Tài liệu Luật số lớn hai chỉ số

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Đại học KHTN - ĐHQGHN Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến Thức Chuẩn Bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Một số dạng hội tụ của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên . 9 1.5. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Luật số lớn hai chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1. Luật yếu số lớn Feller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 Kết luận chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Hướng phát triển khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên ĐHQGHN dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán Cơ - Tin, Phòng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nguyễn Hữu Thành 3 Mở đầu Luật số lớn đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong Lý thuyết Xác suất. Luật số lớn đầu tiên của J.Bernoulli được công bố vào năm 1713. Về sau kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... mở rộng. Trong những năm qua có một hướng nghiên cứu luật số lớn là mở rộng các kết quả về Luật số lớn trong trường hợp dãy (một chỉ số) ra cho trường hợp nhiều chỉ số. Smythe (1972) đã thu được luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với dãy nhiều chiều được Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập. Thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiên cứu trong trường hợp hai chỉ số cho biến ngẫu nhiên thực hoặc nhận giá trị trên không gian Banach như: Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quang, Nguyễn Văn Huấn, Lê Văn Thành,...Trên cơ sở đó chúng tôi nghiên cứu đề tài LUẬT SỐ LỚN HAI CHỈ SỐ. Bố cục khóa luận gồm 2 chương. • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về không gian Banach p- trơn đều, không gian Banach p- khả trơn, khái niệm về tính bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm mảng phù hợp, mảng các hiệu martingale, khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro(r > 0). Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số bổ đề đây chính là chìa khóa để có được các kết quả về Luật số lớn trong khóa luận. • Chương 2. Luật số lớn hai chỉ số. Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong chương này, bao gồn hai phần. Phần 2.1 chúng tôi trình 4 bày về luật yếu số lớn Feller và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được Luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên. Phần 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng các hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên. 5 Chương 1 Kiến Thức Chuẩn Bị Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả sử (Ω, F , P ) là không gian xác suất đầy đủ cố định. Với a, b ∈ R, min {a, b} và max {a, b} được kí hiệu là a ∧ b và a ∨ b. Kí hiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong những lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log+ x = log (1 ∨ x). Với x ≥ 0, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 1.1. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach E được gọi là một không gian p-trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) nếu modun trơn ρ(τ ) thỏa mãn: ρ(τ ) = O(τ p ) (khi τ → 0) trong đó modun trơn được định nghĩa:   kx + yk + kx − yk ρ(τ ) := Sup − 1; x, y ∈ E, kxk = 1, kyk = τ . 2 Nhận xét 1.1.2. Đường thẳng thực R là trường hợp đặc biệt của không gian Banach p-trơn đều với p = 2. Định lí sau đây của Assouad đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach khả ly X là không gian Banach p-trơn đều. Định lí 1.1.3. (Assouad). Không gian Banach khả ly X là không gian Banach p-trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) nếu và chỉ nếu với mọi q ≥ 1, tồn tại hằng 6 số C > 0 sao cho với mọi martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} nhận giá trị trên X đều có: EkSn kp ≤ CE n X kSi − Si−1kp i=1 !q/ p , ∀n ∈ N (1.1) (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) Định lí 1.1.4. (Assouad, Hoffmann Jørgensen). Không gian Banach nhận giá trị thực X là p-trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) khi và chỉ khi tồn tại số dương L sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có: kx + ykp + kx − ykp ≤ 2kxkp + Lkykp (1.2) Hơn nữa, nếu E là không gian p-trơn đều (1 < p ≤ 2) thì nó là một không gian r-trơn đều 1 ≤ r < p. Chi tiết hơn ta có đánh giá sau: p p p (kx + ykr + kx − ykr ) r ≤ 2 r−1 (2kxkp + Ckykp ) ≤ (2kxkr + Ckykr ) r Định nghĩa 1.1.5. Không gian Banach E được gọi là không gian p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) nếu tồn tại một chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu sao cho E cùng với chuẩn này trở thành một không gian p-trơn đều. 1.2. Mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale Cho (Ω, F , P ) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X ) là σ - đại số tất cả các tập Borel trong X . Mảng 2 chiều {Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} các σ - đại số con của F với chỉ số trong N x N. Khi đó mảng 2 chiều {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là mảng phù hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây. (1) Xmn là Fmn /B(X ) đo được. (2) Với mỗi n ∈ N và m2 > m1 thì Fm1 n ⊂ Fm2 n với mỗi m ∈ N và n2 > n1 thì Fn1 m ⊂ Fn2 m . S S Kí hiệu F∞n = σ ( m≥1 Fmn ) , Fm∞ = σ ( n≥1 Fmn ) và ∗ = σ (Fm−1,∞ ∪ F∞,n−1). Ta quy ước rằng F0,∞ = F∞,0 = {φ, Ω} Fmn Một mảng phù hợp {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là mảng các hiệu 7 ∗ martingale nếu: E {Xmn |Fmn } = 0, ∀m, n ∈ N. Ví dụ sau đây cho chúng ta thấy được sự tồn tại của khái niệm mảng các hiệu martingale Ví dụ 1.2.1. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng 0. Với mỗi m ≥ 1, n ≥ 1, gọi Fmn là σ - đại số sinh ∗ bởi Xmn , khi đó E {Xmn |Fmn } = EXmn = 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} lập thành một mảng các hiệu martingale. Ví dụ 1.2.2. Cho dãy (Xn , Fn, n ≥ 1) là một hiệu martingale nào đó nhưng (Xn , n ≥ 1) không độc lập. Với mọi n ≥ 1, đặt Xmn = Xn nếu m = 1 và Xmn = 0 nếu m > 1; Fmn = Fn , m ≥ 1. Ta có ∗ Fmn Xmn ∈ Fmn , ∀m, n ≥ 1 ! ∞ [ ∗ Fn nếu m > 1 = Fn−1, nếu m = 1; Fmn =σ n=1 Khi đó {Xmn , Fmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các hiệu martingale nhưng không là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực sự rộng hơn tập hợp tất cả các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. 1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < ∞ thỏa mãn: P {kXmn k > t} ≤ CP {kXk > t} , ∀t ≥ 0, m ≥ 1, n ≥ 1 8 (1.3) Nhận xét 1.3.1. Nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X11 và khi đó C=1 1.4. Một số dạng hội tụ của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4.1. Ta nói rằng mảng {xmn} ⊂ E hội tụ tới x ⊂ E khi m ∨ n → ∞ nếu với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với mọi (m, n) ∈ N2 mà m ∧ n ≥ n0 thì kxmn − xk < ε. Định nghĩa 1.4.2. 1) Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn; m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X khi m ∧ n → ∞ nếu với mọi ε > 0,    lim P sup kXkl − Xk > ε = 0 m∧n→∞ Khi đó, ta kí hiệu  k≥m l≥n lim Xn = X h.c.c. Hoặc Xn → X h.c.c khi m ∧ n → m∧n→∞ ∞. 2) Cho mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1}, đặt m P n ∞ P ∞ P P Smn = Xkl . Chuỗi Xmn được gọi là hội tụ hầu chắc chắn m=1 n=1 k=1 l=1 nếu Smn hội tụ hầu chắc chắn đến một biến ngẫu nhiên E- giá trị nào đó khi m ∧ n → ∞. ∞ P ∞ P Khi đó, ta nói Xmn hội tụ h.c.c. m=1 n=1 Định nghĩa 1.4.3. Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X khi m ∧ n → ∞ nếu với mọi ε > 0, lim P (kXmn − Xk > ε) = 0 m∧n→∞ P Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X khi m ∧ n → ∞. 9 x n ; n ∈ Nd được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X khi |n| → ∞ nếu Định nghĩa 1.4.4. Mảng các biến ngẫu nhiên E- giá trị  lim EkXn − Xkp = 0 |n|→∞ Lp Khi đó, ta kí hiệu Xn → X khi |n| → ∞. 1.5. Một số bổ đề Bổ đề 1.5.1. Giả sử {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên (1) Với ε > 0 bất kì, nếu ∞ X ∞ X P (kXmn k > ε) < ∞ m=1 n=1 thì Xmn → 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ (2) Với p > 0, nếu ∞ ∞ X X E kXmn kp < ∞ m=1 n=1 thì Xmn → 0 hầu chắc chắn khi m ∨ n → ∞ trong Lp Chứng minh. Đặt Ak = ∞ [ (kXmn k > ε), k ≥ 1 m∨n=k Khi đó dãy {Ak , k ≥ 1} là dãy giảm các biến cố, đặt ∞ \ A= Ak k=1 ∞ ∞ P P (1) Với mỗi k ≥ 1, vì chuỗi kép P (kXmn k > ε) hội tụ nên phần n=1 m=1 P đuôi P {kXmn k > ε} của nó sẽ dần tới 0 khi k → ∞. Ta có m∨n≥k P (Ak ) = P  sup kXmn k > ε m∨n≥k  10 ≤ X m∨n≥k P {kXmn k > ε} → 0 khi k → ∞. Từ đó P (A) = lim P (Ak ) = lim P k→∞ k→∞  sup kXmn k > ε m∨n≥k  =0 nếu ω ∈ / A thì tồn tại k0 sao cho ω ∈ Ak0 hay kXmn (ω)k ≤ ε với mọi m ∨ n ≥ k0 , điều nay kéo theo lim Xmn (ω) = 0 vì P (A) = 0 nên m∨n→∞ Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞. ∞ P ∞ P (2) Với p > 0, do chuỗi kép EkXmn kp hội tụ nên hiển nhiên suy ra m=1 n=1 EkXmn k → 0 khi m∨n → ∞. Do đó Xmn → 0 trong Lp khi m∨n → ∞. Mặt khác, với mọi k ≥ 1 và áp dụng bất đẳng thức Markov ta có ∞ X ∞ ∞ ∞ X 1 XX P (kXmn k > ε) ≤ p EkXmn kp < ∞ ε m=1 n=1 m=1 n=1 p Theo ý thứ nhất ta suy ra Xmn → 0 h.c.c m ∨ n → ∞. Bổ đề 1.5.2. Cho 0 < p ≤ 2. Cho {Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là họ m.n phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p ≤ 2 ta giả thiết thêm {Xij , Fij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều, thì: p X k X l m X n X   E max Xij ≤C EkXij kp 1≤k≤m i=1 j=1 i=1 j=1  (1.4) 1≤l≤n Với C là hằng số không phụ thuộc vào m và n. Chứng minh. Trong trường hợp 1 < p ≤ 2 l k P P Đặt Skl = Xij , Yl = max kSkl k với mỗi l = 1, 2...n. Nếu σl là σ i=1 j=1 1≤k≤m ∗ -đại số sinh bởi {Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l} thì σl ⊂ Fi,l+1 với mỗi i ≥ 1, điều này kéo theo  ∗

E (Xi,l+1 |σl ) = E E Xi,l+1 Fi,l+1 |σl = 0 h.c.c Do đó ta có E (Sk,l+1 |σl ) = E (Skl + X1,l+1 + ... + Xk,l+1 |σl ) 11 = E (Skl |σl ) + E (X1,l+1 |σl ) + ... + E (Xk,l+1 |σl ) = Skl h.c.c suy ra {Skl , σl ; 1 ≤ l ≤ n} là martingale. Vì {kSkl k , σl ; 1 ≤ l ≤ n} là martingale dưới ..., m  không âm với mỗi k = 1, 2,  Vì vậy max kSkl k = Yl , σl ; 1 ≤ l ≤ n là martingale dưới không âm. 1≤k≤m Theo bất đẳng thức Doob  p  E max kSkl k = E max Yl 1≤k≤m 1≤l≤n Mặt khác, vì n ∗ Skn , Fk+1,1 om k=1 1≤l≤n p là martingale nên n ∗ kSkl k , Fk+1,1 martingale dưới không âm. Áp dụng bất đẳng thức Doob ta có  EYnp = E max kSkn k 1≤k≤n Ta lại có n ∗ Sml , F1,l+1 on l=1 và  k P i=1 p (1.5) ≤ CEYnp om ≤ CEkSmn kp ∗ Xil , Fk+1,l p l=1 l=1 k=1 k=1 l=1 Kết hợp (1.5),(1.6) và (1.7) cho ta kết luận (1.4). Trường hợp 0 < p ≤ 1 ta có p    X l k X l k X X  ≤ E  max E  max X kXij kp ij 1≤k≤m 1≤k≤m i=1 j=1 i=1 j=1 1≤l≤n 1≤l≤n =E k X l X i=1 j=1 Ta cũng nhận được (1.4) (1.6) (với mỗi l = 1, ..., n) m p m X n n X X X Xkl ≤ C EkXkl kp =C E  là k=1 là các martingale. Vì theo định lí 1.1.3 vậy p ta có n n P P p EkSmn k = E (Sml − Sm,l−1) ≤ C EkSml − Sm,l−1kp l=1 k=1 kXij k  p Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn 12 = k X l X i=1 j=1 EkXij kp (1.7) Bổ đề 1.5.3. Cho {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chiều biến ngẫu nhiên, nếu ∞ X ∞ X EkXmn kp < ∞, p>0 m=1 n=1 Thì Xmn → 0 h.c.c và trong Lp với m ∨ n → ∞ Chứng minh. Trong Lp từ giả thiết của bổ đề ta có biểu thức sau:   X P sup kXmn k > ε ≤ P {kXmn k > ε} m∨n≥k ≤ m∨n≥k 1 X EkXmn kp → 0 khi k → ∞ p ε m∨n≥k (theo bất đẳng thức Markov) Bổ đề 1.5.4. Cho {Xij ; 1 < i ≤ m, 1 < j ≤ n} là họ m.n phần tử ngẫu nhiên. Nếu EXij = 0, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n thì  E  max kSkl k 1≤k≤m 1≤l≤n trong đó Skl = l k P P  p ≤C m X n X EkXij kp , ∀0 < p ≤ 2 (1.8) i=1 j=1 Xij và hằng số C độc lập với m và n. i=1 j=1 Trong trường hợp 0 < p ≤ 1 thì giả thiết độc lập và EXij = 0, ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n là không cần thiết. Chứng minh. Nếu EkXij kp = ∞, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp EkXij kp < ∞, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Đầu tiên, ta giả sử rằng 1 < p ≤ 2 và m ∧ n ≥ 2. Đặt Yl = max kSkl k , Fl = σl (Xij ; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l) , 1 ≤ l ≤ n 1≤k≤m Với mỗi 1 ≤ k ≤ m và 2 ≤ l ≤ n ta có E (Skl |Fl−1 ) = E (Sk,l−1 + X1l + ... + Xkl |Fl−1 ) 13 = E (Sk,l−1 |Fl−1 ) + E (X1l |Fl−1 ) + ... + E (Xkl |Xl−1 ) = Sk,l−1 (h.c.c) Do vậy {Skl , Fkl , 1 ≤ l ≤ n} là một martingale với k = 1, 2, ..., m. Theo Scalora[11] {kSkl k , Fl , 1 ≤ l ≤ n} là martingale không âm. Do đó {Yl , Fl , 1 ≤ l ≤ n} là martingale không âm. Theo bất đẳng thức Doob ta có   p E  max kSkl k 1≤k≤m 1≤l≤n ≤  p p−1 p (1.9) EYnp Đặt gk = σ (Xij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n) , 1 ≤ k ≤ m từ đó {kSkm k , gk , 1 ≤ k ≤ m} là một martingale. Áp dụng bất đẳng thức Doob một lần nữa ta có  p p X  p  m X n p p p p EkSmn k ≤ 2 EYn = E max kSkn k ≤ E kXij kp 1≤k≤m p−1 p − 1 i=1 j=1 (1.10) Từ (1.9) và (1.10) ta suy ra kết luân (1.8) của bổ đề. Tiếp theo 1 < p ≤ 2, m ∧ n = 1 thì (1.8) được làm tương tự như trong trường hợp m ∧ n ≥ 2 Cuối cùng, nếu 0 < p ≤ 1 thì ta có    E  max kSkl kp  ≤ E  max 1≤k≤m 1≤l≤n  =E k X l X i=1 j=1 Bổ đề được chứng minh. kXij k  p k X l X 1≤k≤m 1≤l≤n i=1 j=1 = l k X X  kXij kp  EkXij kp i=1 j=1 Bổ đề 1.5.5. (xem [12]) Cho k là số nguyên dương. Gọi d (k) là số ước số dương của k . Khi đó ta có (1). ∞ X log i d (k) , ∀p > r > 0 ≤C p p r r −1 k (i + 1) k=i+1 14 (1.11) n X d (k) (2). 1 k /r k=1 1 ≤ C.n1− r log n, ∀r > 1 (1.12) Chứng minh của bổ đề trên có thể tìm thấy từ bổ đề 4 và 5 trong [12] hoặc một số tài liệu về giải tích. 1.6. Khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro Mảng các phần tử ngẫu nhiên khả tích {Xij ; i, j ≥ 1} được gọi là khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro (r > 0) nếu sup m≥1,n≥1 và Lim sup a→∞ m≥1 n≥1 um X vn 1 X kmn i=1 j=1 um X vn 1 X kmn EkXij kr ≤ M < ∞ EkXij kr I (kXij kr > a) = 0 (1.13) i=1 j=1 trong đó {kmn; m ≥ 1, n ≥ 1} , {umn ; m ≥ 1, n ≥ 1} , {vmn; m ≥ 1, n ≥ 1} là các mảng các số nguyên dương sao cho lim kmn = m∨n→∞ lim umn = m∨n→∞ lim vmn = ∞ m∨n→∞ . Bổ đề 1.6.1. (xem [13]) Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên khả tích {Xij , i ≥ 1, j ≥ 1} là khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro. Khi đó, nếu r < β thì um X vn 1 X EkXij kβ I (kXij kr ≤ kmn ) → 0 khi ∨ n → ∞ β/ kmnr i=1 j=1 (1.14) Chứng minh của bổ đề trên xem tại bổ đề 2.1.2 trong tài liệu [13]. 15 Chương 2 Luật số lớn hai chỉ số 2.1. Luật yếu số lớn Trong chương nay chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn Feller cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên E- giá trị với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên, luật yếu số lớn đối với tổng có chỉ số ngẫu nhiên đối với mảng hai chiều dưới điều kiện khả tích. 2.1.1. Luật yếu số lớn Feller Định lí 2.1.1. Cho {Xij ; i, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2) Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương sao cho amn ր ∞ và bmn ր ∞ khi m ∨ n → ∞ . ′ Đặt Vmnij = Vij I (kXij k ≤ bmn ). Nếu un X vn X P {kXij k > bmn } → 0 khi m ∨ n → ∞ (2.1) i=1 j=1 Và um X vn ′ p 1 X → 0 khi m ∨ n → ∞ V − C E mnij mnij apmn i=1 j=1 16 (2.2) Thì k l X X P 1 → 0 khi m ∨ n → ∞ max (X − C ) ij mnij 1≤k≤um amn i=1 j=1 1≤l≤vn Trong đó Cmnij = E V ′mnij |Fij Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý P    1 max
   E kXij − Cmnij k > ε   j=1 k X l X  1≤k≤um amn i=1 1≤l≤vn     k l   1 XX ′ ε E Xij − V mnij > /2 ≤P max   1≤k≤u a m   mn i=1 j=1 1≤l≤vn     k l   1 XX ′ ε +P max E V mnij − Cmnij > /2   1≤k≤um amn i=1 j=1  1≤l≤vn     X  l k X  1 ε =P max (Xij I (kXij k > bmn )) > /2   1≤k≤um amn i=1 j=1  1≤l≤vn     k X l   X
1 ′ ε V mnij − Cmnij > /2 +P max   1≤k≤u a m   mn i=1 j=1 1≤l≤vn   um [ vn [  ≤P (kXij k > bmn )   i=1 j=1     l k X   X
1 ′ ε V mnij − Cmnij max +P > /2  1≤k≤u a m   mn i=1 j=1 1≤l≤vn ≤ um X vn X P (kXij k > bmn ) i=1 j=1 17 (2.3)  X  k X l 
1 ′ ε V mnij − Cmnij > /2 +P max    1≤k≤um amn i=1 j=1    1≤l≤vn ≤ um X vn X P (kXij k > bmn ) i=1 j=1 p X k X l
2 ′ V − C + p p E max mnij mnij ε amn 1≤k≤um i=1 j=1 p 1≤l≤vn (theo bất đẳng thức Markov) ≤ um X vn X P (kXij k > bmn ) i=1 j=1 u v m X n
p C X E V ′mnij − Cmnij (theo bổ đề 1.5.2) + p p ε amn i=1 j=1 → 0 khi m ∨ n → ∞ ( theo (2.1) và (2.2) ) Định lí được chứng minh hoàn toàn. Hệ quả 2.1.2. Cho {Xij ; i, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2). Cho {amn ; m ≥ 1, n ≥ 1}, {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương ′ sao cho amn ր ∞, bmn ր b khi m∨n → ∞. Đặt Vmnij = Vij I (kXij k ≤ bmn ) , nếu um X vn X P {kXij k ≥ bmn} → 0 khi m ∨ n → ∞ i=1 j=1 X k X l P
1 ′ max E V |F ij → 0 khi m ∨ n → ∞ mnij 1≤k≤um amn i=1 j=1 1≤l≤vn Thì um X vn ′
p 1 X ′ → 0 khi m ∨ n → ∞ E V − E V |F ij mnij mnij apmn i=1 j=1 18 X k X l P 1 → 0 khi m ∨ n → ∞ X max ij 1≤k≤um amn i=1 j=1 1≤l≤vn . Định lí 2.1.3. Cho {Xij ; i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2). Cho {amn ; m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các số dương sao cho amn ր ∞, bmn ր b khi m ∨ n → ∞. ′ Đặt Vmnij = Vij I (kXij k < bmn). Giả sử {Tn ; n ≥ 1} , {τn ; n ≥ 1} là các dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương sao cho Lim P {Tn > un } = Lim P {τn > vn} = 0 n→∞ n→∞ (2.4) Nếu um X vn X P {kXij k > bmn } → 0 khi m ∧ n → ∞ (2.5) i=1 j=1 Và um X vn 1 X apmn Thì p EkV ′ mnij − Cmnij k → 0 khi m ∧ n → ∞ (2.6) i=1 j=1 Tm X τn 1 X amn P (Xij − Cmnij ) → 0 khi m ∧ n → ∞ i=1 j=1
′ Trong đó Cmnij = E Vmnij |Fij . Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý   T τ m n   1 X X (Xij − Cmnij ) > ε P   amn i=1 j=1 19 (2.7)