Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học đa thức và nghiệm của đa thức

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, trường Đại học Thăng Long đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 4 năm 2016 Tác giả Nguyễn Minh Nguyệt Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Khoái, luận văn chuyên ngành Toán sơ cấp với đề tài:”Đa thức và nghiệm của đa thức” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2016 Tác giả Nguyễn Minh Nguyệt Thang Long University Library Mục lục Mở đầu 4 1 ĐA THỨC BẬC THẤP VÀ NGHIỆM CỦA CHÚNG 5 1.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai. . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Đồ thị của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Đồ thị của hàm bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 1.4 1.5 Đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Đồ thị hàm bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Nghiệm của đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . 16 Đa thức bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Nghiệm của đa thức bậc bốn . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Đồ thị của hàm bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . 20 Một số bài toán kiểu Olympic . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGHUYÊN 27 2.1 Bài toán số nguyên Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Bài toán Schur về cấp tăng của hệ số . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Cấp tăng của hệ số đầu . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Trung bình của các không điểm Kết luận . . . . . . . . . . . 34 45 2 Tài liệu tham khảo 46 3 Thang Long University Library Mở đầu Đa thức và nghiệm của đa thức là một trong những phần quan trọng của chương trình Toán ở bậc THPT. Mặc dù trong các sách giáo khoa đã trình bày việc tìm nghiệm của đa thức bậc thấp, nhưng sự liên hệ với đồ thị của đa thức chưa được đề cập thấu đáo, trong khi chính điều này lại rất quan trọng trong việc làm cho học sinh hiểu rõ bản chất toán học của vấn đề, rèn luyện tư duy trực quan trong nghiên cứu toán học. Vì vậy, phần thứ nhất của luận văn được dành cho sự trình bày về nghiệm đa thức bậc thấp trong sự hình dung trực quan gắn liền với đồ thị. Phần tiếp theo của luận văn trình bày một số kết quả về nghiệm của đa thức với hệ số nguyên. Đây là một trong những chủ đề quan trọng của đại số và số học. Luận văn được viết dựa theo một số công trình nghiên cứu gần đây (xem [2]), hoặc một số bài giảng nâng cao dành cho học sinh giỏi ở nước ngoài (xem phần Tài liệu tham khảo). 4 Chương 1 ĐA THỨC BẬC THẤP VÀ NGHIỆM CỦA CHÚNG 1.1 Đa thức Đa thức là một hàm p xác định trên tập số phức C có giá trị tại z ∈ C được cho bởi tổ hợp tuyến tính các lũy thừa của z : p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n , z ∈ C. Các số a0 , a1 , . . . , an gắn với lũy thừa của z là độc lập với z ; chúng được gọi là hệ số của p, và có thể là số thực hoặc số phức. Một đa thức được xác định khi các hệ số của chúng được cho cụ thể. Bậc cao nhất của z với hệ số tương ứng khác không, được gọi là bậc của p. Trong đa thức p, bậc của nó là n nếu an 6= 0. Các đa thức bậc 0 là hằng số. Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính, đa thức bậc 2 được gọi là đa thức bình phương, đa thức bậc 3 gọi là đa thức lập phương, bậc 4 gọi là đa thức bậc bốn, bậc 5 gọi là đa thức bậc 5, và tiếp tục. Mặt khác, ta có thể xem chúng là phương trình của các đường thẳng, đường bậc hai, đường bậc ba, v.v.. Số phức z0 được gọi là nghiệm hay không điểm của đa thức p nếu giá trị của nó tại z0 bằng không: p(z0 ) = 0. 5 Thang Long University Library Một đa thức có tất cả các hệ số của nó là số thực có thể không có bất kỳ nghiệm thực nào. Ví dụ đơn giản nhất là đa thức bậc hai x2 + 1. Nó có hai nghiệm phức là i, −i. Định lý 1.1.1. Một đa thức bậc lẻ mà có các hệ số đều là thực, có ít nhất một nghiệm thực. Chứng minh trực quan. Xét đồ thị của đa thức trong mặt phẳng. Ví dụ, đồ thị của một đa thức bậc 1 là một đường thẳng, nó có các điểm trên mặt phẳng nằm bên trên và bên dưới trục hoành, và chứa một điểm trên trục hoành. Tương tự, đồ thị của đa thức lập phương có các điểm trên mặt phẳng nằm trên và dưới trục hoành. Vì các miền này nối liền với nhau, hợp của chúng phải chứa một điểm trên trục thực. Nói chung, nếu bậc của p(x) = an xn + · · · + a0 là lẻ, với mọi x > 0 đủ lớn, dấu của p(x) trùng với dấu của an , trong khi nếu x lớn và không dương, p(x) có cùng dấu với −an . Do đó, p nhận cả giá trị dương và giá trị âm, và là một hàm trơn nên nó phải có không điểm. Nói cách khác, nó phải có nghiệm thực.  Tính thực của các hệ số trong định lý trên là cần thiết. Ví dụ, đa thức tuyến tính x − i không có nghiệm thực. Định lý 1.1.2. (Gauss). Mọi đa thức khác hằng có ít nhất một nghiệm, có thể là số phức. Một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm phân biệt. Kết quả sâu sắc này được gọi là Định lý cơ bản của Đại số. Định lý 1.1.3. Giả sử p có các hệ số thực và z là một nghiệm phức của nó. Khi đó z cũng là nghiệm của nó. 6 Chứng minh. Giả sử p(x) = a0 + a1 x + x2 x2 + · · · + an xn , x ∈ C, trong đó a0 , a1 , . . . , an là các số thực. Khi đó, 0 = p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = p(z). Từ đó p(z) = 0 kéo theo p(z) = 0. 1.2  Đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai. Trong mục này, chúng ta tập trung vào đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai với hệ số thực, và giới hạn miền xác định là tập số thực. Khi đó chúng ta có thể khảo sát đồ thị của chúng và kiểm tra các tính chất theo quan điểm hình học. Các hàm này có dạng ax + b, ax2 + bx + c, x ∈ R, với a, b, c là số thực và a 6= 0. 1.2.1 Đồ thị của đường thẳng Người Hy Lạp nghiên cứu tính hình học của đường thẳng, họ không biểu diễn chúng theo cách đại số. Đềcác là người miêu tả cách để làm việc này: ông đưa ra mặt phẳng R2 gồm các điểm có hai tọa độ, một cách làm mà ngày nay chúng ta đã quen thuộc. Đồ thị của hàm được xác định là tập 7 Thang Long University Library con của mặt phẳng mà giao của nó với mỗi đường thẳng đứng có nhiều nhất một điểm. Hệ quả là, đường tròn không phải là đồ thị của một hàm, cũng như đường parabol {(x, y) : y 2 = 4x} không phải là đồ thị của một hàm. Nếu c + mx là một đa thức tuyến tính, đồ thị của nó trong R2 là tập các điểm {(x, y); y = mx + c, x ∈ R} = {(x, mx + c) : x ∈ R}, được viết ngắn gọn là y = mx + c; m là hệ số góc của nó, và c là tung độ của nó. Cho hai điểm phân biệt (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) trên đồ thị của nó, khi đó y1 = mx1 + c, y2 = mx2 + c, trong trường hợp x1 6= x2 , ta có thể giải các phương trình trên theo m, c và thu được m= y2 − y1 y1 x2 − y2 x1 , c= . x2 − x1 x2 − x1 Thay vào phương trình, và sắp xếp lại, chúng ta thu được công thức quen thuộc của đường thẳng đi qua hai điểm không cùng nằm trên một đường thẳng đứng: y − y1 = y2 − y1 (x − x1 ). x2 − x1 Trong trường hợp này ta có cách biểu diễn tương đương (x2 − x1 )(y − y1 ) = (y2 − y1 )(x − x1 ). Nhưng công thức này còn đúng cả khi x2 = x1 , miễn là y2 6= y1 ; hay nếu y2 = y1 và x2 6= x1 . Nhưng chúng ta không thể có y2 − y1 = x2 − x1 = 0 trừ khi chúng ta coi toàn bộ mặt phẳng là một đường thẳng! 8 Để chứa phủ được tất cả các trường hợp, thì phương trình của đường thẳng trong R2 là một biểu thức có dạng ax + by + c = 0, trong đó a2 + b2 > 0. Đây là đồ thị của đa thức tuyến tính khi và chỉ khi ab 6= 0. Nó là đồ thị của đa thức hằng nếu a = 0, b 6= 0. 1.2.2 Đồ thị của hàm bậc hai. Hàm bậc hai đơn giản nhất là hàm bình phương x → x2 , có đồ thị trong R2 là tập {(x, y) : y = x2 , x ∈ R}. Đây là tập con của nửa mặt phẳng trên, đối xứng qua trục tung và gốc tọa độ là điểm thấp nhất, là ’điểm chuyển hướng’ duy nhất. Ngoài ra, hàm bình phương là hàm lồi. Để thấy điều này, gọi P = (x1 , y1 ), Q = (x2 , y2 ) là hai điểm phân biệt trên đồ thị, khi đó y1 = x21 , y2 = x22 . Đường thẳng qua P và Q có phương trình y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 x22 − x21 2 = x1 + (x − x1 ) x2 − x1 = x21 + (x2 + x1 )(x − x1 ) y = y1 + = (x2 + x1 )x − x1 x2 . d Do đó, đường thẳng P Q nằm trên cung P Q vì x2 − (x2 + x1 )x + x1 x2 = (x − x1 )(x − x2 ) ≤ 0, với mọi x nằm giữa x1 , x2 , tức là, x2 ≤ (x2 + x1 )x − x1 x2 , 9 Thang Long University Library với mọi x nằm giữa x1 , x2 như yêu cầu. Hàm bình phương tách mặt phẳng thành hai miền rời nhau, tức là tập các điểm nằm trên và nằm dưới đồ thị. Tập các điểm nằm trên là {(x, y) : y > x2 }; tập các điểm nằm dưới là {(x, y) : y < x2 }. Tập điểm nằm trên là tập lồi: đường thẳng nối hai điểm bất kỳ của tập nằm hoàn toàn trong nó. Tập dưới không lồi cũng không lõm. Đồ thị của hàm bậc hai bất kỳ có thể rút gọn thành hàm bình phương hoặc thành phép phản xạ qua trục hoành, bằng quá trình được gọi là ’làm đầy đủ bình phương’. Để thấy điều này, giả sử p(x) = ax2 + bx + c là đa thức bậc hai, do đó a 6= 0. Khi đó, nếu (x, y) là một điểm trên đồ thị, y = ax2 + bx + c   b = a x2 + x + c a   b b2 b2 2 =a x + + +c−a 2 2a 4a2 4a  2 b 4ac − b2 =a x+ + . 2a 4a Do đó   4ac − b2 b 2 y− =a x+ . 4a 2a Hay, đổi hệ tọa độ bằng cách dịch chuyển gốc tọa độ, ta có Y = aX 2 , trong đó 4ac − b2 b Y =y− ,X = x + . 4a 2a Do đó, đồ thị của nó là lồi nếu a > 0 và lõm nếu a < 0. Chúng ta cũng có thể kết luận rằng đồ thị của p là đối xứng qua đường   b b 4ac−b2 thẳng x = − 2a , và nó có điểm chuyển hướng duy nhất − 2a , 4a . 10 Ngoài ra, đây là điểm cực tiểu nếu a > 0, là điểm cực đại nếu a < 0, tức là ( ≥ p(x) ≤ 4ac−b2 4a , 4ac−b2 4a , nếu a > 0 nếu a < 0, b với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = − 2a . Nói cách khác, 4ac − b2 min{p(x) : x ∈ R} = 4a nếu a > 0 và 4ac − b2 max{p(x) : x ∈ R} = 4a nếu a < 0. Ví dụ 1.2.1. Nếu a, b, c là các số thực, và a 6= 0, thì p(x) = ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R, khi và chỉ khi a > 0, c ≥ 0 và b2 ≤ 4ac. Các điều kiện này xảy ra khi và chỉ p là bình phương môđun một đa thức tuyến tính. Chứng minh. Giả sử p ≥ 0 trên R. Khi đó c = p(0) ≥ 0. Tiếp theo, với x 6= 0, b c 1 + 2 = p(x) 2 ≥ 0, x x x và cho x → ∞, ta suy ra rằng a ≥ 0. Nhưng a 6= 0. Do đó a > 0, từ đó a+ b 4ac − b2 = p(− ) ≥ 0, 4a 2a khi b2 ≤ 4ac. Do đó các điều kiện trên là cần thiết để đảm bảo tính không âm của p. Ngược lại, nếu chúng xảy ra, thì bằng phép làm đầy đủ bình phương, ta thấy rằng b 2 4ac − b2 4ac − b2 p(x) = a(x + ) + ≥ ≥ 0, ∀x ∈ R, 2a 4a 4a 11 Thang Long University Library từ đó cũng suy ra rằng p là bình phương môđun đa thức tuyến tính √ √ b + 4ac − b2 i √ ax + 2 a  nó có hệ số phức. Ví dụ 1.2.2. Cặp số thực (m, c) thỏa mãn y = mx + c là đường thẳng nằm dưới đồ thị của hàm bình phương chứa tập {(m, c) : m2 + 4c ≤ 0}. Chứng minh. Giả sử (m, c) sinh ra đường thẳng như thế. Khi đó mx + c ≤ x2 , ∀x ∈ R. Hay tương đương, đa thức bậc hai x2 − mx − c không âm với mọi giá trị thực x. Theo ví dụ trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi m2 ≤ 4ac. Từ đó  suy ra điều phải chứng minh. 1.3 Đa thức bậc ba Chúng ta khảo sát hàm bậc ba có dạng p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a 6= 0. Định lý 1.3.1. Giả sử a, b, c, d là các số thực. Khi đó p có ít nhất một nghiệm thực. Chứng minh. Ở trên, đã phác họa chứng minh cho kết quả này dựa trên ap(x) là dương với x dương đủ lớn và âm với x âm đủ lớn, cách này mở rộng cho trường hợp đa thức bất kỳ bậc lẻ với hệ số thực. Sau đây là một phương pháp khác mà sử dụng Định lý 1.1.2 được đưa ra bởi Gauss. Theo 12 đó, mọi hàm bậc ba (với hệ số thực hoặc phức) có ít nhất một nghiệm, mà có thể là phức, và nhiều nhất ba nghiệm phân biệt. Nên p có ba nghiệm, và có thể không phân biệt. Vì hệ số của nó là thực, theo Định lý 1.1.3, nghiệm phức của nó đi theo cặp. Do đó, một nghiệm của nó phải là thực.  Như trong ví dụ tiếp theo chỉ ra, nói chung đây là điều nhiều nhất chúng ta có thể đưa ra. Ví dụ 1.3.1. Tìm nghiệm của p(x) = x3 − 1. Giải. Rõ ràng 1 là một nghiệm. Do đó x−1 là một nhân tử của p. Nói cách khác, tồn tại hàm bậc hai q sao cho p(x) = (x − 1)q(x). Dễ dàng kiểm tra được q(x) = x2 +x+1. Bây giờ, biệt thức delta bằng b2 −4ac = 1−4 = −3, âm, và do đó theo công thức thông thường, nghiệm của q là các số phức, và bằng −1 ± 2 Suy ra p chỉ có một nghiệm thực. Thông thường, ta đặt √ 3i . √ −1 + 3i ω= , 2 từ đó ω 6= 1, ω 3 = 1, ω 2 + ω + 1 = 0. Chúng ta sẽ nhắc tới nó sau này. 1.3.1 Đồ thị hàm bậc ba Hàm bậc ba đơn giản nhất là p(x) = x3 . Nó có đúng một nghiệm thực, bội ba. Lưu ý rằng đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của nó cùng bị triệt tiêu tại x = 0. Mặc dù nó có một điểm uốn tại đây, vì p nhận cả giá trị âm và dương trong mọi lân cận của điểm đó, nhưng 0 không là điểm 13 Thang Long University Library cực đại cũng không là điểm cực tiểu. Vì p(−x) − p(x) = 0 với mọi x, p là hàm lẻ, điều đó có nghĩa đồ thị của nó là phản đối xứng qua trục y. Ngoài ra, p0 (x) = 3x2 ≥ 0, ∀x, điều đó có nghĩa đồ thị của nó tăng ngặt trên (−∞, ∞). Thêm vào đó, đồ thị là lồi trên khoảng (0, ∞), và lõm trên (−∞, 0). Kết hợp các điều này lại ta có thể vẽ đồ thị của hàm y = x3 . Ví dụ 1.3.2. Khảo sát đồ thị hàm y = x3 + 3x. Giải. Vì x3 + 3x = x(x2 + 3), và x2 + 3 không có nghiệm thực, hàm bậc ba này chỉ cắt trục x duy nhất tại điểm 0. Tiếp theo, p0 (x) = 3(x2 + 1), thể hiện hàm bậc ba không có tiếp tuyến song song với trục x. Từ đó nó không có điểm chuyển hướng. Nhưng vì p0 luôn dương, đồ thị tăng ngặt trên (−∞, ∞). Cuối cùng, p00 (x) = 6x, nên chỉ bị triệt tiêu tại x = 0. Từ p00 (x) > 0 nếu x > 0, ta có thể kết luận rằng đồ thị hàm là lồi trên (0, ∞). Vì p00 (x) < 0 nếu x < 0, đồ thị hàm là lõm trên (−∞, 0). Định lý 1.3.2. Giả sử một hàm bậc ba có ba nghiệm thực. Khi đó nó có hai điểm chuyển hướng. Chứng minh. Giả sử p(x) = (x − α)(x − β)(x − γ) = x3 − (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x − αβγ, với α, β, γ là các số thực. Ta có p0 (x) = 3x2 − 2(α + β + γ)x + (αβ + βγ + γα), 14 nên có nghiệm thực khi và chỉ khi b2 ≥ 4ac. Bây giờ b2 − 4ac = 4(α + β + γ)2 − 12(αβ + βγ + γα) = 4[(α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα)] = 4[α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ − γα] = 2[(α − β)2 + (β − γ)2 + (γ − α)2 ] ≥ 0, với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi α = β = γ . Do đó p0 có hai nghiệm  thực, có thể là bằng nhau. Định lý 1.3.3. Giả sử p là hàm bậc ba, không nhất thiết có hệ số thực, và p0 (α) = p0 (β) = 0 = p00 (γ). Khi đó γ= α+β . 2 Chứng minh. Giả sử p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0. Khi đó p0 (x) = 3ax2 + 2bx + c, p00 (x) = 6ax + 2b. Nên γ= −b . 3a Nhưng ta lại có p0 (x) = 3a(x − α)(x − β) = 3a(x2 − (α + β)x + αβ), có nghĩa là −3a(α + β) = 2b, α + β = −2b = 2γ. 3a 15 Thang Long University Library  Điều này có nghĩa là nếu hàm bậc ba với hệ số thực có hai điểm chuyển hướng thì trung điểm của chúng là điểm uốn. 1.3.2 Nghiệm của đa thức bậc ba Để khảo sát nghiệm của đa thức tổng quát với hệ số thực, chúng ta cần có một số kiến thức chuẩn bị. Bổ đề 1.3.1. Giả sử x, y, z là các số thực hoặc phức. Khi đó x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx). Chứng minh. Chỉ cần khai triển vế phải là ra điều phải chứng minh.  Cho y = 1, z = 0 ta thu được phép phân tích nhân tử quen thuộc hơn x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), trong khi chọn y = −1, z = 0 ta được x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1). Tổng quát hơn, các đẳng thức x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ), x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ), đúng với mọi x, y thực hoặc phức. Ta nhớ lại định nghĩa ω. Bổ đề 1.3.2. Giả sử x, y, z là các số thực hoặc phức. Khi đó x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx = (x + ωy + ω 2 z)(x + ω 2 y + ωz). 16 Chứng minh. Ta có (x + ωy + ω 2 z)(x + ω 2 y + ωz) = x2 + xy(ω 2 + ω) + xz(ω + ω 2 ) + ω 3 yy 2 = yz(ω 2 + ω 4 ) + ω 3 z 2 = x2 − xy − xz + y 2 + yz(ω 2 + ω) + z 2 = x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx.  Kết hợp các phép phân tích nhân tử này ta suy ra với mọi x, y, z , x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z)(x + ωy + ω 2 z)(x + ω 2 y + ωz). Ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.3.1. Các nghiệm của đa thức bậc ba p(x) = x3 − 3abx + a3 + b3 là −(a + b), −(ωa + ω 2 b), −(ω 2 a + ωb). Ta có thể khai thác điều này để xác định nghiệm của đa thức bậc ba dạng x3 + qx + r, miễn là ta có thể tìm a, b sao cho − 3ab = q, a3 + b3 = r. (1.1) Trước khi thảo luận trường hợp tổng quát, chúng ta xét một ví dụ đơn giản. Ví dụ 1.3.3. Tìm nghiệm của đa thức p(x) = x3 + 3x2 − 3x + 4. Giải. Bước đầu tiên là khử số hạng x2 . Ta có thể thực hiện bằng cách dịch chuyển trục x. Lưu ý rằng p(x) = (x + 1)3 − 6x + 3 = (x + 1)3 − 6(x + 1) + 9, 17 Thang Long University Library nên ta chỉ cần tìm nghiệm của X 3 − 6X + 10. Nên ta chọn a, b sao cho 2 = ab, a3 + b3 = 9. Rõ ràng, cặp a = 1, b = 2 thỏa mãn. Cho nên, X 3 − 6X + 10 = (X + 3)(X + ω + 2ω 2 )(X + ω 2 + 2ω) = (X + 3)(X − 1 + ω 2 )(X − 1 + ω). Nói cách khác, p(x) = (x + 4)(x + ω 2 )(x + ω) và −4, −ω, −ω 2 là các nghiệm của p. Quay trở lại (1.1). Để các hệ thức này xảy ra, a3 , b3 phải là các nghiệm của phương trình bậc hai q3 z − rz − , 27 và do vậy có thể được xác định bằng công thức q 3 2 + 4q r ± r 27 a3 , b3 = . 2 2 Nên a, b có thể được bằng cách lấy căn bậc ba có thể của số phức. Ví dụ, ta có thể chọn a là căn bậc ba của q r + r2 + 2 4q 3 27 , Quay trở lại xác định nghiệm của phương trình bậc ba tổng quát p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0, vì các nghiệm không phụ thuộc vào dấu của a, để cho đơn giản ta có thể giả sử a = 1. Bước một là khử số hạng liên 18 quan x2 bằng cách dịch chuyển trục x. Thật vậy, x3 + bx2 + cx + d 1 2 1 2 b3 = (x + b) − b x − + cx + d 3 3 27 1 2 1 2 1 b3 1 1 = (x + b) + (c − b )(x + b) − − (c − b2 )( b) + d 3 3 3 27 3 3 3 1 1 2b = X 3 + (c − b2 )X + d − bc + 3 3 27 3 = X + qX + r, trong đó 1 1 2 1 2b3 X = x + b, q = c − b , r = d − bc + . 3 3 3 27 Tiếp theo ta chọn a, b sao cho −3ab = q, a3 + b3 = r; điều này đòi hỏi giải phương trình bậc hai z 2 − rz − q 3 /27 = 0. Bước cuối cùng là sử dụng phép phân tích nhân tử trong hệ quả trên. 1.4 1.4.1 Đa thức bậc bốn Nghiệm của đa thức bậc bốn Một đa thức bậc bốn là tổ hợp tuyến tính của các đa thức đơn 1, x, x2 , x3 , x4 , và do đó nó có dạng p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, trong đó các hệ số a, b, c, d, e là các số thực hoặc phức, và a 6= 0. Mọi hàm bậc bốn là tích của hai hàm bậc hai. Tính cả nghiệm bội thì đa thức bậc như vậy có 4 nghiệm, và nếu ký hiệu các nghiệm này là α, β, γ, δ thì p(x) = a(x − α)(x − β)(x − γ)(x − δ) = a(x2 − (α + β)x + αβ)(x2 − (γ + δ)x + γδ), 19 Thang Long University Library