Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với người thầy
của mình, TS Vũ Đình Phượng, người đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình
hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này đồng thời cũng
mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng
đào tạo sau Đại học trường Đại học Thăng Long cùng quý thầy cô tham gia
giảng dạy khóa học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luận
văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Thân Thị Nguyệt Ánh
1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Vũ Đình
Phượng, luận văn chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: “ Những
dạng toán phương trình, bất phương trình vô tỉ thường gặp trong trường
trung học phổ thông” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản
thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Thân Thị Nguyệt Ánh
2
Thang Long University Library
Mục lục
Trang
Mở đầu……………………………………………………………………
5
Chƣơng 1. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ……………………………………………….
1.1.
7
Phương pháp giải phương trình vô tỉ………………………………. 7
1.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương………………………………..
7
1.1.2. Phương trình vô tỉ thường gặp……………………………………..
8
1.1.3. Phương pháp biến đổi thành phương trình tích.……………………
10
1.1.4. Phương pháp nhân lượng liên hợp…………………………………. 12
1.1.5. Phương pháp đặt ẩn phụ…………………………...........................
20
1.1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số…………………………………. 38
1.1.7. Phương pháp đánh giá…………………............................................ 42
1.2.
Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ…………………………... 45
1.2.1. Phương pháp biến đổi tương đương.……………………………….. 45
1.2.2. Sử dụng phương pháp chia khoảng và tách căn……………………. 48
1.2.3. Giải bất phương trình bằng cách đưa về dạng tích hoặc thương…
50
1.2.4. Phương pháp nhân lượng liên hợp…………………………………. 52
1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ …………………………………………… 54
1.2.6. Phương pháp hàm số……………………………………………….
1.3.
56
Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ có
chứa tham số……………………………………………………….
58
1.3.1. Phương pháp biến đổi tương đương……………………………….
58
1.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ……………………………………………
60
1.3.3. Sử dụng định lí Lagrange…………………………………………..
61
1.3.4. Phương pháp điều kiện cần và đủ………………………………….
62
1.3.5. Phương pháp hàm số……………………………………………….
63
1.4.
Một số phương trình, bất phương trình vô tỉ giải bằng nhiều cách
khác nhau…………………………………………………………..
3
69
Chƣơng 2. MỘT SỐ SAI LẦM THƢỜNG GẶP CỦA HỌC SINH
KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ……… 75
2.1. Sai lầm trong biến đổi làm thừa nghiệm của phương trình, bất
phương trình………………………………………………………………
75
2.2. Sai lầm trong biến đổi làm thiếu nghiệm của phương trình, bất
phương trình………………………………………………………………. 80
2.3. Sai lầm trong biến đổi vừa làm thừa nghiệm vừa làm thiếu nghiệm
của phương trình………………………………………………………….
85
Chƣơng 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƢƠNG
TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ………………………………
87
3.1.
Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ phương trình đối xứng loại hai..
87
3.2.
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào phương
trình đã biết cách giải………………………………………………
3.3.
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào phương
trình tích……………………………………………………………
3.4.
97
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào nghiệm
chọn sẵn và phương pháp nhân lượng liên hợp…………………….
3.8.
95
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào phương
trình lượng giác…………………………………………………….
3.7.
92
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn
điệu của hàm số…………………………………………………….
3.6.
91
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ từ các hằng đẳng
thức…………………………………………………………………
3.5.
88
99
Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng
hàm ngược………………………………………………………….
101
Kết luận…………………………………………………………………... 103
Tài liệu tham khảo……………………………………………………….
104
4
Thang Long University Library
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình, bất phương trình vô tỉ là đề tài lí thú của Đại số, đã lôi
cuốn nhiều người say mê nghiên cứu và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay,
ý tưởng phong phú và tối ưu. Chính vì vậy mà các bài toán về phương trình,
bất phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi
và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.
Bên cạnh đó, học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán phương trình, bất
phương trình vô tỉ mà các cách giải chưa được hệ thống một cách đầy đủ
trong sách giáo khoa (phương pháp hàm số, phương pháp nhận xét – đánh giá,
phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác…), đồng thời các em
thường xuyên gặp phải một số sai lầm khi giải các bài toán dạng này. Việc chỉ
ra các sai lầm thường gặp của học sinh, phân loại và tổng hợp các dạng bài
tập nhằm phát triển năng lực cho mọi đối tượng học sinh, tìm ra các phương
pháp giải hay cũng như ý tưởng xây dựng các phương trình, bất phương trình
vô tỉ là mối quan tâm của không ít người. Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và
học tập tác giả đã lựa chọn đề tài: “ Những dạng toán phương trình, bất
phương trình vô tỉ thường gặp trong trường trung học phổ thông” làm đề tài
nghiên cứu cho luận văn.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu các phương pháp giải phương trình, bất phương
trình vô tỉ. Dựa vào cách giải, đưa ra một số hướng để xây dựng phương trình
bất phương trình vô tỉ. Đồng thời hạn chế các sai lầm thường gặp của học sinh
khi giải các dạng toán trên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình
trung học phổ thông.
5
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình, bất phương trình vô tỉ và các phương pháp giải. Từ đó có
thể đưa ra nhiều cách khác nhau để giải một phương trình hay bất phương
trình vô tỉ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp chủ yếu để thực hiện luận văn này là thu thập tài liệu, các
nguồn tài liệu này tôi thu thập được từ: các giáo trình, sách tham khảo, tạp chí
chuyên ngành, các website chuyên ngành. Sau khi thu thập tài liệu, tôi tiến
hành tổng hợp, phân tích tài liệu để phù hợp với mục đích nghiên cứu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba
chương:
Chương 1: Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ
Chương 2: Sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình, bất phương
trình vô tỉ.
Chương 3: Một số phương pháp xây dựng phương trình, bất phương trình vô
tỉ
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong suốt quá trình nghiên
cứu, nhưng do thời gian và trình độ hạn chế nên kết quả đạt được trong luận
văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả mong
nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của quý thầy cô, các anh chị đồng nghiệp
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà nội 2016
6
Thang Long University Library
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG
TRÌNH VÔ TỈ
1.1. Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ
1.1.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Nội dung chính của phương pháp này là thực hiện lũy thừa hai vế với
số mũ phù hợp
Ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:
B 0
AB
2n
A B
Dạng 1:
2n
Dạng 3:
2 n1
Dạng 2:
2n
A 0 v B 0
A 2n B
A B
B 0
A 0
A B A B2n1
Dạng 4: A 2 n B 0 B 0 v
Ví dụ 1.1. Giải phương trình 6 x 12 26 8x.
Phân tích: Biến đổi phương trình về dạng
(1)
A B , sau đó bình phương 2 vế
ta thu được một phương trình bậc hai.
Lời giải:
8 x 26 0
2
6 x 12 8 x 26
(1) 6 x 12 8 x 26
13
x
4
2
64 x 422 x 664 0
13
x 4
x 4.
83
x 4 ; x
32
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 4.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình x 2 3x 2 x 2 3 x 2 0.
Phân tích: Phương trình có dạng cơ bản A B 0.
Lời giải:
2
2 x 3x 2 0
(2) 2 x 3x 2 0 hoặc 2
x 3x 0
2
7
(2)
1
1
1
x ; 2;
x 2 ; x ; x 3.
x 2; x hoặc
2
2
2
x 3 ; x 0
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ; 2; 3.
1
2
1.1.2. Phƣơng trình vô tỉ thƣờng gặp
A B C 0.
Dạng 1:
(1)
Bước 1: Đặt điều kiện xác định
A C B.
Bước 2: Chuyển vế để hai vế đều không âm tức là:
(1.1)
Bước 3: Bình phương hai vế phương trình (1.1) ta có:
A C 2 AC B 2 AC B A C .
Dạng 2:
3
A 3 B 3 C.
(2)
Bước 1: Lập phương hai vế phương trình (2) thu được:
Bước 2: Thế
3
3
A3 B
3
3
3
C
A B 3 3 AB
3
A 3 B C.
(2.1)
A 3 B 3 C vào (2.1) ta thu được phương trình hệ quả
A B 3 3 ABC C.
(2.2)
Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm.
Dạng 3:
A B C D , với A C B D hoặc AC BD.
Bước 1: Đặt điều kiện xác định
Bước 2: Biến đổi phương trình
A C D B
A C
2
D B
2
(3.1)
Chú ý: Biến đổi từ các phương trình (2.1) sang (2.2) và từ (3) sang (3.1) là
các biến đổi hệ quả, do đó khi giải xong ta cần thay thế nghiệm trở lại phương
trình đề bài để kiểm tra nhằm tránh thu được nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1.3. Giải phương trình 3x 4 2x 1 x 3.
(3)
8
Thang Long University Library
Phân tích: Biến đổi phương trình về dạng
A B C , sau đó bình
phương 2 vế đưa về giải phương trình bậc hai.
1
2
Lời giải: Điều kiện xác định x .
(3) 3x 4 2 x 1 x 3
3x 4 2 x 1 x 3 2
3x 4
2
2x 1 x 3
2
x 3 2 x 1 2 x 3 2 x 1 0
1
x ; x 3.
2
1
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S .
2
x 3 3x 1 2 x 2 x 2.
Ví dụ 1.4. Giải phương trình
Phân tích: Phương trình có dạng
(4)
A B C D , với A C B D, cụ
thể: x 3 4 x 3x 1 2 x 2 5 x 3 nên ta biến đổi phương trình thành
A C D B , sau đó bình phương hai vế ta thu được phương trình hệ
quả. Do đó sau khi tìm được các nghiệm ta cần thay thế nghiệm vào phương
trình đề bài để nhận nghiệm thích hợp.
Lời giải: Điều kiện xác định x 0.
(4) x 3 2 x 2 x 2 3x 1
2 x x 3
x32 x
2
2 x 2 3x 1
2
2 x 2 3x 1 4 x x 3 2 x 2 3x 1
x 2 2 x 1 0 x 1.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S 1.
Ví dụ 1.5. Giải phương trình
3
x 1 3 3x 1 3 x 1 0.
Phân tích: Biến đổi phương trình đưa về dạng cơ bản
lập
phương
a b
3
hai
vế
và
thường
a3 b3 3ab a b , rồi thay thế
9
sử
3
dụng
3
(5)
A 3 B 3 C , sau đó
hằng
đẳng
thức
A 3 B 3 C vào phương trình
thu được sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng
3
f x g x f x g x .
3
Lời giải: Tập xác định D .
(5) 3 x 1 3 3x 1 3 x 1
4 x 2 3 3 x 1 3 3x 1
Thế
3
3
3
3
x 1 3 3x 1
3
x 1
x 1 3 3 x 1 x 1.
x 1 3 3x 1 3 x 1 vào (5.1), suy ra:
3
3
(5.1)
x 1 3 3x 1 3 x 1 x 1
3
2
x 1 3x 1 x 1 x 1 x 1 3x 1 x 1 x 1 0
x 1 4 x2 0 x 1; x 0.
Thử lại: Thay x 1 và x 0 vào phương trình (5) đều không thỏa mãn.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S .
1.1.3. Phƣơng pháp biến đổi thành phƣơng trình tích
Nội dung chính của phương pháp này là sử các phép biến đổi, kết hợp
với việc tách, ghép, nhóm để đưa phương trình đã cho về dạng tích các
phương trình đơn giản hơn và đã biết cách giải.
Ví dụ 1.6. Giải phương trình 3 3 2 x 1 5 3 x 1 3 2 x2 3x 1 15.
Phân tích: Sử dụng phân tích
3
2 x 2 3x 1
3
(6)
2 x 1 x 1 và ghép từng cặp
lại với nhau sẽ xuất hiện nhân tử chung và đưa được về phương trình tích số.
Lời giải: Tập xác định D .
(6) 3 3 2 x 1 5 3 x 1 3 2 x 1 x 1 15 0
3
3
3
2x 1 5 3 x 1
3
2x 1 5 0
3 2x 1 5
x 62
2x 1 5 3 3 x 1 0
x 26.
3 x 1 3
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S 26; 62.
10
Thang Long University Library
Ví dụ 1.7. Giải phương trình
x2 2x 2 x 1 2x x
2
3.
x
(7)
Phân tích: Sau khi đặt điều kiện xác định, ta bình phương hai vế và dễ dàng
khử được các căn thức.
Lời giải: Điều kiện xác định x 0.
(7)
x 2x 2 x 1
2
2
2
2x x 3
x
2
2
x 2 3x 2
x 6 x 4 4 x 2 x x 1 4 x x 3 4 x
x
x
2
2
2
x 2 6 x 4 4 x x 2 x 1 4 x 2 x
2
3 4 x x 1 x 2
x
2
1 5
3 x 3 5 x 2 x 2 0 3 x 2 x 2 x 1 0 x ; x
.
3
2
Kết luận: Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có tập nghiệm là
2 1 5
S ;
.
2
3
Ví dụ 1.8. Giải phương trình
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1.
Phân tích: Ta nhận thấy x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
x 3 4 x 1 x 1 4 x 1 4
(8)
x 1 1
2
và
2
x 1 2 , từ đó ta có cách giải sau.
Lời giải: Điều kiện xác định x 1.
(8)
+) Nếu
2
x 1 1
x 1 2
2
1
x 1 1
x 1 2 1
x 1 2 x 5 thì phương trình (*) có dạng:
x 1 1 x 1 2 1 x 1 2 x 5 (thỏa mãn).
+) Nếu
x 1 1 x 2 thì phương trình (*) có dạng:
1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 x 2 (thỏa mãn).
11
(*)
+) Nếu 1 x 1 2 2 x 5 thì phương trình (*) có dạng:
x 1 1 2 x 1 1 1 1 (luôn đúng).
Kết luận: Phương trình đã cho có tập nghiệm là S 2; 5.
1.1.4. Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp
Nhân lượng liên hợp là một hình thức trục căn thức bằng hằng đẳng thức để
sau khi nhân lượng liên hợp, ta biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số,
sau đây là các dạng cơ bản:
Biểu thức
3
3
3
3
Biểu thức liên hợp
Biến đổi
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
AB
AB
A B2
AB
AB
AB
AB
A3 B
A 3 B
AB
AB
3
3
3
3
AB
A2 3 AB 3 B 2
A2 3 AB 3 B2
A2 3 A B B 2
A2 3 A B B2
3
3
3
3
A B2
AB
A3 B
A3 B
AB
AB
A B
3
A2 3 AB 3 B 2
3
A 3 AB 3 B 2
A B
2
A B3
3
A2 3 A B B 2
A B3
3
A2 3 A B B 2
Chú ý: Các biến đổi sau khi nhân liên hợp với điều kiện mẫu số khác 0.
Trƣờng hợp 1: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn
lại
Ví dụ 1.9. Giải phương trình
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 9 x 3.
(9)
12
Thang Long University Library
Phân tích: Ta nhận thấy
2
4 x2 5x 1 2 x2 x 1
2
9 x 3 sẽ có nhân
tử chung với vế phải của phương trình, nên ta ghép hai căn thức lại với nhau
để nhân liên hợp, từ đó ta có cách giải sau.
1
4 x 2 5 x 1 0
x
Lời giải: Điều kiện xác định 2
4
x
x
1
0
x 1.
4x
(9)
2
5 x 1 4 x 2 x 1
4 x2 5x 1 2 x2 x 1
9x 3
4 x 5x 1 2 x x 1
2
2
9x 3
9 x 3 0
1
9 x 3
1 0
2
2
4 x 5x 1 2 x x 1
x
1
hoặc
3
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 1
Ta sẽ chứng tỏ phương trình
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 1 vô nghiệm.
Thật vậy, với điều kiện xác định của phương trình ta có
2
1 3
3
3
4 x 5x 1 0 và 2 x x 1 2 x 2
2 4
4
2
2
4 x 2 5 x 1 2 x 2 x 1 3 1.
Do đó phương trình
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 1 vô nghiệm.
1
3
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S .
Ví dụ 1.10. Giải phương trình
x 5 x 2 1 x 2 7 x 10 3.
(10)
Phân tích: mục đích của việc nhân lượng liên hợp là ta xác định lượng nhân
tử chung để đưa phương trình về dạng tích số. Nhưng trong một số trường
hợp, sau khi ta nhân lượng liên hợp ta thu được một biểu thức không chứa
biến x nhằm chuyển bài toán về dạng đơn giản hơn. Cụ thể đối với bài này, ta
13
thấy:
x5
2
x2
2
3 đã khử được biến x nên ta sẽ tiến hành nhân
liên hợp.
Lời giải: Điều kiện xác định x 2.
(10) 3 1 x 2 7 x 10 3
x 5 x 2 1
x5
x5 x2 0
x 2 1
x 2 1
x5 x2
x 2 1 0
x 5 1 0
x 2 1 x 1
x 5 1 x 4.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1.
Trƣờng hợp 2: Thêm, bớt hằng số để liên hợp
Bằng cách nhẩm nghiệm của phương trình, có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Casio, nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ và duy nhất thì ta tiến hành thêm
bớt hằng số để ghép với các căn thức, sau đó nhân liên hợp.
Ví dụ 1.11. Giải phương trình
x 3 5 x 2 x2 7 x 2 0.
(11)
Phân tích: Khi ghép hiệu của hai biểu thức trong căn với nhau ta thu được
biểu thức: 2 x 8 , không có nhân tử chung với biểu thức ngoài căn. Lúc này ta
sử dụng máy tính cầm tay Casio, loại fx – 570 VN plus hoặc các máy tính
khác có tính năng tương đương, để dự đoán nghiệm của phương trình bằng
cách nhập vào máy tính biểu thức:
X 3 5 X 2 X 2 7 X 2 và bấm
phím: Shift solve 4 (4 là số nguyên bất kỳ trong khoảng xác định ), thì cho ta
nghiệm X = 4. Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm hay không, ta sửa
lại cấu trúc:
X 3 5 X 2 X 2 7 X 2 : X 4 và tiếp tục bấm Shift
solve 4, khi này máy tính hiển thị kết quả là Can’t solve, chứng tỏ phương
14
Thang Long University Library
trình có nghiệm duy nhất x = 4. Lúc này ta ghép các căn thức của phương
trình
với
các
x3 m
hằng
số
để
liên
hợp,
tức
là
ta
ghép
5 x n 2 x 2 7 x 2 (m n) 0 , trong đó m, n là giá trị
của các căn thức tương ứng tại x = 4, nghĩa là:
m x 3 4 3 1; n 5 x 5 4 1.
Lời giải: Điều kiện xác định 3 x 5.
(11)
x 3 1
5 x 1 2x2 7 x 4 0
x4
4 x
x 4 2 x 1 0
x 3 1
5 x 1
1
1
x 4
2 x 1 0
5 x 1
x 3 1
x 4 hoặc
Xét f x
1
1
2 x 1 0.
x 3 1
5 x 1
(11.a)
1
1
1
1
2x 1
1
2x
x 3 1
5 x 1
5 x 1
x 3 1
x3
1
2 x 0, x 3;5.
x 3 1
5 x 1
Suy ra phương trình (11.a) vô nghiệm với mọi x 3;5.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 4.
Ví dụ 1.12. Giải phương trình
3
x 4 2 x 7 x2 8x 13 0.
(12)
Phân tích: Sử dụng máy tính Casio, nhận thấy phương trình có nghiệm duy
nhất x = -3, nên sẽ ghép thêm hằng số với căn thức để nhân liên hợp.
7
2
Lời giải: Điều kiện xác định x .
(12)
3
x 4 1
2 x 7 1 x 2 8 x 15 0
15
x 4 1
3
x4
x 3
2
3
3 x 4 1
2x 7 1
2x 7 1
x 3 x 5 0
2
x 5 0
2
2x 7 1
x 4 3 x 4 1
1
x 3 (thỏa mãn điều kiện).
do
3
x4
1
2
3 x 4 1
2
7
x 5 0, x .
2
2x 7 1
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 3.
Ví dụ 1.13. Giải phương trình 2 x3 3x2 17 x 26 2 x 1.
(13)
Phân tích: Để giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp,
thông thường ta biến đổi phương trình về dạng
ax
2
ax b A x 0 hoặc
bx c A x 0 trong đó A x 0 vô nghiệm với mọi x thuộc tập xác
định. Tuy nhiên trong nhiều bài toán để chứng minh phương trình A x 0
vô nghiệm chúng ta cần kết hợp với phương pháp đánh giá để giải quyết trọn
vẹn nó. Nguyên nhân là sau khi thực hiện phép biến đổi liên hợp, đại lượng
A x chứa các biểu thức có dấu ngược nhau. Từ đó ta nảy sinh ý tưởng truy
ngược dấu biểu thức trong A x để đưa về cùng một dấu làm cho đại lượng
A x này hiển nhiên dương (hoặc âm) với mọi x thuộc tập xác định. Ta sẽ
giải phương trình (13) để minh họa cho cách làm này.
Lời giải: Điều kiện xác định x 1.
(13) x 1
x 1
x 1 2 2 x 3 3 x 2 18 x 27 0
x 3
x 3 2 x 2 9 x 9 0
x 1 2
x 1
x 3
2 x2 9 x 9 0
x 1 2
16
Thang Long University Library
x 3 (do
x 1
2 x 2 9 x 9 0, x 1.
x 1 2
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 3.
Trƣờng hợp 3: Thêm, bớt một nhị thức bậc nhất để liên hợp
Đối với các phương trình có nhiều hơn một nghiệm, nghiệm là số vô tỉ hay
hữu tỉ, ta sẽ ghép thêm một nhị thức bậc nhất: ax b để nhân lượng liên hợp.
Việc tìm ra biểu bậc nhất được trình bày thông qua các ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.14. Giải phương trình 3x 1 5x 4 3x2 x 3 0.
(14)
Phân tích:
Sử dụng máy tính Casio, ta nhập vào
3 X 1 5 X 4 3 X 2 X 3 và bấm
Shift solve 0, thì máy tính cho ta được nghiệm X=0. Để kiểm tra phương trình
còn
nghiệm
hay
không,
ta
sửa
lại
cấu
trúc
3 X 1 5 X 4 3 X 2 X 3 : X và tiếp tục bấm Shift solve 0, máy tính
cho ta thêm một nghiệm nữa X = 1. Tiếp tục nhập vào máy tính
3 X 1 5 X 4 3 X 2 X 3 : X X 1 và bấm Shift solve 1, lúc này
máy tính hiển thị kết quả Can’t solve. Do đó phương trình sẽ có hai nghiệm
với nhân tử chung là x x 1 x 2 x , nên ta ghép vào các nhị thức bậc nhất
cho từng căn thức để nhân liên hợp. Cụ thể: 3 x 1 ax b ,
5 x 4 cx d , với a, b, c, d thỏa mãn hệ:
x 0 1 3x 1 ax b a.0 b
a 1
x 1 2 3x 1 ax b a.1 b b 1.
+) Khi
x 0 2 5 x 4 cx d c.0 d
c 1
d 2.
x 1 3 5 x 4 cx d c.1 d
+) Khi
1
3
Lời giải: Điều kiện xác định x .
17
1
3
Với x 3x 1 x 1 0; 5 x 4 x 2 0. Do đó:
(14) 3x 1 x 1 5 x 4 x 2 3x 2 3x 0
3x 1 x 1 5 x 4 x 2
3x 1 x 1
5x 4 x 2
2
2
3x 2 3x 0
x x2
x x2
3 x x2 0
3x 1 x 1
5x 4 x 2
1
1
x x2
3 0
5x 4 x 2
3x 1 x 1
x x 2 0 , ( do
1
1
1
3 0, x ).
3
3x 1 x 1
5x 4 x 2
x 0 hoặc x 1 (thỏa mãn điều kiện).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0; 1.
Ví dụ 1.15. Giải phương trình
x 3 x x2 x 2.
(15)
Phân tích:
X 3 X X 2 X 2 và bấm Shift
Sử dụng máy tính Casio, ta nhập vào
solve 2 , thì máy tính cho ta được nghiệm vô tỉ X = 2,6180…. Khi đó ta sử
dụng tính năng table của máy tính để tìm ra nhân tử chung là tam thức bậc
hai như sau: Gán biến X A (thao tác trên Casio: SHIFT/RCL/()/MODE/7), nhập vào hàm f X A2 AX , nhấn dấu “=”, bỏ qua hàm
g(X), máy tính hiển thị Start ?, ta nhập vào số -9, nhấn dấu “=”, máy tính
hiển thị End ?, ta nhập vào số 9, Step 1, nhấn dấu “=”, máy tính hiển thị một
bảng, ta nhìn vào cột X và F(X) và quan tâm đến dòng có giá trị nguyên. Với
bài này ta có X = 3, F(X) = -1, suy ra phương trình có nhân tử chung là
x 2 3 x 1 ( 3 của cột X là hệ số b, -1 của cột F(X) là hệ số c trong nhân tử
X 2 bX c ). Khi đó ta tìm các hệ số m,n,p,q thỏa mãn: x mx n ,
18
Thang Long University Library
3 x px q , để sau khi nhân lượng liên hợp ta được thừa số chung như
đã dự đoán ở trên. Sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio ta tìm m,
n, p, q như sau: Sau khi gán biến X A , ta bấm MODE SETUP/ 7/
A AX (nhập vào giá trị của hàm f(X)), nhấn dấu “=”, bỏ qua hàm g(X),
máy tính hiển thị Start ?, ta nhập vào số -9, nhấn dấu “=”, máy tính hiển thị
End ?, ta nhập vào số 9, Step 1, nhấn dấu “=”, máy tính hiển thị một bảng,
ta nhìn vào cột X và F(X) và quan tâm đến dòng có giá trị nguyên. Với bài
này ta có X = 1, F(X) = -1, suy ra m = 1, n = -1. Làm tương tự ta tìm được p
= 1, q = -2.
Lời giải: Điều kiện xác định 0 x 3.
Nhận xét: do vế trái của phương trình (15) luôn dương, nên phương trình có
x 3 x x2 x 2 0 x 2 hoặc x 1 , kết hợp với điều
nghiệm khi
kiện, suy ra 2 x 3. Với điều kiện kéo theo đó ta có
x x 1 0 ,
3 x x 2 0 do đó phương trình
(15) x x 1 3 x x 2 x 2 3x 1
x x 1
3 x x 2
x x 1
3 x x 2
2
2
x 2 3x 1
x 2 3x 1
x 2 3x 1
x 2 3x 1
x x 1
3 x x 2
1
1
x 2 3x 1
1 0
3 x x 2
x x 1
x 2 3x 1 0 (do
x
1
1
1 0, x 2;3 ).
x x 1
3 x x 2
3 5
3 5
(thỏa mãn), hoặc x
(loại).
2
2
19
3 5
.
2
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S
Ví dụ 1.16. Giải phương trình 3 12 x2 46 x 15 3 x3 5x 1 2 x 2.
(16)
Phân tích: sử dụng máy tính Casio ta tìm được nghiệm X = 2. Để kiểm tra
xem phương trình còn nghiệm hay không ta nhập vào máy tính biểu thức:
3
12 X 2 46 X 15 3 X 3 5 X 2 1 2 X 2 : X 2 và bấm Shift solve 2 , thì
máy tính cho ta được nghiệm vô tỉ X = 0,4142…. Khi đó ta sử dụng tính năng
table của máy tính để tìm ra nhân tử là x 2 2 x 1 .Hiển nhiên phương trình
x 2 x 2 2 x 1 . Tiếp tục sử dụng tính năng
đã cho có nhân tử dạng:
table của máy tính ta tìm được lượng liên hợp cho các căn thức.
Lời giải: Tập xác định x .
Đặt 3 12 x2 46 x 15 a;
3
x3 5x 1 b; 2 x 1 c
(16) 3 12 x 2 46 x 15 2 x 1
12 x
2
46 x 15 2 x 1
a 2 ac c 2
3
x
3
3
x3 5 x 1 1 0
5 x 1 1
b2 b 1
0
8 x 3 40 x 16 x 3 5 x 2
2
0
a 2 ac c 2
b b 1
8
1
x3 5 x 2 2
2
0
2
a ac c b b 1
x 3 5 x 2 0 (do
8
1
2
0, a, b, c ).
2
a ac c b b 1
2
x 2; x 1 2.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2; 1 2 .
1.1.5. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức có chứa căn thức
bằng một biểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình
20
Thang Long University Library
- Xem thêm -
.PDF 
104 
254 
93 
