Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học đầy đủ hóa i adic và một số ứng dụng

VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM ———————o0o——————– ĐẦY ĐỦ HÓA I-ADIC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ – HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Phùng Hồ Hải Người thực hiện: ĐẶNG THỊ THƠM Khóa: K20 HÀ NỘI, 5/2014 Mục lục Lời mở đầu 1 i KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Căn Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Địa phương hóa và tính phẳng . . . . . . . . . . 1.3 Môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Hệ ngược và giới hạn ngược của nhóm Abel . . 1.5 Điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược 1.6 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . 2 ĐẦY ĐỦ HÓA 2.1 Tôpô và đầy đủ hóa của một nhóm Abel 2.2 Đầy đủ hóa của một môđun . . . . . . . 2.3 Đầy đủ hóa I -adic của một vành . . . . 2.4 Vành và môđun phân bậc liên kết . . . . 2.5 Đầy đủ hóa của một vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 9 12 14 24 . . . . . 27 27 42 63 75 82 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 i Lời mở đầu Mục đích của luận văn là nghiên cứu đầy đủ hóa của một nhóm Abel và của một môđun, đặc biệt là đầy đủ hóa I -adic. Đầy đủ hóa của một vành là hữu ích trong đại số giao hoán bởi vì nó cho phép chúng ta mang phương pháp của giải tích vào trong đại số. Các nội dung được trình bày trong luận văn, chủ yếu là những mệnh đề, bổ đề, định lí và các ví dụ trong các tài liệu của tác giả M. F. Atiyal and I. G. Macdonald [1], Matsumura [2] và Allen Altman and Steven Kleiman [3], được trình bày lại một cách chi tiết, những chứng minh đó trong các tài liệu tham khảo ở trên chỉ được gợi ý chứng minh hoặc không chứng minh. Ngoài ra, một số bài tập trong các tài liệu tham khảo ở trên được tôi trình bày dưới dạng mệnh đề hoặc ví dụ trong luận văn. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày một số định nghĩa và chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan tới: căn Jacobson, địa phương hóa và tính phẳng, định lí đồng dư Trung Hoa, hệ ngược và giới hạn ngược của nhóm Abel, điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược, vành và môđun phân bậc. Trong mục 1.5, để chỉ ra giới hạn ngược không bảo toàn dãy khớp ngắn tôi sử dụng bài tập 2 trang 114 trong tài liệu tham khảo [1]. Đây là những kết quả cơ bản được sử dụng để nghiên cứu nội dung chính trong chương 2 của luận văn. Chương 2 nghiên cứu về đầy đủ hóa. Phần đầu chương trình bày về nhóm Abel tôpô cùng với một số tính chất của nó. Tiếp theo, tôi định nghĩa đầy đủ hóa của một nhóm Abel tôpô. Luận văn trình bày hai cách khác nhau để định nghĩa đầy đủ hóa của nhóm Abel. Cách thứ nhất là sử dụng các dãy Cauchy, cách thứ hai sử dụng giới hạn ngược. Sau khi xây dựng được định nghĩa của đầy đủ hóa của một nhóm Abel, ta tìm hiểu một số tính chất quan trọng như: điều kiện để một nhóm Abel tôpô là đầy đủ, điều kiện cho tính khớp của đầy đủ hóa, một số đẳng cấu của đầy đủ hóa. Tiếp theo, luận văn trình bày một số tính chất về đầy đủ hóa của một môđun: nếu chúng ta sử dụng lọc I -adic thì đầy đủ hóa là hàm tử khớp trên các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether; đầy đủ hóa I -adic của một môđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh; nếu I là ideal cực đại của 1 LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. vành Noether A thì đầy đủ hóa I -adic của A là một vành địa phương. Mục 2.4 trình bày về vành và môđun phân bậc liên kết. Kết quả quan trọng của mục này là: đầy đủ hóa I -adic của một vành Noether là Noether. Phần cuối của chương trình bày về đầy đủ hóa của vành địa phương. Ta có được đầy đủ hóa m-adic của vành địa phương (A, m) là một vành địa phương và đầy đủ hóa m-adic của một vành nửa địa phương A là một vành nửa địa phương (với m = JA ). Một số kết quả quan trọng trong đại số giao hoán được trình bày như là ứng dụng của phương pháp đầy đủ hóa: định lý Krull, bổ đề Hensel. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Phùng Hồ Hải. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã dạy cho tôi phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn các cán bộ, nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Viện. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Hà Nội, tháng 8 năm 2014 Tác giả Đặng Thị Thơm ĐẶNG THỊ THƠM 2 K20 Viện Toán Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Căn Jacobson Phần này sẽ nhắc lại định nghĩa về căn Jacobson và định lí Hamilton-Cayley mở rộng cùng với các hệ quả của nó. Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một vành, căn Jacobson của A được định nghĩa là giao của tất cả các ideal cực đại của A. Kí hiệu căn Jacobson của A bởi JA . Mệnh đề 1.1.2. Cho A là một vành, x ∈ JA khi và chỉ khi 1 − xy khả nghịch trong A với mọi y ∈ A. Chứng minh. Giả sử 1 − xy là không khả nghịch, thì tồn tại một ideal cực đại m chứa 1 − xy. Vì x ∈ JA nên từ 1 − xy ∈ m ta có 1 ∈ m, suy ra m=A (mâu thuẫn). Vậy giả sử là sai, do đó 1 − xy khả nghịch. Ngược lại, giả sử tồn tại một ideal cực đại m của A sao cho x ∈ / m. Ta có m ⊂ m + (x) ⊆ A, vì m là ideal cực đại nên m+(x) = (1). Do đó tồn tại u ∈ m và 6= y ∈ A sao cho u + xy = 1, hay u = 1 − xy. Theo giả thiết ta có 1 − xy khả nghịch, suy ra u khả nghịch, mà u ∈ m nên điều đó không thể xảy ra. Vậy x ∈ m với mọi ideal cực đại m của A, do đó x ∈ JA . Định lí 1.1.3. (Định lí Hamilton-Cayley mở rộng). Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán A. Giả sử M có một hệ sinh gồm n phần tử, I là một ideal của A và φ là một tự đồng cấu A-môđun của M sao cho φ(M ) ⊆ IM . Thế thì tồn tại các ai ∈ I i với i = 1, ..., n sao cho φn + a1 φn−1 + ... + an idM = 0. Chứng minh. Nhận xét rằng, mỗi phần tử a ∈ A có thể xem như một tự đồng cấu của M , gọi là đồng cấu nhân: 3 LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. a:M →M x 7→ ax. Khi đó vành cơ sở A được xem như vành các đồng cấu nhân của M . Giả sử φ là một tự đồng cấu bất kì của M , ta xét tập A[φ] = {cm φm + cm−1 φm−1 + ... + c0 idM |c0 , ..., cm ∈ A, m > 0}. Khi đó A[φ] lập thành một vành giao hoán có đơn vị những tự đồng cấu của M . Ta có thể trang bị cho M một cấu trúc A[φ]-môđun bằng cách đặt f.x = f (x) với mỗi f ∈ A[φ] và x ∈ M . Nếu M là môđun 0 thì φ là đồng cấu 0 và định lí là tầm thường. Ta xét M là môđun khác 0. Giả sử {x1 , ..., xn } là một hệ sinh của M . Khi đó do φ(xi ) ∈ IM , nên tồn tại các aij ∈ I với 1 6 i, j 6 n sao cho φ(x1 ) = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , φ(x2 ) = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn , ... φ(xn ) = an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn . Hệ này quy về dạng ma trận:  a11 −Φ a12  ... a1n an2      x2     = 0.   ...      a21 a22 −Φ ... a2n   ... ... ... ...  an1 x1 ... ann −Φ xn Đặt  a11 −Φ a12 ... a1n   a21 a22 −Φ ... a2n B=  ... ... ... ...  an1    .   ... ann −Φ an2 Gọi [Bij ] là ma trận phụ đại số của B , tức là phần tử Bij của ma trận này là phần bù đại số của phần tử ở dòng i cột j của ma trận B . Khi đó ta có [Bij ]c B = det(B).E, với [Bij ]c là ma trận chuyển vị của ma trận [Bij ] và E là ma trận đơn vị cấp n. Từ đó nhận được   x1    x2   det(B)E   ...  = 0,   xn ĐẶNG THỊ THƠM 4 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. hay  det(B)x1 = 0      det(B)x = 0 2  ...     det(B)xn = 0. Lại do {x1 , ..., xn } là hệ sinh của M nên từ hệ này suy ra det(B) là đồng cấu 0 của M . Khai triển det(B) ta được: φn + a1 φn−1 + ... + an idM = 0, trong đó các ai ∈ I i với i = 1, ..., n. Hệ quả 1.1.4. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán A và I là một ideal của A thỏa mãn IM = M . Khi đó tồn tại a≡1 ( mod I) làm cho aM = 0. Chứng minh. Áp dụng định lí 1.1.3 bằng cách lấy φ là tự đồng cấu đồng nhất của M . Rõ ràng φ(M ) = M = IM ⊆ IM . Do đó φ thỏa mãn một phương trình dạng: φn + a1 φn−1 + ... + an = 0, với các a ∈ I, i = 1, ..., n. Giả sử {x1 , ..., xn } là một hệ sinh của M , với mỗi xi ta có 0 = (φn + a1 φn−1 + ... + an )(xi ) = φn (xi ) + a1 φn−1 (xi ) + ... + an (xi ) = xi + a1 xi + ... + an xi = (1 + a1 + ... + an )xi . Như vậy tồn tại a = 1 + a1 + ... + an hay a ≡ 1 ( mod I) sao cho với mỗi xi ta có axi = 0, tức là aM = 0. Hệ quả 1.1.5. (Bổ đề Nakayama). Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán A và I là một ideal của A chứa trong căn Jacobson JA của A. Thế thì từ IM = M sẽ kéo theo M = 0. Chứng minh. Áp dụng hệ quả 1.1.4 cùng giả thiết IM = M ta có xM = 0 với x ≡ 1 ( mod I), hay x − 1 ∈ I. Do I ⊆ JA nên x − 1 ∈ JA . ĐẶNG THỊ THƠM 5 (*) K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Theo mệnh đề 1.1.2 ta có từ (*) suy ra x = 1 − (x − 1)(−1) là một phần tử khả nghịch trong A. Lại do xM = 0, nên M = x−1 xM = 0. Mệnh đề 1.1.6. Cho A là một vành giao hoán và m là một ideal của A chứa trong căn Jacobson JA của A. M là một A- môđun và N là một A-môđun con của M. 1) Nếu M/N là hữu hạn sinh và nếu N + mM = M, thì N = M. 2) Giả sử M hữu hạn sinh, thì m1 , ..., mn là các phần tử sinh của M khi và chỉ khi m1 , ..., mn là các phần tử sinh của M 0 := M/mM , ( trong đó mi là ảnh của mi trong M/mM ). Chứng minh. 1) Từ giả thiết M = N + mM ta suy ra m(M/N ) = M/N . Vì M/N hữu hạn sinh và m ∈ JA nên theo hệ quả 1.1.5 ta có M/N = 0, suy ra M = N. 2) Gọi N là môđun con của M được sinh bởi m1 , ..., mn . Vì M hữu hạn sinh nên M/N cũng hữu hạn sinh. Nếu x1 , ..., xn là các phần tử sinh của M/mM thì N + mM = M, do đó áp dụng 1) ta có N = M . Suy ra {x1 , ..., xn } là các phần tử sinh của M . Chiều ngược lại là hiển nhiên. Vậy {x1 , ..., xn } là hệ sinh của M khi và chỉ khi {x1 , ..., xn } là hệ sinh của M/mM . 1.2 Địa phương hóa và tính phẳng Mệnh đề 1.2.1. (Tính phổ dụng của địa phương hóa). Giả sử S là một tập đóng nhân của A. Khi đó: 1) Ánh xạ tự nhiên ϕ : A → S −1 A là một đồng cấu vành. 2) Với mọi đồng cấu vành ψ : A → B sao cho ψ(s) khả nghịch trong B với mọi s ∈ S , tồn tại duy nhất một đồng cấu vành ψ : S −1 A → B làm cho biểu đồ sau giao hoán: ψ A− →B ϕ &% ψ S −1 A. Chứng minh. Thật vậy, giả sử ψ : A → B là một đồng cấu vành sao cho ψ(s) khả nghịch trong B với mọi s ∈ S . Xét tương ứng ψ : S −1 A → B ĐẶNG THỊ THƠM 6 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. a 7→ ψ(a).[ψ(s)]−1 . s Trước hết ta chứng minh ψ là đồng cấu vành thỏa mãn ψϕ = ψ . Thật vậy, nếu b a = trong S −1 A thì tồn tại t ∈ S sao cho t(ra − sb) = 0. Khi đó ψ[t(ra − sb)] = 0, s r hay ψ(t)[ψ(r)ψ(a) − ψ(s)ψ(b)] = 0. Do ψ(r), ψ(s), ψ(t) là các phần tử khả nghịch của B nên từ đó suy ra ψ(a)[ψ(s)]−1 = ψ(b)[ψ(r)]−1 . a b s r ý của S −1 A ta có a b là các phần tử tùy s r Tức là ψ( ) = ψ( ). Vậy ψ là một ánh xạ. Tiếp theo với , a b ar + bs ) ψ( + ) = ψ( s r rs = ψ(ar + bs)[ψ(rs)]−1 = (ψ(a)ψ(r) + ψ(b)ψ(s))[[ψ(r)]−1 [ψ(s)]−1 ] = ψ(a)[ψ(s)]−1 + ψ(b)[ψ(r)]−1 a b = ψ( ) + ψ( ), s r a b ab ψ( . ) = ψ( ) = ψ(ab).[ψ(rs)]−1 s r sr = ψ(a)[ψ(s)]−1 .ψ(b)[ψ(r)]−1 a b = ψ( ).ψ( ), s r vậy ψ là một đồng cấu vành. Mặt khác a ψϕ(a) = ψ( ) = ψ(a)[ψ(1)]−1 = ψ(a) 1 với mọi a ∈ A. Do đó ψϕ = ψ. Bây giờ giả sử λ : S −1 A → B là một đồng cấu vành sao cho λϕ = ψ . Khi đó với s ∈ S bất kì, ta có 1 s s 1 1 1 = ψ(1) = λ( ) = λ( ) = λ( )λ( ) = ψ(s)λ( ). 1 s 1 s s 1 s 1 s Do vậy λ( ) = [ψ(s)]−1 = ψ( ). Từ đó suy ra a a 1 1 a 1 a λ( ) = λ( ).λ( ) = (λϕ(a))λ( ) = ψ( ).ψ( ) = ψ( ), s 1 s s 1 s s với mọi a ∈ S −1 A. Vậy λ = ψ. s Mệnh đề 1.2.2. Cho M là một A-môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: ĐẶNG THỊ THƠM 7 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. i) M = 0. ii) Mp = 0 với mọi ideal nguyên tố p của A. iii) Mm = 0 với mọi ideal cực đại m của A. Chứng minh. Các kéo theo (i)⇒(ii)⇒(iii) là hiển nhiên. Bây giờ ta chứng minh (iii)⇒ (i). Giả sử tồn tại x ∈ M, x 6= 0. Đặt I = Ann(x) = {a ∈ A|ax = 0}. Khi đó I là một ideal của A. Hơn nữa, I 6= A, vì 1 ∈ / I . Do vậy có một ideal cực đại m của A sao cho I ⊆ m. Theo giả thiết x/1 = 0 trong Mm , nên tồn tại a ∈ /m (do đó a ∈ / I ) sao cho ax = 0, tức là a ∈ Ann(x) = I , mâu thuẫn. Định nghĩa 1.2.3. Một A-môđun M được gọi là phẳng nếu với mọi đơn cấu A-môđun f : N 0 → N , đồng cấu cảm sinh idM ⊗f : M ⊗ N 0 → M ⊗ N cũng là đơn cấu. Định lí 1.2.4. Cho A là một vành và M là một A-môđun. Khi đó, M là phẳng trên A nếu và chỉ nếu với mọi ideal hữu hạn sinh I của A, đồng cấu φ : I ⊗A M → A ⊗A M là đơn cấu. Chứng minh. [2, theorem 7.7] . Định nghĩa 1.2.5. Cho f : A → B là một đồng cấu vành, a là một ideal của A. Chúng ta định nghĩa mở rộng ae của a là ideal Bf (a) được sinh bởi f (a) trong B. Nếu b là một ideal của B , thì f −1 (b) luôn là một ideal của A, và ta gọi f −1 (b) là co rút bc của b. Định nghĩa 1.2.6. Một A-môđun M được gọi là hoàn toàn phẳng trên A nếu với mọi đồng cấu A-môđun f : N 0 → N , f là đơn cấu khi và chỉ khi đồng cấu cảm sinh idM ⊗f : M ⊗ N 0 → M ⊗ N cũng là đơn cấu. ĐẶNG THỊ THƠM 8 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Mệnh đề 1.2.7. Cho B là một A-đại số phẳng. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: i) B là hoàn toàn phẳng trên A. ii) aec = a với mọi ideal a của A. iii) Spec(B) → Spec(A) là toàn cấu. iv) Với mọi ideal cực đại m của A, thì me 6= (1) . v) Với mọi A-môđun M , đồng cấu M → M ⊗A B là đơn cấu. Chứng minh. [1, Chapter 3, Exercise 16] . 1.3 Môđun Noether Định lí 1.3.1. Cho M là một A−môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) Mọi tập hợp không rỗng những môđun con của M đều có một phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng những môđun con của M : M1 ⊂ M2 ⊂ ... ⊂ Mn ⊂ ... đều dừng, nghĩa là tồn tại m để Mk = Mm với mọi k > m. (iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh. Chứng minh. Chứng minh (i)⇒ (ii): Lấy tùy ý một dãy tăng các A-môđun con của module M: M1 ⊂ M2 ⊂ ... ⊂ Mn ⊂ ... Gọi F là tập hợp tất cả các phần tử của dãy này. Bởi (i), tập này có phần tử cực đại Mm với m nào đó. Khi đó ta có Mk = Mm với mọi k > m. (ii)⇒(iii): Giả sử trái lại, tồn tại một môđun con N của M không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần tử x1 , x2 ..., xn , ... sao cho nếu P đặt Mm = m i=1 A xi thì Mj ⊆ Mj+1 với mọi j > 1. Ta sẽ nhận được một dãy tăng vô hạn mà không dừng M1 ⊂ M2 ⊂ ... ⊂ Mn ⊂ ... các môđun con của M , mâu thuẫn với (ii). (iii) ⇒(i): Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M. Vì S là một tập khác rỗng, nên ta chọn được một môđun con M1 ∈ S . Khi đó nếu M1 không phải là một phần tử cực đại trong S thì sẽ tồn tại M2 thực sự chứa M1 . Lặp lại ĐẶNG THỊ THƠM 9 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. lập luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một dãy tăng vô hạn M1 ⊂ M2 ⊂ ... ⊂ Mn ⊂ ... không ngừng các môđun con của M. Dễ thấy rằng khi đó N = ∪ Mi là một môđun con của M , nên N là môđun con hữu hạn sinh. Giả sử x1 , x2 , ..., xm là một hệ sinh của N. Vì dãy các môđun nhận được là một dãy tăng nên tồn tại k để x1 , ..., xm ∈ Mk . Khi đó Xm N= i=1 A xi ⊆ Mk , do vậy Mk = N, và như thế thì dãy trên bị dừng bắt đầu tại vị trí thứ k (mâu thuẫn). Định nghĩa 1.3.2. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Khi đó một A−môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương nói trong định lí 1.3.1. Vành A được gọi là một vành Noether nếu nó là một A−môđun Noether. Nhận xét 1.3.3. Vì một tập con khác rỗng của A là một A−môđun con của A−môđun A khi và chỉ khi nó là một ideal của A nên A là một vành Noether khi và chỉ khi A thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây: (i) Mỗi tập hợp khác rỗng các ideal của A đều có phần tử cực đại. (ii) Mỗi dãy tăng các ideal của A: I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ In ⊂ ... đều dừng, nghĩa là Ik = Ik+1 với mọi k đủ lớn. (iii) Mỗi ideal của A đều hữu hạn sinh. Ví dụ 1.3.4. (i) Mọi vành chính đều là vành Noether. (ii) Một không gian vectơ là một môđun Noether khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn. (iii) Vành đa thức vô hạn biến R = A[X1 , X2 , ..., Xn , ...] trên một vành giao hoán A khác vành 0 không phải là một vành Noether, vì tồn tại một dãy tăng vô hạn các ideal sau đây trong R: (X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ ... ⊂ (X1 , X2 , ..., Xn ) ⊂ ... Mệnh đề 1.3.5. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các A-môđun 0 → N → M → P → 0. Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu N và P đều là các môđun Noether. ĐẶNG THỊ THƠM 10 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là một môđun con của M và P = M/N , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Trước tiên giả sử M là một môđun Noether. Khi đó mỗi dãy tăng trong N cũng là một dãy tăng trong M , do đó phải dừng, vậy N là Noether. Nhận thấy rằng mỗi dãy tăng trong P đều là ảnh của một dãy tăng trong M qua toàn cấu chính tắc. Vì mọi dãy tăng trong M đều dừng, nên mọi dãy tăng trong P phải dừng. Vậy P cũng là Noether. Ngược lại, giả sử N và P là những môđun Noether. Cho M1 là một môđun con của M , ta có M1 /M1 ∩ N ∼ = M1 + N/N là một môđun con của P = M/N . Vì P là Noether, nên M1 /M1 ∩ N hữu hạn sinh. Mặt khác, M1 ∩ N cũng hữu hạn sinh, do N là Noether. Từ đó suy ra M1 là một môđun hữu hạn sinh. Vậy M là môđun Noether. Hệ quả 1.3.6. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các A-môđun Noether là một A-môđun Noether. Chứng minh. Dễ thấy chỉ cần chứng minh cho trường hợp họ gồm hai môđun, sau đó dùng quy nạp một cách hình thức, ta sẽ nhận được chứng minh của hệ quả. Giả sử M và N là hai A-môđun Noether, khi đó ta có dãy khớp ngắn các A-môđun. 0 → N → M ⊕ N → M → 0, ta rút ra M ⊕ N là Noether. Hệ quả 1.3.7. Mỗi A-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether A là một A-môđun Noether. Chứng minh. Giả sử M là một A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại số tự nhiên n để M đẳng cấu với một môđun thương của môđun tự do An . Vì A là Noether, thì An là Noether. Do đó M là một A-môđun Noether. Mệnh đề 1.3.8. Nếu M là một A-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của A thì S −1 M là một S −1 A-môđun Noether. Chứng minh. Giả sử N1 là một môđun con của S −1 M . Tồn tại môđun con N của M sao cho N1 = S −1 N . Vì M là Noether nên N hữu hạn sinh. N1 hữu hạn sinh trên S −1 A. Vậy S −1 M là một S −1 A-môđun Noether. Hệ quả 1.3.9. Nếu A là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của A thì S −1 A cũng là một vành Noether. ĐẶNG THỊ THƠM 11 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Sau đây là một kết quả đặc sắc của Hilbert về vành Noether. Định lí này cùng với hai định lí nổi tiếng khác của ông: Định lí không điểm và Định lí xoắn là những hòn đá tảng, đặt nền móng cho Hình học Đại số và sự ra đời của Đại số Giao hoán. Định lí 1.3.10. (Định lí cơ sở Hilbert) Nếu A là một vành Noether thì vành đa thức A[X] cũng là một vành Noether. Chứng minh. Gọi I là một ideal khác ideal không của A[X], ta cần chỉ ra I là hữu hạn sinh. Giả sử trái lại I không hữu hạn sinh. Khi đó ta có thể lấy ra được một dãy đa thức bậc tăng dần f1 , f2 , ..., fn , ... sao cho f1 là một đa thức khác không của I có bậc thấp nhất trong I, f2 là một đa thức có bậc thấp nhất trong I\(f1 ), ..., fm+1 là một đa thức có bậc thấp nhất trong các đa thức của tập I\(f1 , ..., fm ), .... Bây giờ gọi aj là hệ tử của hạng tử bậc cao nhất của đa thức fj và gọi J là ideal của A sinh bởi tất cả các aj . Vì A là vành Noether nên J hữu hạn sinh. Do đó tồn tại số nguyên dương n để J = (a1 , ..., an ). Gọi mj là bậc của đa thức fj và bxmn+1 là hạng tử bậc cao nhất P của fn+1 . Khi đó ta có b ∈ J, vì vậy b = ni=1 λi ai với các λi ∈ A. Dễ thấy rằng g = fn+1 − n X λi fi xmn+1 −mi ∈ I\(f1 , ..., fn ), i=1 và degg < degfn+1 , mâu thuẫn với cách chọn fn+1 . Vậy I là một ideal hữu hạn sinh, và do đó A[X] là một vành Noether. Chú ý rằng A[X1 ][X2 , ..., Xn ] = A[X1 , X2 ][X3 , ..., Xn ] = ... = A[X1 , ..., Xn−1 ][Xn ] = A[X1 , ..., Xn ], từ đó ta có nếu vành A Noether thì vành đa thức A[X1 , ..., Xn ] cũng là vành Noether. 1.4 Hệ ngược và giới hạn ngược của nhóm Abel Trong mục này, tôi sẽ trình bày một số vấn đề rất cơ bản về hệ ngược và giới hạn ngược. Trước hết, nhắc lại rằng một tập sắp thứ tự I được gọi là một tập định hướng nếu với mọi i, j ∈ I, đều tồn tại k ∈ I để i 6 k và j 6 k. ĐẶNG THỊ THƠM 12 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Định nghĩa 1.4.1. Cho I là một tập định hướng và một họ các nhóm (Ai )i∈I . Với mỗi cặp i 6 j có đồng cấu θji : Aj → Ai . Khi đó họ (Ai )i∈I cùng với họ (θji )i6j được gọi là một hệ ngược nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) θii là ánh xạ đồng nhất trên Ai với mọi i ∈ I . (ii) θki = θji . θkj với mọi i 6 j 6 k . Để cho tiện, ta kí hiệu hệ ngược này là (Ai , θji ) . Định nghĩa 1.4.2. Giới hạn ngược của một hệ ngược (Ai , θji ) là một nhóm A cùng với họ các đồng cấu (fi )i∈I , trong đó fi : A → Ai sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn (i) θji fj = fi , với mọi i 6 j. (ii) Nếu A0 là một nhóm cùng với một họ các đồng cấu (gi )i∈I , trong đó gi : A0 → Ai thỏa mãn θji gj = gi với mọi i 6 j , thì tồn tại duy nhất một đồng cấu λ : A0 → A sao cho fi λ = gi với mọi i ∈ I. Định lí 1.4.3. Giới hạn ngược của một hệ ngược (Ai , θji ) luôn tồn tại và duy nhất sai khác một đẳng cấu. Chứng minh. Tính duy nhất: Thật vậy giả sử A cùng với họ các đồng cấu (fi )i∈I và B cùng với họ các đồng cấu (fi0 )i∈I đều là giới hạn của (Ai , θji ). Khi đó tồn tại λ1 : B → A và λ2 : A → B sao cho fi λ1 = fi0 và fi0 λ2 = fi với mọi i ∈ I . Do đó fi λ1 λ2 = fi với mọi i ∈ I . Mặt khác fi idA = fi với mọi i ∈ I . Nên do tính duy nhất của λ trong định nghĩa, ta suy ra λ1 λ2 = idA . Tương tự λ2 λ1 = idB , do đó λ1 và λ2 là các song ánh. Vậy A và B đẳng cấu. Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại: Gọi A là tập con của tích trực tiếp của họ (Ai )i∈I xác định bởi ( ) Y A = (xi ) ∈ Ai | θji (xj ) = xi , ∀j > i . i Gọi fi : A → Ai là phép chiếu xuống thành phần thứ i của A. Dễ kiểm tra rằng θji fj = fi với mọi i 6 j . Giả sử A0 là một tập cùng với một họ các đồng cấu (gi )i∈I , trong đó gi : A0 → Ai thỏa mãn θji gj = gi với mọi i 6 j . Do tính chất của các gi , nên (gi (x)) ∈ A với mọi x ∈ A0 . Vì vậy ta xác định được ánh xạ λ : A0 → A cho bởi λ(x) = (gi (x)) với mọi x ∈ A0 . Rõ ràng fi λ = gi với mọi i ∈ I . Ta còn phải chứng minh tính duy nhất của λ. Thật vậy giả sử β : A0 → A sao cho fi β = gi với mọi i ∈ I , ta sẽ chỉ ra λ = β. Chú ý rằng (fi (y)) = y với mọi y ∈ A. Do đó ta có λ(x) = (gi (x)) = (fi β(x)) = (fi [β(x)]) = β(x) ĐẶNG THỊ THƠM 13 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. bởi β(x) ∈ A. Vậy λ = β. Như vậy giới hạn ngược của hệ ngược (Ai , θji ) luôn tồn tại và duy nhất (sai khác một đẳng cấu ). Người ta kí hiệu giới hạn ngược này là ( ) Y lim Ai = (xi ) ∈ Ai | θji (xj ) = xi , ∀j > i . ← − i i Chúng ta định nghĩa giới hạn ngược của các vành và các môđun cũng giống như trên. Với chú ý các đồng cấu nhóm được xác định ở trên được thay bằng các đồng cấu vành và đồng cấu môđun. Khi đó giới hạn ngược của các vành và các môđun là các vành và môđun. Bây giờ ta sẽ khảo sát tính bảo toàn khớp trái của giới hạn ngược và điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược. 1.5 Điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược Nội dung chính của mục này là cho chúng ta thấy được giới hạn ngược luôn bảo toàn khớp trái. Qua ví dụ 1.5.7 được trình bày dưới đây đã chứng tỏ giới hạn ngược không bảo tồn dãy khớp ngắn. Chính vì vậy mục đích chính của phần này là tìm ra một số điều kiện đủ cho tính khớp của giới hạn ngược. Định nghĩa 1.5.1. Hệ ngược {An , θn+1 }n với tính chất θn+1 là toàn ánh với mọi n, được gọi là một hệ toàn ánh.  Giả sử {An , θn+1 } , {Bn , ϕn+1 } , Cn , βn+1 là ba hệ ngược. Ta nói, 0 → {An } → {Bn } → {Cn } → 0 là một dãy khớp ngắn của các hệ ngược nếu tồn tại các đồng cấu (fn ) và (gn ) sao cho dãy g f n n 0 → An −→ Bn −→ Cn → 0 là dãy khớp với mọi giá trị của n, cùng biểu đồ fn+1 gn+1 0 → An+1 −−−→ Bn+1 −−−→ Cn+1 → 0 ↓ ϕn+1 ↓ θn+1 0 → An fn −→ ↓ βn+1 (1) gn Bn −→ Cn → 0 giao hoán với mọi n. ĐẶNG THỊ THƠM 14 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Mệnh đề 1.5.2. Nếu 0 → {An } → {Bn } → {Cn } → 0 là một dãy khớp của các hệ ngược thì dãy 0 → lim An → lim Bn → lim Cn ← − ← − ← − n n n là khớp. Nếu thêm giả thiết { An , θmn } là một hệ toàn ánh thì dãy 0 → lim An → lim Bn → lim Cn → 0 ← − ← − ← − n n n là khớp. Chứng minh. Đặt A = ∞ Q An , B = n=1 d ∞ Q ∞ Q Bn , C = n=1 A :A Cn , và ta định nghĩa ánh xạ n=1 →A (an )n 7→ (an − θn+1 (an+1 ))n , các ánh xạ dB và dC được định nghĩa tương tự. Ta có ker dA = lim An . ← − n Vì dãy g f n n 0 → An −→ Bn −→ Cn → 0 khớp với mọi n, nên dãy 0→A→B→C→0 là khớp. Xét biểu đồ Q f = fn g= Q gn 0 → A −−−−−→ B −−−−−→ C → 0 ↓ dA Q f= ↓ dB fn ↓ dC (2) Q g= gn 0 → A −−−−−→ B −−−−−→ C → 0. Ta có:

dB ◦f ((an )n ) = dB (fn (an ))n = fn (an ) − ϕn+1 fn+1 (an+1 ) n .
f ◦ dA ((an )n ) = f ((an − θn+1 (an+1 ))n ) = (fn (an − θn+1 (an+1 )))n = (fn (an ) − fn (θn+1 (an+1 )))n . (∗) (∗∗) Theo giả thiết, biểu đồ (1) giao hoán nên ta có fn ◦ θn+1 = ϕn+1 ◦ fn+1 . (***) Từ (*),(**),(***), suy ra dB ◦f = f ◦ dA . Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có dC ◦g = g ◦ dB , do đó biểu đồ (2) giao hoán. Áp dụng bổ đề con rắn ta có dãy khớp sau 0 → ker dA → ker dB → ker dC → coker dA → coker dB → coker dC → 0. (3) Từ tính khớp của dãy (3), ta có dãy 0 → ker dA → ker dB → ker dC ĐẶNG THỊ THƠM 15 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. là khớp, hay dãy 0 → lim An → lim Bn → lim Cn ← − ← − ← − n n n là khớp. Nếu thêm giả thiết hệ {An } là hệ toàn ánh, thì ta sẽ chứng minh dA là toàn ánh. Điều này tương đương với lấy bất kì (an )n ∈ A, cần chỉ ra tồn tại (xn )n ∈ A sao cho A d ((xn )n ) = (an )n ⇔ xn − θn+1 (xn+1 ) = an , ∀n. Thật vậy, chọn x1 là một giá trị nào đó của A1 , ta cần tìm x2 ∈ A2 sao cho θ2 (x2 ) = x1 − a1 . Do hệ {An } là hệ toàn ánh nên luôn tồn tại x2 ∈ A2 sao cho θ2 (x2 ) = x1 − a1 . Tương tự, ta tìm được x3 ∈ A3 sao cho θ3 (x3 ) = x2 − a2 . Cứ tiếp tục quá trình như vậy ta sẽ tìm được (xn )n ∈ A sao cho dA ((xn )n ) = (an )n . Vậy dA là toàn ánh, suy ra coker dA = A/Im dA = A/A = 0. Thay coker dA = 0 vào dãy khớp (3), ta được dãy khớp 0 → ker dA → ker dB → ker dC → 0 → coker dB → coker dC → 0, do đó dãy 0 → ker dA → ker dB → ker dC → 0 là khớp. Vậy dãy 0 → lim An → lim Bn → lim Cn → 0 ← − ← − ← − n n n là khớp. Định nghĩa 1.5.3. Một hệ ngược (An , θn0 n ) được gọi là thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler nếu với mỗi n, dãy giảm các nhóm con của An sau là dừng An ⊇ θ(n+1)n (An+1 ) ⊇ θ(n+2)n (An+2 ) ⊇ ... ⊇ θ(n+m)n (An+m ) ⊇ ... (*) Nói theo cách khác, hệ ngược (An , θn0 n ) thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler nếu với mỗi n, tồn tại n0 > n sao cho với mọi n0 , n00 > n0 ta có θn0 n (An0 ) = θn00 n (An00 ) . Giả sử hệ ngược (An , θn0 n ) thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler với mỗi n, chúng ta gọi A0 n ⊆ An là ảnh dừng của dãy (*). Nghĩa là tồn tại i sao cho A0 n = θ(n+i)n (An+i ) = θ(n+j)n (An+j ) , ∀j > i. ĐẶNG THỊ THƠM 16 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Giả sử m > n, với x ∈ A0 m ta có θmn (x) ∈ A0 n . Thật vậy, vì x ∈ A0 m nên x ∈ θ(m+k)m (Am+k ), do đó tồn tại y ∈ Am+k sao cho x = θ(m+k)m (y) . Vì θmn ◦ θ(m+k)m = θ(m+k)n nên θmn (θ(m+k)m (y)) = θ(m+k)n (y), từ đó suy ra θmn (x) = θ(m+k)n (y) ∈ A0 n với k đủ lớn. Khi đó 0 0 θmn |A0 m : A m → A n
là một đồng cấu, do đó ta có hệ ngược A0 n , θmn |A0 m .
Mệnh đề 1.5.4. Hệ ngược A0 n , θmn |A0 m được xác định như trên là một hệ toàn ánh. Hơn nữa, lim An ∼ = lim A0 n . ← − n ← − n
Chứng minh. Để chứng minh hệ A0 n , θmn |A0 m là một hệ toàn ánh ta cần chứng minh θmn |A0 m là toàn cấu với mọi m > n. Điều này tương đương với lấy bất kì x ∈ A0 n , ta cần chỉ ra z ∈ A0 m sao cho θmn (z) = x. Thật vậy, vì x ∈ A0 n nên x ∈ θ(n+i)n (An+i ) với i đủ lớn. Do đó tồn tại y ∈ An+i sao cho x = θ(n+i)n (y). Ta có

θmn ◦ θ(n+i)m = θ(n+i)n ⇒ θmn θ(n+i)m (y) = θ(n+i)n (y) ⇒ x = θmn θ(n+i)m (y) . Ta có thể chọn được i đủ lớn để θ(n+i)m (y) ∈ A0 m , do đó chọn z = θ(n+i)m (y) thì
z ∈ A0 m và θmn (z) = x. Vậy hệ A0 n , θmn |A0 m toàn ánh. Với đồng cấu δmn : Am/A0 m → An/A0 n x + A0 m 7→ θmn (x) + A0 n ,   ta có hệ ngược An/A0 n , δmn . Xét dãy khớp của các hệ ngược: n  o  0 → A0 n → {An } → An A0 n → 0.
Vì hệ A0 n , θmn |A0 m là một hệ toàn ánh nên áp dụng mệnh đề 1.5.2 ta có dãy khớp  f g 0 → lim A0 n − → lim An → − lim An A0 n → 0. (*) ← − n ← − n ← − n Xét ε = (x1 + A0 1 , x2 + A0 2 , ..., xn + A0 n , ...) ∈ lim An/A0 n . ← − n Vì A0 n = θmn (Am ), với m đủ lớn nên ảnh của Am/A0 m trong An/A0 n bằng 0 với m đủ lớn. Ta có ε ∈ lim An/A0 n nên δkn (xk + A0 k ) = xn + A0 n , ∀k > n, mà ảnh của ← − n ĐẶNG THỊ THƠM 17 K20 Viện Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ Đầy đủ hóa I-adic và một số ứng dụng. Am/ 0 trong An/ 0 bằng 0 với m đủ lớn, suy ra xn + A0 n = 0 với mọi n. Do đó An Am ε = 0, từ đó ta có được lim An/A0 n = 0. Do đó ta có đẳng cấu sau: ← − n lim A0 n ∼ = lim An . ← − ← − n n Mệnh đề 1.5.5. Giả sử rằng hệ ngược (An , θmn ) thỏa mãn điều kiện MittagLeffler và An 6= ∅ với mọi n. Khi đó lim An 6= ∅. ← − n Chứng minh. Do (An , θmn ) là một hệ ngược nên với mọi k ta luôn có đồng cấu θ(n+k)n : An+k → An . Mà An+k 6= ∅ nên với k đủ lớn ta có A0 n = θ(n+k)n (An+k ) 6= ∅ với mọi n. Do A0 1 6= ∅
nên tồn tại x1 ∈ A0 1 . Vì hệ A0 n , θmn |A0 m toàn ánh, nên tồn tại x2 ∈ A0 2 sao cho θ21 |A0 2 (x2 ) = x1 . Tương tự, tồn tại x3 ∈ A0 3 sao cho θ32 |A0 3 (x3 ) = x2 . Cứ tiếp tục Q như vậy, ta sẽ xây dựng được dãy (xn )n ∈ A0 n sao cho θ(n+1)n |A0 n+1 (xn+1 ) = xn . n Điều này chứng tỏ (xn )n ∈ lim A0 ← − n n, do đó lim A0 n 6= ∅. Mà lim A0 n ∼ = lim An nên ta ← − n ← − n ← − n có lim An 6= ∅. ← − n Mệnh đề 1.5.6. Cho 0 → {An } → {Bn } → {Cn } → 0 là một dãy khớp ngắn các hệ ngược của các nhóm Abel. Nếu hệ ngược (An , θmn ) thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler, thì dãy các giới hạn ngược 0 → lim An → lim Bn → lim Cn → 0 ← − ← − ← − n n n là khớp. Chứng minh. Theo mệnh đề 1.5.2 ta chỉ cần chỉ ra đồng cấu ζ : lim Bn → lim Cn ← − n ← − n là toàn cấu. Thật vậy, với mỗi n ta có dãy g f n n 0 → An −→ Bn −→ Cn → 0 là khớp. Lấy (cn )n ∈ lim Cn , với mỗi n ta đặt En = gn−1 (cn ). Vì gn là toàn cấu ← − n nên En 6= ∅ với mọi n. Do hệ ngược (An , θmn ) thỏa mãn điều kiện Mittag-Leffler ĐẶNG THỊ THƠM 18 K20 Viện Toán