ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Đỗ Thu Trang
VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG
TINH THỂ THUẬN TỪ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Đỗ Thu Trang
VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG
TINH THỂ THUẬN TỪ
Chuyên ngành: Vật lý lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH DŨNG
Hà Nội – 2011
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU..……………………………………………………………............3
Chương 1 - LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ.5
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể………….……….5
1.2. Hiện tượng thuận từ trong vật rắn………………..………………………9
1.3. Tán xạ của các nơtron phân cực trong chất thuận từ……………………12
Chương 2 - TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ THUẬN
TỪ CÓ HẠT NHÂN PHÂN CỰC……………………………….…...…………...15
2.1. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể…………………………15
2.1.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân……...…………………..15
2.1.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ…………………….…………...16
2.2. Tiết diện tán xạ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh thể……….21
2.3. Tán xạ nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ có các hạt nhân phân
cực………………………………………………………………………………….33
Chương 3 - TIẾT DIỆN TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG
TINH THỂ THUẬN TỪ…………………………………………………………...39
Chương 4 - VECTOR PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRONG TINH
THỂ THUẬN TỪ…………………………………..……………………….43
KẾT LUẬN……………………………………………………………..…..47
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………….……….48
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu cấu trúc của tinh thể bằng phương
pháp quang học hạt nhân đang phát triển mạnh.
Các nơtron chậm (nơtron có năng lượng nhỏ hơn 1MeV) là công cụ độc đáo để
nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [14, 15, 19,
20].
Hiện nay, để nghiên cứu các tính chất sâu của tinh thể, phương pháp quang học
nơtron đã được sử dụng rộng rãi.
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực
trong tinh thể có các hạt nhân phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan
trọng về các hàm tương quan spin của các hạt nhân…[15, 17].
Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các nơtron trên tinh thể phân cực cũng
đã được nghiên cứu [9,10, 13]. Các vấn đề về sự tiến động hạt nhân của các spin của các
nơtron phân cực trong tinh thể phân cực đã được nghiên cứu trong các công trình [15].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tiết diện tán xạ của các nơtron phân cực
trong tinh thể thuận từ và vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể thuận từ.
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết toàn
quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.
Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chương 2: Tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ có các hạt nhân phân
cực
Chương 3: Tiết diện tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể thuận từ
Chương 4: Vector phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể thuận từ
Chương 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Hiện tượng: Dùng một chùm hạt nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng
lượng cỡ dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất trung
hoà về điện, đồng thời mômen lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron
không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là
lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu
trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của tương
tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của chùm
nơtron.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng | n〉 , là hàm riêng của toán tử
Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là En:
(1.1)
H | n〉 = En | n〉
Sau khi tương tác với nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác | n′〉 .
Còn các nơtron sau khi tương tác có thể thay đổi xung lượng từ trạng thái ban đầu
của nơtron được mô tả bởi hàm sóng | p〉 sang trạng thái | p '〉
Xác suất Wn’p’|np của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần
đúng bậc nhất sẽ bằng:
Wn ' p '|np =
Trong đó:
2
n ' p ' V np
2
( En + E p − En ' − E p ' )
(1.2 )
V là toán tử tương tác của nơtron với hạt bia.
En , E p , En ' , E p ' là các năng lượng tương ứng của hạt bia và nơtron trước và sau khi
tán xạ.
( En + E p − En ' − E p ' ) - hàm delta Dirac.
( En + E p − En ' − E p ' ) =
+∞
1
e
2 ∫
−
(
)
i
En + E p − En ' − E p ' t
(1.3 )
dt
−∞
Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp’|p của quá trình trong đó nơtron sau
khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p′ ; nó nhận được bằng cách tổng hóa các
xác suất Wn’p’|np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo các trạng thái đầu.
Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng quát hóa đối với trường hợp
khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng thái n là n . Theo đó ta có:
Wp '| p =
=
2
∑
2
∑
n
n ' p ' V np
2
nn '
2
n
n ' Vp ' p n
nn '
( En + E p − En ' − E p ' )
( En + E p − En ' − E p ' )
(1.4 )
Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận
n ' p ' V np = n ' V p ' p n
(1.5 )
Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy
theo các trạng thái của nơtron và Vp’p là toán tử tương đối với các biến số hạt bia
Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được:
Wp '| p
1
= 2
+∞
∫e
−∞
(
)
i
Ep ' −Ep t
dt ∑ nn ' n ' Vp ' p n
nn '
*
n ' Vp ' p n e
i
( En ' − En )t
(1.6 )
En , En’ là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' từ đó
ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
i
n ' Vp ' p n e
i
( En ' − En )t
Ở đây: V p ' p ( t ) = e V p ' p e
Ht
= n ' Vp ' p (t ) n
i
− Ht
(1.7 )
là biểu diễn Heisenberg của toán tử Vp’p với toán tử
Hamilton.
Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới sự
khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng theo n’, n
chính là vết của chúng và được viết lại
Wp '| p
+∞
1
= 2
=
∫e
(
)
i
Ep ' −Ep t
−∞
1
2
dt ∑ nn ' n ' V p+' pV p ' p ( t ) n
nn '
+∞
i
∫ dte
( E p ' − E p )t
−∞
Sp {Vp+' pVp ' p ( t )}
(1.8 )
Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia các
phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất n .
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta
có hàm phân bố trạng thái là
e− H
=
Sp {e− H }
Với: =
1
k BT
kB - hằng số Boltzmann
T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng vật lý được tính theo các hàm phân bố
là:
A = ∑ n A =
Sp {e− H A}
n
(1.9 )
Sp {e− H }
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được:
Wp '| p =
1
2
+∞
∫
−∞
i
dte
( E p ' − E p )t
Sp {Vp+' pVp ' p ( t )} =
1
2
1
= 2
+∞
∫
i
dte
{
−∞
+∞
∫ dte
}
− H +
( E p ' − E p )t Sp e V p ' pVp ' p ( t )
(
)
i
Ep ' −Ep t
Sp {e− H }
V p+' pV p ' p ( t )
(1.10 )
−∞
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị (trên hàm ) thì tiết diện
tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng lượng
d 2
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
d Ω dE
+∞
i
( E p ' − E p )t +
d 2
m2 p '
m2
p'
=
W p '| p =
dte
V p ' pV p ' p ( t )
3
3 5
∫
d ΩdE p ' ( 2 ) p
( 2 ) p −∞
(1.11)
Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các
nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng thái theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới và sử dụng
công thức:
L = Sp { L}
Do đó dạng tường minh của công thức (1.11) được viết lại là:
(1.12 )
+∞
i
( E p ' − E p )t
d 2
m2
p'
=
dte
Sp { V p+' pV p ' p ( t )}
3 5
∫
d ΩdE p ' ( 2 ) p −∞
(1.13 )
Trong đó: - ma trận mật độ spin nơtron
1.2. Hiện tượng thuận từ trong vật rắn
Xét mạng tinh thể mà nút mạng có một ion mang một vectơ mômen từ có độ lớn
xác định 0 . Giả sử có thể bỏ qua tương tác của các mômen từ này. Trong từ trường đều
có cường độ B và vectơ mômen từ có thế năng:
U = − B
(1.14 )
Theo thống kê trong trạng thái cân bằng nhiệt của mạng tinh thể ở nhiệt độ T, xác
suất để vectơ mômen từ của ion là , nghĩa là thế năng của ion có giá trị xác định bởi
(1.14), tỉ lệ với hàm phân bố
1
e
A
−
U
k bT
B
=
1 k bT
e
A
(1.15 )
Trong đó, A hệ số chuẩn hóa và kb là hệ số Boltzmann. Theo lý thuyết cổ điển
vectơ từ có thể tùy ý trong không gian, mỗi hướng được xác định bởi các góc và
trong tọa độ cầu . Lấy trung bình theo tất cả các hướng của ta nhận được giá trị
trung bình của thành phần j của véctơ
B
∫
=
j
∫e
e k B T dΩ
B
k BT
(1.16 )
dΩ
Với dΩ là yếu tố góc khối. Nếu từ trường nhỏ thì ta có thể triển khai hàm số mũ
thành chuỗi theo
B
k BT
và trong mỗi tích phân chỉ giữ lại số hạng đầu khác 0.
B
∫e
Khi đó ta có:
B
∫ je
k BT
dΩ ≈ ∫ j (1 +
k BT
B
k BT
dΩ ≈ 4
)dΩ = ∫ i j dr
=
Bj
Bj
1
1
= ij ∫ 2 dΩ
=
k BT 3
k B T 3k B T
1
1
Bi 02 ∫ dΩ =
Bi 02 4
3k B T
3k B T
(1.17 )
Từ (1.16) và (1.17) ta thu được:
=
1
B 02
3k BT
Gọi N là số ion trong một đơn vị thể tích mật độ mômen từ của vật rắn trong từ
trường B bằng: M = N =
1
NB 02
3k B T
(1.18 )
Đại lượng M được gọi là độ từ hóa. Vectơ M song song và cùng chiều với từ
trường B nên tinh thể đang xét có tính thuận từ. Ta định nghĩa độ từ cảm theo công
thức:
M = B
Từ (1.18) và (1.19) ta có: =
(1.19 )
1
02 N
3k B T
(1.20 )
Bây giờ ta tính giá trị trung bình theo thuyết lượng tử. Toán tử mômen tỉ lệ
(1.21)
với toán tử spin: = s
Ba thành phần s x , s y , s z không thể chéo hóa đồng thời và ta chọn sz là một ma
trận chéo hóa. Thành phần sz chỉ có giá trị riêng gián đoạn cách nhau một đơn vị, thay
đổi từ -s đến s nên tất cả trạng thái (2s+1) giá trị. Phép lấy trung bình bây giờ là trung
bình theo (2s+1) trạng thái riêng của ma trận sz
sz m = m m ,
m = − s ,− s + 1,..., s − 1, s
(1.22 )
Theo thuyết lượng tử:
s
∑
=
B
m e k B T m
m=− s
(1.23 )
B
s
∑
m e k BT m
m=− s
Ta xét ví dụ đơn giản với s=1/2. Khi đó sz có 2 trạng thái riêng −
1
và
2
1
.
2
Chọn từ trường B song song với trục Oz ta có
z = s z ,
B = Bs z ,
sz ±
1
1 1
=± ±
2
2 2
(1.24 )
Cho nên
B
− B
1
1
1
− z e k BT −
= − e 2 k BT
2
2
2
B
B
1
1
1
z e k BT
= e 2 k BT
2
2
2
B
(1.25 )
− B
1
1
− e k BT −
= e 2 k BT
2
2
B
(1.26 )
B
1 k BT 1
e
= e 2 k BT
2
2
B
s
∑
=
m=±
m e k BT m
1
2
s
∑
m=±
1
2
B
m e k BT m
B
2 k BT
− B
2 k BT
1 e
−e
1
B
= B
= th
− B
2
2
2k BT
2 k BT
2 k BT
e
+e
(1.27 )
Khi B đủ bé (1.27) trở thành
z =
1
2B
k BT
(1.28 )
Để so sánh với (1.17) ta kí hiệu 02 là giá trị trung bình của toán tử 2
(1.29 )
02 = 2 = 2 s 2
Ta biết rằng giá trị riêng của s2 trong tất cả các trạng thái đều bằng
(1.30 )
s 2 = s ( s + 1)
Nên ta có
(1.31)
02 = s ( s + 1)
Thay s=1/2 vào (1.29) ta thu được
02 =
3 2
4
(1.32 )
Vậy từ (1.27) ta lại suy ra công thức (1.17)
Từ công thức (1.28) ta lại suy ra công thức (1.17)
Từ công thức (1.29) ta có thể viết lại (1.20)
=
1
N 2
3k B T
Đó là định luật Curie
1. 3. Tán xạ của các nơtron phân cực trong chất thuận từ
Chúng ta xét tán xạ của các nơtron trong miền thuận từ trong trường hợp giới
hạn không tương tác trao đổi giữa các spin của các nguyên tử. Vì các spin không tương
quan với nhau khi không tồn tại sự tương tác giữa chúng, tán xạ của các nơtron trong
trường hợp này là tán xạ đàn hồi và sự phân bố góc được cho bởi công thức:
d
2
= N S ( S + 1)( r0 ) 2 F 2 ( q )
dΩ
3
(1.33)
Bây giờ chúng ta đi xét ảnh hưởng của tương tác trao đổi của các spin lên tán xạ
trong miền thuận từ và đi tìm sự phân bố của các nơtron theo năng lượng
Chúng ta sẽ xuất phát từ biểu thức cơ sở cho tiết diện tán xạ
d 2
p'
− iq ( R j − R j ' )
= ( r0 ) 2 ∑ F j ( q )F j ' ( q )e
( − e e )
∑
d ΩdE p '
p jj '
⋅
1
+∞
i
∫ e
2 −∞
( E p − E p ' )t
(1.34 )
〈 S j (0)S j ' (t )〉 dt
1
3
Thay thế biểu thức: 〈 S j ( 0 ) S j ' (t )〉 = S ( S + 1) jj '
(1.35 )
sẽ dẫn tới công thức (1.9). Khi tính đến tương tác trao đổi chúng ta sẽ có biểu thức chính
xác cho miền thuận từ:
〈 S j ( 0 ) S j ' (t )〉 =
1
〈 S j ( 0 ) S j ' (t )〉
3
(1.36 )
có tính đến sự tương quan giữa các hình chiếu của các spin của các nguyên tử. Sự không
tồn tại sự tương quan giữa các hình chiếu của các spin là do tính chất đẳng hướng của
Hamiltonnian trao đổi H = − ∑ I ( R j − R j ' )( S j S j ' )
j≠ j'
Thay (1.36) vào (1.34) và tính đến sự tương quan của các spin chỉ phụ thuộc vào
hiệu các toạ độ của các nút (để đơn giản chúng ta xét tinh thể cấu tạo từ các nguyên tử
cùng loại) chúng ta sẽ nhận được tiết diện vi phân của tán xạ của nơtron
p'
d 2
2
= N S ( S + 1)( r0 ) 2 F 2 ( q ) Pq ( )
dΩdE p '
3
p
Với Pq ( ) =
=
1
2
i t
∫ dte ∑ e
E p' − E p
,
− iq R j
i (t )[S ( S + 1) ]−1
(t ) = 〈 S 0 ( 0 ) S j (t )〉
Các đại lượng trong công thức (1.34) và (1.38) có ý nghĩa sau:
S0(0): Là toán tử spin trong nút nằm ở gốc toạ độ ở thời điểm ban đầu
(1.37 )
(1.38 )
(1.39 )
Pq(ω): Hàm mô tả sự phân bố góc và năng lượng của các nơtron tán xạ. Trong
+∞
đó ∫ Pq ( ) d = 1
−∞
(1.40 )
Chương 2: TÁN XẠ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ CÓ
HẠT NHÂN PHÂN CỰC
2.1. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Khi chùm nơtron chậm tiến vào mạng tinh thể thì chúng sẽ tham gia vào tương tác
hạt nhân và tương tác từ.
2.1.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:
V ( rn ) = ( rn − R )
1
2
Trong đó: = A + B ( sJ )
rn - vị trí của nơtron
R - Vị trí của hạt nhân
A, B- là các hằng số
J - Spin của hạt nhân
s - Spin của nơtron
Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:
Vl ( rn ) = ( rn − Rl )
( 2.1)
Lấy tổng công thức (2.1) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được thế
tương tác của nơtron với toàn bộ bia:
n
V ( rn ) = ∑ ( rn − Rl )
( 2.2 )
l =1
Các yếu tố ma trận Vp ' p thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng p đến
p ' được ghi nhận trên cơ sở (2.1) có dạng:
( 2.3 )
V p ' p = ∑ l e i ( p − p ') Rl
l
2.1.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ
Tương tác từ của nơtron với tinh thể được hiểu như tương tác của từ trường được
sinh bởi nơtron và dòng điện của các electron (các điện tử này là các điện tử của các đám
mây không kín của nguyên tử). Toán tử năng lượng của tương tác dạng này có thể được
viết dưới dạng:
1
V = ∑ An ( rl ) j ( rl )
l c
Ở đó: An ( r ) =
n × ( r − rn )
r − rn
3
( 2.4)
là vector thế của trường ở điểm r được sinh ra bởi
nơtron nằm ở điểm rn ; n = 2 nuc S n là moment từ của nơtron ( =-1,913 là đại lượng
moment từ của nơtron trong manheton hạt nhân); j ( rl ) là dòng điện được sinh ra bởi
điện tử thứ r
Dấu tổng trong công thức được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp
của tinh thể
Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với xung lượng p
và p ' với các trạng thái của bia (tinh thể) tương ứng a và a′
(
)
Ta có: a′ V p′p a = ∑ ∫∫
l
n × ( rl − rn ) 1
3
rl − rn
c
Ψ ∗a ' j ( rl ) Ψ a ei( p − p ')rn drn ( d )
( 2.5)
Lấy tích phân theo ( d ) lấy dọc theo các tọa độ của tất cả các điện tử chứa trong
công thức (2.4)
Như chúng ta đã biết, yếu tố ma trận của dòng điện bằng:
1 ∗
Ψ a′ j rl Ψ a = i 0 ( Ψ a ∇ l Ψ ∗a′ − Ψ ∗a′∇ l Ψ a ) + 2 0 rotl Ψ ∗a′ sl Ψ a
c
( )
(
)
( 2.6)
Trong đó: sl là toán tử spin của điện tử thứ l
0 : manheton Bohr 0 =
e
2me c
Số hạng đầu vế phải của công thức (2.6) mô tả dòng điện gây bởi chuyển động
quỹ đạo của các điện tử
Số hạng thứ hai là phần spin của dòng điện
Trước mắt chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện
Đặt số hạng thứ hai của (2.6) vào (2.5) và đưa vào tọa độ tương đối rl − rn = R ,
biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (2.5) trong dạng
( a′ V
p′p
e−i q R R
i qrl
∗
a = −∑ n × ∫
dR
2
e
rot
Ψ
s
′
0
l
a
l Ψ a d l
∫
R3
l
(
)
)
( 2.7 )
Ở đó: q = p − p′ là vector tán xạ của nơtron.
Người ta đã chứng minh được rằng [17]:
Và
RdR −iqR
4 iq
e
=− 2
∫ R3
q
iqrl
iqrl
∗
∗
e
rot
Ψ
s
Ψ
dr
=
−
iq
×
e
Ψ
s
l
a′ l
a
l
a ′ l Ψ a drl
∫
∫
(
)
Thay vào (2.7) chúng ta sẽ nhận được
( a′ V
p ′p
)
a =−
4 2
r0 a′ ∑ eiqrl sl
m
l
a , S n − eS n e
( )
Biểu thức trong dấu ngoặc tròn là tích vô hướng của các vector, r0 =
q
vector bán kính điện từ của electron. e = vector tán xạ đơn vị
q
( 2.8)
e2
là
m0 c 2
Trong biểu thức (2.8) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được tách
riêng. Sự đơn giản hóa trong tương lai có thể đạt được nếu ta phân tách tổng hóa theo l
thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử ∑ và tổng theo tất cả các nguyên tử
của bia (tinh thể)
∑
. Chúng ta chỉ xem xét các tán xạ từ khi trạng thái của mạng không
j
thay đổi, còn trạng thái a a ) được đặc trưng bởi tập hợp được chọn các hình chiếu của
spin để cho các nguyên tử
Trong trường hợp này, có thể viết
N iqR j z j iqr
iqrl
a′ ∑ e sl a = ∑ e a′ ∑ e s
l
j
a
( 2.9)
Ở đó: z j là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ j.
Đối với các nơtron chậm chúng ta có thể chú ý rằng các nơtron này không gây ra
các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái kích thích năng lượng mà chỉ làm thay
đổi định hướng của spin của nguyên tử
Như vậy: phép chuyển từ a ) → a ′ ) có dạng m ) → m ′ ) ở đó m , m′ là tập hợp
được chọn các số lượng tử spin để cho các nguyên tử của bia. Còn là tập hợp các số
lượng tử còn lại của nguyên tử. Từ các định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra
rằng yếu tố ma trận trong trường hợp cụ thể này biểu diễn dưới dạng:
z j iqr
a′ ∑ e s
iqr
N e s S
j
a = m′ S j m m ∑
m
S j ( S j + 1)
(
)
(
)
( 2.10 )
z j
Ở đó: S j = ∑ s là toán tử spin của nguyên tử thứ j.
Còn S j là đại lượng spin
Biểu thức
iqr
z j eiqr s S
N e s S
j
j
Fj ( q ) = m ∑
m = ∫ Ψ ∗j ∑
Ψ j d j
S j ( S j + 1)
S j ( S j + 1)
(
)
(
)
( 2.11)
Ở đó: Ψ j là hàm sóng của các điện tử của nguyên tử thứ j ( d j là yếu tố thể tích
trong không gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ j) không phụ thuộc vào số lượng
tử m. Có nghĩa là không phụ thuộc vào sự định hướng của các spin của các nguyên tử và
coi chúng như đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử. Đại lượng này được gọi là “form
factor” từ của nguyên tử ( F j ( q ) ) (chính xác hơn gọi là “form factor spin”)
F j ( q ) đặc trưng cho sự phân bố mật độ spin trong nguyên tử
Khi z j =1 thì form factor từ của nguyên tử F j ( q ) đơn giản chỉ là biểu diễn phần
Furie của mật độ spin
Khi z j >1 công thức (2.11) dễ dàng được biến đổi. Chúng ta sẽ ký hiệu + ( r ) và
− ( r ) là các hàm spin của các điện tử ở lớp không lấp đầy tương ứng với các spin ±
1
2
(tương đối với hướng của spin của nguyên tử S j tạo từ các hàm này
Các tổ hợp phản đối xứng để cho các lớp không lấp đầy của nguyên tử sao cho nó
mô tả trạng thái với spin tổng cộng S và đặt nó vào hàm Ψ j ở công thức (2.11). Coi các
giá trị riêng của toán tử ( s S j ) là
và
( S + 1)
2
S
khi đó spin của điện tử thứ cộng spin của nguyên tử
2
khi được trừ đi thay vào công thức (2.11) ta nhận được biểu thức sau đối với
form factor spin:
{
}
1
2
2
F (q) =
eiqr N + + ( r ) − N − − ( r ) dr
∫
2S
( 2.12 )
Ở đó N + và N − là các số điện tử trong nguyên tử với các spin tương ứng là +
1
2
1
và − . Như vậy, các hàm điện tử được giả định là được chuẩn hóa. Từ (2.12) chúng ta
2
cho q = 0
F (0) =
1
( N+ − N− ) = 1
2S
Do vậy, hiển nhiên ( N + − N − ) = 2 S . Biểu thức cuối cùng có thể suy ra trực tiếp từ
biểu thức (2.11). Biểu thức (2.11), cho phép ta thu được ý nghĩa đơn giản của form factor
spin F ( q ) như thành phần Furie của mật độ spin của nguyên tử
- Xem thêm -