Môc lôc
Lêi nãi ®Çu
1
Ch−¬ng 1 C¬ së lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p«
3
1.1 Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vµ ®iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . 3
1.2 BÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ øng dông . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ch−¬ng
2.1
2.2
2.3
2 Bµi to¸n c©n b»ng
33
C©n b»ng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bµi to¸n c©n b»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
C¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Ch−¬ng
3.1
3.2
3.3
3 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
60
Bµi to¸n biÕn ph©n cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
KÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . 61
C¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
KÕt luËn
102
Tµi liÖu tham kh¶o
104
Lêi nãi ®Çu
Lý thuyÕt KKM ra ®êi n¨m 1961 víi bµi b¸o cña Ky Fan: ”A generalization
of Tychonoff’s fixed point theorem”, trong ®ã cã mét kÕt qu¶ quan träng mµ
ngµy nay ®−îc gäi lµ nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. KÕt qu¶ nµy lµ sù më réng bæ ®Ò
Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) tõ kh«ng gian tuyÕn tÝnh h÷u h¹n
chiÒu ra kh«ng gian vect¬ t«p« t¸ch bÊt kú. Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM khëi nguån
cho mét lo¹t kÕt qu¶ quan träng kh¸c, cã nhiÒu øng dông trong gi¶i tÝch phi
tuyÕn, ®Æc biÖt lµ mét bÊt ®¼ng thøc minimax mµ ngµy nay gäi lµ bÊt ®¼ng thøc
Ky Fan. Tõ bÊt ®¼ng thøc nµy cã thÓ dÔ dµng suy ra mét sè kÕt qu¶ næi tiÕng
nh− nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Schauder, ®Þnh lý tån t¹i nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n. MÆt kh¸c, còng tõ nguyªn lý ¸nh x¹ KKM cã thÓ nhËn ®−îc ®Þnh
lý ®iÓm bÊt ®éng Browder - Fan, tõ ®©y l¹i nhËn ®−îc ®Þnh lý minimax Sion Neumann, ®Þnh lý tån t¹i ®iÓm c©n b»ng Nash... Nh÷ng kÕt qu¶ nµy ®−îc tËp
hîp l¹i d−íi mét c¸i tªn chung: Lý thuyÕt KKM. Lý thuyÕt nµy ®· ph¸t triÓn ra
c¸c kh«ng gian siªu låi vµ nöa dµn t«p«.
N¨m 1950 chøng kiÕn sù ra ®êi cña mét lý thuyÕt quan träng trong To¸n kinh
tÕ víi bµi b¸o cña John Nash: ”Equilibrium points in n-person games” vÒ trß
ch¬i kh«ng hîp t¸c. Lý thuyÕt nµy cã mét tÇm quan träng ®Æc biÖt trong kinh
tÕ nªn t¸c gi¶ cña nã ®· ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Nobel vµo n¨m 1994. §Þnh lý
c¬ b¶n cña Nash vÒ tån t¹i ®iÓm c©n b»ng cho mét hÖ kinh tÕ ®Õn nay ®· ®−îc
nhiÒu nhµ to¸n häc c¶i tiÕn vµ n©ng cao, tõ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu ra kh«ng
gian v« h¹n chiÒu, tõ ¸nh x¹ ®¬n trÞ ra ¸nh x¹ ®a trÞ,... D¹ng tæng qu¸t nhÊt
cña bµi to¸n c©n b»ng rÊt gÇn víi bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, v× vËy lý thuyÕt KKM
®ãng mét vai trß quan träng khi nghiªn cøu bµi to¸n c©n b»ng, mµ mét tr−êng
hîp riªng lµ c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
C¶ hai lý thuyÕt nªu trªn ®Òu rÊt quan träng vÒ lý thuyÕt vµ øng dông, vÉn
®ang trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn vµ hoµn thiÖn. Cã thÓ nãi lý thuyÕt KKM lµ mét
c¬ së lý thuyÕt cho bµi to¸n c©n b»ng. §· cã nhiÒu bµi b¸o vÒ c¸c vÊn ®Ò nµy
nh−ng theo chóng t«i ®−îc biÕt, ch−a cã mét tµi liÖu nµo giíi thiÖu mét c¸ch hÖ
thèng mèi liªn hÖ gi÷a c¸c lý thuyÕt nãi trªn. V× vËy chóng t«i chän ®Ò tµi: ”Lý
thuyÕt KKM vµ bµi to¸n c©n b»ng” víi hy väng cung cÊp cho ®éc gi¶ nh÷ng
th«ng tin bæ Ých. V× thêi gian h¹n chÕ nªn chóng t«i chØ giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶
c¬ b¶n theo c¸c h−íng nªu trªn, ®Æc biÖt lµ nh÷ng kÕt qu¶ gÇn ®©y.
Trong b¶n luËn v¨n nµy, chóng t«i tr×nh ba ch−¬ng gåm nh÷ng néi dung chÝnh
sau ®©y:
• Ch−¬ng 1 giíi thiÖu c¬ lý thuyÕt KKM trong kh«ng gian vect¬ t«p«.
• Ch−¬ng 2 giíi thiÖu bµi to¸n c©n b»ng.
• Ch−¬ng 3 giíi thiÖu bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
1
Cuèi cïng, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh tíi PGS. TSKH §ç
Hång T©n ®· h−íng dÉn tËn t×nh t¸c gi¶ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Sù chØ b¶o
©n cÇn cña thÇy §ç Hång T©n trong suèt qu¸ tr×nh t¸c gi¶ viÕt luËn v¨n ®· gióp
cho t¸c gi¶ cã ý thøc tr¸ch nhiÖm vµ quyÕt t©m cao khi hoµn thµnh luËn v¨n cña
m×nh. T¸c gi¶ còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi Th¹c sÜ NguyÔn ThÕ Vinh ®·
cung cÊp cho t¸c gi¶ c¸c tµi liÖu quan träng vµ nh÷ng lêi khuyªn quý b¸u. T¸c
gi¶ còng xin ch©n thµnh c¸m ¬n nh÷ng ®ãng gãp bæ Ých cña c¸c thµnh viªn cña
Xªmina ”H×nh häc cña c¸c kh«ng gian Banach vµ lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng” do
Bé m«n Gi¶i tÝch, Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi tæ chøc. T¸c gi¶ xin bµy tá
lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c¸c thÇy c« gi¸o Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc S− ph¹m
Hµ Néi, cïng toµn thÓ b¹n bÌ vµ ng−êi th©n ®· ®ãng gãp ý kiÕn, gióp ®ì, ®éng
viªn t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
Hµ Néi, ngµy 02 th¸ng 09 n¨m 2007
Häc viªn: TrÇn ViÖt Anh1
1
E-mail:
[email protected]
2
Ch−¬ng 1
C¬ së lý thuyÕt KKM trong
kh«ng gian vect¬ t«p«
Trong ch−¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt KKM
trong kh«ng gian vect¬ t«p«. §ã lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, bÊt ®¼ng thøc Ky
Fan vµ c¸c øng dông cña nã. Sau cïng chóng t«i tr×nh bµy mét øng dông kh¸
míi vµ hay cña bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, ®ã lµ chøng minh ®Þnh lý ®Þnh lý ®iÓm
bÊt ®éng Fan-Glicksberg.
1.1
Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vµ ®iÓm bÊt ®éng
N¨m 1929, ba nhµ to¸n häc Knaster, Kuratowski vµ Mazurkiewicz ®· chøng
minh ®−îc mét kÕt qu¶ quan träng mang tªn ”Bæ ®Ò KKM”([35, trang 68]1 ).
§Þnh lý 1.1.1. Cho Δn := conv({e0, e1, . . . , en }) lµ n-®¬n h×nh tiªu chuÈn
trong Rn , trong ®ã ei , i = 0, 1, . . . , n, lµ vect¬ ®¬n vÞ thø (i + 1) cña Rn+1 vµ
c¸c tËp hîp ®ãng F0 , F1, . . . , Fn trong Δn tháa m·n ®iÒu kiÖn:
víi mäi tËp
con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}.
Khi ®ã
n
Fj = ∅.
j=0
§iÒu thó vÞ lµ ”Bæ ®Ò KKM” ®−îc chøng minh dùa trªn mét kÕt qu¶ cña
Sperner n¨m 1928 ([35, trang 67]) vÒ phÐp tam gi¸c ph©n mét ®¬n h×nh, thuéc
lÜnh vùc to¸n häc tæ hîp, mét lÜnh vùc t−ëng chõng nh− kh«ng liªn quan g× ®Õn
lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng. MÆc dï Bæ ®Ò KKM rÊt quan träng, v× nã cho ta mét
chøng minh ®¬n gi¶n Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (xem §Þnh lý 1.1.3),
nh−ng l¹i h¹n chÕ do chØ ¸p dông ®−îc cho c¸c kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu.
§Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, n¨m 1961, nhµ to¸n häc næi tiÕng Ky Fan ®· më réng
Bæ ®Ò KKM cho tr−êng hîp kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff. §Þnh lý cña Ky
Fan ngµy nay ®−îc gäi lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM. Sau ®©y chóng t«i sÏ ph¸t
biÓu vµ chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM b»ng c¸ch sö dông Bæ ®Ò KKM.
§iÒu thó vÞ vµ ng¹c nhiªn lµ Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM vÉn cßn ®óng khi kh«ng
gian nÒn kh«ng cÇn tÝnh ”t¸ch”. Theo nh− t¸c gi¶ ®−îc biÕt th× ý t−ëng chøng
Trong [35], c¸c t¸c gi¶ ph¸t biÓu cho ®¬n h×nh S bÊt kú trong Rn , ë ®©y ta chØ sö dông ®¬n h×nh tiªu chuÈn
Δn trong Rn .
1
3
minh ®Þnh lý sau ®©y gÇn gòi víi ý t−ëng cña Horvath vµ Llinares Ciscar (1996)
khi hä chøng minh nguyªn lý ¸nh x¹ KKM cho nöa dµn t«p« [17], tuy nhiªn
b¶n th©n t¸c gi¶ kh«ng hÒ biÕt phÐp chøng minh nµy.
§Þnh lý 1.1.2 (Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM). Cho C lµ mét tËp hîp kh¸c rçng
trong kh«ng gian vect¬ t«p« X, F : C −→ 2X lµ mét ¸nh x¹ KKM, nghÜa lµ
víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C ta cã
conv(A) ⊂ {F (x) : x ∈ A}.
Gi¶ sö r»ng F (x) lµ tËp ®ãng trong X víi mäi x ∈ C. Khi ®ã víi mäi tËp
hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C, ta cã
F (x) = ∅.
x∈A
Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong
C, ta chøng minh
n
F (aj ) = ∅.
j=0
XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x =
0, 1, . . . , n,
n
λi (x) = 1, th× ΦA (x) =
i=0
n
n
λi (x)ei ∈ Δn, λi (x) 0, i =
i=0
λi (x)ai.
i=0
Víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ pi : Δn −→ R cho bëi, víi x =
n
n
λi ei ∈ Δn, λi 0, i = 0, 1, . . . , n,
λi = 1, th× pi (x) = λi . Râ rµng
i=0
i=0
c¸c ¸nh x¹ pi lµ liªn tôc.
Víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ fi : R −→ X cho bëi fi(λ) = λai víi mäi
λ ∈ R. V× X lµ kh«ng gian vect¬ t«p« nªn fi lµ ¸nh x¹ liªn tôc.
n
fi ◦ pi nªn ΦA : Δn −→ X lµ ¸nh x¹ liªn tôc.
Tõ ®ã, v× ΦA =
i=0
Ta chøng minh víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th×
ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}).
ThËt vËy, víi x =
λj (x)ej ∈ conv({ej : j ∈ J}), λj (x) 0 víi mäi j ∈ J,
j∈J
j∈J
λj (x) = 1, th× ΦA (x) =
λj (x)aj . Do ®ã ΦA(x) ∈ conv({aj : j ∈ J}).
j∈J
4
V× x ∈ conv({ej : j ∈ J}) lµ tuú ý nªn
ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}).
(1.1)
X
V× F : C −→ 2 lµ mét ¸nh x¹ KKM nªn conv({aj : j ∈ J}) ⊂
{F (aj ) : j ∈ J}. KÕt hîp víi (1.1), ta cã ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂
{F (aj ) : j ∈ J}.
Suy ra
−1
conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ΦA ( {F (aj ) : j ∈ J}) = {Φ−1
A (F (aj )) : j ∈ J}.
(1.2)
§Æt Fj = Φ−1
A (F (aj )), j = 0, 1, . . . , n. Khi ®ã theo (1.2),
víi mäi tËp con
kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}.
V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp F (a0 ), F (a1), . . . , F (an ) lµ
®ãng trong X nªn c¸c tËp Fj = Φ−1
A (F (aj )) lµ ®ãng trong Δn . Khi ®ã, theo
n
n
Bæ ®Ò KKM (§Þnh lý 1.1.1)
Fj = ∅. NghÜa lµ
Φ−1
A (F (aj )) = ∅, suy ra
j=0
n
j=0
F (aj ) = ∅.
j=0
VËy Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ®−îc chøng minh.
Trong Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, ta chØ kh¼ng ®Þnh
F (x) = ∅ víi mäi A
x∈A
h÷u h¹n trong C . TÝnh chÊt nµy th−êng ®−îc ph¸t biÓu lµ hä ”{F (x) : x ∈ C}
cã
tÝnh chÊt giao h÷u h¹n”. Trong [35], c¸c t¸c gi¶ ®· ®−a ra ®iÒu kiÖn ®Ó
F (x) = ∅, sau ®©y t¸c gi¶ xin ®−a ra ®iÒu kiÖn cã phÇn ”tèt” h¬n. §iÒu
x∈C
kiÖn ®ã lµ: tån t¹i h÷u h¹n c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , an thuéc C vµ tËp compact K
n
trong kh«ng gian vect¬ t«p« X ®Ó
F (aj ) ⊂ K .
j=1
ThËt vËy, ta chøng minh
F (x) = ∅.
x∈C
F (x) = ∅. Suy ra X = X\
F (x) =
(X\F (x)). V× F (x)
x∈C
x∈C
x∈C
lµ ®ãng trong X vµ K ⊂ X =
(X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ
Gi¶ sö
x∈C
5
phñ më cña tËp compact K . Do ®ã, tån t¹i x1 , x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂
k
k
k
(X\F (xi)) = X\ F (xi). Tõ ®ã ta cã K ∩
F (xi) = ∅. KÕt hîp víi
i=1
n
i=1
F (aj ) ⊂ K , ta suy ra
j=1
n
j=1
F (aj ) ∩
k
i=1
F (xi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i víi tÝnh chÊt
i=1
giao h÷u h¹n cña hä {F (x) : x ∈ C}. VËy
F (x) = ∅.
x∈C
Mét trong nh÷ng ®Þnh lý næi tiÕng nhÊt cña To¸n häc trong thÕ kû tr−íc lµ
Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer. §ã lµ ®Þnh lý trung t©m cña lý thuyÕt ®iÓm
bÊt ®éng vµ còng lµ mét trong nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n cña gi¶i tÝch phi tuyÕn.
§Þnh lý nµy ®−îc Brouwer chøng minh n¨m 1912 dùa vµo mét c«ng cô rÊt s©u
s¾c cña t«p« lµ lý thuyÕt bËc cña ¸nh x¹ liªn tôc nªn kh¸ phøc t¹p. V× thÕ, nhiÒu
nhµ to¸n häc ®· t×m c¸ch chøng minh Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer b»ng
nh÷ng c«ng cô ®¬n gi¶n h¬n. B©y giê ta sÏ chøng minh Nguyªn lý ®iÓm bÊt
®éng Brouwer tõ Bæ ®Ò KKM.
§Þnh lý 1.1.3 (Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer). Cho T : Δn −→ Δn lµ
mét ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã T cã ®iÓm bÊt ®éng trong Δn.2
Chøng minh. Mçi ®iÓm x ∈ Δn ®−îc biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng
x=
n
xi ei , víi xi 0 víi mäi i = 0, 1, . . . , n vµ
i=0
n
xi = 1.
i=0
n
V× T (x) ∈ Δn nªn ta cã thÓ viÕt T (x) =
(T (x))iei , víi (T (x))i 0 víi
mäi i = 0, 1, . . . , n vµ
n
i=0
(T (x))i = 1.
i=0
Víi mçi i = 0, 1, . . . , n, ®Æt
Fi = {x ∈ Δn : xi (T (x))i}.
V× T : Δn −→ Δn lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn c¸c tËp Fi lµ ®ãng trong Δn .
ThËt vËy, víi i = 0, 1, . . . , n, ta xÐt ¸nh x¹ pi : Δn −→ R cho bëi, víi
n
n
λi ei ∈ Δn, λi 0, i = 0, 1, . . . , n,
λi = 1, th× pi(x) = λi . Râ
x=
i=0
i=0
rµng c¸c ¸nh x¹ pi lµ liªn tôc. V× T : Δn −→ Δn lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ
2
Trong mét sè tµi liÖu, Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer th−êng ®−îc ph¸t biÓu lµ:”Mäi ¸nh x¹ liªn tôc tõ
h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong Rn vµo chÝnh nã ®Òu cã ®iÓm bÊt ®éng”.
6
pi : Δn −→ R lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn pi ◦ T : Δn −→ R còng lµ ¸nh x¹ liªn
tôc. Chó ý r»ng, v× (pi ◦ T )(x) = (T (x))i nªn c¸c tËp Fi cã thÓ ®−îc viÕt l¹i
nh− sau
Fi = {x ∈ Δn : pi (x) (pi ◦ T )(x)}.
V× pi : Δn −→ R vµ pi ◦ T : Δn −→ R lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc víi mäi
i = 0, 1, . . . , n nªn c¸c tËp Fi lµ ®ãng trong Δn víi mäi i = 0, 1, . . . , n.
Gi¶ sö I ⊂ {0, 1, . . . , n} lµ mét tËp hîp kh¸c rçng, ta chøng minh
conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Fi : i ∈ I}.
LÊy x ∈ conv({ei : i ∈ I}) tuú ý, khi ®ã x =
i = 0, 1, . . . , n,
n
xi ei víi xi 0 víi mäi
i=0
n
xi = 1 vµ xi = 0 víi mäi i ∈
/ I.
i=0
Ta chøng minh x ∈ {Fi : i ∈ I}. Gi¶ sö x ∈
/ Fi víi mäi i ∈ I, suy ra
xi < (T (x))i víi mäi i ∈ I.
Khi ®ã ta gÆp m©u thuÉn
1=
n
i=0
VËy x ∈
xi =
i∈I
n
xi <
(T (x))i
(T (x))i = 1.
i=0
i∈I
{Fi : i ∈ I}. V× x ∈ conv({ei : i ∈ I}) lµ tuú ý nªn conv({ei :
n
i ∈ I}) ⊂
{Fi : i ∈ I}. Theo Bæ ®Ò KKM
Fi = ∅, nghÜa lµ tån t¹i
x∗ ∈
n
i=0
Fi . Khi ®ã x∗ ∈ Fi víi mäi i = 0, 1, . . . , n hay x∗i (T (x∗))i
i=0
víi mäi i = 0, 1, . . . , n. KÕt hîp víi
n
i=0
x∗i
=1=
n
(T (x∗))i, ta suy ra
i=0
x∗i = (T (x∗))i víi mäi i = 0, 1, . . . , n. Do ®ã T (x∗) = x∗. VËy T cã ®iÓm
bÊt ®éng trong Δn.
Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer cã néi dung trùc quan rÊt tù nhiªn nh−
sau. Gi¶ sö cã n + 1 doanh nghiÖp c¹nh tranh nhau trªn mét thÞ tr−êng, vµ mçi
®iÓm x ∈ Δn biÓu thÞ t×nh thÕ trong ®ã doanh nghiÖp i chiÕm ®−îc mét thÞ phÇn
b»ng xi. Do c¹nh tranh nªn tõ mét t×nh thÕ x ∈ Δn cã thÓ dÉn tíi t×nh thÕ míi
f (x). §−¬ng nhiªn, doanh nghiÖp i mong muèn chuyÓn ®Õn mét t×nh thÕ f (x)
7
víi (f (x))i > xi. Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer cho biÕt nÕu ¸nh x¹ f liªn
tôc th× bao giê còng cã mét ®iÓm x∗ = f (x∗), nghÜa lµ mét t×nh thÕ c©n b»ng
mµ kh«ng doanh nghiÖp nµo muèn thay ®æi ®Ó ®−îc lîi h¬n. ChÝnh v× thÕ mµ
Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (cïng víi c¸c më réng cña nã) lµ c«ng cô
x©y dùng c¸c lý thuyÕt c©n b»ng trong kinh tÕ vµ nhiÒu lÜnh vùc kh¸c.
Trong chøng minh Bæ ®Ò KKM, tÝnh ®ãng cña c¸c tËp F0 , F1 , . . . , Fn lµ b¾t
buéc. Mét ®iÒu bÊt ngê lý thó lµ tÝnh ®ãng ë ®©y cã thÓ thay b»ng tÝnh më vµ
viÖc chøng minh l¹i dùa chÝnh vµo Bæ ®Ò KKM.
§Þnh lý 1.1.4. Cho F0, F1, . . . , Fn lµ c¸c tËp hîp më trong Δn tháa m·n ®iÒu
kiÖn: víi mäi tËp con kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã
conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}.
Khi ®ã
n
Fj = ∅.
j=0
Chøng minh. Víi mçi y ∈
n
Fi , ®Æt Hy =
i=0
n
{Fi : y ∈ Fi }. Khi ®ã y ∈ Hy
i=0
vµ Hy lµ tËp hîp më trong Δn . Do ®ã tån t¹i tËp hîp më Uy trong Δn sao
cho y ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Hy .
Víi mäi I ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã
Fi }.
{Fi : i ∈ I} ⊂ {Uy : y ∈
i∈I
vµ
conv({ei : i ∈ I}) ⊂
Suy ra
{Fi : i ∈ I}.
conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈
Fi}.
i∈I
: i ∈ I}) lµ tËp compact trong Rn+1 nªn tån t¹i tËp h÷u h¹n kh¸c
V× conv({ei
rçng BI ⊂
Fi sao cho
i∈I
conv({ei : i ∈ I}) ⊂
{Uy : y ∈ BI }.
§Æt B = {BI : I ⊂ {0, 1, . . . , n}} th× B lµ tËp h÷u h¹n kh¸c rçng.
Víi mçi i ∈ {0, 1, . . . , n}, ®Æt
Gi = {U y : y ∈ B, Uy ⊂ Fi }.
8
Ta chøng tá r»ng tËp Gi lµ x¸c ®Þnh. §Æt I = {i}, v× BI = ∅ nªn tån t¹i
y ∈ BI . Ngoµi ra v× BI ⊂ Fi nªn y ∈ Fi. Theo ®Þnh nghÜa cña Hy th× Hy ⊂ Fi
vµ do ®ã Uy ⊂ Fi . V× y ∈ BI vµ BI ⊂ B nªn y ∈ B. VËy tån t¹i y ∈ B ®Ó
Uy ⊂ Fi , tøc lµ tËp Gi x¸c ®Þnh. Mµ B lµ tËp h÷u h¹n nªn Gi lµ tËp hîp ®ãng
trong Δn.
NÕu z ∈ Gi th× tån t¹i y ∈ B ®Ó y ∈ Uy ⊂ Fi vµ z ∈ U y ⊂ Hy . Tõ ®Þnh nghÜa
cña Hy , ta suy ra z ∈ Fi . VËy Gi ⊂ Fi .
B©y giê ta chøng minh conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I} víi mäi tËp con
kh¸c rçng I cña {0, 1, . . . , n}.
LÊy z ∈ conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Uy : y ∈ BI } th× tån t¹i y ∈ BI ⊂ {Fi :
i ∈ I} ®Ó z ∈ Uy . Do ®ã tån t¹i j ∈ I ®Ó y ∈ Fj . Theo ®Þnh nghÜa cña Hy
th× Hy ⊂ Fj , do ®ã Uy ⊂ Fj .
MÆt kh¸c, tõ ®Þnh nghÜa cña
Gj th× U y ⊂ Gj vµ do ®ã z ∈ Uy ⊂ U y ⊂ Gj
hay z ∈ Gj . VËy ta cã z ∈ {Gi : i ∈ I}. V× z ∈ conv({ei : i ∈ I}) lµ
tïy ý nªn conv({ei : i ∈ I}) ⊂ {Gi : i ∈ I}. Chó ý r»ng, v× c¸c tËp Gi
n
lµ ®ãng trong Δn nªn theo §Þnh lý 1.1.1
Gj = ∅. Tõ Gj ⊂ Fj víi mäi
j = 0, 1, . . . , n, ta suy ra
n
j=0
Fj = ∅. §Þnh lý ®−îc chøng minh.
j=0
§Þnh lý 1.1.4 ®−îc gäi lµ Bæ ®Ò KKM cho c¸c tËp hîp më. VËn dông §Þnh
lý 1.1.4, ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý Shih.
§Þnh lý 1.1.5 (§Þnh lý Shih). Cho C lµ mét tËp hîp låi kh¸c rçng trong
kh«ng gian vect¬ t«p« X vµ A lµ mét tËp con h÷u h¹n cña C. Gi¶ sö
F : A −→ 2C lµ mét ¸nh x¹ KKM vµ F (x) lµ tËp më trong C víi mäi x ∈ A.
Khi ®ã
F (x) = ∅.
x∈A
Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong
C, ta chøng minh
n
F (aj ) = ∅.
j=0
XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x =
0, 1, . . . , n,
n
λi (x) = 1, th× ΦA (x) =
i=0
n
i=0
9
n
λi (x)ei ∈ Δn, λi (x) 0, i =
i=0
λi (x)ai.
Ta thÊy r»ng ΦA (x) ∈ C víi mäi x ∈ Δn . ThËt vËy, víi x =
Δn , λi (x) 0, i = 0, 1, . . . , n,
n
n
λi (x)ei ∈
i=0
λi (x) = 1 th×
i=0
ΦA (x) =
n
λi (x)ai ∈ conv({a0 , a1, . . . , an }).
i=0
V× a0 , a1, . . . , an ∈ C vµ C lµ tËp låi nªn conv({a0, a1 , . . . , an }) ⊂ C, do ®ã
ΦA (x) ∈ C.
Khi ®ã, theo nh− chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ta cã ΦA : Δn −→ X
lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th×
ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ conv({aj : j ∈ J}).
(1.3)
C
V× F : A −→ 2 lµ mét ¸nh x¹ KKM nªn conv({aj : j ∈ J}) ⊂
{F (aj ) : j ∈ J} víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n}. Tõ
gi¶ thiÕt F (x) lµ tËp më trong C víi mäi x ∈ A, ta cã thÓ viÕt F (x) =
C ∩ T (x) víi T (x) lµ tËp më trong X víi mäi x
∈ A. V× F (x) ⊂ T (x)
víi mäi x ∈ A nªn tõ conv({aj : j ∈ J}) ⊂
{F (aj ) : j ∈ J} ta
cã conv({aj : j ∈ J}) ⊂
{T (aj ) : j ∈ J}. KÕt hîp víi (1.3), ta cã
ΦA (conv({ej : j ∈ J})) ⊂ {T (aj ) : j ∈ J}.
Suy ra
−1
conv({ej : j ∈ J}) ⊂ ΦA ( {T (aj ) : j ∈ J}) = {Φ−1
A (T (aj )) : j ∈ J}.
(1.4)
§Æt Tj = Φ−1
A (T (aj )), j = 0, 1, . . . , n. Khi ®ã theo (1.4),
víi mäi tËp con
kh¸c rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Tj : j ∈ J}.
V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp T (a0), T (a1), . . . , T (an)
lµ më trong X nªn c¸c tËp Tj = Φ−1
A (T (aj )), j = 0, 1, . . . , n lµ më trong
n
Tj = ∅.
Δn . Khi ®ã, theo Bæ ®Ò KKM cho c¸c tËp hîp më (§Þnh lý 1.1.4)
NghÜa lµ
n
n
j=0
Φ−1
A (T (aj )) = ∅. LÊy x ∈
n
j=0
Φ−1
A (T (aj )) th× x ∈ Δn vµ ΦA (x) ∈
j=0
T (aj ). KÕt hîp víi ΦA (x) ∈ C, ta suy ra ΦA (x) ∈
j=0
n
(C ∩ T (aj )) hay
j=0
10
ΦA (x) ∈
n
F (aj ). VËy
j=0
n
F (aj ) = ∅.
j=0
VËy ®Þnh lý Shih ®−îc chøng minh.
B»ng c¸ch sö dông ®Þnh lý Shih, ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng
Fan-Glicksberg (xem [35, trang 91]). Trong môc tiÕp theo, ta sÏ chøng minh
®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Fan-Glicksberg b»ng c¸ch sö dông bÊt ®¼ng thøc Ky Fan
vµ ®Þnh lý Hahn-Banach.
Ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ Bæ ®Ò sau:
§Þnh nghÜa 1.1.6. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian t«p« vµ T : X −→ 2Y , khi
®ã
•. T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mäi tËp hîp G
më chøa T (x0), tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G víi mäi
x ∈ U . NÕu ¸nh x¹ T nöa liªn tôc trªn t¹i mäi x ∈ X th× T ®−îc gäi lµ nöa
liªn tôc trªn.
• T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mäi tËp hîp G
më tháa m·n G ∩ T (x0) = ∅, tån t¹i l©n cËn U cña x0 trong X sao cho
G ∩ T (x) = ∅ víi mäi x ∈ U . NÕu ¸nh x¹ T nöa liªn tôc d−íi t¹i mäi x ∈ X
th× T ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi.
• T ®−îc gäi lµ ®ãng nÕu ®å thÞ Gr(T ) := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x)} cña
T lµ tËp ®ãng trong X × Y .
Bæ ®Ò 1.1.7. Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian t«p« Hausdorff vµ T : X −→ 2Y
lµ ¸nh x¹ ®a trÞ.
(i) NÕu X lµ compact vµ T lµ nöa liªn tôc trªn víi gi¸ trÞ compact th× T (X)
lµ compact.
(ii) NÕu Y lµ compact vµ T lµ ®ãng th× T lµ nöa liªn tôc trªn.
(iii) NÕu T lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn víi gi¸ trÞ compact th× T lµ ®ãng.
Chøng minh.
(i) Gi¶ sö G = {Gi : i ∈ I} lµ mét phñ më tuú ý cña T (X). Khi ®ã
víi mäi x ∈ X th× G = {Gi : i ∈ I} còng lµ mét
phñ më cña T (x). V×
Gi , trong ®ã
I lµ hä
T (x) lµ compact nªn tån t¹i Ax ∈
I ®Ó T (x) ⊂
i∈Ax
c¸c tËp
con h÷u h¹n kh¸c rçng cña I. V× c¸c tËp Gi lµ më víi mäi i ∈ I
nªn
Gi còng lµ tËp më. Do ®ã tõ tÝnh liªn tôc trªn t¹i ®iÓm x ∈ X
i∈Ax
cña T vµ T (x) ⊂
Gi , tån t¹i l©n cËn më Ux cña x trong X sao cho
i∈Ax
11
T (u) ⊂
Gi víi mäi u ∈ Ux. V× X =
i∈Ax
x∈X
Ux vµ X lµ compact nªn tån
n
Uxi . Ta chøng minh r»ng
t¹i c¸c ®iÓm x1, x2, . . . , xn ∈ X sao cho X =
i=1
T (X) ⊂ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. ThËt vËy lÊy y ∈ T (X) tuú
T (x) nªn tån t¹i x ∈ X ®Ó cho y ∈ T (x). V× x ∈ X vµ
ý, v× T (X) =
X=
n
x∈X
Uxi nªn tån t¹i sè nguyªn d−¬ng k kh«ng v−ît qu¸ n sao cho x ∈ Uxk .
i=1
Do ®ã T (x) ⊂
Gi . KÕt hîp víi y ∈ T (x) vµ
Gi ⊂
{Gi : i ∈
i∈Axk
i∈Axk
Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }, ta suy ra y ∈ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. V×
y ∈ T (X) lµ tuú ý nªn T (X) ⊂ {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn }. Chó
ý r»ng, v× c¸c tËp hîp Axi ∈
I nªn Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn ∈
I. Do ®ã
G0 = {Gi : i ∈ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn } lµ mét phñ con h÷u h¹n cña G. V× mäi
phñ më G cña T (X) ®Òu cã mét phñ con h÷u h¹n G0 nªn T (X) lµ compact.
(ii) LÊy x0 ∈ X tuú ý, ta chøng minh T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x0 vµ do ®ã
T lµ nöa liªn tôc trªn. V× Y lµ compact vµ T (X) lµ ®ãng trong Y nªn T (X)
lµ compact.
Gi¶ sö G lµ tËp më chøa T (x0), ta cÇn ph¶i chøng minh tån t¹i l©n cËn U cña
x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U .
Víi mäi y ∈
/ G, v× G chøa T (x0) nªn y ∈
/ T (x0), do ®ã (x0, y) ∈
/ Gr(T ). V× T
lµ ®ãng, nghÜa lµ Gr(T ) lµ tËp ®ãng trong X ×Y nªn tån t¹i l©n cËn më Vy cña
y trong Y vµ l©n cËn Ux0 (y) cña x0 trong X sao cho (Ux0 (y) × Vy ) ∩ Gr(T ) =
/ G} lµ phñ më cña tËp compact T (X) nªn tån t¹i
∅. V× {Vy ∪ G : y ∈
n
n
y1 , y2, . . . , yn ∈
/ G sao cho T (X) ⊂ (Vyi ∪ G). §Æt U =
Ux0 (yi) th× U
i=1
i=1
lµ l©n cËn cña x0 trong X.
Ta chøng minh T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U .
LÊy z ∈ T (x) tuú ý, tõ T (x) ⊂ T (X) vµ T (X) ⊂
z∈
n
n
(Vyi ∪ G), ta suy ra
i=1
(Vyi ∪ G). Gi¶ sö z ∈
/ G, khi ®ã tån t¹i sè nguyªn d−¬ng k kh«ng v−ît
i=1
qu¸ n sao cho z ∈ Vyk . V× x ∈ U =
n
i=1
12
Ux0 (yi) nªn x ∈ Ux0 (yk ). KÕt hîp
víi z ∈ Vyk vµ z ∈ T (x), ta suy ra (x, z) ∈ (Ux0 (yk ) × Vyk ) ∩ Gr(T ). VËy
(Ux0 (yk )×Vyk )∩Gr(T ) = ∅, tuy nhiªn ®iÒu nµy tr¸i víi (Ux0 (y)×Vy )∩Gr(T ) =
∅ ë trªn. VËy z ∈ G, v× z ∈ T (x) lµ tuú ý nªn T (x) ⊂ G. Nh− vËy, ta ®·
chøng minh ®−îc T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . Chó ý r»ng v× U lµ l©n cËn cña
x0 trong X nªn T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x0 vµ do ®ã T lµ nöa liªn tôc trªn.
(iii) Ta chøng minh T lµ ®ãng, nghÜa lµ ph¶i chøng minh ®å thÞ Gr(T ) :=
{(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x)} cña T lµ tËp ®ãng trong X × Y hay t−¬ng ®−¬ng
víi (X × Y )\ Gr(T ) lµ tËp më trong X × Y Gi¶ sö (a, b) ∈ (X × Y )\ Gr(T ),
suy ra (a, b) ∈
/ Gr(T ) hay b ∈
/ T (a). Suy ra víi mäi y ∈ T (a) th× y = b. V×
Y lµ kh«ng gian t«p« Hausdorff nªn tån t¹i l©n cËn më Vy cña y trong Y vµ
l©n cËn Ub(y) cña b trong Y sao cho Vy ∩ Ub (y) = ∅. V× {Vy : y ∈ T (a)}
lµ phñ më cña tËp compact T (a) nªn tån t¹i y1, y2 , . . . , yn ∈ T (a) sao cho
n
n
T (a) ⊂
Vyi . §Æt G =
Vyi , khi ®ã G lµ tËp më chøa T (a). MÆt kh¸c,
i=1
i=1
v× T lµ nöa liªn tôc trªn t¹i a nªn tån t¹i l©n cËn U cña a trong X sao cho
n
T (x) ⊂ G víi mäi x ∈ U . §Æt V =
Ub(yi) th× V lµ l©n cËn cña b trong Y .
i=1
Ta chøng minh (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅. ThËt vËy, nÕu (U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅,
tøc lµ tån t¹i (x, y) ∈ (U × V ) ∩ Gr(T ). Khi ®ã y ∈ T (x) vµ x ∈ U . V×
n
x ∈ U nªn T (x) ⊂ G. KÕt hîp víi y ∈ T (x), ta suy ra y ∈ G. V× G =
Vyj
j=1
vµ y ∈ G nªn tån t¹i sè nguyªn d−¬ng i kh«ng v−ît qu¸ n ®Ó y ∈ Vyi . Tõ
n
y ∈ V =
Ub(yi), ta suy ra y ∈ Ub (yi). KÕt hîp víi y ∈ Vyi , ta suy ra
i=1
Vyi ∩ Ub(yi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i víi Vy ∩ Ub (y) = ∅ víi mäi y ∈ T (a). VËy
(U × V ) ∩ Gr(T ) = ∅ vµ do ®ã U × V ⊂ (X × Y )\ Gr(T ). Nh− vËy víi mäi
(a, b) ∈ (X × Y )\ Gr(T ), tån t¹i l©n cËn U cña a trong X vµ l©n cËn V cña
b trong Y sao cho U × V ⊂ (X × Y )\ Gr(T ). Do ®ã (X × Y )\ Gr(T ) lµ tËp
më trong X × Y hay Gr(T ) lµ tËp ®ãng trong X × Y . VËy T lµ ®ãng.
KÕt hîp §Þnh lý 1.1.1 vµ §Þnh lý 1.1.4, ta cã Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t
3
sau:
§Þnh lý 1.1.8 (Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t). Cho F0 , F1, . . . , Fn lµ c¸c tËp hîp
®ãng trong Δn (t−¬ng øng më) tháa m·n ®iÒu kiÖn: víi mäi tËp con kh¸c
rçng J ⊂ {0, 1, . . . , n}, ta cã
conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J}.
3
Do t¸c gi¶ tù ®Æt
13
Khi ®ã
n
Fj = ∅.
j=0
VËn dông Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t, ta ph¸t biÓu vµ chøng minh Nguyªn lý ¸nh
x¹ KKM tæng qu¸t 4 sau:
§Þnh lý 1.1.9 (Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM tæng qu¸t). Cho C lµ mét tËp hîp
kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p« X, F : C −→ 2X lµ mét ¸nh x¹ KKM.
Gi¶ sö F (x) lµ tËp ®ãng trong X (t−¬ng øng më) víi mäi x ∈ C. Khi ®ã víi
mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong C, ta cã
F (x) = ∅.
x∈A
H¬n n÷a, nÕu tån t¹i h÷u h¹n c¸c ®iÓm a1 , a2 , . . . , an thuéc C vµ tËp compact
n
F (aj ) ⊂ K th×
K trong kh«ng gian vect¬ t«p« X ®Ó
j=1
F (x) = ∅.
x∈C
Chøng minh. XÐt A = {a0 , a1, . . . , an } lµ tËp con h÷u h¹n kh¸c rçng trong
C, ta chøng minh
n
F (aj ) = ∅.
j=0
XÐt ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X cho bëi, víi x =
0, 1, . . . , n,
n
λi (x) = 1, th× ΦA (x) =
i=0
n
n
λi (x)ei ∈ Δn, λi (x) 0, i =
i=0
λi (x)ai.
i=0
Khi ®ã, theo nh− chøng minh Nguyªn lý ¸nh x¹ KKM ta cã ΦA : Δn −→ X
lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ víi mäi tËp con J kh¸c rçng cña {0, 1, . . . , n} th×
conv({ej : j ∈ J}) ⊂ {Fj : j ∈ J},
(1.5)
trong ®ã Fj = Φ−1
A (F (aj )) víi mäi j = 0, 1, . . . , n.
V× ¸nh x¹ ΦA : Δn −→ X lµ liªn tôc vµ c¸c tËp F (a0 ), F (a1), . . . , F (an ) lµ
®ãng trong X (t−¬ng øng më) nªn c¸c tËp Fj = Φ−1
A (F (aj )) lµ ®ãng trong
4
Do t¸c gi¶ tù ®Æt
14
Δn (t−¬ng øng më). Khi ®ã, theo Bæ ®Ò KKM tæng qu¸t (§Þnh lý 1.1.8)
n
n
n
−1
Fj = ∅. NghÜa lµ
ΦA (F (aj )) = ∅, suy ra
F (aj ) = ∅.
j=0
j=0
Ta chøng minh
j=0
F (x) = ∅.
x∈C
F (x) = ∅. Suy ra X = X\
F (x) =
(X\F (x)). V× K ⊂
Gi¶ sö
x∈C
x∈C
x∈C
(X\F (x)) nªn {X\F (x) : x ∈ C} lµ phñ më cña tËp compact K. Do
X=
x∈C
®ã, tån t¹i x1, x2, . . . , xk ∈ C sao cho K ⊂
Tõ ®ã ta cã K ∩
k
k
i=1
F (xi) = ∅. KÕt hîp víi
i=1
n
F (aj ) ∩
j=1
k
i=1
(X\F (xi))) = X\
F (xi) = ∅ vµ do ®ã
n
F (aj ) ∩
j=1
n
k
F (xi).
i=1
F (aj ) ⊂ K, ta suy ra
j=1
k
F (xi) = ∅. §iÒu nµy tr¸i
i=1
víi tÝnh chÊt giao h÷u h¹n cña hä {F (x) : x ∈ C}. VËy
F (x) = ∅.
x∈C
1.2
BÊt ®¼ng thøc Ky Fan vµ øng dông
Mét hÖ qu¶ quan träng cña nguyªn lý ¸nh x¹ KKM, ®−îc sö dông réng r·i
trong Gi¶i tÝch phi tuyÕn lµ mét bÊt ®¼ng thøc do Ky Fan chøng minh n¨m 1961.
Nh−ng tr−íc hÕt ta cÇn mét sè kh¸i niÖm sau:
§Þnh nghÜa 1.2.1. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p« vµ f : X −→ R lµ mét
hµm sè. Ta nãi r»ng f lµ nöa liªn tôc d−íi nÕu tËp {x ∈ X : f (x) > λ} lµ më
trong X víi mäi λ ∈ R vµ f lµ nöa liªn tôc trªn nÕu tËp {x ∈ X : f (x) < λ}
lµ më trong X víi mäi λ ∈ R.
Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy f nöa liªn tôc trªn nÕu vµ chØ nÕu −f nöa liªn
tôc d−íi.
§Þnh nghÜa 1.2.2. Gi¶ sö C lµ mét tËp hîp trong kh«ng gian vect¬ X vµ
f : C −→ R lµ mét hµm sè. Ta nãi r»ng f lµ tùa lâm nÕu tËp {x ∈ C :
f (x) λ} lµ låi víi mäi λ ∈ R vµ f lµ tùa låi nÕu tËp {x ∈ C : f (x) λ}
lµ låi víi mäi λ ∈ R.
15
DÔ dµng thÊy r»ng nÕu f lµ tùa lâm (t−¬ng øng tùa låi) th× tËp hîp {x ∈ X :
f (x) > λ} (t−¬ng øng tËp hîp {x ∈ X : f (x) < λ}) lµ låi víi mäi λ ∈ R.
B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ky Fan.
§Þnh lý 1.2.3 (BÊt ®¼ng thøc Ky Fan). Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng
trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa
m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau:
(i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ tùa lâm, nghÜa lµ tËp {x ∈ C :
f (x, y) λ} lµ låi víi mäi sè thùc λ;
(ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi, nghÜa lµ tËp
{y ∈ C : f (x, y) > λ} lµ më trong C víi mäi sè thùc λ;
(iii) f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C.
Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗) 0 víi mäi x ∈ C.
Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ F : C −→ 2X cho bëi
F (x) = {y ∈ C : f (x, y) 0} víi mäi x ∈ C.
V× víi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi nªn tËp {y ∈ C :
f (x, y) > 0} lµ më trong C. Do ®ã F (x) = {y ∈ C : f (x, y) 0} lµ ®ãng
trong C. V× C lµ tËp compact trong kh«ng gian vect¬ t«p« Hausdorff X nªn
C lµ ®ãng trong X. Cïng víi F (x) lµ ®ãng trong C víi mäi x ∈ C, ta suy
ra F (x) lµ ®ãng trong X víi mäi x ∈ C.
Ta chøng minh F lµ ¸nh x¹ KKM. LÊy x1, x2, . . . , xn ∈ C tuú ý, ta chøng
minh
n
conv({x1, x2, . . . , xn}) ⊂
F (xi).
i=1
LÊy y ∈ conv({x1, x2, . . . , xn}) tuú ý, khi ®ã tån t¹i λ1 , λ2, . . . , λn 0 víi
n
n
λi = 1 sao cho y =
λi xi. V× C lµ låi vµ x1, x2, . . . , xn ∈ C nªn y ∈ C.
i=1
Gi¶ sö y ∈
/
n
i=1
F (xi), khi ®ã f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n. V× f (·, y)
i=1
lµ tùa lâm nªn tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi. Tõ x1, x2, . . . , xn ∈ C vµ
f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n nªn x1, x2, . . . , xn ∈ {x ∈ C : f (x, y) >
n
λi xi ∈ {x ∈ C :
0}. Mµ tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi nªn y =
i=1
f (x, y) > 0}, nghÜa lµ f (y, y) > 0. §iÒu nµy tr¸i víi f (x, x) 0 víi mäi
16
x ∈ C. VËy F : C −→ 2X lµ ¸nh x¹ KKM.
Theo Nguyªn
lý ¸nh x¹ KKM, víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong
F (x) = ∅. Chó ý r»ng, v× F (x) ⊂ C víi mäi x ∈ C vµ C lµ tËp
C, ta cã
x∈A
F (x) = ∅. LÊy y ∗ ∈
F (x), khi ®ã y ∗ ∈ C
compact trong X nªn ta cã
∗
x∈C
x∈C
vµ f (x, y ) 0 víi mäi x ∈ C. §Þnh lý ®−îc chøng minh.
Xem kü l¹i chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ky Fan th× ®iÒu kiÖn ”víi mçi y ∈ C
cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ tùa lâm” chØ ®−îc sö dông ®Ó chøng minh tËp hîp
{x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi. Do ®ã ®iÒu kiÖn thø nhÊt trong bÊt ®¼ng thøc Ky
Fan cã thÓ ®−îc thay thÕ b»ng ®iÒu kiÖn ”víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp
{x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi”. Do ®ã bÊt ®¼ng thøc Ky Fan cã thÓ ®−îc ph¸t
biÓu l¹i cho ”tèt h¬n” nh− sau:
§Þnh lý 1.2.4. Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬
t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu
kiÖn sau:
(i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi;
(ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi;
(iii) f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C.
Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗) 0 víi mäi x ∈ C.
Trong bÊt ®¼ng thøc Ky Fan, ®iÒu kiÖn C lµ tËp compact lµ cÇn thiÕt cho
chøng minh. Sau ®©y ta sÏ thay ®iÒu kiÖn C lµ tËp compact b»ng ®iÒu kiÖn C lµ
tËp ®ãng, ®iÒu thó vÞ lµ kh«ng gian nÒn X chØ cÇn gi¶ thiÕt lµ kh«ng gian vect¬
t«p«.
§Þnh lý 1.2.5. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p«
X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau:
(i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ låi;
(ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi;
(iii) f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C;
(iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng B trong C vµ w0 ∈ C sao cho
f (w0, x) > 0 víi mäi x ∈ C\B.
Khi ®ã tån t¹i y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗) 0 víi mäi x ∈ C.
17
Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ F : C −→ 2X cho bëi
F (x) = {y ∈ C : f (x, y) 0} víi mäi x ∈ C.
V× víi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ nöa liªn tôc d−íi nªn tËp {y ∈ C :
f (x, y) > 0} lµ më trong C. Do ®ã F (x) = {y ∈ C : f (x, y) 0} lµ ®ãng
trong C. V× C lµ tËp ®ãng trong X nªn ta suy ra F (x) lµ ®ãng trong X víi
mäi x ∈ C.
Ta chøng minh F lµ ¸nh x¹ KKM. LÊy x1, x2, . . . , xn ∈ C tuú ý, ta chøng
minh
n
conv({x1, x2, . . . , xn}) ⊂
F (xi).
i=1
LÊy y ∈ conv({x1, x2, . . . , xn}) tuú ý, khi ®ã tån t¹i ξ1 , ξ2, . . . , ξn 0
n
n
ξi = 1 sao cho y =
ξi xi . V× C lµ låi vµ x1, x2, . . . , xn ∈ C
víi
i=1
i=1
nªn y ∈ C.
Gi¶ sö y ∈
/
n
F (xi), khi ®ã f (xi, y) > 0 víi mäi i =
i=1
1, 2, . . . , n. V× x1, x2, . . . , xn ∈ C vµ f (xi, y) > 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , n
nªn x1, x2, . . . , xn ∈ {x ∈ C : f (x, y) > 0}. V× tËp {x ∈ C : f (x, y) > 0} lµ
n
låi nªn y =
ξi xi ∈ {x ∈ C : f (x, y) > 0}, nghÜa lµ f (y, y) > 0. §iÒu nµy
i=1
tr¸i víi f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C. VËy F : C −→ 2X lµ ¸nh x¹ KKM.
Theo Nguyªn
lý ¸nh x¹ KKM, víi mäi tËp hîp h÷u h¹n kh¸c rçng A trong
C, ta cã
F (x) = ∅. Chó ý r»ng, tõ ®iÒu kiÖn (iv) ta cã F (w0) ⊂ B. ThËt
x∈A
vËy, víi x ∈ F (w0) th× x ∈ C vµ f (w0, x) 0. Khi ®ã x ∈ B v× nÕu kh«ng
th× x ∈ C\B vµ do ®ã f (w0, x) > 0 theo ®iÒu kiÖn (iv), tr¸i víi f (w0, x) 0.
VËy F (w0) ⊂ B, chó ý r»ng v× B lµ tËp compact nªn ta cã
F (x) = ∅.
LÊy y ∗ ∈
x∈C
F (x), khi ®ã y ∗ ∈ C vµ f (x, y ∗) 0 víi mäi x ∈ C. §Þnh lý
x∈C
®−îc chøng minh.
B»ng c¸ch ®æi vai trß cña hai biÕn x vµ y trong §Þnh lý 1.2.5 ®ång thêi thay
f bëi −f , ta thu ®−îc ®Þnh lý sau:
§Þnh lý 1.2.6. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p«
X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau:
18
(i) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× tËp hîp {y ∈ C : f (x, y) < 0} lµ låi;
(ii) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc trªn;
(iii) f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C;
(iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng B trong C vµ y0 ∈ C sao cho
f (x, y0) < 0 víi mäi x ∈ C\B.
Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) 0 víi mäi y ∈ C.
Trong §Þnh lý 1.2.6, ®iÒu kiÖn thø nhÊt cã thÓ ®−îc thay bëi ®iÒu kiÖn: ”víi
mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa låi”, do ®ã ta cã:
§Þnh lý 1.2.7. Cho C lµ tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬ t«p«
X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau:
(i) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa låi;
(ii) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc trªn;
(iii) f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C;
(iv) tån t¹i tËp con compact kh¸c rçng K trong C vµ y0 ∈ C sao cho
f (x, y0) < 0 víi mäi x ∈ C\K.
Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) 0 víi mäi y ∈ C.
§Þnh lý 1.2.7 sÏ ®−îc sö dông ®Ó chøng minh sù tån t¹i nghiÖm cña c¸c bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n sÏ ®−îc ®Ò cËp ë trong Ch−¬ng 3.
B»ng c¸ch ®æi vai trß cña hai biÕn x vµ y , ®«i khi bÊt ®¼ng thøc Ky Fan ë
§Þnh lý 1.2.3 ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng sau:
§Þnh lý 1.2.8. Cho C lµ tËp låi compact kh¸c rçng trong kh«ng gian vect¬
t«p« Hausdorff X vµ hµm sè f : C × C −→ R tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu
kiÖn sau:
(i) víi mçi y ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (·, y) lµ nöa liªn tôc d−íi;
(ii) víi mçi x ∈ C cè ®Þnh th× hµm f (x, ·) lµ tùa lâm;
(iii) f (x, x) 0 víi mäi x ∈ C.
Khi ®ã tån t¹i x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) 0 víi mäi y ∈ C.
19