Tài liệu Luận văn thạc sỹ lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

Mnc lnc Trang Muc luc ......................................................................................... 1 Lòi nói đau .................................................................................... 2 Chương 1 - Kien thNc cơ bán can dùng 6 1.1 Không gian metric ................................................................... 6 1.2 Không gian đ%nh chuan .......................................................... 10 1.3 Không gian Banach có cau trúc đ¾c bi¾t ................................ 11 1.4 Không gian tô pô tuyen tính loi đ%a phương .......................... 14 Ket lu¾n chương 1 ........................................................................ 16 Chương 2 - Điem bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr% 17 2.1 Điem bat đ®ng cna ánh xa dang co ........................................ 17 2.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc ......................................... 23 2.3 Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn ................................... 36 Ket lu¾n chương 2 ........................................................................ 40 Chương 3 - Điem bat đ®ng cúa ánh xa đa tr% 41 3.1 Đ%nh lý điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% co ............................ 41 3.2 Đ%nh lý điem bat đ®ng Ky Fan ............................................... 51 Ket lu¾n chương 3 ......................................................................... 61 Chương 4 - M®t so Nng dnng 62 4.1 Úng dung cna đ%nh lý điem bat đ®ng Caristi .......................... 63 4.2 Bài toán tna cân bang tong quát loai I .................................... 64 Ket lu¾n chương 4 .......................................................................... 76 Ket lu¾n chung ............................................................................... 77 Tài li¾u tham kháo 78 1 Lài nói đau Đen nay, lý thuyet điem bat đ®ng đã ra đòi khoáng m®t the ký và phát trien manh me trong năm th¾p ký gan đây. Sn ra đòi cna Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) và ánh xa co Banach (1922) đã hình thành 2 hưóng chính cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc và sn ton tai điem bat đ®ng dang co. Lý thuyet điem bat đ®ng có nhieu úng dung như: chúng minh sn ton tai nghi¾m cna phương trình vi phân và phương trình tích phân (đ%nh lý Picard và đ%nh lý Peano), chúng minh nguyên lý s-bien phân Ekeland, chúng minh sn ton tai điem cân bang trong mô hình kinh te, sn ton tai nghi¾m toi ưu cna nhieu bài toán trong lý thuyet toi ưu... Nguyên lý ánh xa co Banach (1922) là ket quá khói đau cho lý thuyet điem bat đ®ng dang co, nhưng phái đen nhung năm 60 cna the ký 20 mói đưoc phát trien manh me. Nó cho phép ta xây dnng thu¾t toán tìm nghi¾m cna bài toán. Các nhà toán hoc đã mó r®ng Nguyên lý ánh xa co Banach theo hai hưóng: đưa ra các khái ni¾m mói, ánh xa đa tr% và mó r®ng ánh xa co đen ánh xa không giãn. Các ket quá tiêu bieu có the ke đen như: M.Edelstein, D.Boyd, A.Meir, E.Keeler cho ánh xa đơn tr%; Caristi, S.Nadler, Ky Fan ...cho ánh xa đa tr%. M®t quan h¾ giua ánh xa co và ánh xa không giãn là: ánh xa không giãn có the đưoc xap xí bang m®t dãy ánh xa co trên t¾p C loi, đóng, b% ch¾n trong không gian Banach, xác đ%nh bói công thúc Tnx = 1 x0 + (1 − 1 )T x, n n trong đó x0 là điem co đ%nh trong C. Vì v¾y, sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa co kéo theo sn ton tai điem bat đ®ng s-xap xí cna ánh xa không giãn (x là điem bat đ®ng s-xap xí cna ánh xa T neu d(x, T x) ≤ s) trên t¾p loi, đóng, b% ch¾n trong không gian Banach. Tuy nhiên, sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn thưòng gan lien vói cau trúc hình hoc cna không gian Banach. Lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn đưoc mó đau bang 3 công trình cna F.E.Browder, K.Goebel và W.A.Kirk vào năm 1965. Ket quá quan trong cna W.A.Kirk đưoc trình bày trong chương 2 cna lu¾n văn này. Mó r®ng tn nhiên cho lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn là nghiên cúu sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa Lipschitz vói h¾ so lón hơn 1. Tuy nhiên, Kakutani đã chí ra ánh xa Lipschitz vói h¾ so đn gan 1 trong hình cau đóng đơn v% cna không gian Hilbert không có điem bat đ®ng. Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer đưoc mó r®ng theo 2 giai đoan. Ban đau, ngưòi ta mó r®ng ket quá này trên lóp các không gian tong quát như: đ%nh lý Schauder (1930) trong không gian đ%nh chuan, đ%nh lý Tikhonov (1935) trong không gian loi đ%a phương,... . Sau đó mó r®ng đen ánh xa đa tr% núa liên tuc trên, mó đau là ket quá cna Kakutani (1941), tiêu bieu là Ky Fan (1952). M®t đieu thú v% là vào năm 1929 ba nhà toán hoc Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz dna trên ket quá to hop Sperner đã đưa ra bo đe KKM. Bo đe này chí ra m®t cách chúng minh đơn gián Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer mà trưóc đó cách chúng minh khá phúc tap dna vào công cu tô pô và lý thuyet b¾c ánh xa. Hơn nua bo đe KKM tương đương vói Nguyên lý Brouwer. Sn xuat hi¾n bo đe KKM mó ra m®t hưóng nghiên cúu mói là Lý thuyet KKM. Ky Fan (1961) đã tao ra bưóc ngo¾t trong sn phát trien lý thuyet KKM khi ông chúng minh dang tương tn cna bo đe KKM cho không gian vô han chieu và goi là Nguyên lý ánh xa KKM. Đây đưoc xem như là trung tâm cna lý thuyet KKM. Sau đó, Shih đã chúng minh bo đe KKM cho các t¾p mó. Bo đe này cho ta cách chúng minh đơn gián đ%nh lý điem bat đ®ng Ky Fan (đoi vói ánh xa núa liên tuc trên). Các công trình nghiên cúu sâu sac cna Ky Fan như: Nguyên lý ánh xa KKM, Bat đang thúc Ky Fan... tác đ®ng lón đen sn phát trien cna lý thuyet KKM. Nó đưoc sú dung r®ng rãi trong lý thuyet điem bat đ®ng, lý thuyet bien phân, bài toán kinh te.... Cho đen nay lý thuyet KKM van đang đưoc phát trien r®ng rãi gan lien vói tên tuoi cna các nhà toán hoc như: W.A.Kirk, M.A.Khamsi,... Vói sn phát trien không ngùng cna lý thuyet điem bat đ®ng, gan đây đã xuat hi¾n tap chí dành riêng cho nghiên cúu này chang han như tap chí "Fixed point theory and Application", bat đau tù năm 2007 cna nhà xuat bán Springer. Tam quan trong cna lý thuyet điem bat đ®ng cũng như Lý thuyet KKM trong các ngành toán hoc và úng dung cna nó chính là lý do tôi chon đe tài nghiên cúu "Lý thuyet điem bat đ®ng và Úng ding". Trong lu¾n văn này tôi đe c¾p đen sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa co, ánh xa không giãn, ánh xa liên tuc và úng dung cna nguyên lý ánh xa KKM. Lu¾n văn cũng trình bày 2 úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng đe chúng minh Nguyên lý s -bien phân Ekeland và sn ton tai nghi¾m cna bài toán tna cân bang tong quát loai I. Cau trúc lu¾n văn gom: phan mó đau, 4 chương chính (chương 1-4), ket lu¾n và tài li¾u tham kháo. N®i dung chính đưoc tóm tat như sau: Chương 1 dành cho vi¾c trình bày các kien thúc cơ bán can dùng như: không gian metric, không gian đ%nh chuan, không gian Banach có cau trúc đ¾c bi¾t và không gian tô pô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff. 4 Chương 2 trình bày m®t so ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa đơn tr%. Cu the là: ánh xa co, ánh xa không giãn và ánh xa liên tuc. Chương 3 nghiên cúu ve ánh xa đa tr%, trình bày m®t so khái ni¾m liên quan ve ánh xa đa tr% và các đ%nh lý điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% như: Đ%nh lý điem bat đ®ng Caristi, Đ%nh lý điem bat đ®ng Nadler, Đ%nh lý điem bat đ®ng Ky Fan... Chương 4 đưa ra hai trong nhieu úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng là: chúng minh Nguyên lý s -bien phân Ekeland và sn ton tai nghi¾m cna bài toán tna cân bang tong quát loai I. Lu¾n văn đưoc hoàn thành dưói sn hưóng dan chí báo t¾n tình, chu đáo cna GS.TSKH. Nguyen Xuân Tan. Qua đây, tôi xin gúi lòi cám ơn sâu sac đen thay ve sn giúp đõ nhi¾t tình cna thay trong suot quá trình tôi thnc hi¾n lu¾n văn. Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u Trưòng THPT Cam Thny 3, cùng toàn the các ban đong nghi¾p trong trưòng đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong suot quá trình hoc t¾p. Tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói Vi¾n toán hoc, Phòng giái tích toán hoc, các thay cô trong Vi¾n toán đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi thnc hi¾n tot ke hoach hoc t¾p cna mình. Cuoi cùng, tôi xin đưoc bày tó sn biet ơn tói gia đình tôi đã luôn ó bên canh nng h® đ®ng viên và tao đieu ki¾n tot nhat cho tôi đưoc hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn này. Do đieu ki¾n thòi gian và khá năng bán thân có han nên lu¾n văn không the tránh khói nhung thieu sót. Vì v¾y, tôi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna các thay cô và các ban đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn. Chương 1 Kien thNc cơ bán can dùng Nghiên cúu ve không gian và các tính chat cơ bán trong các không gian đó là m®t trong nhung nhi¾m vu quan trong cna giái tích toán hoc. Trong phan này chúng ta se nhac lai đ%nh nghĩa m®t so không gian và m®t so tính chat cna nó liên quan đen lý thuyet điem bat đ®ng mà ta se tìm hieu trong các chương sau. Các không gian đưoc nhac tói trong phan này gom: không gian metric, không gian đ%nh chuan, không gian Banach có cau trúc đ¾c bi¾t và không gian tô pô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff. 1.1 Không gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho X là m®t t¾p hop, hàm ρ : X × X → R+ thóa mãn các đieu ki¾n sau: (i) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∀ X, ρ(x, y) = 0 ∀ x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∀ X; (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∀ X (bat đang thúc tam giác); đưoc goi là m®t metric trên X. T¾p X vói metric ρ đưoc goi là không gian metric (X, ρ). Đ%nh nghĩa 1.1.2. Trong không gian metric (X, ρ), dãy {xn} ∀ X đưoc goi là h®i tu tói điem x cna không gian đó neu ρ(xn, x) → 0 khi n → ∞. Khi đó x đưoc goi là giói han cna dãy {xn} . Đ%nh nghĩa 1.1.3. M®t hình cau tâm a, bán kính r (r > 0) trong không gian metric (X, ρ) là t¾p S(a, r) = {x : ρ(x, a) < r} . S(a, r) cũng đưoc goi là m®t r - lân c¾n cna điem a và moi t¾p con cna X bao hàm m®t r - lân c¾n nào đó cna điem a goi là m®t lân c¾n cna a. Xét m®t t¾p A bat kỳ trong không gian metric X và m®t điem x ∀ X. Neu: (i) Có m®t lân c¾n cna x nam tron trong A thì x đưoc goi là điem trong cna t¾p hop A. (ii) Bat cú lân c¾n nào cna x cũng có nhung điem cna A lan nhung điem không thu®c A thì x đưoc goi là m®t điem biên cna t¾p A. Đ%nh nghĩa 1.1.4. M®t t¾p A trong không gian metric X đưoc goi là t¾p mó neu nó không chúa điem biên nào cna nó cá; đóng neu nó chúa tat cá các điem biên cna nó. Đ%nh nghĩa 1.1.5. M®t t¾p M trong không gian metric X đưoc goi là t¾p compact neu moi dãy {xn} ∀ M đeu ton tai m®t dãy con {xnk } h®i tu tói m®t điem thu®c M. Đ%nh nghĩa 1.1.6. Cho (X, ρ) là không gian metric, dãy {xn} ∀ X đưoc goi là dãy cơ bán (dãy Cauchy) neu lim ρ(x , x ) = 0, túc là: n m n,m→∞ (∀s > 0) (∀N ) (∀n, m ≥ N ) ρ(xn , xm ) < s. Dĩ nhiên moi dãy h®i tu là dãy cơ bán. M®t không gian metric (X, ρ) trong đó moi dãy cơ bán đeu h®i tu tói 7 m®t phan tú cna X goi là không gian metric đn. Ví dn 1.1.7. (i) Không gian Rn vói khoáng cách Euclid là không gian metric đay đn. (ii) Không gian C[a,b] các hàm liên tuc trên đoan [a, b] là không gian metric đay đn. Tiep theo, ta nhac lai Đ%nh lý Hausdorff và Heine - Borel ve đieu ki¾n can và đn đe m®t t¾p hop là t¾p compact. Cu the như sau: Đ%nh lý 1.1.8.(Hausdorff) 1 M®t t¾p compact thì đóng và hoàn toàn b% ch¾n. Ngưoc lai, m®t t¾p đóng và hoàn toàn b% ch¾n trong m®t không gian metric đú thì compact. Đ%nh lý 1.1.9.(Heine - Borel) 2 M®t t¾p M là t¾p compact khi và chs khi moi ho t¾p mó {Gα} phú lên M: M ∀ ∪αGα, đeu chúa m®t ho con huu han: Gα1, Gα2, . . . , Gαm van phú đưoc M : m M ∀ ∪ j=1 Gαj . Chú ý: Giao m®t so huu han t¾p mó là t¾p mó. Hop m®t ho bat kỳ t¾p mó là t¾p mó. Do đó, không gian metric có cau trúc mói: cau trúc tô pô. Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho không gian metric (X, ρ), M là ho tat cá các t¾p con đóng, b% ch¾n, khác rong cna X. Vói moi A, B ∀ M, ta đ¾t: d(A, B) = sup {ρ(a, B) : a ∀ A} , trong đó: ρ(a, B) = inf {ρ(a, b) : b ∀ B} (khoáng cách tù m®t điem đen m®t t¾p hop). 1 Xem Chương 2, tiet 4, Đ%nh lý 9 trong sách "Hàm thnc và giái tích hàm" cna GS Hoàng Tuy, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 2005. 2 Xem Chương 2, tiet 4, Đ%nh lý 10 trong sách "Hàm thnc và giái tích hàm" cna GS Hoàng Tuy, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 2005. Kí hi¾u: D(A, B) = max {d(A, B), d(B, A)} và đưoc goi là khoáng cách Hausdorff. M¾nh đe 1.1.11. D là metric trên M. Chúng minh. (i) Vói A, B ∀ M hien nhiên D(A, B) ≥ 0. Ta có . d(A, B) = 0 D(A, B) = 0 ∀ d(B, A) = 0 . ρ(a, B) = 0, ∀a ∀ A ∀ ρ(b, A) = 0, ∀b ∀ B . a ∀ B¯ = B, ∀a ∀ A ∀ b ∀ A¯ = A, ∀b ∀ B . A ∀ B ∀ ∀ A = B. B∀ A (ii) Hien nhiên D(A, B) = D(A, B). (iii) Giá sú A, B, C ∀ M. Tù đ%nh nghĩa khoáng cách Hausdorff ta có ρ(a, B) ≤ D(A, B), ∀a ∀ A. Vì v¾y vói s > 0, ∀a ∀ A ton tai ba ∀ B sao cho ρ(a, ba) ≤ D(A, B) + s. Tương tn ca ∀ C sao cho ρ(ba, ca) < D(B, C) + s. Như v¾y, vói moi a ∀ A ton tai ca ∀ C sao cho ρ(a, ca) ≤ ρ(a, ba) + ρ(ba, ca) < D(A, B) + D(B, C) + 2s. Suy ra ρ(a, C) = inf{ρ(a, c) : c ∀ C} < D(A, B) + D(B, C) + 2s, ∀a ∀ A. Do đó d(A, C) = sup{ρ(a, C) : a ∀ A} ≤ D(A, B) + D(B, C) + 2s. Vì s tùy ý nên d(A, C) ≤ D(A, B) + D(B, C). Tương tn ta có d(C, A) ≤ D(A, B) + D(B, C). V¾y nên D(A, C) ≤ D(A, B) + D(B, C). Do đó D là metric trên M. Chú ý: X là không gian metric đn thì (M, D) cũng là không gian metric đn. 1.2 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian tuyen tính trên trưòng K. Hàm so " . ": E → R+ thóa mãn các tiên đe: (i) " x "≥ 0, ∀x ∀ X, " x "= 0 ∀ x = 0; (ii) " λx "= |λ| " x ", λ ∀ K, ∀x ∀ X; (iii) " x + y "≤" x " + " y ", ∀x, y ∀ X; đưoc goi là m®t chuan trên X. Không gian tuyen tính X trên đó xác đ%nh m®t chuan goi là không gian đ%nh chuan. Nh¾n xét 1.2.2. Tù đ%nh nghĩa suy ra X là m®t không gian đ%nh chuan thì nó là m®t không gian metric, vói metric đưoc đ%nh nghĩa ρ(x, y) =" x − y ". Đieu ngưoc lai có the không đúng. Neu không gian metric X xác đ%nh m®t khoáng cách ρ thóa mãn thêm 2 tính chat sau: (i) ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), ∀x, y, z ∀ X (phép t%nh tien báo toàn khoáng cách); (ii) ρ(λx, λy) = |λ|ρ(x, y), ∀λ ∀ K, x, y ∀ X thì khoáng cách có hai tính chat đó sinh ra m®t chuan. 1.3 Không gian Banach có cau trúc đ¾c bi¾t Đ%nh nghĩa 1.3.1. Cho không gian đ%nh chuan X, dãy {xn}n∀N ∀ X đưoc goi là dãy Cauchy (dãy cơ bán) neu: ∀s > 0 : ∀n0 ∀ N : ∀m, n > n0 ta có: " xm − xn "< s. Cho X là không gian đ%nh chuan, neu vói moi dãy Cauchy đeu h®i tu trong X thì không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không gian đ%nh chuan đay đn hay không gian Banach. Đ%nh nghĩa 1.3.2. Không gian Banach (X, " . ") đưoc goi là loi ch¾t neu: vói moi x, y ∀ X: " x "≤ 1, " y "≤ 1 và " x − y "> 0 ta đeu có " "< 1. 2 x+y Đ%nh nghĩa 1.3.3. Không gian Banach (X, " . ") đưoc goi là loi đeu neu vói moi s > 0 ton tai δ(s) > 0 sao cho vói moi x, y ∀ X, " x "≤ 1, " y "≤ 1, " x − y "≥ s ta có x+y " "≤ 1 − δ(s) (1.1) 2 Nói cách khác, vói hai điem bat kỳ x, y thu®c hình cau đơn v%, điem x+y 2 phái có khoáng cách dương đen biên cna hình cau đó, mà khoáng cách này chí phu thu®c vào khoáng cách giua hai điem x, y chú không phu thu®c vào v% trí cna chúng. Chú ý: Đieu ki¾n (1.1) có the thay bói " x "≤ d, " y "≤ d, " x − y "≥ s ∀" "≤ d(1 − δ( s )), vói d > 0 tùy ý. 2 d x+y Ví dn 1.3.4. (i) Không gian Rn vói chuan , " x "2= x2 + x2 + . . . + x2 , ∀x = (x1, . . . , xn) ∀ Rn 1 2 n là không gian loi đeu. (ii) Không gian R2 vói chuan " x "1= |x1| + |x2| và " x "∞= max(|x1|, |x2|) vói x = (x1, x2) 2 ∀R không gian không loi ch¾t và cũng không loi đeu. là các (iii) Moi không gian Hilbert là loi đeu. Đe đo "múc đ®" loi cna hình cau đơn v% trong không gian, ngưòi ta đưa ra khái ni¾m môđun loi. Đ%nh nghĩa 1.3.5. Môđun loi cna không gian Banach X là hàm δX : [0, 2] → [0, 1] xác đ%nh bói . δX (s) = inf 1− " 2 ": x, y ∀ X, " x "≤ 1, " y "≤ 1, " x − y "≥ . x+y s. Đ%nh nghĩa 1.3.6. Đ¾c trưng loi (hay h¾ so loi) cna không gian Banach X là so s0 = s0(X) = sup {s ∀ [0, 2] : δX (s) = 0} . s0 là đ® dài đoan thang lón nhat nam trên m¾t cau đơn v%. M¾nh đe 1.3.7. Không gian Banach X là loi khi và chs khi s0(X) = 0. M¾nh đe 1.3.8. Giá sú X là không gian Banach vói môđun loi δX và đ¾c trưng loi s0. Khi đó, δX là hàm liên tnc trên núa khoáng [0, 2) và tăng ng¾t trên [s0, 2]. M¾nh đe 1.3.9. Không gian Banach X là loi ch¾t khi và chs khi δX (2) = 1. Đ%nh nghĩa 1.3.10. Cho X là không gian Banach, D là m®t t¾p con b% ch¾n cna X. Ký hi¾u: rx(D) = sup {" x − y ": y ∀ D} , x ∀ X; r(D) = inf {rx(D) : x ∀ D}; diamD = sup {" x − y ": x, y ∀ D} = sup {rx(D) : x ∀ D} . So rx(D) đưoc goi là bán kính cna D đoi vói x; r(D) và diamD lan lưot là bán kính Chebyshev và đưòng kính cna t¾p D. M¾nh đe 1.3.11. Vói moi t¾p hop con b% ch¾n D trong không gian Banach X, rx(D) là hàm loi liên tnc. Đ%nh nghĩa 1.3.12. M®t t¾p con D trong không gian Banach X đưoc goi là có cau trúc chuan tac neu moi t¾p con loi, đóng, b% ch¾n H cna nó vói diamH > 0 đeu chúa m®t điem x ∀ H sao cho rx(H) < diamH. Ví dn 1.3.13. Moi t¾p hop compact D trong không gian Banach đeu có cau trúc chuan tac. Đ%nh nghĩa 1.3.14. M®t t¾p con loi, b% ch¾n, khác rong K cna không gian Banach X đưoc goi là có cau trúc chuan đeu neu moi t¾p con loi, đóng D cna K đeu ton tai so k ∀ (0, 1) sao cho r(D) ≤ kdiamD. Đ%nh nghĩa 1.3.15. Không gian Banach X đưoc goi là có cau trúc chuan đeu neu ton tai so k ∀ (0, 1) sao cho r(D) ≤ diamD, vói moi t¾p con loi, đóng b% ch¾n D cna X. Đ%nh nghĩa 1.3.16. H¾ so chuan tac cna không gian Banach X đưoc xác đ%nh bói công thúc r(K) N (X) = sup diam , K , : K ∀ X loi, b% ch¾n và diamK > 0 . Nh¾n xét 1.3.17. (i) N (X) là so nhó nhat sao cho r(K) ≤ N (X)diamK vói moi t¾p K loi, b% ch¾n cna X. (ii) N (X) < 1 neu X có cau trúc chuan đeu. 13 1.4 Không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương Đ%nh nghĩa 1.4.1. Cho m®t t¾p X bat kỳ. Ta nói m®t ho τ nhung t¾p con cna X là m®t tô pô (hay xác đ%nh m®t cau trúc tô pô) trên X neu: (1) Hai t¾p ∀ và X đeu thu®c τ . (2) τ kín đoi vói phép giao huu han, túc là: giao cna m®t so huu han t¾p thu®c τ thì cũng thu®c ho đó. (3) τ kín đoi vói phép hop bat kỳ, túc là: hop cna m®t so bat kỳ (huu han ho¾c vô han) t¾p thu®c τ thì cũng thu®c ho đó. M®t t¾p X, cùng vói m®t tô pô τ trên X, goi là không gian tô pô (X, τ ) (hay đơn gián: không gian tô pô X, neu không so nham lan). Các t¾p thu®c ho τ đưoc goi là t¾p mó. Phan bù trong X cna m®t t¾p mó đưoc goi là t¾p đóng. Vì ho các t¾p mó trong không gian đ%nh chuan thóa mãn các đieu ki¾n trên nên các không gian đ%nh chuan đeu là không gian tô pô. Đ%nh nghĩa 1.4.2. Cho không gian tô pô X thóa mãn đieu ki¾n vói moi c¾p điem khác nhau x1, x2 ∀ X đeu có hai lân c¾n V1, V2 cna x1, x2 sao cho V1 ∩ V2 = ∀ (nói cách khác hai điem khác nhau bao giò cũng có the tách đưoc bói hai lân c¾n ròi nhau). Khi đó không gian tô pô X đưoc goi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tô pô cna nó cũng goi là tô pô tách hay tô pô Hausdorff. Đ%nh nghĩa 1.4.3. Ta nói m®t tô pô τ trên không gian véc tơ X tương hop vói cau trúc đai so, neu các phép toán đai so trong X liên tuc trong tô pô đó, túc là neu: (1) x + y là m®t hàm liên tuc cna hai bien x, y; nói rõ hơn, vói moi lân c¾n V cna điem x + y đeu có m®t lân c¾n Ux cna x và m®t lân c¾n Uy cna y sao cho neu x, ∀ Ux, y, ∀ Uy thì túc khac x, + y, ∀ V (túc là Ux + Uy ∀ V ). (2) αx là m®t hàm liên tuc cna hai bien α, x; nói rõ hơn, vói moi lân c¾n V cna αx đeu có m®t so s > 0 và m®t lân c¾n U cna x sao cho |α, − α| < s, x, ∀ U thì túc khac α,x, ∀ V. M®t không gian véc tơ X trên đó có m®t tô pô tương hop vói cau trúc đai so goi là m®t không gian véc tơ tô pô (hay không gian tuyen tính tô pô). Ví dn 1.4.4. Không gian đ%nh chuan là không gian véc tơ tô pô, vì phép c®ng véc tơ và phép nhân véc tơ vói m®t so ó đây liên tuc trong tô pô xác đ%nh bói chuan. Đ%nh nghĩa 1.4.5. M®t không gian véc tơ tô pô X goi là không gian loi đ%a phương (và tô pô cna nó goi là tô pô loi đ%a phương) neu trong X có m®t cơ só lân c¾n (cna goc) gom toàn t¾p loi. Không gian đ%nh chuan là không gian loi đ%a phương: cơ só lân c¾n loi trong đó là t¾p các hình cau tâm ó goc. Đ%nh nghĩa 1.4.6. M®t không gian véc tơ tô pô X đong thòi là không gian loi đ%a phương và không gian Hausdorff đưoc goi là không gian tô pô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff. Ket lu¾n chương 1 Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày các kien thúc cơ bán đe nghiên cúu ve Lý thuyet điem bat đ®ng và úng dung cna nó. Bon không gian đưoc nhac đen trong chương này bao gom: Không gian metric, không gian đ%nh chuan, không gian Banach có cau trúc đ¾c bi¾t và không gian tô pô loi đ%a phương Hausdorff. Bên canh vi¾c nhac lai đ%nh nghĩa các không gian, chúng tôi còn nhac lai các khái ni¾m thưòng dùng trong moi không gian đó. Chang han trong không gian metric các khái ni¾m: lân c¾n, t¾p đóng, t¾p mó, h®i tu, t¾p compact, không gian metric đay đn, khoáng cách Hausdorff . . . đã đưoc trình bày. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày 2 tính chat cna t¾p compact. Không gian đ%nh chuan: Trình bày đ%nh nghĩa, moi liên h¾ giua không gian đ%nh chuan và không gian metric. Không gian Banach: Trình bày đ%nh nghĩa không gian Banach và các khái ni¾m liên quan như: loi ch¾t, loi đeu, không gian có cau trúc chuan tac, đ¾c trưng loi, các khái ni¾m ve đưòng kính, bán kính cna t¾p D . . . Không gian tô pô: Đ%nh nghĩa không gian tô pô và không gian tô pô loi đ%a phương Hausdorff. Chúng ta se bat đau vói vi¾c nghiên cúu điem bat đ®ng cna ánh xa đơn tr%. Chương 2 Điem bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr% Trong lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa đơn tr%, ngưòi ta phân loai điem bat đ®ng theo dang cna ánh xa, bao gom: điem bat đ®ng cna ánh xa dang co, dang không giãn và dang ánh xa liên tuc. Trong chương này ta lan lưot xét các muc đó. 2.1 Điem bat đ®ng cúa ánh xa dang co Trưóc het ta nhac lai các khái ni¾m ve ánh xa Lipschitz, ánh xa co và ánh xa co yeu (trưòng hop đ¾c bi¾t cna ánh xa Lipschitz). Đây là nhung lóp ánh xa đóng vai trò quan trong trong nhieu bài toán khác nhau, đ¾c bi¾t là trong lý thuyet điem bat đ®ng. Đ%nh nghĩa 2.1.1. Cho (X, d) là m®t không gian metric. M®t ánh xa T : X → X đưoc goi là ánh xa Lipschitz neu ton tai m®t so k không âm sao cho vói moi x, y ∀ X, d(T x, T y) ≤ kd(x, y). (2.1) So k nhó nhat thóa mãn (2.1) đưoc goi là h¾ so Lipschitz cna ánh xa T , ký hi¾u là k(T ). Neu k(T ) < 1 thì ánh xa T : X → X đưoc goi là ánh xa co. Đ%nh nghĩa 2.1.2. Cho (X, d) là m®t không gian metric. M®t ánh xa T : X → X đưoc goi là ánh xa co yeu neu d(T x, T y) < d(x, y), ∀x, y ∀ X, x ƒ= y. Đ%nh lý 2.1.3.(Banach, 1922) Moi ánh xa co T tù không gian metric đay đú (X, d) vào chính nó đeu có m®t điem bat đ®ng duy nhat. Hơn nua, vói x0 ∀ X bat kỳ thì moi dãy l¾p xn+1 = T xn , n = 0, 1, 2, . . . đeu h®i tn đen điem bat đ®ng này. Chúng minh. Lay m®t điem bat kỳ x0 ∀ X. Đ¾t x1 = T x0 , x2 = T x1, ..., xn = T xn−1, . . .. Theo đ%nh nghĩa ánh xa co: d(xn, xn+1) = d(T xn−1, T xn ) ≤ kd(xn−1, xn), d(xn−1, xn) ≤ kd(xn−2, xn−1), ........., d(x1, x2) ≤ kd(x0, x1). Tù đó suy ra vói moi n d(xn, xn+1) ≤ knd(x0, x1). V¾y khi m > n ta có d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + . . . + d(xm−1, xm) n n+1 m−1 ≤ (k + k +...+k )d(x0, x1) ∞ . n j (k )d(x0, x1) 1 k− d(x0, x1). ≤ j=n = k