3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một lý thuyết toán học có rất nhiều ứng dụng trong
khoa học, đặc biệt về kỹ thuật cơ học. Đã có nhiều nhà Toán học nghiên cứu
lý thuyết ổn định, tuy nhiên vẫn chỉ bó hẹp trong việc giải quyết bài toán xác
định sự ổn định cũng như không ổn định. A.M.Liapunov đã thiết lập hàng loạt
điều kiện đủ tổng quát cho sự ổn định và không ổn định của chuyển động
không có nhiễu, mô tả bởi hệ phương trình vi phân thông thường. Để đưa vấn
đề ổn định của chuyển động không có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cân
bằng. Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phép
đánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất
lượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.
Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trong
toàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt ra
ngoài giới hạn của một miền cho trước.
Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “lý thuyết ổn định và ứng
dụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lý
thuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trình
tuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ
phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổn
định và không ổn định của liapunov.
- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính.
4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức
ổn định với những nhiễu ban đầu). Đánh giá nghiệm các hệ phương trình
tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân.
6. Những đóng góp của luận văn
Vận dụng hàm liapunov xét sự ổn định của các hệ phương trình tuyến
tính.
5
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Không gian véctơ
1.1.1. Định nghĩa không gian véctơ
Cho tập hợp V mà các phần tử được kí hiệu là ; ; ;.... và trường K
mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z ,... giả sử trên V có 2 phép toán:
Phép toán trong, kí hiệu:
: V V V
( , )
Phép toán ngoài, kí hiệu :
. : K V V
( x, ) x.
Thỏa mãn các tính chất sau (cũng nói thỏa mãn các tiên đề sau):
với mọi , , V và với mọi x, y, z K :
1) ) ( )
2) Có 0 V sao cho 0 0
3) ' V sao cho ' ' 0 kí hiệu ,
4)
5) ( x y ). x. y.
6) x.( ) x. x.
7) x.( y. ) ( x. y ).
8) 1. trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K .
6
Khi đó V (cùng với 2 phép toán xác định như trên) gọi là một không
gian véctơ trên trường K , hay K - không gian véctơ, hay vắn tắt là không
gian véctơ.
Khi K
, V được gọi là không gian véctơ thực.
Khi K
, V được gọi là không gian véctơ phức.
Các phần tử của V gọi là các véctơ, các phần tử của K gọi là vô
hướng.
Phép toán “+” gọi là phép cộng véctơ, phép toán “. ” gọi là phép nhân
véctơ với vô hướng.
Để cho gọn dấu “. ” nhiều khi lược bỏ, thay x. ta viết x .
Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép
cộng véctơ. Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân véctơ với
vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đối
với phép cộng véctơ và có tính chất kết hợp.
1.1.2. Ví dụ về không gian véctơ
a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian ,
2
,
3
với các phép
toán cộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực.
b) Tập K x các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép
cộng đa thức và nhân đa thức với một phần tử thuộc trường K là một K -
không gian véctơ.
c) Tập số phức
với phép cộng số phức và nhân số phức là một
không gian véctơ. Trong khi đó
-
cùng với phép cộng số phức và nhân số
phức với một số thực là - không gian véctơ.
d) Tập các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu
tỷ là một - không gian véctơ.
e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ ( m n) trên trường K ta đưa vào
phép nhân với vô hướng sau, với:
7
A (aij ) i 1, m; j 1, n thì kA (kaij )
Dễ thử thấy đó là một K - không gian véctơ.
1.2. Dạng toàn phương
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử :V V
( , ) ( , )
là dạng song tuyến tính đối xứng trên - không gian véctơ V .
Ánh xạ (tức hàm số)
H :V
H ( ) ( , )
gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng .
Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương H trên
- không gian véctơ
V thì dạng song tuyến tính đối xứng trên V nhận H làm dạng toàn
phương tương ứng là hoàn toàn xác định:
1
( ) H ( ) H ( ) H ( )
2
được gọi là dạng cực của dạng toàn phương H .
1.2.2. Biểu thức tọa độ
Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H ứng với có dạng:
n
H ( ) aij .xi .x j
i , j 1
với mọi ( x1 , x2 ,..., xn ) V .
Ma trận A= ( aij ) cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H .
8
1.2.3. Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương
Nếu trong - không gian véctơ V có cơ sở ( 1 , 2 ,..., n ), trong đó
( i , j ) 0 với mọi i j thì trong cơ sở đó ma trận
A (aij ), aij ( i , j ) , có dạng chéo.
Dạng toàn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng trên V
n
trong cơ sở đó có biểu thức tọa độ dạng: ai xi2 ; ai aij .
i 1
Cơ sở đó gọi là - trực giao của V hay gọi tắt là cơ sở trực giao của V
khi đã rõ. Biểu thức đó gọi là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của H .
1.3. Phương trình vi phân
1.3.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp một
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát :
F ( x, y , y) 0 (1.1)
trong đó hàm F xác định trong miền D
3
.
Nếu trong miền D , từ phương trình (1.1) ta có thể giải thích được y :
y f ( x, y ) ( 1.2)
thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Hàm y ( x) xác định và khả vi trên khoảng I (a, b) được gọi là
nghiệm của phương trình (1.1) nếu:
a) ( x, ( x), ( x)) D với mọi x I .
b) F ( x, ( x), ( x)) 0 trên I .
Ví dụ 1: Phương trình:
dy
2 y
dx
có nghiệm là hàm y ce 2 x xác định trên khoảng ( ; ) (với c là hằng số
tùy ý).
9
Ví dụ 2: Phương trình:
y 1 y 2 (1.3)
có nghiệm là hàm y t anx xác định trên khoảng ( ; ) . Có thể kiểm tra
2 2
trực tiếp hàm y tan x c với mỗi hằng số c cố định cũng là nghiệm của
phương trình (1.3) trên khoảng xác định tương ứng.
1.3.2. Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:
F ( x, y, y,..., y ( n ) ) 0
(1.4)
Hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian
n 2
.
Trong phương trình (1.4) có thể vắng mặt một số trong các biến:
x, y, y,..., y ( n 1) nhưng y ( n ) nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.4) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình
(1.4) có dạng:
y ( n ) F ( x, y, y,..., y ( n 1) )
(1.5)
thì ta được gọi phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao
nhất.
Nghiệm của phương trình (1.4) là hàm y ( x) khả vi n lần trên
khoảng ( a, b) sao cho:
a) ( x,( x ) ,(x ) ,...,((xn)) ) G với mọi x ( a, b) .
b) Nó là nghiệm đúng của phương trình (1.4) trên ( a, b).
Ví dụ 1: Phương trình:
y 4 y 0
có nghiệm tổng quát là ( x ) c1.e2 x c2 .e2 x trong đó c1 , c2 là các hằng số bất
kỳ.
10
Ví dụ 2: Phương trình:
xyy xy2 yy 0
có nghiệm tổng quát là:
y c1. x 2 c2 , trong đó c1 , c2 là hai hằng số bất kỳ.
1.3.3. Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là:
a0 ( x) y ( n ) a1 ( x) y ( n 1) .... an ( x) y g ( x) . (1.6)
Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phương
trình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo y, y,..., y ( n ) . Ta giả
thiết các hàm a0 ( x); a1 ( x); ...; an ( x), g ( x) liên tục trên khoảng ( a, b) và
a0 ( x) 0 trên ( a, b) .
Khi đó chia hai vế của phương trình (1.1) cho a0 ( x) ta được phương trình:
y ( n ) p1 ( x). y ( n 1) ... pn ( x). y f ( x) (1.7)
trong đó :
pi ( x)
ai ( x)
g ( x)
; f ( x)
; (i 1,2,..., n)
a0 ( x)
a0 ( x)
là những hàm số liên tục trên khoảng ( a, b) .
Nếu trong phương trình (1.7) hàm f ( x) 0 tức là ta có phương trình:
y ( n ) p1 ( x) y ( n 1) ... pn ( x) y 0
(1.8)
thì nó được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n bấy giờ phương
trình (1.7) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n .
1.4. Hệ phương trình vi phân
1.4.1. Định nghĩa
Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương trình
sau:
11
dy1
dx f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )
dy2 f ( x, y , y ,..., y )
2
1
2
n
dx
dyn f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
dx
(1.9)
Ở đây x là biến số độc lập y1 y1 ( x); y2 y2 ( x); ... ; yn yn ( x) là các
hàm phải tìm. Các hàm f i (i 1,2,..., n) xác định trong miền G của không
gian n 1 chiều
n1
.
Hệ n hàm khả vi y1 1 ( x); y2 2 ( x); ...; yn n ( x ) xác định trên
khoảng ( a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.9) nếu với mọi x ( a, b) điểm
( x,1 ( x),2 ( x),...,n ( x)) G và khi thay chúng vào hệ (1.9) thì ta được n
đồng nhất thức theo x trên ( a, b) .
Tập hợp điểm:
( x,1 ( x),2 ( x ),...,n ( x)), x (a, b)
được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm 1 ( x), 2 ( x);..., n ( x) hiển
n1
nhiên
.
Bây giờ ta coi ( y1 , y2 ,..., yn ) như tọa độ của mỗi điểm trong không gian
n chiều
n
mà ta gọi là không gian pha. Khi đó tập hợp điểm:
(1 ( x),2 ( x),...,n ( x)), x (a, b)
được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hiển nhiên đường cong pha
chứa trong không gian pha. Không gian
n1
thường được gọi là không gian
pha suy rộng. Đường cong tích phân chứa trong không gian pha suy rộng.
1.4.2. Ý nghĩa cơ học
Ta coi t là biến độc lập, x1 , x2 ,..., xn là tọa độ của một điểm trong không
gian pha
n
. Khi đó hệ phương trình vi phân cấp một:
12
dx1
dt F1 (t , x1 , x2 ,..., xn )
dx2 F (t , x , x ,..., x )
2
1
2
n
dt
dxn F (t , x , x ,..., x )
n
1
2
n
dt
là hệ phương trình chuyển động của một điểm trong không gian pha
(1.10)
n
mà:
dx
dx1 dx2
;
;.....; n
dt
dt dt
là véctơ vận tốc của điểm đó. Tại mỗi điểm M của không gian pha véctơ vận
tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.10) xác định một trường vận tốc
không dừng. Nếu kí hiệu X là véctơ ( x1 , x2 ,..., xn ) , F là véctơ ( F1 , F2 ,..., Fn )
thì hệ (1.10) được viết dưới dạng
dX
F (t , X ) .
dt
Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.10) khi các vế phải không phụ
dx1
dt F1 ( x1 , x2 ,..., xn )
dx2 F ( x , x ,..., x )
2
1
2
n
thuộc vào t : dt
dxn F ( x , x ,..., x )
n
1
2
n
dt
(1.11)
Đối với hệ (1.11) véctơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo
thời gian. Ta nói rằng hệ (1.11) xác định một trường vận tốc dừng và gọi nó là
hệ ô- tô-nôm hay hệ dừng.
1.5. Tiêu chuẩn Hurwitz
1.5.1. Một số khái niệm cần thiết
Xét đa thức:
13
f ( z ) a0 a1.z .... an .z n (với n 1 )
(1.12)
Trong đó z x i. y là số phức và a0 , a1 ,....an có thể là các hệ số thực hoặc
phức.
Định nghĩa: Đa thức f ( z ) bậc n 1 được gọi là đa thức Hurwitz. Nếu
tất cả các nghiệm (không điểm) z1 , z2 ,....zn của nó đều có các phần thực âm:
Re Z j 0 j 1,2,..., n
(1.13)
tức là tất cả các nghiệm z j đều nằm ở nửa mặt phẳng phức bên trái. Sau đây
chúng ta giả thiết rằng các hệ số a0 , a1 ,....an của đa thức (1.12) f ( z ) là thực
và :
a0 0; an 0 .
(1.14)
Một đa thức như vậy rõ ràng không có nghiệm không và để ngắn gọn ta
gọi đa thức đó là đa thức bậc chuẩn bậc n ( n 1) .
Định lí: Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của
nó đều dương.
1.5.2. Tiêu chuẩn Hurwitz
Ta xét đa thức chuẩn: f ( z ) a0 a1.z .... an .z n
(1.15)
trong đó a0 0; an 0 (n 1) .
Lập ( n n) - ma trận Hurwitz:
0 0
a1 a0 0
a3 a2 a1 a0 0
.........................................
a2 n 1 a2 n 2 a2 n 3 a2 n 4 an
trong đó qui ước as 0 với s 0 và s n .
(1.16)
14
Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (1.15) là đa thức
Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của nó đều
dương, tức là:
1 a1 0
a1 a0 0
2
a3 a2
n an . n1 0
(Các điều kiện 1.17 còn gọi là điều kiện Hurwitz).
(1.17)
15
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LIAPUNOV
2.1. Định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov
Ta xét hệ phương trình vi phân:
dy
Y ( y , t )
dt
(2.1)
Ta lấy ra một chuyển động y f (t ) nào đó của hệ (2.1) và gọi nó là
chuyển động không có nhiễu loạn.
Chuyển động y f (t ) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối với
mọi 0 có thể chỉ ra được 0 sao cho từ bất đẳng thức
y (t0 ) f (t0 ) suy ra bất đẳng thức y (t ) f (t ) với t to . Ở đây qua
y (t ) ta đã kí hiệu một nghiệm bất kỳ khác của hệ (2.1), xác định bởi điều kiện
ban đầu y (t0 ) . Chuyển động y f (t ) gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa
Liapunov nếu nó ổn định theo nghĩa Liapunov và nếu có tồn tại một số dương
h sao cho khi y (t0 ) f (t0 ) h ta sẽ có
lim y (t ) f (t ) 0
t
(2.2)
Nếu như nghiệm y (t ) tiến tới f (t ) khi t đều đối với to thì sự ổn
định tiệm cận gọi là đều đối to . Nếu như sự qua giới hạn đối với điều kiện ban
đầu y (t0 ) là đều thì ta nói rằng nghiệm y f (t ) ổn định tiệm cận đều đối với
điều kiện ban đầu. Nếu như hệ (2.1) là ô-tô-nôm tức vế phải không phụ thuộc
vào t thì sự ổn định tiệm cận sẽ luôn luôn đều đối với điều kiện ban đầu đã
cho.
Nếu chuyển động y f (t ) ổn định theo liapunov và hệ thức (2.2) đúng đối
với nghiệm y (t ) được xác định bởi điều kiện ban đầu cho trước bất kỳ thì ta
16
nói rằng chuyển động y f (t ) ổn định tiệm cận với bất kỳ điều kiện ban đầu
cho trước( hay là ổn định tiệm cận trong toàn cục).
Trong hệ (2.1) thực hiện phép biến đổi x y f (t ) hệ mới sẽ có
dạng:
dx
Y ( x f (t ), t ) Y ( f (t ), t )
dt
bằng cách đưa ra kí hiệu:
X ( x, t ) Y ( x f (t ), t ) Y ( f (t ), t )
ta nhận được hệ :
dx
X ( x, t )
dt
(2.3)
trong đó X (0, t ) 0 với t t0 .
Hệ (2.3) xác định phương trình vi phân của chuyển động có nhiễu loạn.
Chuyển động y f (t ) , qua phép biến đổi đang xét, trở thành vị trí cân bằng
x 0 của hệ mới. Như vậy, bài toán ổn định của chuyển động y f (t ) trở
thành bài toán ổn định của nghiệm không x 0 của hệ (2.3).
Nghiệm x 0 của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối
với số dương bất kỳ luôn luôn có thể chỉ ra số dương sao cho từ bất
đẳng thức x(t0 suy ra x(t ) với t t0 . Còn nếu như mọi nghiệm
x(t ) mà điều kiện ban đầu đã cho của nó được xác định bởi x(t0 ) h thỏa
mãn tính chất lim x(t ) 0 thì nghiệm không gọi là ổn định tiệm cận theo
t
nghĩa Liapunov.
2.2. Hàm số 2 Liapunov
Ta xét hàm số v x1 , x 2 ., x n xác định trong không gian pha các biến
x1 , x 2 ,., x n liên tục trong một miền D nào đó, chứa gốc tọa độ. Ta cũng giả
sử rằng hàm v x1 , x 2 ., x n có trong miền D các đạo hàm riêng liên tục.
17
Hàm số v x1 , x 2 ., x n gọi là xác định dương trong miền D nếu như
trong miền D trừ điểm O 0,..,0 ta có bất đẳng thức v 0 . Còn nếu như
có bất đẳng thức v 0 thì hàm v gọi là xác định âm trong cả hai trường hợp
đó hàm số đều được gọi là có dấu xác định.
Nếu như khắp nơi trong miền D ta có bất đẳng thức v 0 hoặc v 0
thì hàm số v được gọi là có dấu không đổi , hơn nữa trong trường hợp đầu
tiên hàm v còn gọi là có dấu dương và trường hợp thứ hai gọi là hàm có dấu
âm.
Nếu hàm số v lấy giá trị trong miền D , lúc thì dấu dương, lúc thì dấu
âm thì khi ấy v gọi là hàm đổi dấu. Chẳng hạn hàm v x12 x 22 – x 32 sẽ là
hàm đổi dấu trong không gian các biến x1 , x2 , x3 còn hàm số v x12 +x 22 +x 32 là
hàm xác định dương trong không gian này. Tuy nhiên hàm số v x12 +x 22 sẽ
có dấu không đổi trong không gian các biến x1 , x2 , x3 ( bởi vì nó triệt tiêu trên
cả trục Ox3 ) và có dấu xác định trong không gian các biến x1 , x2 .
Thông thường chúng ta chỉ sử dụng tới các dạng toàn phương của các
biến x1 , x 2 ,, x n . Rõ ràng, một dạng toàn phương bất kỳ đều có thể viết dưới
dạng:
n
v aik .xi .xk trong đó aik aki .
i , k 1
Ma trận hệ số của dạng này:
a11 a1n
A
an1 ann
và xét các định thức:
18
a11 a1k
k với k 1,2,..., n .
ak 1 akk
Nếu như có k 0 với k 1,2,..., n thì dạng v sẽ là xác định dương.
Định lí đảo cũng đúng tức là điều kiện k >0 là điều kiện cần và đủ để dạng v
xác định dương. Từ tiêu chuẩn Sylvester dễ dàng đưa ra điều kiện cần và đủ
để dạng v xác định âm. Điều kiện này được viết dưới dạng bất đẳng thức:
1 0; 2 0; 3 0;...
tức là các định thức k lập thành một dãy tuần tự đổi dấu, đồng thời 1 0 .
Hàm số v x1 , x 2 ,., x n có các tính chất đã nói ở trên gọi là hàm
Liapunov.
2.3. Định lý về sự ổn định và không ổn định của Liapunov
2.3.1. Định lý của Liapunov về sự ổn định
Xét hệ phương trình vi phân:
dxi
X i ( x1 ,..., xn ); i 1,2,..., n . (2.4)
dt
Vế phải X i x1 ,., x n của nó liên tục và thỏa mãn điều kiện lipschitz
trong một miền D nào đó của không gian pha, bao gồm điểm O 0,0,,0
cùng với một lân cận nào đó của nó. Giả sử điều kiện X i 0,.,0 0 được
thỏa mãn, khi đó điểm O sẽ là điểm kỳ dị của hệ (2.4) hay nói cách khác là vị
trí cân bằng của hệ này. Ta giả sử rằng vế phải của hệ (2.4) trong trường hợp
đang xét không phụ thuộc vào t , tức ta xem hệ là ô-tô-nôm.
Định lí 2.3.1 (Định lý Liapunov về sự ổn định):
Nếu đối với hệ (2.4) có tồn tại trong miền D một hàm xác định dấu v ,
đạo hàm của nó theo thời gian v , lấy theo hệ (2.4) là một hàm có dấu không
đổi, trái dấu với hàm v thì vị trí cân bằng ổn định theo nghĩa Liapunov.
19
Chứng minh:
Ta sẽ kí hiệu qua J phần trong của hình cầu tâm O bán kính và qua
S mặt biên của hình cầu này.
Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương. Giả sử rằng được
chọn sao cho J nằm trong miền D và giả sử l là giá trị cực tiểu của hàm v
trên mặt cầu S . Ta hãy chọn số dương , sao cho tại những điểm của hình
cầu J bất đẳng thức v l được thỏa mãn và giả sử p là một điểm tùy ý của
J . Xét quỹ đạo f ( p, t ) , xuất phát từ điểm p và giả sử rằng nó cắt hình cầu
S tại điểm q nào đó bởi vì:
v
Xi 0
i 1 xi
n
v
nên hàm v không tăng dọc theo quỹ đạo và vì vậy có v(q) v(q ) l . Mặt
khác vì l là cực tiểu của hàm v trên S nên nhất thiết phải có v (q ) 1 . Mâu
thuẫn vừa nhận được chứng tỏ rằng điểm f ( p, t ) , khi thời gian tăng lên,
không thể vượt ra ngoài giới hạn của mặt cầu S .
Bây giờ ta có thể chứng tỏ rằng có thể sử dụng lược đồ chứng minh của
định lý để đánh giá miền nhiễu loạn thừa nhận được. Một miền E nào đó
được gọi là miền nhiễu loạn thừa nhận được của miền G đã cho, nếu như tất
cả các quỹ đạo xuất phát từ các điểm của nó, không vượt ra khỏi giới hạn của
miền G . Rõ ràng, trong trường hợp đã cho, miền J sẽ là miền nhiễu loạn
thừa nhận được đối với miền J . Vậy thì để xác định miền nhiễu loạn thừa
nhận được cần phải tìm cực tiểu l của hàm v trên biên của miền G và để lấy
làm miền E ta sẽ chọn miền, trong đó thỏa mãn v l .
Định lí 2.3.2. (Định lí Liapunov về sự ổn định tiệm cận):
20
Nếu đối với hệ phương trình vi phân (2.4) có tồn tại một hàm xác định
dấu v , đạo hàm toàn phần của nó theo thời gian, lấy theo hệ (2.4), cũng sẽ là
hàm xác định dấu, trái dấu với v thì vị trí cân bằng sẽ ổn định tiệm cận.
Chứng minh:
Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương, giả sử R là một số sao
cho J R nằm trong miền D .
Từ định lí 2.3.1 ta suy ra rằng vị trí cân bằng sẽ ổn định nên có tồn tại
số r 0 sao cho: nếu điểm p nằm trong J r thì điểm f ( p, t ) không thể vượt
ra ngoài hình cầu J R . Giả sử là một số dương đủ bé, theo định lí 2.3.1 ta lại
có thể chỉ ra số 0 sao cho từ p J ta sẽ suy ra f ( p, t ) J với t 0 .
Giả sử điểm p nằm trong J . Giả thiết rằng điểm f ( p, t ) với t 0 không thể
rơi vào trong hình cầu J . Khi đó nửa quỹ đạo f ( p, t ) , với t 0 sẽ nằm
trong lớp cầu J R \ J . Bởi vì trong lớp cầu này ta luôn có v 0 nên có tồn tại
một hằng số m 0 sao cho ta sẽ có v m tại tất cả các điểm của lớp cầu đã
nói. Từ đẳng thức:
t
v( f ( p, t )) v( p) vdt
0
ta suy ra ngay bất đẳng thức:
v( f ( p, t )) v( p) mt .
(2.5)
Nếu như tăng t lên vô hạn thì vế phải của bất đẳng thức (2.5) trở nên
âm, điều đó dẫn chúng ta đến mâu thuẫn vì vế trái của bất đẳng thức này là
giá trị của hàm số Liapunov nên không thể âm. Vậy để tránh mâu thuẫn ta
phải giả thiết rằng tại một thời điểm nào đó, điểm f ( p, t ) sẽ rơi vào trong
hình cầu J ; nhưng số đã được chọn sao cho sau khi rơi vào trong J ,
21
điểm f ( p, t ) không thể nào vượt ra khỏi J . Bởi vì là một số có thể chọn
bé bao nhiêu cũng được nên từ đó ta suy ra rằng lim f ( p, t ) 0 .
t
Vậy định lí được chứng minh.
2.3.2. Định lí về sự không ổn định của Liapunov
Định lí 2.3.3: Nếu có tồn tại một hàm số v , đạo hàm của nó theo thời
gian là một hàm xác định dấu và sao cho trong một lân cận bất kỳ của điểm 0,
v không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với v thì nghiệm không
của hệ (2.4) không ổn định.
Chứng minh:
Giả sử trong hình cầu J các điều kiện của định lí được thỏa mãn. Để
xác định ta giả sử rằng v là hàm xác định dương, xét trong lân cận khá bé J
của điểm 0. Ta hãy chứng tỏ rằng có tồn tại một điểm p , quỹ đạo của nó khi
t 0 sẽ vượt ra ngoài giới hạn của J . Theo điều kiện của định lí trong J có
một điểm p sao cho v ( p ) v0 0 . Do tính liên tục của hàm v , có tồn tại một
số sao cho trong J ta sẽ có v v0 . Bởi vì v là hàm xác định dương nên
v ( f ( p, t )) tăng khi t tăng và vì vậy điểm f ( p, t ) không thể rơi vào trong J .
Ta giả sử rằng điểm f ( p, t ) không vượt ra khỏi J . Bởi vì trong miền
J \ J v có cực tiểu dương m nên ta sẽ có bất đẳng thức:
t
v( p ) mt
v ( f ( p, t )) v( p) vdt
(2.6)
0
Từ đó ta thấy khi t tăng, hàm v ( f ( p, t )) sẽ tăng không giới nội nhưng
mặt khác, hàm v liên tục nên nó lại phải giới nội trong lớp cầu J \ J . Mẫu
thuẫn đó suy ra định lý được chứng minh.
Định lí 2.3.4: Nếu có tồn tại một hàm số v sao cho đạo hàm của nó
theo thời gian có dạng:
22
dv
v
dt
(2.7)
Trong đó là một hằng số dương còn hoặc là đồng nhất bằng
không hoặc là không đổi dấu và nếu như trong trường hợp sau, v không phải
là một hàm không đổi dấu và trái dấu với , trong một lân cận bất kỳ của
điểm 0 thì nghiệm không của hệ (2.4) không ổn định.
Để xác định ta giả sử 0 , trong một lân cận tùy ý bé J ta chọn điểm
p sao cho v ( p ) v0 0 và chứng tỏ rằng điểm f ( p, t ) khi t tăng sẽ vượt ra
khỏi giới hạn của một lân cận J bất kỳ, trong đó những điều kiện của định lý
được thỏa mãn. Bằng cách xem các hàm v( f ( p, t )) và ( f ( p, t )) như những
hàm của thời gian, từ phương trình vi phân (2.7) ta có thể xác định v ( f ( p, t ))
theo công thức cauchy đã biết:
t t
v( f ( p, t )) e e dt v0 .
0
t
Từ điều kiện 0 ta có:
v( f ( p, t )) v0et
Vì 0 nên khi t tăng, hàm v( f ( p, t )) tăng không giới nội và điều
này có nghĩa là điểm f ( p, t ) vượt ra khỏi miền J .
2.4. Sự ổn định trong toàn cục
Xét hệ:
dx
X ( x)
dt
(2.8)
với điều kiện X (0) 0 .
Định nghĩa : Nghiệm không của hệ (2.8) gọi là ổn định trong toàn cục
(hay là ổn định với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu) nếu nó ổn định theo nghĩa
- Xem thêm -
.PDF 
41 
51 
145 
