Tài liệu Luận văn tính giải được của một lớp hệ phương trình elliptic không tuyến tính

§¹i häc Quèc gia Hµ Néi Tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn Ng« Quèc Anh TÝnh gi¶i ®-îc cña mét líp hÖ ph-¬ng tr×nh elliptic kh«ng tuyÕn tÝnh LuËn v¨n Th¹c sÜ Khoa häc Hµ Néi - 2007 Tãm t¾t Lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®-îc nghiªn cøu ®Çu tiªn trong c¸c c«ng tr×nh cña Euler, d'Alembert, Lagrange vµ Laplace nhlµ mét c«ng cô chÝnh ®Ó m« t¶ c¬ häc còng nh- m« h×nh gi¶i tÝch cña vËt lý. Vµo gi÷a thÕ kû XIX víi sù xuÊt hiÖn cña c¸c c«ng tr×nh cña Riemann, lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®· chøng tá lµ mét c«ng cô thiÕt yÕu cña nhiÒu ngµnh to¸n häc. Cuèi thÕ kû nµy, H. PoincarÐ ®· chØ ra mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng vµ c¸c ngµnh to¸n häc kh¸c. Sang thÕ kû XX, lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ph¸t triÓn v« cïng m¹nh mÏ nhê cã c«ng cô gi¶i tÝch hµm ®Æc biÖt lµ tõ khi xuÊt hiÖn lý thuyÕt hµm suy réng do S.L. Sobolev vµ L. Schwartz x©y dùng. Kh«ng dõng l¹i ë viÖc nghiªn cøu ®Þnh tÝnh hoÆc ®Þnh l-îng c¸c bµi to¸n ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng cô thÓ, lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng cßn nghiªn cøu trªn ph-¬ng diÖn gi¶i tÝch c¸c m« h×nh trong sinh häc, trong kinh tÕ, trong ho¸ häc vµ vËt lý thiªn v¨n mµ vÝ dô tiªu biÓu lµ m« h×nh khuyÕch t¸n trong sinh häc vµ trong ho¸ häc. Khi xÐt mét bµi to¸n ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (cã thÓ ®ã lµ bµi to¸n biªn, bµi to¸n ®iÒu kiÖn ban ®Çu, bµi to¸n ®iÒu kiÖn hçn hîp,..) ta th-êng gÆp nh÷ng kh¶ n¨ng kh¸c nhau vÒ nghiÖm cña nã nh-ng nh×n chung c¸c vÊn ®Ò ®Æt ra ®èi víi nghiÖm cña mét bµi to¸n lµ ? sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n; ? tÝnh duy nhÊt nghiÖm; ? tÝnh tr¬n cña nghiÖm. M« h×nh ®¬n gi¶n nhÊt cña bµi to¸n khuyÕch t¸n cã d¹ng ∂u = D∆u + f (x, u) ∂t x ∈ Ω ⊂ RN , , t > 0, (1) ë ®©y u ∈ RN , D lµ ma trËn N × N vµ f lµ mét hµm tr¬n. Khi ®ã nghiÖm bÒn v÷ng (kh«ng phô thuéc vµo thêi gian) cña bµi to¸n trong tr-êng hîp 1 hai chiÒu víi ma trËn D= 1 0 0 1 ! dÉn chóng ta ®Õn viÖc nghiªn cøu bµi to¸n ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cho hÖ elliptic nöa tuyÕn tÝnh víi phÇn chÝnh lµ to¸n tö Laplace sau ®©y −∆u = λu + δv + f (u, v) trong Ω, −∆v = θu + γv + g (u, v) trong Ω, (2) u = v = 0 trªn ∂Ω, trong ®ã Ω ⊂ RN (N > 1) lµ miÒn bÞ chÆn víi biªn tr¬n. V× vËy, trong LuËn v¨n nµy chóng t«i tËp trung nghiªn cøu sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n trªn. LuËn v¨n bao gåm 3 ch-¬ng chÝnh sau ®©y 1. Ch-¬ng 1 Ch-¬ng 1 dµnh ®Ó tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, c¸c tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña to¸n tö Laplace, nguyªn lý cùc ®¹i m¹nh,... 2. Ch-¬ng 2 Môc ®Ých chÝnh cña ch-¬ng lµ chøng minh sù tån t¹i vµ tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n (2) víi ®iÒu kiÖn f, g : Ω × R → R lµ c¸c hµm Lipschitz theo u, v; nghÜa lµ |f (u, v) − f (e u, e v )| ≤ k1 (|u − u e| + |v − e v|), |g(u, v) − g(e u, e v )| ≤ k2 (|u − u e| + |v − e v|), ®óng víi mäi u, u e, v, ve ∈ R. Ph-¬ng ph¸p sö dông ë ®©y lµ ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt. ý t-ëng ë ®©y lµ sö dông ph©n tÝch tæng trùc tiÕp H01 (Ω) = X ⊕ Y 2 trong ®ã X lµ kh«ng gian mét chiÒu sinh bëi hµm riªng øng víi gi¸ trÞ riªng ®Çu tiªn cña to¸n tö −∆. Víi ph©n tÝch trªn ta quy vÒ xÐt tÝnh gi¶i ®-îc cña hÖ u0 = P (−∆)−1[λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)], (3) v0 = P (−∆)−1[θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)], vµ cña hÖ z = Q(−∆)−1 [λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)], w = Q(−∆)−1 [θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)]. (4) Trong ®ã P vµ Q lÇn l-ît lµ c¸c phÐp chiÕu tõ H 01 (Ω) lªn X vµ Y . Víi mçi (u0, v0 ) ∈ X × X cè ®Þnh, ta gi¶i bµi to¸n (4) vµ gi¶ sö nghiÖm nhËn ®-îc lµ (z0, w0 ) ∈ Y × Y . Thay nghiÖm võa t×m ®-îc vµo bµi to¸n (3) ®Ó gi¶i vµ gi¶ sö nghiÖm t×m ®-îc cña bµi to¸n (3) lµ (u0 , v0 ). Khi ®ã nghiÖm cña bµi to¸n (2) sÏ lµ (u 0 + z0 , v0 + w0). KÕt hîp víi nguyªn lý ¸nh x¹ co, chóng t«i chØ ra ®-îc r»ng víi mçi (u0 , v0 ) ∈ X × X cè ®Þnh, hÖ (4) cã nghiÖm duy nhÊt nÕu (|λ| + k1 )2 + (|δ| + k1 )2 + (|θ| + k2 )2 + (|γ| + k2 )2 ≤ λ22 . NÕu λ22 (|λ| + k1 ) + (|δ| + k1 ) + (|θ| + k2 ) + (|γ| + k2 ) ≤ 2 2 2 2 2 vµ 4(k12 + k22 )((λ1 − λ)2 + (λ1 − γ)2 + θ2 + δ 2 )  4(k12 + k22 )  1+ <1 ((λ1 − λ)(λ1 − γ) − θδ)2 λ22 − 2l th× bµi to¸n (3) cã nghiÖm duy nhÊt trong X × X. Còng ph¶i nhÊn m¹nh ë ®©y r»ng trong tr-êng hîp ®ang xÐt λ 1 kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña ma trËn thùc A. §©y lµ kÕt qu¶ míi vµ ®· ®-îc t¸c gi¶ c«ng bè ë Electron. J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11. 3 3. Ch-¬ng 3 Bµi to¸n ®-îc ®Ò cËp trong ch-¬ng 3 lµ −∆u = λu + δv + f (x, u, v) trong Ω, −∆v = δu + γv + g (x, u, v) trong Ω, (5) u = v = 0 trªn ∂Ω, ë ®©y f vµ g lµ c¸c hµm CarathÐodory tháa m·n |f (x, u, v)| + |g (x, u, v)| 6 a (|u| + |v|)σ + b (6) trong ®ã a, b > 0, σ lµ c¸c h»ng sè nµo ®ã víi   ≤ N + 2 , nÕu N ≥ 3, N −2 0 ≤σ  < +∞, nÕu N = 1, 2. Kh¸c víi ch-¬ng 2, chóng t«i kh«ng gi¶ thiÕt tÝnh Lipschitz ®èi víi f vµ g tuy nhiªn l¹i cÇn sù tån t¹i hµm F sao cho ∂F (x, u, v) , ∂u ∂F g (x, u, v) = (x, u, v) . ∂v f (x, u, v) = vµ ∇F (x, U) =0 , |U|→+∞ |U| ®óng víi mäi x ∈ Ω. ∀U ∈ R2 lim (7) Víi ®iÒu kiÖn (6), phiÕm hµm liªn kÕt Z   1 2 2 2 2 |∇u(x)| + |∇v(x)| − λu(x) − 2δu(x)v(x) − γv(x) dx 2 Ω Z − F (x, U) dx. Ω thuéc líp C 1 . NghiÖm cña bµi to¸n (theo nghÜa yÕu) lµ ®iÓm tíi h¹n cña phiÕm hµm liªn kÕt trªn. Víi ®iÒu kiÖn (7) vµ λ+γ ± 2 s λ−γ 2 4 2 + δ 2 6= λj , ∀j trong ®ã λj (j ≥ 1) lµ tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö −∆ trong miÒn Ω, chóng t«i chøng minh ®-îc phiÕm hµm liªn kÕt tháa m·n ®iÒu kiÖn Palais-Smale. B»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp ®Þnh lý ®iÓm yªn ngùa chóng t«i chØ ra ®-îc sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (5). Ngoµi hai ch-¬ng chÝnh ®· nãi ë trªn, LuËn v¨n cßn bao gåm nh÷ng phÇn phô n÷a nh- lµ Më ®Çu, Lêi c¶m ¬n, Danh môc c¸c ký hiÖu, Môc lôc,... LuËn v¨n ®-îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i Khoa To¸n-C¬-Tin häc, §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Hµ Néi d-íi sù h-íng dÉn trùc tiÕp cña PGS.TS. Hoµng Quèc Toµn. 5 1 Mét sè tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña to¸n tö Laplace trong miÒn bÞ chÆn 1.1 C¸c kh«ng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Kh«ng gian H −1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Mét sè bÊt ®¼ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 BÊt ®¼ng thøc PoincarÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 BÊt ®¼ng thøc Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Nguyªn lý cùc ®¹i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Trong ch-¬ng nµy, chóng ta xÐt c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ phæ cña to¸n tö −∆ trong miÒn bÞ chÆn. 1.1 C¸c kh«ng gian Sobolev Gi¶ thiÕt Ω ⊂ RN lµ miÒn më bÞ chÆn víi biªn ∂Ω tr¬n. Ta ®Þnh nghÜa kh«ng gian Sobolev W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) |D αu ∈ Lp (Ω) , ∀α : |α| ≤ k } víi chuÈn t-¬ng øng lµ kukpW k,p = X |α|≤k |D αu|pp . §Æc biÖt, H 1(Ω) = W 1,2 (Ω), tøc lµ,  H 1 (Ω) = {u ∈ L2 (Ω)D 1 u ∈ L2 (Ω)}. Kh«ng gian H 1 (Ω) ®-îc trang bÞ tÝch v« h-íng 1.1. C¸c kh«ng gian Sobolev 3 (u, v) = (u, v)L2 X  ∂u ∂v  + , ∂xk ∂xk L2 1≤k≤N vµ chuÈn t-¬ng øng kuk2H 1 = Z Ω
|∇u(x)|2 + u(x)2 dx . Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy H 1 (Ω) lµ kh«ng gian Hilbert. XÐt C0∞ (Ω) lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n víi gi¸ comp¾c trong Ω. Ký hiÖu W0k,p (Ω), H01 (Ω) lÇn l-ît lµ bæ sung ®ñ cña C 0∞ (Ω) trong W k,p (Ω) vµ H 1 (Ω). Kh«ng gian H01 (Ω) ®-îc trang bÞ chuÈn c¶m sinh tõ kh«ng gian H 1 (Ω). Ngoµi ra H01 (Ω) còng lµ mét kh«ng gian Hilbert ®èi víi tÝch v« h-íng cña H 1 (Ω). Còng cÇn ph¶i ph©n biÖt r»ng nÕu Ω ⊂ RN th× nãi chung H01 (Ω) 6= H 1 (Ω). Tuy nhiªn, nÕu RN \Ω ®ñ máng vµ N > 2 th× H01 (Ω) = H 1 (Ω). C¸c hµm thuéc H01 (Ω) lµ c¸c hµm thuéc H 1 (Ω) vµ triÖt tiªu trªn biªn ∂Ω, ®Ó minh häa cho ®Æc tr-ng nµy cña c¸c hµm thuéc H 01 (Ω) ta ph¸t biÓu ®Þnh lý sau §Þnh lý 1.1. Ta gi¶ thiÕt Ω thuéc líp C 1 . Gi¶ sö u ∈ H01 (Ω) ∩ C(Ω). Khi ®ã c¸c tÝnh chÊt sau lµ t-¬ng ®-¬ng • u = 0 trªn ∂Ω. • u ∈ H01 (Ω). Chøng minh cña ®Þnh lý nµy cã thÓ xem trong [6, §Þnh lý IX.17]. Tõ ®Þnh lý trªn ta cã thÓ thÊy ngay vai trß cña kh«ng gian H 01 (Ω) trong c¸c bµi to¸n biªn víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet. §Ó ®¬n gi¶n ta sÏ sö dông c¸c ký hiÖu sau ®©y L2 (Ω) := L2 (Ω) × L2 (Ω) , H10 (Ω) := H01 (Ω) × H01 (Ω) . Trong kh«ng gian L2 (Ω) ta sö dông chuÈn |U|22 = |u|22 + |v|22 1.2. Kh«ng gian H −1 (Ω) 4 víi U = (u, v) trong ®ã ký hiÖu | · |2 ®Ó chØ chuÈn trong L2 (Ω). Ta thÊy to¸n tö T : H01 (Ω) → L2 (Ω) u 7→ (u, ∇u) lµ mét ®¼ng cù, nh- vËy T (H01 (Ω)) lµ mét kh«ng gian con ®ãng trong kh«ng gian ph¶n x¹ L2 (Ω) nªn T (H01 (Ω)) lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹ vµ do ®ã H01 (Ω) lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹. 1.2 Kh«ng gian H −1 (Ω) Kh«ng gian ®èi ngÉu cña H01 (Ω) ®-îc ký hiÖu lµ H −1 (Ω), nãi c¸ch kh¸c, H −1 (Ω) lµ kh«ng gian c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn H 01 (Ω). V× H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) nªn L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω). H¬n n÷a, víi f ∈ H −1 (Ω) th× kf kH −1(Ω) = sup |f (u)|, kuk≤1 trong ®ã ta ký hiÖu f (u) ®Ó chØ gi¸ trÞ cña f ∈ H −1 (Ω) trªn u ∈ H01 (Ω). Ta ®ång nhÊt L2 (Ω) víi kh«ng gian ®èi ngÉu cña nã vµ v× vËy cã s¬ ®å sau H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω) víi c¸c phÐp nhóng liªn tôc vµ chøa trong trï mËt. §Þnh lý sau nªu bËt lªn ®Æc tr-ng cña c¸c phÇn tö trong H −1 (Ω). §Þnh lý 1.2. NÕu f ∈ H −1 (Ω) th× tån t¹i f0, f1 , ..., fN ∈ L2 (Ω) sao cho Z N Z X ∂u hf, ui = f0 (x)u(x) dx + fk (x) (x) dx , ∀u ∈ H01 (Ω) ∂xk Ω Ω k=1 vµ max |fk |2 = kf kH −1 . 0≤k≤N Chøng minh cña ®Þnh lý nµy cã thÓ xem trong [6, §Þnh lý IX.20]. 1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã 5 1.3 Mét sè bÊt ®¼ng thøc Sau ®©y ta liÖt kª mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng sÏ dïng trong c¸c chøng minh sau nµy. 1.3.1 BÊt ®¼ng thøc PoincarÐ Gi¶ sö Ω ⊂ RN lµ miÒn bÞ chÆn. Khi ®ã tån t¹i h»ng sè c > 0 sao cho bÊt ®¼ng thøc sau Z Ω u(x)2 dx ≤ c ®óng víi mäi u ∈ H01 (Ω). Z Ω |∇u(x)|2 dx (1.1) 1.3.2 BÊt ®¼ng thøc Hölder Gi¶ sö 1 ≤ p ≤ +∞ vµ q lµ sè mò liªn hîp cña p, tøc lµ -íc 1 ∞ 1 p + 1 q = 0). Gi¶ thiÕt Ω ⊂ RN lµ miÒn bÞ chÆn. Khi ®ã ta cã Z  1p Z  1q Z p q |f (x)g(x)| dx ≤ |f (x)| dx |g(x)| dx . Ω Ω = 1 (quy (1.2) Ω 1.4 To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã Ta ký hiÖu −∆ lµ to¸n tö −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) (1.3) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (−∆u, v) = (∇u, ∇v) , ∀u, v ∈ H01 (Ω) . (1.4) Ta chó ý r»ng, víi mäi u, v ∈ C0∞ (Ω) th× Z (−∆u, v) = ∇u∇vdx Ω    n Z n Z  X X ∂u ∂v ∂ ∂u ∂ 2u = dx = v − v 2 dx ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xi i i i i Ω Ω i=1 i=1 1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã n Z X 6 n X ∂2u =− v 2 dx + ∂xi i=1 Ω i=1 Z n X ∂2u v 2 dx. =− ∂xi i=1 Ω Tõ ®ã suy ra ∆u = Z ∂Ω ∂ v cos (xi , v) ds ∂xi n X ∂ 2u i=1 ∂x2i lµ to¸n tö Laplace. To¸n tö −∆ ®-îc x¸c ®Þnh bëi (1.3) vµ (1.4) ®-îc gäi lµ to¸n tö cña bµi to¸n Dirichlet víi ®iÒu kiÖn biªn thuÇn nhÊt ®èi víi ph-¬ng tr×nh Laplace −∆u = f (x) trong Ω, u = 0 trªn ∂Ω. (1.5) §Þnh nghÜa 1.1. Gi¶ sö f (x) ∈ L2 (Ω). Hµm u(x) ∈ H01 (Ω) ®-îc gäi lµ nghiÖm suy réng cña bµi to¸n Dirichlet (1.5) nÕu nã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (∇u, ∇v) = (f, v) , ∀v ∈ C0∞ (Ω) . NhËn xÐt. NÕu nghiÖm suy réng u cña bµi to¸n Dirichlet (1.5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u ∈ H01 (Ω) ∩ C 2 (Ω) th× • u ∈ H01 (Ω) cho ta (∇u, ∇v) = (f, v), ∀v ∈ C0∞ (Ω). • u ∈ C 2 (Ω) cho ta (∇u, ∇v) = (−∆u, v), ∀v ∈ C0∞ (Ω). NghÜa lµ (−∆u, v) = (f, v) , ∀v ∈ C0∞ (Ω) . Hay −∆u = f trong Ω. VËy u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña bµi to¸n. XÐt u ∈ H01 (Ω) bÊt kú. Tõ ®Þnh nghÜa (1.4) cña to¸n tö −∆ ta cã (−∆u, u) = (∇u, ∇u) = kuk2 . (1.6) (−∆u, u) ≤ k−∆ukH −1(Ω) kuk. (1.7) H¬n thÕ n÷a 1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã 7 Do ®ã kuk2 ≤ k−∆ukH −1(Ω) kuk . V× vËy ta cã kh¼ng ®Þnh (1.8) kuk ≤ k−∆ukH −1(Ω) . Ta ®i ®Õn ®Þnh lý. §Þnh lý 1.3. To¸n tö −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) lµ ¸nh x¹ mét-mét vµ lªn. Chøng minh. Tõ bÊt ®¼ng thøc (1.8) ta suy ra −∆ lµ ¸nh x¹ mét-mét víi miÒn gi¸ trÞ ®ãng. Ta cßn ph¶i chøng minh −∆ lµ ¸nh x¹ lªn. Gi¶ sö tån t¹i phÇn tö u0 ∈ H01 (Ω) trùc giao víi miÒn gi¸ trÞ R (−∆) ⊂ H −1 (Ω), nghÜa lµ ∀u ∈ H01 (Ω) . (−∆u, u0 ) = 0 , §Æt u = u0 ta cã (−∆u0 , u0 ) = 0. Tõ ®ã, nhê bÊt ®¼ng thøc (1.7) ta suy ra u0 = 0. VËy −∆ lµ ¸nh x¹ lªn, tøc lµ R (−∆) = H −1 (Ω).  HÖ qu¶ 1.1. Víi mäi f (x) ∈ L2 (Ω), bµi to¸n Dirichlet (1.5) tån t¹i duy nhÊt nghiÖm suy réng u0 ∈ H01 (Ω). Chøng minh. Gi¶ sö f (x) ∈ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω). Theo ®Þnh lý trªn, tån t¹i duy nhÊt u0 ∈ H01 (Ω) sao cho (−∆u0 , v) = (∇u0 , ∇v) = (f, v) , ∀v ∈ C0∞ (Ω) . §iÒu ®ã chøng tá u0 lµ nghiÖm suy réng cña bµi to¸n (1.5).  Ký hiÖu T : H −1 (Ω) → H01 (Ω) lµ to¸n tö nghÞch ®¶o cña to¸n tö −∆. Gi¶ sö u, v ∈ H01 (Ω). Ta ®Æt φ = −∆u, ψ = ∆v. Khi ®ã (T φ, ψ) = (T (−∆) u, −∆v) = (u, −∆v) = (∇u, ∇v) = (−∆u, v) = (φ, T ψ) . Tõ ®ã suy ra (T φ, ψ) = (φ, T ψ) , ∀φ, ψ ∈ L2 (Ω) . 1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã 8 §iÒu nµy chøng tá h¹n chÕ cña to¸n tö T trªn kh«ng gian L2 (Ω) lµ to¸n tö tù liªn hîp, tøc lµ T = T ∗ . Ta ®· biÕt phÐp nhóng H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) lµ comp¾c cho nªn to¸n tö T h¹n chÕ trªn L 2 (Ω) T : L2 (Ω) → H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) lµ to¸n tö comp¾c, tù liªn hîp trong L 2 (Ω). VËy ta ®i ®Õn ®Þnh lý. §Þnh lý 1.4. To¸n tö nghÞch ®¶o T cña to¸n tö −∆ lµ comp¾c, x¸c ®Þnh d-¬ng vµ tù liªn hîp trong L2 (Ω). Tõ §Þnh lý 1.4 ta suy ra tån t¹i mét c¬ së trùc giao trong L2 (Ω), ký hiÖu lµ {ϕi }∞ i=1 , gåm c¸c hµm riªng cña to¸n tö T øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng {µi }∞ i=1 trong ®ã µi & 0 khi j → +∞. H¬n n÷a, v× T : L2 (Ω) → H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) nªn ϕi ∈ H01 (Ω) víi mäi i = 1, 2, ... MÆt kh¸c ϕi = T −1 (T ϕi ) = T −1 (µiϕi ) = µi (−∆ϕi ) . Do ®ã 1 ϕi. µi §iÒu ®ã chøng tá r»ng to¸n tö −∆ cã d·y c¸c hµm riªng {ϕi } trong H01 (Ω) −∆ϕi = t-¬ng øng víi d·y c¸c gi¸ trÞ riªng {λi }∞ i=1 ®¬n ®iÖu t¨ng khi i → +∞, nghÜa lµ 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λi ≤ ... , λi → +∞ (i → +∞). V× {ϕi }i≥1 còng lµ c¸c hµm riªng cña T nªn ta ®i ®Õn kh¼ng ®Þnh sau §Þnh lý 1.5. Tån t¹i mét c¬ së Hilbert gåm nh÷ng hµm riªng {ϕi }i≥1 cña to¸n tö −∆ t-¬ng øng víi d·y c¸c gi¸ trÞ riªng {λi } ®¬n ®iÖu t¨ng khi i → +∞. Liªn quan ®Õn gi¸ trÞ riªng ®Çu tiªn λ1 cña to¸n tö −∆ ta cã ®Þnh lý sau. 1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã 9 §Þnh lý 1.6. NÕu λ1 lµ gi¸ trÞ riªng ®¬n ®Çu tiªn cña to¸n tö −∆ th× k(−∆)−1 k = 1 . λ1 Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh cña ®Þnh lý t-¬ng ®-¬ng víi viÖc chøng minh kT k = µ1 . ThËt vËy, v× {ϕi }i≥1 lµ c¬ së trùc giao cña kh«ng gian L2 (Ω) nªn cã thÓ x©y dùng ®-îc mét c¬ së trùc chuÈn cña L 2 (Ω) gåm c¸c vÐc t¬ riªng, vÉn ký hiÖu lµ {ϕi }i≥1 , cña to¸n tö −∆ øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng λi (i = 1, 2, ..). Khi ®ã, víi mçi u ∈ L2 (Ω) ta ®Òu cã biÓu diÔn P u = (u, ϕi ) ϕi . Do ®ã i Tu = T X  (u, ϕi ) ϕi = i X (u, ϕi ) T ϕi = i X µi (u, ϕi ) ϕi . i Nªn ta cã ®¸nh gi¸ X X kT uk2 = µ2i k(u, ϕi )k2 ≤ µ21 k(u, ϕi )k2 = µ21 kuk2 . i i NghÜa lµ kT uk ≤ |µ1 | kµ1 k. Tõ ®ã suy ra kT k ≤ |µ1 |. MÆt kh¸c, ta l¹i cã T u1 = µ1 u1 nªn |µ1 | ≤ kT k. KÕt hîp l¹i ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.  HÖ qu¶ 1.2. Hµm riªng ϕ1 cña to¸n tö −∆ tho¶ m·n |∇ϕ1|22 = λ1 . Chøng minh. Tõ (1.6) ta thÊy |∇ϕ1|22 = (∇ϕ1 , ∇ϕ1 ) = (−∆ϕ1 , ϕ1 ) = (λ1 ϕ1 , ϕ1 ) = λ1 |ϕ1 |22. Nh- vËy |∇ϕ1 |22 = λ1 vµ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.  KÕt qu¶ sau ®Ò cËp ®Õn tÝnh tr¬n cña bµi to¸n Dirichlet (1.5). Chøng minh chi tiÕt cña ®Þnh lý cã thÓ t×m thÊy trong [26, §Þnh lý 1.3, trang 304]. XÐt to¸n tö vi ph©n L d¹ng Lu = −∆u + Xu, trong ®ã X lµ to¸n tö vi ph©n cÊp 1 víi hÖ sè tr¬n trong Ω. 1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i 10 §Þnh lý 1.7. Cho f ∈ H k−1 (Ω) víi k = 0, 1, 2, ... Khi ®ã, nghiÖm u0 ∈ H01 (Ω) cña ph-¬ng tr×nh Lu = f thuéc H k+1 (Ω). H¬n n÷a, ta cã -íc l-îng tiªn nghiÖm kuk2H k+1(Ω) ≤c  kLuk2H k−1(Ω) + kuk2H k (Ω)  , trong ®ã c lµ mét h»ng sè d-¬ng nµo ®ã vµ u ∈ H k+1 (Ω) ∩ H01 (Ω) bÊt kú.
HÖ qu¶ 1.3. Hµm riªng ϕi (i = 1, 2, ..) cña to¸n tö −∆ thuéc C ∞ Ω ∩ H01 (Ω). Chøng minh. ThËt vËy, xÐt to¸n tö L d-íi d¹ng L = −∆ − λi . Khi ®ã ta cã ®¸nh gi¸ Lϕi = (−∆ − λi) ϕi = −∆ϕi − λi ϕi = 0.
Do 0 ∈ H01 (Ω) nªn theo ®Þnh lý trªn ta ®i ®Õn kÕt luËn ϕ i ∈ C ∞ Ω ∩ H01 (Ω).  1.5 Nguyªn lý cùc ®¹i Trong Ω ta xÐt to¸n tö vi ph©n elliptic cÊp hai L cã d¹ng sau L= N X gij (x)∂i∂j + i,j=1 trong ®ã ∂i = ∂ ∂xi N X bi(x)∂i , i=1 víi i = 1, 2, .., N vµ gij , bi lµ c¸c hµm thùc ®ñ tr¬n trong Ω víi gij = gji , thªm n÷a n X i,j=1 gij (x)ξiξj 6= 0 , ∀x ∈ Ω , ∀ξ = (ξ1, .., ξn ) ∈ RN , ξ 6= 0.
§Þnh lý 1.8 (Nguyªn lý cùc ®¹i). NÕu u ∈ C Ω ∩ C 2 (Ω) vµ Lu(x) ≥ 0 trong Ω th× sup u(x) = sup u(y). x∈Ω y∈∂Ω H¬n n÷a, nÕu Lu(x) = 0 trong Ω th× sup |u(x)| = sup |u (y)|. x∈Ω y∈∂Ω 1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i 11 Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chó ý r»ng nÕu Lu(x) > 0 trong Ω th× u(x) kh«ng thÓ ®¹t cùc ®¹i t¹i mét ®iÓm trong Ω v× r»ng nÕu u(x) ®¹t cùc ®¹i t¹i u0 (x) ∈ Ω th× t¹i ®ã ∂u (x0 ) = 0 , ∂xi H¬n n÷a, ma trËn  ∀i = 1, 2, .., N. ∂ 2u (x0 ) ∂xi ∂xj  i=1,2,..,N j=1,2,..,N lµ nöa x¸c ®Þnh ©m. Do ®ã Lu(x 0 ) ≤ 0. Tõ ®ã suy ra sup u(x) = u(x0 ) = sup u(y). x∈Ω y∈∂Ω B©y giê xÐt γ > 0 nµo ®ã, ®Æt v(x) = eγx1 . Khi ®ã
Lv(x) = Leγx1 = γ 2 g11(x) + γb1 (x) eγx1 . Do ®ã víi γ ®ñ lín th× Leγx1 > 0. Theo gi¶ thiÕt Lu(x) ≥ 0 trong Ω nªn víi mäi ε > 0 ta cã L (u + εeγx1 ) > 0 trong Ω. Vµ v× vËy sup {u(x) + εeγx1 } = sup {u(y) + εeγy1 } . x∈Ω y∈∂Ω Cho ε → 0 ta cã sup u(x) = sup u(y). x∈Ω y∈∂Ω Trong tr-êng hîp nÕu Lu(x) = 0 trong Ω th× ta còng cã L (−u(x)) = 0 trong Ω, tøc lµ sup {−u(x)} = sup {−u(y)}. x∈Ω Do ®ã sup |u(x)| = sup |u(y)|. x∈Ω y∈∂Ω  y∈∂Ω
HÖ qu¶ 1.4. Gi¶ sö u ∈ C Ω ∩ C 2 (Ω). NÕu ∆u(x) ≥ 0 trong Ω vµ u ≡ 0 trªn ∂Ω th× u(x) ≤ 0 trong Ω. §Þnh lý 1.9. Hµm riªng ϕ1 ∈ H01 (Ω) cña to¸n tö −∆ øng víi gi¸ trÞ riªng λ1 kh«ng ®æi dÊu trong Ω. 1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i 12 Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt ϕ1 ∈ H01 (Ω) lµ hµm riªng cña to¸n tö −∆ theo
HÖ qu¶ 1.3 ta suy ra ϕ1 ∈ C ∞ Ω ∩ H01 (Ω). Víi x ∈ Ω ta ký hiÖu ϕ+ 1 (x) = max {ϕ1 (x), 0} , ϕ− 1 (x) = min {ϕ1 (x), 0} . − 1 Khi ®ã ϕ+ 1 (x), ϕ1 (x) ∈ H0 (Ω), ngoµi ra ta cßn cã Z  + 2 + 2 ∇ϕ  dx = |∇ϕ1 |2 2 + , |∇ϕ1 |L2(Ω +) = 1 L (Ω ) ZΩ +  − 2 2 ∇ϕ  dx = |∇ϕ1|2 2 − , | = |∇ϕ− 2 − 1 L (Ω ) 1 L (Ω ) Ω− trong ®ã Ω ± = {x ∈ Ω | ±ϕ1 (x) > 0}. V× ϕ1 lµ tr¬n trong Ω nªn Ω + vµ Ω − lµ nh÷ng tËp con më trong Ω. XÐt c¸c tr-êng hîp sau ®©y + 1. NÕu Ω + 6= ∅ th× tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy ϕ + 1 ≡ ϕ1 , h¬n n÷a trong Ω th× + −∆ϕ+ 1 = −∆ϕ1 = λ1 ϕ1 = λ1 ϕ1 . §iÒu nµy chøng tá λ1 lµ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö −∆ trªn miÒn Ω + + 2 + øng víi hµm riªng ϕ+ 1 , vµ ta cã |∇ϕ1 |L2 (Ω + ) = λ1 . Tõ ®ã ta suy ra ϕ1 lµ hµm riªng cña to¸n tö −∆ trong Ω øng víi gi¸ trÞ riªng λ1 . Do ®ã
+ + ∞ ϕ+ ∈ C Ω vµ −∆ϕ+ 1 1 = λ1 ϕ1 trong Ω. V× λ1 > 0, ϕ1 ≥ 0 trong Ω nªn
+ + −∆ϕ+ = ∆ −ϕ 1 1 = λ1 ϕ1 ≥ 0 trong Ω + vµ ϕ+ 1 = 0 trªn ∂Ω. Theo nguyªn lý cùc ®¹i ta suy ra −ϕ 1 < 0, ∀x ∈ Ω. NghÜa lµ ϕ+ 1 > 0, ∀x ∈ Ω. Khi ®ã ϕ+ 1 (x) ≡ ϕ1 (x) , ∀x ∈ Ω. Vµ do ®ã Ω − = ∅, tøc lµ ϕ1 mang dÊu d-¬ng trong Ω. 2. Chøng minh t-¬ng tù cho tr-êng hîp Ω− 6= ∅ ta ®i ®Õn Ω + = ∅, tøc lµ ϕ1 mang dÊu ©m trong Ω. Ta kÕt thóc chøng minh ®Þnh lý ë ®©y.  1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i 13 HÖ qu¶ sau lµ mét tÝnh chÊt rÊt ®Æc biÖt vÒ sè chiÒu cña kh«ng gian con sinh bëi hµm riªng ϕ1 . Ta sÏ sö dông kÕt qu¶ nµy trong c¸c chøng minh ë Ch-¬ng 2 vµ Ch-¬ng 3. HÖ qu¶ 1.5. Gi¸ trÞ riªng nhá nhÊt λ1 cña to¸n tö −∆ víi ®iÒu kiÖn Dirich- let cã sè béi b»ng 1, h¬n n÷a, kh«ng gian con riªng L {ϕ1 } sinh bëi hµm riªng ϕ1 t-¬ng øng víi gi¸ trÞ riªng λ1 cã sè chiÒu b»ng 1. e1 lµ hai hµm riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña to¸n Chøng minh. Gi¶ sö ϕ1 vµ ϕ tö −∆ øng víi cïng mét gi¸ trÞ riªng λ1 . Ta cã thÓ gi¶ thiÕt ϕ1 vµ ϕ e1 lµ trùc giao víi nhau, nghÜa lµ Z Ω ϕ1 (x)ϕ e1 (x) dx = 0. Theo §Þnh lý 1.9 ta thÊy ϕ 1 vµ ϕ e1 kh«ng ®æi dÊu trong Ω tõ ®ã suy ra Z ϕ1 (x)ϕ e1 (x) dx 6= 0. Ω M©u thuÉn nµy chøng tá kh«ng gian con riªng L {ϕ1 } sinh bëi hµm riªng ϕ1 cã sè chiÒu b»ng 1. HÖ qu¶ ®-îc chøng minh.  2 Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt vµ hÖ ph-¬ng tr×nh elliptic cÊp hai nöa tuyÕn tÝnh trong miÒn bÞ chÆn víi phÇn chÝnh lµ to¸n tö Laplace 2.1 Mét sè ký hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Mét tr-êng hîp riªng cña bµi to¸n (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 KÕt qu¶ chÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Mét sè vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1 Tr-êng hîp mét chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2 Tr-êng hîp nhiÒu chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Trong ch-¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n biªn Dirichlet sau ®©y −∆u = λu + δv + f (u, v) trong Ω, −∆v = θu + γv + g(u, v) trong Ω, (2.1) u = v = 0 trªn ∂Ω, trong ®ã Ω ⊂ RN (N ≥ 3) lµ miÒn bÞ chÆn víi biªn tr¬n,   λ δ  A= θ γ lµ ma trËn c¸c sè thùc, f, g : R × R → R lµ c¸c hµm Lipschitz theo u, v; nghÜa lµ |f (u, v) − f (e u, ve)| ≤ k1 (|u − u e| + |v − e v |), |g(u, v) − g(e u, ve)| ≤ k2 (|u − u e| + |v − e v |), ®óng víi mäi u, u e, v, ve ∈ R. 2.2. Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt 15 §©y lµ kÕt qu¶ ®· ®-îc t¸c gi¶ c«ng bè trong bµi b¸o: An application of the Lyapunov-Schmidt method to semilinear elliptic problems, Electron. J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11. 2.1 Mét sè ký hiÖu §Ó ®¬n gi¶n vÒ mÆt ký hiÖu chóng ta sÏ sö dông | · |2 ®Ó ký hiÖu chuÈn trong kh«ng gian L2(Ω) hoÆc chuÈn trong kh«ng gian L2(Ω). NghiÖm cña bµi to¸n (2.1) Chóng ta nãi r»ng U ∈ H10 (Ω) lµ nghiÖm cña (2.1) nÕu U = (−∆)−1 (AU + G(U )), (2.2) ë ®©y G(U ) = (f (u, v), g(u, v)). Râ rµng to¸n tö (−∆)−1 : L2 (Ω) → H10 (Ω) lµ tuyÕn tÝnh, tù liªn hîp, liªn tôc vµ lµ song ¸nh. H¬n n÷a, phÐp nhóng H10 (Ω) ,→ L2 (Ω) lµ comp¾c, do ®ã to¸n tö (−∆)−1 : L2(Ω) → L2 (Ω) còng comp¾c, tù liªn hîp vµ ®¬n ¸nh. VËy to¸n tö x¸c ®Þnh tõ vÕ ph¶i cña (2.2) còng comp¾c. 2.2 Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt Ký hiÖu X lµ kh«ng gian con mét chiÒu cña H01 (Ω) sinh bëi hµm ϕ1 , tøc lµ X = {tϕ1 : t ∈ R}. Ký hiÖu Y = X ⊥ = hϕ1 i⊥. Khi ®ã ta cã thÓ viÕt H01 (Ω) = X ⊕ Y. Vµ do ®ã víi mäi U = (u, v) ∈ H10 (Ω) ta cã biÓu diÔn u = u0 + z, u0 ∈ X, z ∈ Y, v = v0 + w, v0 ∈ X, w ∈ Y, ë ®©y u, v ∈ H01 (Ω). Ký hiÖu P vµ Q lÇn l-ît lµ c¸c phÐp chiÕu lªn X and Y . Khi ®ã chiÕu 2 vÕ cña (2.2) ta nhËn ®-îc