Tài liệu Lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân (lv01838)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ NHẬT GIANG LÝ THUYẾT LIÊN PHÂN SỐ VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Nhật Giang Lời cam đoan Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về lý thuyết liên phân số, đặc biệt là những áp dụng quan trọng liên phân số vào giải phương trình vi phân. Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của TS. Nguyễn Văn Hào. Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Nhật Giang Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Lời dẫn khái niệm liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Khái niệm liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Một số tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1. Định lý Śleszyński-Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Định lý Worpitzky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2. Áp dụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1. Tổng quan về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Áp dụng liên phân số giải một số phương trình vi phân . . . . . 35 2.2.1. Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . 35 2.2.2. Giải phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 i Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Khái niệm liên phân số, có thể nói rằng có nguồn gốc lịch sử từ rất sớm. Những người học và làm Toán đều biết đến thuật toán Euclide từ thời toán học cổ đại Hy lạp. Tuy nhiên, không có bằng chứng nào để có thể khẳng định rằng thời đó các nhà Toán học đã sự dụng nó để hình thành khái niệm liên phân số như ngày nay. Có lẽ để nói đến nguồn gốc của √ khái niệm này, chúng ta hãy bắt đầu từ việc biểu diễn xấp xỉ của 13 được cho bởi nhà Toán học Bombelli năm 1572 như sau √ 13 = 3 + 4 . 4 6+ 6 Đây là trường hợp riêng của công thức p b a2 + b = a + . b 2a + 2a + ... Trường hợp riêng thứ hai của công thức này được cho bởi Cataldi năm 1613 dưới dạng (dấu + được ông thay bởi dấu & ) √ 2 18 = 4 & . 2 8 & 8 & 2 8 Ông viết gọn biểu thức trên dưới dạng như sau 4&2&2&2 . 1 8 8 8 1 Năm 1625, Schwenter và Huygens (trong một công trình được công bố sau khi ông mất), đã xem xét sự xấp xỉ của những liên phân số hữu hạn chính quy theo nghĩa biểu diễn những phân số lớn thành những phân số nhỏ hơn. Ở đây, Schwenter đã đưa ra biểu diễn sau 177 = 233 1 . 1 1+ 1 3+ 6+ 1 4+ 1 2 Còn Huygens đã đưa ra biểu diễn (những dấu + dưới ta hiểu là phép cộng được thực hiện ở mẫu của phân số đứng ngay trước nó ) 1 1 1 1 77708431 = 29 + .... 2640858 2+ 2+ 1+ 4+ Người đầu tiên đưa ra sự khai triển liên phân số vô hạn là Brouncker. Khoảng năm 1659, ông đã trình bày trước hội Toán học Hoàng gia London biểu diễn sau (2n − 1) 2 ∞ 4 =1+ K π n=1 2 ! . Tuy nhiên, ông không đưa ra phép chứng minh công thức này và có lẽ π ông nhận được nó từ công thức tích vô hạn của Wallis đối với . Bắt 2 đầu từ năm 1737, Euler là người đưa ra được sự trình bày một cách hệ thống về liên phân số. Các công trình của ông đã làm sáng tỏ rằng lý thuyết liên phân số được sử dụng trong cả lĩnh vực lý thuyết số và lý thuyết giải tích. Đến nay, lý thuyết liên phân số đã đem lại áp dụng trong nhiều lĩnh vực của Toán học cũng như các vấn đề thực tiễn khác. Được sự định hướng 2 của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân" để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn được cấu trúc thành 02 chương Chương 1. Được giành cho việc trình bày về lý thuyết liên phân số; các khái niệm liên quan lý thuyết liên phân số; một số tiêu chuẩn hội tụ và các ví dụ minh họa. Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp sử dụng liên phân số trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình Riccati. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về liên phân số và áp dụng của nó trong việc giải một số phương trình vi phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết liên phân số và áp dụng giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lý thuyết liên phân số và cách áp dụng liên phân số giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và phương trình Riccati. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề thông qua việc phân tích, tổng hợp các tài liệu được thu thập, và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 6. Đóng góp của đề tài Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số và giới thiệu cách áp dụng liên phân số để giải một số phương trình vi phân xuất hiện trong các lĩnh vực kĩ thuật, vật lý,... 4 Chương 1 Liên phân số 1.1. Lời dẫn khái niệm liên phân số Để dẫn tới khái niệm liên phân số một cách tự nhiên, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quen thuộc. Cho {tn } là dãy số phức. Khi đó, tổng vô hạn ∞ X tn = t1 + t2 + t3 + ... + tn + ..., (1.1) n=1 được gọi là một chuỗi số phức (sau này ta chỉ gọi là chuỗi số ). Tổng hữu hạn Tn = n X tk , k=1 được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1) hay còn được viết dưới dạng truy hồi Tn+1 = Tn + tn+1 ; n = 1, 2, .... Sự hội tụ của chuỗi (1.1) được định nghĩa qua sự hội tụ của dãy tổng riêng {Tn } đến số phức T . Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ đến tổng T và viết là ∞ X tn = T. n=1 Tương tự như vậy, chúng ta cũng có khái niệm về tích vô hạn ∞ Y pn = p1 p2 ...pn ..., n=1 5 (1.2) trong đó tất cả các pn là các số phức khác 0. Tương ứng, ta cũng có các khái niệm về tích riêng thứ n của tích vô hạn (1.2) như sau Pn = n Y pk , k=1 hoặc viết dưới dạng truy hồi Pn+1 = Pn .pn+1 . Sự hội tụ của tích vô hạn (1.2) là sự hội tụ của dãy tích riêng {Pn } tới số phức P 6= 0. Khi đó, ta cũng nói tích vô hạn (1.2) hội tụ đến P và viết là ∞ Y pn = P . n=1 Tiếp đến, như các khái niệm về tổng và tích vô hạn đã giới thiệu trên đây, người ta đưa ra khái niệm liên phân số như sau. Cho {an } là dãy các số phức khác 0 và dãy {fn } trong C = C ∪ {∞} được xác định bởi f 1 = a1 a1 1 + a2 a1 f3 = a2 1+ 1 + a3 f2 = ... a1 a2 a3 fn = 1+ 1+ . 1+ ... +an 6 Người ta gọi một liên phân số xác định từ dãy {an } được kí hiệu và xác định bởi ∞ K (an /1) = n=1 a1 a2 1+ a3 1+ 1+ . (1.3) ... Sự hội tụ của liên phân số (1.3) được hiểu theo nghĩa sự hội tụ của dãy xấp xỉ riêng {fn }. Tuy nhiên, khác với nghĩa hội tụ của chuỗi hay tích vô hạn, đối với liên phân số ta vẫn có thể nói về sự hội tụ đến ∞. Ví dụ 1.1. Đối với liên phân số 6 ∞ K (6/1) = n=1 6 1+ 6 1+ 6 1+ 1+ ... ta có dãy xấp xỉ được xác định như sau f1 = 6; f2 = 6 6 = ; f3 = 1+6 7 6 1+ 6 1+6 = 42 ; .... 13 Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy xấp xỉ riêng được xác định bởi công thức (−3)n − 2n fn = −6 . (−3)n+1 − 2n+1 Như thế, liên phân số trên hội tụ về 2. 7 Tương tự, từ dãy số phức {bn } người ta xây dựng liên phân số sau 1 ∞ K (1/bn ) = n=1 . 1 b1 + (1.4) 1 b2 + 1 b3 + b4 + ... Đến đây, từ hai dãy số phức {an } và {bn } với an 6= 0; với mọi n ta đưa ra khái niệm liên phân số sau a1 ∞ K (an /bn ) = n=1 . a2 b1 + (1.5) a3 b2 + b3 + a4 b4 + ... Các khái niệm được định nghĩa theo công thức (1.3) và (1.4) là những trường hợp đặc biệt của (1.5). Trường hợp đặc biệt hơn cả là khi trong công thức (1.4) tất cả các giá trị {bn } là các số tự nhiên thì ta gọi nó là liên phân số chính quy (trong lý thuyết số nó là một khái niệm xuất phát từ thuật toán Euclide). Tổng quát hóa cả ba trường hợp về chuỗi số, tích vô hạn và liên phân số ta có thể xây dựng khái niệm chung như sau: Cho dãy {φn} các ánh xạ từ C vào C ta xây dựng một dãy ánh xạ mới {φn} được xác định bởi Φ1 = φ1 ; Φn = Φn−1 ◦ φn = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ... ◦ φn . Trong cả ba trường hợp, nếu tồn tại số phức c để dãy {Φn (c)} hội tụ thì ta nhận được khái niệm các khái niệm thông thường như đã biết. Chỉ 8 có một sự khác biệt là có tính đến sự hội tụ đến 0 hoặc ∞ hay không mà thôi. Vấn đề này ta có thể chỉ ra như sau Trong trường hợp chuỗi, chúng ta có φk (w) = w + tk , và các tổng riêng nhận được là Φn (0) = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ... ◦ φn (0) = t1 + t2 + ... + tn , nghĩa là, ở đây c = 0. Trong trường hợp tích vô hạn chúng ta có φk (w) = w.pk , và tích riêng nhận được là Φn (1) = φ1 ◦ φ2 ◦ φ3 ◦ ... ◦ φn (1) = p1 .p2 ...pn , nghĩa là, ở đây c = 1. Đối với liên phân số (1.5) chúng ta có φk (w) = ak , bk + w và các xấp xỉ riêng thứ n là a1 Φn (0) = a2 b1 + a3 b2 + b3 + ... + nghĩa là, ở đây c = 0. 9 an bn 1.2. Khái niệm liên phân số Khái niệm liên phân số dưới đây được đưa ra bởi hai nhà Toán học Henrici và Pfluger (có thể xem [2, p.474]). Định nghĩa 1.1. Liên phân số là một cặp sắp thứ tự (({an }, {bn }) , {fn}) ; ∞ trong đó {an }∞ 1 , {bn }0 là các dãy số phức cho trước với an 6= 0 và {fn } là một dãy số phức mở rộng được xác định bởi fn = Sn (0); n = 0, 1, 2, ... (1.6) S0 (w) = s0 (w), Sn (w) = Sn−1 (sn (w)); n = 1, 2, .... (1.7) trong đó s0 (w) = b0 + w, sn (w) = an ; n = 1, 2, .... bn + w (1.8) Thuật toán liên phân số là một hàm K ánh xạ cặp ({an }, {bn }) thành dãy {fn } được xác định bởi các công thức (1.6),(1.7) và (1.8). Các số an và bn được gọi tương ứng là các tử số, mẫu số thứ n của liên phân số. Số a1 Sn (0) = a2 b1 + a3 b2 + b3 + ... + 10 an bn được gọi là xấp xỉ riêng thứ n của liên phân số. Để tiện lợi trong việc trình bày người ta sử dụng ký hiệu Sn (0)= b0 + a1 a2 a3 . b1 + b2 + b3 +... Ta nói liên phân số hội tụ tới số phức mở rộng f nếu {fn} → f và ta viết f = b0 + a1 a2 a3 an b1 + b2 + b3 +...+ bn +... hoặc an . n=1 bn ∞ f = b0 + K Việc nghiên cứu liên phân số được thông qua các xấp xỉ của liên phân số dưới dạng fn = An ; n = 0, 1, 2, .... Bn Nếu xác định          A−1   1  A0   b0    =  ,   =   B−1 0 B0 1 thì ta dễ dàng nhận được công thức qua mối liên hệ quy nạp Sn (w) = An + An−1 w . Bn + Bn−1 w Ở đây, mối liên hệ truy hồi được xác định bởi        An−2   An−1   An  = b + a  ; n = 1, 2, 3, . . .    n n Bn−2 Bn−1 Bn 11 Nhận xét rằng Sn là tích của các biến đổi phân tuyến tính không suy biến ak bk + w nên nó cũng chính là một biến đổi phân tuyến tính không suy biến. sk (w) = Chúng ta có những giá trị đặc biệt sau Sn (0) = fn = An−1 An , Sn (∞) = fn−1 = . Bn Bn−1 Ta gọi các An , Bn lần lượt là các tử số và mẫu số tổng quát thứ n. Một tính chất quan trọng liên quan tới các số An , Bn được xác định qua công thức sau An Bn−1 − An−1 Bn = (−1) n−1 n Y ak . k=1 1.3. Một số ví dụ Ví dụ 1.2. Từ đẳng thức √ 2−1= 1 √ 2 + ( 2 − 1) ta nhận được các đẳng thức sau √ 2−1= 1 1 √ 2 + 2 + ( 2 − 1) = 1 1 1 √ 2 + 2 + 2 + ( 2 − 1) = 1 1 1 1 √ 2 + 2 + 2 + 2 + ( 2 − 1) = ... 12 = 1 1 1 1 √ . 2 + 2 + 2 +...+ 2 + ( 2 − 1) Từ đó, ta nhận được √ 2=1+ 1 1 1 1 √ . 2 + 2 + 2 +...+ 2 + ( 2 − 1) Điều đó dẫn đến ý tưởng tốt để xem xét các xấp xỉ của liên phân số 1+ 1 1 1 1 . 2 + 2 + 2 +...+ 2 +... Chúng ta thấy 1+ 1 = 1.5 2 1+ 1 1 = 1.4 2+2 1+ 1 1 1 = 1.4166... 2+2+2 1+ 1 1 1 1 = 1.41379... 2+2+2+2 1+ 1 1 1 1 1 = 1.4142857.... 2+2+2+2+2 Các liên phân số này tiến tới √ 2 rất nhanh, ở bước thứ năm ta thấy sai số của nó nhỏ hơn 0.00008. Điều đó cho ta thấy các liên phân số này √ dường như là xấp xỉ hữu tỷ tốt đối với số vô tỷ 2. Từ biểu diễn trên đây, ta đưa ta đến ý tưởng nghiên cứu liên phân số 1 + K(1/2) với hy 13 vọng nhận được xấp xỉ tốt đối với √ 2. Tuy nhiên, ta cũng cần có một sự cảnh báo rằng xuất phát từ ý tưởng như thế không phải khi nào cũng đúng. Chẳng hạn, từ đẳng thức √ − 2−1= 1 √ 2 + (− 2 − 1) nó dẫn đến biểu diễn √ 1 1 1 1 √ − 2=1+ . 2 + 2 + 2 +...+ 2 + (− 2 − 1) Thế nhưng, liên phân số 1 + K(1/2) lại hội tụ đến √ 2. Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân y = 2y 0 + y 00 . Lấy vi phân n lần ta lần lượt nhận được các đẳng thức sau y 0 = 2y 00 + y 000 , ... y (n) = 2y (n+1) + y (n+2) . Từ các đẳng thức trên và giả thiết rằng đạo hàm đến cấp n + 2 khác 0, ta nhận được các đẳng thức sau y 1 = 2 + , y0 y 0 /y 00 y0 1 = 2 + , y 00 y 00 /y 000 ... y (n) 1 = 2 + . y (n+1) y (n+1) /y (n+2) 14 Từ đó, ta suy ra rằng 1 1 1 1 y 1 = 2 + . y0 2 + 2 + 2 +...+ 2 + y (n+1) /y (n+2) | {z } n+1 Điều đó, gợi ý cho ta xét đến liên phân số 2+ 1 1 1 1 . 2 + 2 + 2 +...+ 2 Từ ví dụ trên đây, ta thấy liên phân số này hội tụ về giá trị √ 2 + 1. Như thế, ta nhận được √ y = 2+1 y0 hoặc y0 √ = 2 − 1. y Từ đó, ta suy ra rằng y = C.e √ ( 2−1)x . Đây chính là nghiệm của phương trình vi phân đã cho. (Dĩ nhiên, lý do đã được trình bày trong ví dụ trên đây cũng chưa phải là nguyên nhân tốt đưa đến việc sử dụng phương pháp này trong việc giải phương trình vi phân). Ví dụ 1.4. (Khai triển của một hàm). Bằng cách tương tự chúng ta có √ 1+x−1= x . 2 + ( 1 + x − 1) √ Từ ví dụ 1.2 ở phần này ta có √ 1+x−1= x x x x √ . 2 + 2 +...+ 2 + 2 + ( 1 + x − 1) 15 Điều này gợi ý tới việc xem xét các xấp xỉ của liên phân số x x x x 2 + 2 +...+ 2 +...+ 2 +... nghĩa là bởi các hàm hữu tỷ sau 2x x x x x2 + 4x x x x ; = ; = . 2 2+2 x + 4 2+2+2 4x + 8 Đối với các hàm thì liên phân số ít được biết đến hơn so với phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp khai triển của chuỗi Taylor tại 0 là   1 ∞ X √ 1 2 1 3 5 4  2 k 1 x + ... 1+x−1=  x = x − x + x − 2 8 16 128 k=1 k chuỗi này hội tụ khi |x| < 1 và phân kỳ khi |x| > 1. Các xấp xỉ của chuỗi này là các tổng riêng 1 s1 = x; 2 1 s2 = x − 2 1 s3 = x − 2 1 2 x; 8 1 2 1 x + x3 ; 8 16 .... Nhận xét rằng các xấp xỉ như trên chính là các đa thức trong khi các xấp xỉ dưới dạng liên phân số là các hàm hữu tỷ. Dưới đây, ta kiểm chứng hai phương pháp xấp xỉ này với một số giá trị của biến x xem xảy ra điều gì. Trước hết với x = 0.96 thì giá trị chính √ xác của hàm là 1 + x − 1 = 0.4. Trong bảng dưới đây, ta ký hiệu (sn ) 16