hợp các số nguyên Q Tập hợp các số hữu tỉ Mod- A Phạm trù những A-môđun phải MA Môđun phải M trên vành A AM Môđun trái M trên vành A M(n,Z) Tập hợp các ma trận cấp n có hệ số là những số nguyên M(n,2Z) Tập hợp các ma trận cấp n có hệ số là những số nguyên chẵn M(n,Q) Tập hợp các ma trận cấp ncó hệ số trong Q Ideal con sinh bởi S A[S-1] Vành các phân số phải của vành Adựa vào S Qrcl (A) Vành các thương cổ điển phải của vành A 1 C :C→C Đồng cấu đồng nhất trên C,tức là 1 C (x) = x,∀x∈C Ker𝛼 Hạt nhân của đồng cấu 𝛼,tức làKer𝛼 = {x∈M | 𝛼(x) = 0},(với Im 𝛼 Ann(x) 𝛼: M→N là một đồng cấu A-môđun) Ảnh của đồng cấu𝛼, tức làIm 𝛼= {y∈N |∃x∈M, 𝛼(x) =y},(với 𝛼: M→N là một đồng cấu A-môđun) Linh hóa tử (phải) của phần tử x, tức là Ann(x) = {a∈A | x.a = 0} Vành thương của vành A trên ideal a của A A/a HomA (M,N) Tập hợp các đồng cấu A-môđun phải từ M đến N Môđun con S-xoắn của M, tứclà t(M) t(M)={x∈M|∃s∈S,x.s= 0} Tập hợp tất cả các phần tử chính quy của một vành A( tức S reg lànhững phần tử không phải là ước của 0).  Phần tử a∈A gọi là ước của 0 nếu tồn tại 0 ≠ b∈A sao cho a.b = 0 Tập hợp tất cả những vật của một phạm trù C Ob(C) Mor C (C,C’) Tập hợp tất cả các cấu xạ từ vật C đến C’ của phạm trù C Cop Phạm trù đối ngẫu của phạm trù C ∑𝐼 𝑀𝑖 Tổng của một họ môđun {M i } i∈I π i :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i i i :C i→⊕ I C i R Đồng cấu chiếu chính tắc, tức là π i ((x i ) i ) = x i ,∀(x i ) I ∈∏𝐼 𝐶𝑖 Đơn cấu nhúng chính tắc, tức là i i (x i ) = (x j ) j , trong đó 𝑥𝑗 = 𝑥𝑖 𝑛ế 𝑢𝑗 = 𝑖 � 𝑥𝑗 = 0 𝑛ế 𝑢𝑗 ≠ 𝑖 Spec(A) Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành A (a:a) Ideal phải của A, xác định bởi (a:a) = {b∈A|a.b∈a} E(M) Bao nội xạ của môđun M Top(A) Tập hợp tất cả các tôpô trên vành A Sets Phạm trù các tập hợp Ab Phạm trù các nhóm aben Chương 1 -Các vấn đề cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô Chương này nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về lý thuyết vành, môđun và không gian tôpô, việc chứng minh chúng có thể được tìm thấy ở các sách tham khảo sẽ chỉ ra ở trang cuối cùng của luận văn. 1.1. Vành Trong luận văn này, vành được hiểu là vành không giao hoán, có đơn vị. Định nghĩa 1.1.1.Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các tính chất sau: (R1). (R,+) là một nhóm Abel; (R2). (R,.)là nửa nhóm; (R3). Phép nhân phân phối với phép cộng, tức là:∀x,y,z∈R, ta có: x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx +zx.  Phần tử trung hòa của phép cộng được gọi là phần tử-không, kí hiệu là 0.  Phần tử đối xứng của x∈R gọi là phần tử đối của x, kí hiệu là -x.  Nếu phép nhân có phần tử đơn vị ta nói vành R là vành có đơn vị. Phần tử đơn vị được kí hiệu là e hay 1.  Nếu phép nhân giao hoán ta nói vành R giao hoán.  Cho vành R có đơn vị 1. Phần tử x được gọi là khả nghịch nếu x khả đối xứngđối với phép nhân, nghĩa là tồn tại y∈R sao cho xy = yx = 1. Kí hiệu R*={x∈R | x khả nghịch}. Khi đó,R* là một nhóm đối với phép nhân, còn gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của R. Định nghĩa 1.1.2.Cho (R,+,.) là một vành, tập con A khác rỗng của R được gọi là vành con của R nếu A ổn định đối với hai phép toán trong vành R và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một vành. Định nghĩa 1.1.3.Vành con I của R được gọi là idealphải (tương ứng ideal trái) của R nếu với mọi r∈R, x∈I, ta có: xr∈I (tương ứng rx∈I). Ta nói I là ideal của R nếu nó vừa là ideal trái vừa là ideal phải của R. Ví dụ : • {0}, R là hai ideal tầm thường của R. • Giả sử R chứa đơn vị, I là một ideal của R. Khi đó: I = R⇔Ichứa ít nhất một phần tử khả nghịch ⇔I chứa phần tử đơn vị. • I là ideal của Z⇔I có dạng nZ, n∈Z. • M(n,Z) là vành con của M(n,Q) nhưng không là ideal của M(n,Q). • M(n,2Z) là ideal của M(n,Z). Định nghĩa 1.1.4.Cho S là tập con khác rỗng của vành R. Ta định nghĩa giao của tất cả vành con của R có chứa S là vành con sinh bởi S.  Giao của tất cả các ideal của R có chứa S là ideal sinh bởi S. Kí hiệu là:.  Giả sử I = . Nếu S hữu hạn thì ta nói I là hữu hạn sinh. Đặc biệt, S = {a} thì ta viết I = , gọi là ideal chính sinh bởi a. Xét vành (R,+,.) và I là một ideal tùy ý của R. Vì phép cộng giao hoán nên nhóm con (I,+) chuẩn tắc trong (R,+) và ta có thể lập nhóm thương (R/I,+). Định lý 1.1.5.Giả sử I là một ideal của (R,+,.).Trên nhóm thương (R/I,+), ta định nghĩa phép toán nhân như sau:(x+I).(y+I) = x.y + I. Khi đó:(R/I,+,.) là một vành và được gọi là vành thương của R trên ideal I. Ví dụ : ������� • Vành thươngZ/nZ = Z n = { 0� , 1� , 2� ,…,𝑛 − 1 }. Định nghĩa 1.1.6.(Các vành đặc biệt)  Miền nguyên là một vành giao hoán có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và không có ước của 0.  Trường là một miền nguyên mà mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo.  Vành chính là vành không có ước của 0 mà mọi ideal đều là ideal chính.  Vành chính quy (theo nghĩa Von Neumann)là vành R mà : Với mọi a∈R, tồn tại x∈R sao cho a = axa.  Vành đơn là vành chỉ có hai ideal là 0 và R.  Ideal a của A được gọi là ideal lũy linh nếu ∃n∈N* sao cho an = 0.  Ideal a của A được gọi là ideal cốt yếu của A nếua∩b≠ 0, với mọi ideal b ≠ 0của A.  Ideal p của A được gọi là ideal nguyên tố nếu với mọi a, b∈A mà a.b∈p thìa∈p hoặc b∈p.  Vành A được gọi là vành không đơn nếu nó chỉ có ideal đơn là 0. Định nghĩa 1.1.7.Lấy A là một vành và S là tập con đóng nhân của A, nghĩa là: Với mọi t, s∈S, ta có: ts∈S và 1∈S. Vành các phân số (Rings of fractions)phải của A dựa vào S là vành A[S-1] cùng với đồng cấu vành 𝜑 : A →A[S-1] thỏa mãn: (F1).𝜑(s) khả nghịch với mọi s∈S, (F2).Mọi phần tử trong A[S-1] có dạng 𝜑(a).𝜑(s)-1với s∈S, (F3).𝜑(a) = 0⇔∃s∈S,a.s = 0. Định lý 1.1.8.Khi A[S-1] tồn tại, nó có tính chất phổ dụng sau: Với mọi đồng cấu g: A → B sao cho g(s) khả nghịch trong B,∀s∈S thì tồn tại duy nhất đồng cấu h: A[S-1] → B sao cho h 𝜑 =g. Mệnh đề 1.1.9.Cho S là một tập con đóng nhân của A. Khi đó, A[S-1] tồn tại khi và chỉ khi S thỏa mãn: (S1).∀s∈S, a∈A ⇒∃t∈S và b∈A sao cho sb = at, (S2). Nếu sa = 0 với s∈S thì at = 0 với t∈S. Khi đó: A[S-1] = A×S /~, trong đó ~ là quan hệ tương đương với (a,s) ~ (b,t) nếu tồn tại c, d∈A sao cho ac = bd và sc = td∈S. Định nghĩa 1.1.10.Tập S được gọi là tập mẫu số phải nếu nó là tập đóng nhân thỏa mãn (S1), (S2). Ví dụ : • Nếu A là vành giao hoán thì mọi tập con đóng nhân của A đều là tập mẫu số, vì (S1) và (S2) tự động thỏa mãn. • Một ví dụ quan trọng của tập đóng nhân là tập S reg gồm tất cả những phần tử chính quy (tức là những phần tử không phải là ước của 0) của A. Khi đó, vành phân số A[S-1] thường được gọi là “vành các thươngcổ điển phải” của A. Ta thường kí hiệu là: Qrcl (A) hoặc Qrcl . Mệnh đề1.1.11.Qrcl (A)tồn tại khi và chỉ khi A thỏa mãn điều kiện Ore, nghĩa là :∀a, s∈A, s chính quy,∃b, t∈A, t chính quy sao cho at = s b. Định nghĩa 1.1.12.Một vành A được gọi là vành các thương(rings ofquotients) nếu mọi phần tử không phải là ước của 0 của A đều khả nghịch, nghĩa là A là vành các thương trái và phải của chính nó. Chẳng hạn, mọi vành chính quy đều là vành các thương. 1.2. Môđun Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm môđun được hiểu là môđun phải. Định nghĩa 1.2.1.Lấy A là một vành có đơn vị 1. Một A-môđun phải là một nhóm aben M cùng với ánh xạ : M×A→M (x,a)→xa thỏa mãn các tiên đề sau:∀x, y∈M,∀a,b∈A, ta có: (M1) .(x+y)a =xa+ya, (M2) .x(a+b) = xa+xb, (M3) .x(ab) = (xa)b, (M4) .x1 = x. Ví dụ : 1. Z- môđun. Mọi nhóm aben được xem là một Z-môđun, được xác định bởi x.n = x+x+…+x (n lần) với n>0. 2. Vành A được xem như một A-môđun (trái cũng như phải) với phép nhân ngoài chính là phép nhân của vành A. Những môđun con của vành A A chính là một ideal phải của A. 3. Nếu A là một vành, ta xác định một vành đối Aop giống như một nhóm aben A nhưng phép nhân mới * được định nghĩa bởia*b = b.a, trong đó .là phép nhân trong vành A. Một A-môđun trái giống như một Aop-môđun phải. Định nghĩa 1.2.2.Cho M, N là những A-môđun. Ánh xạ 𝛼: M→N được gọi là một đồng cấu(hay ánh xạ A-tuyến tính) nếu : Với mọi x, y∈M, a∈A, ta có: 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼(𝑥) + 𝛼(𝑦), 𝛼(𝑥. 𝑎) = 𝛼(𝑥). 𝑎 Mệnh đề 1.2.3.Đồng cấu 𝛼: M→N cảm sinh ra đẳng cấu: M / Ker 𝛼 ≅ Im 𝛼. Mệnh đề 1.2.4.Nếu L⊂M⊂N là những môđun, thì (N/L)/(M/L)≅(N/M). Mệnh đề 1.2.5.Nếu L,M là những môđun con của N, thì (L+M)/ M ≅ L/(L∩M). 𝛼𝑖−1 𝛼𝑖 𝛼𝑖+1 Định nghĩa 1.2.6.Dãy đồng cấu A-môđun…→M i-1�⎯�M i→M i+1�⎯�…được gọi là khớp tại M i nếu Ker𝛼𝑖 = Im𝛼𝑖−1 và được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi M i . 𝛼 𝛽  Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng: 0 → A→B→ 𝐶→0. Định nghĩa 1.2.7.Môđun M được gọi là sinh bởi họ (x i ) I của các phần tử của M nếu mọi x∈M có thể viết x = ∑𝐼 𝑥𝑖 . 𝑎𝑖 , tất cả bằng 0 trừ một số hữu hạn 𝑎𝑖 ≠ 0.  Môđun M được gọi là môđun hữu hạn sinh nếu có một tập sinh hữu hạn hoặc nói cách khác, nếu có một toàn cấu An→M, với n∈N.  Nếu hệ số 𝑎𝑖 xác định duy nhất bởi x thì họ (x i ) I gọi là cơ sở của M. Môđun được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở. Mệnh đề 1.2.8.Môđun M tự do khi và chỉ khi M ≅ 𝐴(𝐼) với I là một họ nào đó. Định nghĩa 1.2.9.Môđun con sinh bởi một tập S⊂M là môđun con gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S.  Tổng của một họ môđun con {M i } i∈I là môđun con sinh bởi tập ⋃𝐼 𝑀𝑖 , ký hiệu là ∑𝐼 𝑀𝑖 . Như vậy, ta có ∑𝐼 𝑀𝑖 = <⋃𝐼 𝑀𝑖 >. Các phần tử của ∑𝐼 𝑀𝑖 là các tổng hữu hạn ∑𝐼 𝑥𝑖 , trong đó x i ∈M i và hầu hết các x i = 0 trừ một số hữu hạn. Định nghĩa 1.2.10.Môđun M được gọi là môđun Nơ-te nếu mọi môđun con của M là hữu hạn sinh.  Vành A là Nơ-te phải nếu A A là một môđun Nơ-te, nghĩa là mọi ideal phải của A là hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.2.11.Lấy L là một môđun con của M. Khi đó, M là Nơ-te khi và chỉ khi L và M / L là Nơ-te. Mệnh đề 1.2.12.Nếu A là một vành Nơ-te phải thì mọi môđun hữu hạn sinh là Nơ-te. Định nghĩa 1.2.13.Môđun M được gọi là môđun cyclic nếu nó được sinh ra từ một phần tử. Hay định nghĩa một cách tương đương có một toàn cấu A→M.  Những môđun con cyclic. Lấy M là một môđun và x∈M. Phần tử x sinh ra một môđun con cyclic xA của M. Có một toàn cấu 𝛼 : A→xA được cho bởi 𝛼(a) = xa và Ker 𝛼 = {a|xa = 0} = Ann(x), gọi là linh hóa tử của x. Do đó, x A≅A/Ann(x). Mệnh đề 1.2.14.Môđun M là cyclic khi và chỉ khi M ≅ A/a,với alà ideal phải của A. Định nghĩa 1.2.15. Mộtphạm trùC xác định gồm 3 thành phần: (i). Lớp Ob(C) của những vật của C, (ii). Tập Mor C (C,C’), những phần tử của nó gọi là những cấu xạ từ C đến C’với mỗi cặp thứ tự (C,C’) của hai vật của C, (iii). Một luật lấy tích các cấu xạ: Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) với mỗi bộ ba (C,C’,C’’) của những vật của C. o Kí hiệu: 𝛼∈Mor(C,C’) là 𝛼: C→C’. o Tích của 𝛼: C→C’ và 𝛼′: C’→C’’ được viết là 𝛼’𝛼. Ngoài ra những tiên đề sau phải được thỏa mãn: (C1).Mor(C,C’) và Mor(D,D’) phân biệt nếu (C,C’) ≠ (D,D’). (C2).Nếu 𝛼 : C→C’ và 𝛼′ : C’→C’’và 𝛼′′ : C’’→C’’’là những cấu xạ thì𝛼 ′′ (𝛼 ′ 𝛼) = (𝛼 ′′ 𝛼 ′ )𝛼. (C3). Với mỗi vật C, tồn tại 1 C ∈Mor(C,C) sao cho 1 C α = αvà β1 C = βvới𝛼: C’→C và β: C→C’’.  Phạm trù đối: Đối với mỗi phạm trù C có một phạm trù đối ngẫu Cop, chứa tất cả những vật của C, nhưngMor𝐂𝑜𝑝 (C,C’) = Mor C (C’,C) và α*β=β.α,trong đó * là phép nhân trong Cop, và . là phép nhân trong C. Ví dụ : 1. Phạm trù Ab các nhóm Aben. Với các vật là các nhóm Aben và các cấu xạ là những đồng cấu nhóm. Tích của hai cấu xạ là tích của hai đồng cấu nhóm. 2. Phạm trù các A- môđun phải Mod-A. Với các vật là các A- môđun phải và các cấu xạ là các đồng cấu A- môđun phải. Tích của hai cấu xạ là tích của hai đồng cấu A- môđun. Dễ dàng kiểm tra được Mod-A thỏa mãn tất cả các điều kiện trong định nghĩa phạm trù. Định nghĩa 1.2.16.Phạm trù C được gọi là phạm trù tiền cộng tính nếu mỗi tập Mor C (C,C’) là một nhóm aben và luật lấy tích các cấu xạ :Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) là một ánh xạ song tuyến tính. Ví dụ : • Phạm trù Mod-Alà một phạm trù tiền cộng tính, bởi vì dễ dàng kiểm tra được Hom(M,N) là một nhóm aben và ánh xạ Hom(M’,M’’)×Hom(M,M’)→Hom(M,M’’) là một ánh xạ song tuyến tính. Định nghĩa 1.2.17.Cho các phạm trù B và C. Hàm tửT:B → C là một quy luật, tương ứng mỗi vật B∈Bvới một vật T(B)∈C, và tương ứng mỗi cấu xạ 𝛼:B→C trong phạm trù B với một cấu xạ T(𝛼): T(B)→T(C) trong phạm trù C. Hơn nữa, các tiên đề sau phải được thỏa mãn: (F1). Với mỗi vật B∈B:T(1 B ) = 1 T(B) . (F2).T(βα) = T(β)T(α) với mỗi cặp cấu xạ (α, β) trong B mà xác định đượctích βα. Hàm tửT :B → C xác định một ánh xạ:Mor B (B,B’) → Mor C (T(B),T(B’))(1) (với mỗi cặp (B,B’) của B).  Hàm tử T:B → C được gọi là trung thành nếu ánh xạ (1) là một đơn ánh.  Hàm tử T:B → C được gọi là đầy (full) nếu ánh xạ (1) là một toàn ánh. Định nghĩa 1.2.18.NếuB và C là những phạm trù tiền cộng tính thì hàm tử T:B → C được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn: (F3).T(α+β ) = T(α)+ T(β ), với𝛼,𝛽: B→C, với B, C∈Ob(B). Do đó, T là hàm tử cộng tính khi và chỉ khi ánh xạ (1) là một đồng cấu nhóm. Ví dụ : 1. Những phạm trù con. Nếu B và C là những phạm trù thì B là phạm trù con của C nếu Ob(B) là một lớp con của Ob(C), Mor B (B,B’)là một tập con của Mor C (B,B’) với mọi B, B’ trong Ob(B),và luật lấy tích trên B giống như trên C. Khi đó, ta có một hàm tử nhúng B→Clà trung thành. Bđược gọi là phạm trù đầy của C nếu hàm tử này đầy.Nếu C là một phạm trù tiền cộng tính và B là một phạm trù con đầy của C thì B cũng là tiền cộng tính và hàm tử nhúng B→C là cộng tính. 2. Hàm tử Hom. Lấy Clà một phạm trù Mod-A. Ta định nghĩa hàm tử Hom : (Mod-A)op×Mod- A →Sets, tương ứng mỗi cặp (C,D) của (Mod-A)op× Mod-A với tập Hom A (C,D). Đối với mỗi cặp 𝛼: C’→C và 𝛽: D→D’của những đồng cấu trong C ta đặt tương ứng với ánh xạ Hom( 𝛼, 𝛽 ): Hom(C,D)→Hom(C’,D’) được định nghĩa bởi 𝜑 →𝛽 𝜑 𝛼 . Dễ dàng kiểm tra được Hom(𝛼, 𝛽) là một đồng cấu nhóm vì thế Hom là một hàm tử từ(Mod- A)op ×Mod-A →Ab. Nó là một hàm tử cộng tính theo từng biến. Định nghĩa 1.2.19.Hàm tử T:B → Ccộng tính được gọi là hàm tử khớp nếu nó biến mọi dãy khớp trong phạm trù B thành một dãy khớp trong phạm trù C.  Tính khớp của những hàm tử của phạm trù Môđun. Lấy A và B là những vành và T:Mod-A→Mod-B là một hàm tử cộng tính. Khi đó, T là một hàm tử khớp nếu nó biến mọi dãy khớp trong Mod-A thành một dãy khớp trong Mod-B. T là một hàm tử khớp trái nếu nó có tính chất yếu hơn là biến mỗi dãy khớp 0→M’→M→M’’→0 trong Mod-A thành một dãy chỉ khớp bên trái0→T(M’)→T(M)→T(M’’) trong Mod-B. Tương tự cho tính khớp phải của hàm tử.Hàm tử T là khớp khi và chỉ khi nó vừa khớp trái vừa khớp phải. Ví dụ : • Hàm tử Hom: (Mod-A)op×Mod - A→Ab. Hàm tử Hom :(Mod-A)op ×Mod-A→Ab là khớp trái đối với mỗi biến của nó. 𝛼 𝛽 Thật vậy, lấy 0→M’→M→ 𝑀′′ →0 là một dãy khớp trong Mod-A và N là một A- môđun khác, ta sẽ chứng minh dãy sau khớp: 𝛽∗ 𝛼∗ 0→Hom(M’’,N)→Hom(M,N)→ Hom (𝑀′ , 𝑁) Ta có: 𝛽 ∗ là một đơn cấu, bởi vì nếu 𝜑: M’’→N sao cho 0 = 𝛽 ∗ (𝜑) = 𝜑 𝛽, từ đây suy ra 𝜑 = 0. Ker𝛼 ∗ chứa tất cả các đồng cấu 𝜑: M→N sao cho 𝜑 𝛼 = 0. Nhưng nếu 𝜑 𝛼 = 0 thì ta có thể định nghĩa 𝜑�: M’’→N theo quy tắc 𝜑�(𝛽(x)) = 𝜑(x), và do đó 𝜑 = 𝛽 ∗ (𝜑�). Ngược lại, nếu 𝜑∈Im𝛽 ∗ , thì 𝜑 = 𝛾 𝛽 với 𝛾: M’’→N, và điều này chỉ rằng 𝜑 𝛼 = 𝛾 𝛽 𝛼 = 0. Do đó, Ker 𝛼 ∗ = Im𝛽 ∗ , và như vậy ta đã chứng minh được tính khớp trái của hàm tử Hom(. ,N). Tính khớp trái của hàm tử Hom(N, .) được chứng minh tương tự. Định nghĩa 1.2.20.Cho C là một phạm trù tiền cộng tính.Tích trực tiếp của họ (C i ) i∈I của những vật của C là một vật C cùng với cấu xạ πi : C→C i (i∈I) sao cho mỗi vật X và họ đồng cấu 𝜀 i : X→C i , tồn tại duy nhất một cấu xạ 𝜀 : X→C sao R cho πi 𝜀 = 𝜀 i . R Kí hiệu Clà ∏𝐼 𝐶𝑖 .  Các cấu xạ πi :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i được gọi là các đồng cấu chiếu.  Tính chất: Hom(X,∏𝐼 𝐶𝑖 ) ≅ ∏𝐼 Hom (𝑋, 𝐶𝑖 ). Ví dụ : • Tích trực tiếp của một họ môđun. Để xây dựng khái niệm tích trực tiếp của một họ môđun,trước hết ta cần nhắc lại một vài điều cần thiết về khái niệm tích Descartes của họ tập hợp. Cho họ không rỗng các tập hợp {A i } i∈I . Tích Descartes của họ tập hợp {A i }, kí hiệu là ∏𝐼 𝐴𝑖 , là tập các hàm x: I→∪A i sao cho x(i)∈A i ,∀i∈I. Bởi mỗi hàm x∈∏𝐼 𝐴𝑖 được xác định duy nhất bởi bộ giá trị (x(i)) i∈I nên ta có quyền đồng nhất x với bộ giá trị (x(i)) i∈I của nó. Và ta ký hiệu x i = x(i) thì phần tử của ∏𝐼 𝐴𝑖 là bộ x = (x i ) i∈I với điều kiện x i ∈A i ,∀i. Vậy ∏𝐼 𝐴𝑖 = {(x i ) i∈I |x i ∈A i ,∀i∈I} Về cách viết bộ x = (x i ) i∈I , đôi khi để tránh rườm rà ta có thể viết gọn là x = (x i ). Bây giờ với họ khác rỗng các môđun {X i } i∈I trên cùng vành hệ tử R, ta xác định trên tập tích Descartes ∏𝐼 𝑋𝑖 các phép toán sau: (x i ) + (x i ’) = (x i + x i ’) r.(x i ) = (r.x i ) với mọi (x i ), (x i ’)∈∏𝐼 𝑋𝑖 và mọi r∈R. Dễ thấy các phép toán đưa vào ∏𝐼 𝑋𝑖 được xác định theo mỗi thành phần thứ i. Và vì các phép toán trên mỗi thành phần X i là thỏa các yêu cầu của một R- môđun, nên không khó khăn mấy để thấy rằng các phép toán trên ∏𝐼 𝑋𝑖 cũng thỏa hết các yêu cầu của R-môđun. Ta gọi môđun được xây dựng ở trên ∏𝐼 𝑋𝑖 là môđun tích trực tiếp của họ {X i }. Nó cũng được ký hiệu là: ∏𝐼 𝑋𝑖 . Các môđun X i được gọi là các môđun thành phần của tích trực tiếp. Sự liên hệ giữa các môđun thành phần và tích trực tiếp được thực hiện thông qua các phép nhúng và các phép chiếu. Với mỗi k∈I ta có cặp phép nhúng và chiếu được xác định như sau: j k :X k →∏𝐼 𝑋𝑖 với j k (x k ) = ([ j k (x k )] i ), 𝑥 𝑛ế 𝑢 𝑖 = 𝑘 , với mọi x k ∈X k trong đó [ j k (x k )] i = � 𝑘 0 𝑛ế 𝑢 𝑖 ≠ 𝑘 p k :∏𝐼 𝑋𝑖 →X k với p k [(x i )] = x k , với mọi (x i )∈∏𝐼 𝑋𝑖 Hiển nhiên phép nhúngj k là các đơn cấu, nhúng các môđun thành phần X k vào môđun tích trực tiếp ∏𝐼 𝑋𝑖 như một môđun con, trong khi các phép chiếu p k là các toàn cấu chiếu môđun tích trực tiếp ∏𝐼 𝑋𝑖 lên các môđun thành phầnX k , có giá trị tại bộ (x i ) bất kỳ là thành phần thứ k của bộ đó. Tích trực tiếp của các môđun có tính phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.21. Cho họ môđun {X i } i∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ đồng cấu {f i : X→X i } được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu{p i : ∏𝐼 𝑋𝑖 →X i } i∈I . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu f:X→∏𝐼 𝑋𝑖 sao cho f i =p i f với mọi i∈I. Định nghĩa 1.2.22.Đối ngẫu của khái niệm tích trực tiếp là khái niệm đối tíchtrực tiếp(hoặc là tổng trực tiếp), được kí hiệu là: ⊕ I C i , được đặc trưng bởi R công thức sau:Hom(⊕ I C i , X)≅ ∏𝐼 Hom (𝐶𝑖 , 𝑋). R Đẳng cấu này được sinh từ những đơn cấu chính tắc i i :C i→ ⊕ I C i . R Ví dụ : • Tổng trực tiếp của họ môđun. Cho họ khác rỗng các môđun {X i } i∈I trên cùng vành hệ tử R. Xét tập con của ∏𝐼 𝑋𝑖 gồm các bộ x = (x i ), mà hầu hết các thành phần x i = 0, trừ ra một số hữu hạn. Dễ thấy đó là một tập con ổn định trong ∏𝐼 𝑋𝑖 vì vậy nó là môđun con của ∏𝐼 𝑋𝑖 . Ta gọi nó là môđun tổng trực tiếp của họ {X i } i∈I và ký hiệu là : ⊕ I X i R Tổng trực tiếp của các môđun cũng có tính chất phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.23.Cho họ môđun {X i } i∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ đồng cấu {f i : X i →X}được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng {j i : X i→⊕ I X i } i∈I . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấuf :⊕ I X i→X sao R R cho f i =f. j i với mọi i∈I. Định nghĩa 1.2.24.Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi toàn cấu môđun 𝛼:M→N và mọi đồng cấu 𝜑: 𝑃 → 𝑁, tồn tại đồng cấu 𝜑 ′ : 𝑃 → 𝑀 sao cho 𝛼𝜑 ′ = 𝜑.
- Xem thêm -