Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp quy nạp trong các bài toán tổ hợp (2)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN KHẮC KHANH PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN KHẮC KHANH- C00448 PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI Hà Nội - Năm 2016 Thang Long University Library i Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới dự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại học - Trường Đại học Thăng Long, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán khóa 3- Trường Đại học Thăng Long, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2016 Tác giả Nguyễn Khắc Khanh ii Mục lục Mở đầu 1 1 Số phức và phương trình đại số 3 1.1 Sự hình thành khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các tính chất số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 1.5 1.6 1.3.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng . . . . . . . . 8 1.3.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . . 9 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Ý nghĩa hình học của số phức và mô đun . . . . . . 16 1.4.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 17 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Tọa độ cực của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 Các phép toán số phức trong tọa độ cực . . . . . . 20 1.5.3 Ý nghĩa hình học của phép nhân 1.5.4 Căn bặc n của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . 20 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Số phức và đa thức 28 2.1 Định lý về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Phương trình bậc ba 2.4 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Một số bài toán về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Thang Long University Library iii 2.5.1 2.5.2 2.6 Số phức trong các bài toán về đa thức . . . . . . . 45 Số phức và đa thức trong bài toán đếm . . . . . . . 53 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Số phức đôi khi được gọi là "số ảo" nhưng trường số phức lại đóng vai trò quan trọng trong đời sống thực tế của chúng ta. Với vai trò như một công cụ đắc lực giúp giải quyết các bài toán đại số, hình học, tổ hợp, lượng giác hay trong các bài toán về điện xoay chiều, số phức tỏ ra rất hiệu quả khi đưa ra những lời giải ngắn gọn và đầy đủ mà chỉ qua những phép biến đổi cơ bản. Chính vì vậy số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình giải tích lớp 12. Hầu hết các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế những năm gần đây thường chú ý khai thác triệt để các ứng dụng của số phức bằng các dạng toán phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được các đặc trưng và tính chất để đưa ra lời giải và ứng dụng phù hợp. Tuy nhiên do tính mới mẻ và sự hạn chế của tài liệu mà đa số học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận dạng bài tập và sử dụng linh hoạt các ứng dụng này. Đề tài “ Phương pháp số phức trong đại số” là một trong những đề tài được nghiên cứu một số phương pháp vận dụng số phức giải điển hình cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, giáo viên trong quá trình giảng dạy. 2. Phương pháp nghiên cứu Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau: + Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập. + Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng. + Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn. + Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói Thang Long University Library 2 về kiến thức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài. 3. Mục đích của luận văn Đề tài “Phương pháp số phức trong đại số” được nghiên cứu với mục đích trình bày hệ thống các kiến thức tổng quan, giới thiệu về lịch sử phát triển số phức trong đại số; giới thiệu một số phương pháp sử dụng số phức trong việc giải phương trình đại số, nghiên cứu tính chất của các đa thức; cung cấp một hệ thống các dạng bài tập ứng dụng trong đại số, đa thức được giải bằng phương pháp số phức, đồng thời giới thiệu một số kĩ thuật tính toán liên quan nhằm làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh trung học phổ thông. 4. Nội dung của luận văn Luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Số phức và phương trình Đại số. 1.1. Lịch sử phát triển số phức. 1.2. Định nghĩa và tính chất số phức. 1.3. Tính chất của số phức. 1.4. Dạng đại số của số phức. 1.5. Dạng lượng giác của số phức. 1.5. Bài tập. Chương 2: Số phức và Đa thức. 2.1. Định lý về đa thức. 2.2. Phương trình bậc hai. 2.3.Phương trình bậc ba. 2.4. Phương trình bậc bốn. 2.5. Một số bài toán về đa thức. 2.6. Bài tập. 3 Chương 1 Số phức và phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi trình bày lịch sử phát triển số phức, cấu trúc đại số, dạng lượng giác của số phức, những kiến thức liên quan khác nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi. Các khái niệm và kết quả của chương này được trích dẫn từ [1], [2], [3], [4]. 1.1 Sự hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của √ √ toán học châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo −1, b −1, √ a + b −1 xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại, hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã đánh giá công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”. Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí √ hiệu −1, là lời giải hình thức của phương trình x2 + 1 = 0. Xét biểu √ thức b −1 là nghiệm hình thức của phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó √ biểu thức tổng quát hơn có dạng a + b −1, b 6= 0 có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (x − a)2 + b2 = 0. Thang Long University Library 4 √ Về sau biểu thức dạng a + b −1, b 6= 0 xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được K.Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là √ a + ib, trong đó kí hiệu i := −1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”. Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã √ diễn ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i := −1 là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i2 = −1. Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng √ hạn như nghịch lí sau đây: vì i := 1 −1 nên i2 = −1 , nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được q q √ √ √ 2 2 i = −1 −1 = (−1)(−1) = (−1) = 1 = 1 Như vậy −1 = 1. Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i2 = −1 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước. Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách “phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau: Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tùy ý của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các đoạn AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau: Đoạn 5 thẳng RS là i , đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí vừa nhắc lại ở trên ta có: i2 = (−1)(+1) = −1 Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II. Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương trình ( x + y = 10 xy = 50 √ Cardano đã tìm được nghiệm 5 ± −5 và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”. Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”. Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII, bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton(1642-1727) đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G. Leibniz(1646-1716) thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích của việc đưa số phức vào toán học chính là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”. Thuật ngữ "số phức" được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Thang Long University Library 6 Vào thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L. Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Pháp nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Na uy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ là R. Argand – người thu được kết quả như của C.Wessel một cách độc lập. Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự (a,b), a ∈ R, b ∈ R được xây dựng bởi nhà toán học Ireland là W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực. Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức ∈ C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) ∈ C của trường số thực ∈ R thu được bằng phép ghép đại số vào R nghiệm i của phương trình x2 + 1 = 0. Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường ∈ C trở thành trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực ∈ R (trường hữu tỉ ∈ Q) không có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực. Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagoras tới giờ, con đường phát triển 7 khái niệm về số có thể tóm tắt bởi N → Z → Q → R → C với các bao hàm thức: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Thông qua các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức. Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi khi đưa vào những số mới, các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tắc thực hiện các phép toán trên chúng. Đồng thời với điều đó các nhà Toán học luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của phép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp thứ tự tuyến tính của tập hợp số). Tuy nhiên sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng trường số phức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong trường số thực. Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”. Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu. 1.2 Định nghĩa số phức Giả sử ta đã biết định nghĩa và tính chất cơ bản của tập số thực R. Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R} Thang Long University Library 8 Hai phần tử (x1 , y1 ) và (x2 , y2 ) bằng nhau khi và chỉ khi ( x1 = x2 y 1 = y2 Các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 như sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 và z1 .z2 = (x1 , y1 ).(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 với mọi z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 và z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 . Phần tử z1 + z2 gọi là tổng của z1 , z2 , phần tử z1 .z2 ∈ R2 gọi là tích của z1 , z2 Nhận xét 1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 và z2 = (x2 , 0) ∈ R2 thì z1 z2 = (x1 x2 , 0). 2) Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 và z2 = (0, y2 ) ∈ R2 thì z1 z2 = (−y1 y2 , 0). Ví dụ 1) Nếu z1 = (−5, 6) và z2 = (1, −2) thì z1 +z2 = (−5, 6)+(1, −2)=(−4, 4). và z1 z2 =(−5, 6)(1, −2)=(−5 + 12, 10 + 6)=(7, 16).


2) Nếu z1 = − 12 , 1 và z2 = − 13 , 12 thì z1 + z2 = − 31 − 12 , 1 + 12 =
7 (− 56 , 32 ) và z1 z2 = − 16 − 12 , − 14 − 13 = (− 13 , − 12 ) Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp R2 cùng với phép cộng và phép nhân gọi là tập số phức, kí hiệu C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C2 được gọi là một số phức. Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ (0, 0) 1.3 Các tính chất số phức 1.3.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng Phép cộng các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây Tính giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1 , z2 ∈ C. 9 Tính kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C . Nếu z1 = (x1 , y1 ) ∈ C, z2 = (x2 , y2 ) ∈ C, z3 = (x3 , y3 ) ∈ C thì (z1 + z2 ) + z3 = [(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 + y3 ) = ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 ), và z1 + (z2 + z3 ) = (x1 , y1 ) + [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )). Các phép toán kết hợp như trong đại số. Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0, 0) ∈ C để z + 0 = 0 + z = z , với mọi z = (x, y) ∈ C. Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất số phức −z = (−x, −y) ∈ C sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0 và z1 − z2 = (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ C 1.3.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 , z2 ∈ C. Tính kết hợp:(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C . Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1=(1, 0) ∈ C thỏa mãn z1= 1z = z , với mọi z ∈ C. Số phức 1=(1, 0) gọi là phần tử đơn vị với mọi z ∈ C . Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z 6= 0 có duy nhất số 0 0 0 0 phức z −1 = (x , y ) ∈ C sao cho z.z −1 = z −1 .z = 1, số phức z −1 = (x , y ) gọi là phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C. Ví dụ
1 −2 1 −2 , 1) Nếu z = (1, 2) thì z −1 = ( 12 +2 2 , 12 +22 ) = 5 5 .
2 3+8 −4+6 , 9+16 ) = 11 , 2) Nếu z1 = (1, 2) và z2 = (3, 4) thì zz21 = ( 9+16 25 25 ∗ Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C được định nghĩa như sau: z 0 = 1, z 1 = z , z 2 = z.z và z n = z.z...z | {z } với số nguyên n > 0 và n lần n −1 −n z = (z ) với mọi số nguyên n < 0. y x ∗ −1 3) Nếu z = (1, 2) thì z −1 = z1 = ( x2 +y z = 1. 2 , − x2 +y 2 ) ∈ C bởi vì z Thang Long University Library 10 z1 z Khi có hai số phức z −1 = (x1 , y1 ) ∈ C và z = (x, y) ∈ C∗ thì tỷ số −x1 y+y1 x y x1 x+y1 y x = z1 z −1 = (x, y).( x2 +y ∈ C. 2 , − x2 +y 2 ) = x2 +y 2 , − x2 +y 2 Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m, n ta có các tính chất sau: 1) z m .z n = z m+n ; 2) zm m−n ; zn = z m n mn 3) (z ) = z ; n n n 4) (z  1 .z 2n) =nz1 .z2 ; 5) zz12 = zz1n ; 2 Khi z = 0 ta định nghĩa 0n = 0 với mọi số nguyên n > 0. Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C∗ . 1.4 Dạng đại số của số phức Định nghĩa 1.4.1. Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lý do để tìm dạng khác khi viết. Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 . Hàm số: f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0) . (y, 0) = (xy, 0) . Các phép toán đại số trên R × {0} đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có thể đồng nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh trên và ký hiệu (x, 0) = x. Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Từ đó ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.4.2. Mỗi số phức z = (x, y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z = x + yi với mọi x, y ∈ R. 11 Hệ quả : i2 = −1. Điều này được suy ra từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1. Biểu thức x + yi được gọi là biểu thức (dạng) đại số của số phức z = (x, y). Vì thế ta có thể viết   C = x + yi x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1 . Từ giờ ta ký hiệu z = (x, y) bởi z = x + yi. Số thực x=Re(z) được gọi là phần thực của số phức z = (z, y), y = Im(z) được gọi là phần ảo của z . Số phức có dạng yi, y ∈ R∗ gọi là thuần ảo, số phức i gọi là đơn vị ảo. Từ các hệ thức trên dễ dàng có các kết quả sau: a) z1 = z2 khi và chỉ khi Re (z1 ) = Re(z2 ) và Im(z1 )= Im(z2 ). b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z)= 0. c) z ∈ C\R khi và chỉ khi Im(z) 6= 0. Sử dụng dạng đại số, các phép toán về số phức được thực hiện như sau: Phép cộng z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần ảo: Re(z1 + z2 )= Re(z1 )+ Re(z2 ); Im(z1 + z2 )= Im(z1 )+ Im(z2 ). Phép trừ z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C. Ta có Re(z1 − z2 )= Re(z1 )- Re(z2 ); Im(z1 − z2 )= Im(z1 )- Im(z2 ). Phép nhân z1 .z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i ∈ C. Ta có Thang Long University Library 12 Re(z1 z2 )= Re(z1 )Re(z2 )-Im(z1 )In(z2 ); Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re (z2 )+ Im (z2 ) Re(z1 ). Mỗi số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau: 1)λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 ; 2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z ; 3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z , với mọi z, z1 , z2 ∈ C và λ, λ1 , λ2 ∈ R. Lũy thừa của số i Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đối với dạng đại số z = x + iy . Xét z = i, ta thu được. i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i; i4 = i3 .i = 1; i5 = i4 .i = i; i6 = i5 .i = −1; i7 = i6 .i = −i Ta có thể tổng quát các công thức trên đối với số mũ nguyên dương n i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i Vì thế in ∈ {−1, 1, −i, i} với mọi số nguyên n > 0. Nếu n là số nguyên âm ta có:
−n in = (i−1 )n = n1 = (−i)−n . Ví dụ 1) Ta có: i105 + i23 + i20 − i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 − i4.8+2 = i − i + 1 + 1 = 2. 2) Tính z 3 = 18 + 26i, với z = x + yi và x, y là số nguyên. Khi đó ta viết (x + yi)3 = (x + yi)2 (x + yi) = (x2 − y 2 + 2xyi)(x + yi)= (x3 − 3xy 2 ) + (3x2 y − y 3 )i = 18 + 26i. ( 3 x − 3xy 2 = 18 Ta có hệ phương trình sau: 3x2 y − y 3 = 26 Đặt y = tx, từ hệ trên ta có 18(3x2 y − y 3 ) = 26(x3 − 3xy 2 ), với x 6= 0 và y 6= 0, ta có 18(3t − t3 ) = 26(1 − 3t2 ) ⇔ 18(3t − t3 ) = 26(1 − 3t2 ) ⇔ (3t − 1)(3t2 − 12t − 13) = 0 √ 6±5 3 1 ⇔ t1 = 3 và t2,3 = 3 . 13 Do x, y là số nguyên, nên ta loại t2 , t3 Vậy với t1 = 13 , Ta có x = 3, y = 1 và z = 3 + i. Số phức liên hợp Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z . Mệnh đề 1.4.3. 1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R; 2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z ; 3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm; 4) z1 + z2 = z1 + z2 ( số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5) z1 .z2 = z1 .z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức z = 6 0 đẳng thức sau luôn đúng z −1 = (z)−1 ;   7) zz12 = zz12 , z2 = 6 0 ( liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp); 8) Từ mối liên hệ z + z = (x + yi) + (x − yi) = 2x và z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi. Công thức Re(z) = z+z 2 và Im(z) = với số phức z ∈ C .  n  n P P Từ 4 và 5 ta có: 4’) zk = zk ; k=1 k=1  n  n Q Q 5’) zk = zk với zk ∈ C, k = 1, 2, ..., n. 5”) k=1 (z n ) = z−z 2i , đúng k=1 n (z) với n là số nguyên và z ∈ C. Bài toán 1) Chứng minh rằng 2 2  2 2  |z1 + z2 | + |z1 − z2 | = 2 |z1 | + |z2 | , với z1 , z2 ∈ C. Giải: Áp dụng mệnh đề 4 vào, ta có |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z 2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z 2 )   2 2 2 2 2 2 = |z1 | + z1 z2 + z2 z1 + |z2 | + |z1 | − z1 z2 − z2 z1 + |z2 | = 2 |z1 | + |z2 | . Thang Long University Library 14 2) Chứng minh rằng, nếu A = |z1 | = |z2 | = 1 và z1 z2 6= −1 thì z1 +z2 1+z1 z2 là một số thực. Giải: Áp dụng mệnh đề 4, ta có: z1 z1 = |z1 |2 = 1 và z1 = z2 = A= 1 z2 . Do đó ta có thể biểu diễn 1 1 z1 + z2 z1 +z2 z1 +z2 = = 1+z =A 1+z1 .z2 1+ z1 . z1 1 z2 1 1 z1 tương tự, số phức thức liên hợp của A như sau 2 Vậy A là một số thực. 3) Chứng minh rằng với bất kỳ số phức z ,   |z + 1| > √1 ; z 2 + 1 > 1. 2 Giải:   Giả sử z 2 + 1 < √1 2 2   và z 2 + 1 < 1 là đúng. Đặt z = a + bi, với
2 a, b ∈ R suy ra z 2 = a − b2 + 2abi, ta có 1 + a2 − b2 + 4a2 b2 < 1 và (1 + a)2 + b2 < 12 , và do đó a2 + b 2
2
+ 2 a2 − b2 < 0
2 a2 + b2 + 4a + 1 < 0 và 1 (1 + a)2 + b2 < 2
2
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta được: a2 + b2 + 2a2 + 1 < 0, điều này vô lý. Vậy điều giả sử là sai, hay điều cần chứng minh là đúng. 4) Cho x, y, z ∈ C, với x 6= y 6= z ; y = tx + (1 − t)x, với t ∈ (0, 1) Chứng minh rằng: |z| − |y| |z| − |x| |z| − |x| > > |z − y| |z − x| |y − x| Giải: Từ giả thiết y = tx + (1 − t)x ⇔ z − y = t(z − x), ta có bất đẳng thức |z| − |y| |z| − |x| > |z − y| |z − x| suy ra |z| − |y| > t (|z| − |x|) ⇔ |y| 6 (1 − t) |z| + t |x| là bất đẳng thức tam giác, khi đó |y| = (1 − t) |z| + t |x| y = (1 − t)z + tx ⇔ y − x = (1 − t)(z − x). 15 Ghi chú a) Phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C∗ có thể được tính như sau y z x = z.z = xx−yi 2 +y 2 = x2 +y 2 − x2 +y 2 i. b) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức (x1 +y1 i)(x2 −y2 i) +y1 y2 −x1 y2 +x2 y1 như sau: zz12 = zz21.zz 22 = xx1 x2 22+y . 2 + x2 2 +y2 2 i = x2 2 +y2 2 2 Ví dụ 20 1) Tính z = 5+5i 3−4i + 4+3i Giải: Ta có (5 + 5i)(3 + 4i) 20(4 − 3i) −5 + 35i 80 − 60i z= + = + 9 − 16i2 16 − 9i2 25 25 . 75 − 25i = =3−i 25 2) Cho z1 , z2 ∈ C. Chứng minh rằng E = z1 .z2 + z1 .z2 là một số thực. Giải: Ta có E = z1 .z2 + z1 .z2 = z1 .z2 + z1 .z2 . vậy E ∈ R. Modun của số phức p Số |z| = x2 + y 2 được gọi là modun của số phức z = x + yi. 1 z Mệnh đề 1.4.4. 1) − |z| 6 Re(z) 6 |z| và − |z| 6 Im(z) 6 |z| ; 2) |z| > 0, ∀z ∈ C, ngoài |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0; 3) |z| = |−z| = |z|; 4) z.z = |z|2 ; 5) |z1 z2 | = |z1 | . |z2 | ( mô đun của một tích bằng tích các mô đun); 6) |z1 | − |z2 | 6 |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | ;   7)z−1  = |z|−1 , z 6= 0   1| 8) zz12  = |z |z2 | , z2 6= 0( mô đun của một thương bằng thương các mô đun) 9)|z1 | − |z2 | 6 |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |. Nhận xét: 1) Từ Bất đẳng thức |z1 − z2 | 6 |z1 | + |z2 | , dấu ” = ” xẩy ra khi và chỉ khi Re(z1 z2 ) = |z1 | |z2 |. Ta đặt z1 = tz2 , với t là số thực không âm. Bài tập: Thang Long University Library