Tài liệu Luyện tập khảo sát hàm số​

Các chuyên đề luyện thi cao đẳng đại học 2009 Đại số và Giải tích LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ Biên soạn : Trần Quốc Việt Email góp ý : [email protected] NỘI DUNG 1 Hướng dẫn chung 3 1.1 Vài lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số điều cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Nội dung ôn tập 5 2.1 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Hướng dẫn và đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Thân tặng các bạn học sinh chuẩn bị thi Cao đẳng - Đại học 2009 Khảo sát hàm số 1 1.2. Một số điều cần lưu ý Hướng dẫn chung 1.1 Vài lời nói đầu Câu I gồm 2 phần, để giải quyết chúng một cách trọn vẹn thì ít nhất là chúng ta phải thực hành tốt các nội dung sau: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số có dạng như sau: i. y = ax3 + bx2 + cx + d iii. y = ii. ax+b cx+d y = ax4 + bx2 + c ax2 +bx+c dx+e iv. y = 2. Suy đồ thị : từ đồ thị đầu suy ra các đồ thị có chứa | · | 3. Diễn đạt các điều kiện bằng ngôn từ thành mệnh đề dạng đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Ví dụ : (Câu I ý 2 đề A-2008) Cho hàm số y= mx2 + (3m2 − 2)x − 2 x + 3m Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số là 45◦ . Mục tiêu của ta là tìm m (1 ẩn) do đó ta cần các phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn m. Nhớ rằng hàm hữu tỷ dạng bậc 2 bậc 1 chỉ có thể có đồng thời một tiệm cận đứng (d1 ) và một tiệm cận xiên (d2 ). Do đó (d1 ; d2 ) = (Oy; d2 ) = 45◦ ⇔ (Ox; d2 ) = 45◦ ⇔ hsg của (d2 ) = tan 45◦ Như vậy điều kiện của bài toán tương đương với đẳng thức cuối cùng, và ta có thể đưa bài toán về việc giải phương trình để tìm ẩn m. 4. Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến thỏa : tiếp xúc với đồ thị tại một điểm, đi qua một điểm cho trước, thỏa một điều kiện nào đó ... 5. Tính diện tích miền phẳng S được giới hạn bởi các đường cong; hoặc tìm điều kiện của tham số m để diện tích S thỏa một điều kiện nào đó ... Tóm lại, trong nhiều trường hợp của ý 2 câu I, ta cần biết diễn đạt lại điều kiện thành các ràng buột dạng: phương trình-bất phương trình hoặc hệ phương trình-hệ bất thương trình và giải quyết chúng. 1.2 Một số điều cần lưu ý 1. Khảo sát hàm số theo các mục sau Dạng hàm số TXĐ y0 y 00 Tiệm cận BBT + CTrị BLL + Điểm uốn Đồ thị Hàm đa thức có có có thể không không có có thể không có Hàm hữu tỷ có có không có có không có 2. Cần phải đặt điều kiện tồn tại cho các đối tượng của bài toán. Ví dụ, đối với hàm hữu tỷ thì ngoài đk mẫu khác 0 còn có điều kiện để các tiệm cận được tồn tại, vì nếu không thì hàm hữu tỷ sẽ biến thành hàm đa thức. Chẳng hạn, Câu I ý 2 đề A-2008, cho hàm số y= mx2 + (3m2 − 2)x − 2 x + 3m Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số là 45◦ . Trần Quốc Việt 3 1.2. Một số điều cần lưu ý Khảo sát hàm số Trước nhất ta cần đặt đk của m để các tiệm cận tồn tại. Ta viết y= mx2 + (3m2 − 2)x − 2 6m − 2 = mx − 2 + x + 3m x + 3m Nếu 6m − 2 = 0 thì hàm số trở thành hàm bậc I, không có tiệm cận. Do đó, điều kiện để các tiệm cận tồn tại là 6m − 2 6= 0. Hoặc, nếu ta muốn làm việc với các điểm cực trị của hàm số, trong khi các cực trị này phụ thuộc vào tham số, thì ta cần phải đặt điều kiện để chúng tồn tại, và đáp số cuối cùng của ta phải thỏa điều kiện này. 3. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ta chỉ cần sử dụng điều kiện tiếp xúc. Nhắc lại: cho hàm số (C) : y = f (x) và đường thẳng (d) : y = ax + b. Ta có mệnh đề   ax + b = f (x) (1) có nghiệm (d) tiếp xúc (C) ⇔ Hệ pt  a = f 0 (x) (2) Chú ý: nghiệm của hệ pt trên chính là x0 của tiếp điểm, tức là, tọa độ tiếp điểm lúc này là M0 (x0 ; y0 ) với x0 là nghiệm của hệ (1)(2) và y0 = ax0 + b = f (x0 ). 4. Khi lý luận theo điều kiện cần và đủ cho các bài toán tham số, sau khi dùng điều kiện Cần để khoang vùng giá trị của tham số, nhất thiết phải check lại điều kiện Đủ, tức là, phải kiểm tra và loại trừ những giá trị tham số không thỏa yêu cầu. 4 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2 2.1. Bài tập đề nghị Nội dung ôn tập 2.1 Bài tập đề nghị Bài 1. Cho hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 3 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình 2|x|3 − 9x2 + 12|x| + 1 = m có 6 nghiệm phân biệt 3. Tìm m để phương trình |2x3 − 9x2 + 12x + 3| = m có nhiều hơn 2 nghiệm phân biệt Bài 2. (A-2006) Cho hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình 2|x|3 − 9x2 + 12|x| − 4 = m có 6 nghiệm phân biệt Bài 3. Cho hàm số y = −x4 + 8x2 − 10 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình | − x4 + 8x2 − 10| = m có 8 nghiệm phân biệt Bài 4. Cho hàm số y = x2 − 4x + 5 có đồ thị (C) x−2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 − (4 + m)|x| + 5 + 2m = 0 Bài 5. Cho hàm số y = x2 − 5x + 4 có đồ thị là (C), m là tham số. x−5 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm t thuộc R √ 161− Bài 6. Cho hàm số y = 1−t2 − (m + 5)41− √ 1−t2 + 5m + 4 = 0 x2 + x + 2 có đồ thị (C). x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua A(9; 7) Bài 7. Cho hàm số y = x2 + x + 2 có đồ thị (C). x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C). Trần Quốc Việt 5 2.1. Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số 2. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến (C). 3. Tìm các điểm trên Ox sao cho kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và các tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Bài 8. Cho hàm số y = 2x2 + mx + m (1), m là tham số. x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1. 2. Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B, biết rằng tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Bài 9. Cho hàm số y = −x4 + 2x2 + 3 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) được kẻ từ A(0 ; 3). 3. Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C). Bài 10. Cho hàm số y = x2 + x + 2 có đồ thị là (C). x+3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó song song với (D) : 5x − 9y − 41 = 0. 3. Tìm những điểm trên Oy mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến hai nhánh của (C). Bài 11. Cho hàm số y = (2m − 1)x − m2 (1), m là tham số. x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x = k. x−1 3. Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = x. Bài 12. (B-2008) Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(−1 ; −9). Bài 13. (B-2006) Cho hàm số y = x2 + x − 1 có đồ thị (C). x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên. 6 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.1. Bài tập đề nghị Bài 14. (D-2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của y = 1 3 m 2 1 x − x + (1), m ∈ R. 3 2 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2. Gọi M là điểm thuộc (Cm ) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0. Bài 15. (B-2004) Cho hàm số y = 31 x3 − 2x2 + 3x (1) có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 16. (D-2002) Cho hàm số y = (2m − 1)x − m2 (1) (m là tham số) x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = −1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. Bài 17. Cho hàm số y = 2x2 + (1 − m)x + 1 + m (1) có đồ thị (Cm ), m là tham số. x−m 1. Chứng tỏ rằng ∀m 6= −1 đồ thị (Cm ) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. 2. Tìm điều kiện của m đề hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1 ; +∞) Bài 18. Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 (1), m là tham số. 1. Định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (2; +∞) 2. Định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Bài 19. Cho hàm số y = x2 + 5x + m2 + 6 (1) có đồ thị là (Cm ), m là tham số. x+3 1. Tìm điều kiện của m đề hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1 ; +∞) 2. Cho M ∈ (Cm ) tùy ý, hãy tính tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (Cm ). Bài 20. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 6mx có đồ thị (Cm ), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Cm ) khi m = 1. 2. Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng (Dm ) : y = (m − 18)x tại 3 điểm phân biệt. Trần Quốc Việt 7 2.1. Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số Bài 21. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − 4 có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm cực đại. 3. Tìm m ∈ R để đường thẳng (Dm ) : y = 3mx + 2 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau. Bài 22. Cho hàm số y = x2 + x − 1 có đồ thị là (C). x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm trên hai nhánh của (C) hai điểm phân biệt A và B sao cho đoạn AB ngắn nhất. Bài 23. Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 3m − 1 có đồ thị (Cm ), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Cm ) khi m = 0. 2. Tìm m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng tương ứng. Bài 24. Cho hàm số y = −x4 + 2(m + 2)x2 − 2m − 3 có đồ thị là (Cm ), m là tham số. 1. Tìm điều kiện của m để (Cm ) cắt Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng. 2. Tìm điều kiện của m để (Cm ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho có đúng 2 điểm thuộc (−3 ; 3). Bài 25. Cho hàm số y = (m2 + m + 1)x + 1 có đồ thị (Cm ), m là tham số. x+m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Cm ) khi m = 1. 2. Tìm những điểm trên đường thẳng (D) : x = 2 sao cho đồ thị hàm số (1) không đi qua với mọi giá trị m ∈ R. Bài 26. (A-2008) Cho hàm số y = mx2 + (3m2 − 2)x − 2 (1), m là tham số. x + 3m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) là 45◦ . Bài 27. (A-2008) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt √ 4 2x + √ √ √ 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m , (m ∈ R) Bài 28. (D-2008) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 4 có đồ thị (C). 8 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.1. Bài tập đề nghị 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1 ; 2) với hệ số góc k (k > −3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I,A,B và I luôn là trung điểm của AB. Bài 29. (A-2007) Cho hàm số y = x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m (1) , m là tham số thực. x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O. Bài 30. (B-2007) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1) , m ∈ R. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị cách đều gốc tọa độ O. Bài 31. (D-2007) Cho hàm số y = 2x có đồ thị (C). x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm tọa độ M ∈ (C), biết tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích 4OAB bằng 14 . Bài 32. (D-2006) Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(3 ; 20) có hệ số góc là m. Tìm điều kiện của m để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài 33. (A-2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số : y = mx + 1 (1), m ∈ R. x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Cm ) khi m = 14 . 2. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm ) đến tiệm cận xiên bằng √1 . 2 Bài 34. (B-2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số : y = x2 + (m + 1)x + m + 1 (1), m ∈ R. x+1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (Cm ) khi m = 1. 2. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm ) luôn luôn có diểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng √ cách giữa chúng bằng 20. Trần Quốc Việt 9 2.1. Bài tập đề nghị Khảo sát hàm số Bài 35. (A-2002) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm k để phương trình −x3 + 3x2 + k 3 − 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Bài 36. (A-2003) Cho hàm số y = mx2 + x + m (1) (m là tham số) x−1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và 2 điểm đó có hoành độ dương. Bài 37. (A-2004) Cho hàm số y = −x2 + 3x − 3 (1) (m là tham số) 2(x − 1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. Bài 38. (B-2002) Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị. Bài 39. (B-2003) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. Bài 40. (D-2003) Cho hàm số y = x2 −2x+4 x−2 có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Tìm m để đường thẳng (dm ) : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 41. (D-2004) Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. 10 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2 2.2. Hướng dẫn và đáp số Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 2) 5 < m < 6 ; 3) 4 ≤ m ≤ 5. Hướng dẫn : 2) Ta cần xác định đồ thị (C2 ) : y = 2|x|3 − 9x2 + 12|x| − 3. Ta viết   2x3 − 9x2 + 12x − 3 khi x ≥ 0 (1) y = 2|x|3 − 9x2 + 12|x| − 3 =  2(−x)3 − 9(−x)2 + 12(−x) − 3 khi −x > 0 (2) Từ (1) ta thấy (C2 ) trùng (C), khi x ≤ 0. Từ (2) ta thấy (C2 ) trùng với phần đối xứng của (C) qua Oy, khi x < 0. Như vậy ta có đồ thị của (C2 ) như sau 3) Ta cần xác định đồ thị (C3 ) : y = |2x3 − 9x2 + 12 − 3|. Ta viết   2x3 − 9x2 + 12x − 3 khi 2x3 − 9x2 + 12x − 3 ≥ 0 (3) y = |2x3 − 9x2 + 12 − 3| =  −(2x3 − 9x2 + 12x − 3) khi 2x3 − 9x2 + 12x − 3 < 0 (4) Từ (3) ta thấy (C3 ) trùng (C), khi 2x3 − 9x2 + 12x − 3 ≥ 0. Từ (4) ta thấy (C3 ) trùng với phần đối xứng của (C) qua Ox, khi 2x3 − 9x2 + 12x − 3 < 0. Như vậy ta có đồ thị của (C3 ) như sau Lập luận: số nghiệm của phương trình m = f (x) là số giao điểm của đường thẳng (Dm ) : y = m và đường cong (C0 ) : y = f (x). Bài 2. 2) 4 < m < 5. Hướng dẫn : Tương tự bài trên. Bài 3. 2) 0 < m < 6. Trần Quốc Việt 11 2.2. Hướng dẫn và đáp số Khảo sát hàm số Hướng dẫn : Suy đồ thị tương tự bài trên, ta có Bài 4. 2) Kết quả : Số nghiệm 0 2 3 4 m −2 < m < 2 m < − 52 , ∨ , m = ±2 m = − 52 − 52 < m < −2 , ∨ , m > 2 Hướng dẫn : Ta có x2 − (4 + m)|x| + 5 + 2m = 0 ⇔ m = x2 − 4|x| + 5 (1) |x| − 2 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (dm ) : y = m và (C0 ) : y = x2 −4|x|+5 |x|−2 . Bằng cách suy đồ thị, ta có Sử dụng đồ thị ta có đáp số. Bài 5. 2) 0 ≤ m ≤ 1. Hướng dẫn : Đồ thị 12 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số Đổi biến u = 41− 2.2. Hướng dẫn và đáp số √ 1−t2 . Phương trình đầu tiên có nghiệm t ∈ R khi và chỉ khi phương trình u2 − 5u + 4 =m u−5 có nghiệm u ∈ [1; 4]. Bài 6. 2) y = 7, y = 34 x + 14 . Hướng dẫn : Đồ thị Phương trình đường thẳng (T) qua A(9; 7) với hệ số góc k có dạng y = k(x − 9) + 7. Ta có  x2 + x + 2    k(x − 9) + 7 = x−1 (T) tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ x2 − 2x − 3 có nghiệm (x; k)   k =  (x − 1)2 Giải hệ trên ta được x = 3 , k = 0 hoặc x = −3 , k = 43 . Bài 7. 1) Xem đồ thị bài trên. 2) m = −2. 3) m = 1 ± √ 7. Hướng dẫn : Điểm M trên trục hoành có dạng M (m; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình (Dm ) : y = k(x − m). Ta lập luận như sau     k(x − m) = (Dm ) tiếp xúc (C) tại 1 điểm ⇔ Hệ   k =  Trần Quốc Việt x2 + x + 2 x−1 x2 − 2x − 3 (x − 1)2 (1) có 1 nghiệm (x0 ; k0 ) (2) 13 2.2. Hướng dẫn và đáp số Khảo sát hàm số Thế (2) vào (1) và biến đổi rút gọn, ta được quan hệ tương đương như sau   2 x2 + x + 2     k = x − 2x − 3  k(x − m) = (1) x−1 (x − 1)2 ⇔ x2 − 2x − 3     (2) k =  0 = (m + 2)x2 − 2(m − 2)x − 3m − 2 (x − 1)2 (2) (3) Như vậy bài toán trở thành định m để phương trình (3) có duy nhất 1 nghiêm x0 , phương trình bậc 2 trên có một nghiệm khi và chỉ khi m = −2. Bình luận : Ta có một lời giải khác như sau. Phương trình (3) tương đương m= −2x2 − 4x + 2 (4) x2 − 2x − 3 Số nghiệm của (4) là số giao điểm của đường thẳng (dm ) : y = m với (C0 ) : y = −2x2 −4x+2 x2 −2x−3 . Để hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm thì m = −2. 3) Tương tự như lập luận trên, yêu cầu của đề bài tương đương với điều kiện hệ phương trình  2   k = x − 2x − 3 (2) (x − 1)2   0 = (m + 2)x2 − 2(m − 2)x − 3m − 2 (3) có 2 bộ nghiệm (x1 ; k1 ), (x2 ; k2 ) sao cho x1 , x2 6= 1 và k1 k2 = −1 tức là    m+2      ∆   f (1)      k k 1 2 6= 0 >0 (I) 6= 0 = −1 Điều kiện (I) chỉ khó khăn khi giải k1 k2 = −1. Ta có thể xử lý bằng cách đặt a1 = x1 − 1, a2 = x2 − 1, với x1 và x2 là nghiệm của (3). Dùng Viét ta có a1 a2 = − 4(m − 1) 8 và a1 + a2 = − m+2 m+2 Từ (2), kết hợp với kết quả trên ta có √   k1 k2 = −1 ⇔ 2a21 a22 − 4 (a1 + a2 )2 − 2a1 a2 + 16 = 0 ⇔ m2 − 2m − 6 = 0 ⇔ m = 1 ± 7 14 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số Bài 8. 2) m = 4 ± 2.2. Hướng dẫn và đáp số √ 17. Hướng dẫn : Đồ thị Dùng phương trình hoành độ giao điểm và định lý Viét, từ điều kiện kA kB = −1 ta giải được m. Bài 9. 2) y = 3, y = √ 4 6 3 x √ + 3, y = − 4 3 6 x + 3. 3) 8 3 < m < 3. Hướng dẫn : 2) Đồ thị Đường thẳng (T ) qua A(0;3) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 3.   kx + 3 (T ) tiếp xúc (C) ⇔ Hệ  k = −x4 + 2x2 + 3 3 = −4x + 4x (1) có nghiệm (x; k) (2) Thế (2) vào (1) ta giải được x từ đó tính được k và phương trình các tiếp tuyến. 3) Điểm M tùy ý trên Oy có tọa độ M (0; m). Đường thẳng (Tm ) qua M (0; m) với hệ số góc k có phương trình y = kx + m.   kx + m (Tm ) tiếp xúc (C) ⇔ Hệ  k Trần Quốc Việt = −x4 + 2x2 + 3 (1) 3 (2) = −4x + 4x có nghiệm (x; k) 15 2.2. Hướng dẫn và đáp số Khảo sát hàm số Thế (2) vào (1) và giữ lại (2) ta có quan hệ tương đương    kx + m = −x4 + 2x2 + 3 (1)  k ⇔   m k = −4x3 + 4x (2) = −4x3 + 4x (2) = 3x4 − 2x2 + 3 (3) Lập luận: (Tm ) tiếp xúc với (C) tại 4 điểm khi và chỉ khi (3) có 4 nghiệm, tức là, phương trình 3t2 − 2t + 3 − m = 0 có hai nghiệm t1 , t2 thỏa 0 < t1 < t2 . Đặt f (t) = 3t2 − 2t + 3 − m, ta có    ∆ > 0   8 0 < t1 < t2 ⇔ 0 ⇔  3    S > 0 Bình luận : Một cách giải khác như sau. Sử dụng đồ thị Phương trình (3) có 4 nghiệm khi và chỉ khi m ∈ ( 38 ; 3). Bài 10. 2) y = 59 x + √ 8 2−10 , 3 y = 59 x − √ 8 2+10 . 3 3) M (0; m) với m < −2. Hướng dẫn : 2) Hình vẽ Đường thẳng xiên (T) song song với (D) : 5x − 9y − 41 = 0 có phương trình dạng y = 95 x + m, m là tham số thực. (T ) tiếp xúc (C) ⇔ Hệ    16 5 9x +m 5 9 = x2 +x+2 x+3 (1) = x2 +6x+1 (x−3)2 (2) có nghiệm x Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2. Hướng dẫn và đáp số Giải (2) tìm được x. Thế x vào (1) tìm được m và các tiếp tuyến. 3) Điểm M tùy ý trên Oy có tọa độ M (0; m). Đường thẳng (Tm ) qua M (0; m) với hệ số góc k có phương trình y = kx + m.   kx + m (Tm ) tiếp xúc (C) ⇔ Hệ  k = = x2 +x+2 x+3 2 x +6x+1 (x+3)2 (1) có nghiệm (x; k) (2) Thế (2) vào (1) và giữ lại (2) ta có quan hệ tương đương   kx + m  k = = x2 +x+2 x+3 (1) x2 +6x+1 (x+3)2 (2) ⇔     k 0    = = x2 +6x+1 (x+3)2 (2) 2 (m + 2)x + (6m − 4)x + 9m − 6 {z } | (3) f (x) Lập luận: (Tm ) tiếp xúc với (C) tại 2 nhánh khi và chỉ khi (3) có 2 nghiệm thỏa x1 < −3 < x2 , tức là: (m + 2)f (−3) < 0 ⇔ m < −2 Bình luận : Ta có một lời giải khác như sau. Phương trình (3) tương đương m= −2(x2 − 2x − 3) (4) x2 + 6x + 9 Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa x1 < −3 < x2 khi và chỉ khi đường thẳng (dm ) : y = m cắt (C0 ) : y = −2(x2 −2x−3) x2 +6x+9 tại 2 điểm x1 , x2 sao cho x1 < −3 < x2 . Từ đồ thị Ta tìm được m ∈ (−∞; −2). Bài 11. 2) k 6= 1 : 1 nghiệm; k = 1 : vô nghiệm. 3) m 6= 1. Hướng dẫn : 1) Đồ thị Trần Quốc Việt 17 2.2. Hướng dẫn và đáp số 2) Biện luận −x x−1 Khảo sát hàm số = −k. 3) Dùng điều kiện tiếp xúc, chứng minh rằng hệ phương trình tiếp điểm luôn có nghiệm nếu m 6= 1. Bài 12. 2) y = 24x + 15, y = 15 4 x − 21 4 . Hướng dẫn : Đồ thị hàm số √ √ Bài 13. 2) y = −x + 2 2 − 5, y = −x − 2 2 − 5. Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Bài 14. 2) m = 4. 18 Luyện thi cao đẳng đại học 2009 Khảo sát hàm số 2.2. Hướng dẫn và đáp số Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Bài 15. Hướng dẫn : Đồ thị hàm số Hệ số góc tiếp tuyến y 0 = x2 − 4x + 3 = (x − 2)2 − 1 ≥ −1. Bài 16. 2) S = −1 + 4 ln 43 . 3) m 6= 1. Hướng dẫn : 2) Đồ thị Z 0 Diện tích S = − 13 Trần Quốc Việt −3x − 1 dx = x−1 Z 0 − 13  4 −3x − x−1  4 dx = −1 + 4 ln . 3 19 2.2. Hướng dẫn và đáp số Khảo sát hàm số √ Bài 17. 1) A(-1;-2) và (T ) : y = x − 2. 2) m ≤ 3 − 2 2 Hướng dẫn : Bước 1 : Tìm các điểm cố định của (Cm ). Với mọi m, x ∈ R sao cho x 6= m, ta có y= 2x2 + (1 − m)x + 1 + m ⇔ y(x−m) = 2x2 +(1+m)x+1+m ⇔ m(y−x+1) = xy−2x2 −x−1 (1) x−m Điểm A(x0 ; y0 ) là điểm cố định của (Cm ) khi và chỉ khi (x0 ; y0 ) thỏa (1) với mọi m 6= x0 , tức là:    y −x +1 = 0 x0 = 1 ∧ y0 = 0 0 0 ⇔   2x2 − x − 1 = 0 x0 = −1 ∧ y0 = −2 0 0 Bước 2: Chứng minh y 0 không phụ thuộc vào m tại một trong các điểm cố định. y0 = 2x2 − 4mx + m2 − 2m − 1 (x − m)2 ) Ta thấy y 0 (1) = m2 − 6m + 1 (m − 1)2 và y 0 (−1) = m2 + 2m + 1 = 1 (hằng số) (m + 1)2 Đường thẳng qua A(-1;-2) với hệ số góc k = y 0 (−1) = 1 là (T ) : y = x − 2. Tóm lại (Cm ) luôn tiếp xúc với (T ) tại A(-1;-2). 2) Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi và chỉ    m≤1        ∆≤0          ∆       0    y (1)         S   2 Bài 18. 1) m ≤ 5 12 . 2) 7 12 ≤m≤ khi y 0 ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) và m 6∈ (1; +∞). Tức là > 0 ≥ 0 < 1 √ ⇔ m≤3−2 2 5 12 Hướng dẫn : 1) Đạo hàm y 0 = 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + 5. Lập luận: hàm số (1) đồng biến trên (2; +∞) khi và chỉ khi y 0 ≥ 0 , ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ 3x2 − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 , ∀x ∈ (2; +∞)  ∆≤0        ∆ > 0  ⇔   0  y (2) ≥ 0     S  < 2 2 5 ⇔ m≤ 12 2) Chú ý rằng miền (−∞; −1) ∪ (2; +∞) gồm hai phần rời nhau. Do đó ta lập luận: hàm số (1) đồng biến trên (−∞; −1) ∪ (2; +∞) khi và chỉ khi   y 0 ≥ 0 , ∀x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) (2)  y(−1) < y(2) (3) 20 Luyện thi cao đẳng đại học 2009