Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Ngọc Thanh Trang MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Ngọc Thanh Trang MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 2 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn và giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này. 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ....................................................................................... 1 Lời cảm ơn ........................................................................................... 2 Mục lục ................................................................................................ 3 Mở đầu ................................................................................................. 6 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................8 1.1.Đa tạp khả vi .................................................................................. 8 1.1.1.Đa tạp khả vi ............................................................................ 8 1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều .......................................................... 8 1.1.1.2. Ánh xạ khả vi..................................................................... 9 1.1.2. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc ................................ 9 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc Tp M .................. 10 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc ............................................................... 11 1.1.2.3. Trường vectơ ..................................................................... 12 1.1.2.4. Trường mục tiêu ................................................................ 12 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ ............................................ 12 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc .................................................................. 13 1.1.3. Đa tạp con ............................................................................... 14 1.1.4. Trường tenxơ ........................................................................... 14 1.1.4.1. Tích tenxơ......................................................................... 14 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến ..................................... 15 1.1.4.3. Trường tenxơ .................................................................... 16 1.2. Lý thuyết liên thông ...................................................................... 18 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp ............................ 18 1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ ..................................... 20 1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong ....................................................... 20 4 1.2.4. Đường trắc địa ......................................................................... 21 1.3. Đa tạp Riemann ............................................................................. 23 1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann....................................................... 23 1.3.2. Liên thông Riemann ................................................................ 23 1.3.2.1. Định nghĩa liên thông Riemann ......................................... 23 1.3.2.2. Định lý ............................................................................... 23 1.3.3. Liên thông Levi – Cita ............................................................. 25 1.3.3.1. Định nghĩa ......................................................................... 25 1.3.3.2. Định lý ............................................................................... 25 1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann ................................................... 26 1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan .................................... 26 1.3.4.2. Độ cong thiết diện.............................................................. 27 1.3.4.3. Độ cong Ricci .................................................................... 27 1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann ................................ 28 1.3.6. Tính đầy của đa tạp Riemann ................................................... 28 1.3.6.1. Định lý ............................................................................... 28 1.3.6.2. Bổ đề ................................................................................. 29 Chương 2: ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN.....30 2.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. ...................................................................... 30 2.1.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. Công thức Gauss .......................................... 30 2.1.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 31 2.1.1.2. Mệnh đề ............................................................................. 34 2.1.2. Công thức Weingarten ............................................................. 37 2.1.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 38 2.1.2.2. Mệnh đề ............................................................................. 40 5 2.1.3. Một số ví dụ minh họa ............................................................. 41 2.2. Phương trình của Gauss và Codazzi .............................................. 44 2.2.1. Phương trình Gauss ................................................................. 44 2.2.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 45 2.2.1.2. Hệ quả ............................................................................... 46 2.2.1.2.1. Ví dụ ............................................................................ 46 2.2.1.2.2. Ví dụ ............................................................................ 47 2.2.2. Phương trình của Codazzi ........................................................ 48 2.2.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 49 2.2.2.2. Hệ quả ............................................................................... 49 2.2.2.3. Mệnh đề ............................................................................. 51 2.2.2.4. Mệnh đề ............................................................................. 52 2.2.2.5. Định lý ............................................................................... 53 2.2.2.6. Bổ đề ................................................................................. 53 2.3. Các siêu mặt trong một không gian Euclide................................... 55 2.3.1. Tính chất cơ bản ...................................................................... 55 2.3.2. Định nghĩa ............................................................................... 58 2.3.3. Biểu thức Tenxơ Ricci của siêu mặt ........................................ 62 2.3.4. Tính chất của đa tạp Anhstanh ................................................. 62 2.3.4.1. Định lý .............................................................................. 62 2.4. Định lý cơ bản cho các siêu mặt .................................................... 68 2.4.1. Định lý..................................................................................... 68 2.4.2. Bổ đề ....................................................................................... 69 2.4.3. Bổ đề ...................................................................................... 70 2.4.4. Bổ đề ....................................................................................... 72 Kết luận................................................................................................ 75 Tài liệu tham khảo ................................................................................ 77 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học Riemann là nột trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân. Ra đời từ thế kỷ XVIII nhưng do những ứng dụng sâu sắc của nó trong thực tế, hình học Riemann vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866), một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả nghiên cứu về hình học vi phân từ không gian ba chiều thông thường ( cụ thể là lý thuyết về các mặt trong không gian Euclide ba chiều) sang các không gian nhiều chiều. Những công trình của ông được nhiều nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ và sau này nghiên cứu và phát triển trở thành một lý thuyết quan trọng của hình học vi phân mang tên ông gọi là hình học Riemann. Hình học Riemann có những đóng góp to lớn chẳng những trong sự phát triển của toán học mà cả trong đời sống thực tế. Lý thuyết tương đối của nhà bác học Einstein đã dựa trên cơ sở toán học là hình học Riemann. Từ việc nghiên cứu hình học Riemann bằng những công cụ toán học hiện đại, nhiều môn hình học khác như hình học Finsler, hình học phức, hình học Symplectic,… đã ra đời và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Khi chọn đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann”, chúng tôi muốn tìm hiểu một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn mở rộng các kết quả đã biết của lý thuyết mặt trong không gian Euclide ba chiều đã học ở đại học. Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và 7 mệnh đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann, cụ thể là nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đa tạp con của một đa tạp Riemann. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tôpô vi phân và hình học vi phân, gồm các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở, làm nền tảng xây dựng chương 2. Chương 2: nghiên cứu về đa tạp con của đa tạp Riemann, bao gồm các vấn đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai, các phương trình của Gauss và Codazzi, các siêu mặt trong không gian Euclide và định lý cơ bản cho các siêu mặt. 8 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp khả vi 1.1.1.Đa tạp khả vi 1.1.1.1. Đa tạp khả vi n chiều Cho M là một không gian tôpô Hausdoff có cơ sở đếm được . M được gọi là đa tạp tôpô n - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Euclide
n , tức là : • ∀ x ∈ M , ∃ lân cận U của x và một đồng phôi • ϕ :U → V mở ⊂
n Giả sử M là đa tạp tôpô n - chiều , cặp ( U , ϕ ) xác định trên được gọi là một bản đồ trên M . Một atlas (tập bản đồ) khả vi lớp C k ( k ≥ 1 ) là một họ C = {(U i , ϕi ) : i ∈ I } các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện a) Họ {U i } là một phủ mở của M. b) Với hai bản đồ (U i , ϕi ) và (U j , ϕ j ) , U i ∩ U j ≠ ∅ , ánh xạ ϕ j  ϕi −1 xác định trên ϕi (U i ∩ U j ) là ánh xạ khả vi lớp C k từ ϕi (U i ∩ U j ) lên ϕ j (U i ∩ U j ) . Hai tập bản đồ C1 = {(U i , ϕi ) : i ∈ I } và C2 = {(V j , ψ j ) : j ∈ J } khả vi lớp C k được gọi là tương thích với nhau , nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp C k . Quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M. Đa tạp tôpô n - chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó 9 được gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp C k .Nếu k = ∞ , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn. 1.1.1.2.Ánh xạ khả vi Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m , n tương ứng . Ánh xạ liên tục f : M → N được gọi là khả vi tại p ∈ M nếu với mọi bản đồ (U , ϕ) quanh p và (V , ψ ) quanh f(p) = q sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ ψ  f  ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ (V ) là khả vi tại điểm ϕ( p) ∈
m Ánh xạ f là khả vi , nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M . Cho ánh xạ khả vi f : M → N , p ∈ M , (V , ψ) là bản đồ địa phương quanh ϕ( p) , các tọa độ được cho bởi n hàm y j trên V . Giả sử (U , ϕ) là bản đồ quanh p ∈ M , các tọa độ cho bởi ϕ(.) = ( x1 ,..., x m ) với f (U ) ⊂ V Ánh xạ ψ  f  ϕ−1 được cho bởi biểu thức y j = h j ( x1 , x 2 ,..., x m ), j = 1, 2,..., n ( h j là những hàm khả vi).  ∂h j  Hạng của ma trận  i  (m × n) tại ϕ( p) = ( x1 ( p ),..., x m ( p)) không  ∂x  phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương , được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p. Khi đó f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều bằng m = dim M . Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng phôi từ M lên f(M). 1.1.2.Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc 10 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc Tp M Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k . Một đường cong khả vi lớp C r trên M là một ánh xạ c: J → M ( 0 ∈ J mở ⊂
) khả vi lớp C k . Ánh xạ f: M →
lớp C r được gọi là một hàm khả vi lớp C r trên M . Kí hiệu F r(M) là tập hợp hàm khả vi ( lớp C r ) trên M , F r(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp C r trong lân cận của p , C1p (M) là tập các đường cong c khả vi lớp C1 trên M sao cho c(0) = p. Ta xét một quan hệ “ ∼ ” trên C1p (M) như sau: c1 : J → M , c2 : J → M sao cho c1 (0) = c2 (0) = p Ta nói c1 ∼ c2 ⇔ có bản đồ (U ,x) quanh x sao cho d i d i x  c1 = x  c2 với I = 1,2,…,m. t =0 t =0 dt dt ( ) ( ) Khi đó quan hệ “ ∼ ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp các đường cong khả vi lớp C1 qua p ∈ M . Mỗi lớp tương đương đối với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M . Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là Tp M . Ta mô tả cấu trúc của Tp M . Tập F k(p) với các phép toán cộng và nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
– đại số. Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v: F k(p) →
thỏa mãn hai điều kiện • v là ánh xạ tuyến tính giữa các
– không gian vectơ. • v(f.g) = v(f) . g(p) + f(p) . v(g) , ∀ f ,g ∈ F k(p). Giả sử [c] ∈ Tp M , ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau : 11 Với f ∈ F k(p) , đặt [c](f) = d f  c(t ) 0 (1) dt Khi đó quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của [c] , nó thỏa mãn hai tính chất trên . Bằng đồng nhất này , ta có một đơn ánh từ Tp M vào không gian các đạo hàm tại p . Xét bản đồ địa phương (U , x) quanh p sao cho x = ( x1,..., x m ) . Với mỗi j , xét đường cong c j (t ) = x −1 ( x( p) + te j ) , {0, e1,..., em } là mục tiêu trong
m , thì c j là  ∂  đường cong trên M qua p , nó xác định vectơ tiếp xúc , kí hiệu  j  . Ta  ∂x  p  ∂  có  j  ( f ) = D j ( f  x −1 ) , với D j là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j . x( p)  ∂x  p  ∂   ∂f  Ta viết  j  ( f ) =  j  .  ∂x  p  ∂x  p Khi đó Tp M chính là không gian con m chiều của không gian vectơ  ∂   các đạo hàm tại p , và hệ  j  , j = 1,..., m  là cơ sở của không gian  ∂x  p  vectơ tiếp xúc Tp M của đa tạp M tại p. 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp C k . Xét TM = ∪ Tp M . Đối p∈M với mỗi bản đồ (U, x) trên M , đặt TU = ∪ Tp M . Xét ánh xạ p∈U x : TU → x (U ) ×
m được xác định x (v ) = ( x( p ), v( x1 ),..., v ( x m )) m ∂   ( v ∈ Tp M , v = ∑  v( x j ) j  , x là một song ánh) ∂x  p j =1  12 Ta gọi (TU , x ) là bản đồ trên TM , kết hợp với (U , x) . Ta có thể trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU , x ) trên TM có x là đồng phôi . Cụ thể , xét U = {(Vi , xi ), i ∈ I } là một tập bản đồ trên M , xi : U i → Vi ⊆
m . Khi đó A mở trong TM khi và chỉ khi A ∩ (TU i ) là tạo ảnh của tập mở trong Vi ×
m qua x i , ∀i ∈ I . { } Khi đó , tập các bản đồ TU i , x tạo thành một atlas khả vi lớp C k −1 , cho cấu trúc khả vi lớp C k −1 trên TM. TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều , được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M. Ánh xạ π :TM → M với π(v) = p ( v ∈ Tp M ) là khả vi và có hạng cực đại. 1.1.2.3. Trường vectơ Cho M là đa tạp khả vi m chiều , TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M , U mở ⊂ M . Trường vectơ khả vi trên M là ánh xạ khả vi X: M → TM sao cho π. X ( p ) = p ( p ∈ M ) .Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M. Tập các trường vectơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M). Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường vectơ tiếp xúc độc lập tuyến tính trên M , nghĩa là có m trường vectơ khả vi X 1 ,..., X m sao cho với mỗi p ∈ M, X 1 ( p ),..., X m ( p) tạo thành cơ sở của Tp M . 1.1.2.4. Trường mục tiêu Trường mục tiêu trên U mở ⊂ M là hệ gồm n trường vectơ { X1,..., X n } trên U sao cho với mỗi p ∈U thì hệ { X 1 p ,..., X np } là một cơ s ở c ủa T p ( M ) . 13 Nếu với ∀p ∈U , X ip . X jp = δij thì { X i } được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn. 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ Với mỗi trường vectơ khả vi X ∈V ( M ) , hàm khả vi f ∈ F r(M), ta xác định hàm Xf∈ F r–1(M), với : p ∈ M ,( Xf )( p) = X p ( f ) = d ( f  c(t )) t =0 . dt với X , Y là hai trường vectơ khả vi trên M , tích Lie của X và Y , kí hiệu [X , Y] được xác định như sau [ X ,Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) , f ∈ F r(M) 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và f : M → N là ánh xạ khả vi. Với mỗi p ∈ M , xét Tp f : Tp M → T f ( p ) N xác định như sau: Với v ∈ Tp M , v = [c], c : J → M mà c(0) = p , đặt: T p f (v ) = [ f  c ] ∈ T f ( p ) N Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v. Ta xét biểu diễn địa phương của Tp f . Giả sử (U , x) là bản đồ địa phương quanh p, (V , y ) là bản đồ địa phương quanh f ( p ) , sao cho ∂ f (U ) ⊂ V . Khi đó , nếu v = ∑ v( x ) i ∂x i =1 n m j thì (Tp f )(v) = ∑ v( y  f ) i p j =1 ∂ ∂y j f ( p) Do đó Tp f là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy ta xác định được ánh xạ Tf : TM → TN , với v ∈ Tp M ⇒ (Tf )(v) = (Tp f )(v) . Ta có biểu đồ sau giao hoán: 14 TM π Tf  → TN ↓π ↓ M  → f N Ta thường kí hiệu Tp f là f* p và Tf là f* và gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f . 1.1.3. Đa tạp con Một ánh xạ f : M → M ' được gọi là một phép dìm nếu ( f* ) p là đơn cấu với mọi p ∈ M. Nếu f : M → M ' là một dìm, đồng phôi lên ảnh thì f được gọi là một phép nhúng. Khi đó M ( hay f ( M ) ) gọi là đa tạp con của đa t ạp M ' . Một phân bố S có số chiều r trên một đa tạp M là một phép gán mỗi điểm p ∈ M với một không gian con r – chiều S p của Tp ( M ) . Nó được gọi là khả vi nếu mọi điểm p có một lân cận U và r trường vectơ khả vi trên U, chẳng hạn , X 1 ,..., X r , tạo thành một cơ sở của Sq tại mọi q∈ U. Tập hợp X 1 ,..., X r được gọi là cơ sở địa phương của phân bố S trong U.Một trường vectơ X được gọi là phụ thuộc vào S nếu X p ∈ S p với mọi p ∈ M. S được gọi là đối hợp nếu [X, Y] phụ thuộc vào S với bất kì hai trường vectơ X và Y phụ thuộc vào S. Bằng một phân bố ta sẽ luôn xác định được một phân bố khả vi. Một đa tạp con liên thông N của M được gọi là một đa tạp tích phân của phân bố S nếu f* (Tp ( N )) = S p với mọi p ∈ N, với f là phép nhúng N vào M. Nếu không có một đa tạp tích phân nào khác của S chứa N , N được gọi là đa tạp tích phân cực đại của S. 1.1.4. Trường tenxơ 1.1.4.1. Tích tenxơ 15 Xét K là trường số thực
hay trường số phức  Tích tenxơ U ⊗ V của hai không gian vectơ hữu hạn chiều U và V trên K được xác định như sau: Kí hiệu M(U,V) là không gian vectơ trên trường K có cơ sở là tập U × V , tức M(U,V) gồm những tổng hình thức hữu hạn dạng ∑ ki (ui , vi ), ki ∈
,(ui , vi ) ∈U × V Giả sử N là không gian con của M(U,V) , sinh bởi các phần tử dạng • (u + u’,v) – (u,v) – (u’,v) ; (u, v + v’) – (u,v) –(u, v’) • (ku , v) – k(u,v) ; (u , kv) – k(u,v) ; (u ,v) ∈ U × V , k ∈
Đặt U ⊗ V = M (U ,V ) / N . Xét ánh xạ chiếu π : M (U ,V ) → U ⊗ V . Với (u ,v) ∈ U × V , kí hiệu π(u, v) = u ⊗ v . Khi đó U ⊗ V là một không gian vectơ , được gọi là tích tenxơ của hai không gian vectơ U và V. 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến Giả sử V là không gian vectơ trên trường K Đặt T r (V ) = V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V ( r tích tenxơ) , T r (V ) được gọi là không gian các tenxơ r lần phản biến, mỗi phần tử của T r (V ) là một tenxơ phản biến bậc r. T 0 = K Đặt Ts (V ) = V * ⊗V * ⊗... ⊗ V * ( s lần tích tenxơ) , V * là không gian vectơ đối ngẫu của V . Ts (V ) được gọi là không gian các tenxơ hiệp biến bậc s , mỗi phần tử của Ts (V ) là một tenxơ hiệp biến bậc s. T0 = K . T1 = V * . 16 Kí hiệu T r (V ) = T r , Ts (V ) = Ts . Giả sử e1 ,..., en là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu e1,..., e n trong V*. Khi đó {ei1 ⊗ ... ⊗ eir ,1 ≤ i1 ,..., ir ≤ n} là cơ sở trong T r . Tensơ F∈ T r , khi đó F = ∑ i1 ,...,ir k i1...ir ei1 ⊗ ... ⊗ eir ( với k i1...ir là các thành phần của tenxơ F). Tương tự , mỗi tenxơ thuận biến bậc s , L ∈ Ts , được biểu diễn L= ∑ j1 ,..., js l j1 ... js e j1 ⊗ ... ⊗ e js ( với l j1 ,..., js là các thành phần của tenxơ L) Không gian tenxơ kiểu (r ,s) ( r lần phản biến , s lần hiệp biến) là tích tenxơ Tsr = V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V * ⊗...V * = T r ⊗ Ts 1 ...ir Tenxơ T ∈ Tsr được biểu diễn T = ∑ T ji1... ei1 ⊗ ... ⊗eir ⊗ e− j1 ⊗ ... ⊗ e− js j s 1...ir với T ji1... là các thành phần của tenxơ T đối với các cơ sở đã cho. j s 1.1.4.3. Trường tenxơ Giả sử M là đa tạp khả vi , Tx ( M ) là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại điểm x , T( x ) = ∞ ∑ Tsr ( x) r , s =0 . Tsr ( x) là không gian các tenxơ kiểu (r, s) trên Tx ( M ) Trường tenxơ K kiểu (r,s) trên tập con N của M là tương ứng mỗi điểm x ∈ N với K ( x) ∈ Tsr ( x ) . Trong lân cận tọa độ địa phương (U , ϕ) với hệ tọa độ địa phương x1 ,..., x n , lấy X i = ∂ (i = 1,2,..., n) là cơ sở của Tx ( M ) , x ∈U , đặt ωi = dxi i ∂x là cơ sở đối ngẫu trong Tx* ( M ) . Trường tenxơ K kiểu (r, s) xác định trên U được cho bởi 17 K ( x) = ∑ K ij11......irjs X i1 ⊗ ... ⊗ X ir ⊗ ω j1 ⊗ ... ⊗ ω js Trong đó K ij11......irjs là những hàm trên U , gọi là các thành phần của K đối với hệ tọa độ địa phương x1 ,..., x n . Ví dụ: Cho M là đa tạp khả vi, một metric Riemann trên M là một trường tenxơ kiểu (0, 2) trên M sao cho với mọi X ,Y ∈ V(M), ta có g(X,Y) = g(Y ,X) g(X, X) ≥ 0 , g(X ,X) = 0 khi và chỉ khi X = 0. Nói cách khác, g là một metric Riemann trên M nếu trên mỗi không gian tiếp xúc Tx ( M ), x ∈ M, g xác định một tích vô hướng . Trong lân cận U với tọa độ địa phương x1 ,..., x n , đặt  ∂ ∂ gij = g  i , j  ∂x ∂x n  , ta có g = ∑ gij .dxi ⊗dx j .   i , j =1 18 1.2.. Lý thuyết liên thông Ta xét M là một đa tạp khả vi lớp C ∞ , X(M) là đại số Lie các trường vectơ nhẵn trên M , F(M) là vành các hàm khả vi lớp C ∞ trên M 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp Ánh xạ ∇ : X(M) × X(M) → X(M) (X,Y)  ∇XY thỏa mãn các tính chất với ∀X , Y ∈ X (M), ∀f ∈F(M) 1. ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z 2. ∇ X +Y ( Z ) = ∇ X Z + ∇Y Z 3. ∇ fX Y = f .∇ X Y 4. ∇ X ( fY ) = ( Xf ).Y + f .∇ X Y được gọi là một liên thông tuyến tính trên M. ∇ X Y được gọi là đạo hàm thuận biến (hiệp biến ) của trường vectơ Y dọc trường vectơ X. Toán tử ∇ X : Y  ∇ X Y được gọi là đạo hàm thuận biến dọc trường vectơ X. Với mỗi v∈ Ta M , gọi X là trường vectơ thuộc X(M) sao cho X(a) = v , đặt ∇ vY = (∇ X Y )(a) . ∇ vY không phụ thuộc vào việc chọn X. Khi đó ∇ vY được gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y theo vectơ tiếp xúc v. 1.2.1.1. Ví dụ  ∂  Giả sử M =
n . Gọi  i , i = 1,..., m  là trường mục tiêu chính tắc trên  ∂x 
m . 19 m Nếu X = ∑ ϕi i =1 ∇XY = m ∑ ϕi i , j =1 m ∂ ∂ , Y = ψ j j với ϕi , ψ j ∈ F(
m ), ta đặt: ∑ i ∂x ∂x j =1 ∂ψ j ∂ ∂xi ∂x j Khi đó ∇ thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3),(4) trong định nghĩa. Ta kiểm tra lại, chẳng hạn tính chất 4 Với f ∈ F(
n ), ta có: ∂( f ψ j ) ∂ ∂x i ∂x j ∂ψ j ∂ i ∂f j ∂ i = ∑ ϕ i .ψ + ∑ϕ . f . i ∂x ∂x j ∂x ∂x j ∇ X ( fY ) = ∑ ϕi j ∂  i ∂f  j ∂  i ∂ψ =  ∑ ϕ i  ∑ ψ + f ϕ ∑  ∂x  ∂x j  ∂xi ∂x j  = X [ f ].Y + f ∇ X Y Đặc biệt ∇ ∂ ∂xi ∂ = 0, ∀i, j = 1,..., m ∂x j Liên thông này được gọi là liên thông tuyến tính chính tắc trên
m . 1.2.1.2. Ví dụ Giả sử M là một đa tạp khả song. Gọi { X i } ,i = 1,…,m là trường mục tiêu trên M. Kí hiệu ∇ X i X j = ∑ Γijk X k k Nếu Γijk = 0, ∀i, j , k thì liên thông ∇ xác định như trên được gọi là liên thông tuyến tính chính tắc ứng với trường mục tiêu { X i } . Giả sử M = G là một nhóm Lie. Chọn trường mục tiêu bất biến trái { X i} . Gọi ∇ là liên thông tuyến tính trên M xác định bởi ∇ X i X j = 0, ∀ i,j.