Luận văn Thạc sĩ Toán học Các bài toán tựa cân bằng tổng quát và ứng dụng

  • Số trang: 56 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 60 |
  • Lượt tải: 0
thuvientrithuc1102

Đã đăng 15337 tài liệu

Mô tả:

1 0130 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUY™N THÀ HU› CC B€I TON TÜA C…N BŒNG TÊNG QUT V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUY™N THÀ HU› CC B€I TON TÜA C…N BŒNG TÊNG QUT V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: GIƒI TCH M¢ sè: 60.46.01 LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH NGUY™N XU…N T‡N Th¡i Nguy¶n - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Möc löc MÐ †U 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Mët sè khæng gian cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 1.1.1 Khæng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Khæng gian ành chu©n . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Haussdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 nh x¤ a trà v  mët sè kh¡i ni»m li¶n quan . . . . . . . 7 1.3 Mët sè ành l½ iºm b§t ëng cì b£n . . . . . . . . . . . 10 2 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I 2.1 °t b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . 11 11 2.1.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 ành l½ tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . 19 3 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II 3.1 3.2 °t b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . 32 32 3.1.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . 33 ành l½ tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 49 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MÐ †U Lþ thuy¸t tèi ÷u ¢ v  ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m r§t lîn cõa c¡c nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi. L½ thuy¸t n y ¢ th¥m nhªp v o r§t nhi·u l¾nh vüc trong thüc t¸ v  c¡c ng nh khoa håc k¾ thuªt kh¡c nhau. Trong thüc ti¹n cuëc sèng ai công muèn cæng vi»c h ng ng y cõa m¼nh ÷ñc ho n th nh mët c¡ch tèt nh§t, v  t¼m ph÷ìng ¡n tèi ÷u º thüc hi»n nâ. Nh÷ vªy, måi ng÷íi công ph£i gi£i c¡c b i to¡n tèi ÷u cõa m¼nh theo mët ngh¾a n o â. V§n · quan trång nh§t °t ra èi vîi c¡c b i to¡n nâi chung v  b i to¡n tèi ÷u nâi ri¶ng: Vîi i·u ki»n n o b i to¡n câ nghi»m, v  n¸u câ nghi»m i·u g¼ s³ x£y ra? L½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng þ t÷ðng v· c¥n b¬ng kinh t¸, l½ thuy¸t gi¡ trà cõa Edgeworth tø n«m 1881 v  Pareto tø n«m 1906. Cì sð to¡n håc cõa l½ thuy¸t n y l  nhúng khæng gian câ thù tü ÷a ra bði Cantor n«m 1897, Hausdorff n«m 1906, v  nhúng ¡nh x¤ ìn trà công nh÷ a trà tø mët khæng gian n y v o mët khæng gian câ thù tü kh¡c vîi nhúng t½nh ch§t n o â. L½ thuy¸t trá chìi cõa Borel n«m 1921 v  Von Neumann n«m 1926, l½ thuy¸t v· l÷u thæng h ng hâa cõa Koopmans n«m 1947 l  nhúng cæng tr¼nh ¦u ti¶n trong l¾nh vüc n y. Nh÷ng ph£i nâi r¬ng cho tîi nhúng n«m 1950 trð l¤i ¥y, sau nhúng cæng tr¼nh v· i·u ki»n c¦n v  õ cho tèi ÷u cõa Kuhn- Jucker n«m 1951, v· gi¡ trà c¥n b¬ng v  tèi ÷u Pareto cõa Deubreu n«m 1954, l½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì mîi thüc sü ÷ñc cæng nhªn l  mët ng nh to¡n håc quan trång v  câ nhi·u ùng döng trong thüc t¸. Cho tîi nhúng n«m cuèi cõa th¸ k¿ 20, h ng tr«m cuèn s¡ch v  h ng ngh¼n b i b¡o vi¸t v· l¾nh vüc n y cung c§p cho ta nhúng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu v  ùng döng trong nhúng l¾nh vüc kh¡c Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 nhau cõa c¡c ng nh khoa håc v  k¾ thuªt công nh÷ thüc t¸. ¦u ti¶n ng÷íi ta nghi¶n cùu nhúng b i to¡n li¶n quan tîi ¡nh x¤ ìn trà tø khæng gian Euclide câ sè chi·u húu h¤n n y sang khæng gian câ sè chi·u húu h¤n kh¡c m  thù tü trong nâ ÷ñc sinh ra bði nân orthan d÷ìng. Trång t¥m l  b i to¡n: T¼m x̄ ∈ D º f (x̄) = min f (x) x∈D trong â f : D → R l  h m sè, D l  tªp con kh¡c réng cõa khæng gian ành chu©n X . Tø b i to¡n n y vîi c§u tróc kh¡c nhau cõa tªp D v  t½nh ch§t cõa h m F , ng÷íi ta ph¥n lo¤i th nh nhi·u b i to¡n tèi ÷u kh¡c nhau nh÷: qui ho¤ch tuy¸n t½nh, qui ho¤ch ph¥n tuy¸n, qui ho¤ch to n ph÷ìng,...V  sau â ph¡t triºn ra c¡c b i to¡n kh¡c nh÷: - B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Stampachia: T¼m x̄ ∈ D sao cho hT (x̄), x − x̄i ≥ 0, ∀x ∈ D trong â D ⊂ Rn , T : D → Rn . - B i to¡n c¥n b¬ng Blum- Oettli: T¼m x̄ ∈ D sao cho f (x, x̄) ≥ 0, ∀x ∈ D trong â D l  tªp lçi âng trong khæng gian v²c tì tæ pæ X , v  f : D × D → R l  h m sè thäa m¢n f (x, x) = 0. B i to¡n n y bao gçm nh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t c¡c b i to¡n: tèi ÷u, c¥n b¬ng Nash, b i to¡n bò, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n,...Rçi ti¸p töc mð rëng cho c¡c b i to¡n trong khæng gian câ sè chi·u væ h¤n vîi nân b§t k¼. Vi»c ÷a ra kh¡i ni»m v  chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i cõa c¡c lo¤i iºm húu hi»u cõa mët tªp hñp trong khæng gian câ thù tü sinh bði nân ¢ d¨n tîi vi»c nghi¶n cùu c¡c b i to¡n tèi ÷u kh¡c nhau. Sau â l½ thuy¸t n y ÷ñc ph¡t triºn cho nhúng b i to¡n li¶n quan ¸n ¡nh x¤ a trà trong khæng gian væ h¤n chi·u. Nhúng ành ngh¾a, t½nh ch§t, sü ph¥n lîp,... c¡c ¡nh x¤ ìn trà d¦n d¦n ÷ñc mð rëng cho ¡nh x¤ a trà. Berge ¢ ÷a ra c¡c kh¡i ni»m kh¡c nhau cõa ¡nh x¤ a trà. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 â l  t½nh nûa li¶n töc tr¶n, nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a rà. T÷ìng tü kh¡i ni»m lçi tr¶n, lçi d÷îi, Lipshitz tr¶n, Lipshitz d÷îi, t½nh kh£ vi, kh£ d÷îi vi ph¥n,... công ÷ñc ÷a ra. Tø nhúng kh¡i ni»m n y ng÷íi ta t¼m ÷ñc nhúng i·u ki»n c¦n v  õ kh¡c nhau cho c¡c b i to¡n tèi ÷u, v  công x¥y düng ÷ñc l½ thuy¸t tèi ÷u cho nhi·u lîp b i to¡n nh÷ lçi, Lipshitz,...Rçi mð rëng k¸t qu£ cho c¡c b i to¡n tüa nh÷: b i to¡n tüa tèi ÷u, b i to¡n tüa c¥n b¬ng,... Möc ½ch cõa luªn v«n l  tr¼nh b y i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I v  b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II. çng thíi nghi¶n cùu mèi quan h» giúa hai b i to¡n n y vîi mët sè b i to¡n kh¡c nh÷ b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n, b i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n,...Tø â cho ta c¡ch nh¼n bao qu¡t v· mèi quan h» giúa c¡c b i to¡n kh¡c nhau trong l½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng v  t i li»u tham kh£o. Cö thº l  Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng 2: B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I Ch÷ìng 3: B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II Cuèi còng, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o GS. TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, t¤o måi i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n  Tr÷íng H S÷ ph¤m  H Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡ håc, xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  c¡c b¤n còng lîp cao håc To¡n K17 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp v  l m luªn v«n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· c¡c khæng gian th÷íng dòng, ¡nh x¤ a trà v  mët sè t½nh ch§t cõa nâ düa tr¶n t i li»u [6]. 1.1 Mët sè khæng gian cì b£n Trong to¡n håc hay b§t k¼ mët ng nh khoa håc n o kh¡c, mët b i to¡n ÷ñc °t ra bao gií công g­n vîi mët khæng gian n o â. V¼ vªy vi»c nghi¶n cùu to¡n håc nâi chung, v  nhúng b i to¡n cö thº trong to¡n håc nâi ri¶ng, tr÷îc h¸t ta ph£i quan t¥m tîi c¡c khæng gian cõa b i to¡n. Méi b i to¡n ph£i g­n vîi mët hay nhi·u khæng gian nh§t ành. Trong ch÷ìng n y ta nh­c l¤i nhúng khæng gian cì b£n m  trong c¡c ch÷ìng sau cõa luªn v«n th÷íng · cªp ¸n. 1.1.1 Khæng gian metric ành ngh¾a 1.1. a) Vîi méi c°p ph¦n tû x, y cõa tªp hñp X ·u câ x¡c ành theo mët qui t­c n o â, mët sè thüc ρ(x, y),, gåi l  kho£ng c¡ch giúa x v  y; b) Qui t­c nâi tr¶n thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y: (i) ρ(x, y) > 0, n¸u x 6= y; ρ(x, y) = 0, n¸u x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z. H m sè ρ(x, y) ÷ñc gåi l  metric cõa khæng gian X , v  (X, ρ) ÷ñc gåi l  khæng gian metric. 1.1.2 Khæng gian ành chu©n ành ngh¾a 1.2. Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n l  c°p (X, k.k), trong â X l  khæng gian tuy¸n t½nh cán k.k l  mët ¡nh x¤ X → R thäa m¢n (i) ∀x ∈ X , k x k≥ 0 v  k x k = 0 khi v  ch¿ khi x = 0; (ii) ∀x, y ∈ X , k x + y k≤k x k + k y k; (iii) ∀x ∈ X , ∀λ ∈ K , k λx k =k λ kk x k. 1.1.3 Khæng gian Hilbert ành ngh¾a 1.3. Cho X l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng K {R, C}. H m sè h., .i : X × X →K ÷ñc gåi l  t½ch væ h÷îng tr¶n = X n¸u (i) hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ X . ( k½ hi»u hx, yi ch¿ sè phùc li¶n hñp cõa sè phùc hy, xi); (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y ∈ X; (iii) hλx, zi = λhx, zi, ∀λ ∈ K; (iv) hx, xi ≥ 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0. Khæng gian X ÷ñc trang bà t½ch væ h÷îng gåi l  khæng gian ti·n Hilbert. Trong khæng gian ti·n Hilbert ta luæn câ b§t ¯ng thùc CauchySchwarz sau | hx, yi |2 ≤ hx, xi.hy, yi, ∀x, y ∈ X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Thªt vªy, câ thº gi£ thi¸t y 6= 0, λ ∈ K ta câ hx + λy, x + λyi ≥ 0. Cho n¶n hx, xi + λhy, xi + λ̄hx, yi + λ2 hy, yi ≥ 0. °t λ = − hx,yi hy,yi , khi â hx, xi − | hx, yi |2 ≥ 0. hy, yi Tø â ta suy ra hx, xi.hy, yi ≥| hx, yi |2 . Ta câ i·u c¦n chùng minh. p Tø b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ kxk = hx, xi l  mët chu©n trong khæng gian X. Khæng gian ti·n Hilbert l  mët khæng gian ành chu©n. Do â, tr¶n â câ thº ành ngh¾a d¢y Cauchy v  t½nh ¦y õ. Vªy ta câ ành ngh¾a sau. ành ngh¾a 1.4. Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ gåi l  khæng gian Hilbert 1.1.4 Khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Haussdorff ành ngh¾a 1.5. Cho tªp hñp X , gåi τ l  c¡c tªp con cõa X . Khi â ÷ñc gåi l  khæng gian tæpæ n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n (i) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ; (ii) Vîi {Ut}t∈T ⊂ τ th¼ t∈T ∪ Ut ∈ τ ; (iii) Vîi ∀U1, U2 ∈ τ th¼ U1 ∩ U2 ∈ τ . X Mët khæng gian tuy¸n t½nh thüc hay phùc câ thº çng thíi ÷ñc trang bà mët c§u tróc tæ pæ v  mët c§u tróc ¤i sè (ph²p cëng hai ph¦n tû v  ph²p nh¥n mët sè vîi mët ph¦n tû). Khi §y ta câ mët khæng gian vøa tuy¸n t½nh vøa tæ pæ. V§n · ¡ng chó þ l  hai c§u tróc â câ quan h» vîi nhau nh÷ th¸ n o º khæng gian n£y sinh ra nhi·u t½nh ch§t mîi. Ta câ ành ngh¾a sau. ành ngh¾a 1.6. Ta nâi r¬ng mët tæ pæ τ phò hñp vîi c§u tróc ¤i sè trong khæng gian X , n¸u c¡c ph²p t½nh ¤i sè trong X li¶n töc trong tæ pæ τ , tùc l  n¸u: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 (i) x + y l  mët ¡nh x¤ li¶n töc cõa hai bi¸n x, y; nâi rã hìn, vîi måi l¥n cªn V cõa iºm x + y ·u tçn t¤i l¥n cªn Ux cõa x v  l¥n cªn Uy cõa y sao cho n¸u x0 ∈ Ux, y0 ∈ Uy th¼ x0 + y0+ ∈ V . (ii) αx l  ¡nh x¤ li¶n töc cõa hai bi¸n α, x; nâi rã hìn, vîi måi l¥n cªn V cõa αx ·u câ mët sè  > 0 v  mët l¥n cªn U cõa x sao cho n¸u |α0 − α| < , x0 ∈ U th¼ α0 x0 ∈ V. Khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶n â câ mët tæ pæ t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè ÷ñc gåi l  khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh. ành ngh¾a 1.7. Khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh X ÷ñc gåi l  khæng gian lçi àa ph÷ìng n¸u måi ph¦n tû cõa X câ cì sð l¥n cªn th nh lªp tø c¡c tªp lçi. Hay t÷ìng ÷ìng, ph¦n tû 0 ∈ X câ cì sð l¥n cªn th nh lªp tø c¡c tªp lçi. ành ngh¾a 1.8. Khæng gian tæ pæ (X, τ ) ÷ñc gåi l  khæng gian Haussdorff n¸u vîi méi x, y ∈ X, x 6= y bao gií công tçn t¤i l¥n cªn Ux cõa x v  Uy cõa y thäa m¢n Ux ∩ Uy = ∅. 1.2 nh x¤ a trà v  mët sè kh¡i ni»m li¶n quan Ph¦n n y tr¼nh b y ành ngh¾a v· ¡nh x¤ a trà, t½nh li¶n töc v  t½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà. V  º thuªn ti»n cho vi»c theo dãi c¡c chùng minh ð ch÷ìng 2 v  ch÷ìng 3 chóng ta s³ ÷a ra mët sè ành ngh¾a li¶n quan ¸n ¡nh x¤ KKM. Trong c¡c ành ngh¾a d÷îi ¥y chóng ta luæn gi£ sû X, Y, Z, W l  c¡c khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh, lçi àa ph÷ìng, Haussdorff. D ⊂ X , K ⊂ Z , E ⊂ W l  c¡c tªp con kh¡c réng v  C l  nân trong Y . Tr÷îc h¸t ta câ ành ngh¾a v· ¡nh x¤ a trà nh÷ sau. ành ngh¾a 1.9. K½ hi»u 2Y l  tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa Y . nh x¤ F : X → 2Y m  ùng vîi méi x ∈ X cho mët tªp con cõa Y ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ a trà. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 ành ngh¾a 1.10. Cho F : D → 2Y l  ¡nh x¤ a trà. l  C − li¶n töc tr¶n (ho°c C − li¶n töc d÷îi) t¤i x0 ∈ D n¸u vîi b§t k¼ l¥n cªn V cõa 0 trong Y ·u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho •F F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C (ho°c F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C) vîi måi x ∈ U ∩ domf . • F l  C − li¶n töc t¤i x0 ∈ D n¸u F vøa l  C − li¶n töc tr¶n v  vøa l  C − li¶n töc d÷îi t¤i x0. • F l  C − li¶n töc tr¶n, C − li¶n töc d÷îi, ho°c C − li¶n töc tr¶n D n¸u nâ l  C − li¶n töc tr¶n, C − li¶n töc d÷îi, ho°c C − li¶n töc t¤i ∀x ∈ D. • F l  C − lãm tr¶n (ho°c C − lãm d÷îi) n¸u αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C (ho°c F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C) vîi ∀x, y ∈ domF v  α ∈ [0, 1]. • F l  C − tüa lçi tr¶n tr¶n D n¸u vîi b§t k¼ x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] ta câ F (x1 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C (ho°c F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C. câ •F l  C − tüa lçi d÷îi tr¶n D n¸u vîi b§t k¼ x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] ta F (tx1 + (1 − t)x2 )F (x1 ) ⊆ F (x1 ) − C (ho°c F (tx1 + (1 − t)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C. ành ngh¾a 1.11. Cho F : K × D × D → 2Y , Q : D × D → 2K l  c¡c ¡nh x¤ a trà. Cho C : K × D → 2Y l  ¡nh x¤ a trà nân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 ÷ñc gåi l  (Q, C) − tüa lçi tr¶n theo ÷íng ch²o èi vîi bi¸n thù ba n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {x1, x2, ..., xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, x2, ..., xn}, câ j ∈ {1, 2, ..., n} sao cho •F F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), ∀y ∈ Q(x, xj ). ÷ñc gåi l  (Q, C) − tüa lçi d÷îi theo ÷íng ch²o èi vîi bi¸n thù ba n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {x1, x2, ..., xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, x2, ..., xn}, câ j ∈ {1, 2, ..., n} sao cho •F F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj ) − C(y, x), ∀y ∈ Q(x, xj ). ành ngh¾a 1.12. nh x¤ a trà F vîi b§t k¼ tªp húu h¤n n : D → 2X {t1 , t2 , ..., tn } ⊂ D, d¨n ÷ñc gåi l  KKM n¸u ¸n co{t1, t2, ..., tn} ⊆ ∪ F (tj ). j=1 ành ngh¾a 1.13. Cho F : K × D × D → 2X , Q : D × D → 2K l  c¡c ¡nh x¤ a trà. F ÷ñc gåi l  Q − KKM n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {t1 , t2 , ..., tn } ⊂ D v  x ∈ co{t1 , t2 , ..., tn }, câ tj ∈ {t1 , t2 , ..., tn } sao cho 0 ∈ F (y, x, tj ), ∀y ∈ Q(x, tj ). ành ngh¾a 1.14. Cho F : K × D × E → 2X , Q : D × E → 2K l  c¡c ¡nh x¤ a trà. F ÷ñc gåi l  Q − KKM têng qu¡t n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {t1, t2, ..., tn} ⊂ E câ mët tªp húu h¤n {x1, x2, ..., xn} ⊂ D º vîi b§t k¼ x ∈ co{xi , xi , ..., xi }, câ ti ∈ {ti , ti , ..., ti } sao cho 0 ∈ F (y, x, tj ), ∀y ∈ Q(x, ti ). ành ngh¾a 1.15. Cho R l  quan h» hai ngæi tr¶n K × D. Chóng ta nâi r¬ng R l  âng n¸u vîi b§t k¼ d¢y suy rëng (yα, xα) → (y, x) v  R(yα, xα) x£y ra vîi måi α th¼ R(y, x) x£y ra. ành ngh¾a 1.16. Cho R l  quan h» tr¶n K × D × D. Chóng ta nâi r¬ng R l  Q − KKM n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {t1, t2, ..., tn} ⊂ D v  x ∈ co{t1 , t2 , ..., tn } câ tj ∈ {t1 , t2 , ..., tn } sao cho R(y, x, tj ) x£y ra, vîi måi y ∈ Q(x, tj ). 1 2 k j 1 2 n j Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 1.3 Mët sè ành l½ iºm b§t ëng cì b£n Ph¦n n y tr¼nh b y nëi dung cõa hai ành l½ iºm b§t ëng cì b£n l  ành l½ Park v  ành l½ Browder- KyFan. ành lþ 1.17. (Park [4]) Cho X l  khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng, l  tªp con lçi, ch§p nhªn ÷ñc, kh¡c réng cõa X v  F : D → 2D l  ¡nh x¤ a trà com p­c acyclic vîi gi¡ trà kh¡c réng. Th¼ ∃x̄ ∈ D sao cho x̄ ∈ F (x̄). ành lþ 1.18. (Browder- KyFan [8]) Cho D l  tªp con kh¡c réng, lçi, comp­c cõa X v  F : D → 2D l  ¡nh x¤ a trà thäa m¢n c¡c i·u ki»n d÷îi ¥y (i) ∀x ∈ D, x 6∈ F (x) v  F (x) l  lçi; (ii) ∀y ∈ D, F −1(y) l  mð trong D. Th¼ ∃x̄ ∈ D sao cho F (x̄) = ∅. D Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Ch÷ìng 2 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I v  i·u ki»n tçn t¤i nghi»m cõa nâ. çng thíi ¡p döng b i to¡n n y º chùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan nh÷ b i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n lo¤i I, b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n lo¤i I,v.v... düa tr¶n t i li»u [7] 2.1 °t b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan 2.1.1 °t b i to¡n Cho X, Y, Z l  c¡c tªp kh¡c réng. D ⊆ X , K ⊆ Z l  c¡c tªp con kh¡c réng. Gi£ sû S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × D × D × D → 2Y l  c¡c ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà kh¡c réng. B i to¡n: t¼m (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho 1/ x̄ ∈ S(x̄, ȳ); 2/ ȳ ∈ T (x̄, ȳ); 3/ 0 ∈ F (ȳ, x̄, x̄, z), ∀z ∈ S(x̄, ȳ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 ÷ñc gåi l  b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I, k½ hi»u (GQEP )I . Trong â c¡c ¡nh x¤ a trà S, T l  r ng buëc v  F l  ¡nh x¤ a trà th÷íng ÷ñc x¡c ành bði ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc, ho°c bði c¡c bao h m thùc v  sü t÷ìng giao cõa c¡c ¡nh x¤ a trà. 2.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan D÷îi ¥y l  c¡c b i to¡n m  ta câ thº ÷a v· b i to¡n (GQEP )I b¬ng c¡ch x¡c ành ¡nh x¤ F th½ch hñp. 1) B i to¡n tüa tèi ÷u lo¤i I Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 2.1.1. Gi£ sû G : K × D × D → R l  h m sè. B i to¡n: t¼m (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho 1/ x̄ ∈ S(x̄, ȳ); 2/ ȳ ∈ T (x̄, ȳ); 3/ G(ȳ, x̄, x̄) = min G(ȳ, x̄, z), z∈S(x̄,ȳ) ÷ñc gåi l  b i to¡n tüa tèi ÷u lo¤i I ¢ ÷ñc A. Guerraggio v  N. X. T§n x²t trong [1]. Ta th§y r¬ng (GQEP )I l  t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n tr¶n, v¼ n¸u ta x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X nh÷ sau M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ≥ G(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D. Th¼ i·u ki»n 0 ∈ F (ȳ, x̄, x̄, z), ∀z ∈ S(x̄, ȳ), s³ trð th nh G(ȳ, x̄, x̄) = min G(ȳ, x̄, z). z∈S(x̄,ȳ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 2) B i to¡n tüa c¥n b¬ng væ h÷îng Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1). Gi£ sû g : K × D × D → R l  h m sè vîi g(y, x, x) = 0, ∀x ∈ D, y ∈ K . B i to¡n: t¼m (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho 1/ x̄ ∈ S(x̄, ȳ); 2/ ȳ ∈ T (x̄, ȳ); 3/ g(ȳ, x̄, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(x̄, ȳ). ÷ñc gåi l  b i to¡n tüa c¥n b¬ng væ h÷îng, mð rëng cõa c¡c lo¤i b i to¡n cê iºn cõa Stampachia v  Minty ¢ ÷ñc A. Guerraggio v  N. X. T§n x²t trong [1]. B¬ng c¡ch x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X nh÷ sau M (y, x, z) = {t ∈ D | g(y, x, z) ≥ g(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D. Th¼ b i to¡n (GQEP )I s³ trð th nh b i to¡n tr¶n v¼ khi â i·u ki»n 0 ∈ F (ȳ, x̄, x̄, z), ∀z ∈ S(x̄, ȳ), l  t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n g(ȳ, x̄, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(x̄, ȳ). 3) B i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1). Gi£ sû R(y, x, t, z) l  quan h» giúa y ∈ K; x, t, z ∈ D. R l  quan h» th÷íng cho bði ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc cõa h m sè, ho°c bði bao h m thùc, sü t÷ìng giao cõa c¡c ¡nh x¤ a trà. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 B i to¡n: t¼m (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho 1/ x̄ ∈ S(x̄, ȳ); 2/ ȳ ∈ T (x̄, ȳ); 3/ R(ȳ, x̄, x̄, z) x£y ra, ∀z ∈ S(x̄, ȳ) ÷ñc gåi l  b i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n lo¤i I v  ÷ñc . T. Löc x²t trong [5]. B i to¡n n y t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n (GQEP )I . V¼ n¸u ta x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X nh÷ sau M (y, x, z) = {t ∈ D | R(y, x, t, z) x£y ra}, (y, x, z) ∈ K × D × D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D. Th¼ hai i·u ki»n R(ȳ, x̄, x̄, z) x£y ra , ∀z ∈ S(x̄, ȳ), v  0 ∈ F (ȳ, x̄, x̄, z), ∀z ∈ S(x̄, ȳ) l  t÷ìng ÷ìng vîi nhau. 4) B i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n l½ t÷ðng tr¶n lo¤i I Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1). Gi£ sû H, G l  c¡c ¡nh x¤ a trà tr¶n K × D × D vîi gi¡ trà trong Y . Cho C : K × D → 2Y l  ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà nân, lçi, âng kh¡c réng. B i to¡n: t¼m (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho 1/ x̄ ∈ S(x̄, ȳ); 2/ ȳ ∈ T (x̄, ȳ); 3/ H(ȳ, x̄, z) ⊂ G(ȳ, x̄, x̄) + C(ȳ, x̄), ∀z ∈ S(x̄, ȳ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 ÷ñc gåi l  b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n l½ t÷ðng tr¶n lo¤i I, ¢ ÷ñc C. J. Lin v  N. X. T§n x²t trong [2]. Rã r ng (GQEP )I s³ trð th nh b i to¡n tr¶n n¸u ta x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X nh÷ sau M (y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D. Th¼ khi â i·u ki»n H(ȳ, x̄, z) ⊂ G(ȳ, x̄, x̄) + C(ȳ, x̄), ∀z ∈ S(x̄, ȳ), t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n 0 ∈ F (ȳ, x̄, x̄, z), ∀z ∈ S(x̄, ȳ). 5) B i to¡n bao h m thùc tüa c¥n b¬ng l½ t÷ðng tr¶n Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1). Gi£ sû G : K × D × D → 2Y l  ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà kh¡c réng v  C : K × D → 2Y l  ¡nh x¤ vîi gi¡ trà nân, lçi kh¡c réng sao cho G(y, x, x) ⊆ C(y, x), ∀(y, x, x) ∈ K×D×D. B i to¡n: t¼m (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho 1/ x̄ ∈ S(x̄, ȳ); 2/ ȳ ∈ T (x̄, ȳ); 3/ G(ȳ, x̄, z) ⊂ C(ȳ, x̄), ∀z ∈ S(x̄, ȳ). ÷ñc gåi l  b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n l½ t÷ðng tr¶n lo¤i I ¢ ÷ñc C. J. Lin v  N. X. T§n x²t trong [2]. Ta th§y r¬ng (GQEP )I s³ trð th nh b i to¡n tr¶n n¸u ta x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà M : K × D × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -