Tài liệu Lưỡng cực điện

LƯỠNG CỰC ĐIỆN Biên soạn: Nguyễn Chí Trung Đơn vị công tác: THPT Chuyên Bắc Ninh LỜI NÓI ĐẦU: Trong chương trình vật lý THPT chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện, tôi thấy có nội dung về lưỡng cực điện, trong các tài liệu đã trình bày tương đối đầy đủ về việc xác định điện trường và điện thế của lưỡng cực điện điểm, tuy nhiên việc vận dụng cho trường hợp lưỡng cực điện có phân bố phức tạp, tương tác giữa lưỡng cực điện với các vật dẫn có hình dạng đặc biệt, ảnh của lưỡng cực điện, dao động của lưỡng cực điện, chuyển động của lưỡng cực trong điện trường và từ trường thì mới đề cập ở mức độ , theo tôi cần phải có chuyên đề trao đổi về phần này. Vì phần này là kiến thức tổng hợp và được đề cập nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt là học sinh giỏi Quốc gia môn Vật lý, trong các kỳ thi APHO và IPHO. Sau đây là nội dung của một số vấn đề mà tôi sẽ đề cập : - Tóm tắt các kiến thức liên quan. - Các ứng dụng. - Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết. - Các bài tập tự luyện tập với đáp số. 1 I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Lưỡng cực điện là một hệ hai điện tích có độ lớn bằng nhau nhưng trái dấu + q và – q, cách nhau một đoạn rất nhỏ so với khoảng cách từ lưỡng cực tới các điểm đang xét trong điện trường. Để đặc trưng cho lưỡng cực điện người ta dùng đại lượng vec tơ mô men lưỡng ur cực điện, gọi tắt là mô men điện của lưỡng cực, kí hiệu là p e uur r pe  ql (1) r l –q +q Hình 1 ur r ( p e có đơn vị trong hệ SI là C.m), trong đó l là vec tơ hướng từ – q đến + q (hình 1). Đường thẳng nối hai điện tích gọi là trục của lưỡng cực. Lưỡng cực điện là một hệ điện tích thường gặp trong các vật thể, ví dụ như các nguyên tử hay phân tử của nhiều vật thể khi đặt trong điện trường ngoài, thì dưới tác dụng của điện trường ngoài, chúng bị biến dạng (vì các hạt mang điện cấu thành chúng bị dịch chuyển do tác dụng của điện trường), khiến cho H+ về mặt phân bố điện tích, có thể xem chúng là lưỡng cực điện. 2O Ngoài ra một số phân tử như phân tử nước, có cấu tạo sao cho H+ tuy toàn bộ phân tử là trung hòa về điện nhưng phân tử có thể Hình 2 xem như một lưỡng cực (ở phân tử nước do ion âm oxi và hai ion dương hidro phân bố không đối xứng như hình 2) 2. Cường độ điện trường và điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện a) Điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện Ta xét vec tơ cường độ điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện tại điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nối hai điện tích của lưỡng cực. ur Để tìm vec tơ cường độ điện trường E M , ta vẽ ur ur 2 các vec tơ cường độ điện trường E1 và E 2 do các ur E điện tích điểm +q và – q gây ra tại M, sau đó áp dụng nguyên lý chồng chập điện trường ta có ur ur ur ur ur E M  E1  E 2 với E1 và E 2 có hướng như hình 3 và có độ lớn E1  E2  q 4 0  r12 ur  E Mur E1 A –q 2  M r1 r r l Hình 3 B +q l Từ hình 3 ta có: EM  2 E1cos với cos  2r 1 ql Từ đó: EM  4 0  r13 l2 Vì r >> l nên r1  r  �r , mặt khác pe  ql 4 2 Do đó ta được: EM  ur pe (2) 4 0  r 3 ur r Vì vec tơ E song song và ngược chiều l (tức là với p e ) nên ta có thể viết uur uuur pe EM   (3) 4 0  r 3 O M Tương tự, nếu điểm M nằm trên trục lưỡng cực như hình 4 thì ta có: uur uuur 2 pe EM   (4) 4 0  r 3 –q r l +q ur EM Hình 4 Ta thấy, cường độ điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện có độ lớn tỉ lệ nghịch với lũy thừa ba của khoảng cách từ điểm khảo sát tới lưỡng cực. b) Điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện Theo công thức tính điện thế, điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện tại điểm M cách lưỡng cực (trung điểm O của AB) một khoảng r có biểu thức: VM  q q q �r1  r2 �   � � 4 0 r2 4 0 r1 4 0 � r1r2 � Trong đó r1, r2 là khoảng cách từ M đến các điện tích – q và + q 2 Vì r1, r2 >> l nên r1  r2 �l cos  (với  là góc giữa OM và AB) và r1.r2 �r Do đó : VM  ql cos  pe cos   (5) 4 0 r 2 4 0 r 2 Ta thấy điện thế gây ra bởi lưỡng cực điện có độ lớn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm khảo sát tới lưỡng cực. Dựa vào hệ thức giữa cường độ điện trường và điện thế, từ biểu thức (5) của điện thế ta tìm ur được cường độ điện trường E tại điểm M do 3 ur ur E M En lưỡng cực điện gây ra. Trong hệ tọa độ cực, liên hệ giữa điện trường và điện thế là: Et   � V pe cos   (6) � r 2 0 r 3 1� V M p sin  e Và Er   r �  4 r 3 (7) 0 r1 pe E E E �E  1  3cos 2  (8) 3 4 0 r ur ur và góc hợp bởi vec tơ E với E t là E 1 tan   n  tan  (9) Et 2 2 2 r  ur Et r 2  Dễ thấy rằng khi thay   A –q O r l  B +q  vào (7) ta tìm lại được (2) và   0 vào (6) ta tìm 2 được (4). 3. Tác dụng của điện trường lên lưỡng cực điện a) Lực tác dụng lên lưỡng cực đặt trong điện trường + Trước tiên ta hãy xét trường hợp điện trường đều (hình vẽ). Khi đó các lực tác dụng lên hai điện tích của lưỡng cực có độ lớn bằng nhau ( F = qE) và ngược hướng nhau, chúng tạo nên ngẫu lực có mô men M  qE.l.sin   pe .E.sin  (10) với r ur uur  là góc hợp bởi vec tơ l và vec tơ E . Vec tơ mô men ngẫu lực M có phương ur ur trùng với trục quay của lưỡng cực điện, tức là vuông góc với p e và E . Ngẫu lực này có tác dụng làm cho lưỡng cực điện quay trong điện trường sao cho hai vec ur ur tơ p e và E song song với nhau. Vị trí cân bằng +q ur F ur F của lưỡng cực điện là vị trí ở đó có mô men  ngẫu lực bằng không, ứng với   0 và    . –q Vị trí ứng với   0 là vị trí cân bằng bền còn vị trí    là vị trí cân bằng không bền, vì chỉ cần cho lưỡng cực điện quay lệch khỏi vị trí đó một chút là sẽ có xuất hiện ngay một mô men ngẫu lực làm nó lệch thêm khỏi vị trí này. 4 Với quy ước mô men lực làm lưỡng cực quay theo chiều kim đồng hồ có giá trị âm thì thay cho (10) ta có thể viết: M   qE.l.sin    pe .E.sin  (11) + Bây giờ ta xét lưỡng cực điện đặt trong điện trường không đều. Đầu tiên ta giả sử rằng, lưỡng cực điện đã nằm dọc theo một đường sức của điện trường (   0 ) (hình vẽ). Khi đó, lực tác dụng lên các điện tích không bằng nhau và lực điện tổng hợp tác dụng lên lưỡng cực điện là khác không. Ta chọn trục tọa độ x theo hướng ur u u r F1 +q –q r l uu r F2 ur E r của vec tơ p e (tức là chiều của vec tơ l ). Vì điện trường không đều, nên cường độ điện trường tại điểm đặt điện tích – q là E còn cường độ điện trường tại điểm đặt điện tích + q là E '  E  E .l x Do đó lực tác dụng lên điện tích âm có độ lớn là F 2 = qE, và lực tác dụng lên điện � tích dương có độ lớn là F1  qE '  q �E  � E � .l � x � E ur E  pe Lực tổng hợp F tác dụng lên lưỡng cực có độ lớn là F  F1  F2  ql x x (12). Và hướng về phía có điện trường mạnh. Ta cũng dễ thấy rằng, trong điện trường đều thì E  0 , lúc đó F = 0 x Như vậy, nếu đặt một lưỡng cực điện vào trong một điện trường không đều, thì nó chịu tác dụng của lực và ngẫu lực. Ngẫu lực có xu hướng làm nó quay trong điện ur ur trường cho đến khi mô men lưỡng cực p e có phương trùng với vec tơ E ; còn lực có tác dụng kéo lưỡng cực về phía có điện trường mạnh. Điều này giải thích tại sao đũa thủy tinh hay ebonit nhiễm điện lại có thể hút các vật thể nhẹ. Khi ta đưa đũa thủy tinh nhiễm điện lại gần các vật nhẹ, thì dưới tác dụng của điện trường do điện tích trên đũa tạo ra, các vật bị nhiễm điện trở thành lưỡng cực điện lưỡng cực điện này chịu tác dụng của điện trường không đều do đũa tạo ra, bị hút về phía đũa là nơi có điện trường mạnh hơn. b) Thế năng của lưỡng cực điện trong điện trường. 5 Sự định hướng của một lưỡng cực điện trong điện trường có liên quan đến thế năng của nó: khi lưỡng cực được định hướng ở trạng thái cân bằng thì mô men lưỡng cực ur ur p e có hướng trùng với vec tơ E , thế năng của nó đạt giá trị cực tiểu, thế năng của lưỡng cực có giá trị lớn hơn ở mọi dịnh hướng khác của lưỡng cực. Bởi vì chỉ có hiệu thế năng mới có ý nghĩa vật lý, ta có thể quy ước: thế năng của lưỡng cực bằng không khi góc    / 2 ở hình 6. Dựa vào (11) ta có thể tính được thế năng W t của lưỡng cực khi góc  có giá trị bất kì, bằng cách tính công A mà điện trường cần thực hiện để làm lưỡng cực quay từ  0   / 2 đến . uur ur Phép tính chi tiết cho ta: Wt   pe .E.cos   pe .E (13) Từ (13) ta thấy thế năng của lưỡng cực là nhỏ nhất Wt   pe .E khi  = 0, nghĩa là ur ur vec tơ p e có hướng trùng với vec tơ E và thế năng của lưỡng cực là lớn nhất ur ur Wt  pe .E khi  = 180o, nghĩa là vec tơ p e ngược hướng với vec tơ E . c) Chú ý: Khi lò vi sóng (thiết bị nấu chín thức ăn nhờ sóng điện từ bước sóng ngắn) hoạt động, các sóng điện từ có bước sóng ngắn (cỡ m) tạo ra trong lò một điện trường biến thiên nhanh cả về cường độ lẫn chiều. Vì phân tử nước có mô men lưỡng cực lớn, nên nếu có nước trong lò, điện trường biến thiên đó sẽ tác dụng mô men lực lên các phân tử nước làm cho chúng đổi chiều liên tục để định hướng mô men lưỡng cực của chúng theo chiều điện trường. Năng lượng (thế năng) mà chúng thu được từ điện trường sẽ chuyển thành năng lượng nhiệt, truyền cho khối nước làm nhiệt độ của nước tăng lên. Các thực phẩm có chứa nước đặt trong lò vi sóng được đun nóng (nấu chín) nhờ sự làm nóng nước đó. Nếu như phân tử nước không phải là lưỡng cực điện thì không có điều nói trên và lò vi sóng sẽ vô dụng! 6 II. BÀI TẬP VÍ DỤ Bài tập 1 ur Một lưỡng cực điện điểm, với mô men điện p , có tâm O, được đặt dọc theo trục x’Ox. Lưỡng cực đặt trong điện trường ngoài đều có vec tơ cường độ bằng ur E 0 hướng theo trục x’Ox. a) Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm lưỡng cực và điện trường tại một điểm M có tọa độ cực r, và ur góc , ở đủ xa lưỡng cực. Người ta giả thiết điện thế của điện trường đều E 0 bằng không tại điểm gốc O. b) Xác định mặt đẳng thế V = 0. Xác định kích thước mặt đẳng thế đó. c) Chứng minh rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V = 0 có giá trị 3E0 cos d) Thay mặt đẳng thế đó bằng một mặt cầu kim loại mà không làm thay đổi điện thế tại mọi điểm bên ngoài. Tính mật độ điện mặt  tại mọi điểm của mặt cầu. Giải a) Biểu thức cho điện thế V tại điểm M(r,) VE   � E0 dx   E0 .x  const Tại điểm O, x = 0, V0 = 0 nên VE   E0 .x   E0 .r.cos 1 Điện thế của lưỡng cực ở M xa điểm O là: V  4 0 �1 p pe cos r2 � e  E0 r � cos Điện thế tổng hợp tại M là : VM  VE  V  � 2 4  r � 0 � b) Mặt đẳng thế ứng với V= 0 Tương đương với : * cos = 0 hay    . Đó là mặt phẳng trung trực của lưỡng cực 2 1 pe 1 pe 1 pe 3 * 4 r 2  E0 r  0 � r  4 E . Đó là mặt cầu tâm O bán kính r  3 4 0 E0 0 0 0 c) Điện trường ở M(r,) có các thành phần: 7 * Er   � � V � 2 pe �  E0 � cos 3 � r �4 0 r � * E   � 1� V � 1 pe �  E0 � sin 3 r�  �4 0 r � 1 p e Trên mặt đẳng thế V = 0 thì 4 r 3  E0 0 ur �E  3E0 cos r Vậy ở đó: E � �E  0 ur r Do đó E0 = 0 và E / / r (vì mặt đẳng thế là mặt cầu) d) Ta biết tại mọi điểm ở gần vật dẫn cân bằng điện, điện trường có độ lớn bằng E  với  là mật độ điện mặt tại điểm khảo sát. Ở đây ta có: 0 E   3E0 cos �   3 0 E0 cos 0 Bài tập 2 ur Một lưỡng cực điện điểm, với mô men điện p định hướng theo chiều dương trục z, được đặt tại gốc tọa độ O. Hãy tìm hình chiếu của vec tơ cường độ điện trường Ez và E lên một mặt phẳng vuông góc với trục z tại điểm S. Giải ur uur uur Ta có E  Er  E ur Xét hình chiếu của vec tơ E lên trục Oz ta có: Ez  Er cos  E sin  +q � V pe cos  Ta có Et   �r  2 r 3 0 1� V –q p sin  e và Er   r �  4 r 3 0 nên Ez  2 pe cos 2  pe sin 2  pe   (3cos 2   1) (a) 3 3 3 4 0 r 4 0 r 4 0 r Lại có E 2  Ez2  E2 � E2  E 2  Ez2 (b) 8 uur z uur rrEr ur EM E z  u ur E p 2 2 2 2 e Theo (8) ta có E  Er  E � E  4 r 3 1  3cos  (c) 0 Từ (a), (b), (c) suy ra : 2 2 � p � � p � E � 1  3cos2   (9cos 4   1  6 cos 2  )   � 9sin 2  cos 2  3 � 3 � �4 0 r � �4 0 r � 2  Hay E  3 p sin  cos 4 0 r 3 Bài tập 3 Một hệ gồm một điện tích q > 0 phân bố đều theo một nửa đường tròn bán kính a, tại tâm O của nó có đặt một điện tích điểm – q. Hãy tìm: a. Mô men lưỡng cực điện của hệ này b. Độ lớn của vec tơ cường độ điện trường tại trục x của hệ ở khoảng cách r >> a. Giải ur a) Xét một lưỡng cực điện d p gồm điện tích – dq ở O và điện tích + dq chứa trong cung AA’. ur uuu r uuu r Ta có d p  dq.OA   ad OA Độ lớn dp   a 2 d Xét trên trục Ox: dpx  dp.cos   a 2cos d Do tính đối xứng nên p  px  ur �dp � MN x   /2 � a cos d  2 a 2   /2 2aq r i  uur b) Điện trường EP tại điểm P trên trục đối xứng 2  2a 2 q aq 2 a  r Vậy p  p.i  của cung tròn là: ur uur 2p 1 2aq r aq r Ep   i  i 4 0 r 3 2 0 r 3   2 0 r 3 9 A’ d A  uur EP Bài tập 4 Hai lưỡng cực điện có mô men lưỡng cực điện p1  2.1010 C.m và được đặt cách nhau là r = 10cm và có trục nằm trên cùng một đường thẳng. Tính thế năng tương tác giữa hai lưỡng cực đó. Gợi ý: Xem như một lưỡng cực điện đặt trong điện trường của lưỡng cực kia và áp uur ur dụng công thức Wt   pe .E.cos   pe .E Giải Thế năng tương tác giữa hai lưỡng cực chính là thế năng của một lưỡng cực, p 1 chẳng hạn, đặt trong điện trường của lưỡng cực kia. Theo đề: Wt   p1.E với E  2 p2 p2  4 0 r 3 2 0 r 3 pp 8 1 2 Do đó: Wt   2 r 3  1,8.10 J 0 Bài tập 5 Đặt trong chân không một vòng dây mảnh, tròn, bán kính R, tâm O, mang điện tích dương Q phân bố đều. Dựng trục Oz vuông góc với mặt phẳng của vòng dây và hướng theo chiều vec tơ cường độ điện trường của vòng dây tại O (hình ur vẽ). Một lưỡng cực điện có vec tơ mô men lưỡng cực p , tâm C và có khối lượng m chuyển động dọc theo trục Oz mà chiều C x +q –q O R Q ur của p luôn trùng với chiều dương của trục Oz. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. a) Xác định tọa độ z0 của C khi lưỡng cực ở vị trí cân bằng bền và khi lưỡng cực ở vị trí cân bằng không bền. Tính chu kì T của dao động nhỏ của lưỡng cực quanh vị trí cân bằng bền. b) Giả sử ban đầu điểm C nằm ở điểm O và vận tốc của lưỡng cực bằng không. Tính vận tốc cực đại của lưỡng cực khi nó chuyển động trên trục Oz. Giải. a) Thế năng của lưỡng cực điện tại điểm cách tâm O của vòng dây một khoảng z là: 10 kqQ Wt  l r  ( z  )2 2  2 � kqQ � 0,5.zl 1 2 � 2 r z � r z 2 2 Ta có F   kqQ l r  ( z  )2 2 � 2 � kqQ � 2 2 � r z kqQ 1/2 zl � � r z � 1 2 2 � � r z � 2  2 kqQ 1/2 zl � � r z � 1 2 2 � � r z � 2 2 kqQ.zl � 0,5.zl � 1 2  2 � 2 � 2 3/2 � r  z � (r  z ) dWt kqQl (r 2  2 z 2 )  (1) dz ( r 2  z 2 )5/2 F = 0 khi z  r 2 r 2 , (tại đó thế năng là cực tiểu, cân bằng là bền) và z   (tại đó 2 2 thế năng là cực đại, cân bằng là không bền) Tại điểm cân bằng bền. Khi lưỡng cực lệch một đoạn x thì z '  r 2  x thay vào (1) 2 ta có: 2 �r 2 � kqQl (r  2 �  x �) 2 2 kqQl ( r  2 z ' ) �2 � � 2 2kqQlrx � 16kqQlrx F'� 2  2 2 5/2 (r  z ' ) (1,5r 2 )5/2 35/2 r 5 �r 2 � 5/2 2 (r  �  x �) �2 � 2  r 2 35/4 16kqQl Đặt   suy ra chu kì dao động nhỏ là T  2 m.35/2 r 4 b) Tại điểm cân bằng bền z  m kpQ r 2 , F = 0 nên vận tốc có trị số cực đại 2 mvm2 ax kqlQr 1 2  . � vmax  3/4 2 3/2 2 r.3 2 (1,5r ) kpQ m Bài tập 6 a) Hãy tìm điện thế tĩnh điện phát sinh do một lưỡng cực điện có độ lớn d nằm tại khoảng cách L tính từ tâm của một quả cầu dẫn nối đất, bán kính a. Giả thiết rằng trục của lưỡng cực đó chạy qua tâm của quả cầu. b) Xét hai quả cầu dẫn điện được cách điện (bán kính a) trong một điện trường đều có hướng sao cho đường thẳng nối tâm của chúng, có chiều dài R và song song với điện trường. Khi R lớn, hãy mô tả một cách định tính điện trường tổng hợp tính tới bậc R 4 . 11 Giải + Lấy tâm của quả cầu làm gốc tọa độ và trục đối xứng của hệ là trục Oz, khi đó ur ur ur chúng ta có thể viết P  d .ez với ez là vec tơ đơn vị của trục Oz. ur Xem P như một điện tích + q và một điện tích – q đặt cách nhau một khoảng cách 2ql , ta có thể sử dụng phương pháp ảnh. 2l sao cho d  lim l �0 q1 q O Ta có tọa độ của +q và – q tương ứng là: – q +q z 2 q: z   L  l L 2l – q : z  L  l + Lấy q1 và q2 là các điện tích ảnh tương ứng của q và – q. Đối với bề mặt quả cầu là mặt đẳng thế, độ lớn và vị trí của q1 và q2 có thể viết như sau: q1   q2  a a2 q đặt tại điểm có tọa độ: (0, 0,  ) L l Ll a a2 q đặt tại điểm có tọa độ: (0, 0,  ) Ll Ll Vì L >> 1, dùng công thức tính gần đúng: 1 1 l � m2 L �l L L Độ lớn và vị trí của các điện tích ảnh lần lượt là: q1   q2  aq ad a 2 a 2l  2 đặt tại điểm có tọa độ: (0, 0,   2 ) L 2L L L aq ad a 2 a 2l  2 đặt tại điểm có tọa độ: (0, 0,   2 ) L 2L L L Trong đó ta đã sử dụng d  2ql . Do đó một lưỡng cực ảnh với mô men lưỡng cực uu r aq 2a 2l ur a 3 ur ad P '  . 2 ez  3 P và một điện tích ảnh q '   2 sẽ được sử dụng để thay thế cho L L L L uu r 2 a tác dụng của q1 và q2. Cả P ' và q ' đều được đặt tại r '  (0, 0,  ) như hình 2. Do đó L ur uu r điện thế tại r bên ngoài quả cầu là sự chồng chập của các điện thế do P; P ' và q ' sinh ra , nghĩa là: ur r ur � uu r r r � 1 � q' P '(r  r ') P (r  Lez ) � V (r )  r r  r r 3  r ur 3 � 4 0 �r  r ' rr' r  Lez � � 12 � � a2 3 a d ( rc os   ) � � 1 ad d (rcos  L) L    2 � = 2 4 2 4 2 3/2 � a ar a 4 0 � 2 2 a r (r  2rLcos  L ) � L (r  cos  2 )1/2 L3 (r 2  cos  2 )3/2 � � L L L L u r P uu r P 'O  r L 2l a2 L ur b) Một quả cầu dẫn điện bán kính a ở trong một điện trường ngoài E tương ứng với ur ur một lưỡng cực điện có mô men P  4 0 a 2 E đối với điện trường bên ngoài quả cầu. Hai quả cầu dẫn điện cách biệt với nhau như trong bài tập này có thể coi như một lưỡng cực nếu chúng ta sử dụng phép gần đúng bậc không. Nhưng khi chúng ta sử dụng phép gần đúng có bậc cao hơn thì tương tác giữa hai quả cầu dẫn điện phải được xét đến. Bây giờ sự tác dụng của quả cầu thứ nhất lên quả cầu thứ hai giống như trường hợp a) của bài này (khi hai quả cầu được tách xa nhau với khoảng cách lớn). Nói một cách khác, tác dụng này có thể coi như tác dụng của một lưỡng cực ảnh q '   ad 2 2 . Khi a  L , lưỡng cực ảnh và điện tích ảnh có thể xem một cách gần R đúng là đặt tại tâm quả cầu. Như vậy điện trường tại một điểm bên ngoài quả cầu là tổng hợp của các điện trường sinh ra do một điện tích điểm q ' và một lưỡng cực ur uu r a 3 ur P  P '  (1  ) P đặt tại mỗi tâm của hai quả cầu đó. Khi đó, điện điện có mô men R3 thế sẽ có thể được biểu thị với những số hạng tới bậc Bài tập 7 1 R4 uu r Lưỡng cực điện có mô men p1 hướng theo trục Ox, được đặt cố định ở điểm O. uur Lưỡng cực điện có mô men p2 đặt ở điểm M có tọa độ M(r, 1) chỉ có thể quay quanh M. uur 1. Ở vị trí cân bằng, p2 lập với OM một góc 2. Tìm mối liên hệ giữa 1 và 2. 13 Tính toán cho trường hợp 1 = 0,   ; 4 2 uur uu r uur 2. a) Biểu diễn năng lượng W   p2 .E1 của lưỡng cực p2 nằm cân bằng trong uu r uu r điện trường E1 của p1 . b) Tìm giá trị của 1 sao cho năng lượng đó là cực tiểu. Xác định lực hút giữa hai lưỡng cực ứng với giá trị 1 này. 3. Tính năng lượng cực tiểu và lực hút nếu các lưỡng cực là hai phân tử nước o đặt cách nhau 3 A . Cho biết mối liên kết OH trong phân tử nước có mô men p = 4.10-30C.m và hai liên kết OH lập với nhau góc  = 150o. Giải uu r 1 Điện thế tại M do lưỡng cực điện có mô men p1 gây ra là: V  4 0 � V p1cos1 r2 2 p cos  1 1 Điện trường tại M là: E1r   �r  4 r 3 0 E1   uur 1� V p1 sin 1  r� 1 4 0 r 3 uu r Lưỡng cực điện p2 nằm trong điện trường E1 chịu tác dụng của ngẫu lực có mô uur uur uu r uur men M  p2 �E1 . Khi cân bằng thì M  0 uur �p2 r  p2cos 2 Có p2 � �p2  p2sin 2 r r i j uur uur uu r Nên M  p2 �E1  p2 r p2 E1r E1 r k 0   0,0, p2 ( E1 cos 2  E1r sin 2 )  0 E 1 1 Khi M = 0 thì E1 cos2  E1r sin  2  0 từ đó ta có tan  2  E  2 tan 1 1r + Với 1  0 thì  2  0 + Với 1   thì  2  arctan 0,5  26,5o 4 + Với 1    thì  2  2 2 uuruu r 2.a) Năng lượng của p2 là : W   p2 E1  ( p2 cos  2 E1r  p2 sin  2 E1 ) 14 Ở vị trí cân bằng của p2 (ứng với  2  2C ), năng lượng là : W  p1 p2 (2cos1 cos  2C  sin 1 sin  2C ) 4 0 r 3 dW b) Năng lượng có cực trị khi d  0 hay 1 2sin 1cos 2C  2 cos 1sin 2 C d 2C d  cos1sin 2 C  sin 1cos 2 C 2C  0 d1 d1 d 2C Khi p2 nằm cân bằng thì sin 1cos 2C  2 cos1sin 2C nên các hệ số của d triệt tiêu, 1 và 3cos 1sin 2C  0 do đó năng lượng đạt cực trị. + Nếu cos1  0 hay 1  p1 p2   và  2C  khi đó W   4 r 3 2 2 0 2p p 1 2 + Nếu sin 2C  0 hay  2C  0 và 1  0 khi đó W   4 r 3 0 Đó là năng lượng ở trạng thái cân bằng bền, mà lực hút là F   6 p1 p2 dW hay F  4 r 4 dr 0 3. Mỗi liên kết O – H có một mô men lưỡng cực p. Phân tử nước có mô men lưỡng  2 cực bằng 2 p cos  2.4.1030 cos52,5o  4,87.1030 Cm Năng lượng cực tiểu là : Wmin  1,58.1020 J �0,1eV Lực hút giữa hai phân tử là F  1,58.1010 N Bài tập 8 1. Xét hai ion A1, A2 có thể bị phân cực. Hai ion được coi như các điện tích điểm q1, q2 đặt cách nhau một khoảng r trong chân không. Ion A 1 nằm trong điện uu r trường E1 do ion kia gây ra, do đó nó thu được môt mô men lưỡng cực gọi là mô uu r uu r uur men lưỡng cực cảm ứng  p1  1 E1 . Ion A2 nằm trong điện trường E2 do ion A1 gây uur uur ra, thu được mô men lưỡng cực cảm ứng  p2   2 E2 . Các hệ số 1, 2 là dương và được gọi là hệ số phân cực của các ion A 1 và A2. Hãy xác định các mô men lưỡng uu r uur r r uuuur cực p1 và p2 của các ion theo q1, q2, r . Đặt r  A1 A2 và các hệ số 1  1  , 2  2 . 4 0 4 0 15 uu r 2. Ta xét một phân tử có cực đặt ở A 1, có mô men lưỡng cực không đổi p1 và hệ số phân cực không đáng kể. a) Chứng minh rằng một phân tử không có cực (lúc đầu không có mô men lưỡng cực), có hệ số phân cực , đặt ở khoảng cách r  A1 A2 sẽ thu được mô men uur lưỡng cực cảm ứng p2 . Hãy xác định p2 theo r,  và p1. b) Suy ra năng lượng liên kết của phân tử đặt ở A 2, lực hút (lực Walls der Van) giữa các phân tử theo r,  và p1. Giải uu r Điện trường E1 do ion A2 có điện tích q2 và mô men lưỡng cực cảm ứng p 2 tác dụng lên A1 là tổng của hai số hạng: r uu r q2 r ' + Điện trường của điện tích điểm q2: E1   4 0 r 3 uur 2 p cos � rr � 2 p �rr � '' 2 �� + Điện trường của lưỡng cực p2: E1  2 3 � � 4 0 r � r � 4 0 r 3 �r � r r uur uu r uu 1 2 p r � � q2  2 � Vậy E1  E1'  E1''   � 4 0 r 2 � r �r uur Tươn tự điện trường E2 gây ra ở A2 bởi điện tích q1 và mô men p1 đặt ở A1 là: r uur uur' uur'' 1 � 2 p1 �r E2  E2  E2  q1  � � 4 0 r 2 � r �r Dưới tác dụng của các trường đó, mỗi ion trở thành một lưỡng cực có mô men: uu r uu r uu r p1  1 E1  4 0 1 E1 uur uur uur p2   2 E2  4 0  2 E2 r r r r� uu r 1 � � 2 2 �r 4 2 uu 1 � 2 p2 �r 1 � 8 0  2 E2 �r   q  q  p p   q    q  � Vậy: 1 1� 1� �2 4 �2 � �2 � r2 � r3 r2 � r �r r2 � r � �r r �r �  q2  2q1 32 r uu r r r Từ đó rút ra: p1   1 3 4  1  16 2 r r  q1  2q2 31 r uur uur r r Tương tự cho p2 : p2   2 3 4  1  16 2 r r 16 2.a) Điện trường do phân tử có cực A với mô men lưỡng cực p1 gây ra tại A2 là: r uu r ur 2 p1 r 2 p1 E  4 0 r 4 4 0 r 3 Phân tử không có cực đặt ở A2, có hệ số phân cực , bị biến dạng dưới tác dụng uur ur ur của điện trường này, thu được mô men lưỡng cực cảm ứng: p2   E  4 0  E Hay p2  2 p1 r3 b) Thế năng của phân tử đặt ở A2, cũng tức là năng lượng liên kết giữa hai phân tử uurur  p12 1 là: W   p2 E hay W    0 r 6 Lực hút giữa hai phân tử là: F   dW 6  p12  đây chính là lực Walls der Van.  0 r 7 dr Bài tập 9 y Trong mặt phẳng Oxy người ta đặt cố định tại gốc toạ độ O một lưỡng cực điện có momen M r r . p p lưỡng cực . Véc tơ nằm trên trục Ox và r hướng theo chiều dương của Ox (Hình vẽ). Một r hạt nhỏ khối lượng m, điện tích q chuyển động ở x vùng xa gốc O trong mặt phẳng dưới tác dụng O r  p của điện trường gây bởi lưỡng cực. Bỏ qua tác dụng của trọng lực và lực cản. Xét chuyển động của hạt trong hệ toạ độ cực. Vị trí M của hạt ở thời điểm t được xác định bởi véctơ uuuu r r r r uuuu r  OM và góc   OM, p .   1. Chứng minh rằng chuyển động của hạt tuân theo các phương trình vi phân sau: �2 �r  ' '  4qpsinmr2 � 0 � 2W � 0 r '2  rr"  � � m  1  2 Trong đó W0 là năng lượng ban đầu của hạt. 17 ' (0)  0' . 2. Biết tại thời điểm t = 0 hạt ở vị trí M0 có r  0   r0 ;   0   0 ; r '  0   r0 ; � Hãy xác định khoảng cách r(t) từ hạt tới gốc O theo t. 3. Tìm các điều kiện để hạt chuyển động theo quỹ đạo là cung tròn tâm O bán kính r0. Tính chu kì và tốc độ góc cực đại của hạt. Mô tả chuyển động của hạt trong hai trường hợp: q > 0 và q < 0. / 2 Cho d �cos �2, 62 . 0 Giải 1.Xác định điện trường gây bởi lưỡng cực điện ở điểm xa O. Gọi q 0 là điện tích lưỡng cực và l là khoảng cách giữa 2 điện tích của lưỡng cực thì p = q0l. q 1 1 q r r 0 0 2 1 Điện thế   4 ( r  r )  4 ( r r ) 0 1 2 0 2 1 r e Coi (r2 -r1)  lcos ; r1  r2  r ; q0l = p  q 0 r2  r1 q l cos  p cos  ( )� 0  40 r2 r1 40 r 2 40r 2 Er   M ds d r2 d pcos  dr 20 r 3 r1  r p dj 1 dj p sin q E q === ds r dq 4pe0 r 3 ur pcos ur p sin  uu r E  e  e Trong hệ tọa độ cực r  20 r 3 40 r 3 Phương trình chuyển động của điện tích trong điện trường trên có dạng : r r r ur r qpcos ur qp sin  uu ma  qE  e  e r  20 r 3 4 0 r 3 (*) với er , e là các véc tơ đơn vị r ur uur Trong tọa độ cực, chú ý rằng: v  r 'e r  r 'e , ta có: r r r de r der   ' e ;   ' er , dt dt r r r dvr ur uu r ur uu r uu r ur de der a  r ''e r  r '   r '  'e  r '  r ''er  r '  'e   r ' 'e   r( ') 2 e r dt dt dt r r dv ur 1 uu r hay a    r ''  r '2  er   r 2 '  'e  (**) dt r 18 r er Từ (*) v à (**) suy ra r "  r '2   r  ' '  2 qpcos 2 0 mr 3 qpsin  40 mr 2  1  2 Từ định luật bảo toàn năng lượng: 1 mv 2  q  r   const  W0 2 � 1 qpcos m  r '2  r 2  '2    W0 2 4 0 r 2 � r ' 2  r 2  '2  2W0 qpcos  2 20 mr m Từ (1) và (3) ta có: r '2  rr "  2W0 m  3  4 2. 2 2 Đặt u  t   r  t  � u '  2rr ' � u "  2rr"  2r ' Thay vào phương trình (4) có: 2W0 4W0 2W0 2 1 u"  � u'  t  C1 � u  t  C1t  C 2 2 m m m Hay r 2  t   2W0 2 t  C1t  C 2 m ' 2 Từ các điều kiện ban đầu tìm được: C1  2r0 r0 ; C2  r 0 Vậy: r 2  t   2W0 2 t  2r0 r0' t  r02 m  5 3. Để quỹ đạo của hạt là cung tròn thì r(t) = const. Từ (5) � W0  0, r0'  0 đồng thời r’(t) = 0. r r uu r ur - Từ điều kiện r '  t   0 � v  r  ' và v  r ; v0  r0 1 qpcos ' - Từ điều kiện W0 = 0 � 2 m  r0    4 r 2  0 0 0 - Phương trình (6) viết lại thành: 2  '2   � "  19  6 qpcos 2 0 mr04  7 qp sin  40 mr04  8 *) Trường hợp qp < 0, ta có � max   qp khi  = 0. Góc  tăng dần tới 2 0 mr04  / 2 . Tại  = /2 thì �  0 và  "  0 , góc  giảm và hạt quay trở lại. Tại  =  /2 thì  � 0 và  "  0 , góc  tăng, hạt lại chuyển động quay trở lại. Vậy  / 2 � � / 2 . Hạt chuyển động trên nửa đường tròn như hình vẽ a. Vì d  dt qp cos 2 0 mr04 nên chu kì của chuyển động này là: / 2 / 2 20 mr04 T 4� dt  4 � qp 0 0 � T  10, 48 20 mr04  / 2 d d 4 � qp cos cos 0 20 mr04 qp *) Trường hợp qp > 0, ta có � max  qp khi  = . 20 mr04 Khi  =  / 2 và  = 3 / 2 thì  � 0 , hạt sẽ quay trở lại. Nghĩa là hạt sẽ dao động trên nửa vòng tròn từ  / 2 � �3 / 2 (Hình b). Chu kì của chuyển động: T 10, 48 2 0 mr04 qp y y u r r0 O M M u r p x u r r0  O Hình a u r p Hình b Bài tập 10 Chuyển động của một lưỡng cực điện trong từ trường. 20 x