Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học cải tiến phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH CHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Nội dung bài toán . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 11 1.2.1 Dạng bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Định lí đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Thuật toán đơn hình gốc . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu . . . . . . . 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GỐC - ĐỐI NGẪU CẢI 17 BIÊN 22 2.1 BÀI TOÁN VÀ Ý TƯỞNG THUẬT TOÁN . . . . . . 22 2.1.1 Nội dung bài toán và các kí hiệu . . . . . . 22 2.1.2 Ý tưởng thuật toán 23 ............. 2.2 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH GỐC - ĐỐI NGẪU CẢI BIÊN (RPDSA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 PHƯƠNG PHÁP M - LỚN ( BIG M - METHOD) .. 27 2.3.1 Tìm cơ sở đối ngẫu chấp nhận được B và phân hoạch ( B, N ) ban đầu. . . . . . . . . 2.3.2 Tìm điểm gốc chấp nhận được y ban đầu 27 27 1 2.3.3 Phương pháp M - lớn ( Big - M Method . 2.3.4 VÍ DỤ MINH HỌA . . . . . . . . . . . . . . 30 28 3 HAI PHƯƠNG PHÁP CẢI TIẾN KHÁC 33 3.1 BÀI TOÁN VÀ Ý TƯỞNG THUẬT TOÁN . . . . . . 3.1.1 Nội dung bài toán và các kí hiệu . . . . . . 3.1.2 Ý tưởng thuật toán . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 33 PHƯƠNG PHÁP GÓC NGHIÊNG NHỎ NHẤT . . . . 37 3.2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 Ví dụ 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 33 PHƯƠNG PHÁP CÔSIN ĐƠN HÌNH 2 . . . . . . . . . 41 LỜI NÓI ĐẦU Quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực đại ( hay cực tiểu ) của một hàm tuyến tính với các biến số thỏa mãn các phương trình hay bất phương trình tuyến tính. Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tiễn. Thuật toán đơn hình do Dantzig đề xuất từ năm 1947, dựa trên nguyên tắc xoay vần được dùng rộng rãi và có hiệu quả để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết nó là thuật toán thời gian mũ ( thời gian tính phụ thuộc theo cấp độ hàm mũ vào độ dài dữ liệu của bài toán cần giải ). Vì thế, nhiều nghiên cứu đã được tiến hành nhằm cải tiến nó cả về lý thuyết lẫn hiệu quả tính toán thực tế. Về lý thuyết, thành tựu nổi bật nhất là đã chứng minh được rằng bài toán quy hoạch tuyến tính có thể giải được bằng các thuật toán thời gian đa thức. L. G. Khachian ([8], 1979) là người đầu tiên đã đề xuất thuật toán ellipsoid giải quy hoạch tuyến tính trong thời gian đa thức, dựa trên những nghiên cứu trong những năm 60 - 70 của thế kỉ trước, chủ yếu ở Liên Xô (trước đây), do những tác giả khác, trước Khachian thực hiện. Tiếp đó, N. K. Karmarkar ([7], 1984) đã đề xuất thuật toán chiếu giải quy hoạch tuyến tính. Phương pháp này cũng có độ phức tạp đa thức và có hiệu quả tính toán cao đặc biệt đối với những bài toán tuyến tính cỡ lớn. Cả hai bài toán trên đều thuộc loại phương pháp điểm trong. Sau đó đã có nhiều mở rộng phương pháp điểm trong (xem [9]) để giải các bài toán tối ưu phi tuyến, quy hoạch lồi toàn phương , quy hoạch nón... Về góc độ thực tiễn, có nhiều nghiên cứu nhằm cải tiến thuật toán đơn hình sao cho đạt hiệ quả tính toán cao hơn nữa. Trong đó, đáng 3 kể có thuật toán đơn hình gốc đối ngẫu của K. Paparrizos et al., ([10] , 2003) thuật toán cải tiến cơ sở ban đầu cho thuật toán đơn hình do H. V. Junior và M. P. E. Lins đề xuất ([6], 2005) và thuật toán cô sin đơn hình do H. W. Corley et al., đề xuất ([5], 2005) Kết quả tính toán trên các bài toán thử nghiệm cho thấy các thuật toán mới hiệu quả hơn thuật toán đơn hình cổ điển khoảng 30% và tỏ ra rất có triển vọng. Luận văn này nhằm tìm hiểu và giới thiệu một số thuật toán mới cải tiến thuật toán đơn hình, thuộc nhóm thứ hai kể trên. Cụ thể luận văn sẽ trình bày phương pháp đơn hình điểm ngoài (EPSA, RPDSA), phương pháp góc nghiêng nhỏ nhất (MA) và phương pháp côsin đơn hình (CSA). Các thuật toán này có ý tưởng rõ ràng, dễ thực thi, khối lượng tính toán giảm và do đó hiệu quả tính toán cao hơn. Vì thế, tìm hiểu và nghiên cứu chủ đề này là cần thiết và hữu ích, giúp hiểu rõ các mở rộng và ứng dụng của phương pháp đơn hình trong thực tiễn. Nội dung luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại tóm tắt một số kiến thức cơ bản cần thiết về nài toán quy hoạch tuyến tính và bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu cùng các tính chất của chúng, về phương pháp đơn hình và đơn hình đối ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Nhiều khái niệm, sự kiện trình bày ở chương này được giải thích, minh họa qua các ví dụ bằng số và hình vẽ cụ thể. Các kiến thức này sẽ được dùng đến ở các chương sau. Chương 2: Phương pháp đơn hình đối ngẫu- đối ngẫu cải biên trình bày thuật toán đơn hình gốc - đối ngẫu cải biên (RPDSA) mà thực chất là sự cải biên thuật toán đơn hình đối ngẫu. Thuật toán RPDSA cũng có thể xem như một thuật toán đơn hình điểm ngoài ( exterior point simple algorithm - EPSA), vì các nghiệm cơ sở k do thuật toán tạo ra luôn nằm ngoài miền chấp nhận được của bài toán. Chương 3: Hai phương pháp cải tiến khác trình bày phương pháp góc nghiêng nhỏ nhất giải quy hoạch tuyến tính chính tắc và phương pháp cô sin đơn hình giải quy hoạch tuyến tính chuẩn tắc. Cả hai phương pháp đều dựa trên nhận xét chung là đỉnh tối ưu của bài toán gốc hay đối ngẫu thường gần với đỉnh tạo nên bởi các ràng buộc mà góc giữa véc tơ gradian của chúng với véc tơ hệ số mục tiêu là nhỏ 4 nhất. Phương pháp đầu chọn các véctơ ràng buộc đó làm cơ sở xuất phát, còn phương pháp sau đưa dần các ràng buộc đó vào bài toán để giải. Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn này mới chỉ đề cập tới những nội dung cơ bản của các thuật toán kiểu đơn hình giải quy hoạch tuyến tính, chưa đi sâu vào kĩ thuật lập trình cụ thể. Trong kĩ thuật viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những sai xót nhất định. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được chính xác và hoàn thiện hơn. Nhân dịp nay, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS - TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, các Phòng, các Ban chức năng của trường Cao Đẳng Công Nghệ và Kinh tế Công Nghiệp thành phố Thái Nguyên và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên để tôi hoàn thành tốt luận văn này. Thái Nguyên, tháng 9/2015 5 Chương1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết về quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình ( thuật toán đơn hình gốc và thuật toán đơn hình đối ngẫu ) và đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính. Nội dung của chương chủ yếu dựa trên các tài liệu tham khảo [1] - [4] 1.1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH CHẤT Quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu ( cực đại ) của một hàm tuyến tính f(x) trên một tập lồi đa diện D ⊂ Rn. Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tiễn. Nó bắt nguồn từ nững nghiên cứu của nhà bác học Nga nổi tiếng, Viện sĩ L. V. Kantorovich trong một loạt công trình về kế hoạch hóa sản xuất công bố năm 939 và nó thực sự phát triển mạnh mẽ kể từ khi nhà toán học Mỹ G. B. Dantzig đề xuất thuật toán đơn hình giải quy hoạch tuyến tính vào năm 1947. 1.1.1 Nội dung bài toán Bài toán quy hoach tuyến tính thường được viết ở một số dạng sau: Dạng tổng quát ( abstract form ): min{f(x) = cTx : x ∈ D} 6 trong đó c ∈ Rn,D ⊂ Rn là một tập lồi đa diện, tức là tập nghiệm của một hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính. T kí hiệu của chuyển vị véctơ ( ma trận ). Dạng chuẩn ( standard form): min{f(x) = cTx : Ax ≥ b,x ≥ 0} trong đó A ∈ Rm×n (ma trận cỡ m x n), b ∈ Rm,c,x ∈ Rn,x ≥ 0 Trong bài toán này, tập D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,x ≥ 0} là một tập lồi đa diện. Ví dụ 1.1 Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn hai biến: 3x1 + 2x2 → min với điều kiện x1 + 2x2 ≥ 5, 3x1 + x2 ≥ 4, x1 ≥ 0,x2 ≥ 0. Dạng chính tắc ( canonical form): min{f(x) = cTx : Ax = b,x ≥ 0} với các kí hiệu như ở trên. Ví dụ 1.2 Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc ba biến: x1 + 3x2 + 2x3 → min với điều kiện x1 − x2 + x3 = 5, 2x1 + x2 − x3 = 4, x1 + x2 + x3 = 3, x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,x3 ≥ 0. 7 Trong các dạng trên, f được gọi là hàm mục tiêu, D gọi là tập ràng buộc hay miền chấp nhận được, điểm x = (x1,x2,......,xn)T ∈ D gọi là một phương án hay một lời giải chấp nhận được của bài toán. Một phương án cực tiểu ( cực đại ) của hàm mục tiêu gọi là phương án tối ưu hay lời giải tối ưu. Với mỗi bài toán quy hoạch tuyến tính chỉ xảy ra 1 trong 3 khả năng sau: a) Bài toán không có phương án ( tập ràng buộc D rỗng ). b) Bài toán có phương án nhưng không có phương án tối ưu. c) Bài toán có phương án tối ưu. 1.1.2 Một số tính chất Định lí sau nêu điều kiện để một quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu: Định lí 1.1: Nếu một quy hoạch tuyến tính có ít nhất một phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán min) thì bài toán chắc chắn có phương án tối ưu. Nhận xét 1.1: Định lí 1.1 chỉ đúng cho bài toán quy hoạch tuyến tính, định lí không còn đúng khi hàm mục tiêu hoặc một trong các ràng buộc không còn tuyến tính. Sau đây là hai ví dụ chứng minh cho nhận xét này. Ví dụ 1.3 Xét bài toán min{f(x1,x2) = x2 : x1x2 ≥ 1,x1 ≥ 0} Miền chấp nhận được D = {x ∈ R2 : x1x2 ≥ 1,x1 ≥ 0} là một tập lồi khác rỗng, nhưng không la tập lồi đa diện. Tuy hàm mục tiêu f(x) = x2 là tuyến tính và f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ D ( f bị chặn dưới trên D), nhưng rõ ràng bài toán không có phương án tối ưu, mặc dù infx∈Df(x) = 0 (xem Hình 1.1). 8 Ví dụ 1.4 Xét bài toán . Miền chấp nhận được D ≡ R là một tập lồi đa diện, khác rỗng. Tuy nhiên, hàm mục tiêu là hàm phi tuyến tính và f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ D ( f bị chặn dưới trên D), nhưng rõ ràng bài toán này cũng không có phương án tối ưu, mặc dù infx∈Df(x) = 0 (xem Hình 1.2). Định lí 1.2: Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính (dạng bất kì) và nếu x1,x2(x1 6= x2) là 2 phương án thỏa mãn x0 = thì x1,x2 cũng là các phương án tối ưu. Định nghĩa 1.1: Một phương án x ∈ D mà đồng thời là đỉnh của D gọi là một phương án cực biên hay một lời giải cơ sở nghĩa là x không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của bất kì hai phương án khác của D. Nói cách khác, hễ có Định lí 1.3: Để một lời giải chấp nhận được x¯ = {x¯1,x¯2,.....,x¯n} của quy hoạch tuyến tính chính tắc là lời giải cơ sở thì điều kiện cần và đủ là các véc tơ cột Aj của ma trận A ứng với các thành phần x¯j > 0 là độc lập 9 tuyến tính. Từ định lí 1.3 ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau: Hệ Quả 1.1: Số phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn. Hệ Quả 1.2: Số thành phần dương trong mỗi phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tối đa bằng m (m là số hàng của ma trận A) Người ta phân ra 2 loại phương án cực biên: Không suy biến nếu phương án cực biên đó có số thành phần dương bằng m và suy biến nếu trái lại. Định lí 1.4: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một phương án thì nó cũng có phương án cực biên (miền ràng buộc D có đỉnh). Định lí 1.5: Nếu một quy hoạch tuyến tính ( dạng tùy ý) có phương án tối ưu và nếu tập ràng buộc D có đỉnh thì phương án cực biên tối ưu Các định lí trên cho phép tìm phương án cực biên tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc trong số các phương án cực biên của bài toán (số này là hữu hạn).