Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành lý thuyết hàm

  • Số trang: 45 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

lêi nãi ®Çu b cña K lµ tËp cã Cho K lµ mét tËp compact trong Cn , ta gäi bao låi ®a thøc K b = {z; z ∈ Cn , |p(z)| 6 supK |p| cho mäi ®a thøc chØnh h×nh d¹ng: K p}. Còng vËy ta ®Þnh nghÜa bao låi h÷u tû r(K) cña K lµ tËp cã d¹ng: r(K) = {z ∈ Cn sao cho víi mçi ®a thøc p mµ p(z) = 0 th× {p = 0} ∩ K 6= ∅}. b VÊn ®Ò ®Æt ra lµ chóng ta cÇn m« t¶ cÊu tróc cña K\K vµ r(K)\K. b Hai t¸c gi¶ Julien Duval vµ Nessim Sibony ®· m« t¶ K\K vµ r(K)\K bëi nh÷ng dßng d−¬ng ®ãng song chiÒu (1,1) T trªn Cn \K víi gi¸ bÞ chÆn vµ ddc T 6 0 trªn Cn \K. Trong luËn v¨n nµy dßng d−¬ng ®ãng vai trß trung t©m trong viÖc nghiªn cøu tÝnh låi ®a thøc vµ låi h÷u tû . §Çu tiªn chóng ta x©y dùng nh÷ng siªu mÆt phøc kh«ng giao víi mét tËp compact cho tr−íc trong phÇn bï cña gi¸ cña mét dßng d−¬ng ®ãng ddc ϕ (ϕ lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi). Sau ®ã chóng ta còng nhËn ®−îc mét kÕt qu¶ t−¬ng tù trong kh«ng gian Hausdorff metric cña gi¸ cña mét dßng d−¬ng ®ãng song bËc (1,1) bëi nh÷ng siªu mÆt gi¶i tÝch. Cô thÓ cho T = ddc ϕ lµ mét dßng d−¬ng song chiÒu (n-1,n-1) trong Cn víi ϕ lµ mét hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi. Chóng t«i chøng minh ®−îc r»ng Cn \suppT cã thÓ ®−îc vÐt c¹n bëi nh÷ng tËp compact låi h÷u tû. H¬n n÷a hµm ϕ nãi trªn lµ giíi h¹n cña mét d·y hµm 1 log|fk | trong L1loc (B) ë ®©y B lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ trong Cn , fk lµ nh÷ng Nk hµm chØnh h×nh vµ Nk lµ nh÷ng sè nguyªn d−¬ng. PhÇn tiÕp theo chóng t«i xÐt tÝnh låi ®a thøc. Víi K lµ mét tËp compact cho ë trªn, T lµ mét dßng d−¬ng song bËc (1,1) trªn Cn \K, víi gi¸ bÞ chÆn. NÕu b Ng−îc l¹i cho x ∈ K\K b ddc T 6 0 th× suppT ⊂ K. bÊt kú th× cã mét dßng T ≥ 0 song bËc (1,1) gi¸ compact sao cho ddc T = µ − δx ë ®©y µ lµ ®é ®o x¸c suÊt trªn K cßn δx lµ ®é lín Dirac t¹i x. Nh− th«ng th−êng chóng ta ®ång nhÊt nh÷ng dßng song bËc (n,n) trªn Cn víi nh÷ng ph©n bè. Tõ ®ã suy 1 b = b ra r»ng nÕu K 6 K th× K\K lµ gi¸ cña mét dßng d−¬ng song bËc (1,1) T víi ddc T 6 0. Còng trong luËn v¨n chóng t«i ®Ò cËp ®Õn kh¸i niÖm cÆp Runge yÕu trong Cn vµ mét vµi kÕt qu¶ vÒ cÆp Runge yÕu ®−îc ®−a ra trong [10]. Nh− chóng ta ®· biÕt: NÕu hai tËp D, D0 lµ nh÷ng tËp më gi¶ låi cña Cn sao cho D0 ⊂ D vµ mçi hµm chØnh h×nh trªn D0 cã thÓ xÊp xØ ®Òu trªn mçi tËp compact bëi nh÷ng hµm chØnh h×nh trªn D th× (D0 , D) ®−îc gäi lµ mét cÆp Runge. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ liÖu cßn cã kh¸i niÖm nµo yÕu h¬n kh¸i niÖm trªn n÷a kh«ng víi suy nghÜ ®ã t¸c gi¶ ®· ®−a ra kh¸i niÖm cÆp Runge yÕu. Mçi hµm chØnh h×nh trªn D0 cã thÓ ®−îc xÊp xØ ®Òu trªn mçi tËp compact bëi nh÷ng th−¬ng p/q , ë ®ã p, q lµ nh÷ng hµm chØnh h×nh trªn D vµ q 6= 0 trªn D, cÆp (D0 , D) tho¶ m·n tÝnh chÊt ®ã gäi lµ mét cÆp Runge yÕu. T¸c gi¶ ®· ®−a ra ®iÒu kiÖn ®Ó nhËn biÕt mét cÆp Runge yÕu ®ã lµ §Þnh lý 2.2.4 ch−¬ng 2 mµ kÕt qu¶ nµy ®−îc lËp luËn t−¬ng tù nh− §Þnh lý 4.3.3 trong [7]. Trong tr−êng hîp D0 lµ tËp compact t−¬ng ®èi trong D th× sö dông §Þnh lý 2.1.3 ch−¬ng 2 trong luËn v¨n vµ c¸ch chøng minh t−¬ng tù nh− mét kÕt qu¶ cña Julien Duval vµ Nessim Sibony: Cho K lµ mét tËp compact trong Cn . Víi mçi x 6∈ r(K) cã mét d¹ng d−¬ng ®ãng (1,1) ω tr¬n, d−¬ng chÆt t¹i x vµ triÖt tiªu trong mét l©n cËn cña r(K). Ng−îc l¹i gi¶ sö x ∈ suppS , ë ®©y S lµ mét dßng d−¬ng ®ãng song bËc (1, 1) sao cho suppS ∩ K = ∅ th× x 6∈ r(K), ta cã thÓ ®Æc tr−ng ho¸ cÆp Runge yÕu trong hÖ nh÷ng dßng d−¬ng ®ãng trªn D mµ triÖt tiªu trªn mét tËp compact bÊt kú cña D0 vµ d−¬ng chÆt gÇn ∂D0 . KÕt qu¶ nµy ®−îc chóng t«i tr×nh bµy trong §Þnh lý 2.2.5 ch−¬ng 2 cña luËn v¨n. LuËn v¨n ®−îc hoµn thµnh d−íi sù h−íng dÉn tËn t×nh cña TiÕn sÜ NguyÔn Quang DiÖu. Nh©n dÞp nµy, T«i xin ®−îc bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh ®Õn ng−êi thÇy cña m×nh. T«i còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn c¸c thÇy ph¶n biÖn 2 ®· dµnh thêi gian ®äc vµ ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn quý b¸u cho t«i. T«i còng xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh ®Õn c¸c thÇy c« cña Bé m«n Lý thuyÕt hµm tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi ®· d¹y b¶o trong suèt nh÷ng n¨m th¸ng t«i häc tËp t¹i tr−êng. Hµ néi ngµy 30 th¸ng10 n¨m 2006. T¸c gi¶ luËn v¨n §ç ViÕt Tu©n 3 Môc lôc Ch−¬ng 1. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1. Kh¸i niÖm hµm chØnh h×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØnh h×nh . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Hµm chØnh h×nh nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. §Þnh nghÜa hµm ®a ®iÒu hßa d−íi . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®a ®iÒu hßa d−íi . . . . . . . . . . . 11 1.6. Mét sè kh¸i niÖm vÒ miÒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Mét sè tÝnh chÊt cña miÒn gi¶ låi . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9. Ph©n bè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10. Dßng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ch−¬ng 2. XÊp xØ dßng d−¬ng ®ãng bëi siªu mÆt phøc 24 2.1. X©y dùng siªu mÆt vµ xÊp xØ dßng . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. CÆp Runge yÕu trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ch−¬ng 3. Bao låi ®a thøc vµ dßng d−¬ng ®ãng 37 3.1. Bao låi ®a thøc vµ dßng d−¬ng ®ãng . . . . . . . . . . . . . . 37 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Ch−¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Kh¸i niÖm hµm chØnh h×nh §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho hµm f x¸c ®Þnh trªn miÒn D ⊂ C. XÐt giíi h¹n f (z + 4z) − f (z) ; z, z + 4z ∈ D 4z→0 4z lim NÕu t¹i ®iÓm z giíi h¹n nµy tån t¹i th× nã ®−îc gäi lµ ®¹o hµm phøc cña f t¹i df z , kÝ hiÖu lµ f 0 (z) hay (z). dz Nh− vËy f (z + 4z) − f (z) f 0 (z) = lim 4z→0 4z §Þnh nghÜa 1.1.2. Cho hµm f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy x¸c ®Þnh trong miÒn D ⊂ C. Hµm f ®−îc gäi lµ R2 -kh¶ vi t¹i z = x + iy nÕu c¸c hµm u(x, y), v(x, y) kh¶ vi thùc t¹i (x, y). Sau ®©y chóng t«i xin ®−a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét hµm lµ C− kh¶ vi ®ã lµ ®Þnh lý Cauchy-Riemann §Þnh lý 1.1.3. (§iÒu kiÖn Cauchy-Riemann) §Ó hµm f C- kh¶ vi t¹i z = x + iy ∈ D ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f vi t¹i z vµ ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann tho¶ m·n t¹i z 5 R2 - kh¶  ∂u ∂v    (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂u ∂v    (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x (1.1) NhËn xÐt: Gi¶ sö f lµ hµm R2 - kh¶ vi t¹i z ∈ D ⊂ C, xÐt vi ph©n df = V× dz = dx+idy vµ dz = dx−idy ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y 1 1 suy ra dx = (dz+dz), dy = (dz−dz). 2 2i VËy ta cã df = ∂f 1 ∂f 1 1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f (dz + dz) + (dz − dz) = ( − i )dz + ( + i )dz ∂x 2 ∂y 2i 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y NÕu ®Æt ∂f 1 ∂f ∂f = ( − i ); ∂z 2 ∂x ∂y ∂f 1 ∂f ∂f = ( + i )dz ∂z 2 ∂x ∂y th× df = ∂f ∂f dz + dz ∂z ∂z Bëi v× ∂f 1 ∂f ∂f 1 ∂u ∂v ∂v ∂u = ( + i )dz = [( − ) + i( + )] ∂z 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂f (z) = 0. ∂z Nãi c¸ch kh¸c hµm R2 - kh¶ vi f t¹i z lµ C- kh¶ vi t¹i ®ã nÕu vµ chØ nÕu ∂f (z) = 0. ∂z nªn f tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann nÕu vµ chØ nÕu §Þnh nghÜa 1.1.4. Hµm f x¸c ®Þnh trong miÒn D ⊂ C víi gi¸ trÞ trong C gäi lµ chØnh h×nh t¹i z0 nÕu tån t¹i r > 0 ®Ó f C- kh¶ vi t¹i mäi z ∈ D(z0 , r) ⊂ D. NÕu f chØnh h×nh t¹i mäi z0 ∈ D th× ta nãi f chØnh h×nh trªn D. 6 1.2 Mét sè tÝnh chÊt cña hµm chØnh h×nh §Þnh lý 1.2.1. Gi¶ sö D ⊂ C lµ mét miÒn vµ A(D) lµ tËp c¸c hµm chØnh h×nh trªn D. Khi ®ã i, A(D) lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ trªn C ii, A(D) lµ mét vµnh iii, iv, NÕu f ∈ A(D) vµ f (z) 6= 0, ∀z ∈ D th× 1/f ∈ A(D) NÕu f ∈ A(D) vµ f chØ nhËn gi¸ trÞ thùc th× f lµ kh«ng ®æi. §Þnh lý 1.2.2. (§Þnh lý Taylor) NÕu hµm f (z) chØnh h×nh trªn h×nh trßn |z − z0 | < R th× trong h×nh trßn nµy f (z) lµ tæng cña chuçi Taylor cña nã t¹i z0 . Cô thÓ lµ f (z) = ∞ X Cn (z − z0 )n , |z − z0 | < R n=0 ë ®©y c¸c hÖ sè Cn ®−îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt theo c«ng thøc f n (z0 ) 1 Cn = = n! 2πi Z |η−z0 |=r f (η) dη |η − z0 |n+1 víi 0 < r < R HÖ qu¶ 1.2.3. Hµm f (z) x¸c ®Þnh trªn miÒn D lµ chØnh h×nh khi vµ chØ khi víi mäi z0 ∈ D hµm f cã thÓ khai triÓn ®−îc thµnh chuçi luü thõa theo z − z0 mµ nã héi tô tíi f (z) víi b¸n kÝnh héi tô R ≥ d(z0 , ∂D) §Þnh lý 1.2.4. (§Þnh lý duy nhÊt ) Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm chØnh h×nh trªn miÒn D. NÕu f (zn ) = g(zn ) trªn mét d·y c¸c ®iÓm kh¸c nhau {zn } ⊂ D mµ nã héi tô tíi mét ®iÓm a ∈ D, th× f ≡ g 7 1.3 Hµm chØnh h×nh nhiÒu biÕn §Þnh nghÜa 1.3.1. Hµm l : Cn → C gäi lµ R - tuyÕn tÝnh (t−¬ng øng C- tuyÕn tÝnh) nÕu i, l(z 0 + z”) = l(z 0 ) + l(z”) ∀z 0 , z” ∈ Cn ii, l(λz) = λl(z) ∀z ∈ Cn , ∀λ ∈ R (t−¬ng øng ∀λ ∈ C). HiÓn nhiªn hµm l : Cn → C R- tuyÕn tÝnh lµ C-tuyÕn tÝnh nÕu l(iz) = il(z) ∀z ∈ Cn . Trong tr−êng hîp l(λz) = λl(z) ta nãi l lµ C- ph¶n tuyÕn tÝnh. §Þnh nghÜa 1.3.2. Hµm f : Ω → C, Ω lµ më trong Cn gäi lµ R- kh¶ vi (t−¬ng øng C- kh¶ vi) t¹i z ∈ Ω nÕu f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h) ë ®©y l lµ R- tuyÕn tÝnh (t−¬ng øng C- tuyÕn tÝnh) vµ 0(h) → 0 khi h → 0 h NhËn xÐt: Hµm l (nÕu tån t¹i lµ duy nhÊt) gäi lµ R- tuyÕn tÝnh (t−¬ng øng C- tuyÕn tÝnh) t¹i z, ký hiÖu lµ f 0 (z) hay df (z). B»ng c¸ch viÕt zj = xj + iyj , z j = xj − iyj j = 1, . . . , n ta cã dz j = dxj − idyj dzj = dxj + idyj , suy ra dxj = dzj + dz j , 2 dyj = 8 dzj − dz j 2i Do n X ∂f ∂f df = ( dxj + dyj ) ∂x ∂y j j j=1 n X ∂f dzj + dz j ∂f dzj − dz j = ( + ) ∂x 2 ∂y 2i j j j=1 n X 1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f = ( ( −i )dzj + ( +i )dz j ) 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y j j j j j=1 NÕu ®Æt ∂f 1 ∂f ∂f = ( −i ), ∂zj 2 ∂xj ∂yj Ta cã Ta kÝ hiÖu ∂f 1 ∂f ∂f = ( +i ) j = 1, . . . , n ∂z j 2 ∂xj ∂yj n X ∂f ∂f dzj + dz j ) df = ( ∂z ∂z j j j=1 n n X ∂f ∂f dzj , = ∂z ∂z j j=1 X ∂f ∂f dz j = ∂z ∂z j j=1 th× df = ∂f ∂f + ∂z ∂z §Þnh lý 1.3.3. Hµm R - kh¶ vi t¹i z ∈ Cn lµ C - kh¶ vi khi vµ chØ khi ∂f ∂f =0⇔ =0 ∂z j ∂z j ∀j = 1, . . . , n §Þnh nghÜa 1.3.4. i, Hµm gäi lµ chØnh h×nh t¹i z ∈ Cn nÕu nã C- kh¶ vi trong mét l©n cËn cña z. ii, f : Ω → Cm víi Ω më trong Cn gäi lµ chØnh h×nh t¹i z nÕu fj chØnh h×nh t¹i z víi mäi j = 1, . . . , n ë ®©y f = (f1 , . . . , fm ) §Þnh lý 1.3.5. Gi¶ sö P = P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − aj | < rj 9 ∀j = 1, . . . , n} lµ ®a ®Üa t©m a b¸n kÝnh r = (r1 , . . . , rn ) vµ Γ = {z ∈ Cn : |z − aj | = rj ∀j = 1 . . . , n}. Gi¶ sö f lµ hµm liªn tôc trªn P vµ chØnh h×nh trªn P , khi ®ã f (z) = ∞ X Cα (z − a)α |α|=0 víi 1 n Cα = ( ) 2πi Z f (ξ) dξ (ξ − a)α+1 Γ ë ®©y dξ = dξ1 . . . dξn . §Þnh lý 1.3.6. Gi¶ sö Ω lµ më trong Cn (n > 1) vµ K lµ tËp compact trong Ω víi Ω\K liªn th«ng. Khi ®ã mäi hµm chØnh h×nh f trªn Ω\K cã thÓ më réng duy nhÊt tíi mét hµm chØnh h×nh fe trªn Ω. 1.4 §Þnh nghÜa hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi §Þnh nghÜa 1.4.1. Hµm u : Ω −→ [−∞, ∞) ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn nÕu lim supu(z) 6 u(z0 ) víi mäi z0 ∈ D z→z0 Mét c¸ch t−¬ng ®−¬ng tËp u−1 ([−∞, a)) lµ më víi mäi −∞ < a < +∞. §Þnh nghÜa 1.4.2. Cho tËp con Ω më cña C vµ mét ¸nh x¹ u : Ω −→ [−∞, ∞), ¸nh x¹ u ®−îc gäi lµ ®iÒu hßa d−íi nÕu : i, u lµ nöa liªn tôc trªn ii, Víi mäi x ∈ Ω, mäi r > 0 sao cho D(x, r) ⊂⊂ Ω víi 0 < r < d(x,∂Ω) th× u tháa m·n bÊt ®¼ng thøc sau : 10 u(x) 6 1 2π Z2π u(x + reiθ )dθ 0 KÝ hiÖu tËp c¸c hµm ®iÒu hßa d−íi trªn Ω lµ SH(Ω). §Þnh nghÜa 1.4.3. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn . Mét hµm u : Ω −→ [−∞, ∞) ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi nÕu: i, u lµ nöa liªn tôc trªn vµ u 6≡ −∞ trªn bÊt cø thµnh phÇn liªn th«ng nµo cña Ω. ii, Víi mäi z ∈ Ω vµ mäi w ∈ Cn th× hµm ζ 7→ u(z + ζw) lµ ®iÒu hoµ d−íi trong mét l©n cËn cña 0 trªn mÆt ph¼ng phøc. KÝ hiÖu tËp c¸c hµm ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω lµ PSH(Ω). §Þnh nghÜa 1.4.4. Cho Ω lµ mét tËp më trong Cn . §Æt dc = i(∂ − ∂) vµ d = ∂ + ∂ . Mét hµm ϕ : Ω −→ [−∞, ∞) lµ ®a ®iÒu hßa d−íi nÕu vµ chØ nÕu ϕ ∈ L1loc (Ω) vµ ddc ϕ ≥ 0. §Þnh nghÜa 1.4.5. Mét hµm ϕ ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hßa trong Ω nÕu ϕ ®a ®iÒu hßa d−íi trong Ω vµ ®iÒu hßa trªn mçi mÆt ph¼ng phøc c¾t Ω. KÝ hiÖu tËp c¸c hµm ®a ®iÒu hßa trong Ω lµ PH(Ω ). 1.5 Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi MÖnh ®Ò 1.5.1. Cho Ω lµ mét tËp më trong Cn vµ f lµ mét hµm chØnh h×nh trªn Ω th× Ref, Imf , |f | vµ log|f | lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn Ω. §Þnh lý 1.5.2. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn vµ u : Ω −→ [−∞, ∞). hµm u ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hßa d−íi nÕu u lµ nöa liªn tôc trªn, u 6≡ −∞ trªn bÊt cø thµnh phÇn liªn th«ng nµo cña Ω vµ víi mäi x ∈ Ω vµ b ∈ Cn th× 11 u(x) 6 1 2π Z2π u(x + reiθ )dθ 0 víi mäi r > 0 mµ {x + tb : t ∈ C : |t| < 1} ⊂ Ω. §Þnh lý 1.5.3. Cho Ω lµ mét tËp më trong Cn . i, NÕu ϕ, ψ lµ nh÷ng hµm ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω th× max(ϕ, ψ ) còng ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω ii, NÕu d·y hµm {ϕn } cã ϕn ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω vµ héi tô tíi ϕ th× ϕ còng ®a ®iÒu hßa d−íi trªn Ω iii, NÕu d·y hµm {ϕn } ®a ®iÒu hßa d−íi vµ bÞ chÆn trªn ®Òu ®Þa ph−¬ng trªn Ω th× (supn ϕn )∗ còng ®a ®iÒu hßa d−íi Ω iv, NÕu hµm ϕ ®a ®iÒu hßa d−íi vµ bÞ chÆn trªn trªn Ω th× ϕ lµ h»ng sè. Cho hµm ρ ∈ C ∞ (Cn ) sao cho ρ chØ phô thuéc k z k vµ suppρ = {ρ(z) 6= 0} = B(0, 1) víi B(0, 1) lµ h×nh cÇu t©m t¹i 0 vµ b¸n kÝnh R 1 vµ ρdλ(z) = 1 trong ®ã λ lµ ®é ®o L¬ be cña Cn . Cn Víi ∀ε > 0 z ®Æt ρε = ε−n ρ( ) khi ®ã ta cã ®Þnh lý sau: ε §Þnh lý 1.5.4. (TÝnh tr¬n cña hµm ®a ®iÒu hßa d−íi) R 0 0 Gi¶ sö ϕ ∈PSH(Ω) vµ ϕε (z) = (ϕ ∗ ρε )(z) = ϕ(z − z )ρε (z )dλ(z 0 ) Cn khi ®ã : i, ϕε ∈ C ∞ (Ωε ) ∩ P SH(Ωε ) ii, ϕε lµ hµm t¨ng theo ε vµ ϕε (z) héi tô tíi ϕ(z) khi ε → 0. víi Ωε = {z ∈ Ω, d(z, ∂Ω) > ε} §Þnh lý 1.5.5. Cho u lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn Ω lµ mét tËp con më cña Cn vµ v lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn V më cña Ω sao cho lim sup v(z) 6 u(x) z→x víi x ∈ Ω ∩ ∂V th× hµm: 12 w=   max(u, v) trªn V  u trªn Ω\V (1.2) còng ®a ®iÒu hoµ d−íi trªn Ω §Þnh lý 1.5.6. Gi¶ sö ϕ ∈ C2 (Ω). Lϕ (z, ω) = D¹ng n X j,k=1 ∂ 2ϕ (z)ωj ω k ∂zj ∂z k ®−îc gäi lµ d¹ng Levi cña ϕ t¹i z. Hµm ϕ ∈ C2 (Ω) lµ ®a ®iÒu hßa d−íi khi vµ chØ khi Lϕ (z, ω) ≥ 0 víi ∀z ∈ Ω, ∀ω ∈ Cn §Þnh nghÜa 1.5.7. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn mét hµm ϕ ®−îc gäi lµ ®a ®iÒu hßa d−íi chÆt trªn Ω nÕu d¹ng Lªvi cña ϕ: Lϕ (z, ω) = n X j,k=1 ∂ 2ϕ (z)ωj ω k ∂zj ∂z k lµ d−¬ng chÆt víi mäi z ∈ Ω vµ víi mäi ω ∈ Cn . §Þnh nghÜa 1.5.8. Cho Ω lµ mét tËp con më trong Cn vµ hµm ϕ ®a ®iÒu hßa d−íi chÆt trªn Ω th× tån t¹i mét hµm d−¬ng chÆt f ∈ C ∞ (Ω; R) sao cho : n X j,k=1 n X ∂ 2ϕ (z0 )ωj ω k ≥ f (z0 ) |wj |2 ∂zj ∂z k j=1 víi mçi z0 ∈ Ω vµ ω ∈ Cn . §Þnh lý 1.5.9. Cho mét hµm ϕ thùc tr¬n th× nh÷ng kh¼ng ®Þnh sau t−¬ng ®−¬ng: i, ϕ lµ hµm ®a ®iÒu hßa . 13 iii, ∂ 2ϕ = 0 víi mäi j, k = 1, . . . n. ∂zj ∂z k Cã mét hµm chØnh h×nh f sao cho ϕ = Ref . 1.6 mét sè kh¸i niÖm vÒ miÒn ii, Trong phÇn nµy chóng t«i xin tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vÒ c¸c bao låi chØnh h×nh, bao ®a ®iÒu hoµ duíi, bao låi ®a thøc, miÒn chØnh h×nh, miÒn Runge, miÒn gi¶ låi vµ mét sè kÕt qu¶ vÒ miÒn gi¶ låi, vÒ gi¶i bµi to¸n ∂ ®· ®−îc tr×nh bµy rÊt chi tiÕt trong cuèn s¸ch "An introduction to complex analysis in several variables" cña L.Hormander. §Þnh nghÜa 1.6.1. ( Bao låi chØnh h×nh) b A cña K x¸c ®Þnh NÕu K lµ tËp con compact cña Ω th× bao låi chØnh h×nh K Ω bëi b A = {z; z ∈ Ω, |f (z)| 6 sup |f | K Ω nÕu f ∈ A(Ω)} K §Þnh nghÜa 1.6.2. (Bao ®a ®iÒu hoµ d−íi) NÕu K lµ tËp con compact cña Ω më ⊂ Cn ta ®Þnh nghÜa bao ®a ®iÒu hoµ d−íi b P SH cña K bëi: K Ω b P SH = {z; z ∈ Ω, u(z) 6 sup u cho mäi u ∈ P SH(Ω)} K Ω K §Þnh nghÜa 1.6.3. ( Bao låi ®a thøc) b Cn cña K ®−îc x¸c ®Þnh Cho K lµ tËp con compact trong Cn bao låi ®a thøc K bëi b =K b Cn = {z; z ∈ Cn , |p(z)| 6 sup |p| cho mäi ®a thøc chØnh h×nh p} K K §Þnh nghÜa 1.6.4. (MiÒn chØnh h×nh ) 14 Mét tËp më Ω ⊂ Cn ®−îc gäi lµ miÒn chØnh h×nh nÕu kh«ng cã nh÷ng tËp më Ω1 vµ Ω2 trong Cn cã nh÷ng tÝnh chÊt sau: i, ∅ 6= Ω1 ⊂ Ω2 ∩ Ω. ii, Ω2 lµ liªn th«ng vµ kh«ng chøa trong Ω . iii, Víi mçi ϕ ∈A(Ω) tån t¹i hµm ϕ2 ∈A(Ω2 ) sao cho ϕ = ϕ2 trong Ω1 . §Þnh nghÜa 1.6.5. (MiÒn Runge) Mét miÒn chØnh h×nh Ω ⊂ Cn ®−îc gäi lµ miÒn Runge nÕu mäi hµm f ∈A(Ω) cã thÓ ®−îc xÊp xØ ®Òu trªn mçi tËp compact bÊt kú trong Ω bëi nh÷ng ®a thøc chØnh h×nh . §Þnh nghÜa 1.6.6. (MiÒn gi¶ låi) Cho Ω më trong Cn , δ lµ mét hµm liªn tôc trong Cn sao cho δ > 0 trõ t¹i ®iÓm 0 vµ δ(tz) = |t|δ(z), t ∈ C, z ∈ Cn §Æt δ(z, {Ω) = inf δ(z − w) w∈{Ω th× Ω lµ miÒn gi¶ låi nÕu hµm −logδ(z, {Ω) lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi trong Ω. 1.7 Mét sè tÝnh chÊt cña miÒn gi¶ låi Trong phÇn nµy chóng t«i ®−a ra mét sè kÕt qu¶ ®−îc tr×nh bµy trong [7] kh«ng chøng minh, ®−îc sö dông trong luËn v¨n nµy. §Þnh lý 1.7.1. NÕu Ω lµ mét tËp më trong Cn th× nh÷ng ®iÒu kiÖn sau lµ t−¬ng ®−¬ng: i, −logδ(z, {Ω) lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi trong Ω. ii, Tån t¹i mét hµm u ®a ®iÒu hoµ d−íi trong Ω sao cho 15 Ωc = {z; z ∈ Ω, u(z) < c} ⊂⊂ Ω víi ∀c ∈ R. iii, b P SH ⊂⊂ Ω nÕu K ⊂⊂ Ω. K Ω Xem chøng minh §Þnh lý 2.6.7 trang 46 trong [7]. Chøng minh: §Þnh lý 1.7.2. Cho K lµ mét tËp con compact cña tËp më gi¶ låi Ω ⊂ Cn th× bA = K b P SH . K Ω Ω Chøng minh: Xem chøng minh §Þnh lý 4.3.4 trang 91 trong [7]. §Þnh lý 1.7.3. Cho Ω lµ mét tËp më gi¶ låi trong Cn , cho K mét tËp con b P SH , th× tån t¹i mét hµm u ∈ C ∞ (Ω) cmpact cña Ω vµ V lµ mét l©n cËn cña K Ω sao cho : i, u lµ ®a ®iÒu hoµ d−íi chÆt . ii, u < 0 trong K vµ u > 0 trong Ω ∩ {V . iii, {z ∈ Ω : u(z) < c} ⊂⊂ víi ∀c ∈ R. Chøng minh: Xem chøng minh §Þnh lý 2.6.11 trang 48 trong [7]. §Þnh lý 1.7.4. Cho p lµ hµm ®a ®iÒu hoµ d−íi chÆt líp C ∞ trong Ω sao cho Kc = {z; z ∈ Ω, p(z) 6 c} ⊂⊂ Ω víi mäi c ∈ R. th× víi mçi hµm chØnh h×nh trong l©n cËn cña K0 cã thÓ ®−îc xÊp xØ ®Òu trong chuÈn L2 trªn K0 bëi nh÷ng hµm trong A(Ω). Chøng minh: Xem chøng minh Bæ ®Ò 4.3.1 trang 89 trong [7]. §Þnh lý 1.7.5. Cho Ω lµ mét miÒn më gi¶ låi trong Cn vµ ϕ ∈ PSH(Ω). Cho g ∈ L2p,q+1 (Ω, ϕ) víi ∂g = 0 th× cã mét nghiÖm u ∈ L2p,q (Ω, loc) cña ph−¬ng tr×nh ∂u = g sao cho 16 Z Z 2 −ϕ |u| e 2 −2 Ω Chøng minh: |g|2 e−ϕ dλ (1 + |z| ) dλ 6 Ω Xem chøng minh §Þnh lý 4.4.2 trang 94 trong [7] . Bæ ®Ò 1.7.6. Cho K lµ mét tËp compact låi ®a thøc vµ U lµ mét l©n cËn cña K , th× cã thÓ t×m thÊy nh÷ng ®a thøc P1 ,. . . , Pm sao cho K ⊂ {z, |Pj (z)| 6 1, j = 1, . . . , m} = L ⊂ U L ®−îc gäi lµ ®a diÖn låi ®a thøc . Chøng minh: Xem chøng minh Bæ ®Ò 2.7.4 trang 53 trong [7]. §Þnh lý 1.7.7. Cho Ω lµ mét miÒn më trong Cn vµ ph−¬ng tr×nh ∂u = f cã ∞ ∞ mét nghiÖm u ∈ C(p,q) (Ω) cho mäi f ∈ C(p,q+1) (Ω) víi ∂f = 0 (p, q ≥ 0) th× H r (Ω, C) ≈{Nh÷ng d¹ng f chØnh h×nh cña bËc r víi ∂f = 0 }/ {∂g víi g chØnh h×nh bËc r − 1} . V× vËy H r (Ω, C) = 0 khi r > n. §Æc biÖt nÕu Ω lµ mét miÒn Runge trong Cn th× V× vËy H r (Ω, C) = 0 khi r ≥ n. ( ë ®©y H r (Ω, C) lµ nhãm ®èi ®ång ®iÒu thø r cña Ω víi hÖ sè phøc). Chøng minh: Xem chøng minh §Þnh lý 2.7.10 vµ 2.7.11 trang 58 trong [7] Bæ ®Ò 1.7.8. NÕu φ lµ mét hµm ®iÒu hoµ d−íi liªn tôc trong X ∈ Rn vµ φj lµ mét d·y nh÷ng hµm ®iÒu hoµ d−íi , φj 6 φ sao cho φj (x) → φ(x) khi j → ∞ víi mäi x trong mét tËp E trï mËt cña X th× φj → φ trong L1loc (X). Chøng minh: Bëi Bæ ®Ò 4.1.9 trong [8] th× d·y φj lµ tiÒn compact trong L1loc vµ gäi giíi h¹n cña nã lµ hµm ®iÒu hoµ d−íi ψ, dÔ thÊy ψ 6 φ vµ còng theo 4.1.8 trong [8] 17 ta cã ψ(x) ≥ φ(x) khi x ∈ E v× vËy Z φ(x) 6 Z ψ(y)dy/ |y−x| 0) nÕu x∈E |y| 0 sao cho: u(ϕ) 6 c X ||Dα ϕ||K |α|6k víi ϕ ∈ D(K) u lµ ph©n bè bËc k nÕu bÊt ®¼ng thøc nµy ®óng víi k cho mäi tËp K. §Þnh lý 1.9.3. (§Þnh lý biÓu diÔn Riesz) Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Metric cã mét vÐt c¹n compact. NÕu mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh d−¬ng trªn C0 (X) th× tån t¹i duy nhÊt mét ®é ®o Radon µ trªn X sao cho Z Λ(φ) = φdµ (φ ∈ C0 (X)) X chó ý: X cã mét vÐt c¹n compact nghÜa lµ tån t¹i mét d·y compact (Kn )n≥1 sao cho Kn ⊂ int(Kn+1 ) víi mäi n vµ ∪n Kn = X. NhËn xÐt 1.9.4. NÕu u lµ mét ph©n bè bËc 0 khi ®ã víi mäi K ⊂⊂ Ω, ∃c > 0 ta cã |u(ϕ)| 6 csup|ϕ| víi mäi ϕ ∈ D(Ω), suppϕ ⊂ K. Tõ ®ã suy ra u lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn D(Ω ). Theo ®Þnh lý biÓu diÔn Riesz, mäi ph©n bè bËc kh«ng cã thÓ ®−îc ®ång nhÊt víi nh÷ng ®é ®o phøc chÝnh quy cho bëi c«ng thøc sau: Z u(ϕ) = ϕdµ, víi ϕ ∈ C0 (Ω) Ω MÖnh ®Ò 1.9.5. NÕu u lµ mét ph©n bè trªn Ω tho¶ m·n u(ϕ) ≥ 0, ∀ϕ ∈ D(Ω), ϕ ≥ 0. Khi ®ã u cã thÓ ®ång nhÊt víi mét ®é ®o d−¬ng. 20
- Xem thêm -