Luận văn thạc sĩ toán học Vành, trường bậc hai và ứng dụng

  • Số trang: 44 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27372 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------*------- HOÀNG VĂN ĐÔNG VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------*------- HOÀNG VĂN ĐÔNG VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 Môc lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ më réng vµnh vµ tr-êng 5 1.1 KiÕn thøc c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Më réng vµnh vµ tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Vµnh vµ tr-êng bËc hai 13 2.1 Tr-êng bËc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Vµnh bËc hai vµ vµnh c¸c sè nguyªn ®¹i sè . . . . . . . . . 21 3 Mét sè øng dông gi¶i to¸n s¬ cÊp 31 3.1 Sö dông tr-êng bËc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Sö dông chuÈn trong vµnh bËc hai . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Sö dông ph©n tÝch duy nhÊt trong vµnh bËc hai . . . . . . . 36 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1 2 Lêi c¶m ¬n Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu t¹i Tr-êng §¹i häc Khoa häc §¹i häc Th¸i Nguyªn, t«i ®-îc nhËn ®Ò tµi nghiªn cøu \Vµnh, tr-êng bËc hai vµ øng dông" d-íi sù h-íng dÉn cña PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. §Õn nay, luËn v¨n ®· ®-îc hoµn thµnh. Cã ®-îc kÕt qu¶ nµy lµ do sù d¹y b¶o vµ h-íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña C«. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi C« vµ gia ®×nh! T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn Ban gi¸m hiÖu, Phßng §µo t¹o vµ Khoa To¸n - Tin cña Tr-êng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp t¹i Tr-êng vµ trong thêi gian nghiªn cøu hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Sù gióp ®ì nhiÖt t×nh vµ th¸i ®é th©n thiÖn cña c¸c thµy c« gi¸o, c¸c c¸n bé thuéc Phßng §µo t¹o, Khoa To¸n - Tin ®· ®Ó l¹i trong lßng mçi chóng t«i nh÷ng Ên t-îng tèt ®Ñp. T«i xin c¶m ¬n Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Qu¶ng Ninh, ®Æc biÖt lµ Trung t©m HN&GDTX tØnh - n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t«i hoµn thµnh khãa häc nµy. T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp vµ c¸c thµnh viªn trong líp cao häc To¸n K7Q (Khãa 2013-2015) ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn, cæ vò vµ ®éng viªn ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh. 3 Lêi nãi ®Çu Trong lý thuyÕt sè ®¹i sè, mét tr-êng bËc hai ®-îc hiÓu lµ mét tr-êng con cña tr-êng sè phøc C ®ång thêi lµ mét më réng bËc hai cña tr-êng sè h÷u tû Q (tøc lµ mét Q-kh«ng gian vÐc t¬ chiÒu 2). Nh- vËy, nÕu K lµ tr-êng bËc hai th× tån t¹i mét hÖ {α1 , β} ⊆ K (gäi lµ mét c¬ së cña K) sao cho mçi phÇn tö cña K ®Òu biÓu diÔn ®-îc mét c¸ch duy nhÊt d¹ng aα + bβ víi a, b ∈ Q. Víi suy nghÜ t-¬ng tù, ng-êi ta giíi thiÖu kh¸i niÖm vµnh bËc hai, ®ã lµ mét vµnh con cña C ®ång thêi lµ mét më réng bËc hai cña vµnh sè nguyªn Z. Cô thÓ, nÕu D lµ vµnh bËc hai th× tån t¹i mét hÖ {α, β} ⊆ D (gäi lµ mét c¬ së cña D) sao cho mçi phÇn tö cña D ®Òu biÓu diÔn ®-îc mét c¸ch duy nhÊt d¹ng aα + bβ víi a, b ∈ Z. C¸c vµnh vµ tr-êng bËc hai ®· ®-îc quan t©m vµ nghiªn cøu mét c¸ch s©u s¾c víi nhiÒu øng dông quan träng trong to¸n s¬ cÊp. Ch¼ng h¹n, chóng ta cã thÓ dïng vµnh vµ tr-êng bËc hai ®Ó chøng minh r»ng kh«ng thÓ dùng b»ng th-íc kÎ √ vµ compa sè thùc 3 2, kh«ng thÓ \cÇu ph-¬ng mét h×nh trßn" (dùng mét h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch mét h×nh trßn cho tr-íc). Môc tiªu ®Çu tiªn cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu c¸c tr-êng bËc hai vµ c¸c vµnh bËc hai. Môc tiªu tiÕp theo lµ lµm râ cÊu tróc cña vµnh c¸c sè nguyªn ®¹i sè trong mét tr-êng bËc hai, chóng t«i chØ ra r»ng ®©y lµ mét lo¹i vµnh bËc hai rÊt ®Æc biÖt. Ch¼ng h¹n, c¸c i®ªan cña nã ®Òu cã mét hÖ sinh gåm mét hoÆc hai phÇn tö, mçi phÇn tö cña nã ®Òu cã sù ph©n tÝch thµnh nh©n tö bÊt kh¶ quy. Chóng t«i còng chØ ra mét sè líp vµnh bËc hai cã sù ph©n tÝch duy nhÊt. Môc tiªu thø ba cña luËn v¨n lµ ¸p dông nh÷ng kÕt qu¶ vÒ vµnh vµ tr-êng bËc hai ®Ó gi¶i quyÕt mét sè d¹ng bµi to¸n s¬ cÊp. LuËn v¨n ®-îc viÕt chñ yÕu dùa theo 4 tµi liÖu sau ®©y. 1. Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977. 4 2. J. Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998. 3. David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007. 4. Victor V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition). PhÇn më réng vµnh vµ tr-êng ®-îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu 1 vµ 2. Kh¸i niÖm vµ mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh vµ tr-êng bËc hai ®-îc tham kh¶o tõ tµi liÖu 1. PhÇn øng dông gi¶i to¸n s¬ cÊp trong Ch-¬ng 3 ®-îc tham kh¶o tõ tµi liÖu 3, 4 vµ mét tµi liÖu vÒ to¸n s¬ cÊp cña PGS.TS. §µm V¨n NhØ. LuËn v¨n chia lµm 3 ch-¬ng. Ch-¬ng 1 tr×nh bµy nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ vµnh, tr-êng, ®ång cÊu, më réng tr-êng, c¬ së vµ bËc cña më réng vµnh vµ tr-êng, sè ®¹i sè, sè nguyªn ®¹i sè. Trong Ch-¬ng 2, chóng t«i chØ ra cÊu tróc cña tr-êng bËc hai, vµnh bËc hai, vµnh c¸c sè nguyªn ®¹i sè trong tr-êng bËc hai, i®ªan trong vµnh bËc hai, sù ph©n tÝch duy nhÊt trong vµnh bËc hai. Ch-¬ng 3 tr×nh bµy nh÷ng øng dông cña vµnh vµ tr-êng bËc hai trong viÖc gi¶i to¸n s¬ cÊp. Ch-¬ng chia lµm 3 tiÕt nhá. TiÕt 3.1 lµ c¸c bµi to¸n gi¶i ®-îc b»ng c¸ch sö dông tr-êng bËc hai. TiÕt 3.2 lµ c¸c bµi to¸n sö dông chuÈn trong vµnh bËc hai. TiÕt 3.3 dµnh ®Ó tr×nh bµy c¸c bµi to¸n sö dông sù ph©n tÝch duy nhÊt trong vµnh bËc hai. Ch-¬ng 1 KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ më réng vµnh vµ tr-êng 1.1 KiÕn thøc c¬ b¶n §Ó b¾t ®Çu chóng ta sÏ nh¾c l¹i c¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n sau. 1.1.1 §Þnh nghÜa. Mét vµnh lµ mét tËp V cïng víi 2 phÐp to¸n + (phÐp céng) vµ . (phÐp nh©n) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) PhÐp céng kÕt hîp: ∀x, y, z ∈ V ta cã (x + y) + z = x + (y + z). (ii) Cã phÇn tö kh«ng: ∃0 ∈ V sao cho ∀x ∈ V ta cã 0 + x = x + 0 = x. (iii) Cã phÇn tö ®èi: ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0. (iv) PhÐp céng giao ho¸n: ∀x, y ∈ V ta cã x + y = y + x. (v) PhÐp nh©n kÕt hîp: ∀x, y, z ∈ V ta cã (xy)z = x(yz). (vi) Cã phÇn tö ®¬n vÞ: ∃1 ∈ V sao cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ V . (vii) TÝnh ph©n phèi: ∀x, y, z ∈ V sao cho x(y + z) = xy + xz. Vành V gäi lµ vµnh giao ho¸n nÕu phÐp nh©n cã tÝnh giao ho¸n, tøc lµ ab = ba víi mäi a, b ∈ V. Cho V lµ mét vµnh. Mét tËp con A cña V ®-îc gäi lµ mét vµnh con cña V nÕu 2 phÐp to¸n trong vµnh V lµ ®ãng trong A (tøc lµ a + b, ab ∈ A víi mäi a, b ∈ A) vµ A cïng víi hai phÐp to¸n c¶m sinh lµ mét vµnh. 1.1.2 VÝ dô. (i) TËp hîp c¸c sè nguyªn Z víi phÐp céng vµ phÐp nh©n th«ng 5 6 th-êng lµ vµnh giao ho¸n, gäi lµ vµnh c¸c sè nguyªn. T-¬ng tù ta cã vµnh c¸c sè h÷u tû Q, vµnh c¸c sè thùc R, vµnh c¸c sè phøc C. (ii) TËp Zn = {x̄ | x ∈ Z} c¸c sè nguyªn modulo n lµ mét vµnh víi phÐp céng vµ phÐp nh©n nh- sau: x̄ + ȳ = x + y vµ x̄ȳ = xy víi mäi x̄, ȳ ∈ Zn. Vµnh Zm ®-îc gäi lµ vµnh c¸c sè nguyªn modulo m hay vµnh c¸c líp thÆng d- theo m«®un m. (iii) Cho V lµ mét vµnh giao ho¸n. KÝ hiÖu V [x] lµ tËp c¸c ®a thøc mét biÕn x víi hÖ sè trong V . Mçi phÇn tö cña V [x] ®-îc viÕt d-íi d¹ng f (x) = anxn + . . . + a1 x + a0 víi ai ∈ V, ∀i. Ta còng viÕt f (x) d-íi d¹ng P f (x) = ai xi , trong ®ã ai = 0 víi mäi i > n. Khi ®ã V [x] lµ mét vµnh víi P P c k xk , phÐp céng f (x) + g(x) = (ai + bi )xi vµ phÐp nh©n f (x)g(x) = P P i P ai xi vµ g(x) = bi x . Vµnh trong ®ã ck = i+j=k ai bj víi f (x) = V [x] ®-îc gäi lµ vµnh ®a thøc mét biÕn x víi hÖ sè trong V . 1.1.3 §Þnh nghÜa. Cho V lµ mét vµnh. TËp con I cña V ®-îc gäi lµ mét i®ªan cña V nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau tháa m·n (i) PhÐp céng ®ãng trong I, tøc lµ x + y ∈ I, ∀x, y ∈ I. (ii) I chøa phÇn tö kh«ng: 0 ∈ I. (iii) Cã phÇn tö ®èi: −x ∈ I víi mäi ∀x ∈ I. (iv) ax, xa ∈ I víi mäi a ∈ I, x ∈ V . 1.1.4 VÝ dô. (i) 0 = {0} lµ i®ªan bÐ nhÊt vµ V lµ i®ªan lín nhÊt cña V . (ii) I lµ i®ªan cña vµnh Z khi vµ chØ khi I cã d¹ng nZ víi n ∈ N. Cho V lµ mét vµnh. PhÇn tö a ∈ V ®-îc gäi lµ phÇn tö kh¶ nghÞch nÕu tån t¹i b ∈ V sao cho ab = 1. Chó ý r»ng nÕu I lµ i®ªan cña V th× c¸c ph¸t biÓu sau lµ t-¬ng ®-¬ng: (i) I = V ; (ii) I chøa mét phÇn tö kh¶ nghÞch; (iii) I chøa phÇn tö ®¬n vÞ. 7 1.1.5 §Þnh nghÜa. Cho I lµ mét i®ªan cña vµnh V . Víi x ∈ V, ®Æt x + I = {x + a | a ∈ I}. Ta gäi x + I lµ líp ghÐp tr¸i cña I øng víi x. Chó ý r»ng x + I = y + I khi vµ chØ khi x − y ∈ I. §Æt V /I = {x + I | x ∈ V } lµ tËp c¸c líp ghÐp tr¸i cña I. Khi ®ã V /I lµ mét vµnh víi phÐp céng (x + I) + (y + I) = (x + y) + I vµ phÐp nh©n (x + I)(y + I) = xy + I. Vµnh V /I ®-îc gäi lµ vµnh th-¬ng cña V øng víi I. Ch¼ng h¹n, vµnh th-¬ng Z/mZ cña vµnh Z theo i®ªan mZ chÝnh lµ vµnh Zm c¸c sè nguyªn modulo m. 1.1.6 §Þnh nghÜa. Mét ¸nh x¹ f tõ vµnh V vµo vµnh V 0 ®-îc gäi lµ mét ®ång cÊu vµnh nÕu f b¶o toµn c¸c phÐp to¸n, nghÜa lµ f (x + y) = f (x) + f (y) vµ f (xy) = f (x)f (y) víi mäi x, y ∈ V . Mét ®ång cÊu tõ vµnh V vµo V ®-îc gäi lµ mét tù ®ång cÊu cña V . Mét ®ång cÊu ®ång thêi lµ ®¬n ¸nh (toµn ¸nh, song ¸nh) ®-îc gäi lµ ®¬n cÊu (toµn cÊu, ®¼ng cÊu). NÕu f lµ mét tù ®ång cÊu vµ lµ song ¸nh th× ta nãi f lµ mét tù ®¼ng cÊu. 1.1.7 VÝ dô. (i) Gi¶ sö A lµ mét vµnh con cña vµnh V . Khi ®ã ¸nh x¹ nhóng iA : A → V x¸c ®Þnh bëi iA (x) = x lµ mét ®¬n cÊu, gäi lµ ®¬n cÊu chÝnh t¾c hay ®¬n cÊu nhóng. (ii) Gi¶ sö I lµ mét i®ªan cña vµnh V . Khi ®ã ¸nh x¹ p : A → V /I x¸c ®Þnh bëi: p(x) = x + I lµ mét toµn cÊu, gäi lµ toµn cÊu chÝnh t¾c hay phÐp chiÕu tù nhiªn. 1.1.8 §Þnh nghÜa. (i) Cho V lµ mét vµnh giao ho¸n. PhÇn tö a ∈ V ®-îc gäi lµ mét -íc cña kh«ng nÕu a 6= 0 vµ tån t¹i b ∈ V, b 6= 0 sao cho ab = 0. (ii) Mét vµnh giao ho¸n kh¸c {0} vµ kh«ng cã -íc cña kh«ng ®-îc gäi lµ mét miÒn nguyªn. 8 (ii) Mét tr-êng lµ mét vµnh giao ho¸n kh¸c 0 vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 ®Òu kh¶ nghÞch. Cho K lµ mét tr-êng vµ T lµ mét tËp con kh¸c rçng cña K æn ®Þnh víi hai phÐp to¸n trong K. Ta nãi T lµ mét tr-êng con cña K nÕu T cïng víi hai phÐp to¸n c¶m sinh tõ K còng lµ mét tr-êng. Z lµ miÒn nguyªn, Q, R, C lµ tr-êng. Chó ý r»ng mçi tr-êng lµ mét miÒn nguyªn, vµ mçi miÒn nguyªn h÷u h¹n lµ mét tr-êng. Tuy nhiªn miÒn nguyªn v« h¹n kh«ng nhÊt thiÕt lµ tr-êng, ch¼ng h¹n nh- miÒn nguyªn Z. Chó ý r»ng mçi tr-êng cã ®óng hai i®ªan lµ {0} vµ chÝnh nã. Tæng qu¸t h¬n, nÕu V 6= {0} lµ vµnh giao ho¸n th× c¸c ph¸t biÓu sau lµ t-¬ng ®-¬ng: (i) V lµ mét tr-êng; (ii) V chØ cã ®óng hai i®ªan lµ {0} vµ V . (iii) Mäi ®ång cÊu tõ V ®Õn mét vµnh giao ho¸n kh¸c {0} ®Òu lµ ®¬n cÊu. 1.2 Më réng vµnh vµ tr-êng 1.2.1 §Þnh nghÜa. (i) Cho F lµ mét tr-êng vµ K lµ mét tr-êng chøa F . Khi ®ã F ⊂ K ®-îc gäi lµ mét më réng tr-êng vµ ta nãi K lµ mét më réng cña tr-êng F . Më réng tr-êng F ⊂ K ®-îc kÝ hiÖu lµ K/F . (ii) Cho A lµ mét vµnh vµ V lµ mét vµnh chøa A. Khi ®ã A ⊂ V ®-îc gäi lµ mét më réng vµnh vµ ta nãi V lµ mét më réng cña vµnh A. Më réng vµnh A ⊂ V ®-îc kÝ hiÖu lµ V /A. Chó ý r»ng nÕu A lµ vµnh con cña vµnh V vµ A 6= V th× A kh«ng bao giê lµ i®ªan cña V . V× thÕ chóng ta kh«ng sî nhÇm lÉn gi÷a kÝ hiÖu cña më réng vµnh V /A víi kÝ hiÖu cho mét vµnh th-¬ng nµo ®ã cña V . 1.2.2 VÝ dô. (i) Q ⊂ C, Q ⊂ R, R ⊂ C lµ c¸c më réng tr-êng. (ii) Z ⊂ Q, Z ⊂ R, R ⊂ C lµ c¸c më réng vµnh. 9 (iii) Cho F lµ tr-êng vµ F [x] lµ vµnh ®a thøc. §Æt F (x) = {f (x)/g(x) | f (x), g(x) ∈ F [x], g(x) 6= 0}, trong ®ã f (x)/g(x) = h(x)/k(x) chØ nÕu f (x)k(x) = g(x)h(x). Khi ®ã F (x) lµ mét tr-êng, gäi lµ tr-êng c¸c ph©n thøc h÷u tû mét biÕn x víi hÖ sè trong F . Anh x¹ j : F → F (x) cho bëi j(a) = a lµ mét ®¬n cÊu. V× thÕ ta cã thÓ ®ång nhÊt mçi phÇn tö a ∈ F víi ph©n thøc h»ng a/1 ∈ F (x). Khi ®ã ta cã F ⊂ F (x) lµ mét më réng tr-êng. 1.2.3 §Þnh nghÜa. (i) Cho K/F lµ mét më réng tr-êng. Khi ®ã K cã cÊu tróc kh«ng gian vect¬ trªn tr-êng F víi phÐp céng trong K vµ phÐp nh©n v« h-íng suy ra tõ phÐp nh©n cña K. Mét c¬ së cña F -kh«ng gian vÐct¬ K ®-îc gäi lµ c¬ së cña më réng tr-êng K/F . (ii) BËc cña më réng tr-êng K/F lµ chiÒu cña F -kh«ng gian vÐct¬ K, kÝ hiÖu lµ [K : F ]. NÕu [K : F ] h÷u h¹n th× ta gäi K/F lµ më réng h÷u h¹n. 1.2.4 VÝ dô. (i) XÐt më réng tr-êng C/R. Ta biÕt r»ng mäi phÇn tö cña C ®-îc viÕt duy nhÊt d-íi d¹ng a + bi víi a, b ∈ R. Do ®ã {1, i} lµ mét c¬ së cña C/R. Suy ra [C : R] = 2. (ii) §Æt Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q}. Khi ®ã Q[i] lµ mét tr-êng chøa Q. V× thÕ Q[i]/Q lµ mét më réng tr-êng vµ {1, i} lµ mét c¬ së cña më réng nµy. Suy ra [Q[i] : Q] = 2. √ √ √ (iii) §Æt Q[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Q]. Khi ®ã Q[ 2] lµ mét tr-êng chøa √ √ Q vµ {1, 2} lµ mét c¬ së cña më réng nµy. Suy ra [Q[ 2] : Q] = 2. (iv) C¸c më réng tr-êng R/Q vµ C/Q ®Òu lµ më réng v« h¹n v× hÖ c¸c sè siªu viÖt lµ hÖ con v« h¹n cña R vµ hÖ nµy ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn Q. (v) Víi K(x) lµ tr-êng c¸c ph©n thøc mét biÕn x víi hÖ sè trong K, më réng K(x)/K lµ më réng v« h¹n v× hÖ {1, x, . . . , xn , . . .} lµ mét hÖ con v« h¹n cña K(x) vµ hÖ nµy ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn K. 10 1.2.5 MÖnh ®Ò. Cho K2/K1 vµ K3 /K2 lµ c¸c më réng h÷u h¹n, trong ®ã K1, K2 , K3 lµ c¸c tr-êng. Khi ®ã K3 /K1 lµ mét më réng h÷u h¹n vµ [K3 : K1 ] = [K3 : K2 ][K2 : K1 ]. H¬n n÷a, nÕu {ei }i=1,...,n vµ {fj }j=1,...,m lÇn l-ît lµ c¬ së cña c¸c më réng K2/K1 vµ K3 /K2 th× {ei fj }i=1,...,n;j=1,...,m lµ mét c¬ së cña më réng K3/K1 . Chøng minh. KÝ hiÖu S1 = {ei }i , S2 = {fj }j vµ S3 = {ei fj }i,j , trong ®ã i ∈ {1, . . . , n} vµ j ∈ {1, . . . , m}. Cho u ∈ K3 . V× S2 lµ c¬ së cña më m P réng K3/K2 nªn ta cã biÓu diÔn u = aj fj víi aj ∈ K2. Do aj ∈ K2 vµ j=1 n P S1 lµ c¬ së cña më réng K2 /K1 nªn ta cã biÓu diÔn aj = bji ei , trong ®ã P Pi=1 aj fj ta ®-îc u = cij ei fj , trong ®ã bji ∈ K1 . Thay vµo biÓu diÔn u = cij ∈ K1. Do ®ã S3 lµ hÖ sinh cña K1 -kh«ng gian vect¬ K3. Ta chøng minh S3 ®éc lËp tuyÕn tÝnh. XÐt mét rµng buéc tuyÕn tÝnh  cña P P P S3 cho bëi aij ei fj = 0 víi aij ∈ K1 . Khi ®ã ta viÕt j i aij ei fj = 0 vµ xÐt nã nh- mét rµng buéc tuyÕn tÝnh cña S2 . Do S2 ®éc lËp tuyÕn tÝnh P nªn aij ei = 0 víi mäi j. MÆt kh¸c do S1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn aij = 0 víi mäi i, j. VËy S3 ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Cho E/K lµ më réng tr-êng vµ α1 , . . . , αn ∈ E. KÝ hiÖu K[α1 , . . . , αn ] lµ giao cña c¸c vµnh con cña E chøa K vµ α1 , . . . , αn . Khi ®ã K[α1 , . . . , αn ] lµ vµnh con bÐ nhÊt cña E chøa K vµ α1 , . . . , αn . T-¬ng tù, kÝ hiÖu K(α1 , . . . , αn ) lµ giao cña c¸c tr-êng con cña E chøa K vµ chøa c¸c phÇn tö α1 , . . . , αn . Khi ®ã K(α1, . . . , αn ) lµ tr-êng con bÐ nhÊt cña E chøa K vµ α1 , . . . , αn . Do ®ã ta cã më réng tr-êng K(α1 , . . . , αn )/K. 1.2.6 VÝ dô. (i) Ta cã Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} lµ vµnh con bÐ nhÊt cña C chøa Q vµ i. H¬n n÷a, dÔ kiÓm tra ®-îc Q[i] còng lµ mét tr-êng, v× thÕ 11 nã lµ tr-êng con bÐ nhÊt cña C chøa Q vµ i. Do ®ã Q(i) = Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q}. √ √ (ii) Ta cã Q(i)[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Q(i)} lµ vµnh con bÐ nhÊt cña C √ √ chøa Q(i) vµ 2. H¬n n÷a, dÔ thÊy Q(i)[ 2] còng lµ mét tr-êng, v× thÕ √ nã lµ tr-êng con bÐ nhÊt cña C chøa Q(i) vµ 2. Do ®ã √ √ √ √ Q(i, 2) = Q(i)( 2) = Q(i)[ 2] = Q[i, 2]. √ (iii) §Ó tÝnh bËc cña më réng tr-êng tr-êng Q(i, 2)/Q chóng ta lµm nhsau. Theo (i) ta cã {1, i} lµ c¬ së cña më réng tr-êng Q(i)/Q. Do ®ã [Q(i) : √ √ Q] = 2. Theo (ii), {1, 2} lµ c¬ së cña më réng tr-êng Q(i, 2)/Q(i). Do √ ®ã [Q(i, 2) : Q(i)] = 2. Suy ra √ √ [Q(i, 2) : Q] = [Q(i, 2) : Q(i)][Q(i) : Q] = 2.2 = 4. 1.2.7 §Þnh nghÜa. Cho V 0 /V lµ mét më réng vµnh. Gi¶ sö S lµ mét hÖ con cña V 0 tháa m·n tÝnh chÊt: Mçi phÇn tö u ∈ V 0 ®Òu ®-îc biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt d-íi d¹ng u = a1s1 + . . . + ansn , trong ®ã n ∈ N, a1, . . . , an ∈ V vµ s1 , . . . , sn ∈ S. Trong tr-êng hîp nµy ta viÕt V 0 = ⊕ V s 0 s∈S vµ ta gäi S lµ mét c¬ së cña më réng vµnh V /V . Chó ý r»ng nÕu më réng V 0 /V cã mét c¬ së th× mäi c¬ së cña nã ®Òu cã cïng lùc l-îng. Trong tr-êng hîp nµy, lùc l-îng cña mét c¬ së cña më réng V 0 /V ®-îc gäi lµ bËc cña më réng V 0 /V vµ ®-îc kÝ hiÖu lµ [V 0 : V ]. §Æc biÖt, ta nãi bËc cña cña më réng vµnh V 0 /V lµ n nÕu tån t¹i hÖ {e1 , . . . , en } c¸c phÇn tö cña V 0 sao cho mçi phÇn tö u ∈ V 0 ®Òu ®-îc viÕt mét c¸ch duy nhÊt d-íi d¹ng u = a1 e1 + a2e2 + . . . . + an en , trong ®ã a1 , . . . , an ∈ V. Trong tr-êng hîp nµy, hÖ {e1 , . . . , en } lµ mét c¬ së cña më réng vµnh V 0 /V vµ ta viÕt S = V e1 ⊕ V e2 ⊕ . . . ⊕ V en . 12 1.2.8 VÝ dô. (i) Vµnh Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} lµ mét më réng bËc 2 cña vµnh Z, mét c¬ së cña më réng nµy lµ {1, i} v× mäi phÇn tö cña Z[i] ®Òu ®-îc viÕt duy nhÊt d-íi d¹ng a+bi víi a, b ∈ Z. Do ®ã ta cã Z[i] = Z ⊕Zi. √ √ √ (ii) vµnh Z[ 3 2] = {a + b 3 2 + c 3 4 | a, b, c ∈ Z} lµ mét më réng bËc 3 √ √ cña vµnh Z, mét c¬ së cña më réng nµy lµ {1, 3 2, 3 4} v× mäi phÇn tö cña √ √ √ Z[ 3 2] ®Òu ®-îc viÕt duy nhÊt d-íi d¹ng a + b 3 2 + c 3 4 víi a, b, c ∈ Z. Do √ √ √ ®ã ta cã Z[ 3 2] = Z ⊕ Z 3 2 ⊕ Z 3 4. (iii) Vµnh ®a thøc Z[x] mét biÕn x víi hÖ sè trong Z lµ më réng bËc v« h¹n cña Z, mét c¬ së cña më réng nµy lµ S = {1, x, x2 , . . . , xn , . . .}. Do ®ã Z[x] = Z ⊕ Zx ⊕ Zx2 ⊕ . . . ⊕ Zxn ⊕ . . . . Chó ý r»ng mçi më réng tr-êng lu«n cã c¬ së v× mçi kh«ng gian vÐc t¬ ®Òu cã c¬ së. Tuy nhiªn, ®iÒu nµy kh«ng ®óng ®èi víi më réng vµnh. 1.2.9 VÝ dô. Tån t¹i nh÷ng më réng vµnh kh«ng cã c¬ së, ch¼ng h¹n nhmë réng vµnh Q/Z. Chøng minh. Gi¶ sö më réng vµnh Q/Z cã mét c¬ së. Gäi S ⊆ Q lµ mét c¬ së cña më réng Q/Z. Chó ý r»ng 0 ∈ / S v× nÕu ng-îc l¹i ta cã 0 = 1.0 = 2.0 lµ hai biÓu diÔn kh¸c nhau cña 0 qua c¬ së S (®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra do tÝnh duy nhÊt cña biÓu diÔn). NÕu S cã nhiÒu h¬n 1 phÇn tö th× ta lÊy s1 6= s2 ∈ S. Víi i = 1, 2, viÕt si = pi /qi lµ biÓu diÔn cña si thµnh ph©n sè tèi gi¶n, trong ®ã qi 6= 0. Khi ®ã p1 p2 = p2 q1 (p1 /q1 ) = p2 q1 s1 vµ p1 p2 = p1 q2(p2 /q2 ) = p1 q2s2 . Do tÝnh biÓu diÔn duy nhÊt cña p1 p2 qua c¬ së S nªn ta cã p2 q1 = 0. Suy ra p2 = 0 vµ do ®ã s2 = 0, ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra (do 0 ∈ / S theo chøng minh trªn). Do ®ã S gåm ®óng mét phÇn tö. Gi¶ sö S = {s} víi s = p/q lµ ph©n sè tèi gi¶n, p, q ∈ Z, p, q 6= 0. V× 1 1 ∈ Q nªn nã biÓu diÔn ®-îc qua S. Suy ra = n(p/q) víi n ∈ Z. V× 2q 2q thÕ q = 2qnp. Suy ra 1 = 2np, ®iÒu nµy v« lÝ. Ch-¬ng 2 Vµnh vµ tr-êng bËc hai Môc tiªu cña ch-¬ng nµy lµ nghiªn cøu c¸c tr-êng bËc hai vµ c¸c vµnh bËc hai. Ta hiÓu c¸c tr-êng bËc hai (c¸c vµnh bËc hai) t-¬ng øng lµ c¸c tr-êng con cña C chøa Q (vµnh con cña C chøa Z) sao cho nã lµ më réng tr-êng bËc hai cña Q (më réng vµnh bËc hai cña Z). 2.1 Tr-êng bËc hai Tr-íc khi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm tr-êng bËc hai, chó ý r»ng Q lµ tr-êng con bÐ nhÊt cña C. V× thÕ mçi tr-êng con cña C ®Òu chøa Q. ThËt vËy, gi¶ sö K lµ mét tr-êng con cña C. Khi ®ã 1 ∈ K vµ 0 ∈ K. Suy ra n = 1 + 1 + . . . + 1 ∈ K víi mäi sè nguyªn d-¬ng n > 0. V× thÕ phÇn tö m ®èi −n cña n còng thuéc K víi mäi sè nguyªn d-¬ng n. Suy ra ∈K n víi mäi m, n ∈ Z, n 6= 0. Do ®ã Q ⊆ K. 2.1.1 §Þnh nghÜa. Cho K lµ mét tr-êng con cña C. NÕu bËc cña më réng K/Q lµ h÷u h¹n th× K ®-îc gäi lµ tr-êng sè. NÕu [K : Q] = 2 th× K ®-îc gäi lµ më réng tr-êng bËc hai cña Q hay ng¾n gän lµ tr-êng bËc hai. √ √ √ 2.1.2 VÝ dô. (i) KÝ hiÖu Q[ −3] = {a+b −3 | a, b ∈ Q}. Khi ®ã Q[ −3] √ lµ mét tr-êng chøa Q vµ lµ mét më réng tr-êng bËc hai cña Q v× {1, i 3} √ √ lµ mét c¬ së cña më réng nµy. V× thÕ Q[ −3] = Q(i 3) lµ mét tr-êng 13 14 bËc hai. √ √ (ii) Q[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Q} lµ mét tr-êng chøa Q, nã lµ mét më √ réng tr-êng bËc hai cña Q v× {1, 2} lµ c¬ së cña më réng nµy. V× thÕ √ √ Q( 2) = Q[ 2] lµ mét tr-êng bËc hai. (iii) Nh- trong TiÕt 1.2, chóng ta ®· chØ ra r»ng Q(i) = Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} lµ më réng tr-êng bËc hai cña Q, v× thÕ nã lµ mét tr-êng bËc hai. §Þnh lÝ sau ®©y m« t¶ cÊu tróc cña c¸c tr-êng bËc hai. Víi mçi sè nguyªn m kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng (tøc lµ m kh«ng chia hÕt cho a2 víi mäi sè nguyªn a > 1) ta kÝ hiÖu √ √ Q[ m] = {a + b m | a, b ∈ Q}, trong ®ã nÕu m < 0 th× ta hiÓu √ √ √ m lµ sè phøc i −m. Râ rµng Q[ m] lµ mét tr-êng con cña C chøa Q. 2.1.3 §Þnh lý. Mét tr-êng con K cña C lµ tr-êng bËc hai khi vµ chØ khi tån t¹i sè nguyªn m 6= 0, m 6= 1 vµ m kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng sao cho √ K = Q[ m]. Chøng minh. Ta sÏ chøng minh §Þnh lý theo 2 chiÒu. (⇐): Gi¶ sö tån t¹i mét sè nguyªn m kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng sao cho m 6= 0, m 6= 1 vµ √ √ K = Q[ m] = {a + b m | a, b ∈ Q}. √ V× m 6= 0, m 6= 1 vµ m kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng nªn m ∈ / Q. V× √ √ thÕ [Q[ m] : Q] > 1. Râ rµng {1, m} lµ mét hÖ sinh cña Q-kh«ng gian √ √ √ vÐc t¬ Q[ m], do ®ã [Q[ m] : Q] 6 2. Suy ra [Q[ m] : Q] = 2. V× thÕ √ Q[ m] lµ mét tr-êng bËc hai. 15 (⇒): Gi¶ sö K lµ mét tr-êng bËc hai. Khi ®ã Q ⊆ K ⊆ C vµ K lµ mét Qkh«ng gian vect¬ chiÒu 2. Suy ra K 6= Q. V× thÕ tån t¹i α ∈ K \ Q. KÝ hiÖu Q(α) lµ tr-êng con bÐ nhÊt cña K chøa Q vµ α. Khi ®ã Q(α) 6= Q. Suy ra [Q(α) : Q] > 1. V× [K : Q] = 2 nªn [Q(α) : Q] 6 2. V× thÕ [Q(α) : Q] = 2. Suy ra K = Q[α]. Khi ®ã hÖ {1, α} lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn Q, nh-ng hÖ {1, α, α2 } lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn Q. V× vËy tån t¹i mét quan hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh aα2 + bα + c = 0 víi a, b, c ∈ Q vµ a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0. NÕu a = 0 th× bα + c = 0 víi b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0, ®iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña {1, α}. Do ®ã a 6= 0. Chia hai vÕ cho a ta ®-îc rµng buéc tuyÕn tÝnh α2 + dα + e = 0 víi d, e ∈ Q. NÕu e = 0 th× α = 0 hoÆc α = −d ∈ Q, ®iÒu nµy v« lÝ. Do ®ã e 6= 0. Ta cã 2    d d2 2 α + dα + e = α + = 0. + e− 2 4 √ d d2 − 4e §Æt β = α + . DÔ thÊy Q[β] = Q[α] = K vµ β = ± . ViÕt 2 2 p d2 − 4e = , víi p vµ q lµ c¸c sè nguyªn nguyªn tè cïng nhau, ta nhËn q √ r √ pq p 2 ®-îc d − 4e = = . §Æt pq = m0 . Khi ®ã q q  √ 2 p d − 4e = Q[ d2 − 4e] K = Q[β] = Q 2 √  pq =Q q √ √ = Q[ pq] = Q[ m0 ]. √ ViÕt m0 = k 2 m, trong ®ã m kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng. Khi ®ã m = √ √ √ k m. V× thÕ K = Q[ m0 ] = Q[ m]. NÕu m = 0 hoÆc m = 1 th× √ K = Q[ m] = Q vµ do ®ã K kh«ng lµ tr-êng bËc hai, v« lÝ. V× thÕ m 6= 0 vµ m 6= 1. 16 √ Tõ ®Þnh lÝ trªn ta thÊy r»ng c¸c tr-êng bËc hai ®Òu cã d¹ng Q[ m] víi √ m lµ sè nguyªn kh«ng chÝnh ph-¬ng vµ m 6= 0, m 6= 1. Ta gäi Q[ m] lµ tr-êng bËc hai øng víi m. KÕt qu¶ sau ®©y chØ ra r»ng víi hai sè nguyªn ph©n biÖt kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng, c¸c tr-êng bËc hai t-¬ng øng víi chóng lµ ph©n biÖt. 2.1.4 MÖnh ®Ò. NÕu m, n ∈ Z lµ hai sè nguyªn ph©n biÖt kh«ng cã -íc √ chÝnh ph-¬ng vµ m, n 6= 0, m, n 6= 1 th× c¸c tr-êng bËc hai Q[ m] vµ √ Q[ n] kh«ng ®¼ng cÊu víi nhau. Chøng minh. Cho m, n ∈ Z lµ hai sè nguyªn ph©n biÖt kh«ng cã -íc chÝnh √ √ ph-¬ng vµ m, n 6= 0, m, n 6= 1. Gi¶ sö Q[ m] ∼ = Q[ n], tøc lµ tån t¹i √ √ mét ®¼ng cÊu: ϕ : Q[ m] → Q[ n]. V× ϕ lµ ®ång cÊu nªn ϕ(1) = 1. Do ®ã ϕ(n) = ϕ(1 + . . . + 1) = ϕ(1) + . . . + ϕ(1) = 1 + . . . + 1 = n víi mäi n ∈ N. V× ϕ lµ ®èng cÊu nªn nã biÕn phÇn tö ®èi thµnh phÇn tö ®èi, v× thÕ ϕ(−n) = −ϕ(n) = −n víi mäi n ∈ N. Víi r = p/q ∈ Q víi p, q ∈ Z vµ q > 0, ta cã 1 = ϕ(1) = ϕ(1/q) + . . . + ϕ(1/q) = qϕ(1/q). V× thÕ ϕ(1/q) = 1/q. NÕu p > 0 th× ϕ(r) = ϕ(p/q) = ϕ(1/q) + . . . + ϕ(1/q) = pϕ(1/q) = p/q = r. NÕu p < 0 th× ϕ(r) = −ϕ(−p/q) = −(−p/q) = r. Do ®ã ϕ(r) = r víi mäi √ √ √ √ r ∈ Q. V× ϕ( m) ∈ Q[ n] nªn tån t¹i a, b ∈ Q sao cho ϕ( m) = a+b n. V× m, n 6= 0, m, n 6= ±1 vµ m, n kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng nªn ta cã √ √ √ m, n ∈ / Q. NÕu b = 0 th× ϕ( m) = a = ϕ(a), l¹i do ϕ lµ ®¬n cÊu nªn √ m = a ∈ Q, v« lÝ. Do ®ã b 6= 0. Nh- vËy, √ √ √ √ m = ϕ(m) = ϕ(( m)2 ) = (ϕ( m))2 = (a + b n)2 = a2 + 2ab n + b2 n. m − a2 − b2 n ∈ Q, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. NÕu a 6= 0 th× n = 2ab √ V× vËy a = 0, do ®ã m = b2 . Suy ra b = ± m ∈ / Q. §iÒu nµy còng v« lÝ √ √ V× vËy Q[ m] kh«ng ®¼ng cÊu víi Q[ n]. √ 17 PhÇn cuèi tiÕt nµy dµnh ®Ó ®Æc tr-ng c¸c sè ®¹i sè vµ sè nguyªn ®¹i sè trong c¸c tr-êng bËc hai. 2.1.5 §Þnh nghÜa. Cho K lµ mét tr-êng con cña tr-êng C. (i) Sè u ∈ K ®-îc gäi lµ sè ®¹i sè cña K nÕu tån t¹i ®a thøc kh¸c kh«ng f (x) ∈ Q[x] sao cho f (u) = 0. (ii) Sè u ∈ K ®-îc gäi lµ sè nguyªn ®¹i sè cña K nÕu tån t¹i ®a thøc f (x) ∈ Z[x] cã hÖ sè cao nhÊt b»ng 1 sao cho f (u) = 0. (iii) C¸c sè ®¹i sè (sè nguyªn ®¹i sè) lµ c¸c sè ®¹i sè cña C (c¸c sè nguyªn ®¹i sè cña C). 2.1.6 VÝ dô. (i) Sè i ∈ Q[i] lµ sè ®¹i sè cña Q[i] vµ còng lµ sè nguyªn ®¹i sè cña Q[i] v× i lµ nghiÖm cña ®a thøc f (x) = x2 + 1 ∈ Q[x]. √ √ √ (ii) Sè 2 lµ sè ®¹i sè cña Q[ 2] vµ còng lµ sè nguyªn ®¹i sè cña Q[ 2] √ v× 2 lµ nghiÖm cña g(x) = x2 − 2 ∈ Q[x]. √ √ √ √ √ (iii) XÐt sè thùc u = 5 + 4 5 ∈ R. Ta cã 4 5 = u − 5. Do ®ã 5 = √ √ u2 −2u 5+5. Suy ra 5(1+2u) = u2 +5. V× thÕ u4 −10u2 −20u+20 = 0. VËy u lµ nghiÖm cña f (x) = x4 − 10x2 − 20x + 20 ∈ Q[x]. Do ®ã u lµ sè ®¹i sè vµ còng lµ sè nguyªn ®¹i sè cña R. KÕt qu¶ sau ®©y ®Æc tr-ng sè ®¹i sè vµ sè nguyªn ®¹i sè trong Q. Tr-íc hÕt ta cÇn bæ ®Ò sau. 2.1.7 Bæ ®Ò. Gi¶i sö f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 lµ mét ®a thøc cã hÖ sè nguyªn bËc n ≥ 1 vµ ph©n sè tèi gi¶n p/q lµ nghiÖm h÷u tû cña f (x). Khi ®ã p lµ -íc cña a0 vµ q lµ -íc cña an . Chøng minh. V× p/q lµ nghiÖm cña f (x) nªn f (p/q) = anpn /q n + an−1 pn−1 /q n−1 + . . . + a1p/q + a0 = 0. 18 Do ®ã anpn + an−1 pn−1 q + . . . + a1 pq n−1 + a0 q n = 0. Suy ra an pn + an−1 pn−1 q + . . . + a1 pq n−1 = −a0 q n ;   n n−1 n−1 n an p = − an−1 p q + . . . + a1 pq + a0 q . Do vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc thø nhÊt lµ béi cña p nªn a0 q n lµ béi cña p. Do gcd(p, q) = 1 nªn p lµ -íc cña a0. T-¬ng tù ta suy ra q lµ -íc cña an . 2.1.8 MÖnh ®Ò. (i) Mçi sè h÷u tû lµ mét sè ®¹i sè cña Q. (ii) Mét sè h÷u tû lµ sè nguyªn ®¹i sè cña Q nÕu vµ chØ nÕu nã lµ sè nguyªn. Chøng minh. (i) Cho p/q lµ mét sè h÷u tû víi p, q ∈ Z. Khi ®ã p/q lµ nghiÖm cña ®a thøc f (x) = x − p/q ∈ Q[x]. Do ®ã p/q lµ sè ®¹i sè cña Q. (ii) Gi¶ sö ph©n sè tèi gi¶n p/q lµ sè nguyªn ®¹i sè. Khi ®ã cã ®a thøc f (x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ∈ Z[x] nhËn p/q lµm nghiÖm. Theo bæ ®Ò 2.1.7 ta cã q lµ -íc cña 1. Do ®ã p/q lµ sè nguyªn. Ng-îc l¹i mçi sè nguyªn p ®Òu lµ nghiÖm cña ®a thøc f (x) = x − p ∈ Z[x], ®a thøc nµy cã hÖ sè cao nhÊt b»ng 1. Do ®ã p lµ sè nguyªn ®¹i sè. MÖnh ®Ò tiÕp theo ®Æc tr-ng sè ®¹i sè vµ sè nguyªn ®¹i sè trong tr-êng bËc hai. 2.1.9 MÖnh ®Ò. Cho m lµ sè nguyªn, m 6= 0, m 6= 1 vµ m kh«ng cã -íc chÝnh ph-¬ng. Khi ®ã m 6≡ 0 (mod 4) vµ ta cã √ (i) Mäi phÇn tö cña tr-êng bËc hai Q[ m] ®Òu lµ sè ®¹i sè. √ (ii) NÕu m ≡ 2 (mod 4) hoÆc m ≡ 3 (mod 4) th× phÇn tö u ∈ Q[ m] lµ √ sè nguyªn ®¹i sè khi vµ chØ khi tån t¹i a, b ∈ Z sao cho u = a + b m. √ (iii) NÕu m ≡ 1 (mod 4) th× phÇn tö u ∈ Q[ m] lµ sè nguyªn √ ®¹i sè khi a+b m . vµ chØ khi tån t¹i a, b ∈ Z sao cho a ≡ b (mod 2) vµ u = 2 √ √ Chøng minh. (i) Cho α = a + b m ∈ Q[ m]. Khi ®ã α lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x2 − 2ax + a2 − b2 m ∈ Q[x]. Suy ra α lµ sè ®¹i sè.
- Xem thêm -