Tài liệu Luận văn thạc sỹ Vật lý Quá trình phân rã siêu hạt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Trần Việt Phú QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ SIÊU HẠT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THÚC TUYỀN Hà Nội-2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4 CHƯƠNG 1: Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu ........................................ 6 1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu ......................... 6 1.2 Lagrangian trong MSSM ............................................................................... 8 1.3 Phổ vật lý của MSSM .................................................................................. 11 CHƯƠNG 2: Quá trình phân rã trong lý thuyết trường lượng tử ............................ 19 2.1 Biểu diễn tương tác ...................................................................................... 19 2.2 S ma trận và khai triển Dyson ...................................................................... 21 2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã C  A  B .................................................. 24 CHƯƠNG 3: Tốc độ phân rã siêu hạt .................................................................... 29  L ................................................................... 29 3.1 Sự phân rã của gluino g  uu 3.2 Sự phân rã g  tt1 ....................................................................................... 34 KẾT LUẬN ........................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 41 PHỤ LỤC.............................................................................................................. 44 A. Các quy tắc và kí hiệu của spinor .................................................................. 44 B. Các Quy tắc lấy tổng ..................................................................................... 45 2 i) Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu………………………………………….45 ii) Quy tắc lấy tổng theo spin………………………………………………...46 3 MỞ ĐẦU Khi thế giới vật chất là siêu đối xứng, ngoài những hạt đã biết sẽ tồn tại những hạt đồng hành với chúng có spin sai khác 1/2 đơn vị [14]-[15]. Như vậy, nếu trước đây trong một quá trình phân rã ta có một số giản đồ khả dĩ thì giờ đây số giản đồ sẽ tăng lên gấp đôi. Điều này kéo theo, vận tốc phân rã sẽ có những thay đổi đáng kể cả về lượng lẫn về chất. Việc cho đến nay chưa tìm ra một hạt siêu đồng hành nào, có thể có nguyên nhân là do chúng ta chưa có đánh giá đúng về khối lượng của chúng và do đó việc tìm kiếm đã không được thực hiện trong vùng năng lượng chính xác. Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rã của gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạt đồng hành của chúng. Những kết quả tính toán như thế, nều được thực hiện đầy đủ, chúng sẽ góp phần vào việc xác định vùng cần tìm kiếm các siêu hạt đồng hành ở các máy gia tốc. Luận văn được trình bày trong ba chương và một phần kết luận. Chương 1 dành để trình bày nội dung chủ yếu của mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu. Phần siêu đối xứng được coi như đã biết [5]. Cuối chương một số số hạng của khai triển Lagrangian tương tác cho những siêu trường cần thiết giúp cho việc thực hiện tính toán trong chương 3 sẽ được viết tường minh [16]. Chương 2 dành để tóm lược những tiến trình cần thực hiện để tính tốc độ phân rã. Chương 3 được dùng để trình bày những tính toán cho tốc độ của quá trình phân rã gluino thành quark u và squark u và gluino thành quark t và squark t . Những quá trình phân rã trên là sản phẩm của những va chạm năng lượng cao tại các máy gia tốc LEP, LEP2, trong đó có phản ứng hủy cặp e  e sau khi đã được gia tốc tới vận tốc rất lớn. 4 Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận. Phần phụ lục sẽ trình bày kỹ năng tính toán đối với spinơ hai thành phần, cần thiết cho việc tính toán thực hiện trong chương 3. Cuối cùng là sách tham khảo và tài liệu dẫn. 5 CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH TIÊU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG TỐI THIỂU 1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu Để thu được lý thuyết mở rộng siêu đối xứng tối thiểu cho mô hình tiêu chuẩn (Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM) ta cần mở rộng thành phần trường của lý thuyết bằng cách thêm vào các siêu đồng hành vô hướng và fermion thích hợp cho các trường vật chất và trường chuẩn ban đầu. Với lepton ta có các hạt vô hướng siêu đồng hành là slepton, với quark ta có các hạt vô hướng siêu đồng hành là squark. Với các hạt chuẩn (gauge) như W, Z, photon, gluon ta có các hạt fermion siêu đồng hành được gọi là gaugino. Photon có photino, W có wino, Z có zino, gluon có gluino. Hạt Higgs sẽ có hạt fermion siêu đồng hành là higgsino. Nếu dùng ngôn ngữ siêu không gian và siêu trường [17], mỗi thế hệ của MSSM được mô tả bởi năm siêu trường thuận tay trái, tay chiêu (left-handed), còn các trường chuẩn sẽ được miêu tả bởi các siêu trường vector tương ứng. Về trường Higgs, trong SM ta chỉ cần một lưỡng tuyến Higgs để có thể tính toán khối lượng cho fermion thông qua tương tác Yukawa. Khi chuyển sang MSSM, nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs sẽ không đủ để tính khối lượng của tất cả các quark và các lepton vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyết chuẩn siêu đối xứng xuất phát từ siêu thế, nên chỉ chứa các siêu trường chiral chứ không chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này. Điều này dẫn đến không thể đưa vào các số hạng bất biến U(1)Y mà có thể sinh khối cho cả quark up lẫn quark down nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs. Vì vậy trong MSSM ta cần ít nhất hai lưỡng tuyến Higgs [18]-[19]. Các trường thành phần trong MSSM được mô tả trong các bảng sau: 6 Hệ số liên Spin 1 SU  3C  SU  2  L  U 1Y Spin 1/2 kết U 1 em (coupling) B B 1 1 0 g1 Wi Wi 1 3 0 g2 Ga Ga 8 1 0 g3 0 0 1 0 Bảng 1.1 Các đa tuyến của nhóm chuẩn SU(3)× SU(2)×U(1) SU  3C  SU  2  L  U 1Y Spin 0 Spin 1/2  ν I  L =  -I   e   L   νI  ψ =  -I   e L R I = eR+I ψ RI =  eL-I   u I  Q = I   d   L uI  ψ =  I   d L I I I L 1 C 1 I Q 3 7 2 2 2 U 1 em 1 0     1  1 1 1/ 3  23   1 - 3  D I = dRI* ψ DI =  d LI  U I = u RI* ψUI =  uLI  C C  H 11  H = 1 H   2 1  ψ H1  ψ = 1  ψ   H2   H 12  H = 2 H   2 2  ψ H1  ψ = 2  ψ   H2  1 2 1 H 3 1 2/3 1 3 3 1 4 / 3  23 1  0   1  1 0     -1  1 2 H 1 2 2 Bảng 1.2 Các đa tuyến vật chất. 1.2 Lagrangian trong MSSM Việc xây dựng Lagrangian trong MSSM cũng tương tự như trong SM. Ta sẽ chia Lagrangian ra các phần như sau: l = l kinetic  l interaction  l Yukawa  l soft  V (1.1) Trong đó, các thành phần cụ thể như sau: 1. l kinetic chỉ số hạng động năng của các trường và có dạng: - Các boson chuẩn: i a - 41 Bμν B μν - 41 Aμν Aiμν - 41 g μν g aμν Trong đó: 8 (1.2) Bμν =  μ Bν -  ν Bμ i Aμν =  μ Aνi -  ν Aμi - gε ikl Aμk Aνl (1.3) a g μν =  μ g νa -  ν g μa - gC abc g bμ g νc - Các fermion gồm có các gaugino, lepton, quark và Higgsino:   i    (1.4) - Các boson vô hướng gồm có slepton, squark và Higgs:  *      2. linteraction (1.5) chỉ các số hạng tương tác gồm có: - Số hạng tự tương tác của các đa tuyến chuẩn: tương tác đỉnh ba và bốn của các gauge boson cộng thêm tương tác của các trường gaugino và trường gauge: b igf abc a   Vc (1.6) - Tương tác của các đa tuyến chuẩn với các đa tuyến vật chất:   gTijaVa ( i   j + iAi*  Aj ), ig 2Tija ( a  j Ai*   a  i Aj ), (1.7) g 2 (T a T b )ijVaV b Ai* Aj 3. Siêu thế vô hướng V : V 1 2 D a D a  Fi* Fi (1.8) Ở đây: Fi  W / Ai D a  gAi*Tija Aj 9 (1.9) 4. l Yukawa để chỉ số hạng tương tác Yukawa: *   2W  1   2 W     i j   i  j     Ai A j  2  Ai A j       (1.10) Ở các biểu thức trên ta đã dùng kí hiệu W để chỉ siêu thế. Đó là một hàm của siêu trường chỉ phụ thuộc vào các trường vô hướng Ai mà không phụ thuộc vào A*i . Dạng tổng quát của siêu thế không vi phạm bất biến chuẩn và các định luật bảo toàn trong SM là: W  ij  H i1 H 2j +Yl IJ H i1 LIj R J +YdIJ H i1Q Ij D J +YuIJ H i2Q Ij U J  5. l soft (1.11) là số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm. Số hạng này được đưa vào để phù hợp với các số liệu thực nghiệm là việc các hạt trong cùng một đa tuyến có khối lượng khác nhau, nhưng không làm mất đi tính chất quan trọng của lý thuyết là sự vắng mặt của các phân kỳ bậc hai. Nó có dạng tổng quát: m1R A2 + m2T A2 + y  A3 + H.c. + m3  λ a λ a + H.c. (1.12) A2 và A3 để chỉ tất cả các tổ hợp của các trường vô hướng bất biến chuẩn. Số hạng trên có thể chia ra các lớp: - Số hạng khối lượng cho các trường vô hướng:  mH2 1 H i1* H i1  mH2 2 H i2* H i2  (mL2 )IJ LI*i LJi  (mR2 )IJ R I* R J  (mQ2 )IJ QiI*QiJ  (mD2 )IJ D I* D J  (mU2 )IJ U I*U J (1.13) - Số hạng khối lượng cho các gaugino: 1 2 M 1 λB λB + 12 M 2 λAi λAi + 12 M 3 λGa λGa + H.c. 10 (1.14) - Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng tương ứng với số hạng Yukawa trong siêu thế: m122 ij H i1 H 2j + ij AlIJ H i1 LIj R J + ij AdIJ H i1Q jI D J + ij AuIJ H i2Q jIU J  H.c. (1.15) - Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng khác với số hạng Yukawa trong siêu thế (còn được gọi là “các số hạng không giải tích” vì chúng chứa liên hợp điện tích của trường Higgs): Al'IJ H i2* LIj R J + Ad'IJ H i2*Q jI D J + Au'IJ H i1*Q jIU J  H.c. (1.16) 1.3 Phổ vật lý của MSSM Để thu được phổ vật lý của các hạt trong MSSM ta cần thực hiện quy trình tiêu chuẩn của việc phá vỡ đối xứng chuẩn thông qua các giá trị trung bình chân không (vacuum expectation value-VEV) của các trường Higgs trung hòa và tìm các trạng thái riêng của các ma trận khối lượng cho tất cả các trường. VEV của trường Higgs thỏa mãn phương trình ( θ để chỉ góc Weinberg, sW = sinθ , cW = cosθ , e = g 2 sW = g1cW ): H1 = 1  v1    2 0  H2 = 1 0    2  v2  (1.17)  e2 2 2 2 2 2  2 2  v1  v2  + mH 1 + μ  v1 =  m12 v2  8sW cW  (1.18)  e2 2 2 2 2 2  v  v + m + μ     v2 =  m12 v1 1 2 H 2 2 2  8sW cW  (1.19) Các tham số của phương trình trên bị ràng buộc bởi điều kiện là v1 và v2 phải dẫn đến các giá trị thích hợp của khối lượng các boson chuẩn. Các trường vật lý của MSSM có thể được xác định như sau: 11 1. Các boson chuẩn. Tám gluon g μa và photon Fμ không khối lượng, còn các boson Wμ± và Z μ có khối lượng: MZ = 1 e 2 2 2 v + v  1 2 2sW cW (1.20) 1 e v12 + v22  2  2sW (1.21) MW = 2. Các Higgs vô hướng tích điện. Có bốn Higgs vô hướng tích điện tồn tại, trong đó có hai hạt có khối lượng còn hai hạt không có khối lượng. M H2 ± = M W2 + mH2 1 + mH2 2 + 2 μ 2 (1.22) 1 Khi có trường chuẩn, các hạt H 2± (  G ± ) bị ăn bởi các W boson và biến mất khỏi Lagrangian. Các trường H 1+ và H 2+ liên hệ với các trường Higgs ban đầu bởi ma trận quay Z H :  H 21*   H 1+   2  = Z H  +   H1   H2  ZH = v + v 2 1 2 2  - 1 2  v2 v  1 (1.23) -v1  v2  (1.24) 3. Các Higgs vô hướng trung hòa. Để thuận tiện, ta chia các Higgs trung hòa ra hai lớp: i) Các hạt vô hướng H i0 với i = 1,2, được định nghĩa: 2R H ii = Z Rij H 0j + vi (không lấy tổng theo i) 12 (1.25) Ma trận ZR và các khối lượng của H i0 có thể thu được bằng cách chéo hóa mà trận M R2  2 v2 e 2v12  -m12 + 2 2 v1 4sW cW T  ZR  e 2v1v2 2  m12 - 2 2 4sW cW  e 2 v1v2 m - 2 2 4sW cW    M H2 0 1 Z =  2 2  R  0 v ev  -m122 1 + 2 22  v2 4sW cW  2 12 0   M H2 0  2  (1.26) ii) Các hạt giả vô hướng Ai0 , i=1,2: 2T H ii = Z Hij A0j (1.27) 2 A10 ( A 0 ) có khối lượng M A2 = mH2 1 + mH2 1 + 2 μ , A 02 (  G 0 ) là hạt boson Goldstone không khối lượng và sẽ biến mất khi dùng chuẩn unitary. Ma trận ZH tương tự trường hợp boson Higgs tích điện. 4. Các fermion vật chất (quark và lepton) có khối lượng (chú ý rằng Yl I , YdI được định nghĩa là âm): v1Yl I m =2 I vY muI = 2 u 2 I ν I e m =0 vYI mdI = - 1 d 2  (1.28)  5. Các chargino. Bốn spinor hai thành phần λA1 , λA2 , ψ 1H 2 , ψ H2 1 kết hợp thành hai fermion Dirac bốn thành phần χ1 , χ 2 tương ứng với hai chargino vật lý. Các ma trận pha trộn chargino Z+ và Z- được định nghĩa bằng điều kiện:   M2 T  Z -   ev1   2sW ev2  Mχ 2sW  Z+ =  1  0   μ   13 0   M χ2  (1.29) Các ma trận Z+ và Z- không được xác định một cách duy nhất. Vì vậy ta có thể lựa chon để M χi xác định dương và M χ2 > M χ1 . Các trường i được liên hệ với các spinor ban đầu như sau: ψ H2 1 = Z+2i κi+ 1 H2  κi+  χi =  -  κ   i  2i i ψ =Z κ λA±  (1.30) λA1  iλA2 = iZ ±1i κi± 2 1 2 6. Neutralino. Bốn spinor hai thành phần  λB , λA3 , ψ H1 , ψ H2  kết hợp thành bốn fermion Mojorana i0 , i = 1,…,4, gọi là neutralino. Công thức cho các ma trận pha trộn và khối lượng được cho:   M1    0 Z NT   -ev1   2cW  ev2   2cW 0 -ev1 2cW M2 ev1 2sW ev1 2sW 0 -ev2 2sW -μ ev2  2cW   -ev2   M χ10   2sW  ZN =    0 -μ     0   0     M χ0  4  (1.31) λB = iZ N1i κi0 λA3 = iZ N2i κi0 1 H1  κi0  χ = 0 κ   i  3i 0 N i 0 i ψ =Z κ (1.32) ψ H2 2 = Z N4i κi0 7. Các gaugino SU(3) không pha trộn. Khi sử dụng kí hiệu spinor bốn thành phần ta có tám gluino g a với khối lượng M 3 . 14  -iλGa  g =  a   iλ   G  a (1.33) 8. Ba trường phức vô hướng LI1 tạo thành ba sneutrino với khối lượng có được bằng cách chéo hóa ma trận M ν2 : LI1 = Z νIJ ν J  M ν21 0    Z ν† M ν2 Z ν =    2   0 M ν3   2 ν M = e 2  v12 - v22  2 2 W W 8s c (1.34) ˆ m2 1+ L Sneutrino là các vô hướng phức trung hòa. 9. Các trường LI2 và RI pha trộn tạo thành sáu slectron tích điện Li, i=1,…,6: R I = Z L I+3 i + i LI2 = Z LIi* L-i   M L2  LL † ZL †  M 2   L LR M 2 L LL  M 2 L RR  M  2 L LR = =  M L21 0  2  M  L LR    ZL =     2 2 M  L RR   0 M L6    e 2  v12 - v22  1 - 2cW2  =- L 8sW2 cW2 e 2  v12 - v22  4cW2 2 2 (1.36) 2 ˆ v1 Yl +  m 2 T 1+ L 2 2 ˆ v1 Yl + m 2 1+ R 2 1  v2 Yl μ* - Al  + v1 Al   2 10. Các trường Q1I và UI trở thành sáu squark up Ui: 15 (1.35) (1.37) U I = ZU I+3 i* Q1I = ZUIiU i+   M U2  LL T  ZU †  M 2   U  LR M  2 U LL == M  =- 2 U LR 2 U 2 U  M U21 0     LR  * ZU =     2   0 M U6 RR    e 2  v12 - v22  1 - 4cW2  24sW2 cW2 e 2  v12 - v22  M  2 U RR M  M  6cW2 U i- 2 2 (1.38) (1.39) 2 ˆ v2 Yu +  Km 2 K † T 1+ Q 2 2 ˆ v2 Yu + m 2 1+ U 2 (1.40) 1  v1 Yu μ* + Au  + v2 Au   2 11. Cuối cùng ta có sáu squark down Di từ các trường Q I2 và DI: D I = Z D I+3 i Q2I = Z DIi* Di  M D2  LL †  ZD †  M 2   D  LR M 2 D LL  M 2 D RR  M  2 D LR === Di+  M D21 0  2  M  D LR     ZD =   2  2 M  D RR   0 M D6    e 2  v12 - v22  1+ 2cW2  24sW2 cW2 e 2  v12 - v22  12cW2 2 2 2 2 ˆ v1 Yd + m 2 1+ D 2 1  v2 Yd μ* - Ad  + v1 Ad   2 Aμ 16 (1.42) ˆ v1 Yd +  m 2 T 1+ Q 2 Bây giờ ta có thể định nghĩa tất cả các trường vật lý có trong MSSM: Photon (1.41) (1.43) Gauge boson Z μ0 ,Wμ± Gluon g μa a=1…8 Gluino g a a=1…8 (spinor Majorana) Chargino χi i=1,2 (spinor Dirac) Neutralino χi0 i=1…4 (spinor Majorana) Neutrino νI I=1…3 (spinor Dirac) Electron eI I=1…3 (spinor Dirac) Quark uI, dI I=1…3 (spinor Dirac) Sneutrino ν I I=1…3 Selectron L±i i=1…6 Squark U i± , Di± i=1…6 Các hạt Higgs tích điện H 1±   H ±  vô hướng trung hòa H 10 , H 20   H, h  giả vô hướng trung hòa A10   A0  Trong chương ba ta sẽ tính đến một số quá trình rã mà sản phẩm là các siêu hạt. Để làm việc đó ta cần viết Lagrangian theo các trường thành phần và từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa chúng. Tuy nhiên, do khi tính toán, ta chỉ dùng một số trong số đó, cho nên, để kết thúc chương này, ta sẽ dẫn ra một số Lagrangian tương 17 tác trong chuẩn ’t Hooft-Feynman. Trong chuẩn ’t Hooft-Feynman, trường ma sẽ có Lagrangian rất đơn giản và dễ sử lý. Tuy nhiên, trường không vật lý là trường Goldstone lại không bị khử hoàn toàn ở cơ chế Higgs như trong chuẩn unitary. Do khi tính bổ chính bậc cao, việc sử lý số hạng liên quan đến trường Goldstone dễ hơn việc sử lý trường ma cho nên, ta sẽ dùng chuẩn ’t Hooft-Feynman thay cho chuẩn unitary quen thuộc. LGF   2 2 1  a 2 1  1  1  G    Z    A      W    W     2 2 2  mZ H 40  Z   imW  H 2   W  H 2   W  (1.44) 2 1   mZ2  H 40    mW2 H 2 H 2 2 trong đó, trường chuẩn của tương tác điện - yếu là: A  cos B  sin  WW3 Z    sin  B  cos W3 (1.45) Dòng thứ nhất của (1.44) là chuẩn ’t Hooft-Feynman quen thuộc trong SM, dòng thứ hai sẽ khử những yếu tố ngoài đường chéo của điỉnh tương tác gaugeHiggs sau khi đã vận hành cơ chế Higgs, dòng cuối cùng sẽ tạo khối cho hạt Goldstone. 18 CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 2.1 Biểu diễn tương tác Khi xây dựng các lý thuyết hiện đại để mô tả bản chất vật lý của các hiện tượng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình, xử lý toán học các biểu thức… Để chuyển những khó khăn này sang các mảng khác trong trường hợp cụ thể, ta dùng các lý thuyết biểu diễn và đỏi hỏi tất cả các lý thuyết biểu diễn chỉ là phương pháp mà không được phép làm thay đổi một số đại lượng vật lý quan sát đo đạc được như: trị riêng của toán tử, phần chéo hóa của yếu tố ma trận… Có ba bức tranh diễn tả cơ học lượng tử nói riêng và lý thuyết lượng tử nói chung mà ta quen gọi là ba biểu diễn [6]: biểu diễn Schroedinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác. Trong lý thuyết trường lượng tử, khi xét hệ gồm các hạt tương tác thì lựa chọn thuận tiện nhất là sử dụng biểu diễn tương tác. Khi đó ta có thể giảm bớt sự phức tạp của Hamintonian phần tương tác sang cả hàm sóng và toán tử. Hamintonian trong biểu diễn tương tác được chia làm 2 phần: H=H0 + H’ (2.1) Trong đó: H0 là phần mô tả các hạt tự do. H’ là phần mô tả tương tác giữa các hạt. Tương ứng với toán tử Â không phụ thuộc thời gian trong biểu diễn Schroedinger, ta định nghĩa toán tử trong biểu diễn tương tác: ˆ ˆ -iHˆ 0 t Aˆ I (t)= eiH0 t Ae 19 (2.2) Từ đây ta có phương trình cho toán tử: dAˆ I (t) = -i  Aˆ I (t),Hˆ 0  dt (2.3) Trong biểu diễn Heisenberg, toán tử trường liên hợp chính tắc của ̂(x,t) là:  ˆ π(x,t) = ˆ (x,t) (2.4) Và ta chấp nhận biểu thức giao hoán tử tại cùng thời điểm:  ˆ (x,t), π(y,t)  = iδ 3 (x - y) ˆ   (2.5) Với biểu thức khai triển của ̂(x,t) và π̂(x,t) theo toán tử sinh hủy: d 3k -ikx  a(k)e ˆ + aˆ † (k)eikx  3 - (2π) 2ω (2.6) d 3k -ikx ˆ (-iω)  a(k)e - aˆ † (k)eikx  3 - (2π) 2ω (2.7)  ˆ (x) =  ˆ = π(x)    Ở đây kx = ωt  kx và ω = k 2 + m 2 . Từ (2.5), (2.6), (2.7) ta thu được biểu thức giao hoán tử của toán tử sinh hủy:  a(k), ˆ aˆ † (k ) = (2π)3 δ 3 (k - k ) (2.8) Tương tự, trong biểu diễn tương tác ta cũng có:  ˆ I (x,t), πˆ I (y,t) = iδ 3 (x - y)   (2.9) Tức là trong biểu diễn tương tác, các trường ̂I (x,t) và π̂I (y,t) tuân theo biểu thức giao hoán tử như các trường tự do. Vì vậy, các trường trong biểu diễn tương tác tuân theo các phương trình động và các biểu thức giao hoán như của các toán tử 20