Tài liệu Luận văn thạc sỹ Vật lý Vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể thuận từ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Đỗ Thu Trang VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ THUẬN TỪ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Đỗ Thu Trang VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ THUẬN TỪ Chuyên ngành: Vật lý lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 604401 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH DŨNG Hà Nội – 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU..……………………………………………………………............3 Chương 1 - LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ.5 1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể………….……….5 1.2. Hiện tượng thuận từ trong vật rắn………………..………………………9 1.3. Tán xạ của các nơtron phân cực trong chất thuận từ……………………12 Chương 2 - TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ THUẬN TỪ CÓ HẠT NHÂN PHÂN CỰC……………………………….…...…………...15 2.1. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể…………………………15 2.1.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân……...…………………..15 2.1.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ…………………….…………...16 2.2. Tiết diện tán xạ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh thể……….21 2.3. Tán xạ nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ có các hạt nhân phân cực………………………………………………………………………………….33 Chương 3 - TIẾT DIỆN TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ THUẬN TỪ…………………………………………………………...39 Chương 4 - VECTOR PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRONG TINH THỂ THUẬN TỪ…………………………………..……………………….43 KẾT LUẬN……………………………………………………………..…..47 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………….……….48 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu cấu trúc của tinh thể bằng phương pháp quang học hạt nhân đang phát triển mạnh. Các nơtron chậm (nơtron có năng lượng nhỏ hơn 1MeV) là công cụ độc đáo để nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [14, 15, 19, 20]. Hiện nay, để nghiên cứu các tính chất sâu của tinh thể, phương pháp quang học nơtron đã được sử dụng rộng rãi. Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các hạt nhân phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về các hàm tương quan spin của các hạt nhân…[15, 17]. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các nơtron trên tinh thể phân cực cũng đã được nghiên cứu [9,10, 13]. Các vấn đề về sự tiến động hạt nhân của các spin của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực đã được nghiên cứu trong các công trình [15]. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tiết diện tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ và vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể thuận từ. Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011. Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể Chương 2: Tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ có các hạt nhân phân cực Chương 3: Tiết diện tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ Chương 4: Vector phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể thuận từ Chương 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ 1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể Hiện tượng: Dùng một chùm hạt nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất trung hoà về điện, đồng thời mômen lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia. Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của chùm nơtron. Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng | n〉 , là hàm riêng của toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là En: (1.1) H | n〉 = En | n〉 Sau khi tương tác với nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác | n′〉 . Còn các nơtron sau khi tương tác có thể thay đổi xung lượng từ trạng thái ban đầu   của nơtron được mô tả bởi hàm sóng | p〉 sang trạng thái | p '〉 Xác suất Wn’p’|np của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần đúng bậc nhất sẽ bằng: Wn ' p '|np = Trong đó:   2 n ' p ' V np  2  ( En + E p − En ' − E p ' ) (1.2 ) V là toán tử tương tác của nơtron với hạt bia. En , E p , En ' , E p ' là các năng lượng tương ứng của hạt bia và nơtron trước và sau khi tán xạ.  ( En + E p − En ' − E p ' ) - hàm delta Dirac.  ( En + E p − En ' − E p ' ) = +∞ 1 e 2  ∫ − ( ) i En + E p − En ' − E p ' t  (1.3 ) dt −∞ Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp’|p của quá trình trong đó nơtron sau  khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p′ ; nó nhận được bằng cách tổng hóa các xác suất Wn’p’|np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng thái n là  n . Theo đó ta có: Wp '| p = = 2  ∑ 2  ∑ n   n ' p ' V np 2 nn ' 2 n n ' Vp ' p n nn '  ( En + E p − En ' − E p ' )  ( En + E p − En ' − E p ' ) (1.4 ) Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận   n ' p ' V np = n ' V p ' p n (1.5 ) Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy theo các trạng thái của nơtron và Vp’p là toán tử tương đối với các biến số hạt bia Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được: Wp '| p 1 = 2  +∞ ∫e −∞ ( ) i Ep ' −Ep t  dt ∑ nn ' n ' Vp ' p n nn ' * n ' Vp ' p n e i ( En ' − En )t  (1.6 ) En , En’ là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' từ đó ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg: i n ' Vp ' p n e  i ( En ' − En )t Ở đây: V p ' p ( t ) = e  V p ' p e Ht = n ' Vp ' p (t ) n i − Ht  (1.7 ) là biểu diễn Heisenberg của toán tử Vp’p với toán tử Hamilton. Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại Wp '| p +∞ 1 = 2  = ∫e ( ) i Ep ' −Ep t  −∞ 1 2 dt ∑  nn ' n ' V p+' pV p ' p ( t ) n nn ' +∞ i ∫ dte  ( E p ' − E p )t −∞ Sp {Vp+' pVp ' p ( t )} (1.8 ) Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia  các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất  n . Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có hàm phân bố trạng thái là e−  H = Sp {e−  H } Với:  = 1 k BT kB - hằng số Boltzmann T - Nhiệt độ Giá trị trung bình thống kê của đại lượng vật lý được tính theo các hàm phân bố là: A = ∑ n A = Sp {e−  H A} n (1.9 ) Sp {e−  H } Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được: Wp '| p = 1 2 +∞ ∫ −∞ i dte  ( E p ' − E p )t Sp {Vp+' pVp ' p ( t )} = 1 2 1 = 2  +∞ ∫ i dte  { −∞ +∞ ∫ dte } − H + ( E p ' − E p )t Sp e V p ' pVp ' p ( t ) ( ) i Ep ' −Ep t  Sp {e−  H } V p+' pV p ' p ( t ) (1.10 ) −∞ Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị (trên hàm  ) thì tiết diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng lượng d 2 , sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau: d Ω dE +∞ i ( E p ' − E p )t + d 2 m2 p ' m2 p'  = W p '| p = dte V p ' pV p ' p ( t ) 3 3 5 ∫ d ΩdE p ' ( 2  ) p ( 2 )  p −∞ (1.11) Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng thái theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ m - khối lượng nơtron Trong công thức (1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới  và sử dụng công thức: L = Sp {   L} Do đó dạng tường minh của công thức (1.11) được viết lại là: (1.12 ) +∞ i ( E p ' − E p )t d 2 m2 p'  = dte Sp { V p+' pV p ' p ( t )} 3 5 ∫ d ΩdE p ' ( 2 )  p −∞ (1.13 ) Trong đó:  - ma trận mật độ spin nơtron 1.2. Hiện tượng thuận từ trong vật rắn Xét mạng tinh thể mà nút mạng có một ion mang một vectơ mômen từ có độ lớn xác định  0 . Giả sử có thể bỏ qua tương tác của các mômen từ này. Trong từ trường đều   có cường độ B và vectơ mômen từ  có thế năng:  U = − B (1.14 ) Theo thống kê trong trạng thái cân bằng nhiệt của mạng tinh thể ở nhiệt độ T, xác  suất để vectơ mômen từ của ion là  , nghĩa là thế năng của ion có giá trị xác định bởi (1.14), tỉ lệ với hàm phân bố 1 e A − U k bT  B = 1 k bT e A (1.15 ) Trong đó, A hệ số chuẩn hóa và kb là hệ số Boltzmann. Theo lý thuyết cổ điển  vectơ từ  có thể tùy ý trong không gian, mỗi hướng được xác định bởi các góc  và    trong tọa độ cầu  . Lấy trung bình theo tất cả các hướng của  ta nhận được giá trị   trung bình của thành phần  j của véctơ   B  ∫ = j ∫e e k B T dΩ  B k BT (1.16 ) dΩ Với dΩ là yếu tố góc khối. Nếu từ trường nhỏ thì ta có thể triển khai hàm số mũ  thành chuỗi theo B k BT và trong mỗi tích phân chỉ giữ lại số hạng đầu khác 0.  B ∫e Khi đó ta có:   B ∫  je k BT dΩ ≈ ∫  j (1 + k BT B k BT dΩ ≈ 4 )dΩ = ∫  i  j dr = Bj Bj 1 1 =  ij ∫  2 dΩ = k BT 3 k B T 3k B T 1 1 Bi  02 ∫ dΩ = Bi  02 4 3k B T 3k B T (1.17 ) Từ (1.16) và (1.17) ta thu được:  = 1 B 02 3k BT Gọi N là số ion trong một đơn vị thể tích mật độ mômen từ của vật rắn trong từ    trường B bằng: M = N  = 1 NB  02 3k B T  (1.18 )  Đại lượng M được gọi là độ từ hóa. Vectơ M song song và cùng chiều với từ  trường B nên tinh thể đang xét có tính thuận từ. Ta định nghĩa độ từ cảm  theo công thức:   M = B Từ (1.18) và (1.19) ta có:  = (1.19 ) 1  02 N 3k B T (1.20 ) Bây giờ ta tính giá trị trung bình  theo thuyết lượng tử. Toán tử mômen tỉ lệ (1.21) với toán tử spin:  = s Ba thành phần s x , s y , s z không thể chéo hóa đồng thời và ta chọn sz là một ma trận chéo hóa. Thành phần sz chỉ có giá trị riêng gián đoạn cách nhau một đơn vị, thay đổi từ -s đến s nên tất cả trạng thái (2s+1) giá trị. Phép lấy trung bình bây giờ là trung bình theo (2s+1) trạng thái riêng của ma trận sz sz m = m m , m = − s ,− s + 1,..., s − 1, s (1.22 ) Theo thuyết lượng tử:  s ∑  = B m e k B T m m=− s (1.23 )  B s ∑ m e k BT m m=− s Ta xét ví dụ đơn giản với s=1/2. Khi đó sz có 2 trạng thái riêng − 1 và 2 1 . 2  Chọn từ trường B song song với trục Oz ta có   z = s z ,  B =  Bs z , sz ± 1 1 1 =± ± 2 2 2 (1.24 ) Cho nên  B − B 1 1 1 −  z e k BT − = −  e 2 k BT 2 2 2  B B 1 1 1  z e k BT =  e 2 k BT 2 2 2  B (1.25 ) − B 1 1 − e k BT − = e 2 k BT 2 2  B (1.26 ) B 1 k BT 1 e = e 2 k BT 2 2  B s ∑  = m=± m e k BT m 1 2 s ∑ m=± 1 2  B m e k BT m B 2 k BT − B 2 k BT  1 e −e 1 B =  B = th − B 2 2 2k BT 2 k BT 2 k BT e +e (1.27 )  Khi B đủ bé (1.27) trở thành z =  1  2B k BT (1.28 ) Để so sánh với (1.17) ta kí hiệu  02 là giá trị trung bình của toán tử  2 (1.29 )  02 =  2 =  2 s 2 Ta biết rằng giá trị riêng của s2 trong tất cả các trạng thái đều bằng (1.30 ) s 2 = s ( s + 1) Nên ta có (1.31)  02 =  s ( s + 1) Thay s=1/2 vào (1.29) ta thu được  02 = 3 2  4 (1.32 ) Vậy từ (1.27) ta lại suy ra công thức (1.17) Từ công thức (1.28) ta lại suy ra công thức (1.17) Từ công thức (1.29) ta có thể viết lại (1.20) = 1 N 2 3k B T Đó là định luật Curie 1. 3. Tán xạ của các nơtron phân cực trong chất thuận từ Chúng ta xét tán xạ của các nơtron trong miền thuận từ trong trường hợp giới hạn không tương tác trao đổi giữa các spin của các nguyên tử. Vì các spin không tương quan với nhau khi không tồn tại sự tương tác giữa chúng, tán xạ của các nơtron trong trường hợp này là tán xạ đàn hồi và sự phân bố góc được cho bởi công thức: d 2 = N S ( S + 1)( r0  ) 2 F 2 ( q ) dΩ 3 (1.33) Bây giờ chúng ta đi xét ảnh hưởng của tương tác trao đổi của các spin lên tán xạ trong miền thuận từ và đi tìm sự phân bố của các nơtron theo năng lượng Chúng ta sẽ xuất phát từ biểu thức cơ sở cho tiết diện tán xạ d 2 p'   − iq ( R j − R j ' ) = ( r0 ) 2 ∑ F j ( q )F j ' ( q )e (  − e e ) ∑ d ΩdE p ' p jj '  ⋅ 1 +∞ i ∫ e 2  −∞ ( E p − E p ' )t (1.34 ) 〈 S j (0)S j ' (t )〉 dt 1 3 Thay thế biểu thức: 〈 S j ( 0 ) S j ' (t )〉 = S ( S + 1)   jj ' (1.35 ) sẽ dẫn tới công thức (1.9). Khi tính đến tương tác trao đổi chúng ta sẽ có biểu thức chính xác cho miền thuận từ: 〈 S j ( 0 ) S j ' (t )〉 = 1 〈 S j ( 0 ) S j ' (t )〉  3 (1.36 ) có tính đến sự tương quan giữa các hình chiếu của các spin của các nguyên tử. Sự không tồn tại sự tương quan giữa các hình chiếu của các spin là do tính chất đẳng hướng của   Hamiltonnian trao đổi H = − ∑ I ( R j − R j ' )( S j S j ' ) j≠ j' Thay (1.36) vào (1.34) và tính đến sự tương quan của các spin chỉ phụ thuộc vào hiệu các toạ độ của các nút (để đơn giản chúng ta xét tinh thể cấu tạo từ các nguyên tử cùng loại) chúng ta sẽ nhận được tiết diện vi phân của tán xạ của nơtron  p' d 2 2 = N S ( S + 1)( r0  ) 2 F 2 ( q ) Pq ( ) dΩdE p ' 3 p Với Pq ( ) = = 1 2 i t ∫ dte ∑ e E p' − E p  ,  − iq R j  i (t )[S ( S + 1) ]−1  (t ) = 〈 S 0 ( 0 ) S j (t )〉 Các đại lượng trong công thức (1.34) và (1.38) có ý nghĩa sau: S0(0): Là toán tử spin trong nút nằm ở gốc toạ độ ở thời điểm ban đầu (1.37 ) (1.38 ) (1.39 ) Pq(ω): Hàm mô tả sự phân bố góc và năng lượng của các nơtron tán xạ. Trong +∞ đó ∫ Pq ( ) d = 1 −∞ (1.40 ) Chương 2: TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ CÓ HẠT NHÂN PHÂN CỰC 2.1. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể Khi chùm nơtron chậm tiến vào mạng tinh thể thì chúng sẽ tham gia vào tương tác hạt nhân và tương tác từ. 2.1.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:   V ( rn ) =  ( rn − R ) 1 2  Trong đó:  = A + B ( sJ ) rn - vị trí của nơtron R - Vị trí của hạt nhân A, B- là các hằng số  J - Spin của hạt nhân  s - Spin của nơtron Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:   Vl ( rn ) =  ( rn − Rl ) ( 2.1) Lấy tổng công thức (2.1) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia: n   V ( rn ) = ∑  ( rn − Rl ) ( 2.2 ) l =1  Các yếu tố ma trận Vp ' p thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng p đến  p ' được ghi nhận trên cơ sở (2.1) có dạng:    ( 2.3 ) V p ' p = ∑  l e i ( p − p ') Rl l 2.1.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ Tương tác từ của nơtron với tinh thể được hiểu như tương tác của từ trường được sinh bởi nơtron và dòng điện của các electron (các điện tử này là các điện tử của các đám mây không kín của nguyên tử). Toán tử năng lượng của tương tác dạng này có thể được viết dưới dạng: 1     V = ∑  An ( rl ) j ( rl )  l c   Ở đó: An ( r ) = n × ( r − rn ) r − rn 3 ( 2.4)  là vector thế của trường ở điểm r được sinh ra bởi   nơtron nằm ở điểm rn ;  n = 2 nuc S n là moment từ của nơtron (  =-1,913 là đại lượng   moment từ của nơtron trong manheton hạt nhân); j ( rl ) là dòng điện được sinh ra bởi điện tử thứ r Dấu tổng trong công thức được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp của tinh thể Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với xung lượng p và p ' với các trạng thái của bia (tinh thể) tương ứng  a và  a′ ( ) Ta có: a′ V p′p a = ∑ ∫∫ l    n × ( rl − rn ) 1  3 rl − rn c     Ψ ∗a ' j ( rl ) Ψ a ei( p − p ')rn drn ( d ) ( 2.5) Lấy tích phân theo ( d ) lấy dọc theo các tọa độ của tất cả các điện tử chứa trong công thức (2.4) Như chúng ta đã biết, yếu tố ma trận của dòng điện bằng:  1 ∗   Ψ a′ j rl Ψ a = i  0 ( Ψ a ∇ l Ψ ∗a′ − Ψ ∗a′∇ l Ψ a ) + 2  0 rotl Ψ ∗a′ sl Ψ a c ( ) ( ) ( 2.6)  Trong đó: sl là toán tử spin của điện tử thứ l  0 : manheton Bohr  0 =  e   2me c  Số hạng đầu vế phải của công thức (2.6) mô tả dòng điện gây bởi chuyển động quỹ đạo của các điện tử Số hạng thứ hai là phần spin của dòng điện Trước mắt chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện    Đặt số hạng thứ hai của (2.6) vào (2.5) và đưa vào tọa độ tương đối rl − rn = R , biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (2.5) trong dạng ( a′ V p′p        e−i q R R  i qrl ∗ a = −∑   n × ∫ dR 2  e rot Ψ s  ′ 0 l a l Ψ a d l ∫ R3 l    ( ) ) ( 2.7 )    Ở đó: q = p − p′ là vector tán xạ của nơtron. Người ta đã chứng minh được rằng [17]: Và   RdR −iqR 4 iq e =− 2 ∫ R3 q     iqrl iqrl ∗ ∗ e rot Ψ s Ψ dr = − iq × e Ψ s l a′ l a l a ′ l Ψ a drl ∫ ∫ ( ) Thay vào (2.7) chúng ta sẽ nhận được ( a′ V p ′p ) a =−   4  2 r0   a′ ∑ eiqrl sl m l      a  , S n − eS n e    ( ) Biểu thức trong dấu ngoặc tròn là tích vô hướng của các vector, r0 =   q vector bán kính điện từ của electron. e = vector tán xạ đơn vị q ( 2.8) e2 là m0 c 2 Trong biểu thức (2.8) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được tách riêng. Sự đơn giản hóa trong tương lai có thể đạt được nếu ta phân tách tổng hóa theo l thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử ∑ và tổng theo tất cả các nguyên tử  của bia (tinh thể) ∑ . Chúng ta chỉ xem xét các tán xạ từ khi trạng thái của mạng không j thay đổi, còn trạng thái a a ) được đặc trưng bởi tập hợp được chọn các hình chiếu của spin để cho các nguyên tử Trong trường hợp này, có thể viết   N iqR j  z j iqr   iqrl   a′ ∑ e sl a  = ∑ e  a′ ∑ e s l   j    a   ( 2.9) Ở đó: z j là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ j. Đối với các nơtron chậm chúng ta có thể chú ý rằng các nơtron này không gây ra các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái kích thích năng lượng mà chỉ làm thay đổi định hướng của spin của nguyên tử Như vậy: phép chuyển từ a ) → a ′ ) có dạng  m ) →  m ′ ) ở đó m , m′ là tập hợp được chọn các số lượng tử spin để cho các nguyên tử của bia. Còn  là tập hợp các số lượng tử còn lại của nguyên tử. Từ các định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra rằng yếu tố ma trận trong trường hợp cụ thể này biểu diễn dưới dạng:  z j iqr   a′ ∑ e  s      iqr   N e  s S    j  a  = m′ S j m  m ∑ m     S j ( S j + 1)    ( ) ( ) ( 2.10 ) z j    Ở đó: S j = ∑ s là toán tử spin của nguyên tử thứ j.  Còn S j là đại lượng spin Biểu thức     iqr   z j eiqr s S N e  s S  j  j   Fj ( q ) =  m ∑  m  = ∫ Ψ ∗j ∑ Ψ j d j    S j ( S j + 1)  S j ( S j + 1)   ( ) ( ) ( 2.11) Ở đó: Ψ j là hàm sóng của các điện tử của nguyên tử thứ j ( d j là yếu tố thể tích trong không gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ j) không phụ thuộc vào số lượng tử m. Có nghĩa là không phụ thuộc vào sự định hướng của các spin của các nguyên tử và coi chúng như đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử. Đại lượng này được gọi là “form  factor” từ của nguyên tử ( F j ( q ) ) (chính xác hơn gọi là “form factor spin”)  F j ( q ) đặc trưng cho sự phân bố mật độ spin trong nguyên tử  Khi z j =1 thì form factor từ của nguyên tử F j ( q ) đơn giản chỉ là biểu diễn phần Furie của mật độ spin  Khi z j >1 công thức (2.11) dễ dàng được biến đổi. Chúng ta sẽ ký hiệu  + ( r ) và   − ( r ) là các hàm spin của các điện tử ở lớp không lấp đầy tương ứng với các spin ±  1 2 (tương đối với hướng của spin của nguyên tử S j tạo từ các hàm này Các tổ hợp phản đối xứng để cho các lớp không lấp đầy của nguyên tử sao cho nó mô tả trạng thái với spin tổng cộng S và đặt nó vào hàm Ψ j ở công thức (2.11). Coi các   giá trị riêng của toán tử ( s S j ) là và ( S + 1) 2 S khi đó spin của điện tử thứ  cộng spin của nguyên tử 2 khi được trừ đi thay vào công thức (2.11) ta nhận được biểu thức sau đối với form factor spin: { } 1   2  2  F (q) = eiqr N +  + ( r ) − N −  − ( r ) dr ∫ 2S ( 2.12 ) Ở đó N + và N − là các số điện tử trong nguyên tử với các spin tương ứng là + 1 2 1 và − . Như vậy, các hàm điện tử được giả định là được chuẩn hóa. Từ (2.12) chúng ta 2  cho q = 0 F (0) = 1 ( N+ − N− ) = 1 2S Do vậy, hiển nhiên ( N + − N − ) = 2 S . Biểu thức cuối cùng có thể suy ra trực tiếp từ biểu thức (2.11). Biểu thức (2.11), cho phép ta thu được ý nghĩa đơn giản của form factor  spin F ( q ) như thành phần Furie của mật độ spin của nguyên tử