Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Luận văn thạc sĩ toán học lý thuyết kkm và bài toán cân bằng...

Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học lý thuyết kkm và bài toán cân bằng

.PDF
108
310
67

Mô tả:

Môc lôc Lêi nãi ®Çu 1 Ch−¬ng 1 C¬ së lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p« 3 1.1 Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vµ ®iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . 3 1.2 BÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ øng dông . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ch−¬ng 2.1 2.2 2.3 2 Bµi to¸n c©n b»ng 33 C©n b»ng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bµi to¸n c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 C¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ch−¬ng 3.1 3.2 3.3 3 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n 60 Bµi to¸n biÕn ph©n cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 KÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . 61 C¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 KÕt luËn 102 Tµi liÖu tham kh¶o 104 Lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt KKM ra ®êi n¨m 1961 víi bµi b¸o cña Ky Fan: ”A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem”, trong ®ã cã mét kÕt qu¶ quan träng mµ ngµy nay ®−îc gäi lµ nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. KÕt qu¶ nµy lµ sù më réng bæ ®Ò Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) tõ kh«ng gian tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu ra kh«ng gian vect¬ t«p« t¸ch bÊt kú. Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM khëi nguån cho mét lo¹t kÕt qu¶ quan träng kh¸c, cã nhiÒu øng dông trong gi¶i tÝch phi tuyÕn, ®Æc biÖt lµ mét bÊt ®¼ng thøc minimax mµ ngµy nay gäi lµ bÊt ®¼ng thøc Ky Fan. Tõ bÊt ®¼ng thøc nµy cã thÓ dÔ dµng suy ra mét sè kÕt qu¶ næi tiÕng nh− nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Schauder, ®Þnh lý tån t¹i nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. MÆt kh¸c, còng tõ nguyªn lý ¸nh x¹ KKM cã thÓ nhËn ®−îc ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Browder - Fan, tõ ®©y l¹i nhËn ®−îc ®Þnh lý minimax Sion Neumann, ®Þnh lý tån t¹i ®iÓm c©n b»ng Nash... Nh÷ng kÕt qu¶ nµy ®−îc tËp hîp l¹i d−íi mét c¸i tªn chung: Lý thuyÕt KKM. Lý thuyÕt nµy ®· ph¸t triÓn ra c¸c kh«ng gian siªu låi vµ nöa dµn t«p«. N¨m 1950 chøng kiÕn sù ra ®êi cña mét lý thuyÕt quan träng trong To¸n kinh tÕ víi bµi b¸o cña John Nash: ”Equilibrium points in n-person games” vÒ trß ch¬i kh«ng hîp t¸c. Lý thuyÕt nµy cã mét tÇm quan träng ®Æc biÖt trong kinh tÕ nªn t¸c gi¶ cña nã ®· ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Nobel vµo n¨m 1994. §Þnh lý c¬ b¶n cña Nash vÒ tån t¹i ®iÓm c©n b»ng cho mét hÖ kinh tÕ ®Õn nay ®· ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc c¶i tiÕn vµ n©ng cao, tõ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu ra kh«ng gian v« h¹n chiÒu, tõ ¸nh x¹ ®¬n trÞ ra ¸nh x¹ ®a trÞ,... D¹ng tæng qu¸t nhÊt cña bµi to¸n c©n b»ng rÊt gÇn víi bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, v× vËy lý thuyÕt KKM ®ãng mét vai trß quan träng khi nghiªn cøu bµi to¸n c©n b»ng, mµ mét tr−êng hîp riªng lµ c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. C¶ hai lý thuyÕt nªu trªn ®Òu rÊt quan träng vÒ lý thuyÕt vµ øng dông, vÉn ®ang trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn vµ hoµn thiÖn. Cã thÓ nãi lý thuyÕt KKM lµ mét c¬ së lý thuyÕt cho bµi to¸n c©n b»ng. §· cã nhiÒu bµi b¸o vÒ c¸c vÊn ®Ò nµy nh−ng theo chóng t«i ®−îc biÕt, ch−a cã mét tµi liÖu nµo giíi thiÖu mét c¸ch hÖ thèng mèi liªn hÖ gi÷a c¸c lý thuyÕt nãi trªn. V× vËy chóng t«i chän ®Ò tµi: ”Lý thuyÕt KKM vµ bµi to¸n c©n b»ng” víi hy väng cung cÊp cho ®éc gi¶ nh÷ng th«ng tin bæ Ých. V× thêi gian h¹n chÕ nªn chóng t«i chØ giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n theo c¸c h−íng nªu trªn, ®Æc biÖt lµ nh÷ng kÕt qu¶ gÇn ®©y. Trong b¶n luËn v¨n nµy, chóng t«i tr×nh ba ch−¬ng gåm nh÷ng néi dung chÝnh sau ®©y: • Ch−¬ng 1 giíi thiÖu c¬ lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p«. • Ch−¬ng 2 giíi thiÖu bµi to¸n c©n b»ng. • Ch−¬ng 3 giíi thiÖu bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. 1 Cuèi cïng, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh tíi PGS. TSKH §ç Hång T©n ®· h−íng dÉn tËn t×nh t¸c gi¶ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Sù chØ b¶o ©n cÇn cña thÇy §ç Hång T©n trong suèt qu¸ tr×nh t¸c gi¶ viÕt luËn v¨n ®· gióp cho t¸c gi¶ cã ý thøc tr¸ch nhiÖm vµ quyÕt t©m cao khi hoµn thµnh luËn v¨n cña m×nh. T¸c gi¶ còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi Th¹c sÜ NguyÔn ThÕ Vinh ®· cung cÊp cho t¸c gi¶ c¸c tµi liÖu quan träng vµ nh÷ng lêi khuyªn quý b¸u. T¸c gi¶ còng xin ch©n thµnh c¸m ¬n nh÷ng ®ãng gãp bæ Ých cña c¸c thµnh viªn cña Xªmina ”H×nh häc cña c¸c kh«ng gian Banach vµ lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng” do Bé m«n Gi¶i tÝch, Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi tæ chøc. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c¸c thÇy c« gi¸o Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi, cïng toµn thÓ b¹n bÌ vµ ng−êi th©n ®· ®ãng gãp ý kiÕn, gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Hµ Néi, ngµy 02 th¸ng 09 n¨m 2007 Häc viªn: TrÇn ViÖt Anh1 1 E-mail: [email protected] 2 Ch−¬ng 1 C¬ së lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p« Trong ch−¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p«. §ã lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, bÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ c¸c øng dông cña nã. Sau cïng chóng t«i tr×nh bµy mét øng dông kh¸ míi vµ hay cña bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, ®ã lµ chøng minh ®Þnh lý ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg. 1.1 Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vµ ®iÓm bÊt ®éng N¨m 1929, ba nhµ to¸n häc Knaster, Kuratowski vµ Mazurkiewicz ®· chøng minh ®−îc mét kÕt qu¶ quan träng mang tªn ”Bæ ®Ò KKM”([35, trang 68]1 ). §Þnh lý 1.1.1. Cho Δn := conv({e0, e1, . . . , en }) lµ n-®¬n h×nh tiªu chuÈn trong Rn , trong ®ã ei , i = 0, 1, . . . , n, lµ vect¬ ®¬n vÞ thø (i + 1) cña Rn+1 vµ c¸c tËp hîp ®ãng F0 , F1, . . . , Fn trong Δn tháa m·n ®iÒu kiÖn:  víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. Khi ®ã n  Fj = ∅. j=0 §iÒu thó vÞ lµ ”Bæ ®Ò KKM” ®−îc chøng minh dùa trªn mét kÕt qu¶ cña Sperner n¨m 1928 ([35, trang 67]) vÒ phÐp tam gi¸c ph©n mét ®¬n h×nh, thuéc lÜnh vùc to¸n häc tæ hîp, mét lÜnh vùc t−ëng chõng nh− kh«ng liªn quan g× ®Õn lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng. MÆc dï Bæ ®Ò KKM rÊt quan träng, v× nã cho ta mét chøng minh ®¬n gi¶n Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (xem §Þnh lý 1.1.3), nh−ng l¹i h¹n chÕ do chØ ¸p dông ®−îc cho c¸c kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu. §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, n¨m 1961, nhµ to¸n häc næi tiÕng Ky Fan ®· më réng Bæ ®Ò KKM cho tr−êng hîp kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff. §Þnh lý cña Ky Fan ngµy nay ®−îc gäi lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. Sau ®©y chóng t«i sÏ ph¸t biÓu vµ chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM b»ng c¸ch sö dông Bæ ®Ò KKM. §iÒu thó vÞ vµ ng¹c nhiªn lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vÉn cßn ®óng khi kh«ng gian nÒn kh«ng cÇn tÝnh ”t¸ch”. Theo nh− t¸c gi¶ ®−îc biÕt th× ý t−ëng chøng Trong [35], c¸c t¸c gi¶ ph¸t biÓu cho ®¬n h×nh S bÊt kú trong Rn , ë ®©y ta chØ sö dông ®¬n h×nh tiªu chuÈn Δn trong Rn . 1 3 minh ®Þnh lý sau ®©y gÇn gòi víi ý t−ëng cña Horvath vµ Llinares Ciscar (1996) khi hä chøng minh nguyªn lý ¸nh x¹ KKM cho nöa dµn t«p« [17], tuy nhiªn b¶n th©n t¸c gi¶ kh«ng hÒ biÕt phÐp chøng minh nµy. §Þnh lý 1.1.2 (Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM). Cho C lµ mét tËp hîp kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X, F : C −→ 2X lµ mét ¸nh x¹ KKM, nghÜa lµ víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C ta cã  conv(A) ⊂ {F (x) : x ∈ A}. Gi¶ sö r»ng F (x) lµ tËp ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Khi ®ã víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C, ta cã  F (x) = ∅. x∈A Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong C, ta chøng minh n  F (aj ) = ∅. j=0 XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = 0, 1, . . . , n, n  λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n  n  λi (x)ei ∈ Δn, λi (x)  0, i = i=0 λi (x)ai. i=0 Víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ pi : Δn −→ R cho bëi, víi x = n n   λi ei ∈ Δn, λi  0, i = 0, 1, . . . , n, λi = 1, th× pi (x) = λi . Râ rµng i=0 i=0 c¸c ¸nh x¹ pi lµ liªn tôc. Víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ fi : R −→ X cho bëi fi(λ) = λai víi mäi λ ∈ R. V× X lµ kh«ng gian vect¬ t«p« nªn fi lµ ¸nh x¹ liªn tôc. n  fi ◦ pi nªn ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Tõ ®ã, v× ΦA = i=0 Ta chøng minh víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th× ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}).  ThËt vËy, víi x = λj (x)ej ∈ conv({ej : j ∈ J}), λj (x)  0 víi mäi j ∈ J,  j∈J j∈J λj (x) = 1, th× ΦA (x) =  λj (x)aj . Do ®ã ΦA(x) ∈ conv({aj : j ∈ J}). j∈J 4 V× x ∈ conv({ej : j ∈ J}) lµ tuú ý nªn ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). (1.1) X  V× F : C −→ 2 lµ mét ¸nh x¹ KKM nªn conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J}. KÕt hîp víi (1.1), ta cã ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂  {F (aj ) : j ∈ J}. Suy ra   −1 conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ΦA ( {F (aj ) : j ∈ J}) = {Φ−1 A (F (aj )) : j ∈ J}. (1.2) §Æt Fj = Φ−1 A (F (aj )), j = 0, 1, . . . , n. Khi ®ã theo (1.2),  víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp F (a0 ), F (a1), . . . , F (an ) lµ ®ãng trong X nªn c¸c tËp Fj = Φ−1 A (F (aj )) lµ ®ãng trong Δn . Khi ®ã, theo n n   Bæ ®Ò KKM (§Þnh lý 1.1.1) Fj = ∅. NghÜa lµ Φ−1 A (F (aj )) = ∅, suy ra j=0 n  j=0 F (aj ) = ∅. j=0 VËy Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ®−îc chøng minh. Trong Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, ta chØ kh¼ng ®Þnh  F (x) = ∅ víi mäi A x∈A h÷u h¹n trong C . TÝnh chÊt nµy th−êng ®−îc ph¸t biÓu lµ hä ”{F (x) : x ∈ C} cã  tÝnh chÊt giao h÷u h¹n”. Trong [35], c¸c t¸c gi¶ ®· ®−a ra ®iÒu kiÖn ®Ó F (x) = ∅, sau ®©y t¸c gi¶ xin ®−a ra ®iÒu kiÖn cã phÇn ”tèt” h¬n. §iÒu x∈C kiÖn ®ã lµ: tån t¹i h÷u h¹n c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , an thuéc C vµ tËp compact K n  trong kh«ng gian vect¬ t«p« X ®Ó F (aj ) ⊂ K . j=1 ThËt vËy, ta chøng minh  F (x) = ∅. x∈C   F (x) = ∅. Suy ra X = X\ F (x) = (X\F (x)). V× F (x) x∈C x∈C  x∈C lµ ®ãng trong X vµ K ⊂ X = (X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ Gi¶ sö  x∈C 5 phñ më cña tËp compact K . Do ®ã, tån t¹i x1 , x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂ k k k    (X\F (xi)) = X\ F (xi). Tõ ®ã ta cã K ∩ F (xi) = ∅. KÕt hîp víi i=1 n  i=1 F (aj ) ⊂ K , ta suy ra j=1 n  j=1 F (aj ) ∩ k  i=1 F (xi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i víi tÝnh chÊt i=1 giao h÷u h¹n cña hä {F (x) : x ∈ C}. VËy  F (x) = ∅. x∈C Mét trong nh÷ng ®Þnh lý næi tiÕng nhÊt cña To¸n häc trong thÕ kû tr−íc lµ Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer. §ã lµ ®Þnh lý trung t©m cña lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng vµ còng lµ mét trong nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝch phi tuyÕn. §Þnh lý nµy ®−îc Brouwer chøng minh n¨m 1912 dùa vµo mét c«ng cô rÊt s©u s¾c cña t«p« lµ lý thuyÕt bËc cña ¸nh x¹ liªn tôc nªn kh¸ phøc t¹p. V× thÕ, nhiÒu nhµ to¸n häc ®· t×m c¸ch chøng minh Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer b»ng nh÷ng c«ng cô ®¬n gi¶n h¬n. B©y giê ta sÏ chøng minh Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer tõ Bæ ®Ò KKM. §Þnh lý 1.1.3 (Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer). Cho T : Δn −→ Δn lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã T cã ®iÓm bÊt ®éng trong Δn.2 Chøng minh. Mçi ®iÓm x ∈ Δn ®−îc biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng x= n  xi ei , víi xi  0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n vµ i=0 n  xi = 1. i=0 n  V× T (x) ∈ Δn nªn ta cã thÓ viÕt T (x) = (T (x))iei , víi (T (x))i  0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n vµ n  i=0 (T (x))i = 1. i=0 Víi mçi i = 0, 1, . . . , n, ®Æt Fi = {x ∈ Δn : xi  (T (x))i}. V× T : Δn −→ Δn lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn c¸c tËp Fi lµ ®ãng trong Δn . ThËt vËy, víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ pi : Δn −→ R cho bëi, víi n n   λi ei ∈ Δn, λi  0, i = 0, 1, . . . , n, λi = 1, th× pi(x) = λi . Râ x= i=0 i=0 rµng c¸c ¸nh x¹ pi lµ liªn tôc. V× T : Δn −→ Δn lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ 2 Trong mét sè tµi liÖu, Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer th−êng ®−îc ph¸t biÓu lµ:”Mäi ¸nh x¹ liªn tôc tõ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong Rn vµo chÝnh nã ®Òu cã ®iÓm bÊt ®éng”. 6 pi : Δn −→ R lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn pi ◦ T : Δn −→ R còng lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chó ý r»ng, v× (pi ◦ T )(x) = (T (x))i nªn c¸c tËp Fi cã thÓ ®−îc viÕt l¹i nh− sau Fi = {x ∈ Δn : pi (x)  (pi ◦ T )(x)}. V× pi : Δn −→ R vµ pi ◦ T : Δn −→ R lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc víi mäi i = 0, 1, . . . , n nªn c¸c tËp Fi lµ ®ãng trong Δn víi mäi i = 0, 1, . . . , n. Gi¶ sö I ⊂ {0, 1, . . . , n} lµ mét tËp hîp kh¸c rçng, ta chøng minh  conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I}. LÊy x ∈ conv({ei : i ∈ I}) tuú ý, khi ®ã x = i = 0, 1, . . . , n, n  xi ei víi xi  0 víi mäi i=0 n  xi = 1 vµ xi = 0 víi mäi i ∈ / I. i=0  Ta chøng minh x ∈ {Fi : i ∈ I}. Gi¶ sö x ∈ / Fi víi mäi i ∈ I, suy ra xi < (T (x))i víi mäi i ∈ I. Khi ®ã ta gÆp m©u thuÉn 1= n  i=0 VËy x ∈ xi =  i∈I n   xi < (T (x))i  (T (x))i = 1. i=0 i∈I  {Fi : i ∈ I}. V× x ∈ conv({ei : i ∈ I}) lµ tuú ý nªn conv({ei : n   i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I}. Theo Bæ ®Ò KKM Fi = ∅, nghÜa lµ tån t¹i x∗ ∈ n  i=0 Fi . Khi ®ã x∗ ∈ Fi víi mäi i = 0, 1, . . . , n hay x∗i  (T (x∗))i i=0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n. KÕt hîp víi n  i=0 x∗i =1= n  (T (x∗))i, ta suy ra i=0 x∗i = (T (x∗))i víi mäi i = 0, 1, . . . , n. Do ®ã T (x∗) = x∗. VËy T cã ®iÓm bÊt ®éng trong Δn. Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer cã néi dung trùc quan rÊt tù nhiªn nh− sau. Gi¶ sö cã n + 1 doanh nghiÖp c¹nh tranh nhau trªn mét thÞ tr−êng, vµ mçi ®iÓm x ∈ Δn biÓu thÞ t×nh thÕ trong ®ã doanh nghiÖp i chiÕm ®−îc mét thÞ phÇn b»ng xi. Do c¹nh tranh nªn tõ mét t×nh thÕ x ∈ Δn cã thÓ dÉn tíi t×nh thÕ míi f (x). §−¬ng nhiªn, doanh nghiÖp i mong muèn chuyÓn ®Õn mét t×nh thÕ f (x) 7 víi (f (x))i > xi. Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer cho biÕt nÕu ¸nh x¹ f liªn tôc th× bao giê còng cã mét ®iÓm x∗ = f (x∗), nghÜa lµ mét t×nh thÕ c©n b»ng mµ kh«ng doanh nghiÖp nµo muèn thay ®æi ®Ó ®−îc lîi h¬n. ChÝnh v× thÕ mµ Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (cïng víi c¸c më réng cña nã) lµ c«ng cô x©y dùng c¸c lý thuyÕt c©n b»ng trong kinh tÕ vµ nhiÒu lÜnh vùc kh¸c. Trong chøng minh Bæ ®Ò KKM, tÝnh ®ãng cña c¸c tËp F0 , F1 , . . . , Fn lµ b¾t buéc. Mét ®iÒu bÊt ngê lý thó lµ tÝnh ®ãng ë ®©y cã thÓ thay b»ng tÝnh më vµ viÖc chøng minh l¹i dùa chÝnh vµo Bæ ®Ò KKM. §Þnh lý 1.1.4. Cho F0, F1, . . . , Fn lµ c¸c tËp hîp më trong Δn tháa m·n ®iÒu kiÖn: víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã  conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. Khi ®ã n  Fj = ∅. j=0 Chøng minh. Víi mçi y ∈ n  Fi , ®Æt Hy = i=0 n  {Fi : y ∈ Fi }. Khi ®ã y ∈ Hy i=0 vµ Hy lµ tËp hîp më trong Δn . Do ®ã tån t¹i tËp hîp më Uy trong Δn sao cho y ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Hy . Víi mäi I ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã    Fi }. {Fi : i ∈ I} ⊂ {Uy : y ∈ i∈I vµ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ Suy ra  {Fi : i ∈ I}.   conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ Fi}. i∈I : i ∈ I}) lµ tËp compact trong Rn+1 nªn tån t¹i tËp h÷u h¹n kh¸c V× conv({ei rçng BI ⊂ Fi sao cho i∈I conv({ei : i ∈ I}) ⊂   {Uy : y ∈ BI }. §Æt B = {BI : I ⊂ {0, 1, . . . , n}} th× B lµ tËp h÷u h¹n kh¸c rçng. Víi mçi i ∈ {0, 1, . . . , n}, ®Æt  Gi = {U y : y ∈ B, Uy ⊂ Fi }. 8 Ta chøng tá r»ng tËp Gi lµ x¸c ®Þnh. §Æt I = {i}, v× BI = ∅ nªn tån t¹i y ∈ BI . Ngoµi ra v× BI ⊂ Fi nªn y ∈ Fi. Theo ®Þnh nghÜa cña Hy th× Hy ⊂ Fi vµ do ®ã Uy ⊂ Fi . V× y ∈ BI vµ BI ⊂ B nªn y ∈ B. VËy tån t¹i y ∈ B ®Ó Uy ⊂ Fi , tøc lµ tËp Gi x¸c ®Þnh. Mµ B lµ tËp h÷u h¹n nªn Gi lµ tËp hîp ®ãng trong Δn. NÕu z ∈ Gi th× tån t¹i y ∈ B ®Ó y ∈ Uy ⊂ Fi vµ z ∈ U y ⊂ Hy . Tõ ®Þnh nghÜa cña Hy , ta suy ra z ∈ Fi . VËy Gi ⊂ Fi .  B©y giê ta chøng minh conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I} víi mäi tËp con kh¸c rçng I cña {0, 1, . . . , n}.  LÊy z ∈ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ BI } th× tån t¹i y ∈ BI ⊂ {Fi : i ∈ I} ®Ó z ∈ Uy . Do ®ã tån t¹i j ∈ I ®Ó y ∈ Fj . Theo ®Þnh nghÜa cña Hy th× Hy ⊂ Fj , do ®ã Uy ⊂ Fj . MÆt kh¸c, tõ ®Þnh nghÜa cña  Gj th× U y ⊂ Gj vµ do ®ã z ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Gj hay z ∈ Gj . VËy ta cã z ∈ {Gi : i ∈ I}. V× z ∈ conv({ei : i ∈ I}) lµ  tïy ý nªn conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I}. Chó ý r»ng, v× c¸c tËp Gi n  lµ ®ãng trong Δn nªn theo §Þnh lý 1.1.1 Gj = ∅. Tõ Gj ⊂ Fj víi mäi j = 0, 1, . . . , n, ta suy ra n  j=0 Fj = ∅. §Þnh lý ®−îc chøng minh. j=0 §Þnh lý 1.1.4 ®−îc gäi lµ Bæ ®Ò KKM cho c¸c tËp hîp më. VËn dông §Þnh lý 1.1.4, ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý Shih. §Þnh lý 1.1.5 (§Þnh lý Shih). Cho C lµ mét tËp hîp låi kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ A lµ mét tËp con h÷u h¹n cña C. Gi¶ sö F : A −→ 2C lµ mét ¸nh x¹ KKM vµ F (x) lµ tËp më trong C víi mäi x ∈ A. Khi ®ã  F (x) = ∅. x∈A Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong C, ta chøng minh n  F (aj ) = ∅. j=0 XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = 0, 1, . . . , n, n  λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n  i=0 9 n  λi (x)ei ∈ Δn, λi (x)  0, i = i=0 λi (x)ai. Ta thÊy r»ng ΦA (x) ∈ C víi mäi x ∈ Δn . ThËt vËy, víi x = Δn , λi (x)  0, i = 0, 1, . . . , n, n  n  λi (x)ei ∈ i=0 λi (x) = 1 th× i=0 ΦA (x) = n  λi (x)ai ∈ conv({a0 , a1, . . . , an }). i=0 V× a0 , a1, . . . , an ∈ C vµ C lµ tËp låi nªn conv({a0, a1 , . . . , an }) ⊂ C, do ®ã ΦA (x) ∈ C. Khi ®ã, theo nh− chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ta cã ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th× ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}). (1.3) C  V× F : A −→ 2 lµ mét ¸nh x¹ KKM nªn conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J} víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n}. Tõ gi¶ thiÕt F (x) lµ tËp më trong C víi mäi x ∈ A, ta cã thÓ viÕt F (x) = C ∩ T (x) víi T (x) lµ tËp më trong X víi mäi x  ∈ A. V× F (x) ⊂ T (x) víi mäi x ∈ A nªn tõ conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {F (aj ) : j ∈ J} ta  cã conv({aj : j ∈ J}) ⊂ {T (aj ) : j ∈ J}. KÕt hîp víi (1.3), ta cã  ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ {T (aj ) : j ∈ J}. Suy ra   −1 conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ΦA ( {T (aj ) : j ∈ J}) = {Φ−1 A (T (aj )) : j ∈ J}. (1.4) §Æt Tj = Φ−1 A (T (aj )), j = 0, 1, . . . , n. Khi ®ã theo (1.4),  víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Tj : j ∈ J}. V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp T (a0), T (a1), . . . , T (an) lµ më trong X nªn c¸c tËp Tj = Φ−1 A (T (aj )), j = 0, 1, . . . , n lµ më trong n  Tj = ∅. Δn . Khi ®ã, theo Bæ ®Ò KKM cho c¸c tËp hîp më (§Þnh lý 1.1.4) NghÜa lµ n  n  j=0 Φ−1 A (T (aj )) = ∅. LÊy x ∈ n  j=0 Φ−1 A (T (aj )) th× x ∈ Δn vµ ΦA (x) ∈ j=0 T (aj ). KÕt hîp víi ΦA (x) ∈ C, ta suy ra ΦA (x) ∈ j=0 n  (C ∩ T (aj )) hay j=0 10 ΦA (x) ∈ n  F (aj ). VËy j=0 n  F (aj ) = ∅. j=0 VËy ®Þnh lý Shih ®−îc chøng minh. B»ng c¸ch sö dông ®Þnh lý Shih, ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg (xem [35, trang 91]). Trong môc tiÕp theo, ta sÏ chøng minh ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg b»ng c¸ch sö dông bÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ ®Þnh lý Hahn-Banach. Ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ Bæ ®Ò sau: §Þnh nghÜa 1.1.6. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian t«p« vµ T : X −→ 2Y , khi ®ã •. T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mäi tËp hîp G më chøa T (x0), tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . NÕu ¸nh x¹ T nöa liªn tôc trªn t¹i mäi x ∈ X th× T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn. • T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mäi tËp hîp G më tháa m·n G ∩ T (x0) = ∅, tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho G ∩ T (x) = ∅ víi mäi x ∈ U . NÕu ¸nh x¹ T nöa liªn tôc d−íi t¹i mäi x ∈ X th× T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi. • T ®−îc gäi lµ ®ãng nÕu ®å thÞ Gr(T ) := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x)} cña T lµ tËp ®ãng trong X × Y . Bæ ®Ò 1.1.7. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian t«p« Hausdorff vµ T : X −→ 2Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ. (i) NÕu X lµ compact vµ T lµ nöa liªn tôc trªn víi gi¸ trÞ compact th× T (X) lµ compact. (ii) NÕu Y lµ compact vµ T lµ ®ãng th× T lµ nöa liªn tôc trªn. (iii) NÕu T lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn víi gi¸ trÞ compact th× T lµ ®ãng. Chøng minh. (i) Gi¶ sö G = {Gi : i ∈ I} lµ mét phñ më tuú ý cña T (X). Khi ®ã víi mäi x ∈ X th× G = {Gi : i ∈ I} còng lµ mét  phñ më cña T (x). V× Gi , trong ®ã I lµ hä T (x) lµ compact nªn tån t¹i Ax ∈ I ®Ó T (x) ⊂ i∈Ax c¸c tËp  con h÷u h¹n kh¸c rçng cña I. V× c¸c tËp Gi lµ më víi mäi i ∈ I nªn Gi còng lµ tËp më. Do ®ã tõ tÝnh liªn tôc trªn t¹i ®iÓm x ∈ X i∈Ax cña T vµ T (x) ⊂  Gi , tån t¹i l©n cËn më Ux cña x trong X sao cho i∈Ax 11 T (u) ⊂  Gi víi mäi u ∈ Ux. V× X = i∈Ax  x∈X Ux vµ X lµ compact nªn tån n  Uxi . Ta chøng minh r»ng t¹i c¸c ®iÓm x1, x2, . . . , xn ∈ X sao cho X = i=1  T (X) ⊂ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. ThËt vËy lÊy y ∈ T (X) tuú  T (x) nªn tån t¹i x ∈ X ®Ó cho y ∈ T (x). V× x ∈ X vµ ý, v× T (X) = X= n  x∈X Uxi nªn tån t¹i sè nguyªn d−¬ng k kh«ng v−ît qu¸ n sao cho x ∈ Uxk . i=1    Do ®ã T (x) ⊂ Gi . KÕt hîp víi y ∈ T (x) vµ Gi ⊂ {Gi : i ∈ i∈Axk i∈Axk  Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }, ta suy ra y ∈ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. V×  y ∈ T (X) lµ tuú ý nªn T (X) ⊂ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. Chó ý r»ng, v× c¸c tËp hîp Axi ∈ I nªn Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn ∈ I . Do ®ã G0 = {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn } lµ mét phñ con h÷u h¹n cña G. V× mäi phñ më G cña T (X) ®Òu cã mét phñ con h÷u h¹n G0 nªn T (X) lµ compact. (ii) LÊy x0 ∈ X tuú ý, ta chøng minh T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x0 vµ do ®ã T lµ nöa liªn tôc trªn. V× Y lµ compact vµ T (X) lµ ®ãng trong Y nªn T (X) lµ compact. Gi¶ sö G lµ tËp më chøa T (x0), ta cÇn ph¶i chøng minh tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . Víi mäi y ∈ / G, v× G chøa T (x0) nªn y ∈ / T (x0), do ®ã (x0, y) ∈ / Gr(T ). V× T lµ ®ãng, nghÜa lµ Gr(T ) lµ tËp ®ãng trong X ×Y nªn tån t¹i l©n cËn më Vy cña y trong Y vµ l©n cËn Ux0 (y) cña x0 trong X sao cho (Ux0 (y) × Vy ) ∩ Gr(T ) = / G} lµ phñ më cña tËp compact T (X) nªn tån t¹i ∅. V× {Vy ∪ G : y ∈ n n   y1 , y2, . . . , yn ∈ / G sao cho T (X) ⊂ (Vyi ∪ G). §Æt U = Ux0 (yi) th× U i=1 i=1 lµ l©n cËn cña x0 trong X. Ta chøng minh T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . LÊy z ∈ T (x) tuú ý, tõ T (x) ⊂ T (X) vµ T (X) ⊂ z∈ n  n  (Vyi ∪ G), ta suy ra i=1 (Vyi ∪ G). Gi¶ sö z ∈ / G, khi ®ã tån t¹i sè nguyªn d−¬ng k kh«ng v−ît i=1 qu¸ n sao cho z ∈ Vyk . V× x ∈ U = n  i=1 12 Ux0 (yi) nªn x ∈ Ux0 (yk ). KÕt hîp víi z ∈ Vyk vµ z ∈ T (x), ta suy ra (x, z) ∈ (Ux0 (yk ) × Vyk ) ∩ Gr(T ). VËy (Ux0 (yk )×Vyk )∩Gr(T ) = ∅, tuy nhiªn ®iÒu nµy tr¸i víi (Ux0 (y)×Vy )∩Gr(T ) = ∅ ë trªn. VËy z ∈ G, v× z ∈ T (x) lµ tuú ý nªn T (x) ⊂ G. Nh− vËy, ta ®· chøng minh ®−îc T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . Chó ý r»ng v× U lµ l©n cËn cña x0 trong X nªn T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x0 vµ do ®ã T lµ nöa liªn tôc trªn. (iii) Ta chøng minh T lµ ®ãng, nghÜa lµ ph¶i chøng minh ®å thÞ Gr(T ) := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x)} cña T lµ tËp ®ãng trong X × Y hay t−¬ng ®−¬ng víi (X × Y )\ Gr(T ) lµ tËp më trong X × Y Gi¶ sö (a, b) ∈ (X × Y )\ Gr(T ), suy ra (a, b) ∈ / Gr(T ) hay b ∈ / T (a). Suy ra víi mäi y ∈ T (a) th× y = b. V× Y lµ kh«ng gian t«p« Hausdorff nªn tån t¹i l©n cËn më Vy cña y trong Y vµ l©n cËn Ub(y) cña b trong Y sao cho Vy ∩ Ub (y) = ∅. V× {Vy : y ∈ T (a)} lµ phñ më cña tËp compact T (a) nªn tån t¹i y1, y2 , . . . , yn ∈ T (a) sao cho n n   T (a) ⊂ Vyi . §Æt G = Vyi , khi ®ã G lµ tËp më chøa T (a). MÆt kh¸c, i=1 i=1 v× T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i a nªn tån t¹i l©n cËn U cña a trong X sao cho n  T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . §Æt V = Ub(yi) th× V lµ l©n cËn cña b trong Y . i=1 Ta chøng minh (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅. ThËt vËy, nÕu (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅, tøc lµ tån t¹i (x, y) ∈ (U × V ) ∩ Gr(T ). Khi ®ã y ∈ T (x) vµ x ∈ U . V× n  x ∈ U nªn T (x) ⊂ G. KÕt hîp víi y ∈ T (x), ta suy ra y ∈ G. V× G = Vyj j=1 vµ y ∈ G nªn tån t¹i sè nguyªn d−¬ng i kh«ng v−ît qu¸ n ®Ó y ∈ Vyi . Tõ n  y ∈ V = Ub(yi), ta suy ra y ∈ Ub (yi). KÕt hîp víi y ∈ Vyi , ta suy ra i=1 Vyi ∩ Ub(yi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i víi Vy ∩ Ub (y) = ∅ víi mäi y ∈ T (a). VËy (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅ vµ do ®ã U × V ⊂ (X × Y )\ Gr(T ). Nh− vËy víi mäi (a, b) ∈ (X × Y )\ Gr(T ), tån t¹i l©n cËn U cña a trong X vµ l©n cËn V cña b trong Y sao cho U × V ⊂ (X × Y )\ Gr(T ). Do ®ã (X × Y )\ Gr(T ) lµ tËp më trong X × Y hay Gr(T ) lµ tËp ®ãng trong X × Y . VËy T lµ ®ãng. KÕt hîp §Þnh lý 1.1.1 vµ §Þnh lý 1.1.4, ta cã Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t 3 sau: §Þnh lý 1.1.8 (Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t). Cho F0 , F1, . . . , Fn lµ c¸c tËp hîp ®ãng trong Δn (t−¬ng øng më) tháa m·n ®iÒu kiÖn: víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã  conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}. 3 Do t¸c gi¶ tù ®Æt 13 Khi ®ã n  Fj = ∅. j=0 VËn dông Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t, ta ph¸t biÓu vµ chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM tæng qu¸t 4 sau: §Þnh lý 1.1.9 (Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM tæng qu¸t). Cho C lµ mét tËp hîp kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X, F : C −→ 2X lµ mét ¸nh x¹ KKM. Gi¶ sö F (x) lµ tËp ®ãng trong X (t−¬ng øng më) víi mäi x ∈ C. Khi ®ã víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C, ta cã  F (x) = ∅. x∈A H¬n n÷a, nÕu tån t¹i h÷u h¹n c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , an thuéc C vµ tËp compact n  F (aj ) ⊂ K th× K trong kh«ng gian vect¬ t«p« X ®Ó j=1  F (x) = ∅. x∈C Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong C, ta chøng minh n  F (aj ) = ∅. j=0 XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x = 0, 1, . . . , n, n  λi (x) = 1, th× ΦA (x) = i=0 n  n  λi (x)ei ∈ Δn, λi (x)  0, i = i=0 λi (x)ai. i=0 Khi ®ã, theo nh− chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ta cã ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th×  conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}, (1.5) trong ®ã Fj = Φ−1 A (F (aj )) víi mäi j = 0, 1, . . . , n. V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp F (a0 ), F (a1), . . . , F (an ) lµ ®ãng trong X (t−¬ng øng më) nªn c¸c tËp Fj = Φ−1 A (F (aj )) lµ ®ãng trong 4 Do t¸c gi¶ tù ®Æt 14 Δn (t−¬ng øng më). Khi ®ã, theo Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t (§Þnh lý 1.1.8) n n n    −1 Fj = ∅. NghÜa lµ ΦA (F (aj )) = ∅, suy ra F (aj ) = ∅. j=0 j=0 Ta chøng minh j=0  F (x) = ∅. x∈C   F (x) = ∅. Suy ra X = X\ F (x) = (X\F (x)). V× K ⊂ Gi¶ sö x∈C x∈C x∈C (X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ phñ më cña tËp compact K. Do X=  x∈C ®ã, tån t¹i x1, x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂ Tõ ®ã ta cã K ∩ k  k  i=1 F (xi) = ∅. KÕt hîp víi i=1 n  F (aj ) ∩ j=1 k  i=1 (X\F (xi))) = X\ F (xi) = ∅ vµ do ®ã n  F (aj ) ∩ j=1 n  k  F (xi). i=1 F (aj ) ⊂ K, ta suy ra j=1 k  F (xi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i i=1 víi tÝnh chÊt giao h÷u h¹n cña hä {F (x) : x ∈ C}. VËy  F (x) = ∅. x∈C 1.2 BÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ øng dông Mét hÖ qu¶ quan träng cña nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, ®−îc sö dông réng r·i trong Gi¶i tÝch phi tuyÕn lµ mét bÊt ®¼ng thøc do Ky Fan chøng minh n¨m 1961. Nh−ng tr−íc hÕt ta cÇn mét sè kh¸i niÖm sau: §Þnh nghÜa 1.2.1. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p« vµ f : X −→ R lµ mét hµm sè. Ta nãi r»ng f lµ nöa liªn tôc d−íi nÕu tËp {x ∈ X : f (x) > λ} lµ më trong X víi mäi λ ∈ R vµ f lµ nöa liªn tôc trªn nÕu tËp {x ∈ X : f (x) < λ} lµ më trong X víi mäi λ ∈ R. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy f nöa liªn tôc trªn nÕu vµ chØ nÕu −f nöa liªn tôc d−íi. §Þnh nghÜa 1.2.2. Gi¶ sö C lµ mét tËp hîp trong kh«ng gian vect¬ X vµ f : C −→ R lµ mét hµm sè. Ta nãi r»ng f lµ tùa lâm nÕu tËp {x ∈ C : f (x)  λ} lµ låi víi mäi λ ∈ R vµ f lµ tùa låi nÕu tËp {x ∈ C : f (x)  λ} lµ låi víi mäi λ ∈ R. 15 DÔ dµng thÊy r»ng nÕu f lµ tùa lâm (t−¬ng øng tùa låi) th× tËp hîp {x ∈ X : f (x) > λ} (t−¬ng øng tËp hîp {x ∈ X : f (x) < λ}) lµ låi víi mäi λ ∈ R. B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ky Fan. §Þnh lý 1.2.3 (BÊt ®¼ng thøc Ky Fan). Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ tùa lâm, nghÜa lµ tËp {x ∈ C : f (x, y)  λ} lµ låi víi mäi sè thùc λ; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi, nghÜa lµ tËp {y ∈ C : f (x, y) > λ} lµ më trong C víi mäi sè thùc λ; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ F : C −→ 2X cho bëi F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} víi mäi x ∈ C. V× víi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi nªn tËp {y ∈ C : f (x, y) > 0} lµ më trong C. Do ®ã F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} lµ ®ãng trong C. V× C lµ tËp compact trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X nªn C lµ ®ãng trong X. Cïng víi F (x) lµ ®ãng trong C víi mäi x ∈ C, ta suy ra F (x) lµ ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Ta chøng minh F lµ ¸nh x¹ KKM. LÊy x1, x2, . . . , xn ∈ C tuú ý, ta chøng minh n  conv({x1, x2, . . . , xn}) ⊂ F (xi). i=1 LÊy y ∈ conv({x1, x2, . . . , xn}) tuú ý, khi ®ã tån t¹i λ1 , λ2, . . . , λn  0 víi n n   λi = 1 sao cho y = λi xi. V× C lµ låi vµ x1, x2, . . . , xn ∈ C nªn y ∈ C. i=1 Gi¶ sö y ∈ / n  i=1 F (xi), khi ®ã f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n. V× f (·, y) i=1 lµ tùa lâm nªn tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi. Tõ x1, x2, . . . , xn ∈ C vµ f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n nªn x1, x2, . . . , xn ∈ {x ∈ C : f (x, y) > n  λi xi ∈ {x ∈ C : 0}. Mµ tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi nªn y = i=1 f (x, y) > 0}, nghÜa lµ f (y, y) > 0. §iÒu nµy tr¸i víi f (x, x)  0 víi mäi 16 x ∈ C. VËy F : C −→ 2X lµ ¸nh x¹ KKM. Theo Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong  F (x) = ∅. Chó ý r»ng, v× F (x) ⊂ C víi mäi x ∈ C vµ C lµ tËp C, ta cã x∈A   F (x) = ∅. LÊy y ∗ ∈ F (x), khi ®ã y ∗ ∈ C compact trong X nªn ta cã ∗ x∈C x∈C vµ f (x, y )  0 víi mäi x ∈ C. §Þnh lý ®−îc chøng minh. Xem kü l¹i chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ky Fan th× ®iÒu kiÖn ”víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ tùa lâm” chØ ®−îc sö dông ®Ó chøng minh tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi. Do ®ã ®iÒu kiÖn thø nhÊt trong bÊt ®¼ng thøc Ky Fan cã thÓ ®−îc thay thÕ b»ng ®iÒu kiÖn ”víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi”. Do ®ã bÊt ®¼ng thøc Ky Fan cã thÓ ®−îc ph¸t biÓu l¹i cho ”tèt h¬n” nh− sau: §Þnh lý 1.2.4. Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. Trong bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, ®iÒu kiÖn C lµ tËp compact lµ cÇn thiÕt cho chøng minh. Sau ®©y ta sÏ thay ®iÒu kiÖn C lµ tËp compact b»ng ®iÒu kiÖn C lµ tËp ®ãng, ®iÒu thó vÞ lµ kh«ng gian nÒn X chØ cÇn gi¶ thiÕt lµ kh«ng gian vect¬ t«p«. §Þnh lý 1.2.5. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C; (iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng B trong C vµ w0 ∈ C sao cho f (w0, x) > 0 víi mäi x ∈ C\B. Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. 17 Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ F : C −→ 2X cho bëi F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} víi mäi x ∈ C. V× víi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi nªn tËp {y ∈ C : f (x, y) > 0} lµ më trong C. Do ®ã F (x) = {y ∈ C : f (x, y)  0} lµ ®ãng trong C. V× C lµ tËp ®ãng trong X nªn ta suy ra F (x) lµ ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Ta chøng minh F lµ ¸nh x¹ KKM. LÊy x1, x2, . . . , xn ∈ C tuú ý, ta chøng minh n  conv({x1, x2, . . . , xn}) ⊂ F (xi). i=1 LÊy y ∈ conv({x1, x2, . . . , xn}) tuú ý, khi ®ã tån t¹i ξ1 , ξ2, . . . , ξn  0 n n   ξi = 1 sao cho y = ξi xi . V× C lµ låi vµ x1, x2, . . . , xn ∈ C víi i=1 i=1 nªn y ∈ C. Gi¶ sö y ∈ / n  F (xi), khi ®ã f (xi, y) > 0 víi mäi i = i=1 1, 2, . . . , n. V× x1, x2, . . . , xn ∈ C vµ f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n nªn x1, x2, . . . , xn ∈ {x ∈ C : f (x, y) > 0}. V× tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ n  låi nªn y = ξi xi ∈ {x ∈ C : f (x, y) > 0}, nghÜa lµ f (y, y) > 0. §iÒu nµy i=1 tr¸i víi f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. VËy F : C −→ 2X lµ ¸nh x¹ KKM. Theo Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong  C, ta cã F (x) = ∅. Chó ý r»ng, tõ ®iÒu kiÖn (iv) ta cã F (w0) ⊂ B. ThËt x∈A vËy, víi x ∈ F (w0) th× x ∈ C vµ f (w0, x)  0. Khi ®ã x ∈ B v× nÕu kh«ng th× x ∈ C\B vµ do ®ã f (w0, x) > 0 theo ®iÒu kiÖn (iv), tr¸i víi f (w0, x)  0. VËy F (w0) ⊂ B, chó ý r»ng v× B lµ tËp compact nªn ta cã  F (x) = ∅. LÊy y ∗ ∈  x∈C F (x), khi ®ã y ∗ ∈ C vµ f (x, y ∗)  0 víi mäi x ∈ C. §Þnh lý x∈C ®−îc chøng minh. B»ng c¸ch ®æi vai trß cña hai biÕn x vµ y trong §Þnh lý 1.2.5 ®ång thêi thay f bëi −f , ta thu ®−îc ®Þnh lý sau: §Þnh lý 1.2.6. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: 18 (i) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {y ∈ C : f (x, y) < 0} lµ låi; (ii) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc trªn; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C; (iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng B trong C vµ y0 ∈ C sao cho f (x, y0) < 0 víi mäi x ∈ C\B. Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y)  0 víi mäi y ∈ C. Trong §Þnh lý 1.2.6, ®iÒu kiÖn thø nhÊt cã thÓ ®−îc thay bëi ®iÒu kiÖn: ”víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa låi”, do ®ã ta cã: §Þnh lý 1.2.7. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa låi; (ii) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc trªn; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C; (iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng K trong C vµ y0 ∈ C sao cho f (x, y0) < 0 víi mäi x ∈ C\K. Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y)  0 víi mäi y ∈ C. §Þnh lý 1.2.7 sÏ ®−îc sö dông ®Ó chøng minh sù tån t¹i nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sÏ ®−îc ®Ò cËp ë trong Ch−¬ng 3. B»ng c¸ch ®æi vai trß cña hai biÕn x vµ y , ®«i khi bÊt ®¼ng thøc Ky Fan ë §Þnh lý 1.2.3 ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng sau: §Þnh lý 1.2.8. Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc d−íi; (ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa lâm; (iii) f (x, x)  0 víi mäi x ∈ C. Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y)  0 víi mäi y ∈ C. 19
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan