TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
----------
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO
HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giáo viên hướng dẫn:
Sinh viên thực hiện:
ThS. Nguyễn Văn Sáng
Nguyễn Thành Khoa
Lớp: Sư Phạm Toán K34
MSSV: 1080050
CẦN THƠ 04/2012
Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU .....................................................................................................1
Chương 1: KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY ....................................................................3
1.1 Khái niệm về tư duy.......................................................................................3
1.2 Đặc điểm của tư duy ......................................................................................3
1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy .......................................................................3
1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy.........................................................................4
1.2.3 Tính khái quát của tư duy........................................................................4
1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ....................................................5
1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính....................................5
1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy .............................................................5
1.3.1 Các giai đoạn của tư duy.........................................................................5
1.3.2 Các thao tác tư duy..................................................................................8
1.4 Vai trò của tư duy ........................................................................................10
1.5 Tư duy trong học tập toán học......................................................................10
Chương 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG
DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG...............................................12
2.1. Đường thẳng và mặt phẳng .........................................................................12
2.2 Đường thẳng song song ...............................................................................13
2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng ........................................................14
2.4 Mặt phẳng song song ...................................................................................14
2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng........................................................15
2.6 Đường vuông góc và đường xiên .................................................................16
2.7 Mặt phẳng vuông góc ..................................................................................18
2.8 Thể tích khối đa diện ...................................................................................20
Chương 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG
QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ............................................21
3.1 Vận dụng từng thao tác tư duy giải toán.......................................................21
3.1.1. Phát triển năng lực phân tích bài toán...................................................21
3.1.2 Phát triển năng lực so sánh....................................................................28
3.1.3. Phát triển khả năng trừu tượng và khái quát .........................................29
3.2 Áp dụng các thao tác tư duy vào bài toán cụ thể...........................................33
Chương 4: MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHỌN LỌC ............40
Chương 5: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...............................................................64
5.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm .............................................................64
5.1.1 Mục đích thực nghiệm ..........................................................................64
5.1.2 Nội dung thực nghiệm...........................................................................64
5.2 Tường thuật các hoạt động phát triển tư duy cho học sinh thông qua các tiết
dạy thực nghiệm: ...............................................................................................64
5.3 Kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm ..........................................................70
5.3.1 Bài kiểm tra 1........................................................................................70
5.3.2 Bài kiểm tra 2........................................................................................70
PHẦN KẾT LUẬN...................................................................................................71
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian là một mảng kiến thức rất khó. Với học sinh, khi đứng
trước những khái niệm mới, những dạng Toán hoàn toàn xa lạ các em không thể
tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài gặp vô vàng những
khó khăn. Còn đối với giáo viên, việc tìm ra cách dạy phù hợp với dạng kiến thức
này cũng là một vấn đề lớn.
Toán học gắn liền với tư duy, việc giải một bài toán hay ghi nhớ những kiến
thức mới không nằm ngoài những thao tác tư duy. Để học tốt được môn Toán, không
cách nào khác là phải nắm vững và vận dụng các thao tác này một cách hợp lý.
Trong đề thi đại học những năm vừa qua, luôn có mặt một bài thuộc dạng
toán hình không gian. Hơn nữa, dạng toán về thể tích của khối đa diện thường
xuyên được đưa vào.
Đứng trước những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của
mình là “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG
QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Thông qua đề tài này tôi
muốn thống kê lại một số phương pháp để giải các dạng toán hình học không gian
cơ bản. Bên cạnh đó luận văn sẽ phân tích một số bài toán theo các thao tác của tư
duy, làm nền cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới. Ngoài ra
tôi cũng đưa vào luận văn một số bài tập chọn lọc thuộc chủ đề thể tích khối đa
diện. Hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho các giáo viên cũng như học sinh
phổ thông.
2. Những chữ viết tắt sử dụng trong đề tài
- SGK: Sách giáo khoa.
- THPT: Trung học phổ thông.
- HHKG : Hình học không gian.
3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm hệ thống kê lại một số phương pháp giải toán hình không
gian cũng như các thao tác tư duy. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình
học không gian.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhắc lại kiến thức về tư duy, các thao tác của tư duy.
1
Trình bày các phương pháp thường dùng để giải toán hình không gian.
Phân tích tìm cách giải theo các thao tác tư duy và tím ra cách giảng dạy phù
hợp theo hệ thống này.
Hệ thống và giải một số bài tập điển hình chủ đề thể tích khối đa diện.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết:
+ Nội dung của khái niệm tư duy trong giáo trình lí luận dạy học toán.
+ Nội dung những kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12.
+ Các phương pháp dạy toán hiệu quả.
+ Các dạng bài tập có áp dụng thao tác tư duy để giải.
6. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động dạy và học của GV và HS trong nhà trường THPT.
7. Phạm vi nghiên cứu
Sách giáo khoa (hình học 11 và 12 cả cơ bản và nâng cao), sách giáo viên,
các loại sách tham khảo có liên quan.
Các sách về phương pháp và lí luận dạy học môn toán.
8. Cấu trúc về nội dung của luận văn
Luận văn gồm 5 chương:
Chương 1: Khái niệm về tư duy.
Chương 2: Các phương pháp giải toán hình học không gian thường dùng trong
chương trình phổ thông.
Chương 3: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán
hình học không gian.
Chương 4: Một số bài toán hình học không gian chọn lọc.
Chương 5: Thực nghiệm sư phạm.
2
Chương 1
KHÁI NIỆM VỀ TƯ DUY
1.1 Khái niệm về tư duy
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong thực tại
khách quan mà trước đó ta chưa biết.
Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về
chất so với cảm giác, tri giác. Hay nói cách khác tư duy là nhận thức lý tính phản
ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối quan hệ liên hệ có tính chất
quy luật của sự vật, hiện tượng.
Ví dụ: Khi gặp hình lập phương thì nhận thức cảm tính cho ta biết ngay đó là
hình có dạng hộp có đáy và các mặt xung quanh đều là hình vuông, … đó là nhận
thức dựa vào định nghĩa, tính chất đã học. Còn tư duy sẽ cho ta biết tính chất mặt
chéo của nó, hay thể tích của nó tính thế nào? ... đó là những cái bản chất bên trong
của hình lập phương.
Tuy rằng tư duy phản ánh thuộc tính bản chất bên trong của sự vật hiện
tượng, nhưng tư duy không phải bao giờ cũng đi đến cái đúng mà nó còn phụ thuộc
vào chiến thuật và phương pháp tư duy.
1.2 Đặc điểm của tư duy
1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy
Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhưng không
phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy.
Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn kiến thức, phương
pháp cũ không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để
giải quyết vấn đề, tức là phải tư duy. Nhưng không phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề
nào cũng xuất hiện tư duy ở bản thân. Vậy để kích thích được tư duy thì hoàn cảnh
có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và có nhu cầu chuyển thành nhiệm
vụ của tư duy để giải quyết vấn đề đó.
Ví dụ: Khi dạy bài “Đường thẳng và mặt phẳng song song” trong chương trình
toán hình học 10 cơ bản, ta hướng dẫn học sinh giải bài sau: “Cho tứ diện ABCD.
3
Lấy M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi là mặt phẳng đi qua M và
song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi và tứ
diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?”
(Ví dụ trang 61 SGK hình học 10 cơ bản)
A
H
E
M
B
D
G
F
C
Khi gặp bài toán này học sinh sẽ lúng túng. Theo kiến thức đã biết, các em đi
tìm xem có thể xác định được đường thẳng nào nằm trong để từ đó tìm giao
điểm với các cạnh của tứ diện. Nhưng theo giả thuyết bài toán, không thể tìm được
cạnh nào thuộc vào theo cách thông thường Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề.
Như vậy học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề, mà ở
đây là định lý 2 các em vừa học.
1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy
Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm,
ngôn ngữ, công cụ, … tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhận thức thế giới
khách quan sâu sắc, đầy đủ đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết của con người,
của chủ thể tư duy.
Ví dụ: Bằng các phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, ta dễ dàng minh
họa và hướng dẫn cho học sinh: thể tích của khối đa diện là phần nào?, thiết diện
tạo thành khi mặt phẳng cắt hình nón là như thế nào?...
1.2.3 Tính khái quát của tư duy
Tức là tư duy có khả năng trừu suất khỏi sự vật hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cụ thể, cá biệt chỉ giữ lại những bản chất thuộc tính nhất, chung
nhiều sự vật hiện tượng cùng loại.
4
Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập về tứ diện đều, ta có thể gợi ý cho
các em tìm hiểu cách tính vừa tìm ra có còn đúng khi áp dụng vào tứ diện bất kỳ
hay không.
1.2.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Đặc điểm này nói lên mối quan hệ giữa nội dung và hình thức của tư duy.
Trong đó ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy. Nhờ đó người khác và
chủ thể tư duy tiếp nhận kết quả tư duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác ngôn
ngữ là phương tiện tư duy.
1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Trong học tập toán học đặc điểm này thể hiện để tìm hiểu nội dung hay
chứng minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả
thuyết (thử hướng này, hướng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt
động tư duy đi đến kết quả.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD;
CD a , AB 2a . Mặt phẳng cắt AD, AC lần lượt tại P, Q. Thiết diện của ( )
với tứ diện là hình gì?
Với các dữ liệu của bài toán: M, N là trung điểm của BC & BD.
MN // CD, ( ) qua MN // AB. (Các dữ liệu đều nói đến quan hệ song song)
Ta có thể đoán được rằng thiết diện là hình bình hành.
1.3. Các giai đoạn và thao tác của tư duy
1.3.1 Các giai đoạn của tư duy
Các giai đoạn của tư duy thể hiện bằng sơ đồ sau:
5
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Chính xác hóa
Khẳng định
Phủ định
Giải quyết vấn đề
Hoạt động tư duy mới
* Nhận thức vấn đề:
Tức là xác định vấn đề đòi hỏi họ giải quyết, chính vấn đề được xác định này
quyết định toàn bộ việc cải biến sau đó những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và
việc biểu đạt vấn đề dưới dạng nhiệm vụ giải quyết sau đó của quá trình tư duy,
quyết định chiến lược tư duy. Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tư duy.
* Huy động tri thức và kinh nghiệm
Tùy thuộc vào nhiệm vụ đã xác định ta huy động những tri thức phù hợp.
* Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thiết
Các tri thức, kinh nghiệm và các liên tưởng còn mang tính rộng rãi và bao
trùm. Vì thế phải sàng lọc để phù hợp với nhiệm vụ và hình thành giả thiết.
* Kiểm tra giả thiết
Sự đa dạng của các giả thiết không phải là mục đích tự thân nên phải kiểm
tra xem các giả thiết nào là tương ứng với các điều kiện và vấn đề đặt ra. Chính
bước này có thể xuất hiện nhiệm vụ mới và bắt đầu hoạt động tư duy mới.
* Giải quyết nhiệm vụ
Khi giả thiết đã được kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ thực hiện giải quyết
nhiệm vụ, tức là đi đến câu trả lời cho vấn đề đặt ra. Quá trình tư duy giải quyết
nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do 3 nguyên nhân thường gặp sau:
- Chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện cho bài toán.
- Chủ thể dựa vào bài toán điều kiện thừa.
6
- Tình khuôn sáo, cứng nhắc của tư duy.
Trong giải toán, nhận thức vấn đề có thể chỉ đơn giản là xác định giả thuyết
và kết luận.
Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là hai tam giác cân, có
chung đáy BC. Chứng minh rằng BC AD .
A
B
D
E
C
* Nhận thức vấn đề
Giả thiết ABC cân tại A, BCD cân tại D
Kết luận BC AD
* Xuất hiện liên tưởng
Để chứng minh các đường thẳng này vuông góc với nhau, có các cách sau:
- Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng chứa AD.
- Chứng minh BC vuông góc với đường thẳng song song AD.
- Vuông với hai cạnh của tam giác chứa AD.
* Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết
Cách 2 không phù hợp, đối với 2 cách còn lại, nhận xét rằng tam giác hay
mặt phẳng chứa AD không thể là (ABD) hay (ACD) vì BC không thể vuông góc
với AB hay AC Tìm mặt phẳng hay tam giác khác.
Trong ABC ta kẻ thêm đường thẳng mà đường thẳng này phải vuông góc
BC, suy ra đường cao AE ( E BC ). Do ABC cân tại A nên E là trung điểm BC.
* Kiểm tra giả thuyết
Với E là trung điểm BC AE BC
BC AD (theo cách 3)
Mà tam giác DBC cân tại DE BC
7
Với giả thuyết được kiểm tra, bước cuối cùng là ta trình bày lại với lời giải.
Giai đoạn sàng lọc và liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt
động tư duy tích cực nhất, chủ đề tư duy phải tiến hành, phân tích tổng hợp, so
sánh, ... còn là các thao tác của tư duy.
1.3.2 Các thao tác tư duy
Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí
tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra.
* Phân tích và tổng hợp
Khi một đối tượng chứa nhiều thành phần, bộ phận trong đó mỗi bộ phận có
một mối quan hệ khác. Để nhận thức được toàn diện bộ phận đó, ta tiến hành nhận
thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức được tương đối hoàn thiện hơn, quá trình
đó gọi là phân tích. Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả đã nhận thức ở từng bộ phận
thành một chính thể.
Ví dụ: Bài toán cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc
với nhau. Kẽ OH (ABC), H nằm trên (ABC). (H là trực tâm của tam giác ABC).
Chứng minh:
1
1
1
1
2
2
2
OH
OA OB OC2
O
A
H
C
B
Ta đã biết trong tam giác vuông, h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông, b và c
là hai cạnh góc vuông thì:
1
1 1
2 2
2
h
b c
Để chứng minh đẳng thức trên ta lần lược xét 2 tam giác vuông OAM và
OBC (phân tích thành 2 tam giác).
Xét tam giác vuông OAM ta có:
1
1
1
(1)
2
2
OH
OA OM 2
8
1
1
1
(2)
2
2
OM
OB OC2
Trong tam giác vuông OBC ta có:
Tổng hợp hai kết quả từ (1) và (2) ta được:
1
1
1
1
. (đpcm)
2
2
2
OH
OA OB OC2
* So sánh
So sánh tức là tìm ra những điểm giống nhau và khác nhau, sự đồng nhất hay
không đồng nhất của sự vật hiện tượng.
Xét mối quan hệ giữa song song và vuông góc trong mặt phẳng, không gian.
Trong mặt phẳng
Trong không gian
a / /b
c b
+ Giống nhau:
c a
a / /b
c b
+ Giống nhau:
c a
a b
b / /c
+ Khác nhau:
a c
a b
chưa được b / /c
+ Khác nhau:
a c
So sánh góp một phần quan trọng vào hoạt động học tập lĩnh hội tri thức hay
nói cách khác so sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy. Vì so sánh giúp cho
ta hiểu biết sâu sát hơn và có hệ thống hơn về sự vật hiện tượng.
Hơn nữa so sánh cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân
tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp xem
có gì giống nhau và khác nhau.
* Trừu tượng hóa và khái quát hóa
Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hóa, trừu tượng là
gạt bỏ đối tượng những bộ phận, thuộc tính không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết để tư duy.
Ví dụ: Khi nói đến tam diện vuông ta phải liên tưởng ngay đến hình ảnh thực tế
như: góc tường, đỉnh của một hình hộp, …
Khái quát hóa trên cơ sở thuộc tính chung giống nhau về bản chất của nhiều
đối tượng mà ta hợp nhất các đối tượng thành một nhóm.
Ví dụ: Sau khi tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b trong các
trường hợp
9
a
a
a
b
b
b
a'
(b)
(a)
(c)
ta khái quát lên: Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b
ta làm như sau:
1. Xác định mặt phẳng (P) qua b và song song với a.
2. Xác định hình chiếu a’ của a lên (P).
3. Xác định giao điểm M của a’ và b.
4. Xác định đường thẳng d qua M và vuông góc với a.
5. Xác định giao điểm N của a và d.
Khi đó đoạn MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
Trừu tượng vá khái quát có mối quan hệ mật thiết với nhau, là hình thức cao
hơn của phân tích và tổng hợp. Để phát triển năng lực trừu tượng và khái quát,
trước hết cần luyện tập khả năng phân tích và tổng hợp.
1.4 Vai trò của tư duy
Mở rộng giới hạn của nhận thức, tư duy giúp con người khái quát được một
phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh
vực khác nhau.
Do nắm được quy luật và bản chất vận động tự nhiên, xã hội và con người
mà chủ thể tư duy có thể thấy được những nguyên nhân sâu xa, hay hậu quả của vấn
đề hoặc diễn tiến tương lai.
Khi quan sát các vì sao, biến thiên của dãy số, … chỉ có thể cho ta những
nhận thức cảm tính về chúng, dù có do một triệu hình tam giác chỉ có thể nghi ngờ
tổng ba góc trong là 180o. Chỉ có tư duy mới thật sự làm cho chúng ta có ý nghĩa
rộng lớn trong cuộc sống.
1.5 Tư duy trong học tập toán học
Học tập toán học không nằm ngoài mục đích đó là rèn luyện các thao tác của
tư duy.
10
Tư duy trong toán học có thể chia làm hai cấp độ:
* Tái tạo: Chỉ đến năng lực học toán (ba giai đoạn).
- Khả năng tiếp thu kiến thức.
- Suy luận nhận dạng kiến thức đã học.
- Thể hiện các mối quan hệ.
* Sáng tạo: Chỉ đến năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm những kết quả
mới, những phương pháp giải quyết vấn đề mới không theo khuôn mẫu nào.
11
Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
2.1. Đường thẳng và mặt phẳng
2.1.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)
Phương pháp:
- Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng.
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng
đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm (nếu có) của hai đường
thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng.
1.1.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm trong
(P) một đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P).
Chú ý: Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao
tuyến của (P) và (Q).
1.1.3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Phương pháp:
- Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm
chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của
hai mặt phẳng đó.
- Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai
đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
2.1.4 Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động
Phương pháp: M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d'. Tìm tập hợp
các điểm M.
- Phần thuận: Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di động trên
giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó.
- Giới hạn (nếu có).
- Phần đảo.
12
Chú ý: Nếu d di động nhưng luôn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định
a không qua A thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, a).
2.1.5 Thiết diện
Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao
tuyến của (P) với các mặt hình chóp.
Phương pháp: Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp
theo các bước sau:
- Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của
hình chóp (có thể là mặt trung gian).
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các
điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới
với các mặt này.
- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
2.2 Đường thẳng song song
2.2.1 Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Có thể dùng một trong các cách sau:
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp
chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định
lý đảo của định lý Thales, ...).
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ ba.
- Áp dụng định lý về giao tuyến.
2.2.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 1)
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp:
-
Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
-
Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng
minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã có).
-
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy.
Chú ý: Ta có 2 cách để tìm giao tuyến: Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm
chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết
diện của hình chóp .
13
2.2.3 Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Xác định:
-
Lấy điểm O nào đó.
-
Qua O dựng a' // a và b' // b.
-
Góc nhọn hoặc góc vuông tạo bởi a', b' gọi là góc giữa a và b.
Tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định
lý hàm số côsin trong tam giác thường.
2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng
2.3.1 Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường
thẳng a chứa trong (P).
Ghi chú: Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và
lấy a là giao tuyến của (P) và (Q).
2.3.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (Cách 2 / dạng 2)
Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp:
-
Nhắc lại một hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P)
thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song
song với d.
-
Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với
một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết.
2.4 Mặt phẳng song song
2.4.1 Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần
lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.
Chú ý: sử dụng tính chất:
(P) / /(Q)
a / /(P)
a (Q)
ta có cách thứ 2 để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
2.4.2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 3)
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước.
14
Phương pháp:
-
Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến:
“Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến
song song với nhau”.
-
Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết.
Chú ý: Nhớ tính chất:
(P) / /(Q)
(P) / /a .
a (Q)
2.5 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2.5.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Chứng minh đường vuông góc với mặt: Có thể dùng 1 trong 2 cách sau
- Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P).
- Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P).
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: Chứng minh đường
thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Chú ý: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp
chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng.
2.5.2 Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường
thẳng cho trước
Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng (P), (P) qua
điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a và b cùng vuông góc với d thì:
+ (P) // a (hay chứa a).
+ (P) // b (hay chứa b).
Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên.
Dựng mặt phẳng (P) như sau: Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông
góc với d, trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M. Khi đó phẳng được xác định
bởi hai đường thẳng trên chính là (P).
Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học.
15
2.6 Đường vuông góc và đường xiên
2.6.1 Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt
phẳng (P) cho trước
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp: Thực hiện các bước sau:
- Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc
với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng).
- Xác định đường thẳng c P Q .
- Dựng AH vuông góc với c tại H
+ Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P).
+ Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P).
Chú ý:
- Trước khi chọn d và dựng (Q) ta nên xét xem d và (Q) đã có sẵn trên hình vẽ
hay chưa.
- Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m
thì Ax P .
- Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)).
- Nếu AB cắt (P) tại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB .
2.6.2 Ứng dụng của trục đường tròn
Định nghĩa: Trục đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa
đường tròn tại tâm của đường tròn đó.
Ta có thể dùng tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách
đều 3 điểm A, B, C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)).
- Nếu MA MB MC và NA NB NC trong đó A, B, C là ba điểm
không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A, B, C khi
đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A,
B, C.
16
2.6.3 Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động
Ta thường gặp bài toán: Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A
trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O.
Phương pháp:
- Dựng AH P với H P , theo định lý ba đường vuông góc ta có
HM d .
900 nên M thuộc đường tròn đường kính OH
- Trong mặt phẳng (P), HMO
chứa trong (P).
2.6.4 Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt
phẳng di động
Ta thường gặp bài toán: Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm
cố định A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định.
Phương pháp:
- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d
- Tìm c P Q .
- Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P).
900 nên H
- Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), AHE
thuộc đường tròn đường kính AE .
2.6.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: (xác định góc giữa a và (P))
- Tìm giao điểm O của a với (P).
- Chọn điểm A a và dựng AH P với H P .
- Khi đó AOH
a, P .
2.6.6 Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau
Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn
vuông góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
a (P)
Phương pháp 1: d(a,b)=d((P),(Q)) trong đó, b (Q)
(P)//(Q)
Cụ thể, ta thực hiện theo các bước sau
+ Bước 1: Qua a dựng một mp P / /b .
17
+ Bước 2: Trên b lấy điểm K, dựng KH vuông góc (P) tại H.
+ Bước 3: Từ H kẻ đường thẳng // b và đường thẳng này cắt a tại I.
+ Bước 4: Từ I kẻ IJ / /KH cắt b tại J.
IJ là đường vuông góc chung của a, b.
Phương pháp 2: (Áp dụng với hai đường thẳng vừa chéo nhau, vừa vuông góc nhau)
- Bước 1: Qua a dựng mp (P) vuông góc b.
- Bước 2: Xác định giao điểm J giữa b và (P).
- Bước 3: Trong (P) từ J kẻ JI vuông góc a tại I.
IJ là đường vuông góc chung của a, b
2.7 Mặt phẳng vuông góc
2.7.1 Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng
Khi giải các bài toán liên quan đến số đo nhị diện hay góc giữa hai mặt
phẳng thì ta thường xác định góc phẳng của nhị diện. Nếu góc này chưa có sẵn trên
hình ta có thể dựng nó theo phương pháp dưới đây.
Phương pháp:
- Tìm cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai
mặt của nhị diện)
- Dựng một đoạn thẳng AB có hai đầu mút ở trên hai mặt của nhị diện và
vuông góc với một mặt của nhị diện .
là góc phẳng của nhị diện.
- Chiếu vuông góc A (hay B) trên c thành H, ta được AHB
Chú ý:
- Nếu đã có một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc
với cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau: Chiếu
là góc
vuông góc A ( hay B hay một điểm trên AB ) trên c thành H. Khi đó AHB
phẳng của nhị diện.
- Nếu hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì
a, b .
P , Q
- Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB có
(I là trung điểm của AB) là góc phẳng của nhị diện đó.
chung đáy AB thì MIN
2.7.2 Mặt phân giác của nhị diện, cách xác định mặt phân giác
Phương pháp:
18
- Xem thêm -
.PDF 
74 
362 
130 
