Tài liệu Luyện thi thpt quốc gia môn toán 2015 - 2016

Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016 MÔN TOÁN NGUYỄN BÁ TUẤN HỆ PHƯƠNG TRÌNH & CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế) Tài liệu dành tặng học sinh https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 1 I. Phép rút - thế. Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 II. Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích. 1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản. 2. Hệ phương trình có dấu hiệu chứa 1 phương trình dạng đẳng cấp. 3. Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2. 4. Hệ đồng bậc. 5. Phương pháp hệ số bất định (UTC). 6. Phương pháp liên hợp. Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau: + Phép rút - thế Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay vào phương trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm biểu thức hay thế hằng số. + Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích. - - Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như bình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y. Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương trình của hệ có form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT). Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử. + Sử dụng PP đặt ẩn phụ: - Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x  y, ( x  y )2 , x  y, ( x  y ) 2 ...... thì đặt tổng – tích (P=x+y, S=xy). - Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x 2 , y 2 , x k , y k .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ. - Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ. + Sử dụng PP hàm số + Sử dụng PP đánh giá + Sử dụng PP lượng giác + Kết hợp vận dụng nhiều phương pháp https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 2 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 I. PHÉP RÚT - THẾ  x 4  x3 y  9 y  y 3 x  x 2 y 2  9 x (1)  Bài 1. Giải hệ phương trình:  3 3 (2) x  y  x   7  Giải Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x  y Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử chung: (1)   x 4  xy 3    x3 y  x 2 y 2   9  x  y   0   x  y   x  x 2  xy  y 2   x 2 y  9  0   2   x  y   x  x  y   9  0    x  x  y   9  0 (do x  y ) 2  x  x  y   9 (3)  x  0 2 (2)  y 3  x3  7 7  y  3 x3  x x Thay vào (3) ta được: 2  7 x  x  3 x3    9  x   2  7 7   x  x 2  2 x. 3 x 3   3  x 3    x x    9  0   2 7 7   x  2 x . x   x. 3  x 3    9  0 x x  3 2 3 3  x 3  2 x. 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7   9  0 (4) 2 Xét hàm số: f ( x)  x3  2 x 3 x 6  7 x 2  3 x  x 4  7  9, x  0 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  6 x 6  14 x 2 3 6 2 f '( x)  3x  2  x  7 x  2  3 3  x6  7 x2   2 Phần 1  8 4  1 9 x  70 x  49  0, x  0   3. 2 2 4  3 x x 7      Suy ra f ( x ) đồng biến trên  0;   mà: f (1)  0 Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x  1  y  2 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm:  x; y   1; 2   x 2  y 2  xy  x  3  Bài 2. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2  x 1  4 xy   y 1  8 x   Giải Bình phương 2 vế của phương trình (1): x 2  y 2  x 2 y 2  x  3 2 Hệ phương trình tương đương với:  xy  x  3  0  xy  x  3   0  2  2 2   x  y 2  x 2 y 2  x  3   x 2 y 2  x  3   0   2  2 2 3 2 2 2 2 2 2 2  x  y  4 x y  8x y  x  y  x y  x  3    x  0  xy  x  3  0   2 2 2   y  0   x y  x  1  0    x  1  2  2 2 2 2  x  y  x y  x  3  x 2  y 2  x 2 y 2  x  3 2    x  0; y  0   x  1; y   5  5   xy  2  y x 2  2  Bài 3. Giải hệ phương trình:   y 2  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x  1  2 Giải Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do x 2  2  x  x 2  x  x  x  0 x    x2  2  x  0 x   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 4 Nên ta có (1)  y  Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i  x2  2  x  2  y  2 x 2x 2  Phần 1 x2  2  x Thế y  x 2  2  x vào phương trình (2) ta có:   2 x 2  2  x  2  x  1 x 2  2 x  3  2 x 2  4 x  1  x x 2  2  2 x   x  1 x 2  2 x  3  0   x  1 1     x  1 2  2     x  1      x 2  2  (*)     Xét hàm số f ( x)  t 1  t 2  2 ta có: f '(t )  1  t 2  2  t2 t2  2  0, t    f (t ) đồng biến trên  (*)  f  x  1  f   x  x  1   x  x   1 2 1  1 x   x    y  1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là  2 2 y 1   x3  4 y  y 3  16 x (1)  Bài 4: Giải hệ phương trình:  2 2 1  y  5 1  x  (2)  Giải “Thế hằng số” PT (2)  y 2  5 x 2  4 (3) Thay vào (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 5 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 x  0 x 3   y 2  5 x 2  y  y 3  16  x 3  5 x 2 y  16 x  0   2  x  5 xy  16  0 x  0  y2  4  y  2 x 2  5 xy  16  0  y  x 2  16 5x 2  x 2  16  2 4 2 2    5 x  4  124 x  132 x  256  0  x  1 5x    x  1  y  3   x  1  y  3  2 x 2 y  3 xy  4 x 2  9 y  Bài 5. Giải hệ phương trình:  2 7 y  6  2 x  9 x  Giải Ta có từ (2) suy ra: y  2x2  9x  6 (3) 7 Thay (3) vào (1) ta được:  2x2  9x  6   2 x 2  9 x  6  7.4 x 2  2x2  9x  6  2x2   3x    9    7 7 7 7         2 x 2  9 x  6  2 x 2  3 x  9   28 x 2  4 x 4  24 x3  31x 2  99 x  54  0 1  x  2   x  2 1  2   x    x  2   4 x  18 x  54   0    x  9  3 33 2  4    x  9  3 33  4 Với x  1 1  y   suy ra hệ phương trình có nghiệm 2 7 Với x  2  y    1 1   ;  2 7  16 16   suy ra hệ phương trình có nghiệm  2;  7 7   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 6 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Với x  9  3 33  y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm 4  9  3 33  ;3     4   Với x  9  3 33  y  3 suy ra hệ phương trình có nghiệm 4 Phần 1  9  3 33  ;3     4   Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm  x; y  là: 16   1 1    ;  ,  2; , 7  2 7    9  3 33   9  3 33  ;3  ,  ;3       4 4      x2  3 y  9  Bài 6. Giải hệ phương trình:  4 2  y  4  2 x  3 y  48 y  48 x  155  0  Giải Ta có (1)  9  x2 y 3 Thay vào (2) ta có:  9  x2  y  4  2 x  3 y  48    48 x  155  0  3   y 4  4  2 x  3 y 2  16 x 2  48 x  11  0 4 2   y 2  4 x  11 y 2  4 x  1  0  y 2  4 x  11 (3)  2  y  4 x  1 (4)  9  x2 y  3  Từ (3) và (1) ta được  2 2  9  x   4 x  11 (*)  3    https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 7 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x 2  3 2 x  3 2  0 (6) (*)  x  18 x  36 x  18  x  18  x  1   2  x  3 2 x  3 2  0 (7)   3 2  18  12 2 12 2  6 36  24 2 x  y 2 12 Ta có (6)     x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 2   2 12  3 2  18  12 2 12 2  6 36  24 2 x  y 2 12 (7)     x  3 2  18  12 2  y  12 2  6 36  24 2   2 12 4 2 2 4  9  x2 y  3  Thay (4) và (1) ta có:  2 2  9  x   4 x  1 (**)  3    (**)  x 4  18 x 2  36 x  72  0   x 2  6 x  12  x 2  6 x  6   0  x 2  6 x  6  0 ( do x 2  6 x  12  0, x)  x  3  3  y   1  2 3   x  3  3  y   1  2 3   x3  y 3  4x  2 y  Bài 7. Giải hệ phương trình:  2 2  x  1  3 1  y   Giải x 2  1  3 1  y 2   4  x 2  3 y 2 Xét 4  x 2  0  x  2, y  0 hoặc x  2, y  0 (cả hai đều thỏa mãn HPT) Xét y  0 suy ra x  2 hoặc x  2 (thỏa mãn HPT) Xét y  0 và x  2 Ta có: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 8 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 4 x  x3    y 3  2 y   x  4  x 2    y  y 2  2    (*)    2 2 2 2 4  x  3 y 4  x  3 y    y 2  3 xy  2 (1)  Suy ra 3 xy    y  2 . Vậy  2  x  10  9 xy (2)  2 Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y 2  x 2  6 xy  5 y 2  x 2  6 xy  0  5  y2 y  6 1 0 2 x x y y 1 đến đây các bạn tự làm tiếp.  1,  x x 5 2 y 2 x  2 x  y 3  y 2  1  7 y  Bài 8. Giải hệ phương trình:  2  2 y  2 xy  1  7 y  Giải Hệ phương trình đã cho tương đương:  y  2 y 2  2 y  1  2 x  y 3  y 2  1  7 y   2 2 y  2 y  1  7 y  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1   2  2 y  2 xy  1  7 y  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1   2 3 2  2 y  y  y  6 y  8 y  1  1  7 y  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1   4 3 2  y  6 y  10 y  6 y  1  0  2 x  y 3  6 y 2  8 y  1  x  2    4  y  1  0 y 1   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x; y    2;1   x y 1 1  7 y 1 1  Bài 9. Giải hệ phương trình:   x 2 y  x y  1  13 y  x 2  12  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 9 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Giải ĐK: y  1 Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương: x 2  13  y  1  x y  1  1  0 (*) Ta thấy x  7 không là nghiệm của hệ. => x  7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương: x   y 1 1  7 y 1 1  7  x y 1  x 1  Thế y 1  y 1  x 1 7x x 1 vào (*) ta được: 7x  x  1  x  x  1  13  1  0  7x 7x  x 4  x 3  5 x 2  33 x  36  0 x Với x  1 , ta được Với x  3 , ta được 2 x  1   x  1 x  3  x 2  5 x  12   0   x  3 1 9 y 1   y   3 8 y 1  1  y  0 8  Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm  x; y    1;   ,  3; 0 9  16 x 3 y 3  9 x 3   2 xy  y   4 xy 2  3  Bài 10. Giải hệ phương trình:  2 2 2 2 4 x y  2 xy  y  3  Giải Với y  0 không là nghiệm hệ. https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Với y  0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y 3 , phương trình thứ hai cho y 2 ta được  3  3  16 x  9   2 x  1  4 x  2  (1) y     4 x 2  2 x  1  3 (2)  y2  Thế (2) vào (1) ta được: 16 x3  9   2 x  1  4 x  4 x 2  2 x  1  x3  1  x  1  3  3  y  1 y2 Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1  x 6 y  2  3 x  y  3 y Bài 11. Giải hệ phương trình:  2 3x  3x  y  6 x  3 y  4  Giải  Phương trình (1): 3 y  2 3x  y  y  3 y  2 3x  y  0 (3) 3x  y  0    y  3x  y  0 (4)   Thế phương trình (3) vào phương trình (2):  1  x  6   y  1  6 x  3 y  8 6 x  3 y  8 3    2   3 y  2 3 x  y  0 3 y  16  10 y  0  x  1   6   y  1  3  13  73   5  73 13  73  5  73    Thế phương trình (4) vào phương trình (2) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x  4    y  4  y  3x  y  0  y  3x  y  0       x  1  2 6 x  5 y  4 2 y  4  7 y  0 4     1  y   2  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y             1 1 1  1  1 1 13  73 ; 5  73  ;  13  73 ; 5  73  ; 4; 4 ;  ;  3 3 6  6  4 2 x 2  2xy  y  0   Bài 12. Giải hệ phương trình:  3   x  3xy  2 y  1 x  x 2y  2   4          (1) (2) Giải Điều kiện: y  1; x 2 y   2 Ta có: (1)  x 2  y   2xy Ta có: (2)  x 3  xy  2xy  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0  x (x 2  y )  (x 2  y )  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0  x (2xy )  x 2  y  2x y  1  2 y  1 x 2y  2  4  0  (x 2y  2  y  1  2 y  1 x 2y  2)  x 2 (y  1)  2x y  1  1   0   2  2 2  x y  2  y  1  x y  1  1  0        x 2 (y  1)  1   x y  1  1       2  x 2y  y  1  x 2 (y  1)(y  1)  x 2y x y  2  y  1      x  0    https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 12 TH1: x  0  y  0 không thỏa mãn TH2: y 2  y  1  0  y  1 5 x  2 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 5 1 2  5 1 1 5    là nghiệm của hệ. ; Thử lại ta được: (x ; y )       2 2     x 2 y  1  6y  2    1  Bài 13. Giải hệ phương trình:  4 2  x y  2x 2y 2  y x 2  1  12y 2  1 2      Giải Điều kiện : y  0;y  1 Khi đó : 1  x 2y y  1  6y 2  2y  x 2  2  4y  4 2 9y  1 ;x  3  . y 1 y 1    Thay vào (2) , ta có : x 4y 2  x 2y 2  y  6 y 2  2 y  12 y 2  1  x 2  2 x 2  3 y 2  y  1  0  4 y  1 9y  1 y2 2 y  1 y  1  x   2 y  1     y 1   2  2 y  1  x  0  4 9y  1 y  y  1   3  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ LÀM XUẤT HIỆN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đơn giản: công trừ, nhân, chia các vế của hệ phương trình để tạo ra phương trình mới có dạng tích.  x 4  y 4  240  Bài 1. Giải hệ phương trình:  3 3 2 2 x  2 y  3 x  4 y   4  x  8y   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 Giải Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được: (tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới) x 4  8x3  24 x 2  32 x  16  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  256   x  2   y  4   x  2  y  4  x  2  4  y  x  y  2  x  6  y 4 4 Thay vào phương trình đầu ta được: 1  8 y 3  24 y 2  32 y  16  240  y 3  3 y 2  4 y  28  0   y  2   y 2  5 y  14  0  y  2  x  4  2   24 y 3  216 y 2  864 y  1296  240  y 3  9 y 2  36 y  44  0   y  2   y 2  7 y  22   0  y  2 x  4 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là:  x; y    4; 2  , 4; 2   x 4  5 y  6 (1)  Bài 2. Giải hệ phương trình:  2 2  x y  5 x  6 (2)  Giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x4  x2 y 2  5  y  x  0  x2  x2  y 2   5  x  y   0  x 2  x  y  x  y   5  x  y   0   x  y   x2  x  y   5  0   x  y  2 x  x  y  5  0 Nếu x = y, thay vào (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 14 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  x  2  y   2 x 4  5 x  6   x 3  x  3  x  2  x  1  0   x  1 y  1 Nếu x 2  x  y   5  0  y   5 x4  5  2 x 5  x thay vào (1) ta được: x2  6 3 2   6  x  5 x  6 x  25  0  Từ (2) ta có: 5 x  6  x 2 y 2  6  x  3 6 5 2 432 6 6 Do đó: 5 x  6 x  5.   6.    25  x 6  5 x 3  6 x 2  25  0 5 5 25   3 2 Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:  x; y    2; 2  , 1;1  x  x  y  1  1 (1)  Bài 3. Giải hệ phương trình:  2 2  y  x  2 y x  y x  0 (2)  Giải x  0 ĐK:  x  y 1  0 (1)  x  x  y  1  1  x  x  y  1 2 x  y  1  1  y  2 x  y 1  y 2  4  x  y  1   y  2  4x 2  y22 x  (2)  y  x  2  xy 2  y  x  y x 1  y  2  2 x   x  4  y 2  2 x y22 x x  (I )     2  4  y  y  2  0 2 y  y  2  y  y  2  y  x  y x  y  1  y  2     https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  y  xy  2   3 x 2 (1)  Bài 4. Giải hệ phương trình:  2 2  y  x y  2 x  0 (2)  Giải  y  xy  2   3x 2 (1)  Hệ phương trình đã cho tương đương với:  2  y  y  x   2 x (2)  Suy ra: xy  2 3x 4  3x 3   y (3) y  x2 2 5x Thế (3) vào (1), ta được  4  3x3  4  3x3  2   3x2  x. 5x  5x    4  3 x 3   10.  4  3 x 3   75 x 3  0 2  9 x 6  69 x 3  24  0 t  8 Đặt x  t , ta được 9t  69t  24  0   t  1  3 2 3 Với t  8 suy ra x  2 dẫn đến y  2 Với t  1 suy ra x  3 3 1 1 1 dẫn đến y 2  3 y  2 3  0 3 9 3 2  1 1 Phương trình này vô nghiệm do    3   8. 3  0  9 3   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y  duy nhất là  2; 2   4 x 2  y 4  4 xy 3  1 (1)  Bài 5. Giải hệ phương trình:  2 2  4 x  2 y  4 xy  2 (2)  Giải Trừ vế theo vế được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 16 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i y 4  2 y 2  4 xy 1  y 2   1 Phần 1   y 2  1  4 xy  y 2  1 2   y 2  1 y 2  1  4 xy   0 Với y 2  1  y  1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1) Với y 2  1  4 xy , thay vào (2), ta được 4 x 2  y 2  1  y 2  1  4 x 2 (3) Lại thay (3) vào (1) ta có: 1  4 x 2   4 xy 1  4 x 2   1  4 x 2 2 Nếu 1  4 x 2  0 thì y  0 không thỏa hệ. Vậy 1  4 x 2  4 xy  1  x 2  xy  0 Với x  0  y   1 Với x   y thay vào hệ được x   1 5 1   1 1   1 Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1),  ; ; ,   5  5 5  5  x  y 4  13x  4 (1)  Bài 6. Giải hệ phương trình:   x  y  3x  y  2 (2)  Giải Ta có: x  y  3x  y  2  x  y  3x  y  2  x  y  3x  y   2  4 x 2  4 x  1  3 x 2  2 xy  y 2 , x  1 2   x  y   4x 1 2 5   x  16 Thay vào (1) ta được:  4 x  1  13x  4   x  1 2 Do x  1  1 5 3 nên loại nghiệm này. Vậy x  . Suy ra y  . 2 16 16 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 17 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  5 3  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ;   16 16   y 3  x3  9  x3  (1)  Bài 7. Giải hệ phương trình:  2 2  x y  y  6x (2)  Giải Xét trường hợp x  0 dẫn đến y  0 Xét trường hợp x, y  0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:  x 2  y  x 4  x 2  y 2   9 x 3 (1)   2 6x (2) x  y  y  Lấy (2) thế vào (1), ta được: (1)  2  x 4  x 2 y  y 2   3 x 2 y  2  x4  2 x2 y  y 2   9 x2 y   x2  y   2 9 2 x y (3) 2 Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có: (2)   x 2  y   2 36 x 2 (4) y2 Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 3  8  y  2 Với y  2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1 Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)   x 2 y  2 xy 2  3 y 3  4  x  y   0  Bài 8. Giải hệ phương trình:  2 2 2  xy  x  y   1  3 xy   x  y   Giải +Phương trình thứ nhất tương đương:  x 2 y  xy 2  3xy 2  3 y3  4  x  y   0 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 18   x  y   3 y 2  xy  4   0 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1  y  x  2 3 y  xy  4  0 (*) Thế y   x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:  x  1 2x  x 1  0   x   2   2 4 2  2 2  2 2 Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 ,   là bốn nghiệm của hệ đã cho.  2 ; 2  , 2 ; 2         + Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:  xy  1  xy  1  x 2  y 2  1  0   2 2  x  y  1  0 (**) Thế xy  1 vào (*), ta được: y 2  1  y  1 . Suy ra  x; y    1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho. Từ x 2  y 2  1 ta được y  0 . Do đó (*)  x  Thế x  3y2  4 y 3y2  4 vào (**), ta được: 10 y 4  25 y 2  16  0 (vô nghiệm) y  2 2  2 2 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm  x; y    1;1 , 1; 1 ,   ; ;  ,   2 2   2 2      x  y  x  2y  6y  2 Bài 9. Giải hệ phương trình:   x  x  2 y  x  3y  2  Giải Điều kiện: y  0 Phương trình thứ nhất tương đương: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 19 Hệ phương trı̀nh & cá c phương phá p giả i Phần 1 2  x  2y  3y y  25 y 2  x  2y      2 4   x  2 y  2 y  + Với x  2 y  3 y thay vào PT(2) ta được: x  3y  x  3y  2    x  3y 1 x  3y  2   x  3y  2  x  3 y  4  4  5 y  3 y  y  + Với 4 8  x  9 3 x  2 y  2 y  y  0 thay vào PT(2) ta được: x  2 y  x  3y  2  x  2 y  x  2 y  5y  2  2 y   2 y  2  y  2  5y  2    y  2  x  12  y  1  L  4 8 4 Vậy hệ đã cho có nghiệm:  ;  , 12; 2  . 3 9  x  x2  y 2 9 x  (1)  5  x  x2  y 2 Bài 10. Giải hệ phương trình:  5  3x x  y  6  5  y  (2)  Giải y  0   Điều kiện:  x 2  y 2  0 (*)  2 2 x  x  y  0  Ta biến đổi phương trình (2): (2)  30 x  6 xy  5 y  3 xy  x 5  9x 10 x 5   x  (**) y 30 3y 9 Trục căn thức ở (1) ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 20