Tài liệu Lý thuyết tích phân và ứng dụng

1 2 Công trình ñược hoàn thành tại BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XAYAPHET KEODAVANH Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN Phản biện 2: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến VÀ ỨNG DỤNG Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày…..tháng …… Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp năm ……. Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2012 3 4 MỞ ĐẦU chứng tôi có xét một vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU lớp 10, 11, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân ñóng một vai trò Nội dung nghiên cứu của luận văn này ñược giới hạn trong phạm khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong vi về lý thuyết tích phân theo ñộ ño, khuyếch ñộ ño và các ứng dụng chương trình toán ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm của tích phân trong vật lý. Sau ñó chúng tôi có ñưa ra một số ví dụ cụ một tỷ lệ lớn. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát thể trong chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng của chúng ñến hiện ra rằng thông thường các học sinh ñều cảm thấy lúng túng khi việc giải toán ở bậc trung học phổ thông. giải các bài toán về tích phân, chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một V. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng 5.1. Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích dạy ở trường phổ thông. Đó là lý do ñể tôi chọn ñể tài “Lý thuyết tích phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế. phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. 5.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học, cao ñẳng Dựa vào sự ứng dụng sau này của ñề tài nên chúng tôi sử dụng các phương pháp giải quyết vấn ñề thiên về cách chứng minh của toán sơ cấp. Mặc dù thế trong một vài tinh huống ñặc biệt chúng tôi và học sinh ở trường trung học phổ thông, các bạn yêu toán VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau: cũng mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng toán học hiện ñại. • Mở ñầu Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng trong luận văn này là kết hợp các • Chương 1: Độ ño dương kết quả ñã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan ñến ñề tài • Chương 2: Lý thuyết tích phân và sự liên hệ ñến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ • Chương 3: Các ứng dụng của tích phân thông. • Kết luận III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích phân và sự ứng dụng của chúng ñể giải toán ở bậc phổ thong trung học và có thể dùng ñể giảng dạy cho các sinh viên ñại học. Ngoài ra 5 6 Định lý 1.2.1 [ 2] Giả sử { X 1 , X 2 ,..., X n } là một phân hoạch của Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG 1.1 TẬP HỢP Định lý 1.1.1 [ 2] Nếu A = n , thì |P tập S . Khi ñó: S = X 1 + X 2 + ... + X n ( A) | = 2n . Định lý 1.1.2 [ 2] Quan hệ bao hàm có các tính chất sau ñây - Phản xạ: Với mọi tập A thì A ⊂ A . - Phản ñối xứng: Với mọi tập A, B sao cho A⊂B và B ⊂ A thì A = B . • Hệ quả: A ∪ B = A + B − A ∩ B . Định lý 1.2.2 [ 2] Cho các tập A, B,C trong tập vũ trụ U, khi ñó ta có: - Luật kết hợp: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) - Bắc cầu: Với mọi tập A, BC , sao cho A ⊂ B và B ⊂ C thì A⊂C . 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho các tập A và B . Ta ñịnh nghĩa các phép toán sau: • }. • Phần bù: Cho tập X và A ⊂ X . Phần bù của A (trong X ) là tập ký hiệu bởi C X ( A ) và ñược xác ñịnh bởi: CX ( A) = X \ A. Phép hợp: Hợp của A và B , ký hiệu A ∪ B là tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∪ B = x x ∈ A hoặc x ∈ B} . • Phép giao: Giao của A và B , ký hiệu A ∩ B là tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∩ B = x x ∈ A và x ∈ B} • A∪ B = B ∪ A phép hiệu: Hiệu của A và B , ký hiệu A \ B là tập A \ B = { x x ∈ A và x ∉ B • - Luật giao hoán: Phân hoạch một tập hợp: Nếu A∩B=φ, ta nói A và B rời nhau. Nếu các tập X1, X2 ,..., Xn thỏa mãnvà chúng rời nhau từng ñôi một, ta nói { X 1 , X 2 ,..., X n } là một phân hoạch của tập hợp A . A∩ B = B ∩ A - Luật phân bố: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) - Luật bù kép (ñối hợp): A= A ) (trong ñó: A = U \ A . - Luật ñối ngẫu De Morgan: A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . 1.3. CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP 1.3.1. Vành Boole (Boole, Boolean ring). Định nghĩa 1.3.1 [1] Một vành Boole (Boole, Boolean ring), các tập 7 8 hợp là một tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn nếu A ∈ ℜ, B ∈ ℜ thì Định lý 1.4.3 [1] Nếu ε là một lớp ñếm ñược các tập hợp, thì ℜ ( ε ) A ∪ B ∈ ℜ và A \ B ∈ ℜ . là ñếm ñược. Mệnh ñề 1.3.1 [1] cho ℜ là một vành Boole, khi ñó φ ∈ ℜ , các phép hiệu ñối xứng và giao của hai tập hợp là ñóng trong ℜ . 1.3.2. Đại số Boole (Boolean algebra). Định nghĩa 1.3.2 [1] Một lớp các tập hợp A ñược gọi là một ñại số Boole nếu thỏa mãn: Định nghĩa 1.4.2 [1] Một lợp không rỗng S các tập hợp ñược gọi là σ - vành nếu nó thỏa mãn: a / Nếu E ∈ S và F ∈ S thì E \ F ∈ S . b / Nếu { En }n∈N ⊂ S thì UE n∈N n ∈S . a / Nếu A ∈ ℜ và B ∈ ℜ thì A ∪ B ∈ ℜ . Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho một lớp bất kỳ các tâp hợp ε , σ - vành nhỏ b / Nếu A ∈ ℜ thì Ac ∈ ℜ , ( Ac là phần bù của A ). nhất chứa lớp ε ñược gọi là σ - vành sinh bởi lớp ε là ñược ký hiệu Rõ rang mỗi ñại số Boole là một vành Boole vì: ( ) c A \ B = A ∩ B c = Ac ∪ B . bởi σ ( ε ) . Định lý 1.4.4 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp và E là một Mệnh ñề 1.3.2 [1] cho ℜ là một vành Boole các tập con của X . tập bất kỳ trong σ ( ε ) thì tồn tại một lớp ñếm ñược D của ε sao Vành ℜ là một ñại số khi và chỉ khi X ∈ ℜ . cho E ∈ σ ( D ) . 1.4. VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH ( σ - ring ) Định nghĩa 1.4.1 [1] cho ε là một lớp các tập hợp. Vành nhỏ nhất chứa ε ñược gọi là vành sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi R ( ε ) . Định lý 1.4.5 [1] Nếu ε là lớp bất kỳ các tập hợp con của tập X và A là tập con bất kỳ của X thì σ ( ε ) ∩ A = σ ( ε ∩ A ) . 1.5. CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) Định lý 1.4.1 [1] Nếu ε là lớp các tập hợp bất kỳ thì tồn tại một vành 1.5.1. Giới hạn trên (the superior limit) sinh bởi lớp ε duy nhất R ( ε ) . Định nghĩa 1.5.1 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X , Định lý 1.4.2 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp thì mỗi tập tập E ∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc En với vô hạn các giá trong R ( ε ) ñược phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong ε . trị của n ñược gọi là giới hạn trên của dãy { En } và ký hiệu: E ∗ = lim. sup En n 9 10 1.5.2. Giới hạn dưới (the inferior limit) Định nghĩa 1.5.2 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X , tập Định nghĩa 1.6.1 [1] Ánh xạ µ : A → [ 0, +∞ ] ñược gọi là một ñộ ño dương trên σ - ñại số A nếu với mọi họ ñếm ñược các tập ñôi một E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc mọi En trừ một số hữu hạn không giao nhau { Ak }k∈N , trong ñó Ak ∈ A với mọi k ∈ N , ta có: các giá trị của n ñược gọi là giới hạn dưới của dãy { En } và ký hiệu: µ  U  k∈N E∗ = lim inf En n Nếu xảy ra trường hợp E ∗ = E∗ thì ta ký hiệu E ∗ = E∗ = lim En và n gọi là giới hạn của dãy { En } .  Ak  =  ∑ µ (A ) k∈N k và µ (φ ) = 0 . Định nghĩa 1.6.2 [1] Tập X với σ - ñại số A các tập con của X và ñộ ño dương µ trên A thì bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi là một không gian ño. - Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là tăng (ñồng biến) nếu Định nghĩa 1.6.3 [1] Ta nói µ là σ - hữu hạn nếu X là hợp của một En ⊂ En +1, ∀n ∈ N . họ ñếm ñược các tập có ñộ ño hữu hạn. - Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là giảm (nghịch biến) nếu En +1 ⊂ En , ∀n ∈ N . Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm ñược gọi dãy ñơn ñiệu (monotone). Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp không rỗng M các tập ñược gọi là ñơn ñiệu nếu mọi dãy ñơn ñiệu các tập { En } trong M ta có lim En ∈ M. n Định nghĩa 1.6.4 [1] Nếu với mọi A∈ A thỏa mãn µ ( A) = 0 và với mọi A' ⊂ A ta có: A' ∈ A, thì ta nói rằng σ - ñại số A là µ − ñủ (tức là ñủ theo ñộ ño µ ). Định nghĩa 1.6.5 [1] Bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi là một không gian có ñộ ño ñủ, σ - hữu hạn nếu µ là ñộ ño dương σ - hữu hạn và A là µ − ñủ. Định nghĩa 1.5.4 [1] Lớp ñơn ñiệu nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi là 1.7 . CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH lớp ñơn ñiệu sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi M ( ε ) . 1.7.1. Độ ño ngoài Định lý 1.5.1 [1] Một lớp ε là một σ - vành khi và chỉ khi nó là vành ñơn ñiệu. 1.6 . ĐỘ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ HỮU HẠN . Định nghĩa 1.7.1.1 [1] Một lớp không rỗng các tập hợp ε ñược gọi là lớp di truyền nếu với mọi tập E ∈ ε và F ⊂ E thì F ∈ ε . 11 12 Định nghĩa 1.7.1.2 [1] σ - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp ε ñược Nếu µ là (hoàn toàn) σ - hữu hạn thì µ ∗ cũng vậy. Độ ño ngoài gọi là σ -vành di truyền sinh ra bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi H ( ε ) . µ ∗ ñược gọi là cảm sinh bởi ñộ ño µ . Định nghĩa 1.7.1.3 [1] Một hàm tập µ ∗ có giá trị trên tập số thực mở 1.7.2. Các tập ño ñược rộng, xác ñịnh trên lớp ε ñược gọi là: Định nghĩa 1.7.2.1 [1] Cho µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di - Dưới cộng tính nếu với mọi tập E ∈ ε , F ∈ ε và E ∪ F ∈ ε truyền H . Một tập E ∈ H ñược gọi là µ ∗ ño ñược nếu với mọi tập thì: µ ∗ ( E ∪ F ) ≤ µ ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) . A ∈ H , ta có: µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ A ∩ E c ( - Dưới công tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tập E1 , E2 , ... , En  n và n  n  i =1 i =1  i =1 - σ - dưới công tính (dưới cộng tính ñếm ñược) nếu với mọi dãy các tập { Ei } mà n UE ∈ ε i =1 i  ∞ ∞  E  ≤ ∑ µ ( E ). U   thì: µ ∗  i =1 i ∗ i =1 i - Đơn ñiệu nếu E ∈ ε , F ∈ ε và E ⊂ F thì µ ( E ) ≤ µ ( F ) . Định nghĩa 1.7.1.4 [1] Một hàm tập µ ∗ nhận giá trị trên tập số thực mở rộng, xác ñịnh trên σ - vành di truyền H ñược gọi là một ñộ ño ngoài nếu nó không âm, ñơn ñiệu, σ - dưới cộng tính và µ ∗ (φ ) = 0. Định lý 1.7.1.1 [1] Nếu µ là một ñộ ño trên vành ε và nếu với mọi ∞ tập E ∈ H ( ε ) ñặt: µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ ( Ei ) : Ei ∈ ε ,  i =1 E c là phần bù của E. Định lý 1.7.2.1 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên một σ - vành di µ ∗  U Ei  ≤ ∑ µ ∗ ( Ei ) . U Ei ∈ ε thì: ) ∞  ∀i : E ⊂ UEi  . i =1  Thì µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên H ( ε ) và là một mở rộng của µ . truyền H và nếu S là một lớp tất cả các tập µ ∗ - ño ñược thì S là một vành. Định lý 1.7.2.2 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ ño ñược, thì S là một σ - vành. Nếu A ∈ H và nếu { En } là dãy rời nhau các tập trong S với ∞ ∞ n =1 n =1 U En = E , thì: µ ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ ∗ ( A ∩ En ) . Định lý 1.7.2.3 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ - ño ñược, thì mỗi tập có ñộ ño ngoài bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác ñịnh trên S ñược cho bởi µ ( E ) = µ ∗ ( E ) , ∀E ∈ S là một ñộ ño ñủ trên S . 13 14 Độ ño µ ñược gọi là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài µ ∗ . Độ ño µ Định lý 1.8.1 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì tồn là hạn chế của ñộ ño ngoài µ ∗ trên S và ñược ký hiệu µ = µ ∗ . tại một ñộ ño duy nhất µ trên σ - vành σ ( ε ) sao cho µ = µ . Định lý 1.7.1 [1] Mọi tập trong σ ( ε ) là các tập µ ∗ ño ñược. Định lý 1.8.2 [1] Cho µ là ñộ ño trên σ - vành K và ñặt: S Định lý 1.7.2 [1] Nếu E ∈ H ( ε ) thì: { } = inf {µ ( F ) : E ⊂ F ∈ σ ( ε )} µ ∗ ( E ) = inf µ ( E ) : E ⊂ F ∈ S ε K = { E ∆N : E ∈ K , ∃B ∈ K , N ⊂ B, µ ( B ) = 0} . Khi ñó K là một σ - vành và hàm tập µ xác ñịnh bởi µ ( E ∆N ) = µ ( E ) là một ñộ ño ñủ trên K . Nghĩa là, ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên σ ( ε ) và ñộ ño ngoài Định lý 1.8.3 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε và µ ∗ là cảm sinh bởi µ trên S trùng nhau. ñộ ño ngoài ñược cảm sinh bởi ñộ ñô µ thì tính ñủ của ñộ ño mở Định nghĩa 1.7.1 [1] Tập F∈σ ( ε ) ñược gọi là một phủ ño ñược của rộng của µ trên σ ( ε ) ñồng nhất với tính ñủ của µ ∗ trên lớp tất cả tập E∈H ( E) nếu mọi tập G ∈σ ( ε ) mà G ⊂ F \ E thì µ ( G ) = 0 . các tập µ ∗ - ño ñược. Định lý 1.7.3 [1] Nếu một tập E ∈ H ( ε ) có ñộ ño ngoài σ - hữu hạn thì tồn tại một phủ ño ñược F ( ε ) ∈ σ ( ε ) sao cho: µ∗ ( E) = µ( F) . Định lý 1.7.4 [1] Nếu F1 , F2 là các phủ ño ñược của E ∈ H ( ε ) thì µ ( F1∆F2 ) = 0 , nếu F là phủ ño ñược của E thì µ ∗ ( E ) = µ ( F ) . Định lý 1.7.5 [1] Nếu ñộ ño µ trên σ - vành ε là σ - hữu hạn thì µ σ (ε ) và µ S cũng σ - hữu hạn. 1.8. KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO Định lý 1.8.4 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì với mọi tập E có ñộ ño hữu hạn trong σ ( ε ) và với mọi số dương ε , tồn tại tập E0 ∈ ε sao cho µ ( E ∆E0 ) ≤ ε . 1.9. ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures) Định lý 1.9.1 [1] Nếu E ∈ H ( S ) , thì: { µ∗ ( E ) ≤ sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S } (1.12 ) Mặt khác do ñịnh lý 2.3.1 với mọi F ∈ S tồn tại tập G ∈ S sao cho G ⊂ F và µ ( F ) = µ ( G ) . Nên: 15 { 16 } sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S = sup {µ ( G ) : E ⊃ G ∈ S} = µ∗ ( E ) Định lý 1.9.8 [1] Nếu E ∈ S thì với mọi tập con A ⊂ X có: (1.13) µ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( Ac ∩ E ) = µ ( E ) . Từ ( 2.3.1) và ( 2.3.2 ) suy ra ñiều phải chứng minh. 1.10. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure) Định nghĩa 1.9.1 [1] Tập F ∈ S ñược gọi là hạt nhân ño ñược của Định lý 1.10.1 [1] Mỗi tập ñếm ñược trong ℜ là một tập Borel có ñộ tập E∈H ( S ) nếu F ⊂Evà mọi tập G ∈S mà G ⊂ E \ F thì µ ( G) = 0 . ño khong (tập A ñược gọi là có ñộ ño không nếu µ ( A ) = 0 ). Định lý 1.9.2 [1] Mọi tập E ∈ H ( S ) có một hạt nhân ño ñược. Định lý 1.10.2 [1] Gọi u là lớp tất cả các tập mở rộng ℜ . khi dó: σ ( P ) = σ (u ) . Định lý 1.9.3 [1] Nếu E ∈ H ( S ) và F là hạt nhân ño ñược của E thì µ ( F ) = µ∗ ( E ) , nếu F1 và F2 ñều là các hạt nhân ño ñược của Định lý 1.10.3 [1] Nếu E ⊂ ℜ thì: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊂ U ∈ u} . E thì µ ( F1∆F2 ) = 0 . Định lý 1.10.4 [1] Nếu T là một hàm từ ℜ ñược xác ñịnh bởi Định lý 1.9.4 [1] Nếu {En } thì: µ∗  U En  ≥ ∑ µ∗ ( En ) .  là dãy các tập rời nhau trong H ( S ) ∞  n =1  ∞  n =1 T ( x ) = ax + β , trong ñó α ∈ ℜ, β ∈ ℜ và α ≠ 0 , thì: µ ∗ ( E ) = α .µ ∗ ( E ) và µ∗ (T ( E ) ) = α .µ∗ ( E ) . Định lý 1.9.5 [1] Nếu A ∈ H ( S ) và nếu { En } là dãy các tập rời ∞ nhau với (The Theory of the Integral) ∞ UE n =1 Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN n = E thì: µ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ∗ ( A ∩ En ) . n =1 Định lý 1.9.6 [1] Nếu E ⊂ S thì µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) = µ ( E ) . Ngược lại nếu E ∈ H ( S ) và µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) < ∞ thì E ∈ S . Định lý 1.9.7. [1] Nếu E ∈ H ( S ) .F ∈ H ( S ) và E ∩ F = φ thì: µ ( E ∪ F ) ≤ µ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) ≤ µ ∗ ( E ∪ F ) . 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM Định nghĩa 2.1.1 [3] Nếu f là ño ñược không âm trên không gian ño ( χ :F: µ ) thì tích thân của f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh như sau: ∫ f ( x )µ ( dx ) = lim ∫ f ( x ) µ ( dx ) . Suy ra: n n lim ∫ f n ( x ) µ ( dx ) = lim ∫ g m ( x ) µ ( dx ) . n m 17 18 Định nghĩa 2.1.2 [3] Tích phân bất ñịnh của một hàm ño ñược f là v ( E ) = lim vn ( E ) và λ ( E ) = lim λn ( E ) n n hàm tập xác ñịnh trên lớp các tập ño ñược E bởi v ( E) = ∫ f ( x)µ ( dx) . Thì các hàm tập v và λ trùng nhau. Định nghĩa 2.1.3 [3] Với f là hàm ño ñược ta ñặt f + = max ( f ;0 ) Định lý 2.1.5 [3] Nếu và f −1 = − min ( f ;0 ) . trung bình tới f thì E Giả sử min (∫ f + ) µ ( dx ) : ∫ f −1µ ( dx ) < ∞ , ta xác ñịnh tích phân của f theo ñộ ño bởi: f ( x)µ( dx) = f ∫ ( x) µ( dx) −∫ f ( x)µ( dx) . ∫ + − { f n } các hàm { f n } là dãy cơ bản theo trung bình các hàm ñơn giản khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là vn , n ∈ N thì a / Nếu f là một hàm ño ñược và c là một hằng số thì: ∫ c. f ( x )µ ( dx ) = c.∫ f ( x )µ ( dx ) b / Nếu f và g các hàm ño ñược và f ≤ g thì: ∫ f ( x )µ ( dx ) ≤ ∫ g ( x )µ ( dx ) . Định lý 2.2.2 [3] v ( E ) = lim vn ( E ) . Tồn tại với mỗi tập ño ñược E và hàm tập v có a / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì giá trị hữu hạn và cộng tính ñếm ñược ( σ cộng tính). b / Nếu n Định lý 2.1.3 [3] Nếu { fn } là dãy cơ bản theo trung bình các hàm khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là vn , n ∈ N thì hàm tập vn là ∫ f ( x ) µ ( dx ) ≤ ∫ f ( x ) µ ( dx ) . ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì ∫ f ( x ).χ ( x ) µ ( dx ) tồn tại A với mỗi A ∈ χ ; nếu f ( x )µ ( dx ) hữu hạn thì f ( x ).χ A ( x ) µ ( dx ) ∫ ∫ cũng hữu hạn. c / Nếu f và g là các hàm ño ñược không âm hay liên tục tuyệt ñối ñều. Định lý 2.1.4 [3] Nếu f theo ñộ ño. Định lý 2.2.1 [3] khả tích cũng là dãy hàm cơ bản theo ñộ ño. Định lý 2.1.2 [3] Nếu { f n } hội tụ tới 2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo ñộ ño. Định lý 2.1.1 [3] Một dãy hàm cơ bản theo trung bình { f n } là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo { fn } và {gn } là các dãy hàm cơ bản theo trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới cùng một giới hạn là hàm ño ñược f và nếu vn và λn lần lượt là các tích phân bất ñịnh của f n và g n . Với mỗi tập ño ñược E , ta ñặt: ∫ f ( x ) µ ( dx ) < ∞ và ∫ g ( x ) µ ( dx ) < ∞ thì: ∫  f ( x ) + g ( x ) µ ( dx ) = ∫ f ( x )µ ( dx ) + ∫ g ( x )µ ( dx ) . Định lý 2.2.3 [3] Nếu f là một hàm khả tích không âm hẩu khắp 19 20 ∫ f ( x )µ ( dx ) = 0 là nơi, thì diều kiện cần và ñủ ñể • f = 0 a. e sao cho: ∀n ∈ N , f n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn) Định lý 2.2.4 [3] Nếu f là hàm khả tích và dương hầu khắp nơi Thì: trên tập ño ñược E và f ( x )µ ( dx ) = 0 , thì µ ( E ) = 0 . ∫ • E Định lý 2.2.5 [3] Nếu f là hàm khả tích sao cho ∫ f ( x )µ ( dx ) = 0 lý 2.2.6 [3] Nếu f là { một hàm khả tích thì } tập N ( f ) = x : f ( x) ≠ 0 Với mọi n thuộc N , f n khả tích trên I . • f khả tích trên I . • ∫ f ( x )dx → ∫ f ( x ) dx . F với mọi tập ño ñược f , thì f = 0 hầu khắp nơi. Định Có ϕ : I → ℜ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I I n →∞ n I Mệnh ñề 2.4.1 [ 4] Cho một dãy ánh xạ ( f n : I → K )n∈N . Nếu: • Với mọi n thuộc N , f n liên tục và khả tích trên I . có ñộ ño σ -hữu hạn. • ( f n )n∈N 2.3. ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function) • I bị chặn Định lý 2.3.1 [ 4] Nếu { fn } là dãy hàm cơ bản theo trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ. Theo ñộ ño tới hàm khả tích f thì: ρ ( f , f n ) = ∫ f ( x ) − f n ( x ) µ ( dx ) → 0 khi n → ∞ . Định lý 2.3.2 [ 4] Nếu { f n } là dãy hàm cơ bản khả tích tồn tại hàm khả tích f sao cho ρ ( f n , f ) → 0 . ( f n : I → ℜ )n∈N . Thì: • f liên tục và khả tích trên I . • ∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx . I n →∞ n I 2.5. HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN Định lý2.5.1 [ 4] Giả sử ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b và ∑( f : [a; b] → E) n≥0 là một chuỗi ánh xạ. Nếu: 2.4. ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN Cho dãy ánh xạ hội tụ ñều trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f . Nếu: • Với mọi n thuộc N , f n liên tục từng khúc trên I . • ( f n )n∈N • f liên tục từng khác trên I . hội tụ ñơn trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f . • Với mọi n ∈ N , f n liên tục trên [ a; b ] . • ∑f n≥0 Thì: n hội tụ ñều trên [ a; b ] . n 21 • +∞ ∑f n =0 • • b a n≥0 f n ( x ) dx +∞   ∫  ∑ f ( x )  dx = ∑ ∫ a n=0 n n=0 b a b hội tụ chuẩn tắc trên [ a; b ] . Khi ñó, +∞ ∑f n =0 a ∑ n ≥0 ( ak )0≤k ≤ N ∑ ( f : [ a; b ] → E ) n≥0 f n 1 hội tụ trong ℜ , ∑f n =0 n ( ) ∫ g(t) dt . b ) n∈N ∀x ∈]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t )e dt = ∑λk ∫ a những ánh xạ bậc thang trên [ a; b ] Định lý 3.1.2 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E lien tục, có một dãy n n∈N b−a . Ký hiệu bk+1 ak k=0 eixak+1 − eixak e dt = ∑λk ix k=0 N−1 ixt N −1 ixt Trong ñó: M = Max λk . Vì N cổ ñịnh nên có x0 ∈ ]0; +∞[ 0≤ k ≤ N cho : ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ta có: ∫ f (t ) e b ixt sao a những ánh xạ afin từng khúc và liên tục, hội tụ 2 NM ≤ ε . Khi ñó, với mọi x thuộc [ x0 ; +∞[ x dt ≤ ∫ ( f (t ) − ϕ (t )) e b a ≤ (b − a ) f − ϕ hôi tụ ñều ñến f trên [ a; b ] . ( ϕ : [ a; b ] → E ) ε a Định lý 3.1.1 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E liên tục từng khúc, ( ≤ eixak +1 − eixak 2 NM ≤ Từ ñó : ∀x ∈ ]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t ) e dt = ∑ λk a x x k =0 Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN có một dãy en : [ a; b ] → E ta có: N−1 ixt b n =0 Nhắc lại, nhận xét với g ∈C [ a;b] , E , ta kýhiệu: g 1 = N1 ( g) = ∞ là mọt phần hoạch của [ a; b ] tương thích với ϕ và λk là b +∞ ≤ ∑ fn 1 . 1 dt  → 0 . Cho ε > 0 . Theo ñịnh lý 3.1.1, có một x →+∞ giá trị của ϕ trên ]ak ; ak +1 [ với mọi k thuộc {0,..., N − 1} .Khi ñó, n +∞ n ixt ánh xạ bậc thang ϕ : [ a; b ] → N sao cho f − ϕ f n ( x ) dx . Mệnh ñề 2.5.1 [ 4] Cho chuỗi ánh xạ liên tục liên tục trên [ a; b ] và ∫ f ( t )e ) hội tụ trong E . +∞ b Cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc. liên tục trên [ a; b ] . n ∑(∫ 22 ∞ ixt dt + ∫ ϕ (t ) e b a ixt dt + ε ≤ 2ε Vậy, ta ñã chứng minh: ∀ε > 0, ∃x0 ∈ ]0; +∞[ , ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ∫ f ( t )e ∫ f (t ) e b a ixt dt ≤ ε ñều ñến f trên [ a; b ] . Tức là: 3.1. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN 3.2. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG b ixt a Bồ ñề Lebesgue: dt  →0 . x →+∞ 23 24 Cho ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b, f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc. ∫ f ( t )e b Khi ñó: a iλ t dt  →0 λ →+∞ ∫ a hiệu: ∫ b f a [ a; b] . c/ Cuối cùng, cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc, cho ε > 0 , có một ánh xạ bậc thang e : [ a; b ] → C sao cho f − e ta có: ∀λ ∈ℜ+ , ∫ b a < ε . Khi ñó ∞ ( f ( t ) − e ( t ) ) eiλt dt ≤ ∫ f ( t ) − e ( t ) dt ≤ ( b − a) ε b  ∫ e( t ) e b a iλt dt ≤ ε   ∫ a ∫( b a ) ∫ f ( t ) − e ( t ) eiλt dt + b a e ( t ) eiλt dt Nó chứng tỏ λ →0 . λ ∫ f ( t )e dt  a ∫[ hay: a ,b ] f hay: b b a a i t →+∞ 3.3. TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN TỤC TỪNG KHÚC Mệnh ñề 3.3.1 [ 4] Cho f : [ a, b ] → ℜ , liên tục từng khúc. Các bộ ∫ f ( x )dx b a f = Sup ϕ∈E ( a ,b ) ϕ ≤≤ f n −1 Số thực ∑ (a i =0 i +1 (∫ ϕ ) = b a Inf ψ ∈E ( a ,b ) f ≤ψ (∫ ψ ) b a − ai )λi không phụ thuộc phân hoạch s tương tích với e số thực này ñược gọi là tích phân của e trên [ a, b ] và ñược ký ∫ b a e hay ∫ e ( x )dx . b a 3.4. Các tịnh chất ñại số Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM  →ℜ là một dạng tuyền tính, b fa ≤ (1 + ( b − a ) ) ε b a e , và với mọi i ∈ {0,..., ( n − 1)} , λi là giá trị của e trên ]ai , ai +1 [ . hiệu là Vậy với mọi λ ∈ ℜ+ sao cho λ ≥ λ0 , ta có: f ( t ) eiλt dt ≤ a Mệnh ñề 3.3.2 Cho e ∈ E ( a, b ) , s = ( ai )0≤i ≤ n ∈ S , tương thích với a Mặt khác, có ∀λ0 ∈ ℜ+ sao cho: ∀λ ∈ℜ+ , λ ≥ λ0 ⇒ b b ∫ f ( x )dx = ∫ b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy ra từ ñó rằng tính chất vẫn ñúng khi f là hàm bậc thang trên b nhau. Ta gọi biên chung ñó là tích phân của f (trên [ a, b ] ) và ký ei λ b − e i λ a 2 ≤ → 0 . iλ λ λ →+∞ eiλt dt = {∫ ϕ;ϕ ∈ E ( a,b) ,ϕ ≤ f } và {∫ ψ ;ψ ∈E ( a,b) , f ≤ψ} theo thứ tự biên trên và Biên dưới trong ℜ , và các biên ñó bằng a/ Tính chất ñó là ngay tức khắc khi f = 1 , vì: b phận của ℜ : ∫a f ( x )dx nghĩa là: ∀( f , g) ∈( CM )2 ∀λ ∈ℜ, ∫ ( λ f ( x) dx + g ( x) dx) = λ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx . b b b a a a 3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ 3.5.1 Tích phân mặt ur Định nghĩa 3.5.1.1 [5] Giả sử D là một compăc của ℜ . F : D→ℜ3 25 26 là một lớp tham số hóa thuộc lớp C1 . f : D → ℜ là một ánh xạ uuur một ñiểm G thuộc ℜ3 xác ñịnh bởi: OG = thuộc lớp C1 . Ta gọi tích phân kép: ∫∫ D ur ur ∂F ∂F ∧ f ( u, v ) dudv ∂u ∂v uuuur 1 σ ( M)OMdS . ∫∫ µ( S,σ ) S 3.5.5. Moment quán tính của một bản ghềnh là tích phân mặt. Định nghĩa 3.5.5.1 [5] Giả sử H là một ñường thẳng hoặc một mặt phẳng của ℜ3 , với mọi M thuộc ℜ3 ta ký hiệu d ( M , H ) là 3.5.2. Diện tích một phần của mặt khoảng cách từ M ñến H . Moment quán tính của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.2 [5] Giả sử S là một mặt có biểu diễn tham số ( S,σ ) ñối với H là số thực IH xác ñịnh bởi: IH = ∫∫sσ ( M) ( d ( M, H) ) ur F : D → ℜ3 thuộc lớp C1 Ta gọi số thực ký hiệu là: ur ur ∂F ∂F là diện tích của S . A ( S ) = ∫∫ ∧ dudv D ∂u ∂v 2 dS , Trong ñó M chạy trên S và dS là yếu tố diện tích của S . KẾT LUẬN 3.5.3. Khối lượng của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.3.1 [5] Ta gọi, số thực µ xác ñịnh bởi tích phân mặt: µ = ∫∫ σ ( M )dS , trong ñó S M là một ñiểm chạy của S và dS là một yếu tố diện tích, là khối lượng của một bản ghềnh ( S , σ ) ur của ℜ3 . Như vậy, nếu S có một biểu diễn tham số F : D → ℜ3 ( u ,v ) a F ( u ,v ) ( ur µ = ∫∫ σ F ( u, v ) D hợp một cách chặc chẽ. Luận văn ñã thực hiện ñược các nội dung sau: 1. Trình bày các cấu trúc về tập hợp như σ - vành, σ - ñại số, vành ñơn ñiệu… 2. Trình bày lý thuyết ñộ ño và các vấn ñề liên quan. 3. Trình bày lý thuyết tích phân và các ứng dụng của chúng. thì khối lượng của ( S , σ ) . Sẽ là: Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân dựa trên lý thuyết tập ) ur ur ∂F ∂F ∧ dudv . ∂u ∂v 3.5.4. Tâm quán tính của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.4.1 [5] Tâm quán tính của một bản ghềnh ( S , σ ) là Thời gian thực hiện luận văn có hạn nên nhiều vấn ñề sâu sắc hơn chưa ñược ñề cập và chắc chắn không tránh khỏi những kiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận ñược sự ñóng góp ý kiến của quý thầy cô giao và các ñồng nghiệp.