Tài liệu Luyện thi vào lớp 10 chuyên đề rút gọn tính toán

CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN LUYỆN THI CHUYÊN 1 √3 √ 2 √3 1 1 a)  √ √3 2 1− 1− 2 Câu 1. Rút gọn P= Câu 2. Thực hiện phép tính: A 1− √3 2 √ 5 √ 17−√ 5−√ 17−√ 10−4 √ 2 4 √ 3 √ 5−√ 3− √ 5 2− √ 2 2 √ 3 2−√ 3  √ 2 √ 2 √ 3 √ 2−√ 2− √ 3 b) B= 20082 2008 B  1 2008   20092 2009 2 c) Tính giá trị Câu 3. Rút gọn biểu thức : P= 1 1 1 1    . ..  1  √ 5 √ 5 √ 9 √ 9  √ 13 √ 2001  √ 2005 Câu 4. Tính giá trị của tổng √ 1 √ √ 1 1 1 1 1 1  2 .  1 2  2 . .  1 2  2 2 1 2 2 3 99 100 A= Câu 5. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :   x √1 x  y √ 1 y 2 2  1 . Chứng minh x+y=0 a Câu 6. (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho √ 1 1 √2 √ 2 − 2 8 8 4 a  √ 2 a−√ 20 2 1.Chứng minh rằng 2. Tính giá trị của biểu thức S a 2  √ a 4 a1 Câu 7. (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1   ....... 4 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 √ 79 √ 80 Câu 8. Tính giá trị biểu thức:  3 2 A 3 x  8 x  2  x 2006 với  √3  17 √ 5 −38 xy≠√ 2 Câu 9. (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y P  3 3 2 √ 2 xy 3 x y −√ 4 2 2  √ 5 2 √ 5 √ 14−6 √ 5 xy−√ 2 3 2 xy 2 √ 2  2 xy . 3 − và  xy≠−√ 2 . Chứng xy 3 xy  √ 2 xy−√ 2 Câu 10. (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a  b.Chứng minh rằng 3  a−b  −b √ b 2 a √ a  √ a √ b3 3 a 3 √ ab  0 b−a a √ a−b √ b √ 3 A a3  a  Câu 11. Rút gọn biểu thức: √ √ √ 1 1 3 1 1 27 a 4  6 a 2   a 3  a− 27 a4 6 a2  3 3 3 3 A Câu 12. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: 1 3 3 1 3 √ 2−2 √ 4 √ 4√ 5√35√ 48−10√ 74 √3 Câu 13. Tính A = Câu 14. Có số y nào biểu thị trong dạng sau không? y  5  13  5  13  5  ...   Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức  P  1 √x x 1 : 1 2√x − −1 √ x−1 x √ x  √ x−x−1 a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P b/Tìm các giá trị x nguyên để Q P− √ x nguyên . . Câu 16. (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức :   2 P  1  √ 1− x 1−√ 1− x  1− x  √ 1− x 1 x −√ 1  x a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P P≤ .  x 2 −1 2 1 √2 2 b) Tìm x để Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức   √ x−√ y √ x √ y √ x3 y 2 y P  . − x  y x− y x √ y  y √ x x √ y− y √ x Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,x    y Câu 18. ( Chuyên ngữ 2008). Cho biểu thức    √ x2 √ x 2−4 8−x 3 2√x A : 2  √ x 3 .3 3 3 2 √ x 2 √ x √ x−2 √ x 2 2 √3 x 3 Câu 19 (Chuyên ngữ 2011). Cho biểu thức A 3 3  ( x≠8; x≠−8; x≠0  1 1 2 1 1 √ x3  y √ x  x √ y √ y3    . : √ x √ y √ x √ y x y √ xy3  √ x3 y a) Rút gọn A xy  1 ; A5 36 b) Tìm x ; y biết Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1). Cho biểu thức :   √ a−b a−b a 2 b 2 P  2 2 . 2 2 √ ab √ a−b √ a −b −ab √ a −b a) Rút gọn biểu thức P b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P √ x 2 2006 y √ y2  20062006 Câu 21. Cho biểu thức (x + Hãy tính tổng: S = x + y M Câu 22. Cho  3 2  2008   3 2  2008 với a>b>0 a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. Câu 23. (HSG Bắc Giang 2013) 1) Tính giá trị của biểu thức A  3 26  15 3  3 26  15 3 .  a2 2  a2 a  7   3 a  2 1 1  P     .   :   3 a  2     3  a  2 11  a   a  3 a  2  2 2) Rút gọn biểu thức Câu 24. (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức a 2 −3a− a−1 √ a 2 −42 a2 3a− a1 √ a2 −42 . √ . a 2 1−a  a−2 1a Câu 25. (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức P √ x 1 1 ;Q x 4 −7 x 2 15 2 x √ x  x  √ x x −√ x : ( Với x>0, x  1) a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất Câu 26. (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức   ab ab b a √  √ a−√ b 2 P : −  − 2 √ a √ b a−b b− √ ab a− √ ab a) Rút gọn P b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1 Với a=0;b>0 và a khác b Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : b  c, a  b  c , a  b  ( a  b  c )2 Chứng minh đẳng thức: a  ( a  c )2 a c  b  ( b  c )2 b c Câu 28. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức: A √ 20a92 √ a 4 16a2 64 B=a4+20a3+102a2+40a+200 a)Rút gọn A b)Tìm a để A+B=0 Câu 29. (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức:  P   √x √ x−1 2x 2  : − 3 √ x 9−x x−3 √ x √ x a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. P − 4 3 b) Tìm giá trị x để Câu 30. (Chuyên ĐH SP 2013 V1). Cho biểu thức Q  a−b √ a  √b  3  2 a √ a  b√ b  3 a  3 b √ ab 2 √ ab−a a √ b−b √ a với a>0 ; b>0 a Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN 1 √ √3 √ √ 1 1− √3 2 √3 2   √ √ 4  2 √3  4 4−2 √ 3  4 √ √ 1− 2 1 1 Câu 1. Rút gọn P= LUYỆN THI CHUYÊN √3  2 2  2 1− √ 3 4 √ 2 1− 1− 2  √ 3 1 Câu 2. Thực hiện phép tính:  √3   1 √ 3 2 √ 3−1 2 √3 2  b. A b) √ 5 √ 17−√ 5−√ 17−√ 10−4 √ 2 4 √ 3 √ 5−√ 3− √ 5 2− √ 2 2 √ 3 2−√ 3  √ 2 √ 2 √ 3 √ 2−√ 2− √ 3 b) B= 20082 2008 B  1 2008   20092 2009 2 c) Tính giá trị a)Tính: √5 √17−√5−√17−√10−4√ 2 √ 5 √17−√5−√17√ 10−4 √ 2    √ 5 √ 17− √ 5− √ 17  −  10−4 √ 2 0  2 Mặt khác ta luôn có: Vậy: √ 5 √ 17−√ 5−√ 17 √ 10−4 √20 √ 5 √ 17−√ 5−√ 17−√ 10−4 √ 20 Tương tự chứng minh √ 3 √ 5−√ 3− √ 5− √ 20 4 A 2 2 2 √ 3 2−√ 3  √ 2 √ 2 √ 3 √ 2−√ 2− √ 3 b) B= 2  √ 3 - Biến đổi - Tương tự Vậy B= Vậy B= 4 2 √ 3  √ 3 1 2  2 2  √ 3−1 2−√ 3== 2 2  √ 31  2  √ 3−1 2 √ 31  √ 3−1   √ 2 2 √ 2 √ 6 √ 2 2 √ 2− √ 6  √ 2 √6 √2 20082 2008 B  1 2008   20092 2009 2 c) Tính giá trị 20082 2008 B  1 2008   20092 2009 2 Biểu thức 2 2008 2008 B  1 2008    20092 2009 2 Ta có :   2009  2009 2 có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm). 20082 2008   1 2008  2.1.2008 20092 2009 2 2  2.2009. 2008 20082 2008 2008  2008      2009   2 2009 2009 2009 2009  2009  . 2008 2008 2008 2008   2009   2009 2009 2009 2009 2009 . Câu 3. Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1    . .. 1  √ 5 √ 5 √ 9 √ 9  √ 13 √ 2001  √ 2005 P= 1 1 1 1   . ..  √ 5 1 √ 9 √ 5 √ 13  √ 9 √ 2005  √ 2001 P= = √ 5−1 √ 9− √ 5 √ 13−√ 9   ...  √ 5−1 √ 51  √ 9−√ 5 √ 9 √ 5  √ 13− √ 9 √ 13 √ 9 √ 2005− √ 2001 ...   √ 2005−√ 2001 √ 2005 √ 2001 √ 5−1 = 4  √ 9−√ 5 4  √ 13− √ 9 4 . . . √ 2005− √ 2001 √ 2005−1  4 √ 2005−1 4 Vậy P = Câu 4. Tính giá trị của tổng B= √ 1 Xét A = √ √ 1 1 1 2  a a1 2 a>0 2 2 2 2 1 1 a  a1  a1 a A 1 2   2 a  a1 a 2  a12 2 ta có √ 1 1 1 1 1 1  2 .  1 2  2 . . 1 2  2 2 1 2 2 3 99 100 4 . 4 = 2 2 2 2 a 2a  a1  a1  a a1  2 a 2  a12 a  a1 2 Vì a > 0, A > 0 nên A = a 2 a1 1 1 1 − a a1 a a1 Áp dụng ta có √ B= 1 √ √ 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  .. ..... ...  1  2  2 2 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1  1 −  1 − .............1 − 100− 99,99 1 2 2 3 99 100 100 = Câu 5. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :   x √1 x  y √ 1 y 2 Ta có : 2  1 . Chứng minh x+y=0 2  x √1  x2  x −√ 1  x    y √ 1 y2 x −√ 1  x 2 2 x−√ 1  x    − y √ 1 y2            1  2 x  √ 1  x   2  y −√ 1  y   −        2   Tương tự Cộng (1) và (2) Ta có   −y−√ 1 y 2 −x−√ 1 x 2  x− √ 1 x 2  y−√ 1 y 2 −y−x x  y x  y0 a Câu 6. (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho √ 1 1 √2 √ 2 − 2 8 8 4 a  √ 2 a−√ 20 2 1.Chứng minh rằng S a 2  √ a 4 a1 2. Tính giá trị của biểu thức √   2 a 1 2 √ a2  1 √2 √2 1 √ 2 − a   8 8 a√ 2 1 1   . 4 32 4 2.Theo phần 1  8 √2   2 1 8 √ 1 8  √2   a  a 2  √2 8  1 2 √2 1 8  2 2 √a 1 √2 1    4 a2  √ 2 a−√ 20 4 32 4 32 4 a2  √ 2 a−√ 20 a2  √ 2  1−a  4 a 4  a2 −2 a  1 8  2  2 a −2 a  1 a 3 a  a  1  a  1 8 2√ 2 4 Câu 7. (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1   ....... 4 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 √ 79 √ 80 A 1  1  1 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 2 A 2 A 2  2  ....... 2 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 1  1  1 1 √ 79 √ 80 ....... ....... 1 2 √ 79 √ 80  1 √ 1 √ 2 √ 2 √ 3 √ 3 √ 4 √ 79 √ 80 √ 80 √ 81 √ 2− √ 1 √ 3−√ 2 √ 4−√ 3 √ 81−√ 80 2 A   .....  √ 2 √ 1 √ 2−√ 1  √ 3 √ 2 √ 3−√ 2  √ 4 √ 3 √ 4−√ 3  √ 81 √ 80 √ 81−√ 80 2 A √ 2− √ 1 √ 3−√ 2 √ 4−√ 3........ √ 81− √ 80 √ 81−18 A4đpcm  Câu 8. Tính giá trị biểu thức:  3 2 A 3 x  8 x  2 3 Rút gọn  x 2006 với  √3  17 √ 5 −38 √ 5 √ 14−6 √ 5 √ 5 2  17 5  38  5  2, 14  6 5  3  5 x Khi đó : 52 1 ( 5  2)  3 5 3 5 3 x 3  8 x 2  2  3. Nên : 1 1  8.  2  3 27 9  A  32006 xy≠√ 2 Câu 9. (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn và minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y 3 3 2 √ 2 xy xy−√ 2 2 xy xy P  . − 3 3 3 3 x 2 y 2 −√ 4 2 xy 2 √ 2 xy  √ 2 xy−√ 2  Hướng dẫn  xy≠−√ 2 . Chứng P P P   3 3 2 √ 2 xy 3  xy−√ 2 3 x y − √ 4 2 xy 2 √ 2 2 2 3   . 2 xy − 3 xy 3 xy  √ 2 xy−√ 2 3 2 √ 2 xy 3 3  xy−√ 2 3  xy  √ 2  xy−√ 2 2 xy  √ 2 3 3 . 2 xy 3 − xy 3 xy √ 2 xy− √ 2 3 3 4 √ 2 xy x y −2 √ 2 xy  √ 4 2 xy xy  xy  √ 2 xy xy . −  . − 3 0 3 3 3 3 3 3 3 2 xy  √ 2 xy−√ 2 xy  √ 2 xy−√ 2  xy  √ 2 xy− √ 2 xy  √ 2 xy−√ 2 2 2 2  Câu 10. (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a b.Chứng minh rằng 3  a−b  −b √ b  2 a √ a  √ a−√ b  3 3 a  3 √ ab  0 b−a a √ a−b √ b  a−b 3 −b √ b  2 a √ a  √ a−√ b  3 3 a  3 √ ab Q  b−a a √ a−b √ b 3      √ a−√ b  √a  √ b  3 −b √ b  2 a √ a  √ a−√ b  3 3 √a √a √ b Q − √ a−√ b a  √ ab  b √ a−√ b √ a  √ b a √ a  3 a √ b  3 b √ a  b √ b−b √ b  2 a √ a 3 √ a Q − √ a−√ b a  √ ab  b √ a−√ b 3 a √ a 3 a √ b  3 b √ a−3 a √ a−3 a √ b−3 b √ a Q 0  ĐPCM  √ a−√ b a  √ ab  b        √ 3 √ 3 u a3  a  C1: Đặt u3 + v3 = 2a3 + 2a; √ 1 1 27 a 4  6 a2  ; 3 3 u.v = a2 1 3   1 3 .    A a3  a  Câu 11. Rút gọn biểu thức:  √ √ √ 1 1 3 1 1 27 a 4  6 a 2   a 3  a− 27 a4 6 a2  3 3 3 3 v  √ 3 a 3  a− √ 1 1 27 a 4  6 a 2  3 3 . A= u + v ; Mà A3 = (u + v)3  A3 = u3 + v3 + 3u.v( u+v )  A3 = 2a3 + 2a + 3(a2 )A  A3 – (3a2 - 1)A – 2a3 – 2a = 0  (A – 2a)(A2 + 2a.A + a2 + 1) = 0 Do: A2 + 2a.A + a2 + 1 = (A + a)2 + 1 > 0 nên A = 2a C2: phân tích các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức. A 1 3 3 1 3 √ 2−2 √ 4 Câu 12. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: . 3 3 3 2 2 2 Áp dụng hằng đẳng thức: a + b + c – 3abc = (a + b + c)(a +b +c – ab – bc – ca). Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi đó nhân tử số và mẫu số của A với (a2+b2+c2 – ab – bc – ca), ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1  3 √ 2 −2 √ 4 −1.3 √ 2−3 √ 2−2 √ 4−−2 √ 4.1 1311 √ 45 √ 2 A  3 3 3 3 59 13  3 √ 2 3− 2 √ 43 −3.1.3 √ 2.−2 √ 4 Câu 13. Tính A = Ta có A = = = = √ 4√ 5√35√ 48−10√ 74 √3 √ 4√ 5√35√ 48−10√ 4 4√ 33 √ 4 √ 5√35√ 48−102√ 3 √ 4√ 5√355−√3 √ 93 Vậy A = 3 Câu 14. Có số y nào biểu thị trong dạng sau không? y  5  13  5  13  5  ... 5 Dễ thấy y> Bình phương 2 vế ta có: y 2  5  13  5  13  5  ...  ( y 2  5) 2  13  5  13  5  ... ----------------------------  ( y  5)  13  y 2 2  y 4  10 y 2  y  12  0  ( y  3)( y 3  3 y 2  y  4)  0 ------------------------------------ ( y  3)  ( y  3)( y  1)( y  1)  1  0 (*)---------------------------- ( y  3)( y  1)( y  1)  1 5 Vì y > nên  y 30  y 3  >0  Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức  P  1 √x x 1 : 1 2√x − −1 √ x−1 x √ x  √ x−x−1 a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P b/Tìm các giá trị x nguyên để *P có nghĩa khi x0;x1;Rút gọn P: P   Q P− √ x nguyên     x  √ x 1 1 2√ x : − −1 x 1 √ x−1  x 1 √ x−1 x  √ x 1 x 1−2 √ x x √ x 1  √ x−1 2 P : −1 : −1 x 1 x1  x1 √ x−1  x1 √ x−1 x  √ x1 √ x−1 x √ x 1 x 1 x 2 P : −1 . −1 x 1  x1 x1 √ x−1 √ x−1 b/Tìm các giá trị x nguyên để Q Q P− √ x nguyên x 2 x  2−x  √ x √ x 2 √ x−13 3 −√ x   1 √ x−1 √ x−1 √ x−1 √ x −1 √ x−1 x 1 Q Z khi Ư(3)= 1;3  x    0;4 ;16 thì Q Z Câu 16. (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức   2 P  1  √ 1− x 1−√ 1− x  1− x  √ 1− x 1 x −√ 1  x .  x 2 −1 2 1 a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P √2 P≤ 2 b) Tìm x để Giải 1) P có nghĩa khi 1 − x≥ 0 1  x ≥0 1 − x  √ 1− x ≠ 0 1  x −√ 1  x ≠ 0   x ≤1 x ≥−1 x ≠0, x ≠1 x≠ 0, x ≠−1  − 1  x  0, va : 0  x  1           Thì P có nghĩa Rút gọn P   1 √ 1−x 1−√ 1−x P  √ 1−x √ 1−x 1 √ 1 x  √ 1 x−1 P P  2 1 − 1 . 2    1 x 1−x  1 −2 √ 1−x √ 1 x  √ 1 x− √ 1−x  2 1−x  1 x   x 2 −1 . 1 2 . 1 1−x 1 x −2 1 x 1−x−2 √  1 x  1−x  P 1 −2 2−√ 1−x 2−2 P √ 1−x 2 −2 Vậy với -10,x Giải Rút gọn P  y       √ x−√ y √ x √ y √ x3 y 2 y P  . − x √ y y √ x x √ y−y √ x x  y x−y √ x−√ y √ x √ y x √ xy 2 y P  . − √ xy . √ x √ y  √ xy . √ x−√ y  x y x− y x−2 √ xy y x 2 √ xy  y x √ xy 2 y P  . − √ xy . x−y  √ xy . x−y  x  y x−y P 2 x y  x 2y . − 2 x− y x  y x−y        Câu 18. ( Chuyên ngữ 2008). Cho biểu thức 3 √3 x 2 √3 x 2−4 8−x 3 2√x A : 2  √ x 3 .3 3 3 2 √ x 2 √ x √ x−2 √ x 2 2 √3 x   ( x≠8; x≠−8; x≠0 Chứng minh A không phụ thuộc biến số  2−√ x  42 √ x  √ x 2  3 A 3 3 3 2√ x 42 √ x  √ x 2 3 3 : 3 2 √ x √3 x 2−2 √3 x2 √3 x  √3 x−2 √3 x 2  3 .3 3 √ x−2 √ x  √ x2  2−√ x  42 √ x  √ x 2  2  √ x √ x 2−2 √ x2 √ x .  √ x−2 √ x 2  A 3 .  3 3 √3 x−2 √3 x √3 x 2 2√ x 4  2 √ x √ x 2 3 3 A2−√ x  √ x2x 3 3 3 3 3  3 3 3 3 Câu 19 (Chuyên ngữ 2011). Cho biểu thức A   1 1 2 1 1 √ x3  y √ x  x √ y √ y3    . : √ x √ y √ x √ y x y √ xy 3  √ x3 y a)Rút gọn A xy  b) Tìm x ; y biết 1) A A  1 ; A5 36 √ x  √ y xy 2  .    √ x; √ y  √ xy  x y √ x √ y  √ x √ y  x y √ xy   A5 √ x  √ y 5 √ xy √ x  √ y  2)  √ x √ y 2 x y  √ x √ y  x−√ xy y  √ xy √ x  √ y  .  . : √ xy √ x  √ y xy √ xy  x  y 5 6 √ xy theo GT 1 6 theo Viet đảo là nghiệm dương của phương trình bậc 2 1 1 5 1 Δ 1 t 1  ; t 2  t 2 − t  0 6t 2 −5t 1 0 2 3 6 6  x ; y      1 1 1 1 ; ; ; 4 3 3 4 vậy Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1). Cho biểu thức :   √ a−b a−b a 2 b 2 P  . √ ab √ a−b √ a 2−b2−ab √ a2 −b 2 a) Rút gọn biểu thức P b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P  √ a−b √ a−b a 2 b 2  . √ ab  √ a−b √ a b−√ a−b √ a 2 −b2 √ a−b  √ a b−√ a−b  √ a−b  √ a b  √ a−b a2  b2 a P  P  với a>b>0  ab−a b 2 √ a 2 −b2 a 2 b 2 a 2 b 2 P . 2 2 2b √ a −b b b)Thay a=b+1 ta có  √ . a 2−b 2   b1 2 b2 2 b2 2 b1 1 P   2b  2≥2 √ 22 b b b Min  P   2 √ 2  2  1 √ 2 a √2 1 b √2     Câu 21. Cho biểu thức (x + Hãy tính tổng: S = x + y Ta có: ( √ x 2 2006 y √ y2  20062006 x− √ x 2 2006 y−√ y 2 2006 x √ x 2 2006 y √ y 2 2006 2006 x−√ x 2  2006 y−√ y 2 2006 Vậy <=> 2006 x−√ x 2  2006 y−√ y 2 2006  x √ x 2 2006 y √ y 2 2006 x− √ x 2 2006 y−√ y 2 2006 x √ y 2 2006−y √ x 2 2006 Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0 (*) √ x 2  2006 x − 0 √ y 2  2006 y Nếu x  0 => y  0 từ (*) => 2 => xy < 0 2 x  2006 x  y 2  2006 y 2 Vậy => 2006x2 = 2006y2 => => (x-y)(x+y) = 0 => S = x + y = 0 mà xy < 0 => x - y  0 M  3 2  2008   3 2  x2 = y2 2008 Câu 22. Cho a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên.  M  52 6 Biến đổi Đặt a  52 6 Un  a  b n Đặt Ta có U n2  a ; 1004   52 6  1004 . b  5  2 6  a  b  10 n với n2  b n N n 2 Ta thấy U0 = 2   a.a n 1  b.b n 1   10  b  a n 1   10  a  b n 1 (*). Z ; U1 = a + b = 10  (vì ab = 1). Z. U 2  a  b   a  b   2ab  10 2  2.1  98  Z 2 Theo công thức (*) thì Lại theo (*) . . Khi đó M = U1004  10  a n 1  b n 1   ab  a n  b n   10U n 1  U n  U n  2  10U n 1  U n và a.b  1 2 U 3  10U 2  U1 U 4  10U 3  U 2 2 mà U1, U2  Z suy ra U3  Z . . cũng có giá trị nguyên. Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên. a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm) Từ (*) suy ra  N* . U n  2  U n  10U n 1 M 10  U n4  Un   U n4  Un 2    U n2  U n  M 10   U n 4  U n  M10  U 4k  r và Ur có chữ số tận cùng giống nhau. 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau. Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2. Câu 23. (HSG Bắc Giang 2013) 3) Tính giá trị của biểu thức 4) Rút gọn biểu thức Ta có A  3 26  15 3  3 26  15 3 .  a2 2  a2 a  7   3 a  2 1 1  P     .   :   3 a  2     3  a  2 11  a   a  3 a  2  2 A  3 26  15 3  3 26  15 3  3 8  3.22 3  3.2.( 3) 2  ( 3)3  3 8  3.22 3  3.2.( 3) 2  ( 3)3  3 (2  3)3  3 (2  3)3  (2  3)  (2  3) Điều kiện: Đặt 2  a  11 x  a  2 (0  x  3)  a  x 2  2 P Tính được  A2 3 ( x  2)  x x 2  9   3 x  1 1  ( x  2)  3( x  3)   2 x  4  .    . :   :  3  3  x 9  x 2   x2  3x x  3  9  x 2   x( x  3)  ( x  2) x( x  3) x .  3  x 2x  4 2  = a2 2 Câu 24. (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức a 2−3a− a−1 √ a 2−42 a2 3a− a1 √ a2 −42 Giải Biến đổi vế trái . √ a 2 1−a  a−2 1a . √ a −3a−a−1 √ a −42 a2 ital VT  . 2 2 a 3a−a1 √ a −42 a−2 a 2−3a2−a−1 √ a 2−4 a 2 ital VT  . 2 2 √ a 3a2−a1 a −4 a−2 a−1a−2−a−1 √ a−2a2 a 2 ital VT  . a1a2−a1 √ a−2a2 a−2 a−1 √ a−2 √ a−2−√ a2 √ a2 ital VYT  . a1 √ a2 √ a2−√ a−2 √ a−2 1−a ital VT   ital VP 'dpcm 1a 2 2 √ √ Câu 25. (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức P √ x 1 1 ;Q x 4 −7 x 2  15 2 x √ x  x  √ x x −√ x : ( Với x>0, x  1) a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất Giải √ x 1 1 √ x 1 : 2  . √ x  √ x 3−1 x √ x x  √ x x −√ x √ x  x  √ x1 √ x 1 P . √ x √ x−1 x √ x1x−1 √ x  x √ x 1 P Q-4P=x4-7x2+15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1 Min(Q-4P)=-1 khi x=2  −1 Câu 26. (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức  ab ab b a √  √ a−√ b 2 P : −  − 2 √ a √ b a−b b− √ ab a− √ ab a) Rút gọn P b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1 Với a=0;b>0 và a khác b Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : b  c, a  b  c , a  b  ( a  b  c )2 Chứng minh đẳng thức: a  ( a  c )2 a c  2 b  ( b  c) b c a  b  ( a  b  c ) 2  a  b  a  b  c  2 ab  2 ac  2 bc  c  2 ac  2 bc  2 ab Ta cã a  ( a  c ) 2 a  a  2 ac  c  (*) b  ( b  c ) 2 b  b  2 bc  c thay c  2 ac  2 bc  2 ab Với (*) a  ( a  c) a  a  2 ac  c 2a  2b  2b  2 ac  2 bc  2 ab  2 ac   2 b  ( b  c) b  b  2 bc  c 2a  2b  2a  2 ac  2 bc  2 ab  2 bc 2 (a  b)  b  bc  ab ( a  b  c ) 2  b ( b  c  a )   (a  b)  a  ac  ab ( a  b  c ) 2  a ( a  c  b )  ( a  b  c )( a  c ) a c  ; (dpcm) ( a  b  c )( b  c ) b c Ta có Câu 28. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức: A √ 20a92 √ a 4 16a2 64 B=a4+20a3+102a2+40a+200 a)Rút gọn A b)Tìm a để A+B=0 Hướng dẫn Ta có A √ 20a92 √ a 16a 64√ 20a92 √ a 8 A √ a2  20a100√ a102 a10 4 2 2 2 B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2) Aa10≥0 ;B=(a+10)2(a2+2)  0;A+B  0 dấu “=” khi a=-10   Câu 29. (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức: √x √ x−1 2 2x P  : − 3 √ x 9−x x−3 √ x √ x  b) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. P − b) Tìm giá trị x để 1) ĐKXĐ x 0 ; x≠9   ; 4 3 x≠25 √ x 3−√ x 2 x  √ x−1−2 √ x−3 : 3 √ x3−√ x  √ x  √ x−3 √ x 3 √ x  √ x  √ x−3 x P .  3 √ x 3− √ x  5−√ x √ x−5 P  2) −4 x −4   3 x  4 √ x−200 3 x−6 √ x  10 √ x−20 0 3 √ x −5 3  √ x−2   3 √ x  10 0 x 4 DKXD P Câu 30. (Chuyên ĐH SP 2013 V1). Cho biểu thức Q  a−b √ a  √b  3  2 a √ a  b√ b 3 a  3 b √ ab 2  √ ab−a a √ b−b √ a với a>0 ; b>0 a Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b  b.