Mô tả:
Trang 1
§ÆNG VIÖT HïNG
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
TÍCH PHÂN
Trang 2
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
x2 1
1
1
xdx = d = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
2 2
2
2
( )
(
)
(
)
x3 1
1
1
x 2 dx = d = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
3 3
3
3
dx
dx
1 d ( ax + b ) 1
=
= d ( ln ax + b )
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
dx
1 d ( ax + b )
1
1
=
= d tan ( ax + b )
→
= d ( tan 2 x ) ...
2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2
( )
(
)
(
dx
sin
2
( ax + b )
=
(
)
)
( )
dx
1 d ( ax + b )
1
1
= − d cot ( ax + b )
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x
II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) =
f(x) và được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ,
khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một
nguyên hàm của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính
chất sau:
a) Tính chất 1:
( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)
Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.
Trang 3
( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
b) Tính chất 2:
Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có,
( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)
Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).
( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0
Từ đó ta có
Chứng minh:
(
)
′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..
d) Tính chất 4:
Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào
hàm, mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C
Công thức 2: ∫ x n dx =
x n +1
+C
n +1
Chứng minh:
x n +1
′
x n +1
Thật vậy, do
+ C = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
n +1
n +1
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =
u n +1
+C
n +1
1
dx
dx
du
+ Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ←
→∫
=2 u +C
2
x
u
2 x
dx
1
du
1
+ Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1
c)
∫
3
1
2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
− + C = 33 x − + C
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
1
x
x
2
2
2
3
( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)
→I =
2
5
2011
1 − 3x )
(
1
2010
2010
u n du
→I = −
+C
e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
3
2011
5
4
Trang 4
f) I = ∫
dx
( 2 x + 1)
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
→ I = − .
+C =−
+C
2
∫
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
du
2
=
g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫
3
3
1
1 2
3
4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = . ( 4 x + 5 ) 2 + C = ( 4 x + 5 ) 2 + C
∫
4
4 3
8
dx
= ln x + C
x
Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
du
∫u
= ln u + C
1
dx
= ln 2 x + k + C
∫
d
ax
+
b
(
)
dx
1
1
2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C
→
a
ax + b a ∫ ax + b
dx = − 1 ln k − 2 x + C
2
∫ k − 2 x
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4
a) ∫ x3 +
+ dx = ∫ x3 dx + ∫
+ 2 x + ln x + C
dx + ∫ =
x
4
x x
x
du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
b) I = ∫
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2
2x + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3
c) ∫
dx = ∫ 2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2
2x + 1
2
Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =
1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C
→ ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C
∫
a
a
2
Ví dụ:
3
1
dx
1 d ( 2 x − 1)
2
dx
x
xdx
sinx
dx
x
dx − cos x + ∫
a) ∫ x x + s inx +
=
+
+
=
=
∫
∫
∫
∫
2x −1
2x −1
2 2x −1
5
2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3
b) ∫ sin 2 x +
= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3
4x − 3 2
4
4x − 3
2
4
x
c) ∫ sin + sinx + sin 3 x dx
2
1
1
x 1
x
Ta có d = dx ⇒ dx = 2d ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
x
x
x x 1
1
∫ sin 2 + sinx + sin 3x dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d 2 + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )
x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3
Trang 5
Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =
1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C
→ ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C
a∫
a
2
Ví dụ:
4x − 1
5
a) ∫ cos x − sin x +
dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫ 4 −
dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1
x +1
x2
1
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos 2 x
1
1
1
1
1 1
c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫ − cos 2 x dx = x − ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2
4
2 2
Công thức 6: ∫
dx
= tan x + C
cos 2 x
Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =
dx
1
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+
dx
1
d ( ax + b )
du
∫ cos u = tan u + C
2
1
dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2
∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos
2
2
Ví dụ:
dx
1
1
a) ∫
+ cos x − sin 2 x dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2
cos x
1
2
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x
du
1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du
dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=
−
→ I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
cos 2 ( 3 − 2 x )
2 ∫ cos 2 ( 3 − 2 x )
2
cos u
→=
2
Công thức 7: ∫
dx
= − cot x + C
sin 2 x
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =
dx
1
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
2
sin x
sin x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+
dx
1
d ( ax + b )
1
du
∫ sin u = − cot u + C
2
dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2
∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin
2
2
Ví dụ:
1
dx
1
x6
a) ∫ cos 2 x − 2 + 2 x5 dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3
Trang 6
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
=− ∫ 2
→ I = − −
cot (1 − 3 x ) + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3
du
b) I = ∫
2
x
d
du
dx
2
x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2∫
→ I = −2 cot + C
x
x
2
sin 2
sin 2
2
2
Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1 ax + b
1
e d ( ax + b ) = e ax + b
a∫
a
+ ∫ e ax + b dx =
1 2 x+k
2 x+ k
+C
∫ e dx = 2 e
+ C
→
e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
∫
2
Ví dụ:
1
4
dx
4
1
1 d ( 3x )
a) ∫ e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x
sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x
1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3
b)
∫ ( 4e
3 x+2
+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =
4 3x+2
1
e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫
3
3
4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3
Công thức 9: ∫ a x dx =
ax
+C
ln a
Chứng minh:
ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
ln a
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+ ∫ a kx + m dx =
1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k
Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
d
x
+
d
x
→
I
=
+
+C
2
3
3
2
(
)
(
)
3∫
2∫
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4
a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)
∫ (2
1− 2 x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 =
I3 =
∫(
∫(x
5
5
)
+ 2 x dx
)
1
2) I 2 = 7 − 3 3 x 5 dx
x
3)
1
5) I 5 = ∫ x +
dx
x
6) I 6 = ∫
x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx
1
2 x
− 4 x 3 + 2 dx
4) I 4 =
5
x
x
∫
∫
2 x4 + 3
dx
x2
Trang 7
7) I 7 = ∫
(
)
x −1
2
dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫
dx
x2
3
1
13) I13 = ∫ x −
dx
x
16) I16 = ∫
(
x − 24 x
) ( x − x ) dx
8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
2
3
11) I11 = ∫
9) I 9 = ∫
x2 − x x − x
dx
x
∫
∫
∫
∫
dx
cos 2 4 x
29) I 29 = ∫ tan 4 x dx
32) I 32 = ∫
dx
1 − cos 6 x
1
35) I 35 = ∫ sin 2 x −
dx
−
2
5x
27) I 27 = ∫
dx
cos ( 2 x − 1)
2
2
+ 4)
2
dx
x2
1
1
12) I12 = ∫
− 3 dx
x
x
2
1
14) I14 = ∫ x + 3 dx
x
1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5
x
x π
20) I 20 = sin 2 x + sin dx
19) I19 = sin + dx
3
2 7
π
x +1
2 x
22) I 22 = sin 3x + − sin
dx 23) I 23 = ∫ cos dx
2
4
2
26) I 26 = ∫
(x
(
2 x − 3 3x
15) I15 =
∫
18) I18 =
∫ ( x − 3)
)
2
x
x +1
4
dx
dx
x
21) I 21 = ∫ sin + x dx
2
x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2
28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
dx
sin ( 2 x + 3)
30) I 30 = ∫ cot 2 x dx
31) I 31 = ∫
1
33) I 33 = ∫ x 2 + 2 + cot 2 x dx
x
x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3
1
34) I 34 = ∫ x 2 +
dx
3
x
+2
2x −1
37) I 37 = ∫
dx
4x + 3
x 2 + x + 11
dx
x+3
2
2x2 − x + 5
dx
x −1
38) I 38 = ∫
x
dx
6 − 5x
39) I 39 = ∫
41) I 41 = ∫
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
dx
x+2
42) I 42 = ∫
43) I 43 = ∫
44) I 44 = e−2x +3dx
4 x3 + 4 x 2 − 1
dx
2x + 1
45) I 45 = ∫ cos(1 − x) + e3 x −1 dx
2
47) I 47 = ∫ e− x + 2
dx
sin (3 x + 1)
e− x
48) I 48 = ∫ e x 2 +
dx
cos 2 x
49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx
∫
50) I 50 =
∫
1
dx
2x
51) I 51 =
∫
2x
dx
7x
40) I 40 = ∫
4 x2 + 6x + 1
dx
2x + 1
2
46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
∫
52) I 52 = 32 x +1 dx
Trang 8
02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2
6.
dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x
1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3
7.
dx
=d
2 x
3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)
8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )
4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)
9.
5.
dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x
( x) = d(
10. dx =
1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a
∫
( )
( )
(
(
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x
b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
a) I1 =
dx
2
1+ x
Hướng dẫn giải:
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
du
u = d ( ln u )
∫
)
x ± a = −d a − x
(
c) I 3 = ∫
x 2 dx
x3 + 1
)
)
2
2
du
x
1 d x
1 d x +1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C.
Ta có I1 =
dx
=
=
←→
1
2 1 + x2 2
2
1 + x2
1 + x2
x2 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
b) Sử dụng các công thức vi phân
u n +1
n
u
du
=
d
n +1
∫
∫
∫
(
( )
∫ (
Ta có I 2 = x 1 + x 2
)
10
1
dx =
2
∫ (1 + x ) d ( x
2
10
2
)
+1
(
(1 + x )
=
2
)
11
22
2
x3 1
3
=
x
dx
d
= d x ±a
3
3
c) Sử dụng các công thức vi phân
du
2 u = d u
(
)
+ C.
)
( )
3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
Ta có I 3 = ∫
= ∫
= ∫
=
+ C.
3 2 x3 + 1
3
x3 + 1 3
x3 + 1
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1
Hướng dẫn giải:
x 2 dx
c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx
)
Trang 9
x2 1
1
2
2
xdx = d = d x = − d a − x
2
2
2
a) Sử dụng các công thức vi phân
u n +1
n
u
du
=
d
n +1
( )
(
)
(1 − x )
2 3
1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân
du = d u
2 u
+ C.
3
( )
du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
←
→ I5 = 2 x − 1 + C.
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
c) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u n du = d u
n +1
Ta có I 5 = ∫
3
1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
b) I 8 = ∫
c)
=
dx
a) I 7 =
I
9
∫ x dx
5 4
(3 − 2 x)5
x −5
3
∫
Hướng dẫn giải:
3
x 1
1
4
4
x dx = d = d x ± a = − d a − x
4
4
4
a) Sử dụng các công thức vi phân
u − n +1
du
=
d
un
−n + 1
x4
4
d
4
5
1
3
5 5 x4 − 5
x
−
5
5
−
4
2x
1
1
4
4
5
⇒ I7 =
dx = 2
=
x −5 d x −5 = .
+C =
5 4
5 4
2
4
8
x −5
x −5 2
(
4
∫
∫(
∫
)
(
)
(
(
)
)
(
)
)
4
+ C.
( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
b) Ta có I 8 = ∫
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6
dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x
4
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
b) I11 =
c) I12 = cos x sin x dx
a) I10 = ∫
dx
2010
x
( 4 − 2x)
c) Sử dụng công thức vi phân
∫
∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có I10 = ∫
( 4 − 2x )
3
3 (4 − 2x)
−2010
= − ∫ ( 4 − 2x )
d (4 − 2x) = −
2
2 −2009
−2009
3 dx
2010
cos u du = d ( sin u )
b) Sử dụng các công thức vi phân dx
=d x
2 x
( )
Ta có I11 =
∫
cos x
cos x
dx = 2
dx = 2 cos x d
x
2 x
∫
∫
( x ) = 2sin
x + C.
+C =
3
4018 ( 4 − 2 x )
2009
+ C.
Trang 10
cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân
sin x dx = −d ( cos x )
3
Ta có I12 =
∫
1
2
cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −
∫
2 ( cos x ) 2
=−
3
2 cos3 x
+ C.
3
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
dx
cos5 x
Hướng dẫn giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân
cos x dx = d ( sin x )
a) I13 =
∫
3
Ta có I 3 =
b) I14 = ∫
sin x cos x dx
∫
3
sin x cos x dx =
1
4
3
u 3 du = d u 3
4
1
3
c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx
4
∫ ( sinx ) d (sin x ) ←→ I13 =
3 ( sinx ) 3
4
+C =
3 3 sin 4 x
+C
4
( cos x ) + C = 1 + C.
d (cos x)
sin x
dx = − ∫
=−
5
5
−4
cos x
cos x
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )
c) Sử dụng các công thức vi phân n
u n +1
u du = d
n +1
−4
b) Ta có I14 = ∫
u5
u 4 du = d
5
Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ←
→ I15 =
4
4
sin 5 x
+ C.
5
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx
b) I17 =
∫
sin 4 x cos 4 x dx
Hướng dẫn giải:
=
−
dx
d
x
sin
x
(cos
)
a) Sử dụng các công thức du
∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
4
4
∫
∫
∫
c) I18 = ∫
sin x dx
1 + 3cos x
sin 4 x d ( sin 4 x )
3
1 2 ( sin 4 x ) 2
sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
a) I19 = ∫
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )
Hướng dẫn giải:
cos xdx = d (sin x)
a) Sử dụng công thức vi phân du
1
u2 = d − u
2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
cos xdx = d (sin x)
b) Sử dụng công thức vi phân du
2 u = d u
( )
Trang 11
Ta được I 20 = ∫
d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2
d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
tan xdx =
cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản
2
u du = u + C
2
d ( cos x )
sin x
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C
→ I 21 = −
+ C.
2
2
Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan 3 x
tan x
tan 2 x + 1
b)
=
c) I 24 =
a) I 22 =
dx
I
dx
dx
23
4
2
cos 2 2 x
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
dx
cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
dx
tan x
tan 2 x
tan 2 x
Ta có I 22 =
dx
=
x
=
x
d
x
=
+
C
→
I
=
+ C.
tan
.
tan
tan
(
)
22
2
2
cos 2 x
cos 2 x
dx
cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức
1 = 1 + tan 2 x
cos 2 x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
∫(
)
dx
tan 3 x
1
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
dx = tan 3 x. 2 .
4
cos x
cos x cos 2 x
tan 6 x tan 4 x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C
→ I 23 =
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
dx
cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
dx
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =
+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
d (tan 2 x) =
+
+ C
→ I 24 =
+
+ C.
tan 2 x d (tan 2 x) +
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan x
cot x
cot x
b) I 26 = ∫
c) I 27 = ∫
a) I 25 = ∫ 2 dx
dx
dx
3
π
cos x
sin x
cos x +
2
Hướng dẫn giải:
dx
sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
dx
cot x
cot 2 x
cot 2 x
dx
=
x
=
−
x
d
x
=
−
+
C
→
I
=
−
+ C.
cot
.
cot
cot
Ta có I 25 =
(
)
25
2
2
sin 2 x
sin 2 x
Ta có I 23 =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Trang 12
sin x dx = −d ( cos x )
b) Sử dụng các công thức du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
u
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C
tan x
sin xdx
1
Ta có I 26 = ∫
dx = ∫
= −∫
=−
→ I 26 =
+ C.
3
4
4
3
−3
cos x
cos x
cos x
3cos x
3cos3 x
cos x dx = d ( sin x )
π
c) Sử dụng các công thức cos x + = − sin x
2
du
1
∫ 2 = − + C
u
u
d (sin x)
cot x
cos x
cos x dx
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C
→ I 27 =
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )
sin x
sin x
sin x
sin x
cos x +
2
Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
−3
a) I 28 =
∫
x
3e
x
b) I 29 = ∫
dx
e tan x + 2 dx
cos 2 x
c) I 30 = ∫ x.e1− x dx
2
e 2 ln x + 3
dx
x
Hướng dẫn giải:
d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx
e) I 32 = ∫
( )
dx
=d x
a) Sử dụng các công thức 2 x
eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =
∫
3e
x
x
∫
dx = 3.2 e
x
dx
= 6 e xd
2 x
∫
( x ) = 6e
x
+ C
→ I 28 = 6e
x
+ C.
dx
cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e
dx
dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C
→ I 29 = e tan x + 2 + C.
2
2
cos x
cos x
1
1
2
2
x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C
→ I 30 = − e1− x + C .
2
2
2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức u
u
∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C
→ I 31 = −ecos x + C .
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức x
eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
e2 ln x + 3
1 2 ln x + 3
Vậy I 32 = ∫
dx = e
+ C.
x
2
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
x
1) I1 =
dx
1 + x2
∫
4) I 4 =
∫
cos x sin xdx
x
dx
x2 + 5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x
sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5
7) I 7 = ∫
10)
13)
16)
∫
Trang 13
∫
2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
3) I 3 =
sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1
6) I 6 =
5) I 5 =
∫ cos
cos x
dx
x
∫
3
sin x cos xdx
3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx
11) I11 = ∫ x.e x +1dx
12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx
14) I14 = ∫ cot x dx
15) I15 = ∫
2
17) I17 = ∫
e
x
18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx
dx
x
tan x
dx
cos 2 x
x 2 dx
20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx
21) I 21 = ∫
22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx
23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx
24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx
25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx
26) I 26 = ∫ x.e x
19)
∫
28) I 28 = x.e1− x dx
2
29) I 29 =
∫ (e
2
+2
sinx
x3 + 1
sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x
27) I 27 = ∫
dx
)
+ cos x cos x dx
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 14
03. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM
DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
Nếu hàm f(x) có chứa
dx = d (a sin t ) = a cos t dt
a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t
→ 2
2
2
2
2
a − x = a − a sin t = a cos t
Nếu hàm f(x) có chứa
adt
dx = d (a tan t ) = cos 2 t
a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t
→
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a
cos t
Nếu hàm f(x) có chứa
a − a cos t dt
dx = d sin t = sin 2 t
a
x 2 − a 2 thì đặt x =
→
sin t
a
a2
2
2
−
=
− a2 =
x
a
2
sin t
cot t
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I1 =
; ( a = 2)
4 − x2
∫
c) I 3 =
∫
x 2 dx
1− x
2
; ( a = 1)
b) I 2 =
∫
1 − x 2 dx ; ( a = 1)
d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3)
∫
Hướng dẫn giải:
dx = d (2sin t ) = 2cos t dt
dx
2cos t dt
a) Đặt x = 2sin t
→
→ I1 = ∫
=∫
= ∫ dt = t + C
2
2
2
2cos t
4− x
4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t
x
x
Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin
→ I1 = arcsin + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
b) Đặt x = sin t
→
2
2
1 − x = 1 − sin t = cos t
Khi đó I 2 =
∫
∫
1 − x 2 dx = cos t.cos t dt =
∫
1 + cos 2t
1
1
t 1
dt =
dt +
cos 2t dt = + sin 2t + C
2
2
2
2 4
∫
∫
cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒
→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
arcsin
t
=
x
arcsin x 1
→ I2 =
+ x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
c) Đặt x = sin t
→
2
2
1 − x = 1 − sin t = cos t
x 2 dx
sin 2 t.cos t dt
1 − cos2t
1 1
Khi đó, I 3 = ∫
=∫
= ∫ sin 2 t dt = ∫
dt = t − sin 2t + C
cos t
2
2 4
1 − x2
cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒
→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
t = arcsin x
arcsin x 1
→ I3 =
− x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (3sin t ) = 3cos t dt
d) Đặt x = 3sin t
→
2
2
9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t
81
81 1 − cos4t
Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt =
sin 2 2t dt =
dt
4
4
2
∫
∫
∫
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
∫
∫
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
=
Trang 15
81 1
1
81 t 1
dt −
cos4t dt = − sin 4t + C
4 2
2
4
2
8
∫
∫
x2
2
cos t = 1 − sin t = 1 −
x2
2x
9
Từ x = 3sin t ⇒
→ sin 2t =
1−
3
9
t = arcsin x
3
2
2x2
2x
x2 2x2
x
Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2 = 1 −
1 − .1 −
→ sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2.
9
3
9
9
3
x
arcsin
2
2
81
x
x
2
x
3 −
1 − .1 −
Từ đó ta được I 4 =
+ C.
4
2
6
9
9
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I1 = 2
; ( a = 1)
b) I 2 =
x 2 + 2 x + 5 dx
x +1
∫
∫
c) I 3 =
∫
x 2 dx
x2 + 4
; ( a = 2)
Hướng dẫn giải:
dt
= (1 + tan 2 t )dt
(1 + tan 2 t )dt
dx = d (tan t ) =
2
→
→ I1 = ∫
= ∫ dt = t + C
cos t
a) Đặt x = tan t
1 + tan 2 t
1 + x 2 = 1 + tan 2 t
Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x
→ I1 = arctan x + C.
b) Ta có I 2 =
∫
x 2 + 2 x + 5 dx =
∫
t = x +1
( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)
→I =
∫
t 2 + 4 dt
2du
dt = d (2 tan u ) = cos 2 u
2du
du
cos u du
→
→ I2 = ∫
=∫
=∫
Đặt t = 2 tan u
2
cos u
cos 2 u
4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2
.cos 2 u
cos u
cos u
d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u )
1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u
=∫
= ∫
d (sin u ) = ∫
+
= ln
+ C.
2
1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u )
2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u
t
1
t2
4
t2
2
2
→
=
1
+
→
sin
u
=
1
−
c
os
u
=
1
−
=
2
cos 2 u
4
4 + t2 4 + t2
t
x +1
1+
1+
2
2
1 1 + sin u
1
4 + t + C = 1 ln
x + 2 x + 5 + C.
Từ đó ta được I 2 = ln
+ C = ln
t
x +1
2 1 − sin u
2 1−
2 1−
2
2
4+t
x + 2x + 5
2dt
2
dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt
→
c) Đặt x = 2 tan t
x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4
2
4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt
sin 2 t
sin 2 t.cos t dt
sin 2 t. d (sin t )
→ I3 = ∫
= 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫
dt
=
4
=
4
∫ cos4 t
∫ 1 − sin 2 t 2
cos3 t
2 1 + tan 2 t
(
)
Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =
2
1 (1 + u ) − (1 − u )
u
Đặt u = sin t
→ I 3 = 4∫
du = 4 ∫
du = 4 ∫
du
2
2 2
1− u
2 (1 + u )(1 − u )
(1 − u )
u2
2
1
du
du
2du
d (1 − u )
d (1 + u )
(1 − u ) + (1 + u )du
1
= ∫
−
+∫
−∫
= −∫
+∫
−∫
du = ∫
2
2
2
2
(1 − u )
(1 + u )
(1 − u )(1 + u )
(1 − u )
(1 + u )
(1 − u )(1 + u )
1− u 1+ u
1
1
1
1
1
du
du
1
1
1
−
−
− ∫
+
−
−∫
−∫
=−
−
− ln 1 + u + ln u − 1 + C
du = −
1− u 1+ u
1− u 1+ u
1+ u
1− u
1− u 1+ u
1+ u 1− u
2
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 16
1
1
u −1
1
1
u −1
1
1
sin t − 1
−
+ ln
+ C
→ I3 =
−
+ ln
+C =
−
+ ln
+ C.
u −1 1+ u
u +1
u −1 u +1
u +1
sin t − 1 sin t + 1
sin t + 1
x
1
x2
4
x2
2
2
2
Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t =
→
=
1
+
tan
t
=
1
+
⇔
c
os
t
=
→
sin
t
=
2
cos 2t
4
4 + x2
4 + x2
x
−1
2
1
1
x
4
+
x
⇔ sin t =
→ I3 =
−
+ ln
+ C.
x
x
x
4 + x2
−1
+1
+1
4 + x2
4 + x2
4 + x2
=
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
dx
dx
a) I1 =
b) I 2 =
c) I 3 =
2
2
2
2
x −1
x x −4
x − 2x − 2
Hướng dẫn giải:
1 − cos t dt
− cos t dt
dx = d sin t = sin 2t
1
dx
− cos t dt
dx = sin 2 t
→
←
→
→ I1 = ∫
=∫ 2
a) Đặt x =
2
sin t
sin t.cot t
1
x −1
x2 − 1 =
x 2 − 1 = cot t
−
1
2
sin t
∫
= −∫
∫
∫
sin t dt
d (cos t )
d (cos t )
1 (1 − cos t ) + (1 + cos t )
1 1 + cos t
=∫
=∫
= ∫
d (cos t ) = ln
+ C.
2
2
sin t
1 − cos t
(1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t )
2 1 − cos t
Từ phép đặt x =
1
1
→ cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
sin t
x
x2 − 1
1
x −1
x
→ I1 = ln
+ C.
2
x
2
x −1
1−
x
1+
2
2 −2cos t dt
−2 cos t dt
dx =
dx = d sin t = sin 2 t
2
sin 2 t
→
←
→
b) Đặt x =
sin t
4
2
x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t
x − 4 = sin 2 t − 4
sin 2 t
dx
−2cos t dt
1
1
Khi đó, I 2 =
=
= − sin t dt = cos t + C.
2
2
8cot t
4
4
x x −4
sin 2 t. 2
sin t
∫
∫
∫
2
4
→ cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
sin t
x
dx
d ( x − 1)
t = x −1
c) I 3 =
=
→ I3 =
2
2
x − 2x − 2
( x − 1) − 3
Từ x =
∫
∫
∫
x2 − 4
x2 − 4
→ I2 =
+ C.
x
4x
dt
dt
=
2
t2 − 3
t2 − 3
∫
( )
3 − 3 cos u du
dt = d
− 3 cos u du
=
2
dt =
sin
u
sin
u
3
→
←
→
sin 2 u
Đặt t =
sin u
2
2
3
−3
t − 3 = 3 cot u
t −3 =
2
sin u
→ I3 = ∫
=
1
2∫
dt
=∫
− 3 cos u du
= −∫
sin u du
d (cos u )
d (cos u )
=∫
=∫
2
2
sin u
1 − cos u
(1 − cos u )(1 + cos u )
sin u. 3 cot u
t2 − 3
(1 − cos u ) + (1 + cos u )
1 1 + cos u
d (cos u ) = ln
+ C.
(1 − cos u )(1 + cos u )
2 1 − cos u
2
t2 − 3
x2 − 2x − 2
1+
t −3
3
3
1
1
t
x −1
⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =
→ I 3 = ln
+ C = ln
+ C.
Từ t =
2
sin u
t
t
2
2
t −3
x2 − 2 x − 2
1−
1−
t
x −1
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
2
1+
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 17
dx
1
x
= arc tan + C.
2
+a
a
a
dx
1
x+a
∫ 2
=
ln
+ C.
2
x −a
2a x − a
dx
1
x−a
∫ 2
=
ln
+ C.
2
a −x
2a x + a
dx
∫
= ln x + x 2 ± a + C.
2
x ±a
∫x
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 = ∫
4) I 4 =
∫
x 2 dx
x2 + 4
1
3x − 2 x
2
2) I 2 = ∫
5) I 5 =
dx
∫
1 − x2
dx
x2
9) I 3 = ∫
2 x 2 + 1 dx
6) I 6 =
x 2 dx
4 − x2
dx
∫
2 x2 − 5
DẠNG 2: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỶ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
n
g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)
→ n.t n −1 = g '( x)dx
Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
xdx
a) I1 =
b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx
4x + 1
Hướng dẫn giải:
∫
∫
2tdt = 4dx
2
a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1
→
→ I1 =
t 2 − 1
x
=
4
3
1 t3
1 (4 x + 1)
= −t+C =
− 4 x + 1 + C.
8 3
8
3
∫
c) I 3 =
∫
x 2 dx
1− x
t 2 − 1 tdt
.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1
∫
∫
b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2
→ x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt
→ x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt
(
)
(
5
)
3
x2 + 2
2 x2 + 2
t5
t3
2
3
2
4
2
Khi đó I 2 =
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =
−
+C
5
3
5
3
2
2
2
dx = −2tdt
1
−
t
.tdt
x
dx
c) Đặt t = 1 − x ⇔ t 2 = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2
→ 2
→ I3 =
= −2
2
2
t
1− x
x = 1 − t
(1 − x)5 2 (1 − x)3
2
t 5 2t 3
= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2 −
+ t + C = −2
−
+ 1− x + C
3
5
3
5
∫ (
∫
)
∫(
)
(
∫(
)
Khi đó I 2 =
∫
∫(
)
∫
(
)
)
∫ (
)
x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt =
∫ (t
4
− 2t 2
)
t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
ln x dx
ln 2 x dx
a) I 4 =
b) I 5 =
x 1 + ln x
x 3 2 − ln x
∫
∫
∫
(x
2
+2
)
5
−
5
c) I 6 =
∫
2
(x
2
3
+2
)
3
+ C.
ln x 3 + 2ln x dx
x
Hướng dẫn giải:
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 18
(
)
ln x = t 2 − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx
→ dx
→ I4 =
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x
t
1 + ln x x
= 2tdt
x
(1 + ln x)3
t3
2 (1 + ln x)3
= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2 − t + C = 2
− 1 + ln x + C
→ I4 =
− 2 1 + ln x + C .
3
3
3
∫
2
∫
ln x = 2 − t 3
dx
ln 2 x
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt
b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x
→ dx
→
I
=
.
=
5
2
3
t
2 − ln x x
= 3t dt
x
3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5
t 8 4t 5
7
4
2
= 3∫ ( t − 4t + 4t ) dt = 3 −
+ 2t + C = 3
−
+ 2 3 (2 − ln x)2 + C
5
8
5
8
t2 − 3
x
ln
=
2
c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x
→
2dx = 2tdt
x
∫
3
3
Từ đó ta có I 6 =
∫
∫
t2 − 3
ln x 3 + 2ln x dx
dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
=
.t.tdt =
x
x
2
2
∫
t5 t3
1 t5
= − t3 + C = − + C =
2 5
10 2
∫
( 3 + 2 ln x )5
10
−
( 3 + 2ln x )3
2
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
e 2 x dx
a) I 7 =
b) I8 =
3
ex −1
ex + 1
∫
∫
(
+ C
→ I6 =
c) I 9 =
)
∫x
∫ (t
4
)
− 3t 2 dt
( 3 + 2ln x )5
10
dx
( 3 + 2ln x )3
−
2
d) I10 =
x +4
2
∫x
+ C.
dx
x4 + 1
Hướng dẫn giải:
e x = t 2 − 1
e x = t 2 − 1
x
2
x
→ x
←
→
a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1
2tdt
e dx = 2tdt
dx = 2
t −1
dx
2tdt
2dt
2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)(t + 1)
t −1
t +1
t.(t − 1)
t −1
e −1
∫
∫
∫
= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln
∫
t −1
+ C = ln
t +1
ex −1 −1
ex − 1 + 1
∫
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t3
=2
∫
ex −1 − 1
+ C
→ I 7 = ln
e x = t 2 − 1
b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1
→ x
→ I8 =
e dx = 2tdt
2
x
∫
x
∫
ex −1 + 1
e 2 x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
∫
+ C.
e x .e x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t
3
x
t2 −1
dt
1
1
dt
=
2
dt
−
=
2
t
+
+
C
=
2
e
+
1
+
+ C .
t2
t2
t
ex + 1
∫
∫
x2 = t 2 − 4
2
2
x
=
t
−
4
→
←
→ dx xdx
c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4
tdt
2 xdx = 2tdt
= 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx
1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1 dt
dt
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt =
−
4 t −2
t t −4
t +2
t − 4 4 (t + 2)(t − 2)
x x2 + 4
x2 + 4 x
∫
=
∫
∫
1
1 t−2
1
ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln
+ C = ln
(
4
4 t+2
4
∫
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C
→ I9 =
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
∫
1
ln
4
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C.
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 19
x4 = t 2 − 1
4
2
x
t
1
=
−
d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1
→ 3
←
→ dx x3 dx
tdt
= 4 =
4 x dx = 2tdt
x
x
2(t 2 − 1)
dx
1
dx
1 tdt
1 dt
1 (t + 1) − (t − 1)
Khi đó, I10 =
=
. = . 2
=
=
dt
2
4
4
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x +1
x +1 x
∫
∫
∫
∫
∫
1 dt
dt 1
1 t −1
1
=
−
+ C = ln
= ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4 t −1
t +1 4
4 t +1
4
∫
x4 + 1 − 1
∫
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I11 =
1 + 2 − 5x
∫
c) I13 = ∫
b) I12 =
x 3 dx
3
d) I14 =
4 + x2
x dx
∫1−
∫
+ C.
x4 + 1 + 1
2 + x2
1 + 4ln 2 x ln x
dx
x
Hướng dẫn giải:
2tdt
5
dx
2 t dt
2 1+ t −1
2
1
2
Khi đó, I11 =
=−
=−
dt = − 1 −
dt = − ( t − ln t + 1 ) + C
5 1+ t
5 1+ t
5 1+ t
5
1 + 2 − 5x
2
→ I11 = −
2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C .
5
a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx
→ dx = −
∫
∫
∫
(
∫
)
b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx
→ xdx = tdt
x dx
t dt
1 − (1 − t )
d (1 − t )
1
Khi đó, I12 =
=
=
dt =
− 1 dt = −
− dt = − ln 1 − t − t + C
2
1− t
1− t
1− t
1− t
1− 2 + x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
→ I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C .
x2 = t3 − 4
2
3
x
=
t
−
4
3
c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2
→ 2
←
→
→ x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt
3t 2 dt
2
xdx =
3t dt = 2 xdx
2
(
→ I13 = ∫
3
2
3 ( t − 4 ) t dt 3 4
= ∫
= ∫ ( t − 4t ) dt =
t
2
4 + x2 2
x 3 dx
3
3
3 t5
2
− 2t + C =
2 5
d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ←
→ 2tdt = 4.2ln x.
→ I14 =
∫
(4 + x )
2 5
10
−
33 ( 4 + x2 )
2
4
+ C.
dx
ln x dx tdt
→
=
x
x
4
ln x dx
tdt 1 2
t3
1 + 4ln 2 x
= t.
=
t dt = + C =
x
4 4
12
∫
3
)
∫
(1 + 4 ln x )
2
3
12
+ C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 =
∫
dx
1 + 1 + 3x
4) I 4 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
2) I 2 = ∫
x3 dx
3
5) I 5 = ∫
1 + x2
dx
7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx
x x3 + 1
x +1
8) I 8 = ∫
dx
x
10) I10 = ∫ x 2 3 − 2 x dx
11) I11 = ∫
4 − 3x
dx
x +1
3) I 3 =
1 + 3ln x ln x
dx
x
xdx
2x + 1
∫
6) I 6 = ∫
9) I 9 = ∫
xdx
1 + x −1
e 2 x dx
12) I12 = ∫
1 + ex −1
DẠNG 3: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 20
Phương pháp giải:
dt = adx
→
Nếu hàm f(x) có chứa (ax + b) thì đặt t = ax + b
t −b
x = a
n
Ví dụ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 = x ( 3 x + 1) dx
∫
∫
19
b) I 2 = x 2 (2 − x)99 dx
c) I 3 =
∫
x2 + 2
dx
( x + 1) 2010
Hướng dẫn giải:
dt = 3dx
t − 1 19
19
.t .3dt =
→
→ I1 = x ( 3x + 1) dx =
a) Đặt t = 3x + 1
t − 1
3
x = 3
∫
→ I1
∫
∫(
)
t 20 − t19 dt =
t 21 t 20
−
+C
21 20
21
20
3 x + 1)
3 x + 1)
(
(
=
−
+ C.
21
20
dt = −dx
99
2
b) Đặt t = 2 − x
→
→ I 2 = x 2 ( 2 − x ) dx = − ( 2 − t ) .t 99 dt = − 4t 99 − 4t100 + t101 dt
x = 2 − t
∫
∫(
∫
t100
(2 − x)
t101 t102
t100 4t101 t102
= − 4.
− 4.
+
+
−
+C =
+C =
101 102
25 101 102
25
100
100
V ậy I 2 =
4(2 − x)
101
+
101
−
)
( 2 − x )102
102
+ C.
( 2 − x )100 + 4 ( 2 − x )101 − ( 2 − x )102 + C.
25
101
102
dt = dx
( t − 1)2 + 2 dt = t 2 − 2t + 3 dt = 1 − 2 + 3 dt
c) Đặt t = x + 1
→
→ I3 =
2008
t 2010
t 2010
t 2009 t 2010
t
x = t −1
1
1
3
1
1
3
=−
+
−
+C = −
+
−
+ C.
2007
2008
2009
2007
2008
2009
2007t
1004t
2009t
2007 ( x + 1)
1004 ( x + 1)
2009 ( x + 1)
∫
→ I3 = −
1
2007 ( x + 1)
2007
+
1
1004 ( x + 1)
2008
∫
−
∫
3
2009 ( x + 1)
2009
+ C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
∫
1) I1 = x(1 − x) 20 dx
4) I 4 =
x + 2x + 2
2
∫ ( 2 x − 1)
6
dx
∫
∫
2) I 2 = x(3 x + 1)9 dx
(
)
3) I 3 = (2 x + 1)( x + 3) 4 dx
5) I 5 = ∫ x 2 + 3 x − 5 ( 2 x − 3) dx
10
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
6) I 6 = ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx
2
21
Học online: www.moon.vn
- Xem thêm -