Tài liệu vật lý
Lý thuyết hệ
nhiều hạt
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
LÝ THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT
Chương 1:
Tính chất chung của hệ nhiều hạt
0- Khái niệm về hệ nhiều hạt
0.1- Nhiều : N 2 : Vấn đề kỹ thuật : số biến ; tương tác ; thay đổi về chất
0.2- Nhiều (N >>1) : không làm thay đổi chất
0.3- Nhiều (N >> 1) : làm thay đổi chất
0.4- Hệ nhiều hạt ở T=0K.
0.5- Hệ kín.
0.6- Hệ ở T 0K.
Quan hệ giữa Cơ học và Vật lý thống kê (bao gồm cả cổ điển và lượng tử)
1- Hệ hạt đồng nhất:
1.1- Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử
1.2- Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất
1.2.1- Tính đối xứng của hàm sóng
P̂ij (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = (q1, .., qj , .., qi , .., qN)
(1.1)
+ (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = + (q1, .., qj , .., qi , .., qN)
- (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = - - (q1, .., qj , .., qi , .., qN)
1.2.2- §Æc ®iÓm cña tÝnh ®èi xøng cña hµm sãng
1.2.2.1- TÝnh ®èi xøng lµ nh nhau ®èi víi tÊt c¶ c¸c cÆp biÕn :
1.2.2.2- TÝnh ®èi xøng cña hµm sãng phô thuéc vµo spin :
Spin nguyªn (0 ; 1 ; 2 ; .....)
Spin b¸n nguyªn (1/2 ; 3/2 ; 5/2 ; .....)
1.2.2.3- TÝnh ®èi xøng cña hµm sãng lµ vÜnh cöu :
1.2.3- D¹ng cña hµm sãng cña hÖ h¹t ®ång nhÊt kh«ng t¬ng t¸c
pi (qi ) ni (ri ) (si ) ; qi ( ri , si ) ; pi (ni, )
*
p (qi ) p (qi ).dqi
i
k
(1.2)
(1.3)
(1.4)
*
*
d
r
(
r
)
(
s
)
(
r
i
ni
i
i
nk
i ) ( si ) ni ,nk pi pk
Si
(1.5)
dri dxi dy i dz i .
( q1 , q 2 ,....., q N ) c p ( q1 ) p ( q 2 )....... p ( q N )
1
2
N
(1.6a)
(q)
p (q1 ) p (q2 ) ....... p (qN )
1
(q1, q2 ,.....,qN )
1
1
1 p2 (q1 ) p2 (q2 ) ....... p2 (qN )
N! .......................................................
pN (q1 ) pN (q2 ) ....... pN (qN )
(1.7a)
§Þnh thøc Slater chøa ®ùng Nguyªn lý lo¹i trõ Pauli .
2- C¸c ®¹i lîng b¶o toµn cña hÖ nhiÒu h¹t.
2.1-Hamiltonian cña hÖ nhiÒu h¹t.
N
H ( 2 / 2) ( i / mi ) V (r1 , r2 ,...., rN )
(2.1a)
i 1
1 2
1
1
2
r
sin
V (r , , )
i
2
i r r 2 sin
i ri 2 sin 2 i 2
i 1 ri ri
i
i
i
i
( r (r1 , r2 ,....., rN ) ; (1 , 2 ,....., N ) ; (1 , 2 ,....., N ) )
N
H ( 2 / 2)
(2.1b)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.2- B¶o toµn ®éng lîng cña hÖ nhiÒu h¹t.
N
ˆ
P i k
(2.2)
k 1
N
N
N
ˆ 1 ˆ
ˆ 1 ˆ
ˆ
P (PH HP) (PV VP) (kV V k ) k V Fk Fint Fext Fext
i
i
k 1
k 1
k 1
Do ®ã:
Fint Fi Fij 0 . Nõu: Fext = 0
i
i
j
2.3- B¶o toµn m« men ®éng lîng cña hÖ nhiÒu h¹t.
N
ˆ N ˆ
L k ; Lˆ z i ˆ kz ; thay ˆ kz i / k ,
k 1
k 1
N
Lˆ z i
k 1 k
N
N
1
V
Lˆ z ( Lˆ z H HLˆ z )
Mkz
i
k 1 k
k 1
(2.4)
(2.5a)
N
M
kz
(2.5b)
M z , int M z , ext M z
k 1
CM : M z , int 0
Víi .........
Lz vµ L2 b¶o toµn.
3- BiÓu diÔn t¬ng t¸c
S (t )
H S (t )
t
S (t ) [exp( iHt / )] H
Fˆ (t ) e iH t / Fˆ e iH t /
i
BiÓu diÔn Shrodinger :
BiÓu diÔn Heisenberg :
H
(3.1)
(3.2)
S
H [exp(iHt / )] S (t )
H H Vˆ
BiÓu diÔn t¬ng t¸c :
0
Fˆi (t ) e iH 0 t / FˆS e iH 0 t /
(3.5)
(3.6)
(3.7)
i (t ) [exp(iH 0 t / )] S (t )
i (t )
i
Vˆi (t ) i (t )
t
Vˆ (t ) e iH 0 t / Vˆ e iH 0 t /
i
(3.3)
(3.4)
(3.8)
(3.9)
S
t
i (t ) i (t 0 ) (i / ) Vˆi (t ' ) i (t ' )dt '
(3.10)
i (t ) i( 0) (t ) i(1) (t ) i( 2) (t ) .......
i (t ) Sˆ (t , t 0 ) i (t 0 )
(3.11)
(3.16)
t0
t
t1
t
Sˆ (t , t 0 ) 1 (i / ) Vˆi (t1 ) dt1 (1 / ) 2 Vˆi (t1 ) dt1 Vˆi (t 2 ) dt 2 ......
t0
t0
t
t0
t1
t n 1
(i / ) Vˆi (t1 ) dt1 Vˆi (t 2 ) dt 2 .... Vˆi (t n ) dt n .........
n
t0
Coi :
t0
(3.17)
t0
t
ˆ
ˆ
S (t , t 0 ) T exp (i / ) Vˆi (t ' ) dt '
t0
Sˆ (t 2 , t1 ) Sˆ (t1 , t 0 ) Sˆ (t 2 , t 0 ) ; t 2 t1 t 0
Sˆ (t ) Sˆ (t , tV )
Ký hiÖu :
(3.20)
V (tV ) 0
(3.18)
(3.19)
(2.3)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Sˆ (t2 , t1 ) Sˆ (t2 ) Sˆ (t1 )
1
(3.21)
Trong đó : i (t ) Sˆ (t ) i (tV ) (3.22)
; thay t tV ==> i (tV ) H
Tõ (3.2) : S (t ) [exp( iHt / )] H .
i (t ) [exp(iH 0 t / )]. [exp( iHt / )] H
(t ) Sˆ (t )
i
(3.23)
H
Fˆi (t ) Sˆ (t ) FˆH (t ) Sˆ 1 (t )
M 0H* Tˆ [ Aˆ H (t ) Bˆ H (t ' ) Cˆ H (t ' ' )....] 0H
Gi¶ thiÕt
(3.24)
(3.25)
t > t’ > t’’ > ..........
M Sˆ () Tˆ [ Aˆ i (t ) Bˆ i (t ' ) Cˆ i (t ' ' )....Sˆ ()] 0H
0*
H
1
(3.26)
Sˆ () 0H e i 0H
0* Tˆ [ Aˆ (t ) Bˆ (t ' ) Cˆ (t ' ' )....Sˆ ()] 0
Cuèi cïng :
M
Chương 2 :
H
i
i
i
(3.27)
H
(3.28)
0H* Sˆ () 0H
Một số phương pháp giải bài toán hệ nhiều hạt
4- Ph¬ng ph¸p t¸ch chuyÓn ®éng khèi t©m cña hÖ :
4.1- §Æc ®iÓm cña thÕ t¬ng t¸c:
N
H ( 2 / 2) ( i / mi ) V (r1 , r2 ,...., rN )
(4.1a)
i 1
V (r1 , r2 ,...., rN ) V (r1 r2 , r1 r3 ,......, rN 1 rN )
(4.1b)
Sù phô thuéc nµy dÉn ®Õn kÕt qu¶ lµ …..
DÐcartes r ( x, y, z ) Jacobi ( , , ) :
1 (m1 x1 : m1 ) x2 ; 2 ( m1 x1 m 2 x 2 ) : ( m1 m2 ) x 3 ; ...................
k m j x j : m j xk 1 , víi k = 1 , 2 , ....... , N –1
k
j 1
N
k
N
N m i x i : m i
i 1
(4.2a)
j 1
(4.2b)
i 1
T¬ng tù cho c¸c to¹ ®é i vµ i .
Cã thÓ chøng minh ®îc :
trong ®ã :
vµ :
r , i
2
x i2
N
N
i 1
i 1
(4.3a)
( r , i / mi ) ( , i / i )
2
y i2
2
z i2
2
2
2
; , i
2
2
2
i
k
( k ) 1 ( m j ) 1 ( m k 1 ) 1
i
(4.3b)
i
khi k = 1 , 2 , ........, N –1
(4.3c)
j 1
N
N mi
(4.3d)
i 1
N
Khi ®ã
H (r1 , r2 ,...., rN ) ( 2 / 2) ( r , i / mi ) V ( r1 , r2 ,...., rN )
i 1
N
H ' ( 1 , 2 ,...., N ) ( 2 / 2) ( , i / i ) V ' ( 1 , 2 ,...., N )
r r a ;
(4.4)
i 1
H (r ) H (r a ) , ==> V ( r ) V ( r a ) :
V (r1 , r2 ,.., rN ) V (x1 ax , y1 ay , z1 az , x2 ax , y2 ay , z2 az ,.., xN ax , yN ay , zN az )
V ' (1,1 , 1 ,2 ,2 , 2 , .., N a x , N a y , N a z )
V '(1,1,1 ,2,2,2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
,..,N ax,N ay , N az ) V ' (http://www.foxitsoftware.com
1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , .., N , N , N ) ,
N
H ' ( 1 , 2 ,...., N ) ( 2 / 2) ( , i / i ) V ' ( 1 , 2 ,...., N 1 )
KÕt qu¶ lµ
(4.5)
i 1
4.2- Ph¬ng tr×nh Shrodinger cho hÖ ®· t¸ch chuyÓn ®éng khèi t©m:
(4.6)
( 1 , 2 , ..., N ) ( 1 , 2 ,..., N 1 ) G ( N )
N
[(2 / 2) ( , i / i ) V '( 1, 2 ,....,N 1)] (1 , 2 ,.....,N )G( N ) E (1 , 2 ,.....,N )G( N )
i 1
N 1
2
[( 2 / 2) ( ,i / i ) V ' (1, 2 ,...., N1)] [ , N / N ] G E
2G
i 1
1
N1
[(2 / 2) ( , i / i ) V ' (1 , 2 ,...., N1 )] (1 , 2 ,...., N1 ) E1 (1, 2 ,...., N1 )
(4.7)
(4.8a)
i1
2
[ , N / N ] G ( N ) E2 G ( N )
2
(4.8b)
Víi
E1 + E 2 = E
VÝ dô : XÐt hÖ gåm 2 h¹t (N =2): Bài tập
5- Ph¬ng ph¸p trêng trung b×nh
5.1- ý tëng cña ph¬ng ph¸p trêng trung b×nh
H E
(5.1)
2
H i (ri )
i ui ( ri )
2mi
H H i ( ri ) (1 / 2 ) V i j ( ri , r j )
N
i 1
(4.8c)
i, j
(5.2)
2
H 'i (ri )
i ui (ri ) Vef (ri )
2mi
i 1
N
( r1 , r2 , .... , rN ) pi ( ri )
N
H H 'i (ri ) víi
(5.3)
(5.4)
i 1
N
2
[
i u i ( ri ) V ef ( ri )] p i ( ri ) i pi ( ri )
2mi
N
dq dqi , cßn qi ( ri , si ) ;
i 1
......dq
(5.5)
i 1
Q[ ] * [ H E ] dq
N
i E
dr ........
(5.7)
i
i 1
(5.6)
Si
Q[ ] *[ H E ] dq 0
(5.8)
5.2- ThÕ hiÖu dông Vef ®èi víi hÖ c¸c h¹t boson
*
pi
N
( qi ) *p k ( q k ) [ H i ( ri ) (1 / 2 ) Vi j ( ri , rj ) E ] dq
ik
i 1
i, j
* [ H i ( ri ) (1 / 2) Vi j ( ri , r j ) E ] p i ( qi ) p k ( q k ) dq 0 ,
N
i, j
i 1
N
*
*
dq
(
q
)
(
q
)
[
H i ( ri ) (1 / 2) V i j ( ri , r j ) E ]
k
p
k
p
i
k
i
ik
i 1
(5.9)
ik
i, j
dq
i
ik
dqk pk (qk ) pi (qi )[ Hi* (ri ) (1/ 2)Vij* (ri , rj ) E ] * dqi 0
N
i k
i 1
i, j
N
p*i (qi )[ Hi (ri ) (1/ 2)Vi j (ri , rj ) E ] dqi 0
ik
i 1
i, j
(5.10)
ik
i k
(5.11)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
http://www.foxitsoftware.com
'
'
'Vi j (ri , rj ) 2 V ik Vij
i
i, j
(5.12)
ik
jk
c1 *pi (qi ) [ H i (ri )] pi (qi ) dqi
ik
ik
c2
ik
*
pi
ik
(5.13a)
ik
( q i ) [(1 / 2 ) ' V ij ( ri , r j ) ] pi ( q i ) dq i
ik
jk
ik
(5.13b)
ik
Vef ( rk ) *pi ( q i ) [ ' Vik (ri , rk )] pi ( qi ) dq i
i
i k
*
pi
*
pi
*
pi
ik
(5.15a)
(qi ) [(1 / 2) ' Vij (ri )] dqi [c2 Vef (rk )] pk (qk )
(5.15b)
i k
i, j
i k
(5.14)
ik
(qi ) [ Hi (ri )] dqi [c1 Hk (rk )] pk (qk )
i
i k
ik
i k
(qi ) E dqi E pk (qk )
(5.15c)
ik
[ H k (rk ) V ef ( rk )] pk ( q k ) k pk ( q k )
(5.17a)
k = E – c1 – c 2
5.3- ThÕ hiÖu dông ®èi víi hÖ c¸c h¹t fermion
(5.17b)
1
(q1 , q2 )
[ (q1 ) 2 (q2 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )]
(1.7b)
2 1
*
*
*
*
[1 (q1 ) 2 (q2 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )](H1 H 2 V12 E) [ 1 (q1 ) 2 (q2 ) 1 (q2 ) 2 (q1 )]dq1dq2
[*1 (q1)*2 (q2) 1*(q2)*2 (q1)](H1 H2 V12 E)[1 (q1)2 (q2 ) 1 (q2)2 (q1)]dq1dq2 0
*
(5.18)
*
(q ) (q ) (H H V E) (q ) (q ) dq dq
(q ) (q ) (H H V E) (q ) (q ) dq dq
*
*
(q2 ) (q1 ) (H1 H2 V12 E) (q2 ) (q1 ) dq1dq2 (q ) (q )(H H V
*
*
(q1 ) (q2 )V12 (q2 ) (q1 ) dq1dq2 (q ) (q )V (q ) (q ) dq dq
(q ) (q )V (q ) (q ) dq dq (q ) (q ) V (q ) (q ) dq dq
2
1
1
2
*
1
2
12
2
1
1
2
1
2
*
1
1
2
2
1
2
12
1
1
2
2
1
2
*
1
2
1
2
*
1
2
*
1
2
1
2
*
2
2
12
*
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
12
E)1 (q1 )2 (q2 ) dq1dq2
*
2
1
*
1
1
*
1
1
12
1
1
2
2
1
2
*
2
1
2
1
12
1
1
2
2
1
2
*
( q 1 ) 2 ( q 2 ) ( H 1 H 2 E ) 1 ( q 2 ) 2 ( q 1 ) dq 1 dq 2 0
*
*
( q ) ( q ) ( H H E ) ( q ) ( q ) dq dq 0
*
*
( q1 ) ( q 2 ) ( H 1 H 2 E ) ( q 2 ) ( q 1 ) dq 1 dq 2 0
1
2
1
*
1
2
1
1
2
*
1
1
2
1
2
2
1
2
2
( q 2 ) *2 ( q 1 ) ( H 1 H 2 E ) 1 ( q1 ) 2 ( q 2 ) dq 1 dq 2 0
*
*
*
1
2
(q ) (q ) (H H V E) (q ) (q ) dq dq (q1) (q2 )V12 (q2 ) (q1) dq1dq2
* (q1 ) * (q2 ) (H1 H 2 V12 E) (q1 ) (q2 ) dq1dq2 (q ) (q ) V (q ) (q )]dq dq 0
vµ dq1 * ( q1 ){[ * ( q 2 ) ( H 1 H 2 V12 E ) ( q 2 ) dq 2 ] ( q1 ) (q ) V ( q ) ( q ) dq }
dq1 (q1 ){[ (q2 ) (H1* H2* V12* E)* (q2 ) dq2 ] * (q1 ) (q2 )V12* * (q2 ) * (q1 ) dq2 } 0
1
1
2
2
1
2
12
1
1
2
2
1
2
*
1
2
1
2
1
1
2
*
2
2
1
12
1
1
2
2
1
2
*
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
12
1
2
2
1
2
2
[ H 1 V ef 1 ( r1 )] 1 ( q1 ) 1 1 ( q1 )
(5.19a)
trong ®ã 1 E 02 , H 2 ( q 2 ) 02 ( q 2 )
2
2
(q1 ) *
Vef 1 (r1 ) *2 (q2 )V12 (r1 , r2 ) 2 (q2 ) dq2 2
2 (q2 )V12 (r1 , r2 ) 1 (q2 ) dq2
1 (q1 )
(5.20a)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation
only.
[ H 2 Vef ( r2 )] 2 ( q2 ) http://www.foxitsoftware.com
2 2 (q 2 )
(5.19b)
H 1 1 ( q1 ) 01 1 ( q1 )
;
2 E 01
(q2 ) *
1 (q1 )V12 (r1 , r2 ) 2 (q1 ) dq1
Vef (r2 ) *1 (q1 )V12 (r1 , r2 )1 (q1 ) dq1 1
2 (q2 )
j (qi ) *
'
*
Vefi (ri ) p (q j )Vij (ri , rj ) p (q j ) dq j '
(
q
)
V
(
r
p
j
ij
i , rj ) p (q j ) dq j
i (qi )
j
j
i
j
j
i
6- Ph¬ng ph¸p lîng tö ho¸ lÇn thø hai.
6.1- ý tëng cña ph¬ng ph¸p
(q1 , q 2 ,....., q N ) c p ( q1 ) p (q 2 )....... p (q N )
1
(5.20c)
(6.1)
N
2
(5.20b)
(q)
6.2- To¸n tö sinh h¹t, to¸n tö huû h¹t vµ to¸n tö sè h¹t cho hÖ h¹t boson:
aˆ i ....., N ...... N i ....., N 1......
i
aˆ i ....., N
aˆ i aˆi ..., N
i
....
N i aˆi ..., N
i
i
1....
N i 1 ....., N
......
N i N i ..., N
Nˆ i aˆ i aˆ i
Nˆ i ..., N .... N i ..., N
Ký hiÖu
chóng ta ®îc :
(6.2)
i
i
i
(6.3)
1......
i
N i ..., N
....
i
(6.4)
....
(6.5)
i
(6.6)
....
aˆ i aˆ k aˆ k aˆ i ik
Do ®ã :
(6.7)
aˆ i aˆ k aˆ k aˆ i 0 vµ aˆ i aˆ k aˆ k aˆi 0
6.3- To¸n tö sinh h¹t, to¸n tö huû h¹t vµ to¸n tö sè h¹t cho hÖ h¹t fermion:
Ni = 0 hoÆc 1 :
aˆ i ...., N 0,... 0 ; aˆ i ...., N 1,... ...., N 0,...
i
i
aˆ i ...., N i 1,...
i
aˆ i ...., N i 0,...
0 ;
(6.8)
...., N
i
1,...
aˆi ....,Ni ,... Ni ....,Ni 1,... ; aˆi ....,Ni 1,... 1 Ni ....,Ni ,...
(6.9)
aˆi ....,Ni ,... 1 Ni ....,Ni 1,... ; aˆi ...., Ni 1,... N i ...., N i ,...
(6.10)
Nˆ i ..., N
i
,...
aˆ i aˆi ..., N
i
,...
N i aˆ i ..., N
i
1,...
N i ..., N
Nˆ i aˆ i aˆ i
aˆ k aˆ i aˆ i aˆ k ik
a,b
2
,...
(6.11a)
(6.11b)
(6.12)
aˆ i aˆ k aˆ k aˆ i 0 vµ aˆ i aˆ k aˆ k aˆ i 0
6.4- Hamilton trong ph¬ng ph¸p lîng tö ho¸ lÇn thø hai
H H a Va , b Va ,b, c ........
a
i
(6.13)
(6.14)
a, b, c
a u ( ra )
2ma
H a i Ni
Ha
i
*
i i H a i i (q a ) H a i ( qa )dq a
H a i Nˆ i i aˆ i aˆ i
a
i
i
(6.15)
(6.16)
a
Vik i* (q a ) V (q a , qb ) k (q b )dq a dqb
(6.17)
(6.18)
(6.19)
Vik => VikNk => VikNkNi =>
Va , b
a, b
1
Vik N i N k
2 i, k
H
aˆ
i
i
aˆ i
i
H
) aˆ i aˆ k
(H
a i,k
i ,k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com
For evaluation only.
1
2
V
ik
Ni Nk
i,k
Va ,b
a ,b
1
1
Vik Nˆ i Nˆ k Vik aˆi aˆi aˆk aˆk
2 i ,k
2 i,k
1
Vik aˆ i aˆ i aˆ k aˆ k .....
2 i,k
1
(Va ,b ) ik ,m aˆ i aˆ aˆ k aˆ m
2 i ,k , ,m
(6.22)
(6.23a)
( H a ) i , k i , k i* (q a ) H a k (q a )dq a
Trong ®ã:
Vik ,m i* ( q a ) k* (q b ) V (q a , q b ) ( q a ) m ( qb )dq a dq b
ˆ (q a ) i (q a )aˆ i
(6.21)
(6.23b)
(6.23c)
(6.24a)
i
ˆ (q a ) i* (q a )aˆ i
(6.24b)
i
ˆ (q a )ˆ (qb ' ) ˆ (q a ' )ˆ (q b ) (q a qb ' ) ab
ˆ (q a )ˆ (q a ' ) ˆ (q a ' )ˆ (q a ) 0
ˆ (q a )ˆ (q a ' ) ˆ (q a ' )ˆ (q a ) 0
Fˆ (1) fˆ (q )
a
(6.25a)
(6.25b)
(6.25c)
(6.26)
a
Fˆ (1) ˆ (qa ) fˆ (qa )ˆ (qa )dqa
H ˆ (q a ) H aˆ (q a )dq a
1
ˆ (q a )ˆ (q b )V (q a , q b )ˆ (qb )ˆ (q a )dq a dqb
2
(6.27)
(6.28)
Chương 3: Hamiltonian và phương trình Shrodinger cho một số hệ nhiều hạt
7- Phương trình Shrodinger cho hệ các electron và các ion trong tinh thể
7.1- Phương trình Shrodinger
tổng quát cho hệ các electron và các ion
H (r , R) E (r , R)
ri
RJ V ( r , R )
2m
J 2M J
2
H
i
(7.1)
2
V (r , R ) V1 (r , R) V2 ( R)
V1 (r , R) Ve e (r ) Ve I (r , R)
V2 ( R) VI I ( R)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
7.2- Gần đúng đoạn nhiệt và các phương trình Shrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion
( r , R ) 1 ( r , R ) 2 ( R )
(7.7)
2
2
R V2 ( R)]1 (r , R) 2 ( R) E1 ( r , R ) 2 ( R )
[
ri V1 (r , R)] 1 (r , R) 2 ( R) [
J
J 2M J
i 2m
1
1
2
2
[
ri V1 (r , R )] 1 ( r , R)
R J V2 ( R )] 2 ( R ) E
1 (r , R) 0 ,
[
1 (r , R)
2 ( R) J 2 M J
X J
i 2m
2
ri V1 (r )] 1 (r ) 1 (r )
V
(
r
)
V
(
r
, R)
1
1
i 2m
2
[
R J V2 ( R) Vef ( R)] 2 ( R) W 2 ( R)
J 2M J
W E Ee
(7.13)
[
Với :
8- Trạng thái và năng lượng của electron trong mạng tinh thể
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2
i 2m ri V1ef (ri ) 1 (r ) 1 (r )
2
[
ri V1ef (ri )] ni (ri ) i ni (ri )
2m
( i ) ; V1ef (ri ) Vef e (ri ) Vi I (ri , RI ) Vi J (ri , R J )
(8.1a)
(8.1b)
(8.2)
i
Vi I (ri , RI )
Vi J (ri , R)
zI e2
4 0 ri R I
J I
zJ e2
4 0 ri RJ
8.1- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết mạnh
Nguyên tử cô lập
Tinh thể
f
ℓ=3
d
ℓ=2
ℓ=1
7N
5N
3p
p
3N
s
ℓ=0
4s
1N
a)
b)
Hình 8.1 : Các mức năng lượng của electron
a) trong nguyên tử cô lập
Hình 8.2 : Hiện tượng chồng miền
b) trong tinh thể
8.2- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết yếu
(
r
nj
i)
*
Vef e (ri ) ' nj* (rj )Vij (ri , rj )nj (rj ) drj '
(8.5)
nj (rj )Vij (ri , rj )ni (rj ) drj
j
j ni (ri )
k (r ) k (r ) exp (ik r )
k (r a ) k (r )
(8.6)
;
(8.7)
2
(8.1b)
[
r Vef e ( ri )] ni ( ri ) i ni ( ri )
2m i
Vi
Mô hình Kronig-Penney :
(8.8)
Vef e ( X J a) Vi ( X J )
V0
Vef e ( X J ) ( X J na )
b
n
c
x
lim (cV0 ) const
c 0
V0
O
a
Hình 8.3
Sơ đồ thế năng của mô hình Kronig-Penney
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
9- Dao động mạng tinh thể
9.1- Phương trình Shrodinger cho cácdao động
mạng tinh thể trong biểu diễn toạ độ
VJ ( R) V2 ( R) Vef ( R)
(9.1)
u n (u n, x , u n, y , u n, z ) = độ lệch của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng ở nút mạng thứ n
VJ ( R) VJ (u ) VJ (0) (VJ / u n, ) 0 u n,
n ,
2
(1 / 2)
( V
J
/ u n, u n', ) 0 u n, u n',
3
(1 / 6)
n, n ', ,
( V
J
/ u n, u n', u n'', ) 0 u n, u n', u n'', .....
n ,n ', n '', , ,
(V J / u n, ) 0 0
9.2- Phương trình Shrodinger cho các phonon
trong biểu diễn lượng tử hoá lần thứ hai
VJ ( R) An, n ' xn xn '
(9.4)
(9.5)
n ,n '
VJ ( R) An x n2
n
H ph pˆ /(2 M n ) M n n2 xˆ n2 / 2 H n
n
H n pˆ n2 /( 2 M n ) M n n2 xˆ n2 / 2n
Aˆ M / 2 xˆ i(1 / 2 M ) pˆ
trong đó
2
n
(9.6)
(9.7)
(9.8a)
(9.8b)
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.13)
(9.16)
Aˆ M / 2 xˆ i (1 / 2M ) pˆ
Aˆ Aˆ Aˆ Â
H H n ( / 2 ) Aˆ Aˆ
H E E E
; HAˆ E ( E )Â E
=> HAˆ E ( E )Â E
==>
Aˆ 0 0
Từ (9.13)
==>
1
E n ( n )
;
2
C n n ( Aˆ ) n 0
==>
Cn
E 0 / 2
2
n = 0 , 1, 2 , 3 ,.......
(9.22)
( Aˆ ) n 0 ( Aˆ ) n 0 0 Aˆ n ( Aˆ ) n 0
Aˆ n ( Aˆ ) n Aˆ n1n ( Aˆ ) n 1 Aˆ n 1 ( Aˆ ) n Aˆ
2
2
C n Aˆ n1 ( Aˆ ) n 1 n C
n! n C
0
n
(9.21)
0
2
C0 = 1 ; do đó C n n! n và
n 1
(9.23)
2
0
C n n! n
n
Cuối cùng :
Aˆ 0 0 =>
1 Aˆ
n
0
n!
[ M / 2 x (1 / 2 M )( / x ) ] 0 ( x ) 0
0 ( x ) C . exp[ m x / 2 ]
2
1/ 4
(9.24)
(9.25)
(9.26)
m
m 1 / 4
2
, do đó 0 ( x)
. exp[ m x 2 / 2 ] (9.27)
==>
C
(
x
)
dx
1
0
10- Hamiltonian cho hệ các spin
10.1- Trường hợp hệ các electron linh động
N N
M g B
(10.1)
V
N N N
(10.2)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation
(10.3a) only.
H H1 H 2
2
H1
ri
2
m
i 1
N
H2
V
1ef
(ri )
(10.3b)
(10.3c)
i
1 N nj (ri ) *
nj (rj )Vij (ri , rj )ni (rj ) drj
2 i, j 1 ni (ri )
H2
(10.3d)
i j
(10.4)
E H
p (q1 ) p (q2 ) ....... p (q N )
1
1
1
1 p2 (q1 ) p2 (q 2 ) ....... p2 (q N )
N! .......................................................
pN (q1 ) pN (q2 ) ....... pN (q N )
1
p j (q j ) kj (rj ). (s j )
exp(ik j rj ). (s j )
V
2
N
Ed H1 * (q1 , q2 ,...,q N ) ( r ) (q1 , q2 ,...,q N ) dq1 , dq2 ,...,dqN
2m
i 1
(q1 , q2 ,....., q N )
(10.5)
(10.6)
(10.7)
i
......dq
dr ......
i
(10.8a)
i
Si
dri dxi dy i dz i
N
Ed H1
j 1
2 k 2j
2m
V
dk .......
3
8
V 2
V 2
2
Ed
k
d
k
8m 3 ki k F
2m 2
2k 2
k k F 2m
2
N 2 1
k kF
(10.9)
dk dk x dk y dk z
.......
k
(10.8b)
kF
4
k dk
0
V 2 k F5
10m 2
(10.10)
kF
V
Vk F3
V
2
4
d
k
k
dk
0
4 3
4 3
3 2
(10.11)
V 2 k F5 3 2 N k F2 3
2 k F2
N
(
Trong
đó:
)
F
F
10m
5
2m
10m 2
k F
V
V k 3F
V
N 1 3 dk 3 4 k 2 dk
8
8
6 2
k k F
0
Ed
N
1
k k F
V k 3F
(10.14b)
6 2
N N N
Vk 3F
6
2
Vk 3F
6
2
Vk F3
3 2
Et H 2
H2
(10.14a)
1 N
exp
[
i
(
k
j ki )(r j ri )]Vij (ri , rj ) drj
2V i, j 1
k 3F
2
k 3F
2
k F3
(10.16)
(10.17)
i j
Vi , j (ri , r j )
e2
4 0 ri r j
(10.18)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
http://www.foxitsoftware.com
1
1 N
H2 exp[i(k j ki )r ]Vij (r ) dr V (k j ki )
2V i, j 1
2V i, j 1
N
i j
i j
V (k j k i )
Et H2
2
Et
e V
V 0 8 3
2
k kF k 'kF
(10.19)
2
e
0 k j ki
(10.20)
2
e2
1
2
V 0 k,k 'kF k k '
(10.21)
dk ' dk
e2 V
k
k
F
(
) dk
2
F
2
3
k
4
8
F
0
kkF
k k'
F ( x) 1
1 x2 1 x
ln
2x
1 x
Et N
(10.22)
(10.23)
3
k F a0 R y
2
(10.24)
4 0 2
me 4
a0
(10.25)
;
R
y
me 2
2 2 (4 0 ) 2
3
3
Et N
k F a0 R y N
k a0 R y
2
2 F
3
3
E d N (k F a 0 ) 2 R y N (k F a 0 ) 2 R y
5
5
3
3
3
3
(k a0 )]RY
(k F a 0 )]RY N [ (k F a 0 ) 2
E E d Et N [ (k F a 0 ) 2
5
2
5
2 F
3
3
(k F a0 )]RY
N N N / 2 , k F k F k F : E N E dN EtN N [ (k F a 0 ) 2
5
2
1/ 3
N N và N 0 , k F 2 k F ; k F 0 .
3
3 1/ 3
E M E dM EtM N [ .2 2 / 3 (k F a 0 ) 2
. 2 (k F a 0 )]RY
5
2
5
1
0,352125 (10.32) <==> Et Ed
E M E N <==> k F a 0
1/ 3
2 2 1
(10.26)
(10.27)
(10.28)
(10.29)
(10.30)
(10.31)
(10.33)
Ý nghĩa của điều kiện (10.32)
H
,k k F
k 2
e2
a k , a k ,
2m
2V 0
10.2- Mô hìmh Heisenberg
Hi
,k , k ' k F
1
2 a k , a k , a k ', a k ',
k k'
H (r1 , r2 ) E (r1 , r2 )
H H 1 H 2 V (r1 , r2 )
2 2
e2
1
e2
1
i
,
2m
4 0 ri R1 4 0 ri R2
(10.34)
(10.35)
(10.36a)
i 1, 2
e2
1
V (r1 , r2 )
4 0 r1 r2
(r1 , r2 , s1 , s 2 ) (r1 , r2 ) ( s1 , s2 )
a s1 , s2 , ; b s1 , s2 , ; c s1 , s2 , ; d s1 , s2 ,
S s1 s 2 , s1 s 2 (1 / 2)
(10.36b)
(10.36c)
(10.37)
(10.38)
(10.39)
C
(S , S z )
s1 s2 S
s1 z s 2 z S z
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
(10.40a)
s1 , s1z s 2 , s 2 z
s1 z s2 z S z
s1 s2 S
( Với C s1 z s2 z S là các hệ số Clebsch-Gordan, và s1z , s 2 z (1 / 2) ).
(0,0) (1 / 2)[ (1 / 2), (1 / 2), (1 / 2), (1 / 2), ]
(10.40b)
(1,0) (1 / 2)[ (1 / 2), (1 / 2), (1 / 2), (1 / 2), ]
(10.40c)
(1,1) (1 / 2), (1 / 2),
(10.40d)
(1,1) (1 / 2), (1 / 2),
(10.40e)
E s s (r1 , r2 ) H s (r1 , r2 )
Et a (r1 , r2 ) H a (r1 , r2 )
S 2 ( s1 s 2 ) 2 s12 s22 2 s1 s 2
H e spin [( E s 3Et ) / 4 ] J 12 s1 s 2
(10.41a)
(10.41b)
(10.42)
(10.43)
(10.44)
(10.45)
J 12 E s Et
H e spin J 12 s1 s 2
H spin J ij s i s j
(10.46)
i j
10.3- Mô hình Hubbard
H Hh H p
Hh
(10.47)
'
t
xy
aˆ y, aˆ x,
(10.48)
x, y,
H p U x Nˆ x , Nˆ x ,
(10.49)
x
Nˆ x , aˆ x, aˆ x ,
cˆ i , i , ( x) aˆ x ,
aˆ x cˆi
aˆ x , *i , ( x) cˆi ,
x
Hh
'
x, y,
t x y i , ( y ) cˆ
i ,
*
j ,
( x ) cˆ j ,
ij
cˆ
i
i ,
cˆ j ,
i , j ,
i, j
i j ' t x y i , ( y ) *j , ( x )
i , ( x) k , ( x) ~ exp (ikx)
x, y
i j ' t x yi , ( y) *j , ( x) ~ exp[i k ( x 1)].exp ( i k ' x) ~ exp[i (k k ') x ~ (k k ' ) i j
x, y
x
x
H h i cˆi, cˆi , i i i
(10.52)
cˆi cˆ cˆm cˆ j
(10.53)
i,
Hp
i ,m j
i , j , , m
i , m j U x *j ( x) m* ( x) ( x ) i ( x )
(10.54)
x
H i cˆi, cˆi ,
i,
i , m j
i , j , ,m
11- Phương trình Shrodinger cho cặp Cooper
11.1- Trạng thái liên kết hai electron trong lý thuyết BCS
Cặp Cooper
S S 0
H E
H H 0 V
cˆi cˆ cˆm cˆ j
1
2
p1; p2 0
(10.47b)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
p k
H 0 k k k
a
k k
( H 0 V E ) ak ' k ' 0
k ' k F
k
( k E ) ak
ak 'Vkk ' 0
Vk k ' k*V k ' dr
V 0 0 khi F k ; k ' F D
Vkk '
V0 tre^ n
, ngoa`i khoa ? ng
k a
k' 0
a k
( k E )0ak khi
V0
a
k'
( k E ) k 'kF k '
k ' k F
1
1
V0 k k F ( E k )
k ' kF
1
1
V0 k kF ( E k )
(11.11)
F
C
0
F + D
E
F , E > 0
Trạng thái liên kết
k
lk F C
E C F
1 / V0
(11.12)
1
1
V0 k kF ( k EC )
g ( ) g ( F )
1
g ( F )V0
ln
F D
EC D
1
d
g ( F )
g ( F ) ln F
( EC )
F EC
V0
F
1 F D g ( ) d
V0
( EC )
F
lk D
kTC lk
g ( F )V0
lk
lk F C
lk D exp( 1 / )
TC ( D / k ) exp(1 / )
11.2- Toán tử hai hạt và trạng thái chân không của hệ siêu dẫn
cˆ k aˆ k aˆ k ; cˆk aˆ k aˆ k
H
( k / 2) (aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k ) (1 / 2)
V aˆ aˆ aˆ aˆ
k k ' k k k ' k '
k
k ,k '
nˆk nk 0 0 ; nˆk nk 1 nk 1
nˆ k nˆk nˆk nˆ k
cˆk cˆk aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k aˆ k nˆ k nˆk nˆ k nˆ k
H
k cˆk cˆk (1 / 2)
V cˆ cˆ
kk ' k k '
k
k ,k '
(0) u (0) v cˆ (0) (u k vk cˆk ) k (0)
k
k
k k
2
k
k
k
2
k
u v 1
(0)
(u k vk cˆk ) k (0)
k
và : cˆk (0) 0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
cˆk (0) cˆk
[u k ' vk 'cˆk ' ] nk 0 aˆ k aˆk [uk ' http://www.foxitsoftware.com
vk ' aˆk ' aˆk ' ] nk 0
For evaluation only.
[u
k ' k
k ' k
k'
k'
k'
vk ' aˆk ' aˆ k ' ] nk 0 . .aˆ k aˆk [u k vk aˆ k aˆk ] n 0 [u k v k aˆ k aˆ k ] n 0
k
aˆ
aˆ u
k k k
nk 0 k k k
v aˆ
aˆ nk 0 u v aˆ
k
k k
aˆ nk 0 [aˆ aˆ
k k k k
n
0
k
]
uk vk aˆ k aˆ k [aˆ k aˆk nk 0 ] nk 0 u k v k aˆ k aˆk aˆk aˆ k nk 0 nk 0
u k vk aˆ k aˆ k aˆk aˆ k nk 0 nk 0
aˆ k aˆk vk aˆk aˆk k (0)v k aˆk aˆk k (0) ~ vk aˆk aˆ k k (0)aˆ k v k aˆ k aˆ k aˆk k (0) 0
Ph¬ng ph¸p hµm Green lîng tö
Chương 4:
ý tëng cña ph¬ng ph¸p
12- Ph¬ng ph¸p hµm Green lîng tö ë nhiÖt ®é T=0K
12.1- §Þnh nghÜa hàm Green lîng tö ë nhiÖt ®é T= 0K
G (x, x' ) i Tˆ[ˆ H (x)ˆ H (x' )]
(12.1a)
Tˆ[ˆ i (x)ˆ i ( x' )Sˆ()]
G (x, x' ) i
Sˆ()
(12.1b)
i lim G ( x, x ')dr aˆ i aˆ i N
t 't 0
r 'r
V× :
i
N n(r )dr => n( x) i lim G ( x, x ' )
(12.2)
t't 0
r ' r
FH(1) (t ) i [ lim f ( x )G ( x, x ' )]dr
(12.3)
t't 0
r ' r
,
12.2- Hàm Green cho hÖ h¹t fermion
iG ( x, x ' ) T [e i H t / ˆ S (q )e i H t / e i H t '/ ˆ S (q ' )e i H t '/ ]
T [e i E0 (t t ') / i (r ) k* (r ' ) aˆ i e i H ( t t ') / aˆ k ]
i
k
iG ( x, x ' ) T [e i E0 (t t ') / i (r ) i* (r ' )aˆ i e i H ( t t ') / aˆ i ]
i
4
G( x x' )
d p
i [ p ( r r ') t ]
G
(
p
,
)
e
(2 ) 4
ˆ H ( r , t )
i
aˆ p e
i
aˆ p e
1
V
e
i pr /
p ''
e
0 ( p '') aˆ p '' aˆ p '' t /
p ''
1
V
ˆ H (r , t )
e i H 0 t / aˆ p e i H 0 t /
p
0 ( p '') aˆ p ''aˆ p '' t /
e
i
i
; d 4 p dpd
0 ( p '') aˆ p ''aˆ p '' 0 ( p ) t /
p ''
0 ( p '') aˆ p '' aˆ p '' 0 ( p ) t /
p ''
aˆ p
aˆ p
e i[ p r 0 ( p ) t ] / aˆ p
p
ˆ H ( x )ˆ H ( x' ) , t t '
G ( x, x ' ) i Tˆ[ˆ H ( x )ˆ ( x' )] i
ˆ H ( x' )ˆ H ( x) , t ' t
( 0)
H
(12.4)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com
For evaluation only.
1 N p , t t '
i
i[ p ( r r ') 0 ( p ) ( t t ' )] /
e
V p
N p , t ' t
1 , p p 0
N p aˆ p aˆ p
0 , p p 0
i
1 N p , t 0
G ( 0 ) ( x ) e i [ p r 0 ( p ) t ] /
V p
N p , t 0
1 N p , t 0
i [ 0 ( p )/ ]t
(0)
(0)
i [( pr / ) t ]
G ( p , ) G ( x )e
dr dt i dt e
N p , t 0
G ( 0) ( x, x' )
i ( p p0 ) dt e
i [ 0 ( p ) / ] t
i ( p0 p ) dt e i [ 0 ( p ) / ]t ( Với: ( z ) 1 , z 0 )
0
0 , z 0
0
1
ds
F ( s)
F ( s)
ds i F (0)
0
0 s i
s i
s
0
0
( p p0 )
( p 0 p)
1
G ( 0 ) ( p, )
0 ( p ) i sign ( p p0 )
0 ( p ) i 0 ( p ) i
12.3- Hàm Green phonon
D ( x, x' ) i Tˆ[ˆH ( x )ˆH ( x ' )]
e
ist
dt lim e ist t dt i lim
k
ˆ
ˆ k (r , t )e i[ k r 0 ( k )t ] uˆ k (r , t )e i[ k r 0 ( k )t ]
u (r , t )
u
k k
[uˆ i (r , t ), uˆ j (r ' , t )] i (r r ' ) ij
bˆk 2 0 (k ) / uˆ k
bˆk 2 0 (k ) / uˆ k
ˆ 2
Kˆ [u (r , t )] dr
2
1
E H 2 Kˆ
2
kk '
ˆ bˆ e i[ kr 0 ( k )t ] e i[ k 'r 0 ( k ')t ] bˆ bˆ e i[kr 0 (k )t ] e i[ k 'r 0 ( k ')t ]
(
k
)
(
k
'
)
b
0
0
k k'
k k'
k ,k ' kk'
ˆ bˆ bˆ bˆ ] (k ) [ N (1 / 2)]
E ( / 2)
(
k
)
[
b
0
0
k
k
'
k
k
'
k
k
k
H
(
k
) [ Nˆ k (1 / 2)]
0
k
ˆH ( x )
1
V
k
i
D ( x)
2V
( 0)
0 (k ) / 2 bˆk e i[ k r 0 ( k ) t ] bˆk e i[ k r 0 ( k ) t ]
i[ k r 0 ( k ) t ]
i [ k r 0 ( k ) t ]
( t )e
0 (k ) (t )e
k
i [ 0 ( k )]t
e
, t0
i0 (k )
dt
D (0) (k , ) D (0) ( x ) e i[ k r t ] dr dt
ei [ 0 ( k )]t , t 0
2
i 0 (k )
i [ 0 ( k ) ] t
i [ 0 ( k ) ] t
dt e
dt e
2
0
0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For2 evaluation
only.
0 (k )
1
1
0 ( k )
(0)
D (k , )
2 0 (k ) i 0 (k ) i 2 02 (k ) i
12.4- §Þnh lý Wick
(H0 )* Tˆ [ Aˆ (q1 , t1 ) Bˆ (q2 , t 2 ) Cˆ (q3 , t3 ).... Xˆ (qm1 , t m1 )Yˆ (qm , t m )] (H0 )
ˆ (q n , t )ˆ (q n , t n ) ==> Tˆ[ˆ (q n , t )ˆ (q n , t n )]
Tˆ [ Aˆ (q1 , t1 ) Bˆ (q 2 , t 2 ) Cˆ (q3 , t 3 ) Dˆ (q 4 , t 4 )....Xˆ (q m 1 , t m 1 )Yˆ (q m , t m )]
Tˆ[ Aˆ ( q1 , t1 ) Bˆ ( q2 , t 2 )] Tˆ[Cˆ (q3 , t3 ) Dˆ ( q4 , t4 )] ...... T [ Xˆ ( qm 1 , tm 1 )Yˆ ( qm , tm )]
Tˆ[ Aˆ ( q , t )Cˆ ( q , t )] Tˆ[ Bˆ ( q , t ) Dˆ ( q , t )] ...... T [ Xˆ (q , t )Yˆ (q , t )] .....
1
1
3
3
2
2
4
m 1
4
m 1
m
m
Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x' ) Sˆ ()]
Sˆ ()
G ( x, x ' ) i
t1
Sˆ () 1 (i / ) Vˆ (t1 ) dt1 (1 / ) 2 Vˆ (t1 ) dt1 Vˆ (t 2 ) dt 2 ......
t1
t n 1
(i / ) n Vˆ (t1 ) dt1 Vˆ (t 2 ) dt 2 .... Vˆ (t n ) dt n .........
Vˆ (t ) g ˆ ( x )ˆ ( x )ˆ( x ) dr
g2
G (1) ( x, x' )
2 2
p0 m
( g / )
dx1 Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x' )ˆ ( x1 )ˆ ( x1 )ˆ( x1 )]
ˆ
S ( )
Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x' )] Tˆ[ˆ ( x1 )ˆ ( x1 )] [ ( x1 )] ...... [ ( x1 )] 0
G (1) ( x, x ' ) = 0.
DÔ dµng chøng tá r»ng tÊt c¶ c¸c bËc lÎ cña gia sè hµm Green G ( 2 n1) ( x, x' ) còng b»ng kh«ng.
[ ( x1 )] 0
G ( 2) ( x, x ' )
i( g / ) 2
dx1dx 2 Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x' )ˆ ( x1 )ˆ ( x1 )ˆ ( x1 )ˆ ( x 2 )ˆ ( x 2 )ˆ ( x 2 )]
ˆ
S ( )
Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x' )Sˆ ()] Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x ' ) Sˆ ()] k Sˆ ()
G ( x, x ' ) i Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x ' ) Sˆ ()] k
(12.1c)
=> Hµm Green G ( x, x ' ) cã thÓ biÓu thÞ qua c¸c hµm Green cña hÖ c¸c h¹t kh«ng t¬ng t¸c G ( 0) ( x, x ' ) .
13- Ph¬ng ph¸p hµm Green lîng tö ë nhiÖt ®é T 0K. Không học vì trong môn Phương pháp hàm
Green có một chương vê hàm Green nhiệt độ T 0K
14- Giản đồ Feynman.
14.1- Giản đồ Feynman trong trường hợp T=0K
14.1.1- Những quy tắc chủ yếu của kỹ thuật giản đồ
Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x' ) Sˆ ()]
G ( x, x ' ) i
Sˆ ()
1
Sˆ () Sˆ (,) 1 (i / ) Vˆ (t1 ) dt1 2
2
Vˆ (t1 ) dt1 Vˆ (t 2 ) dt 2 ......
n
( i )
n ! n
G ( x, x ')
Vˆ (t1 ) dt1 Vˆ (t 2 ) dt 2 .... Vˆ (t n ) dt n .....
n
i
( i )
n
Sˆ () n 0 n !
.... dt ....dt
1
t
n
T [ˆ ( x)ˆ ( x ') Vˆ (t1 ).....Vˆ (tn )]
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
http://www.foxitsoftware.com
1
VˆS ˆ (r1 )ˆ (r2 ) U S (r1 r2 )ˆ (r2 )ˆ ( r1 ) dr1 dr2
2
Ký hiệu:
( x1 x 2 ) U (r1 r2 ) (t1 t 2 )
1
4
4
Vˆ (t1 ) dt1 2 ˆ ( x1 )ˆ ( x2 ) ( x1 x2 )ˆ ( x2 )ˆ ( x1 ) d x1 d x 2
Khi : n=1.
1
G (1)
d 4 x1 d 4 x 2 T [ˆ ( x)ˆ ( x ' )ˆ ( x1 )ˆ ( x 2 )ˆ ( x2 )ˆ ( x1 )] ( x1 x 2 )
ˆ
2 S ( )
Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x ' )ˆ ( x1 )ˆ ( x 2 )ˆ ( x 2 )ˆ ( x1 )] Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x1 )] T [ˆ ( x2 )ˆ ( x2 )] T [ˆ ( x1 )ˆ ( x ')]
Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x )] T [ˆ ( x )ˆ ( x )] T [ˆ ( x )ˆ ( x' )]
1
2
1
2
Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x 2 )] T [ˆ ( x1 )ˆ ( x1 )] T [ˆ ( x 2 )ˆ ( x ' )]
Tˆ[ˆ ( x)ˆ ( x 2 )] T [ˆ ( x1 )ˆ ( x 2 )] T [ˆ ( x1 )ˆ ( x' )]
Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x ' )] T [ˆ ( x )ˆ ( x )] T [ˆ ( x )ˆ ( x )]
1
1
2
2
Tˆ[ˆ ( x )ˆ ( x ' )] T [ˆ ( x1 )ˆ ( x 2 )] T [ˆ ( x 2 )ˆ ( x1 )]
Thay G ( 0) :
(0)
i G(0) ( x, x1 ) G(0) ( x2 , x2 ) G(0) ( x1 , x ') i G( 0) ( x, x1 ) G(0) ( x1 , x 2 ) G(0) ( x 2 , x' ) i G
( x, x 2 ) G(0) ( x1 , x1 ) G( 0) ( x 2 , x ' )
( 0)
(0)
i G
( x, x 2 ) G( 0) ( x 2 , x1 ) G( 0) ( x1 , x' ) i G
( x, x' ) G(0) ( x1 , x1 ) G( 0) ( x 2 , x 2 )
( 0)
i G
( x, x' ) G(0 ) ( x 2 , x1 ) G(0 ) ( x1 , x 2 )
Giản đồ Feynman: G (1) phù hợp với 6 giản đồ trên hình 14.1
x2
x1
a)
x
a’)
b)
x’
x1
x
x2
x1
x’
b’)
x
x’
x2
x1 x2
c)
x
x1
x2
d)
x
x
x’
x1
x2
x’
Hình 14.1
Giản đồ liên kết:
x
x’
x
a)
x’
b)
Hình 14.2
n
( i)
T [ˆ ( x)ˆ ( x ') Sˆ ()]
n
n 0 n !
n
.... dt1....dt n T [ˆ ( x)ˆ ( x' )Vˆ (t1 ).....Vˆ (t n )]
( i)
A( n, m) .... dt1 ....dt m T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] k .
n
n 0 m 0 n !
n
x’
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
. .... dt m 1 ....dt n T [ Vˆ (t m 1 ).....Vˆ (t n )]
n!
A(n, m)
.
m ! (n m) !
n
(i) m
ˆ
T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) S ()]
m
n 0 m 0 m !
.... dt ....dt
1
m
T [ˆ ( x)ˆ ( x ' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] k .
(i ) n m
.
....
dt m1 ....dt n T [ Vˆ (t m1 ).....Vˆ (t n )]
n m
( n m) !
(i ) m
m
m 0 m !
.... dt1....dt m T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] k .
( i ) k
.
k
k 0 k !
...... dt
m 1
....dt m k T [ Vˆ (t m 1 ).....Vˆ (t m k )]
...... dt m1 ....dt m k T [ Vˆ (t m1 ).....Vˆ (t mk )]
Vì
(i)
k
k
...... dt1 ....dt k T [ Vˆ (t1 ).....Vˆ (t k )]
k ! ...... dt
k 0
m 1
....dt m k T [ Vˆ (t m 1 ).....Vˆ (t m k )] Sˆ ()
(14.8a)
(i) m
.... dt1....dtm T[ˆ ( x)ˆ ( x' )Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] k T[ˆ ( x)ˆ ( x' )Sˆ ()] k
m
m0 m!
T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) Sˆ ()] T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) Sˆ ()] Sˆ ()
(14.7)
k
G ( x, x' ) i T [ˆ ( x)ˆ ( x' ) Sˆ ()] k
14.1.2- Kỹ thuật giản đồ trong không gian tọa độ.
Xét Tương tác hai hạt:
b)
a)
(14.9)
(14.10)
d)
c)
i)
h)
e)
(14.8b)
)
k)
g)
Hình14.3
a)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
d4x1d4x2d4x3d4x4G
(
x
x
)
G
(
x
x
)
G
(
x
x
'
)
G
(
0
)
G
(0)V(x1 x3)V(x2 x4 )
1
1
2
2
1
1 2
2
3 3
44
b)
(0)
d4x1d4x2d4 x3d4x4G
(x x1)G(10)2 (x1 x2 )G(30)3 (x2 x3 )G(04)4 (x2 x4 )G(40) (x4 x')V(x1 x2 )V(x3 x4 )
1
c)
d x d x d x d x G (x x )G (x x )G (x
4
4
1
4
2
4
3
(0)
4
1
(0)
1
1 2
(0)
1
2
3 3
2
x3 )G(03) (x3 x' )G(04)4 (0)V(x1 x4 )V(x2 x3 )
4
4
4
4
( 0)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
(0) http://www.foxitsoftware.com
(0)
( 0)For evaluation only.
(0)
d x d x d x d x G (x x )G (x x )G (x x )G (x x' )G (0)V(x x )V(x x )
đ) d x d x d x d x G (x x )G (x x' )G (x x )G (x x )G (x x )V (x x )V (x x )
e) d x d x d x d x G (x x )G (x x' )G (x x )G (x x )G (0)V (x x )V (x x )
g) d x d x d x d x G ( x x )G ( x x )G (x x )G (x x' )G (0)V (x x )V ( x x )
d)
1
4
2
4
1
3
4
2
4
4
4
4
4
4
1
4
4
4
3
3 3
2 3
(0)
(0)
1
2
2
(0)
1
1
4
1
1
1
(0)
3
2
1 2
(0)
1
1
4
2
1
1
(0)
3
4
1
4
1
1 2
3
3 4
2 3
2
3
3
4
3
3 3
3
2
3
4
3
4
(0)
4 2
3 2
4
2
1
2
(0)
3
2
(0)
2
1
4 4
(0)
2
(0)
1
3
(0)
2
(0)
1
(0)
1
3
3
4 4
1
2
3
1
3
2
4
(0)
3
4 4
4
4
4
4
4
(0)
( 0)
(0)
(0)
(0)
h) d x1d x2 d x3 d x4G1 (x x1 )G1 2 (x1 x2 )G 3 3 (x2 x3 )G 4 4 (x3 x4 )G 4 (x4 x' )V (x1 x4 )V (x2 x3 )
i)
(0)
d4 x1d4 x2d4 x3d4 x4G
(x x1)G(10)2 (x1 x2 )G(30)3 (x2 x3 )G(04)4 (x3 x4 )G(04) (x4 x' )V(x1 x3 )V(x2 x4 )
1
4
4
4
4
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
k) d x1d x2d x3d x4G1 (x x1)G1 2 (x1 x2 )G 2 (x2 x')G3 4 (x3 x4 )G 43 (x4 x3 )V(x1 x3 )V(x2 x4 )
ˆ (t ) dt 1 ˆ ( x )ˆ ( x ) ( x x )ˆ ( x )ˆ ( x ) dx dx
V
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1
....ˆ 1 ( x1 )ˆ 2 ( x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x3 ) ( x2 x4 ) 1 3 2 4ˆ 4 ( x4 )ˆ 3 ( x3 ) dx1dx2 dx3 dx4
2
1
....ˆ 1 (x1 )ˆ 2 (x2 ) (x1 x2 ) (x1 x4 ) (x2 x3 )1 4 2 3 ˆ 4 (x4 )ˆ 3 (x3 )dx1dx2dx3dx4
2
1
....ˆ 1 ( x1 )ˆ 2 ( x 2 ) (10)2 3 4 ( x1 x 2 , x 3 x 4 )ˆ 4 ( x 4 )ˆ 3 ( x 3 ) dx1 dx 2 dx 3 dx 4
4
(10)3
2 4
G(1)
(x1 x2 , x3 x4 ) (x1 x2 )[ (x1 x3 ) (x2 x4 )13 2 4 (x1 x4 ) (x2 x3 )1 4 2 3 ]
1
... d 4 x1....d 4 x4(10)2 34 (x1 x2 , x3 x4 ) T[ˆ (x)ˆ (x' )ˆ1 (x1)ˆ2 (x2 ) ˆ 4 (x4 )ˆ3 (x3 )]
4
i... d 4 x1....d 4 x4 (10)2 3 4 (x1 x2 , x3 x4 )G(0) (x x1 )G(0) (x3 x2 )G(0) (x4 x' )
(10)3
2 4
( x1 x2 , x3 x4 ) = một hình vuông
Hình 14.4
a)
(14.13) = giản đồ 14.4.
các giản đồ 14.3 a , b , c , d ==> 14.5 a ;
các giản đồ 14.3 đ , e , g , h ==> 14.5 b ;
các giản đồ 14.3 i , k ==> 14.5 c.
c)
b)
Hình14.5
a)
... d 4 x1....d 4 x8 (10)2 3 4 (x1 x2 , x3 x4 )(50)6 78 (x5 x6 , x7 x8 ).
.G(0) (x x1 )G(0) (x3 x5 )G(0) (x7 x' )G(0) (x4 x2 )G(0) (x8 x6 )
b)
... d 4 x1 ....d 4 x8 (10)2 3 4 ( x1 x 2 , x3 x 4 )(50)6 7 8 ( x5 x6 , x 7 x8 ).
.G(0) ( x x1 )G(0) ( x3 x' )G(0) ( x4 x5 )G(0) ( x7 x2 )G(0) ( x8 x6 )
- Xem thêm -