Tài liệu Luận văn Thạc sĩ Toán học Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Nhật Cương DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn NgọcThái Nguyên ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Nhật Cương DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn NgọcThái Nguyên 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. 3 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản 6 1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . . . . . . 1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci 1.1.2. Định nghĩa dãy Lucas 6 ............. 6 ............... 8 1.2. Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas . . . . 10 1.3.1. Tỷ số vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 11 1.4. Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . 1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. Các hệ thức về tổng hữu hạn ........... Các hệ thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 19 Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas 25 Chương 2. Các tính chất số học của dãy Fibonacci và dãy Lucas 2.1. Các tính chất số học của dãy Fibonacci . . . . . . . . . . 2.2. Các tính chất số học của dãy Lucas ........... 2.3. Tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci với dãy Lucas Chương 3. Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các 32 32 47 49 2 ứng dụng 3.1. Dãy Fibonacci với toán học 51 51 ................ 3.1.1. Dãy Fibonacci và tam giác Pascal . . . . . . . . . 51 3.1.2. Dãy Fibonacci và hệ nhị phân . . . . . . . . . . . 53 3.1.3. Dãy Fibonacci và tam giác vuông . . . . . . . . . 53 3.1.4. Dãy Fibonacci và hình học . . . . . . . . . . . . . 54 3.2. Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên . . . . . . . . . . 57 3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” với ứng dụng ....... 69 3.3.1. Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính . . . . . 69 3.3.2. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong thiết kế . . . 72 3.3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong kiến trúc 3.3.4. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong nghệ thuật 3.3.5. Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75 . 77 79 81 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài luận văn Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 – 1250), còn được biết đến với tên Leonardo của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên Fibonacci, là một nhà toán học người Ý và ông được một số người xem là “nhà toán học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Fibonacci nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách về Toán đố năm 1202. 3 Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học. Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Nói đến dãy Fibonacci không thể không nói đến dãy Lucas, bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci. Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “một phần là từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)”. Sau Fibonacci, còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), ... và rất nhiều tính chất của dãy đã được mang tên các nhà Khoa học này. Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều và còn tản mạn. Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng một cách đầy đủ và hợp nhất hơn. Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng là rất cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học và sự hiểu biết của con người. Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng” được tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa trên các tài liệu tham khảo. 2. Mục đích của đề tài luận văn Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas cùng với các tính chất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữa chúng. Đặc biệt, giúp mọi người nắm được những ứng dụng quan trọng và sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên. 3. Bố cục của luận văn Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng” gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản. Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas, số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas. Một số hệ thức của dãy Fibonacci, dãy Lucas và các hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas. Khác với nhiều tài liệu tham khảo, bản luận văn này giới thiệu cách chứng minh đơn giản các tính chất về tổng 4 hữu hạn của dãy Fibonacci và dãy Lucas. Trong đó, số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, chứng minh các tính chất cơ bản của dãy Lucas là sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả. Chương 2 . Các tính chất số học của số Fibonacci và số Lucas. Trong chương này, trình bày một số tính chất số học của dãy Fibonacci, dãy Lucas và tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci và dãy Lucas. Chương 3 . Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các ứng dụng. Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toán học, sự xuất hiện của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và một số ứng dụng quan trọng của dãy Fibonacci. Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy. Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4 Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện Sơn Dương- Tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để tham gia học tập và hoàn thành khóa học. Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này. Thái Nguyên, ngày 08 tháng 02 năm 2015 Tác giả Vũ Nhật Cương 5 Chương 1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản Các kí hiệu Các số Fibonacci: Fn,n = 0,1,2,3,4,... Các số Lucas: Ln,n = 0,1,2,3,4,... Tỷ số vàng: ϕ. Phần nguyên của số a: bac. 1.1. 1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas Định nghĩa dãy Fibonacci Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách Liber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo của Pisa - được biết đến với tên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong toán học Ấn Độ. Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý tưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái trong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới hai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các con thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra một cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi. Câu đố mà Fibonacci đặt ra là: Trong một năm có bao nhiêu cặp thỏ? • Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp. • Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới, vì vậy bây giờ có 1 + 1 = 2 (cặp) thỏ trong cánh đồng. • Vào cuối tháng thứ ba, thỏ cái ban đầu lại tạo ra một cặp thỏ nữa, biến số lượng thỏ trong cánh đồng lúc này là 2 + 1 = 3 (cặp). • Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ cái ban đầu đã sinh thêm một cặp mới, thỏ cái sinh ra cách đây hai tháng cũng cho ra một cặp đầu tiên, tổng số lúc này là 3 + 2 = 5 (cặp). 6 Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp mới (bằng số lượng các cặp trong tháng (n−2)) cộng với số cặp trong tháng (n − 1). Đây là số Fibonacci thứ n. Theo từng thế hệ, số lượng cặp thỏ là một dãy các con số sau này được biết với tên số Fibonacci. Tên gọi “dãy Fibonacci” lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 19 bởi nhà toán học Édouard Lucas. Định nghĩa 1.1.1. Dãy {Fn} các con số Fibonacci được định nghĩa bởi hệ thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2,n ≥ 2, (1.1) với các giá trị ban đầu F0 = 0,F1 = 1. Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... 1.1.2. Định nghĩa dãy Lucas Dãy Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy 7 Fibonacci và dãy thuộc họ Fibonacci mà mỗi số trong dãy bằng tổng của hai số liền trước nó. Định nghĩa 1.1.2. Dãy {Ln} các con số Lucas được định nghĩa bởi hệ thức truy hồi sau: Ln = Ln−1 + Ln−2,n ≥ 2, với các giá trị ban đầu L0 = 2,L1 = 1. Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas: 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,... 1.2. Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm 1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm Từ công thức truy hồi (1.1), ta có công thức Fn−2 = Fn − Fn−1 để mở rộng các số Fibonacci với chỉ số âm. Ta có F−1 = F1−2 = F1 − F0 = 1 − 0 = 1, F−2 = F0−2 = F0 − F−1 = 0 − 1 = −1, F−3 = F−1 − F−2 = 1 − (−1) = 2, F−4 = F−2 − F−3 = −1 − 2 = −3, F−5 = F−3 − F−4 = 2 − (−3) = 5, F−6 = F−4 − F−5 = −3 − 5 = −8, F−7 = F−5 − F−6 = 5 − (−8) = 13, ... (1.2) 8 Bằng phương pháp quy nạp, ta có F−n = (−1)n+1 Fn. Thật vậy, với n = 1 ta có F−1 = 1 = (−1)1+1 F1. Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với n + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.1), ta có F−(n+1) = F−(n−1) − F−n = (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn = (−1)n+2 Fn + (−1)n+2 F(n−1) = (−1)n+2 (Fn + F(n−1)) = (−1)n+2 Fn+1. Từ đó, suy ra Bổ đề 1.2.1. F−n = (−1)n+1 Fn. 1.2.2. Số Lucas với chỉ số âm Từ công thức truy hồi (1.2), ta có Ln−2 = Ln − Ln−1 để mở rộng các số Lucas với chỉ số âm. Ta có L−1 = L1−2 = L1 − L0 = 1 − 2 = −1, L−2 = L0−2 = L0 − L−1 = 2 + 1 = 3, L−3 = L−1 − L−2 = −1 − 3 = −4, L−4 = L−2 − L−3 = 3 + 4 = 7, (1.3) 9 L−5 = L−3 − L−4 = −4 − 7 = −11, L−6 = L−4 − L−5 = 7 + 11 = 18, L−7 = L−5 − L−6 = −11 − 18 = −29, ... Bằng phương pháp quy nạp, ta có L−n = (−1)n Ln. Thật vậy, với n = 1 ta có L−1 = −1 = (−1)1 L1. Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với n + 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.2), ta có L−(n+1) = L−(n−1) − L−n = (−1)n−1 Ln−1 − (−1)n Ln = (−1)n+1 Ln + (−1)n+1 L(n−1) = (−1)n+1 (Ln + L(n−1)) = (−1)n+1 Ln+1. Từ đó, suy ra Bổ đề 1.2.2. L−n = (−1)n Ln. 1.3. 1.3.1. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas Tỷ số vàng (1.4) 10 Tỷ số vàng ϕ ( phi ) được định nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần (a và b) sao cho tỷ số giữa cả hai đoạn (a + b) với đoạn lớn hơn (a) bằng tỷ số giữa đoạn lớn (a) và đoạn nhỏ (b). . Ta quy độ dài đoạn thẳng a + b về đơn vị 1 và gọi độ dài đoạn lớn là x (x > 0), lập tỷ số ta được phương trình , hay x2 + x − 1 = 0. Giải phương trình, ta được nghiệm dương . Do đó, ta có (1.5) Tỷ số vàng ϕ còn được gọi là tỷ lệ vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh và nó có mối liên hệ mật thiết với dãy Fibonacci, dãy Lucas. 1.3.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas Cả các số Fibonacci và Lucas đều có công thức an+2 := an + an+1,n > 0. (1.6) Có được các số Fibonacci bằng cách thiết lập a0 = 0,a1 = 1 và các số Lucas với a0 = 2,a1 = 1. Từ công thức (1.6), ta có . 11 Ta xét . ⇒ A có các giá trị riêng (1.7) . (1.8) Từ đó, ta có công thức . Kết hợp với phương trình trên, ta được công thức . Đối với những con số Fibonacci với a0 = 0,a1 = 1, ta được công thức sau Bổ đề 1.3.1. (Binet,1843). . (1.9) Chú ý 1.3.1. Đối với những con số Lucas với a0 = 2,a1 = 1, ta được công thức sau Bổ đề 1.3.2. Ln := ϕn + (−ϕ−1)n. (1.10) 12 Chú ý 1.3.2. . 1.4. Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas 1.4.1. Các hệ thức về tổng hữu hạn Tính chất 1.4.1. . (1.11) Chứng minh. Ta có F0 = F2 − F1 , F1 = F3 − F2 , F2 = F4 − F3 , F3 = F5 − F4 , . Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn+2 − F1, hay . Tính chất 1.4.2. . Chứng minh. Ta có (1.12) 13 L0 = L2 − L1, L1 = L3 − L2, L2 = L4 − L3, L3 = L5 − L4, . Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được L0 + L1 + L2 + L3 + ... + Ln = Ln+2 − L1, hay . Tính chất 1.4.3. i) Tổng các số Fibonacci với chỉ số lẻ n−1 X (1.13) F2i+1 = F2n. i=0 ii) Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn . (1.14) Chứng minh. i) Ta có F1 = F2 , F3 = F4 − F2 , F5 = F6 − F4 , , 14 Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được n−1 X F2i+1 = F2n. i=0 ii) Từ (1.11), ta có đẳng thức 2n X Fi = F2n+2 − 1. (1.15) i=0 Lấy đẳng thức (1.15) trừ đi đẳng thức (1.13) vế với vế, ta được . Theo (1.1), ta được . Hệ quả 1.4.1. F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n+1Fn = (−1)n+1Fn−1 + 1. (1.16) Tính chất 1.4.4. i) Tổng các số Lucas với chỉ số lẻ n−1 X L2i+1 = L2n − 2. (1.17) i=0 ii) Tổng các số Lucas với chỉ số chẵn . Chứng minh. i) Ta có L1 = L2 − L0, L3 = L4 − L2, (1.18) 15 L5 = L6 − L4, , Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được n−1 X L2i+1 = L2n − L0, i=0 hay n−1 X L2i+1 = L2n − 2. i=0 ii) Từ (1.12), ta có đẳng thức . (1.19) Lấy đẳng thức (1.19) trừ đi đẳng thức (1.17) vế với vế, ta được n−1 X L2i = L2n+2 − 1 − (L2n − 2), i=0 Theo (1.2), ta được . Hệ quả 1.4.2. L0 − L1 + L2 − L3 + ... + (−1)nLn = (−1)nLn−1 + 3. (1.20) Tính chất 1.4.5. . Chứng minh. Ta có (1.21) 16 F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn−1 + Fn = Fn+2 − 1, F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn−1 = Fn+1 − 1, , Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được (n + 1)F0+nF1+(n − 1)F2+...+2Fn−1+Fn = F2+F3+...+Fn+2−(n + 1), hay (n + 1)F0+nF1+(n − 1)F2+...+2Fn−1+Fn = F0+F1+...+Fn+2−(n + 2). Theo (1.11) và (1.1), ta được (n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + ... + 2Fn−1 + Fn = Fn+4 − (n + 3), hay (n + 1)F0 +nF1 +(n − 1)F2 +...+2Fn−1 +Fn = Fn+2 +Fn+3 −(n + 3). Mặt khác, ta có (n + 1)F0+(n + 1)F1+(n + 1)F2+...+(n + 1)Fn = (n + 1)Fn+2−(n + 1). Từ đó, suy ra , hay . Tính chất 1.4.6. . (1.22) 17 Chứng minh. Ta có L0 + L1 + L2 + L3 + ... + Ln−1 + Ln = Ln+2 − 1, L0 + L1 + L2 + L3 + ... + Ln−1 = Ln+1 − 1, , Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được (n + 1)L0+nL1+(n − 1)L2+...+2Ln−1+Ln = L2+L3+...+Ln+2−(n + 1), hay (n + 1)L0+nL1+(n − 1)L2+...+2Ln−1+Ln = L0+L1+...+Ln+2−(n + 4). Theo (1.12) và (1.2), ta được (n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + ... + 2Ln−1 + Ln = Ln+4 − (n + 5), hay (n + 1)L0 +nL1 +(n − 1)L2 +...+2Ln−1 +Ln = Ln+2 +Ln+3 −(n + 5). Mặt khác, ta có (n + 1)L0+(n + 1)L1+(n + 1)L2+...+(n + 1)Ln = (n + 1)Ln+2−(n + 1). Từ đó, suy ra , hay . Tính chất 1.4.7. . Chứng minh. Từ (1.1), ta có Fi = Fi+1 − Fi−1. (1.23) 18 Suy ra . Do đó, ta có F12 = F1F2, F22 = F2F3 − F1F2, F32 = F3F4 − F2F3, , Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được . Tính chất 1.4.8. (1.24) Chứng minh. Từ (1.2), ta có Li = Li+1 − Li−1. Suy ra L2i = Li (Li+1 − Li−1) = LiLi+1 − Li−1Li Do đó, ta có L20 = L0L1 + 2, L21 = L1L2 − L0L1, L22 = L2L3 − L1L2, L23 = L3L4 − L2L3,