Tài liệu Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ CẤU TRÚC PHỤ THUỘC Mã số: CS2014-34 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Văn Huấn Thành viên tham gia: ThS. Trương Phúc Tuấn Anh TP. Hồ Chí Minh, 5/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ CẤU TRÚC PHỤ THUỘC Mã số: CS2014-34 Xác nhận của Chủ nhiệm đề tài Chủ tịch Hội đồng PGS. TS. Phạm Hoàng Quân TS. Nguyễn Văn Huấn TP. Hồ Chí Minh, 5/2015 i DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA THỰC HIỆN STT Họ và tên Đơn vị công tác Ghi chú 1 TS. Nguyễn Văn Huấn Phòng QLKH&SĐH Chủ nhiệm 2 ThS. Trương Phúc Tuấn Anh Khoa Toán - Ứng dụng Thành viên ii MỤC LỤC Thông tin kết quả nghiên cứu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 7 . . . . . . . . . . . Chương 2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn 9 2.1. Các bổ đề liên quan 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên . 11 Kết luận và kiến nghị 22 Tài liệu tham khảo 23 Thuyết minh đề tài 1 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Thông tin chung - Tên đề tài: Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc - Mã số: CS2014-34 - Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Văn Huấn - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sài Gòn - Thời gian thực hiện: từ 9/2014 đến 9/2015 (theo Hợp đồng số 472/HĐ-ĐHSG-QLKH&SĐH) 2. Mục tiêu Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert. 3. Tính mới và sáng tạo - Phát triển định lý Baum-Katz cho trường hợp dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều; - Chỉ ra sự khác nhau giữa kỹ thuật chứng minh được sử dụng trong đề tài và trong một số công bố đã biết; - Cung cấp ví dụ và một số nhận xét để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và những vấn đề liên quan. 4. Kết quả nghiên cứu Định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert cho trường hợp r = 1/α; 5. Sản phẩm Các kết quả của đề tài được viết thành 01 bài báo khoa học: Nguyen Van Huan, On the complete convergence for sequences of random vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, January 12, 2015). 2 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất. Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn. Luật yếu số lớn đầu tiên được chứng minh bởi Bernoulli và kết quả này được công bố năm vào 1713 khi ông đã qua đời. Sau đó, luật số lớn của Bernoulli được mở rộng bởi Bienaymé, Chebyshev và Markov. Tuy nhiên phải đến năm 1909 thì luật mạnh số lớn mới được một nhà toán học người Pháp là Borel phát hiện và kết quả này đã được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên tiếp tục được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, một số dạng luật số lớn đã được đặt tên gắn liền với các nhà khoa học như Marcinkiewicz, Zygmund, Brunk, Prokhorov, Chung, Feller,... Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨s [4, 5]. Kết quả của o Hsu, Robbins và Erd¨s trở thành một định lý cơ sở và nhận được sự quan tâm o của nhiều tác giả. Một kết quả quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erd¨s o được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum và Katz [3]. Các tác giả đã sử dụng kỹ thuật đối xứng hóa để thiết lập định lý đánh giá tốc độ hội tụ trong luật số lớn. Các kết quả trong [3, 4, 5, 7] đã mở ra những hướng nghiên cứu có tính thời sự liên quan đến sự hội tụ đầy đủ và đánh giá tốc độ hội tụ trong luật số lớn. Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập của các biến ngẫu nhiên là một tính chất mạnh và đã được nghiên cứu rộng rãi. Sau đó, nhiều kiểu phụ thuộc khác của các biến ngẫu nhiên đã được xét đến. Chẳng hạn như: phụ thuộc martingale, 3 phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, mixing,... Khái niệm các biến ngẫu nhiên liên kết âm đã được giới thiệu bởi Alam và Saxena [1]. Sau đó, Joag-Dev và Proschan [8] đã chứng minh nhiều tính chất quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm và chỉ ra một số phân phối xác suất trong thống kê có tính chất liên kết âm. Ko, Kim và Han [10] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd , trường hợp các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly và họ đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm. Công cụ chìa khóa để họ nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn là bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng không. Bất đẳng thức moment của Ko, Kim và Han [10] tiếp tục được sử dụng bởi Miao [14] khi chứng minh bất đẳng thức cực đại Hájek-Rényi và bởi Thanh [18] khi thiết lập luật mạnh số lớn. 2. Tính cấp thiết của đề tài Luật số lớn nói riêng và các định lý giới hạn nói chung đã được nhiều nhà nghiên cứu về xác suất và thống kê trên thế giới quan tâm. Các kết quả thu được từ những nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong thống kê toán học, kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu vấn đề này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. Các công trình liên quan về luật số lớn thường chủ yếu tập trung cho lớp các biến ngẫu nhiên độc lập. Với cấu trúc phụ thuộc mạnh này, nhiều tác giả đã sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thiết lập luật mạnh số lớn và các định lý đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. Tuy nhiên, một số kết quả công cụ sử dụng cho phương pháp đối xứng hóa không còn đúng khi điều kiện độc lập được thay thế bởi một số điều kiện yếu hơn. Vì vậy, cùng với việc xuất hiện thêm các cấu trúc phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên thì bài toán nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với các cấu trúc phụ thuộc này cũng đã được đặt ra. Chúng tôi thấy rằng đây là một hướng nghiên cứu mở và có thể tiếp tục nghiên cứu. Gần đây, các tác giả trong [6] đã giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên 4 liên kết âm theo tọa độ và nghiên cứu định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert cho trường hợp r > 1/α. Trong đề tài, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu bài toán này cho trường hợp r = 1/α. 3. Mục tiêu của đề tài Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert. 4. Đối tượng nghiên cứu Định lý đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. 5. Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều cho trường hợp r = 1/α. 6. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. 7. Nội dung và cấu trúc của đề tài Trong đề tài này, định lý Baum-Katz được thiết lập đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert cho trường hợp r = 1/α. Các kết quả nhận được là sự tiếp nối những nội dung đã được đề cập trong [6]. Về cấu trúc, ngoài các phần Thông tin kết quả nghiên cứu, Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung chính của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng chung cho cả đề tài. Nội dung chính bao gồm các ký hiệu thường dùng và khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Chương 2 chủ yếu được dành để trình bày điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa 5 độ. Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. Chúng tôi cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và những vấn đề liên quan. Các kết quả chính của Chương 2 là các định lý 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.8. Các kết quả của đề tài dự kiến sẽ được báo cáo tại Hội nghị toàn quốc lần thứ V “Xác suất - Thống kê: Nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, 23-25/5/2015) và đã được viết thành một bài báo khoa học: Nguyen Van Huan, On the complete convergence for sequences of random vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, January 12, 2015). 6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng chung cho cả đề tài. Nội dung chính bao gồm các ký hiệu thường dùng và khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. 1.1. Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản Trong đề tài này, R là tập các số thực, C là hằng số dương và giá trị của nó có thể khác nhau giữa các lần xuất hiện. Với a ∈ R, log2 (max{2; a}) sẽ được ký hiệu bởi log+ a. Cho trước số thực âm α và hàm f : R → R, ký hiệu f (n) = o(nα ) được hiểu là f (n)/nα → 0 khi n → ∞. Với A là một tập hợp, |A| là lực lượng của tập hợp A. Biến ngẫu nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực, véctơ ngẫu nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd hay không gian Hilbert thực khả ly. Với X là một phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng và phương sai của X lần lượt được ký hiệu bởi EX và VarX . Ta nói X có kỳ vọng không thay cho cách viết EX = 0. H là một không gian Hilbert thực, khả ly, với phép nhân trong ·, · và chuẩn · . Giả sử {ej , j 1} là một cơ sở trực chuẩn của H và X là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H , X, ej sẽ được ký hiệu bởi X (j) . Giả sử {Xn , n 1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Khi đó, cấu trúc của {Xn , n 1} được thể hiện dưới dạng mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên như sau: (1) (2) X1 (1) X2 X1 (2) X2 (1) Xn Xn ... ... ... (2) ... (d) ... X1 (d) ... X2 ... ... (d) ... Xn ... ... (d) trong đó Xn là biến ngẫu nhiên với mọi n ... ... ... ... ... 1 và d 1. 7 Như trong [6], giả sử {X, Xn , n 1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Ta xét bất đẳng thức kẹp sau đây C1 P(|X (j) | > t) 1 n n (j) P(|Xk | > t) C2 P(|X (j) | > t). (1.1.1) k=1 Nếu tồn tại hằng số dương C1 (C2 ) thỏa mãn vế trái (tương ứng, vế phải) của (1.1.1) với mọi j 1, n 1 và t 0 thì ta nói dãy {Xn , n 1} bị chặn dưới yếu theo tọa độ (tương ứng, bị chặn trên yếu theo tọa độ ) bởi X . Ta nói dãy {Xn , n 1} bị chặn yếu theo tọa độ bởi X nếu nó vừa bị chặn dưới yếu và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi X . Rõ ràng, nếu {Xn , n 1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn yếu theo tọa độ bởi X1 và C1 = C2 = 1. 1.2. Dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, giá trị E (X − EX)(Y − EY ) (nếu tồn tại) được gọi là hiệp phương sai của X và Y , ký hiệu là Cov(X, Y ). Dễ thấy nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0. Theo Alam và Saxena [1], họ hữu hạn biến ngẫu nhiên {Yi , 1 i n} được gọi là họ biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng xác định trên R|A| , R|B| thì Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B) 0 với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn biến ngẫu nhiên được gọi là họ biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết âm. Ko, Kim và Han [10] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly. Để làm được điều này, các tác giả đã đưa ra khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd . Họ hữu hạn véctơ ngẫu nhiên {Xi , 1 i n} nhận giá trị trong Rd được gọi là họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng xác định trên Rd|A| , Rd|B| thì Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B) 0 8 với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd được gọi là họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết âm. Khi đó, Ko, Kim và Han [10] đã giới thiệu khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly theo cách tiếp cận như sau. 1.2.1 Định nghĩa. [10] Dãy {Xn , n 1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H được gọi là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi d (1) (2) (d) Xn , Xn , ..., Xn ,n 1 1, là họ véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong Rd . Gần đây, trong [6], bằng cách tiếp cận trực tiếp từ trường hợp thực, các tác giả đã giới thiệu khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Họ cũng đã chỉ ra rằng khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thực sự tổng quát hơn khái niệm dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của Ko, Kim và Han [10]. Hơn nữa, các kết quả chính của Ko, Kim và Han [10], Miao [14] và Thanh [18] không chỉ đúng cho dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà còn đúng cho lớp rộng hơn - dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. 1.2.2 Định nghĩa. ([6], Định nghĩa 1.3) Dãy {Xn , n 1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H được gọi là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nếu với mọi j (j) 1, {Xn , n 1} là dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm. 9 CHƯƠNG 2 TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu định lý Baum-Katz đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều cho trường hợp r = 1/α. Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả là kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. Chúng tôi cũng trình bày một ví dụ và một số nhận xét để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả chính. 2.1. Các bổ đề liên quan Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày năm bổ đề. Bổ đề đầu tiên cung cấp một bất đẳng thức cực đại đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Kết quả tương ứng trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị thực thuộc về Shao [16]. 2.1.1 Bổ đề. ([6], Bổ đề 1.7) Giả sử {Xn , n 1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn với mọi n 2 <∞ 1. Khi đó k E max 1 k n n 2 Xl E Xk 2 l=1 2 với mọi n 1. k=1 Phương pháp chứng minh của hai bổ đề tiếp theo hoàn toàn giống nhau, do đó phần chứng minh của Bổ đề 2.1.2 sẽ không được đề cập. 2.1.2 Bổ đề. Giả sử α là một số thực dương và X là một véctơ ngẫu nhiên ∞ nhận giá trị trong H thỏa mãn E|X (j) |1/α < ∞. Khi đó j=1 ∞ ∞ j=1 n=1 1 E |X (j) |θ I(|X (j) | > nα ) < ∞ nếu 0 nθα θ < 1/α; 10 ∞ ∞ j=1 n=1 1 E |X (j) |θ I(|X (j) | nθα nα ) < ∞ nếu θ > 1/α. 2.1.3 Bổ đề. Giả sử α là một số thực dương và X là một véctơ ngẫu nhiên ∞ E(|X (j) |1/α log+ |X (j) |) < ∞. Khi đó nhận giá trị trong H thỏa mãn j=1 ∞ ∞ j=1 n=1 ∞ ∞ j=1 n=1 log n E |X (j) |θ I(|X (j) | > nα ) < ∞ nếu 0 nθα log n E |X (j) |θ I(|X (j) | nθα θ < 1/α; nα ) < ∞ nếu θ > 1/α. (2.1.1) (2.1.2) Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh (2.1.1). Nhờ vào đánh giá số học k n=1 log n nθα C log k , k θα−1 ta có ∞ n=1 ∞ = n=1 ∞ log n E |X (j) |θ I(|X (j) | > nα ) nθα log n nθα ∞ E |X (j) |θ I(k α < |X (j) | k=n k (j) θ α (j) E |X | I(k < |X | = (k + 1)α ) k=1 ∞ C k=1 α (k + 1) ) n=1 log k E |X (j) |θ I(k α < |X (j) | k θα−1 log n nθα (k + 1)α ) C E(|X (j) |1/α log+ |X (j) |). Vì hằng số C chỉ phụ thuộc vào α và θ nên (2.1.1) đúng. Tiếp theo ta sẽ chứng minh (2.1.2) bằng những lập luận tương tự như đối với (2.1.1). Thật vậy ∞ n=1 ∞ log n E |X (j) |θ I(|X (j) | nθα nα ) ∞ (j) θ α (j) E |X | I((k − 1) < |X | = k=1 α k ) n=k log n nθα 11 ∞ C k=1 log+ k E |X (j) |θ I((k − 1)α < |X (j) | k θα−1 kα) C E(|X (j) |1/α log+ |X (j) |). Bổ đề được chứng minh. 2.1.4 Bổ đề. Giả sử α là một số thực dương và X là một véctơ ngẫu nhiên ∞ nhận giá trị trong H thỏa mãn E|X (j) |1/α < ∞. Khi đó j=1 ∞ E |X (j) |1/α I(|X (j) |1/α > n) → 0 khi n → ∞. (2.1.3) j=1 Chứng minh. Đặt ξ = ∞ (j) 1/α . j=1 |X | Khi đó ta có ∞ E |X (j) |1/α I(|X (j) |1/α > n) E ξ I(ξ > n) , n 1. j=1 Vì Eξ < ∞ nên (2.1.3) đúng. 2.1.5 Bổ đề. ([19], Bổ đề A.6) Giả sử θ là một số thực dương và A1 , A2 ..., An là các biến cố thỏa mãn n Var n I(Ak ) k=1 θ P(Ak ). k=1 Khi đó n 1−P 2 n Ak k=1 n P(Ak ) k=1 θP Ak . k=1 2.2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨s [4, 5]. Kết o quả của Hsu, Robbins và Erd¨s đã trở thành một định lý cơ sở của lý thuyết xác o 12 suất với tên gọi là định lý Hsu-Robbins-Erd¨s. Một kết quả quan trọng mở rộng o định lý Hsu-Robbins-Erd¨s được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum o và Katz [3]. Các tác giả đã sử dụng kỹ thuật đối xứng hóa để thu được định lý đánh giá tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn như sau. 2.2.1 Định lý. (Định lý Baum-Katz) Giả sử r, α là hai số thực (r > 1; α > 1/2; αr > 1), {X, Xn , n 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và có kỳ vọng không. Khi đó ba phát biểu sau đây tương đương. (a) E|X|r < ∞. ∞ (b) n αr−2 n=1 ∞ Xk > εnα < ∞ với mọi ε > 0. P k=1 αr−2 (c) n n n=1 1 P sup α k nk k Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0. l=1 Định lý Baum-Katz đã được phát triển cho nhiều lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc khác nhau. Đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị thực, một số kết quả quan trọng thuộc về Shao [16], Kuczmaszewska [11] (trường hợp dãy), Baek, Choi và Niu [2], Sung [17] (trường hợp mảng tam giác), Ko [9], Kuczmaszewska và Lagodowski [12] (trường hợp mảng nhiều chỉ số). Gần đây, trong [6], định lý Baum-Katz đã được nghiên cứu cho trường hợp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Dựa vào công cụ chìa khóa là bất đẳng thức moment được đề cập trong Bổ đề 2.1.1, các tác giả đã thiết lập tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ như sau. 2.2.2 Định lý. ([6], Định lý 2.1) Giả sử r, α là hai số thực (1 {Xn , n r < 2; αr > 1), 1} là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu ∞ E|X (j) |r < ∞ (2.2.1) j=1 thì ∞ k αr−2 n n=1 P Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0. max 1 k n l=1 (2.2.2) 13 2.2.3 Nhận xét. Từ (2.2.2) và Bồ đề 4 của Lai [13] ta có ∞ αr−2 n n=1 k 1 P sup α k nk Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0. l=1 Khi đó, theo bổ đề Kronecker, k 1 P sup α k nk Xl > ε = o n1−αr với mọi ε > 0. l=1 Vì vậy, kết luận (2.2.2) trong Định lý 2.2.2 đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. Dễ thấy Định lý 2.2.2 chỉ đề cập đến trường hợp r > 1/α. Đối với trường hợp r = 1/α, chúng tôi có kết quả sau đây. Chú ý rằng kết quả này không thể được chứng minh bằng phương pháp như trong [6, Định lý 2.1]. 2.2.4 Định lý. Giả sử α là một số thực (1/2 < α < 1), {Xn , n 1} là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu ∞ E|X (j) |1/α < ∞ (2.2.3) Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0. (2.2.4) j=1 thì ∞ n=1 1 P n k max 1 k n Chứng minh. Với n, k l=1 1, đặt (j) (j) (j) (j) Znk (j) Xk (j) − Ynk (j) (j) nα ) + nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα ); Ynk = Xk I(|Xk | ∞ = (j ∞ (j) Ynk ej ; 1); Ynk = j=1 Khi đó, với mọi ε > 0, ∞ n=1 1 P n k Xl > εnα max 1 k n l=1 (j) Znk = Znk ej . j=1 14 ∞ n=1 ∞ + n=1 k 1 P n 1 k n 1 P n 1 k n (Ynl − EYnl ) > εnα /2 max l=1 k (Znl − EZnl ) > εnα /2 max l=1 = I1 + I2 . 1, {Ynk , k Dễ thấy rằng với mỗi n 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Từ bất đẳng thức Markov, các bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 , ta có ∞ I1 C n=1 ∞ C k 1 n E 2α+1 1 C j=1 n=1 ∞ ∞ =C j=1 n=1 ∞ ∞ +C j=1 n=1 ∞ ∞ l=1 n n2α+1 n=1 ∞ ∞ 1 k n 2 (Ynl − EYnl ) max E Ynk − EYnk 2 k=1 1 n2α+1 1 n2α+1 1 n2α+1 n (j) E(Ynk )2 k=1 n (j) n2α P(|Xk | > nα ) k=1 n (j) (j) E (Xk )2 I(|Xk | nα ) k=1 P(|X (j) | > nα ) C j=1 n=1 ∞ ∞ +C j=1 n=1 ∞ ∞ 1 E (X (j) )2 I(|X (j) | n2α nα ) P(|X (j) | > nα ) < ∞. +C j=1 n=1 Do đó ta chỉ cần chỉ ra I2 < ∞. Thật vậy, tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Markov và Bổ đề 2.1.2, ta có ∞ I2 C n=1 ∞ C n=1 1 nα+1 1 nα+1 k E (Znl − EZnl ) max 1 k n l=1 n Znk − EZnk E k=1 15 ∞ C n 1 nα+1 n=1 ∞ ∞ C j=1 n=1 ∞ ∞ C j=1 n=1 ∞ ∞ C j=1 n=1 E Znk k=1 n 1 nα+1 1 nα+1 (j) (j) (j) (j) E|Xk I(|Xk | > nα ) − nα I(Xk > nα ) + nα I(Xk < −nα )| k=1 n ∞ (j) (j) E|Xk I(|Xk | ∞ α > n )| + C n (j) P(|Xk | > nα ) j=1 n=1 k=1 ∞ (j) α k=1 ∞ 1 E|X (j) I(|X (j) | > nα )| + C α n 1 n P(|X | > n ) < ∞. j=1 n=1 Định lý được chứng minh. Dưới các giả thiết của Định lý 2.2.4, (2.2.3) kéo theo (2.2.4). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là điều ngược lại có đúng không. Câu trả lời trong trường hợp này là không, như ví dụ sau sẽ đề cập. Chú ý rằng bài toán tìm điều kiện đủ cho (2.2.3) đã được giải quyết trong [6, Định lý 2.6]. 2.2.5 Ví dụ. Ta xét không gian x = {xk , k 2 gồm các dãy số thực bình phương khả tổng ∞ 2 1/2 . k=1 xk 1} với chuẩn x = Giả sử α là một số thực (1/2 < α < 1), {X, Xn , n 1} là một dãy véctơ ngẫu nhiên độc lập, cũng phân phối và nhận giá trị trong 2 thỏa mãn P X (j) = ±j −α = 1/2 với mọi j 1. Vì 2 là một không gian Rademacher dạng 2 (xem chi tiết Pisier [15]) nên với mọi ε > 0, ∞ 1 P n n=1 ∞ k Xl > εnα max 1 k n l=1 k 1 C n=1 ∞ C n=1 ∞ =C n=1 n max E 2α+1 l=1 n 1 E Xk n2α+1 1 n2α 1 k n 2 Xl k=1 ∞ j=1 1 j 2α 2 < ∞, nghĩa là (2.2.4) đúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này ∞ ∞ (j) 1/α E|X | j=1 và do đó (2.2.3) sai. = j=1 1 = ∞, j 16 Trong định lý dưới đây, chúng tôi trình bày một phiên bản tương tự của Định lý 2.2.4. Kết quả này phát triển Định lý 2 của Baum và Katz [3] cho trường hợp dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Chú ý rằng kỹ thuật được sử dụng trong [3] là kỹ thuật đối xứng hóa, trong khi chúng tôi sử dụng kỹ thuật chặt cụt đơn điện. 2.2.6 Định lý. Giả sử α là một số thực (1/2 < α 1), {Xn , n 1} là dãy véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu ∞ E |X (j) |1/α log+ |X (j) | < ∞ (2.2.5) j=1 thì ∞ n=1 k log n P n Chứng minh. Với n, k (j) (j) Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0. max 1 k n l=1 1, đặt (j) Ynk = Xk I(|Xk | (j) (j) nα )+nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα ) (j ∞ (j) Ynk = Ynk ej . j=1 Khi đó, với mọi ε > 0, ∞ log n P n n=1 ∞ n=1 ∞ + n=1 log n n ∞ k Xl > εnα max 1 k n l=1 n (j) P(|Xk | > nα ) j=1 k=1 log n P n ∞ k Ynl > εnα max 1 k n l=1 ∞ log n P(|X (j) | > nα ) C j=1 n=1 ∞ + n=1 (2.2.6) log n P n k (Ynl − EYnl ) > εnα /2 max 1 k n l=1 1);