Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học số phức với phép dời hình trong mặt phẳng

Mục lục Trang bìa phụ ............................................................................................ 1 Bản cam đoan ............................................................................................ 2 Lời cảm ơn ................................................................................................ 3 Mở đầu ...................................................................................................... 4 Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình .............................. 5 1.1. Mặt phẳng phức ........................................................................... 5 1.2. Phép dời hình loại 1 ..................................................................... 7 1.3. Phép dời hình loại 2 ..................................................................... 18 1.4. Phép dời hình ............................................................................... 25 1.5. Một số bài toán hình học phẳng .................................................. 27 Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình ....................... 36 2.1. Bài toán chứng minh .................................................................... 36 2.2. Bài toán quỹ tích .......................................................................... 41 2.3. Bài toán dựng hình ....................................................................... 45 2.4. Một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế .... 48 Kết luận ..................................................................................................... 55 Tài liệu tham khảo ................................................................................... 56 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đoành. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Những số liệu trong các bảng biểu phục vụ cho việc phân tích, nhận xét, đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ trong phần tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 02 tháng 5 năm 2016 Tác giả Đậu Thị Diệu 2 Thang Long University Library Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long - Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành, Đại học Thăng Long. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thăng Long, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Thăng Long đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán K3 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. 3 Mở đầu Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải phương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật lý và các ngành kĩ thuật khác. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới hiểu được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và các tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học. Trên cơ sở khai thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trình dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng ... và các biểu thức dạng phức của các phép biến hình, dời hình. Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là nghiên cứu các phép dời hình tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng”. Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức. Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học phẳng nói riêng. Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học. Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình. Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này. 4 Thang Long University Library CHƯƠNG I. DÙNG SỐ PHỨC NGHIÊN CỨU PHÉP DỜI HÌNH 1.1. Mặt phẳng phức 1.1.1. Trong mặt phẳng E đã cho một hệ tọa độ Đề - các vuông góc xoy thì mỗi điểm M của E hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (x, y) của nó. Khi đó số phức z  x  yi được gọi là tọa vị của M, viết M (z) và E được gọi là mặt phẳng phức (ta đã đồng nhất mỗi điểm của E với một số phức). Khi M có tọa độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì vectơ OM cũng có tọa độ (x, y), nên đã nói M có tọa vị z thì cũng nói vectơ OM có tọa vị z và viết OM (z).   1 z w  zw được gọi là tích vô hướng 2 Cho OM (z), OP (w). Số thực của hai số phức z, w và kí hiệu là (z, w), nó chính là OM .OP . Số thực  z, w   i ( z w  zw) được gọi là tích lệch của hai số phức z, w. 2 Ta có: (z, w) = z w cos(   ) ,   arg z,  arg w  z,w   z w sin(   ) Từ đó nêu M, P khác gốc O thì: OM  OP  ( z, w) = 0 O, M , P thẳng hàng   z,w   0 1.1.2. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng phức được xác định bởi phương trình z   z   ,   1,     0 . Đường thẳng này có vecto chỉ phương u (u ) mà u    và đi qua điểm M0 (z0) z0   u vuông góc của gốc O lên đường thẳng. Phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng: 5 2 và M0 là hình chiếu  z   z    0,     0,   Cho đường thẳng d có phương trình: z   z   hoặc  z   z    0 và điểm M (z0). Khi đó M' (z'0) là điểm đối xứng với M qua d thì z0'   z0   nếu d có phương trình: z   z   còn  z0'   z0    0 nếu d có phương trình z   z   0 Điểm P(w) là hình chiếu vuông góc của M lên d lần lượt là: w= 1 (z   z   ) 2 w= 1 ( z   z   ) 2 1.1.3. Một đường tròn trong mặt phẳng phức hoàn toàn xác định bởi phương trình zz  (  z   z )  p  0,   , p  ,    p  0 . Đó là đường tròn có tâm tại I     và bán kính R     p 1.1.4. Phép biến trên hình f: E  E, z  f (z) mà f ( z )   z   z    ,  ,   C,    được gọi là phép biến đổi afin. Ta có mọi song ánh f: E  E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm là một biến đổi afin. Biến đổi afin f ( z )   z   z   bảo toàn hướng khi và chỉ khi    và đảo hướng khi và chỉ khi    . 6 Thang Long University Library 1.2. Phép dời hình loại 1 1.2.1. Phép tịnh tiến 1.2.1.1. Định nghĩa 1.2.1 Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến một điểm M thành điểm M’ sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v và y ký hiệu là Tv . v Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến. M' Ta có Tv (M) = M’ hay Tv : M  M’. M * Cho véc tơ v có tọa vị là  Giả sử Tv : M (z)  M’ (z’) O Hình 1.2.1  MM ' = v ta có OM ' = OM + MM ' = OM + v  z’ = z +  Vậy biểu thức tọa vị của phép tịnh tiến Tv là z’ = z +  (  là tọa vị của véc tơ tịnh tiến v ). 1.2.1.2. Tính chất a. Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. b. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó. c. Phép tịnh tiến: + Biến một đường thẳng thành một đường thẳng. + Biến một tia thành một tia. + Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó. + Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó. + Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó. + Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó. 7 x 1.2.1.3. Chứng minh một số tính chất Cho Tv là một phép tịnh tiến có biểu thức tọa vị là z’ = z +  (  là tọa vị của véc tơ tịnh tiến v ) * Tv biến một đường thẳng thành một đường thẳng. - Trường hợp đường thẳng  có phương trình là: z =  z +  (   1,  +   0) Tv có biểu thức tọa vị z’ = z +   z = z’ -  Khi đó ảnh của đường thẳng  qua Tv z’ -  =  ( z '  ) +   z’ -  =  z ' -   ' +   z’ =  z ' +  +  -   Đặt  =  ’,  +  -   =  ’. Khi đó ta có: z’ =  ' z ' +  ’ Vì  '    1,  ' ' +  ’=  (  +  -   ) +  +  -   =  +   -  +  +  -  =  + =0 Nên z’ =  ' z ' +  ’ là phương trình của một đường thẳng Vậy phép tịnh tiến Tv biến đường thẳng  thành đường thẳng  ' có phương trình là z’ =  ' z ' +  ’ (với  ’=  ,  ’=  +  -   ) và  ' song song  . - Khi đường thẳng  có phương trình là z =  z +  (trong đó    )  (tức  là đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v ) thì Với  ’=     ,  ’=  +  -   =  +  -      8 Thang Long University Library Khi đó  ' có phương trình là z’ =  ' z ' +  . Suy ra    ' . Vậy Tv biến đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v thành chính đường thẳng đó. * Tv biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó. Cho đường tròn (C1) có phương trình là z z’ +  1 z + 1 z + p1 = 0 ( p1  ) (C1) có tâm có tọa vị là z0 = - 1 , bán kính R1  1  1  p1 Ảnh của đường tròn (C1) qua Tv (z’ -  ) ( z '  ) +  1 ( z’ -  ) +  1 ( z '  ) + p1 = 0  z’ z ’ - z’  -  z ’ +   +  1 z’ -  1  + 1 z ’ - 1  + p1 = 0  z’ z ’ + z’ (  1 -  ) + z ’( 1 -  ) +   - 1  - 1  + p1=0 Đặt 1 -  =  2 ,   -  1  - 1  + p1 = p2 Khi đó ta có phương trình y z’ z ’ + z’  2 + z ’  2 + p2 = 0 v C1 O C2 p2 =   -  1  - 1  + p1  x Hình 1.2.1.3 ( vì   ,  1  , 1  , p1  ).  2  2 - p2 = ( 1 -  ) (  1 -  ) -   +  1  + 1  - p1 = 1  1 - p1 > 0 Nên z’ z ’ + z’  2 + z ’  2 + p2 = 0 là phương trình của một đường tròn. 9 Vậy phép tịnh tiến Tv biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2) có phương trình là z’ z ’ + z’  2 + z ’  2 + p2 = 0 (  2 = 1 -  , p2=   -  1  - 1  + p1) và đường tròn (C1) bằng đường tròn (C2) (vì R2 =  2  2  p2 = 1  1  p1 = R1). 1.2.1.4. Định lý: Tích của hai phép tịnh tiến là phép tịnh tiến    T v .T w  T v  w     Chứng minh: Giả sử T : z  z  1 , Tw : z  z  2 v Khi đó: Tv .T : z  ( z  2 )  1 w   Vậy T .T là phép tịnh tiến theo véc tơ có tọa vị  2  1 tức là véc tơ v  w v w 1.2.2. Phép quay 1.2.2.1. Định nghĩa 1.2.2 Trong mặt phẳng P đã được định hướng. Cho một điểm A cố định và một góc định hướng  sai khác 2k  . Một phép quay tâm A với góc quay  là một phép biến hình biến điểm A thành chính nó và biến điểm M thành điểm M’ sao cho AM = AM’ và ( AM , AM ')   Ta ký hiệu ( AM , AM ') là góc định hướng mà tia đầu là AM, tia cuối là AM’. Ký hiệu phép quay tâm A góc quay  là QA Ta có QA : M  M’ hay QA (M)=M’ Cho A là điểm có tọa vị là a, giả sử QA : M(z)  M’(z’)  AM  AM ' Khi đó ta có:  ( AM , AM ')   10 Thang Long University Library AM có tọa vị là z – a, AM ' có tọa vị là z’ – a. Giả sử z  a  z  a (cos  i sin ), z' - a= z ' a (cos ' i sin')  AM  AM ' +) Để thỏa mãn  ta phải có: ( AM , AM ')     z  a  z ' a   '     k2   '= +  k2 Ta có: z ' a  z  a (cos(    k2 )  isin( + +k2 )) = z  a (cos( + )+ isin(   )) = z  a (cos + isin ) (cos +isin )  z ' a  ( z  a)(cos + isin ) Đặt cos + isin   p  p là số phức có p  1 và argp= Khi đó z’ – a = p(z – a)  z’ = p(z – a) + a Vậy biểu thức tọa vị của phép quay QA (A có tọa vị là a) là z '  p( z  a)  a ( p  1 và argp =  ). Nếu A là gốc O thì biểu thức tọa vị của phép quay là z '  pz . Trường hợp phép quay tâm A có góc quay  =180o 0 Khi đó Q180 (A có tọa vị là a) có biểu thức tọa vị là A z '  (cos 1800  isin1800 )(z-a)+a = - (z - a)+a = - z + 2a 1.2.2.2. Tính chất a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ b) Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng c) Phép quay QA 11 + Biến đường thẳng  thành đường thẳng  ’ và (  ,  ’)=  + Biến một tia thành một tia + Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó + Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó + Biến một tam giác thành tam giác bằng nó + Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó d) Phép quay QA có tâm A là điểm kép duy nhất 1.2.2.3. Chứng minh một số tính chất Cho phép quay QA có biểu thức tọa vị là z' = p (z-a) + a (a là tọa vị của A, argp =  , p  1) * QA biến một đường thẳng thành một đường thẳng + Cho đường thẳng  có phương trình là z  az   (   1,     0) Do QA có biểu thức tọa vị là z '  p ( z  a )  a  z  z ' a a p Khi đó ảnh của đường thẳng  qua QA là đường  ’ có phương trình là  z ' a  z ' a  a    a  p p   y M'  z ' a  z ' a   a    a  p  p  N' N   z ' p  a p  ap p   pz '  pa   p pa   p p  pz '  p pa   p p   pa  a p  ap p  z'   p p  z'   pz ' p   pa   p  a  a  ap p p ' M  A O Hình 1.2.2.3a x 12 Thang Long University Library p Đặt p   ',  pa   p  p p a  a  ap   ' Khi đó ta có: z '   ' z '  ' '  p p   ' '  '   p p  1 (vì   1, p  p ). p   . pa   p  p   p  a  a. p    pa   p  a  a  ap p p   . pa  p(   )  0 (vì     0) Suy ra z '   ' z '  ' là phương trình của một đường thẳng. Vậy QA biến đường thẳng  thành đường thẳng  ’ có phương trình là z '   ' z '  ' (với  '  p p ,  '= p a   p   pa p  a  ap) . * QA biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó Cho đường tròn C1 có phương trình là zz  z 1  z1  p1  0 (p1  ) Khi đó ảnh của C1 qua QA là đường C1’ có phương trình là y C1 A O 13  C1' Hình 1.2.2.3b x  z'-a   z'-a   z'-a   z'-a  +a +a + +a β +    p  p  p  1  p +a  β1 + p1 =0         z'-a   z'-a   z'-a   z'-a    + a  + aa  + a p p p p         z'z' - z'a- az'+ aa+ +  z'-a   z'-a  + β1 + aβ1 +   β1 +aβ1 +p1 =0  p p     az' aa az' a a z'β aβ - + - + aa + 1 - 1 + aβ1 p p p p p p z'β1 aβ1 + aβ1 + p1 = 0 (vì pp=1) p p a β  a β   z ' z '  z'  + 1 -a  + z'  + 1 - a  + 2aa + aβ1 + aβ1 p p  p p  a β aa aa aβ1 Đặt + 1 - a = β1' , 2aa + aβ1 + aβ1 p p p p p aa aa aβ1 aβ1 + p1 =0 p p p p - aβ1 + p1 = p1' p Khi đó ta có: z'z'+z'β1'+z'β1'+p1' = 0 b 2  4ac p1 '  2aa  a 1  a1  (vì 2a a, a  1  a1 , aa aa a  1 a1     p1  p p p p aa aa a 1 a1  ,  , p1  ) p p p p  a β  a β  aa aa aβ aβ β1'β1 -p1'=  + 1 -a   + 1 -a  -2aa-aβ1 -aβ1 + + + 1 + 1 -p p p p p  p p  p p  = β1β1 -p1 >0 Từ đó suy ra z'z'+z'β1'+z'β1'+p1' = 0 là phương trình của một đường tròn. Vậy QA biến đường tròn C1 thành đường tròn C1’ có phương trình là: z ' z '  1 z ' 1 ' z ' p1 '  0 (với 1 '  a 1 aa aa a  1 a1   a , p1 '  2aa  a  1  a1      p1 ) p p p p p p 14 Thang Long University Library C1’ có tâm có tọa độ vị là z '0   1 '   a 1   a, có bán kính p p R1 '  1 '  1 ' p1 '  1  1 ' p1  R1  đường tròn C1 bằng đường tròn C1’ * Phép quay QA có A là điểm kép duy nhất Giả sử QA : A(a)  A’(a’)  a '  p(a  a)  a  p.0  a  a  A  A ' Vậy A là điểm kép duy nhất 1.2.2.4. Định lý 1: Tích của phép tịnh tiến và phép quay là 1 phép quay Cho Tv : z  z '  z   , v(  )  0 Và Q( J , ) : z  z '   Z  (1   ) z0 ,   1,  1 ,   ei .  Q( J , ) .Tv : z  z '   ( z   )  (1   ) z0 =  z    (1   ) z0 Vậy Q( J , ) .Tv là một phép quay với tâm quay J1 ( z1 ) Trong đó: z1  z0    và cùng góc quay  1  Tv .Q( J , ) : z  z '   z  (1   ) z0   là phép quay với cùng góc quay  và tâm quay J2 (z2) trong đó: z2  z0  1  , ta có: Q( J , ) .Tv  Tv .Q( J , ) 1 * Định lý 2: Tích của 2 phép quay khác tâm là phép quay hoặc tịnh tiến Cho Q( J , ) xác định bởi z ' z1  1 ( z  z1 ), J1 ( z1 );1  arg 1 , 1 1 1 1 Q( J , ) xác định bởi z ' z2   2 ( z  z2 ), J 2 ( z2 ),2  arg  2 ,  2 1 2 2 Khi đó Q( J , ).Q( J , ) xác định bởi: 2 2 1 1 z  z '   2 ( z1  1 ( z  z1 )  z2 )  z2 =  21 z   2 (1  1 ) z1  (1   2 ) z2 Vậy ta có: 15 Nếu 1 2  1 (khi và chỉ khi 1  2  2k ) thì tích đó là phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến có tọa vị (1   2 )( z2  z1 ) . Nếu  21  1 thì tích đó là phép quay với góc quay   1  2 và tâm quay J 0 ( z0 ) trong đó: z0   2 (1  1 ) z1  (1   2 ) z2 1   21 Từ đó suy ra: z0  z1 1   2  z2  z1 1   21 Hình 1.2.2.4 Và góc định hướng của các đường thẳng ( J1 J 2 , J1 J 0 ) có số đo  1 2  k , ( k ) Còn từ z0  z2  2 (1  1 )  z1  z2 1   21 Suy ra góc định hướng của các đường thẳng ( J1 J 2 , J1 J 0 ) có số đo 2 2  k , ( k ) 1.2.3. Phép dời hình loại 1. 1.2.3.1. Định nghĩa. - Biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi z z '  z   là phép tịnh tiến Tv theo vectơ v có tọa vị  . - Biến đổi xác định bởi z z '   z,   1,   1 là phép quay tâm O (gốc tọa độ) với góc quay có số đo   arg  mà ta ký hiệu là QO , . - Ta xét các phép biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi z z '   z  ,  1 + Khi   1, f là 1 phép tịnh tiến 16 Thang Long University Library + Khi   1, f có 1 điểm bất động J (tức điểm J mà f(J) = J) duy nhất có toạ vị z0 xác định bởi z0   z0   tức z0   và khi đó công thức 1 z '   z   có thể viết thành z ' z0   ( z  z0 ) tức là f là phép quay tâm J( z0 ), góc quay có số đo   arg  . z '   z   ,   1 xác định mọi phép tịnh tiến Do đó công thức z và mọi phép quay trong mặt phẳng. Những biến đổi afin z z '   z   ,   1 là các biến đổi bảo tồn hướng, bảo tồn khoảng cách. - Định nghĩa: Biến đổi z '   z   ,   1 được gọi là phép dời hình loại 1 của mặt phẳng. 1.2.3.2. Các tính chất của phép dời hình loại 1 Tập hợp các phép dời hình loại 1 của mặt phẳng làm thành 1 nhóm (đối với phép toán hợp thành các ánh xạ) gọi là nhóm dời hình loại 1. - Biến đổi đồng nhất của mặt phẳng, kí hiệu Id, xác định bởi z z'  z là một dời hình loại 1. - f là dời hình loại 1 thì f 1 (biến đổi ngược) cũng là dời hình loại 1, dễ dàng thấy Tv   T v ;(QJ , ) 1  QJ , . Nếu f, g là dời hình loại 1 thì tích g0f 1 là dời hình loại 1. Thật vậy: f xác định bởi z z '  1 z  1; 1  1 g xác định bởi z z ''  2 z ' 2 ; 2  1 thì g0f xác định bởi z z ''   2 (1 z  1 )   2 =  21 z  ( 2 1   2 ) mà rõ ràng 21  2 . 1  1 . 17 1.3. Phép dời hình loại 2. 1.3.1. Phép đối xứng trục 1.3.1.1. Định nghĩa 1.3.1 Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d làm đường trung trực được gọi là phép đối xứng trục d. d Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Ký hiệu phép đối xứng trục d là Đd. Ta có Đd(M) = M’ hay Đd: M  M’ Cho đường thẳng d có phương trình là: z M M' I Hình 1.3.1 u u z   ( _     0, u  0 ). u u _ (d là đường thẳng có véctơ chỉ phương là véc tơ u có tọa vị là u). Giả sử Đd: M(z)  M’(z’) Suy ra MM’  d và d đi qua trung điểm I của MM’, I có tọa vị là z1 = z  z' véc tơ MM ' có tọa vị là z’ – z. 2  z ' z , u  0  Để MM’  d và d đi qua I thì ta phải có:  z  z ' u  z  z '   2  u 2      ( z ' z )u  ( z ' z )u  0   ( z  z ')u  uz  uz ' 2 u  0 Cộng hai phương trình trên vế với vế ta được: 2z’ u - 2u z - 2  u =0  z'  u u z   (     0, u  0) u u 18 Thang Long University Library Nếu đặt u   (   1)  z '   z   u Khi đó Đd là phép đối xứng trục có biểu thức tọa vị là   z '   z     1,     0 . 1.3.1.2. Tính chất a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng. c) Phép đối xứng trục: + Biến một đường thẳng thành một đường thẳng + Biến một tia thành một tia + Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó. + Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó. + Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó. + Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó. d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp. 1.3.1.3. Chứng minh một số tính chất Cho phép đối xứng trục Đd có biểu thức tọa vị là z’ =  z      1,     0  (d là đường thẳng có phương tình là z =  z   ,   1,     0 ). * Phép Đd biến một đường thẳng thành một đường thẳng Cho đường thẳng  có phương trình là z  1 z  1    1,  1 1  1  0 Do Đd có biểu thức tọa vị là z '   z    z  Khi đó ảnh của đường thẳng  qua phép Đd là 19 z '    z '     z '   1     z '       1   y d 1 z ' 1  1    z '   1 z ' 1  1   1 z '   z ' 1    1 (vì   1)     z'  z '    1 1 1 1 Đặt ' O x Hình 1.3.1.3a      ',   1  ' 1 1 1 Khi đó ta có: z '   ' z '  ' '   ' '  '    1    1, 1 1  1.1        1       1   1  1    1 1 1   0     1   1  1   1 1 1  1  ( vì 1    1,11  1  0) . Nên z '   ' z '  ' là phương trình của một đường thẳng. Vậy Đd biến đường thẳng  thành đường thẳng  ’ có phương trình là      z '   ' z '  '   '  ;  '=  1 . 1 1 1   * Đd biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó Cho đường tròn  có phương trình là z z   z   z  p  0 (p  ).  là đường tròn có tâm có tọa vị zo = -  , có bán kính R=    p 20 Thang Long University Library