Lý thuyết và bài tập lý thuyết chuỗi

  • Số trang: 10 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 42 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com CHƯƠNG: LÝ THUYẾT CHUỖI Un n  1   1 lim 1  1   e *Chú ý: nlim . Dạng tổng quát:    n U n      Un  e 1. Chuỗi số. Cho một dãy số vô hạn Un n1 : u1  u2  u3  ...  un  ...    u 1 được gọi là một chuỗi số. n n 1 - u1: được gọi là số hạng đầu. un: số hạng tổng quát của chuỗi (1). - Sn  u1  u2  u3  ...  un  ... gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1). - Chú ý: -  Nếu lim Sn tồn tại và hữu hạn thì ta nói chuỗi (1) hội tụ.  Nếu không tồn tại lim Sn hoặc lim Sn   thì ta nói chuỗi (1) là chuỗi phân kỳ.  Nếu chuỗi (1) hội tụ và lim Sn  S . Khi đó ta có thể viết n n n n u n n 1 . Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ:   u Định lý 1: Nếu chuỗi số n 1  -  n hội tụ thì lim un  0. n Định lý 2: (chú ý) Từ định lý (1) ta thấy nếu lim un  0 thì chuỗi n  u n 1 n phân kỳ. Các tính chất của chuỗi hội tụ:   Nếu chuỗi  un hội tụ và có tổng là S thì chuỗi n 1   Nếu chuỗi  un và n 1   k.u n n 1 cũng hội tụ và có tổng là k.S.  vn hội tụ và có tổng lần lượt là S1 và S2 thì chuỗi n1  u n 1 n  vn  cũng hội tụ và có tổng là S1  S2 . 2. Chuỗi số dương.  Chuỗi số u n 1 n được gọi là chuỗi số dương nếu un  0n  * .  *) Nhận xét: Sn  là dãy tăng, nếu Sn  bị chặn trên. Suy ra Sn  hội tụ   un hội tụ. n 1 (***) Các quy tắc xét sự hội tụ của chuỗi số dương.  Định lý 1(Quy tắc so sánh): Cho hai chuỗi số dương un  vn n  n0  n0  BS: Cao Văn Tú *   un và n 1  thì: Page 1  v n1 n . Nếu Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com  - Nếu chuỗi   un hội tụ suy ra v n 1  - Nếu chuỗi  vn phân kỳ suy ra u n1  hội tụ. n n1 phân kỳ. n n 1 Định lý 2(Quy tắc tương đương): Cho hai chuỗi số dương   un và n 1  u lim n  k  0 . Khi đó hai chuỗi n v n Chú ý: Chuỗi Riman  1  n  un và n 1  v n1 n  v n1 n và thỏa mãn cùng hội tụ và phân kỳ. hội tụ khi α > 1và phân kỳ khi   1. n 1  Định lý 3(Quy tắc Đalambe): Cho chuỗi số dương  u n 1 - Nếu r  1 thì chuỗi un1 r. n u n có lim  u n 1 - Nếu r  1 thì chuỗi n n  u n 1 n hội tụ. phân kỳ. - Nếu r  1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi  u n 1   u Quy tắc côsi: Cho chuỗi số dương - Nếu r  1 thì chuỗi n   u n 1 - Nếu r  1 thì chuỗi . và thỏa mãn điều kiện lim n un  r . n n 1 n n  u n 1 n hội tụ. phân kỳ. - Nếu r  1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi  u n 1 n . 3. Chuỗi số bất kỳ. 3.1. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ. *)Định lý 1: Nếu chuỗi   un hội tụ thì chuỗi tổng n 1 *) Điều kiện cần và đủ để một chuỗi số hội tụ.  u n 1   0, n0  * : m, n  0 ; u n 1 n hội tụ. hội tụ khi và chỉ khi: Sn  Sm   . *) Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Chuỗi số  u n 1 BS: Cao Văn Tú n  n Page 2 được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi  u n 1 n hội tụ. Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com  -Chuỗi số  un được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ nhưng n 1  u n n 1 phân kỳ. 3.2. Chuỗi đan dấu.  Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng: u1  u2  u3  ...  un  ...    1 n1  Quy tắc Lepnit: Cho chuỗi đan dấu   1 n 1 n 1 n   thì chuỗi đan dấu   1 n 1 n 1 n1 un với un  0n  * . un . Nếu dãy (un) giảm và hội tụ về 0 khi un là hội tụ và có tổng S  u1. 4. Chuỗi hàm số. Phương pháp tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số:  Bước 1: Xét un  x   0  x1 , x2 ,... thay vào chuỗi (1) và xét sự hội tụ của nó.  Bước 2: Xét un  x   0 . Tìm lim n un1  x   r  x . un  x  - Nếu r  x   1  x   a; b  thì (1) hội tụ. - Nếu r  x   1  x1 , x2 ,... và thay vào chuỗi (1). Xét sự hội tụ của nó. *) Hội tụ điểm và hội tụ đều. - Hội tụ điểm:   u  x  được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm x  X . Khi đó n n 1  tổng f(x) là một hàm số xác định trên X và ta viết S  x    un  x  x  X . n 1 - Hội tụ đều:   u  x  được gọi là hội tụ đều trên X đến S(x) nếu dãy hàm S  x  hội tụ đều n 1 n n trên X, tức là   0 n0  * sao cho n  n0 ta đều có Sn  x   S  x   x  X . 5. Chuỗi lũy thừa. Chuỗi hàm số có dạng:   a .x n 0 n n  a0  a1  a2  ... an .xn  ... ( Trong đó: an là hằng số không phụ thuộc vào x). Được gọi là chuỗi lũy thừa.  Định lý 1: (Định lý Abel) - Nếu chuỗi lũy thừa   a .x n 0 - Nếu chuỗi lũy thừa   a .x n 0  BS: Cao Văn Tú n n n n hội tụ tại x0  0 thì nó hội tụ tại mọi điểm sao cho x  x0 . phân kỳ tại x0  0 thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa mãn x  x0 . Định lý 2: (Tìm bán kính hội tụ) Page 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Cho chuỗi lũy thừa   a .x n 0  an1  l (hoặc lim n an  l ) thì bán kính hội tụ của nó n an và lim n n n 1 khi 0  l    l khi l   được xác định: 0 .  khi l  0  Tính chất của chuỗi lũy thừa.  Định lý 1: Chuỗi lũy thừa   a .x n n 1  n hội tụ đều trên a; b   R; R  . Định lý 2: Tổng S(x) của chuỗi lũy thừa   a .x n 1 n n là hàm số liên tục trên  R; R  . '   '     Định lý 3:   an .xn     an .xn    n.an .x n1 x    R; R  . n 0  n 0  n 0  b    n  Định lý 4:    an .x  dx     an .x n dx  x   R; R  . n 0  a  a  n 0  Phương pháp tính tổng của một chuỗi:  1   xn  1  x  x2  ...  xn  ...  x   1;1 (*) . 1 x n 0 b    x n  x  x2  x3  ...  xn  ...  n1    n.x n 1  BS: Cao Văn Tú n 1    x n 1  n ' ' x x   1;1 (**) . 1 x 1     x     xn     x   1;1 .  2  n1   1  x  1  x  ' x xn1   x n  x   n  1     x dx      x  dx   dx x   1;1 .  n 0 n  1 n 0  0 0 1 x  0  n 0   Page 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com BÀI TẬP VÍ DỤ CÁC DẠNG 1. Chuỗi số dương.  Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:  n 1 - Xét chuỗi  n n 1 (1). n 2 2 1 (2) là chuỗi số dương. n - Chuỗi số (1) là chuỗi số dương. n1 1 1 n 1 n2 . 1  1 u n n. n  1 n  lim n  1. lim n  lim n  2  lim  lim 2 n v n n  n  n   1 2 2 n  2    n n 2 . 1  2  1 2   n n  n   n  Do chuỗi (2) hội tụ nên chuỗi (1) cũng hội tụ. 2. Áp dụng quy tắc Đalambe.  n Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi:  n (1) n1 3 - Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương. 3n.  n  1 u n n 1 - un  n ; un1  n1  n1  . 3 3 un n.3n1 2 3n.  n  1 un1 n 1 1  lim  lim  1. n  1 n u n n.3 n 3n 3 n Vậy chuỗi (1) là hội tụ theo tiêu chuẩn Đalambe. 3. Áp dụng quy tắc Côsi. - lim  1 n  Bài 3: Xét sự hội tụ của chuỗi:  n   n 1 3  n  1  n2 (1) n2 1 n   0 n  - Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương vì un  n  3  n  1  * n2 1 n  1 1 1  lim   1. - lim un  lim   n n n  n  3 3 n  1  3e  n 1  1  n    Vậy chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn Côsi. 4. Áp dụng quy tắc so sánh.  sin n Bài 4: Xét sự hội tụ của chuỗi  2 . n 1 n  1 n - Ta có: un  BS: Cao Văn Tú n sin n 1 1  2  2 n  2 n 1 n 1 n * mà chuỗi  n 1 Page 5 1 n 2 hội tụ. Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com  Theo quy tắc so sánh   un hội tụ. Suy ra n 1  sin n hội tụ. 2 1 n n 1 5. Áp dụng quy tắc Lepnit (Chuỗi đan dấu)   Bài 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau: n 1   1  1n1 . n n 1 1 1 1  1     ... Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu. n 2 3 4 n 1 1 1 - an  ; an1   an  an1 suy ra dãy an  là dãy giảm. n n 1 1 Mà lim an  lim  0 n n n Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit. 6. Áp dụng phương pháp của chuỗi hàm.  xn n Bài 6: Xét sự hộ tụ của chuỗi :   1 . (1) 2n  1 n 1 - Ta có:   Trường hợp 1: Nếu x  0 .  x x2 xn n Ta có: Sn  x      ...   1 . . Suy ra Sn  0  0  lim Sn  0  0 n 3 5 2n  1 Với x  0 thì chuỗi (1) hội tụ. Trường hợp 2: Nếu x  0 , ta có: un1  x  n 1 1 .x n1  2n  1   2n  1 lim  lim .  lim  1 x .   n  u  x  n  2n  3 2n  3  1n xn n n - x  1  1  x  1   1;1 là khoảng hội tụ của chuỗi (1). - Với x  1 suy ra chuỗi (1)   n 1 đương với   1n  1n 2n  1  lim n   2n  1 . x  2n  3 x  1 là chuỗi số phân kỳ vì nó tương n 1 2n  1  1 n. n 1 - Với x  1 suy ra chuỗi (1)   n 1  1n 1n  2n  1   1n  2n  1 là chuỗi số đan dấu vì n 1 1 1 1 và lim an  lim an   an1   0 suy ra chuỗi n n 2n  1 2n  1 2n  3 tắc Lepnit. Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là:  1;1 . Bài 7: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi: BS: Cao Văn Tú Page 6   1n  2n  1 hội tụ theo quy n 1 x 4 n 3 (2)  n 1 4n  3  Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi   Blog: www.caotu28.blogspot.com Miền hội tụ: Giải tương tự cách trên ta thấy miền hội tụ của chuỗi (2) là (-1;1). Tính tổng: x   x  x  x4n3 1      x4n4 dx      x4 n1  dx   dx x   1;1 ta có: S x   4 1  x n 1 4n  3 n 1  0 n  1   0  0 2 2 1 x 1  x   1  x  1 x dx 1 x dx   dx =   2 0 1  x2 1  x2  2 0 1  x2  2 0 1  x2  x 1 1 1 x x   1;1  arctan x  0  arctan x  ln 2 4 1 x 1 1 x Vậy S x  arctan x  ln x   1;1 . 4 1 x  BS: Cao Văn Tú Page 7 Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số:  1 b. a.  n(n  1) n 1 2n  3n  n n 1 4  2n e.  g.  1 2 1  n sin n1 f. 2 n n 1 n ( n 1) 1 n 1 sin    n!   i. 1 2 (1 )n n n 1 Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau: n   n2 n  3n  4  a.  (1)n n b.  (1)   2 n 1 n 1  2n  1    cos n cos n2 d.  e.  n n2 2 n1 n 1 j.  c.  3n (n!)2  n 1 (2n)!  n 1  h.    n 1  n  1  k. 1 1 2 (1 )n  n n n1 5  1 (1  cos )  n n 1   d.  7n (n!)2  n2 n n 1 l. n  c.  (1) n 1  f.  n 1 n n 1 2n2  5 cos n n2  n  1 Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau: ( x  2)n a.  n2 n 1  xn b.  n n n 1 2  3 (1)n1 n x  n n 1 n.2  d. ( x  4)n c.  n n 1   ( x  5)2 n  2 n n 1 n .4  n  n 1  2n e.     ( x  2) 2 n  1 n 1    f. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐ Bài 1: 1 nên chuỗi phân kỳ. n 1 b. un ~ v n  2 nên chuỗi hội tụ. 2n 1 1 1  3 nên chuỗi hội tụ. c. un ~ v n   n n n2 a. un ~ v n  n 3n  3  nên chuỗi hội tụ.  4n  4  u 3 e. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert n1  nên chuỗi hội tụ. un 4 d. un ~ v n  BS: Cao Văn Tú Page 8 Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi f. Blog: www.caotu28.blogspot.com un ~ v n   v 1 mà n1  0 nên chuỗi vn n g. Dùng tiêu chuẩn Cauchy n vn hội tụ. Vậy n1  u hội tụ. n n 1 1 1 1 nên chuỗi hội tụ. un   (1 )n  5 5 5e n 1  n 1  1 h. un     2 nên chuỗi hội tụ. e  n 1  un1 7 i.  2 nên chuỗi hội tụ. un e n n j. n 1 1 e un  1   nên chuỗi phân kỳ. 2 n 2 Bài 2:   n2 a. Xét chuỗi trị tuyệt đối  un   n n 1 n 1 2 n2 n 1 Đặt: vn  n , vn  nên 2 2 b. Xét chuỗi  n1  3n  4    u   2n 1  n n 1   u n ; n   (1) n n 1 un  d. 1  vn , mà n2 n un  e.  1 n n 1 1 1 mà  2n  2   2 n 1 n n 1 c. Dùng tiêu chuẩn Leibnitz hội tụ.   (1)n . un  3 nên 2 1    hội tụ. Mà n 1  2  n n1  u n 1 n phân kỳ hội tụ   un hội tụ tuyệt đối. n 1    un hội tụ   un hội tụ tuyệt đối. n 1 f. Ta có: cos n  (1)n dùng tiêu chuẩn Leibnitz n 1   n 1 Bài 3: a. b. c. d. phân k.  n  u n 1 n  u n 1 hội tụ 2n2  5  hội tụ. Vậy n2 hội tụ tuyệt đối 2n cos n n2  n  1 hội tụ. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 1 ≤ x ≤ 3. Bán kính hội tụ là: R = 3; Miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x <3. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 3 ≤ x <5. Bán kính hội tụ là: R = 2; Miền hội tụ của chuỗi là: -2 < x ≤2.  n 1  n e. Đặt: X  ( x  2) chuỗi đã cho trở thành chuỗi    .X 2 n  1  n 1  Bán kính hội tụ là R = 2 n  2 Miền hội tụ của chuỗi là: 2  2  x  2  2 f. Đặt X  ( x  5)2 , chuỗi đã cho trở thành chuỗi  n 1 BS: Cao Văn Tú Page 9 1 n 4 2 n Xn Email: caotua5lg3@gmail.com Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Bán kính hội tụ là R = 2 Miền hội tụ của chuỗi là: -7≤ x ≤ -3 ---Hết---- BS: Cao Văn Tú Page 10 Email: caotua5lg3@gmail.com
- Xem thêm -