Tài liệu Luận văn tốt nghiệp khoa Vật lý (full) - ĐH SP Hà Nội 2

Lêi C¶m ¬n Tr-íc tiªn em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt cña m×nh tíi c« gi¸o - TiÕn sÜ NguyÔn ThÞ Hµ Loan. Ng-êi ®· h-íng dÉn tËn t×nh, tËn t©m chØ b¶o gióp ®ì em hoµn thµnh luËn v¨n nµy: “Céng m«men”. Nguêi ®· dµnh cho chóng em nh÷ng sù gióp ®ì -u ¸i nhÊt trong thêi gian häc tËp, nghiªn cøu còng nh- trong qu¸ tr×nh hoµn thµnh luËn v¨n. Em xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ vËt lý lý thuyÕt, c¸c thÇy c« trong khoa vËt lý ®· t¹o ®iÒu kiÖn vµ ®ãng gãp ý kiÕn ®Ó chóng em hoµn thµnh tèt luËn v¨n tèt nghiÖp. Tuy nhiªn do thêi gian vµ khu«n khæ kh«ng cho phÐp cña ®Ò tµi h¹n chÕ nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt rÊt mong sù ®ãng gãp vµ tiÕp tôc x©y dùng ®Ò tµi cña c¸c b¹n quan t©m. Hµ Néi, ngµy 08 th¸ng 05 n¨m 2007 Sinh viªn §Æng ThÞ Thanh Thuû Lêi cam ®oan Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n, ®-îc sù gióp ®ì tËn t×nh cña c« gi¸o – TiÕn sÜ NguyÔn ThÞ Hµ Loan vµ sù nç lùc cña b¶n th©n, t«i ®· hoµn thµnh luËn v¨n nµy. §©y lµ kÕt qu¶ nghiªn cøu míi, t«i xin cam ®oan kÕt qu¶ nµy kh«ng trïng víi kÕt qu¶ nghiªn cøu cña t¸c gi¶ kh¸c. NÕu sai, t«i hoµn toµn chÞu tr¸ch nhiÖm. Hµ Néi, ngµy 08 th¸ng 05 n¨m 2007 Sinh viªn §Æng ThÞ Thanh Thuû Môc lôc A – Më §Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi ......................................................................................... 1 2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu .............................................................. 2 3. §èi t-îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu ............................................................... 2 4. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu ............................................................................. 2 B – Néi dung Ch-¬ng 1: Céng m«men xung l-îng 1.1. M«men xung l-îng .................................................................................. 3 1.1.1. To¸n tö m«men xung l-îng .......................................................... 3 1.1.2. TrÞ riªng cña m«men xung l-îng .................................................. 5 1.1.3. Hµm riªng cña to¸n tö m«men xung l-îng ................................... 7 1.1.4. MÉu vect¬ vµ phÐp céng m«men xung l-îng ............................... 9 1.2. Lý thuyÕt l-îng tö vÒ m«men xung l-îng 1.2.1. L-îng tö ho¸ m«men xung l-îng ................................................. 11 1.2.2. M«men xung l-îng quü ®¹o vµ c¸c hµm cÇu ................................ 18 1.2.3. BiÓu diÔn ®¹i sè Lie cña to¸n tö m«men xung l-îng quü ®¹o ...... 24 1.2.4. Céng m«men xung l-îng .............................................................. 26 1.2.5. Sù suy biÕn cña c¸c tr¹ng th¸i víi h×nh chiÕu m«men xung l-îng toµn phÇn kh¸c nhau ................................................................................ 38 Ch-¬ng 2: Céng m«men Spin 2.1. To¸n tö Spin cña electron ......................................................................... 41 2.2. Hµm sè Spin ............................................................................................. 44 2.3. Spin cña h¹t vi m« .................................................................................... 46 C – KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o............................................................................... 55 A – më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Nh­ chóng ta ®· biÕt “VËt lý h¹t c¬ b¶n” lµ mét chuyªn ngµnh hÑp cña m«n VËt lý trong ®ã ®i s©u vµo nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt, c¸c quy luËt t-¬ng t¸c cña h¹t c¬ b¶n vµ c¸c ph¶n h¹t cña chóng. §ång thêi nghiªn cøu c¸c qu¸ tr×nh biÕn ®æi gi÷a c¸c h¹t c¬ b¶n còng nh- mèi liªn hÖ cña chóng víi c¸c tr-êng lùc xung quanh. Khi ®i s©u vµo thÕ giíi c¸c h¹t c¬ b¶n tøc lµ ta ®· nãi ®Õn thÕ giíi c¸c h¹t vi m«. V× vËy lý thuyÕt cæ ®iÓn sÏ bÞ thay ®æi b»ng lý thuyÕt l-îng tö – lý thuyÕt tr-êng l-îng tö vµ ®-îc dïng nh- mét c«ng cô kh¸ tèt ®Ó nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n. Nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n tøc lµ mét c¸ch gi¸n tiÕp ta ®· nghiªn cøu vò trô, v× c¸c h¹t c¬ b¶n nµy cÊu thµnh toµn bé vËt chÊt, tr¸i ®Êt còng nh- tÊt c¶ c¸c sù vËt, c¸c thiªn hµ vµ c¸c líp bôi gi÷a c¸c v× sao, chóng ®Òu ®-îc t¹o thµnh tõ c¸c h¹t c¬ b¶n. -íc muèn cña con ng-êi lµ lu«n muèn lµm chñ ®-îc thiªn nhiªn, vò trô. V× vËy viÖc nghiªn cøu h¹t c¬ b¶n lµ mét vÊn ®Ò lu«n lu«n ®Æt ra kh«ng chØ cho c¸c nhµ vËt lý mµ cho tÊt c¶ nh÷ng ai yªu thÝch m«n h¹t c¬ b¶n. Cã thÓ nãi vËt lý h¹t c¬ b¶n chÝnh lµ vËt lý n¨ng l-îng cao, nã cho phÐp ta ®i s©u vµ thÕ giíi bªn trong h¹t nh©n. Theo gi¶ thiÕt cña Borh vÒ l-îng tö ho¸ quü ®¹o th× m«men xung l-îng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng xung quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi nguyªn cña h»ng sè Planck . Trong phÇn néi dung cña luËn v¨n nµy ta sÏ thÊy r»ng gi¶ thiÕt cña Bohr chÝnh lµ hÖ qu¶ cña c¸c tiªn ®Ò cña CHLT. §Ó thÊy râ ®iÒu ®ã ta h·y nghiªn cøu lý thuyÕt l-îng tö vÒ m«men xung l-îng. Trong ®ã ®Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña c¸c to¸n tö m«men xung l-îng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ. Nh-ng c¸ch tr×nh bµy trªn h×nh vÏ chØ lµ ®Ó hiÓu mét c¸ch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ mét c¸ch biÓu diÔn chÝnh x¸c m«men xung l-îng. VËy ®Ó hiÓu mét c¸ch chÝnh x¸c m«men xung l-îng th× ta sÏ ®i xÐt mét hÖ gåm 2 h¹t, bá qua t-¬ng t¸c gi÷a 2 h¹t lµm thay ®æi m«men xung l-îng th× m«men xung l-îng L cña hÖ b»ng tæng c¸c m«men xung l-îng cña hai h¹t. §Ó ®i ®Õn ®-îc ®iÒu ®ã th× ta dïng quy t¾c céng m«men xung l-îng, céng m«men spin nãi riªng vµ céng m«men nãi chung. MÆt kh¸c khi chøng minh ®Þnh luËt b¶o toµn m«men xung l-îng quü ®¹o chóng ta míi chØ xÐt tr-êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt khi hµm sãng chØ cã mét thµnh phÇn. B©y giê ta kh¶o s¸t tr-êng hîp tæng qu¸t khi hµm sãng cã nhiÒu thµnh phÇn mµ trong c¸c phÐp quay kh«ng gian, mçi thµnh phÇn chuyÓn thµnh mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chÝnh nã vµ c¸c thµnh phÇn kh¸c. Còng chÝnh v× c¸c lÝ do ë trªn ®· gióp t«i ®äc, t×m hiÓu vµ nghiªn cøu ®Ò tµi nµy: “céng m«men”. 2. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô nghiªn cøu - Th«ng qua quy t¾c hay ®Þnh lÝ céng m«men cho mét hÖ gåm 2 h¹t kh«ng t-¬ng t¸c ta cã thÓ ¸p dông cho hµm sãng mét h¹t víi hai bËc tù do kh¸c nhau hoÆc hÖ nhiÒu h¹t. - N©ng cao tÇm hiÓu biÕt vÒ vËt lý häc cña thÕ giíi vi m«. MÆt kh¸c cã thÓ lµm tµi liÖn tham kh¶o cho c¸c b¹n ®äc. 3. §èi t-îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu - T×m hiÓu vÒ m«men xung l-îng, m«men spin, céng m«men xung l-îng vµ céng m«men spin cña c¸c h¹t. - Dïng cho hÖ c¸c h¹t vi m« kh«ng t-¬ng t¸c víi nhau. 4. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu Dïng ph-¬ng ph¸p to¸n cho vËt lý: To¸n tö, gi¶i ph-¬ng tr×nh hµm riªng, trÞ riªng, c¸c ph-¬ng tr×nh ®Æc biÖt cho vËt lý. B - Néi dung Ch-¬ng 1: Céng m«men xung l-îng 1.1. M«men xung l-îng 1.1.1. To¸n tö m«men xung l-îng Trong c¬ häc l-îng tö, còng t-¬ng tù nh- trong CHC§, m«men xung l-îng L ®-îc ®Þnh nghÜa nh- sau: Lˆ  rˆ  Pˆ (1) §ã lµ mét to¸n tö vect¬ cã 3 thµnh phÇn:  Lˆx  yP ˆ ˆz  zP ˆ ˆy  ˆ ˆz ˆ ˆx  xP  Lˆ y  zP ˆ ˆ ˆy  yP ˆ ˆx  Lz  xP (2) C¸c thµnh phÇn ®ã lµ c¸c to¸n tö biÓu diÔn h×nh chiÕu cña vect¬ m«men xung l-îng lªn c¸c trôc x, y vµ z. NÕu chän: x̂  x ; ŷ  y ; ẑ  z ; P̂x  - i    ; P̂y  - i ; P̂z  - i y z x Th× c¸c to¸n tö h×nh chiÕu cña m«men xung l-îng trong to¹ ®é §Ò C¸c cã biÓu thøc nh- sau:   ˆ  Lx  i (y z  z y )    ˆ  Ly  i (z  x ) x z    ˆ L   i (x  y ) z   y  x  (3) Ng-êi ta cßn ®Þnh nghÜa to¸n tö b×nh ph-¬ng m«men xung l-îng: Lˆ2  Lˆ2x  Lˆ2y  Lˆ2z (4) Sau ®©y ta nªu lªn mét vµi hÖ thøc giao ho¸n quan träng gi÷a c¸c to¸n tö m«men xung l-îng: [ Lˆx ,Lˆy ]  i Lˆz ; [ Lˆy ,Lˆz ]  i Lˆx ; [ Lˆz ,Lˆx ]  i Lˆy [Lˆ2 ,Lˆx ]  [Lˆ2 ,Lˆy ]  [Lˆ2 ,Lˆz ]  0 (5) (6) Tõ c¸c hÖ thøc trªn ta thÊy r»ng kh«ng thÓ ®o ®-îc mét c¸ch chÝnh x¸c ®ång thêi h×nh chiÕu cña m«men xung l-îng lªn hai trong ba trôc to¹ ®é vu«ng gãc. NÕu ®· ®o ®-îc chÝnh x¸c Lz ch¼ng h¹n, th× ®ång thêi kh«ng thÓ ®o ®-îc chÝnh x¸c Lx hoÆc Ly . Cã thÓ ®o ®-îc chÝnh x¸c ®ång thêi b×nh ph-¬ng cña m«men xung l-îng vµ h×nh chiÕu cña nã lªn mét trôc bÊt k×. §«i khi ®Ó cho thuËn tiÖn, ng-êi ta ®-a vµo c¸c to¸n tö sau ®©y: Lˆ  Lˆx  iLˆy ; Lˆ  Lˆx  iLˆy (7) C¸c to¸n tö Êy tu©n theo nh÷ng hÖ thøc giao ho¸n: [ Lˆ , Lˆ ]  2 Lˆz [ Lˆ , Lˆ ]  - Lˆ   z (8) [ Lˆ , Lˆ z ]  Lˆ Vµ Lˆ2  Lˆ Lˆ  Lˆ2z  Lˆz (9) NÕu viÕt biÓu thøc cña c¸c to¸n tö m«men xung l-îng trong to¹ ®é cÇu (dïng c¸c c«ng thøc chuyÓn ®¹o hµm) th× ta cã:     Lˆx  i  sin  cotg .cos         Lˆy   i  cos  cotgθ.sin θ    (10)  Lˆz  i  cßn ®èi víi L̂2 th×: Lˆ2   2  1     1 2  .  sin  .   2 . 2     sin     sin    (11a) Hay, nÕu chó ý ®Õn c«ng thøc: 1    1 2 Δ  . sinθ   2 . 2 θ, sinθ θ  θ  sin θ  th× ta cã thÓ viÕt: L̂2   .  , 1.1.2. TrÞ riªng cña m«men xung l-îng (11b) Ta h·y xÐt bµi to¸n trÞ riªng cña to¸n tö L̂z . §Ó thuËn tiÖn ta dïng to¹ ®é cÇu. Ph-¬ng tr×nh trÞ riªng cã d¹ng: i . u  Lzu  (12) trong ®ã u lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng Lz . Gi¶i ph-¬ng tr×nh nµy ta t×m ®-îc biÓu thøc cña hµm riªng u . PhÇn phô thuéc to¹ ®é  cña u cã d¹ng: i e .Lz . VËy u b»ng mét h»ng sè ®èi víi  nh©n víi hµm sè mò nãi trªn, h»ng sè nµy nãi chung cã thÓ phô thuéc vµo c¸c to¹ ®é kh¸c  r vµ   : i u(r, , )  c(r, ).e .Lz . (13) Chó ý r»ng khi  thay ®æi 2 th× ta l¹i trë vÒ ®iÓm cò. Muèn cho u lµ mét hµm ®¬n gi¸ (theo vÞ trÝ trong kh«ng gian) th× khi  thay ®æi 2 hµm u vÉn gi÷ nguyªn gi¸ trÞ u(  2 )  u( ) . Tõ ®ã suy ra r»ng: i e .Lz .2  1 hay Lz .2  m2 trong ®ã m lµ mét sè nguyªn (d-¬ng hoÆc ©m) Lz  m (14) víi: m  0; 1; 2 TrÞ riªng Lz b»ng mét sè nguyªn lÇn  Thay gi¸ trÞ cña Lz vµo biÓu thøc (13) cña hµm riªng ta cã: u(r, , )  c(r, )eim ®ã lµ hµm riªng øng víi trÞ riªng m . (15) B©y giê ta chuyÓn sang t×m trÞ riªng cña b×nh ph-¬ng m«men xung l-îng L̂2 , xuÊt ph¸t tõ nh÷ng hÖ thøc giao ho¸n (8). Tõ hai hÖ thøc sau cña (8) ta cã thÓ biÕn ®æi vµ viÕt gép l¹i: Lˆz Lˆ  Lˆ Lˆz  Lˆ (16) Ta l¹i biÕt theo (6) r»ng L̂2 vµ L̂z giao ho¸n, hai to¸n tö nµy cã chung nh÷ng hµm riªng. Do ®ã hµm riªng um (r , , ) cña L̂z ®· viÕt ë trªn (theo ph-¬ng tr×nh (15)) còng lµ hµm riªng cña to¸n tö L̂2 . Cho c¸c to¸n tö ë hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh (16) t¸c dông lªn um ta cã: Lˆz Lˆum  Lˆ Lˆzum  Lˆum Chó ý r»ng Lˆzum  Lzum  m um Ta cã: Lˆz Lˆum   m  1 Lˆum Tõ ®ã ta cã thÓ kÕt luËn r»ng: Lˆum lµ hµm riªng cña to¸n tö L̂z øng víi trÞ riªng m  1. ViÕt l¹i cho râ ta cã: Lum  constum1 Lˆum  constum1 Nhí l¹i r»ng m lµ trÞ riªng cña to¸n tö Lˆz , ®ã lµ mét ®¹i l-îng vËt lý kh«ng thÓ b»ng v« cùc. VËy ta cã thÓ thõa nhËn r»ng m giíi néi. Gäi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña m , ta sÏ cã: Lˆul  constul 1  0 v× nÕu ul 1  0 th× l kh«ng ph¶i gi¸ trÞ lín nhÊt cña m . B©y giê cho to¸n tö L̂2 t¸c dông lªn ul , theo (9) ta cã: L2ul  Lˆ- Lˆ+ul  L2ul  Lˆzul  l 2 2ul  l ul  l(l +1) 2ul VËy trÞ riªng cña to¸n tö L̂2 lµ: L2  l(l +1) 2 (17) l cã nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn, kÓ c¶ gi¸ trÞ b»ng kh«ng. øng víi mét gi¸ trÞ ®· cho cña l th× m cã thÓ cã nhiÒu gi¸ trÞ. Nh- trªn ®· nãi l lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña m . MÆt kh¸c hai h-íng gi÷a trôc z lµ t-¬ng ®-¬ng vÒ mÆt vËt lý, nªn øng víi mçi gi¸ trÞ cña m l¹i cã mét gi¸ trÞ kh¸c tr¸i dÊu. Nh- vËy m cã thÓ cã c¸c gi¸ trÞ nguyªn tõ l ®Õn - l . m = l; l-1; l-2;…; -l (18) tÊt c¶ lµ (2l+1) gi¸ trÞ. 1.1.3. Hµm riªng cña to¸n tö m«men xung l-îng C¸c to¸n tö m«men xung l-îng L̂2 vµ Lˆ z chØ chøa c¸c to¹ ®é  ,  vµ ®¹o hµm theo c¸c täa ®é nµy. V× vËy ta chØ x¸c ®Þnh ®-îc phÇn phô thuéc  vµ  trong hµm riªng (chung) cña hai to¸n tö Êy, c¸c hµm riªng Êy cã chøa mét h»ng sè nh©n phô thuéc vµo r . Gäi ulm (r,θ, ) lµ hµm riªng (chung) cña L̂2 vµ Lˆ z øng víi c¸c trÞ riªng lÇn l-ît lµ l(l + 1) 2 vµ m . PhÇn phô thuéc c¸c to¹ ®é  vµ  gäi lµ hµm cÇu vµ kÝ hiÖu lµ: Yl m (θ, ) vËy ulm (r,θ, )= c(r).Yl m (θ, ) Khi viÕt ph-¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö L̂2 vµ Lˆ z ta cã thÓ kh«ng ®Ó ý tíi h»ng sè nh©n c(r ) : Lˆ2Yl m (θ, ) = l(l + 1) 2Yl m (θ, ) LˆzYl m (θ, ) = m Yl m (θ, ) (19) (20) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (20) gièng nh- (12) ta cã: Yl m (θ, ) = Klm   eim (21) thay vµo (19) ta cã: 1 d  dKl m  m2 sinθ - 2 .Klm +l(l +1)K l m = 0 (22)   sinθ d  dθ  sin θ Ta ®æi biÕn sè, ®Æt x  cos vµ chó ý r»ng: d  cos  d d d  .   sin d d  cos  d dx Ph-¬ng tr×nh (22) cã d¹ng: m  m2  m d 2 dK l 1  x   l ( l  1)     Kl  0 dx dx  1  x 2  Hay: d 2 Klm dKlm  m2 1  x  dx2  2 x. dx   l (l  1)  1  x2  2  m  Kl  0  Ta thÊy r»ng ®©y chÝnh lµ ph-¬ng tr×nh L¬gi¨ng®r¬ liªn kÕt. NghiÖm Klm chÝnh lµ ®a thøc liªn kÕt L¬gi¨ng®r¬ trong ®ã biÕn sè lµ cos . Klm ( x)  Pl m (cos ) cuèi cïng: Yl m ( , )  const.Pl m (cos ).eim (23) H»ng sè ®-îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸. Sau ®©y ta tÝnh vµi gi¸ trÞ cña hµm cÇu Yl m . Muèn thÕ tr-íc hÕt cÇn tÝnh ®a thøc liªn kÕt L¬gi¨ng®r¬ theo c«ng thøc: m m d Pl ( x) m 2 Pl ( x)  (1  x ) 2 . m dx ta ®-îc: P( x)  P0 ( x)  1 P10 ( x)  P1 ( x)  x P12 ( x)  1  x 2 . d P1 ( x)  1  x 2 dx 1 P20 ( x)  P2 ( x)  (3x 2  1) 2 d  3x 2  1  P ( x)  1  x .   3x 1  x 2  dx  2  2 2 2 d 2  3x 2  1  P ( x)  1  x . 2   3 1  x2  dx  2  1 2 2 Thay vµo (23) vµ thõa nhËn c¸c h»ng sè chuÈn ho¸ mµ ng-êi ta ®· tÝnh ®-îc, ta cã: Y00  1 3 ; Y10  cos 4 4 Y11   3 5 sin e i ; Y20  3cos 2  1  8 16 Y21   15 15 2 2i cos sin  e i  ; Y22  sin  e 8 8 1.1.4. MÉu vect¬ vµ phÐp céng m«men xung l-îng §Ó h×nh dung mét c¸ch cô thÓ vÒ trÞ riªng cña c¸c to¸n tö m«men xung l-îng ta cã thÓ tr×nh bµy mét c¸ch th« s¬ trªn h×nh vÏ. Vect¬ m«men xung l-îng L cã ®é dµi lµ: L  l (l  1). H×nh chiÕu cña vect¬ nµy lªn trôc z cã ®é lín ®¹i sè lµ: Lz  m trong ®ã m cã nhiÒu gi¸ trÞ tõ l ®Õn l (tÊt c¶ 2l  1 gi¸ trÞ). Nh- vËy vÐct¬ L kh«ng thÓ h-íng tuú ý trong kh«ng gian, nã chØ cã thÓ h-íng nh- thÕ nµo ®Ó h×nh chiÕu cã gi¸ trÞ nh- trªn. H×nh vÏ 1: VÏ s¬ ®å vect¬ L gäi lµ mÉu vect¬ cña m«men xung l-îng øng víi tr-êng hîp l =2 L  2(2  1)  6 Lz  2 ,  ,0, ,2 Trªn mÆt ph¼ng cña h×nh vÏ vect¬ m«men xung l-îng L chØ cã thÓ cã 5 c¸ch ®Þnh h-íng kh¸c nhau (ë nöa bªn ph¶i trôc z). NÕu ta quay h×nh vÏ quanh trôc z th× ®-îc c¸c h-íng cã thÓ cña L trong kh«ng gian. C¸ch tr×nh bµy trªn ®©y chØ lµ ®Ó hiÓu mét c¸ch trùc quan, kh«ng thÓ coi lµ mét c¸ch biÓu diÔn chÝnh x¸c m«men xung l-îng. B©y giê ta xÐt mét hÖ gåm hai h¹t cã m«men xung l-îng lÇn l-ît lµ L1 vµ L2 . NÕu bá qua t-¬ng t¸c cña hai h¹t lµm thay ®æi m«men xung l-îng th× m«men xung l-îng L cña hÖ b»ng tæng cña c¸c m«men L1 vµ L2 . NÕu biÕt c¸c l-îng tö sè l1 , m1 vµ l2 , m2 x¸c ®Þnh c¸c m«men xung l-îng L1 vµ L2 th× ta cã thÓ suy ra ®-îc c¸c sè l-îng tö l vµ m x¸c ®Þnh m«men xung l-îng L . C¸ch suy ra l vµ m gäi lµ phÐp céng m«men xung l-îng trong c¬ häc l-îng tö. Ng-êi ta cã thÓ chøng minh ®-îc mét c¸ch chÆt chÏ phÐp céng m«men xung l-îng, sau ®©y ta dïng mét ph-¬ng ph¸p ®¬n gi¶n ®Ó hiÓu phÐp céng m«men xung l-îng. Tr-íc hÕt ta cã: Lz  L1z  L2 z tøc lµ m  m1  m2  m  m1  m2 (24) Ta l¹i biÕt r»ng gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m1 lµ l1 , cña m2 lµ l2 , vËy gi¸ trÞ cùc ®¹i cña m , tøc còng lµ gi¸ trÞ cña l lµ: l  l1  l2 ta cã thÓ hiÓu mét c¸ch th« s¬ r»ng ®©y lµ tr-êng hîp hai vect¬ L1 vµ L2 cïng h-íng. Tr-êng hîp hai vect¬ Êy cïng ph-¬ng ng-îc chiÒu th×: l  l1  l2 . Cßn cã nh÷ng tr-êng hîp kh¸c th× l cã gi¸ trÞ nguyªn ë kho¶ng gi÷a hai gi¸ trÞ trªn. Nãi tãm l¹i víi l1 vµ l2 ®· cho th× l cã gi¸ trÞ sau ®©y: l  l1  l2 , l1  l2  1,..., l1  l2 (25) TÊt c¶ cã 2l2  1 gi¸ trÞ (nÕu l2  l1 ). 1.2. Lý thuyÕt l-îng tö vÒ m«men xung l-îng Theo gi¶ thiÕt cña Bohr vÒ l-îng tö ho¸ quü ®¹o th× m«men xung l-îng cña ®iÖn tö chuyÓn ®éng xung quanh h¹t nh©n chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n lµ mét béi nguyªn cña h»ng sè Planck . Trong ch-¬ng nµy chóng ta sÏ thÊy r»ng gi¶ thiÕt cña Bohr chÝnh lµ hÖ qu¶ cña c¸c tiªn ®Ò cña c¬ häc l-îng tö ®· tr×nh bµy ë ch-¬ng truíc. §Ó thÊy râ ®iÒu nµy chóng ta h·y nghiªn cøu lý thuyÕt l-îng tö vÒ m«men xung l-îng. 1.2.1. L-îng tö ho¸ m«men xung l-îng Nh- chóng ta ®· biÕt, c¸c hµm sãng cña h¹t vi m« chuyÓn ®éng trong tr-êng thÕ ®èi xøng cÇu thùc hiÖn biÓu diÔn cña nhãm quay, c¸c to¸n tö thµnh phÇn cña vect¬ m«men xung l-îng Jˆi (i  1,2,3) cña h¹t tØ lÖ víi c¸c vi tö Lˆi cña biÓu diÔn ®ã: Jˆi  Lˆi , i  1,2,3 . XuÊt ph¸t tõ c¸c hÖ thøc giao ho¸n c¸c vi tö Lˆi  Lˆ1 , Lˆ2   iLˆ3 ;  Lˆ2 , Lˆ3   iLˆ1 ;  Lˆ3 , Lˆ1   iLˆ2       ta h·y t×m ra tÊt c¶ c¸c biÓu diÔn tèi gi¶n cña nhãm quay vµ thiÕt lËp quy t¾c l-îng tö ho¸ m«men xung l-îng. Tõ c¸c hÖ thøc giao ho¸n gi÷a c¸c vi tö Lˆi võa viÕt ë trªn suy ra r»ng to¸n tö: Lˆ2  Lˆ12  Lˆ2 2  Lˆ32 giao ho¸n víi tÊt c¶ c¸c vi tö Lˆi :  Lˆ2 , Lˆi   0   ta ®Æt: i  1,2,3 (26) Lˆ(  )  Lˆ1  iLˆ2 ; Lˆ(  )  Lˆ1  iLˆ2 (27) vµ h·y ding L̂(  ) , L̂(  ) thay cho L̂1 vµ L̂2 . L-u ý r»ng L̂1 , L̂2 cã thÓ biÓu diÔn qua L̂(  ) , L̂(  ) nh- sau:    1 1 ˆ(  ) ˆ(  ) Lˆ1  Lˆ(  )  Lˆ(  ) ; Lˆ2  L L 2 2i  (28) DÔ dµng thö l¹i ®-îc r»ng:  Lˆ3 , Lˆ(  )   Lˆ(  )   (29)  Lˆ3 , Lˆ(  )    Lˆ( )   (30)  Lˆ , Lˆ(  )   2 Lˆ3   (31) 1 Lˆ2   Lˆ(  ) .Lˆ(  )  Lˆ(  ) .Lˆ(  )   Lˆ32 2 vµ: (32) Trong mçi biÓu diÔn cña nhãm quay mçi to¸n tö ë trªn cã d¹ng mét ma trËn. BiÓu thøc cña c¸c yÕu tè ma trËn phô thuéc vµo sù lùa chän hÖ c¬ së trong kh«ng gian thùc hiÖn biÓu diÔn. Trong qu¸ tr×nh thiÕt lËp biÓu diÔn chóng ta sÏ lùa chän hÖ c¬ së mét c¸ch thÝch hîp. XÐt mét biÓu diÔn tèi gi¶n thø nguyªn h÷u h¹n bÊt kú. V× to¸n tö L̂2 giao ho¸n víi tÊt c¶ c¸c vi tö, c«ng thøc (26), nªn theo bæ ®Ò Shur trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm ma trËn cña to¸n tö nµy ph¶i lµ béi cña ma trËn ®¬n vÞ. Lˆ2   .1ˆ (33) Víi mét h»ng sè  nµo ®ã. Sau nµy ta sÏ thÊy h»ng sè  trong c«ng thøc (33) hoµn toµn ®Æc tr-ng cho biÓu diÔn tèi gi¶n ®ang xÐt. Ta chän hÖ c¬ së trong kh«ng gian thùc hiÖn biÓu diÔn lµ hÖ c¸c vect¬ riªng cña to¸n tö L̂3 . Ký hiÖu c¸c trÞ riªng lµ  vµ c¸c vect¬ riªng t-¬ng øng lµ |   . L̂3 |   =  |   (34) Ta quy -íc r»ng c¸c vect¬ riªng  ®Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao chuÈn ho¸. '   (35)  ' V× L̂3 lµ to¸n tö tù liªn hîp nªn c¸c gi¸ trÞ riªng  ph¶i lµ c¸c sè thùc.  H·y t¸c dông to¸n tö Lˆ3 Lˆ  lªn vect¬ riªng  . Theo c¸c hÖ thøc (29) vµ (34) ta cã:      Lˆ3 Lˆ    Lˆ   Lˆ  Lˆ3       Lˆ  Lˆ3  1      1 Lˆ   HÖ thøc nµy chøng tá L̂  víi trÞ riªng    1 , nghÜa lµ L̂ L̂   còng lµ mét vect¬ riªng cña to¸n tö L̂3 øng   ph¶i tØ lÖ víi   1 .  =    1 (36) Trong ®ã  lµ h»ng sè phô thuéc vµo  (vµo c¶  n÷a) Tõ hÖ thøc (36) suy ra:  Lˆ     1,      1 Lˆ     Vµ nãi chung, theo c¸c c«ng thøc (35) vµ (36) c¸c yÕu tè ma trËn cña ma trËn øng víi to¸n tö L̂  cã d¹ng:  Lˆ     ',     ' Lˆ      ', 1 (37) T-¬ng tù nh- vËy, theo c¸c c«ng thøc (30) vµ (34) ta cã:      Lˆ3 Lˆ     Lˆ   Lˆ  Lˆ3       Lˆ  Lˆ3  1      1 Lˆ   HÖ thøc nµy chøng tá L̂   còng lµ mét vect¬ riªng cña to¸n tö L̂3 øng víi trÞ riªng    1 . V× L̂1 vµ L̂2 lµ c¸c to¸n tö tù liªn hîp cho nªn L̂ L̂   vµ lµ hai to¸n tö liªn hîp Hermitic víi nhau.     Lˆ   Lˆ   Lˆ    Vµ do ®ã:  ',       ' Lˆ     Lˆ   '   '  , '1  1  , '1 (38) LÊy yÕu tè ma trËn c¶ hai vÕ cña hÖ thøc giao ho¸n (31) gi÷a c¸c vect¬ riªng cña L̂3 víi cïng mét trÞ riªng  vµ sö dông c¸c hÖ thøc (37), (38) vµ tÝnh chÊt ®ñ cña vect¬ riªng. '    ' 1 ' Ta cã:  Lˆ   '       ' Lˆ     Lˆ    '  ' Lˆ     2  Lˆ3  '   ' Lˆ     '  2    ' Lˆ   2   2   NghÜa lµ: 2 2  1    2 (39) Lêi gi¶i tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh (39) cã d¹ng:   C      1 2 Víi C lµ mét h»ng sè tuú ý. V×  (40) 2 kh«ng ©m nªn  chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ trong mét kho¶ng h÷u h¹n tõ min ®Õn max nÕu kh«ng vÕ ph¶i cña (40) sÏ ©m khi  ®ñ lín ®Ó     1  C V× max lµ trÞ riªng lín nhÊt nªn:  Lˆ  max  0 vµ do ®ã tõ hÖ thøc (37) ta suy ra: max  0 (41) T-¬ng tù, v× min lµ trÞ riªng nhá nhÊt nªn:  Lˆ  min  0 Vµ do ®ã theo hÖ thøc (38) ta suy ra: min 1  0 Ký hiÖu max  j (42) (43) vµ sö dông ®¼ng thøc (41) trong c«ng thøc (40) ta tÝnh ®-îc C  j  j  1 vµ do ®ã c«ng thøc (40) trë thµnh:   j  j  1      1 2 (44) 2 Theo c«ng thøc (44) ph-¬ng tr×nh   0 cã hai lêi gi¶i:   j vµ    j  1 Theo ®¼ng thøc (43) lêi gi¶i thø nhÊt lµ max , nghÜa lµ max  j . Lêi gi¶i thø hai øng víi ®iÒu kiÖn (42), nghÜa lµ: min  1   j  1 VËy min   j Râ rµng, j ph¶i lµ mét sè kh«ng ©m. (45) Tãm l¹i, c¸c trÞ riªng  cña L̂3 cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ thay ®æi tõ  j ®Õn j , hai gi¸ trÞ liªn tiÕp kh¸c nhau mét ®¬n vÞ nghÜa lµ  cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ sau ®©y:    j,  j  1,  j  2,..., j  2, j  1, j Sè c¸c gi¸ trÞ ®ã lµ 2 j  1 . Sè nµy ph¶i b»ng mét sè nguyªn. NÕu sè ®ã lµ sè lÎ: 2 j  1  2n  1 th× j lµ mét sè nguyªn j  n . Cßn nÕu ®ã lµ mét sè ch½n: 2 j  1  2n  2 th× j lµ sè b¸n nguyªn j n 1 2 B©y giê h·y tÝnh yÕu tè ma trËn cña to¸n tö L̂2 gi÷a hai vect¬ øng víi cïng mét trÞ riªng bÊt k×  cña L̂3 vµ t×m h»ng sè  . Sö dông c«ng thøc (32) vµ (44) ta cã:    L̂2     1  Lˆ    '  ' Lˆ     Lˆ   '  ' Lˆ      Lˆ23   2 '  2 1  1   2  2  2 1   j  j  1     1   j  j  1      1   2 2  j  j  1 . (46) C¸c yÕu tè ma trËn cña c¸c to¸n tö L̂   vµ L̂   cã m«dun x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (44), cßn pha cña chóng th× tuú vµo sù lùa chän c¸c pha cña c¸c vÐct¬ riªng  víi  kh¸c nhau. Ta quy -íc chän c¸c pha nµy thÕ nµo ®Ó tÊt c¶ c¸c hÖ sè  ®Òu lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m.    j    j    1  vµ cã: Lˆ     j  j  1      1 j  j  1      1.  (47) 1 XÐt thÝ dô ®¬n gi¶n khi j  . H×nh chiÕu  cã thÓ cã hai gi¸ trÞ lµ 2   1 1 vµ    . Tõ c«ng thøc (47) ta suy ra 1  0 vµ  1  1 . Do ®ã theo  2 2 2 2 c¸c hÖ thøc (37) vµ (38) cã:  0 1  ˆ   0 0  Lˆ      ; L  1 0 0 0   Sö dông c¸c ®¼ng thøc (28) ta tÝnh ®-îc: 1  0 1 ˆ 1  0 i  ; L2   Lˆ1   2  1 0  2  i 0  1 1 0  Ngoµi ra: Lˆ3   2  0 1 Ta thÊy r»ng 2 L̂1 , 2Lˆ2 vµ 2 L̂3 chÝnh lµ c¸c ma trËn Pauli. Tõ nh÷ng kÕt qu¶ thu ®-îc ë trªn ta ®i ®Õn quy t¾c l-îng tö ho¸ m«men xung l-îng sau ®©y: To¸n tö b×nh ph-¬ng m«men xung l-îng toµn phÇn Ĵ 2 cña h¹t vi m« cã trÞ riªng b»ng j  j  1 2 , trong ®ã j lµ sè kh«ng ©m nguyªn hoÆc b¸n nguyªn. Ta th-êng gäi j lµ m«men xung l-îng toµn phÇn cña h¹t (khi nãi nh- vËy ta ngÇm hiÓu r»ng ta ®· lÊy lµm ®¬n vÞ m«men xung l-îng). To¸n tö h×nh chiÕu Ĵ 3 cña m«men xung l-îng trªn trôc oz cã tÊt c¶ (2 j +1) trÞ riªng:  j ,   j  1 ,…,  j  1 , j . TËp hîp 2 j  1 hµm sãng øng víi 2 j  1 trÞ riªng kh¸c nhau nãi trªn cña to¸n tö Ĵ 3 vµ víi cïng mét trÞ riªng: j  j  1 2 cña to¸n tö Ĵ 2 ®-îc gäi lµ mét ®a tuyÕn. Tr-êng hîp riªng j  0 chØ øng víi mét hµm sãng vµ gäi lµ ®¬n tuyÕn. Víi j  1 cã hai hµm sãng t¹o thµnh l-ìng tuyÕn. Víi j  1 cã ba hµm 2 sãng t¹o thµnh tam tuyÕn… To¸n tö Spin Ŝ cña h¹t vi m« tu©n theo c¸c hÖ thøc giao ho¸n gièng hÖt nh- cña Ĵ . Do ®ã nh÷ng kÕt luËn víi Ĵ còng dïng ngay ®-îc cho Ŝ . Mçi h¹t vi m« cã Spin s x¸c ®Þnh, lµ c¸c sè nguyªn hoÆc b¸n nguyªn kh«ng ©m. To¸n tö Ŝ 2 cã trÞ riªng b»ng: s  s  1 2 cßn to¸n tö h×nh chiÕu Ŝ3 trªn trôc oz cã tÊt c¶ 2s  1 trÞ riªng:  s ,  s  1 ,…,  s  1 , s . Hµm sãng cña h¹t cã Spin s lµ hµm sãng 2s  1 thµnh phÇn. 1.2.2. M«men xung l-îng quü ®¹o vµ c¸c hµm cÇu B©y giê h·y xÐt tr-êng hîp ®Æc biÖt lµ tr-êng hîp to¸n tö m«men xung l-îng quü ®¹o L̂ . Trong ch-¬ng tr-íc ta ®· biÕt r»ng c¸c thµnh phÇn cña to¸n tö L̂ lµ nh÷ng to¸n tö vi ph©n chøa c¸c to¹ ®é x, y, z vµ c¸c ®¹o hµm riªng    , , . x y  z Do ®ã cã thÓ t×m ®-îc c¸c trÞ riªng vµ biÓu thøc cho c¸c hµm riªng cña to¸n tö L̂3 vµ L̂2 b»ng c¸ch gi¶i trùc tiÕp c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n t-¬ng øng. Muèn vËy ta biÓu diÔn c¸c to¹ ®é Descartes x, y, z qua c¸c to¹ ®é cÇu r ,  ,  (H×nh 3). x  r sin cos . y  r sin  sin  . z  r cos . vµ cã c¸c biÓu thøc sau ®©y cña c¸c to¸n tö L̂3 vµ L̂2 : L̂3 = Lˆ z = i L̂   2 2    2  1 2   2  2  cot g      sin   2   (48)