Tài liệu Lượng giác một số công thức lượng giác (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

§3. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng: sin( a b) sin( a b) cos( a b) cos( a b) tan( a b) tan( a b) sin a.cos b sin b.cos a sin a.cos b sin b.cos a cos a.cos b sin a.sin b cos a.cos b sin a.sin b tan a tan b 1 tan a.tan b tan a tan b 1 tan a.tan b 2. Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi. sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 2sin .cos 2 cos 2 tan 2 1 1 2 sin 2 2 tan 1 tan 2 b) Công thức hạ bậc. sin 2 cos 2 tan 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 1 cos 2 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 1 cos a cos b cos( a b) cos( a b) 2 1 sin a sin b cos( a b) cos( a b) 2 1 sin a cos b sin( a b) sin( a b) 2 1 4. Công thức biển đổi tổng thành tích. cos a cos b cos a cos b sin a sin b sin a sin b 2 cos a b 2 a .cos b a b 2 tan a sin( a b) cos a.cos b tan a tan b cot b sin( a b) sin a.sin b cot a cot b .sin sin( a b) cos a.cos b cot a a b 2 2 a b a b 2 sin .cos 2 2 a b a b 2 cos .sin 2 2 2 sin tan b sin(b a) sin a.sin b B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos7950 . A. 6 2 4 B. 6 2 4 C. 6 4 D. 2 4 D. 5 1 4 b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180 A. 5 1 2 B. 5 2 2 c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan C. 5 1 3 7 12 2 A. 2 3 3 d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot A. 1 B. 3 2 C. 2 3 D. C. 2 2 B. 2 D. 1 2 2 2 2 3 5 8 2 Lời giải: a)Vì 7950 cos7950 cos750 b)Vì 540 Mà cos 360 sin 540 750 2.3600 cos 300 cos 450 360 Vì 0 3 2 . 2 2 sin 300 sin 450 1 2 . 2 2 6 2 4 cos 360 360 sin180 cos 36 0 sin 36 0 cos18 0 2 sin180 cos 2 180 sin18 0. 1 2 sin 2 18 0 2 sin180 1 sin 2 180 4 sin 3 180 Do đó 3sin180 sin180 2.3600 nên 1 2 sin 2 180 sin180. 1 2 sin 2 180 3sin180 450 900 nên sin 540 cos 2.180 sin 180 300 4 sin 3 180 1 2 sin 2 180 c) tan 1 nên sin180 7 12 3 4 2 sin18 0 1 0 5 1 . 2 tan tan 1 4 sin 2 180 5 1 2 5 1 hoặc sin180 2 1 hoặc sin180 sin180 sin180 tan 3 1 tan 3 tan 3 4 1 1 3 2 3 4 3 d) cot 5 8 cot 2 tan 8 8 2 tan Ta lại có 1 1 tan 2 tan Do tan Vậy cot 5 8 tan 2. tan 2 8 2 hoặc tan 0 nên tan 8 4 2 tan 8 1 8 tan 1 8 1 8 1 8 8 1 tan 2 tan 8 suy ra 2 8 8 1 0 2 2 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A sin 220 30'cos 2020 30' 2 4 A. b) B 4 sin 4 A. 6 2 cos cos 5 5 3 2 3 C. D 3 2 4 8 B. 4 c) C A. 16 2 sin 2 5 B. 5 2 4 C. 3 2 4 D. 6 2 4 2 15 2 cos 15 sin B. 3 C. 3 3 D. 2 3 4 d) D sin sin 9 5 9 sin 7 9 A.0 3 B. C. 3 3 2 3 D. Lời giải: a) Cách 1: Ta có cos 2020 30' cos 1800 220 30' cos 22 0 30' Do đó A sin 220 30'cos 220 30' 1 sin 450 2 Cách 2: A 1 sin 220 30' 2020 30' 2 sin 22 0 30' 202 0 30' 1 sin 1800 2 450 1 sin 450 2 sin1800 b) B 2 sin 1 2 cos sin c) C cos d) D 5 5 sin 2 cos 16 8 cos sin 180 0 2 4 2 cos 16 1 cos 8 2 cos 8 1 2 4 8 1 2 cos 7 9 sin 5 9 2 sin 4 .cos 9 3 2 2 1 1 2 1 2 sin 2 5 15 2 5 15 1 2 1 2 2 sin sin 2 5 15 2 5 15 2 15 2 cos 15 9 1 cos 2. 8 2 sin sin 1 sin 2250 2 2 2 2 2 4 sin 5 9 6 2 4 cos sin sin 2 6 cot 3 6 6 4 9 sin 5 9 0 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A 1 cos 2900 1 3 sin 2500 5 4 3 3 A. 3 2 B. 2 3 3 C. D. 3 3 1 tan 200 1 tan 250 b) B A.2 B.1 tan 90 c) C tan 27 0 9 sin 2 2 9 sin A.2 B. sin 9 D.5 1 2 D.5 tan 810 B.4 sin 2 D.5 C.3 tan 630 A.2 d) D C.3 2 9 3 4 C. Lời giải: a) Ta có cos 2900 sin 2500 C sin 1800 1 sin 200 4 cos 1800 900 200 200 cos 900 sin 90 0 20 0 3 sin 200 1 3 cos 200 sin 600 cos 200 b) Cách 1: Ta có B 900 3 sin 40 1 0 sin 200 1 cos 200 cos 20 0 4 sin 400 3 sin 40 sin 250 cos 250 sin 200 3 1 cos 200 sin 20 0 2 4 2 0 3.2.sin 20 .cos 20 0 sin 20 0 3 sin 20 0.cos 20 0 cos 600 sin 200 20 0 0 4 3 3 sin 200 cos 200 sin 250 cos 250 . cos 200 cos 250 sin 200 cos 450 cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 cos 250 sin 450 2. . 2. cos 200 cos 250 6 sin 650 sin 700 2 cos 200 cos 250 2 Cách 2: Ta có tan 45 0 tan 20 tan 200 tan 250 1 tan 200 tan 250 Suy ra 1 1 tan 200 1 tan 250 Vậy B c) C 50 tan 200 tan 250 1 tan 200 tan 250 0 tan 200 tan 250 tan 200 tan 250 1 2. 2 tan 90 tan 810 tan 27 0 sin 90 cos 810 sin 810 cos 90 cos 90 cos 810 1 0 cos 9 sin 90 sin 2 9 2 2 sin 6 1 cos 2 sin 27 0 cos 630 sin 630 cos 27 0 cos 27 0 cos 630 cos 9 2 sin180 2 sin 540 2 sin 540 sin180 sin180 sin 540 4 2 sin 9 2 tan 630 1 0 cos 27 sin 27 0 4 cos 360.sin180 sin180.sin 540 d) D 0 18 1 1 2 2 2 sin sin 9 9 1 cos 2 3 cos 9 cos sin 9 9 2 sin 9 cos 2 18 2 sin 1 1 2 2 9 cos sin 2 9 9 3 4 Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng 7  sin x  3 cos x cos x 3 sin x  sin x 2 1 sin x 2 2 cos x 2 cos .cos 3 cos x 2 3 sin x 2 1 sin x 2 sin( x 1 cos x 2 2 sin( x 3 6 sin A. b) B 32 3 2 16 .cos ). 8 3 16 B. 12 16 C. D. B. cos cos 5 cos 2 A.2 7 3 4 C. 1 2 2 16 D.5 B. 1 16 3 4 C. 1 2 D.5 C. 5 4 D.5 3 5 A.2 d) D 16 4 sin10o.sin 30 o.sin 50 o.sin 70 o A. c) C 32 ) 1 cos x 2 sin( x 2 2 Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A ) cos 2 2 7 cos 2 B. 3 4 3 7 Lời giải: 8 a) A 1 2 sin cos .cos .cos 2 32 32 16 8 1 sin .cos .cos 2 16 16 8 b) Ta có B 1 sin 8 4 1 cos 200 cos 40 0 cos 80 o do đó 2 16 sin 200.B 1 sin .cos 4 8 8 8 sin 200 cos 200 cos 40 0 cos 80 o 4 sin 400 cos 400 cos 80 o 2 sin 800 cos 800 Suy ra B c) Ta có C sin1600 16 sin 200 2 cos 2 sin .C 5 4 sin Suy ra C 5 sin 160 0 1 . 16 cos 2 . Vì sin 5 5 2 5 0 nên 2 2 cos 5 5 4 5 1 2 1 cos c) D Xét T 2 7 5 cos 5 1 cos 2 cos 2 7 cos 4 7 2 cos 4 7 2 sin 1 cos 6 7 2 cos 6 , vì sin 7 7 3 2 sin 1 2 cos 2 7 cos 4 7 cos 6 7 0 nên 9 2 16 2 sin T 7 2 sin sin 3 7 sin 2 7 sin 2 sin 7 cos 7 5 sin 7 4 7 sin 2 sin 3 7 7 cos sin 6 7 sin 5 7 7 1 . 2 Suy ra T 3 2 Vậy D 7 cos 1 . 2 Ví dụ 5: Cho 1 2 5 . 4 thoả mãn sin , a) Tính cos 2 và cos 2 sin cos 6 . 2 . B. b) Tính sin 3 4 C. 5 4 D.5 B. A.0 3 4 C. 5 4 D. . A.2 3 2 Lời giải:  Ta có sin cos cos 2 2 sin 6 2 cos2 sin 2 cos2 sin 2 2 cos cos 2 sin sin 1 (1) 2 3 (2) 2 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được 10 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 sin sin Vậy cos cos 2 2 sin sin cos cos 2 2 cos cos 2 cos 2 0 0  Từ giả thiết ta có sin sin cos sin cos 1 sin 2 2 sin 2 Mặt khác sin 2 sin cos sin cos 3 2 sin cos 3 2 sin sin 2 2 6 . 2 2 cos 2 sin 0 (Do cos cos 0 ) 3 2 Suy ra sin 3. Bài tập rèn luyện. Bài 6.26: a)Tính giá trị lượng giác sau sin A. 1 2 B. 2 2 2 2 2 2 2 B. 2 c) Tính giá trị lượng giác sau cot A. 2 3 B. 2 C. 2 b) Tính giá trị lượng giác sau sin A. 8 2 3 2 D. 2 2 2 2 2 16 2 3 2 C. 2 2 7 2 D. 2 2 2 2 11 12 3 C. 2 3 D. 2 2 3 11 Lời giải: Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được 2 sin2 2 sin 2 cot 1 cos 8 16 2 2 4 1 cos 8 sin 2 1 2 2 8 2 2 2 2 sin 2 16 1 tan 11 12 cot cot 12 3 4 2 2 tan 3 3 tan tan 2 1 4 3 3 1 2 3 4 Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau: a) A 4 sin 450 cos120 cos 30 A. b) B 1 3 B. 2 1 2 3 2 sin 360 C. 1 3 2 D. 1 3 3 1 cot 230 1 cot 220 A.2 c) C sin 540 cos B.3 9 5 9 cos A.0 2 sin d) D 2 cos A.1 5 5 2 sin 2 sin D.5 B.3 cos C.4 C.4 D.5 B.3 C.4 D.5 7 9 20 20 12 Lời giải: Bài 6.27:a) 4 sin 450 cos120 cos 30 2 sin 450 cos150 c) C sin 300 sin 360 2 sin 450 cos150 1 sin 600 cot 450 2 cos cot 22 0 3 2 cos 9 9 2 sin 2 sin 5 d) D 2 cos 2 sin 5 230 cos 20 20 7 9 cos sin 4 4 cos 90 2 sin 450 cos 90 3 2 2 sin 230 cos 230 cos 220 1 1 sin 230 sin 220 b) C1: B C2: 1 sin 540 450 . 2 sin 220 2 sin 230 sin 220 cot 220 cot 230 1 cot 220 cot 230 cos 450 2 9 2 sin 2 cos 5 5 cos 7 9 3 10 3 cos 10 sin B 2 0 sin cos 2 sin 5 4 cos 10 1 2 cos cos 4 10 5 Bài 6.28: Tính: a) Tính giá trị lượng giác của góc cos A. b) cos 4 2 6 B. 4 24 sin 4 1 2 3 2 12 C. 1 3 2 D. 1 3 3 24 13 2 A. B. c) cos 360 1 2 3 2 C. 1 2 D. 1 8 C. 1 2 D. 1 3 D. 2 1 3 3 cos720 2 A. C. B. 4 1 2 3 2 B. 6 6 4 1 3 3 d) sin100 sin 500 sin 700 2 A. 6 4 1 3 3 Lời giải: Bài 6.28: a) cos Tương tự sin b) cos 4 24 c) cos 36 0 2 cos 2 360 2 cos 360 12 cos 3 6 12 sin 4 2 4 24 cos 72 0 cos 2 cos cos 3 4 4 , tan 2 12 sin 2 24 2 cos 36 0 24 2 cos 2 720 cos 72 0 cos 720 2 cos 36 0 d) 8 sin 200 sin100 sin 500 sin 700 4 sin 400 cos 400 cos 800 3,cot cos 2 2 12 24 cos 72 0 cos 36 0 2 cos 36 0 2 sin sin 3 4 sin 2 6 4 3 24 cos 2 12 6 4 cos 72 0 cos 72 0 cos144 0 cos 72 0 1 2 8 sin 200 cos 200 cos 400 cos 800 2 sin 800 cos 800 sin1600 sin 200 14 1 8 sin 10 0 sin 50 0 sin 70 0 Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A cos2 730 A. b) B cos730 cos 47 0 3 4 B. 1 8 C. 1 2 D. 1 3 3 sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 A. c) C cos 2 47 0 cos A. B. 7 A. 1 2 D. 1 8 C. 1 2 D. 1 8 C. 1 2 D. 2 1 3 3 4 5 cos 7 7 1 16 1 sin 10 0 d) D C. B. cos 1 8 B. 1 16 1 3 3 4 sin 70 0 1 16 Lời giải: Bài 6.29: a) A cos 730 1 cos 360 2 cos 47 0 1 4 2 cos 730 cos 47 0 cos 360 2 2 cos 60 0 cos18 0 2 1 cos120 0 2 cos 360 3 4 15 b) B 0 0 sin 6 cos 48 cos 24 cos12 2 4 8 sin sin 7 . 7 . 7 2 4 2 sin 2 sin 2 sin 7 7 7 1 2 cos 800 1 4 sin 700 sin100 sin100 Bài 6.30: Cho sin120 sin 240 sin 480 sin 960 . . . 2 cos 60 2 sin120 2 sin 240 2 cos 480 0 sin 4 2 cos cos cos 7 7 7 c) C d) D 0 sin 1 8 2 sin100 thoả mãn sin , cos 600 1 16 m và cos n , mn cos 0. Tính cos A. m2 n2 1 2 B. 3m 2 n2 2 2m C. 2m C. m2 n2 2 1 D. 1 D. 1 D. m2 n2 2 2n Tính cos A. n2 m 2 m 2 n2 Tính sin A. B. 3m 2 n2 2 m2 n2 2 m2 n2 2 2n . n2 m 2 m 2 n2 B. 2mn m 2 n2 C. m2 n2 2 m2 n2 2 2n Lời giải: Bài 6.30: + Ta có sin sin 2 cos cos 2 m2 n2 16 sin 2 sin 2 cos2 m2 cos n2 cos 2 cos 2 sin + sin sin cos 1 sin 2 2 n2 2 m2 n2 cos sin cos sin n 2 cos sin 2 n2 m2 n2 2 cos . sin 2 sin cos Suy ra 2 cos 2 sin sin 2 cos cos m2 n2 1 2 + cos m2 cos 2 m 2 m2 cos 2 2 cos n2 2cos cos 1 sin m2 n2 mn n2 m 2 m 2 n2 cos mn sin cos sin mn 2 cos 2 sin cos mn sin mn sin cos 2mn m 2 n2 Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A sin A. 30 7 13 19 25 sin sin sin 30 30 30 30 1 32 b) cos 24o A. sin 1 32 B. cos 48 o cos 84 o B. 1 2 C. 1 4 D. 1 8 C. 1 4 D. 1 8 cos12 o 1 2 17 m2 c) cos cos 7 A. 2 7 cos 3 7 1 32 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 8 Lời giải: Bài 6.31: a) 1 32 b) 1 2 c) 1 2 Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau: a) A 4 5 cos .cos .cos 7 7 7 A. b) B C. 1 16 D. 1 32 1 8 B. 3 8 C. 1 16 D. 1 32 C. 1 16 D. 1 32 C. 1 16 D. 1 32 1 8 B. cos 2 4 8 16 32 .cos .cos .cos .cos 31 31 31 31 31 1 8 B. A. e) F 3 8 sin 6 o.sin 42 o.sin 66 o.sin 78 o A. d) E B. cos100.cos 500.cos700 A. c) C 1 8 3 8 3 8 sin 5o.sin 15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85 o 18 A. 1 8 3 8 B. C. 1 16 D. 2 512 Lời giải: Bài 6.32: a) 1 8 3 8 b) c) 1 16 d) 1 32 e) 1 tan10 1 tan 20 ... 1 tan 450 Bài 6.33: Tính A A. 223 B. 3 8 C. 2 24 D. 2 512 Lời giải: Bài 6.33: 1 tan k 0 2 cos 450 cos k k0 0 1 tan k 0 1 tan 450 k0 2 223 Do đó A Bài 6.34: Tính A cos cos 2 cos 3 ...cos999 A. 223 B. với 1 2 2 1999 C. 2 24 999 D. 2 512 Lời giải: Bài 6.34: Đặt B 2999 A.B sin sin 2 sin 3 ...sin999 sin 2 sin 4 ...sin1998 (sin 2 sin 4 ...sin 998 ). Suy ra A khi đó 1 2 999 sin 2 1002 ... sin 2 1998 B . 19