ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
___________________
Nguyễn Tuấn Anh
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:
60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Môc lôc
Më ®Çu
3
Ch¬ng 1.
1.1.
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu
. . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm . . . . .
13
Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh vµ ®Æt kh«ng chØnh . .
16
1.2.2. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô
1.2.
Ch¬ng 2.
2.1.
2.2.
7
HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu
23
HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi to¸n tö nhiÔu ®¬n ®iÖu 23
2.1.1. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . .
23
2.1.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . .
26
HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi to¸n tö nhiÔu kh«ng
®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.1. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu chØnh . . . . . . . . . . .
30
2.2.2. Tèc ®é héi tô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.3. VÝ dô sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Tµi liÖu tham kh¶o
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Lêi c¶m ¬n
T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi TS. NguyÔn ThÞ Thu Thñy, Chñ
nhiÖm khoa To¸n - Tin, Trêng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn,
ngêi ®· híng dÉn, chØ d¹y tËn t×nh ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thµy, c« gi¸o c«ng t¸c t¹i trêng §¹i häc
Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng
tin - ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam ®· truyÒn thô kiÕn thøc cho
t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp võa qua.
T«i còng xin c¶m ¬n c¬ quan, b¹n bÌ ®ång nghiÖp, gia ®×nh ®· chia sÎ,
gióp ®ì, ®éng viªn, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n
nµy.
T¸c gi¶
NguyÔn TuÊn Anh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Më ®Çu
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu lµ líp bµi to¸n n¶y sinh tõ nhiÒu vÊn
®Ò cña to¸n häc øng dông nh ph¬ng tr×nh vi ph©n, c¸c bµi to¸n vËt lý
to¸n, tèi u hãa. Ngoµi ra nhiÒu vÊn ®Ò thùc tÕ nh bµi to¸n c©n b»ng m¹ng
giao th«ng ®« thÞ, m« h×nh c©n b»ng kinh tÕ.... ®Òu cã thÓ m« t¶ ®îc díi
d¹ng cña mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. RÊt tiÕc r»ng bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, nãi chung, l¹i lµ
bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña
nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã
thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m c¸c
ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, sao cho khi sai
sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng gÇn víi
nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu.
Cho
hîp cña
X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X ∗ lµ kh«ng gian liªn
X , c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®îc kÝ hiÖu lµ k.k, A : X → X ∗ lµ to¸n
tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµ
K lµ mét tËp con låi ®ãng cña X . Bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu ®îc ph¸t biÓu nh sau: víi
t×m phÇn tö
f ∈ X ∗ cho tríc, h·y
x0 ∈ K sao cho
(0.1)
hAx0 − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K,
ë ®©y
hx∗ , xi lµ kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc x∗ ∈ X ∗ t¹i
x ∈ X . NÕu K ≡ X th× bµi to¸n (0.1) cã d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f.
(0.2)
Mét trong nh÷ng híng nghiªn cøu quan träng cña bÊt ®¼ng thøc biÕn
ph©n ®¬n ®iÖu (0.1) lµ viÖc x©y dùng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i. Khi to¸n tö
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
A kh«ng cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ®Òu hoÆc ®¬n ®iÖu m¹nh th× bµi to¸n (0.1),
nãi chung, lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. I. P. Ryazantseva [13] ®· x©y dùng
nghiÖm hiÖu chØnh cho bµi to¸n nµy trªn c¬ së t×m
xh,δ
α ∈ K sao cho
s h,δ
h,δ
hAh (xh,δ
α ) + αU (xα − x∗ ) − fδ , x − xα i ≥ 0, ∀x ∈ K,
trong ®ã
(0.3)
Ah : X → X ∗ lµ xÊp xØ cña A cã tÝnh ®¬n ®iÖu, fδ lµ xÊp xØ cña
f , U s lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu cña X , α > 0 lµ tham sè hiÖu chØnh phô thuéc
vµo
h vµ δ , x∗ lµ phÇn tö cho tríc ®ãng vai trß lµ tiªu chuÈn chän.
NÕu to¸n tö nhiÔu
Ah kh«ng ®¬n ®iÖu th× bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu
chØnh (0.3) cã thÓ kh«ng cã nghiÖm. Trong trêng hîp nµy Liskovets [11]
®a ra bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu chØnh d¹ng
hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i ≥ −νg(kxτα k)kx − xτα k,
∀x ∈ K,
ë ®©y
xτα
∈ K,
(0.4)
ν ≥ h, τ = (h, δ).
Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn v¨n nh»m tr×nh bµy ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh
bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu (0.1) trªn c¬ së x©y dùng nghiÖm hiÖu
chØnh cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hiÖu chØnh (0.3) vµ (0.4). Tr×nh bµy sù
héi tô vµ ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh víi to¸n tö ngîc
®¬n ®iÖu m¹nh trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc dùa trªn viÖc chän
tham sè hiÖu chØnh tiªn nghiÖm.
Néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy trong hai ch¬ng. Ch¬ng 1 giíi
thiÖu vÒ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, tr×nh bµy sù tån t¹i nghiÖm vµ
tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. §ång thêi
tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ mét vµi
ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh gi¶i lo¹i bµi to¸n nµy.
Trong ch¬ng 2 sÏ tr×nh bµy ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov cho bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. Cô thÓ lµ tr×nh bµy sù héi tô vµ ®¸nh gi¸ tèc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
®é héi tô cña ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh (0.3), tr×nh bµy sù héi tô vµ nghiªn
cøu tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh cña ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh (0.4)
víi tham sè hiÖu chØnh ®îc chän tiªn nghiÖm, kÕt qu¶ nµy ®· ®îc nhËn
®¨ng ë t¹p chÝ Khoa häc vµ C«ng nghÖ §¹i häc Th¸i Nguyªn n¨m 2011.
ë phÇn cuèi cña ch¬ng lµ mét kÕt qu¶ sè cã tÝnh chÊt minh häa, ch¬ng
tr×nh thùc nghiÖm ®îc viÕt b»ng ng«n ng÷ MATLAB.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t
H
kh«ng gian Hilbert thùc
X
kh«ng gian Banach thùc
X∗
kh«ng gian liªn hîp cña
Rn
kh«ng gian Euclide
∅
tËp rçng
X
n chiÒu
x := y
x ®îc ®Þnh nghÜa b»ng y
∀x
víi mäi
∃x
tån t¹i
inf F (x)
x∈X
x
x
infimum cña tËp
{F (x) : x ∈ X}
I
¸nh x¹ ®¬n vÞ
AT
ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn
a∼b
a t¬ng ®¬ng víi b
A∗
to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö
D(A)
miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö
R(A)
miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö
xk → x
xk * x
d·y
d·y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
A
A
A
{xk } héi tô m¹nh tíi x
{xk } héi tô yÕu tíi x
http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Ch¬ng 1
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu
1.1.
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu
1.1.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô
Cho
cña
X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X ∗ lµ kh«ng gian liªn hîp
X , A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n trÞ víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) ⊆ X
(th«ng thêng ta coi
(miÒn ¶nh)
D(A) ≡ X nÕu kh«ng nãi g× thªm) vµ miÒn gi¸ trÞ
R(A) n»m trong X ∗ . C¸c kiÕn thøc cña môc nµy chóng t«i tham
kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1, 3, 4, 7].
§Þnh nghÜa 1.1. To¸n tö
i)
®¬n ®iÖu
A ®îc gäi lµ
nÕu
hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
ii)
®¬n ®iÖu chÆt
nÕu dÊu b»ng cña bÊt ®¼ng thøc trªn chØ ®¹t ®îc khi
x = y.
iii)
®¬n ®iÖu ®Òu
nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m
δ(t),
kh«ng gi¶m víi
t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A).
NÕu
δ(t) = cA t2 víi cA lµ mét h»ng sè d¬ng th× to¸n tö A ®îc gäi lµ
®¬n ®iÖu m¹nh.
§Þnh nghÜa 1.2. To¸n tö
A
®îc gäi lµ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
hemi-liªn
tôc
trªn
X
nÕu
A(x +
http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
ty) * Ax
trªn
X
t → 0+
khi
nÕu tõ
NhËn xÐt 1.1.
víi mäi
x, y ∈ X,
vµ
A
®îc gäi lµ
demi-liªn
tôc
xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞.
Mét to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ
hemi-liªn tôc trªn X th× demi-liªn
tôc.
A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, ®¬n trÞ vµ K lµ tËp con låi
Cho
®ãng cña
sau: víi
X . Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu ®îc ph¸t biÓu nh
f ∈ X ∗ , h·y t×m x0 ∈ K sao cho
(1.1)
hAx0 − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K.
Bæ ®Ò 1.1.
(xem [3])
A : X → X∗
Cho
X
lµ mét kh«ng gian Banach thùc,
lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ
hemi-liªn
f ∈ X ∗ . NÕu
tôc th×
(1.1)
t¬ng
®¬ng víi
(1.2)
hAx − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K.
Chøng minh.
Do
A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu nªn ta cã
hAx − Ax0 , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X.
BÊt ®¼ng thøc nµy t¬ng ®¬ng víi
0 ≤ hAx − Ax0 , x − x0 i = h(Ax − f ) − (Ax0 − f ), x − x0 i
hay
hAx − f, x − x0 i ≥ hAx0 − f, x − x0 i.
Tõ (1.1) vµ bÊt ®¼ng thøc nµy ta suy ra (1.2).
Ngîc l¹i gi¶ sö
hAx − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K, khi ®ã víi mäi t ∈ (0, 1)
ta cã
hA[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
suy ra
thA[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K.
Chia c¶ hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy cho
tÝnh chÊt
t sau ®ã cho t → 0 vµ sö dông
hemi-liªn tôc cña to¸n tö A ta ®îc bÊt ®¼ng thøc (1.1).
2
VÝ dô 1.1.
Cho f (x) lµ mét hµm thùc kh¶ vi trªn
J = [a, b]. H·y t×m x0 ∈ J
sao cho
f (x0 ) = min f (x).
x∈J
Ta thÊy cã ba kh¶ n¨ng sau:
1) NÕu
a < x0 < b th× f 0 (x0 ) = 0;
2) NÕu
x0 = a th× f 0 (x0 ) ≥ 0 vµ;
3) NÕu
x0 = b th× f 0 (x0 ) ≤ 0.
Nh÷ng ph¸t biÓu nµy cã thÓ tæng qu¸t b»ng c¸ch viÕt nh sau:
f 0 (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ J,
vµ ®©y lµ mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
F : X → R ∪ {+∞} ®îc gäi lµ
§Þnh nghÜa 1.3. PhiÕm hµm
i)
låi
trªn
X
nÕu víi mäi
x, y ∈ X
ta cã
F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1].
ii)
nöa liªn tôc díi
trªn
X
nÕu
lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X.
y→x
§Þnh nghÜa 1.4. Cho
F
lµ mét phiÕm hµm låi, chÝnh thêng trªn
x ∈ X . Ta ®Þnh nghÜa ∂F
X vµ ®iÓm
bëi:
∂F (x) = {x∗ ∈ X ∗ : F (x) ≤ F (y) + hx − y, x∗ i, y ∈ X}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
PhÇn tö
lµ
x∗ ∈ X ∗
díi vi ph©n
®îc gäi lµ
cña
F
t¹i ®iÓm
x∈X
cña
F
t¹i
x vµ ∂F (x) ®îc gäi
x.
t¹i
§Þnh nghÜa 1.5. PhiÕm hµm
G©teaux
díi Gradient
F : X → R ∪ {+∞}
nÕu tån t¹i
x∗ ∈ X ∗
®îc gäi lµ
kh¶ vi
sao cho
F (x + λy) − F (x)
= hx∗ , yi, ∀y ∈ X,
λ→+0
λ
x∗ ®îc gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña F t¹i x, kÝ hiÖu lµ F 0 (x).
lim
Chó ý 1.1
th×
(xem [7]). NÕu
F lµ phiÕm hµm låi, kh¶ vi G©teaux t¹i x ∈ X
F kh¶ díi vi ph©n t¹i x vµ ∂F (x) = {F 0 (x)}.
§Þnh nghÜa 1.6. Cho
A:X→Y
vµo kh«ng gian Banach
Y.
lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach
To¸n tö
A
X
®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm
x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),
víi mäi
h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ. NÕu tån t¹i, th× T
hµm FrÐchet cña
MÖnh ®Ò 1.1.
A t¹i x, vµ ta viÕt A0 (x) = T .
(xem [7] MÖnh ®Ò 1.5)
hµm kh¶ vi G©teaux.
F0
F
vi ph©n cña
Cho
F : X → R ∪ {+∞}
lµ phiÕm
lµ phiÕm hµm låi khi vµ chØ khi ®¹o hµm G©teaux
lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu tõ
Chøng minh.
®îc gäi lµ ®¹o
X → X ∗.
Theo Chó ý 1.1, nÕu
F lµ hµm låi th× F 0 (x) vµ F 0 (y) lµ díi
F t¹i x vµ y . Do ®ã:
hF 0 (x), y − xi + F (x) ≤ F (y),
hF 0 (y), x − yi + F (y) ≤ F (x).
Céng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy víi nhau, ta ®îc:
hF 0 (x) − F 0 (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
tøc lµ
F 0 lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu tõ X vµo X ∗ .
Ngîc l¹i, gi¶ sö
®iÖu tõ
F lµ hµm kh¶ vi G©teaux vµ ®¹o hµm F 0 lµ to¸n tö ®¬n
X vµo X ∗ . Ta xÐt hµm φ : [0, 1] → R ®îc ®Þnh nghÜa bëi:
φ(λ) = F (x + λ(y − x)).
§Æt
x + λ(y − x) = xλ , suy ra
φ0 (λ) = hF 0 (x + λ(y − x), y − xi.
Víi mäi
0 ≤ λ0 < λ ≤ 1 ta cã
φ0 (λ) − φ0 (λ0 ) = hF 0 (xλ ) − F 0 (xλ0 ), y − xi
1
hF 0 (xλ ) − F 0 (xλ0 ), xλ − xλ0 i.
=
0
λ−λ
Do
F 0 ®¬n ®iÖu nªn φ0 (λ) − φ0 (λ0 ) ≥ 0, suy ra φ0 lµ hµm t¨ng. VËy φ lµ
hµm låi trªn [0,1] vµ
φ(λ) ≤ (1 − λ)φ(0) + λφ(1), ∀λ ∈ [0, 1].
Suy ra
F ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)F (x) + λF (y), ∀λ ∈ [0, 1].
VËy
F lµ hµm låi.
2
NÕu
A lµ ®¹o hµm G©teaux cña mét phiÕm hµm F : X → R ∪ {+∞}
låi chÝnh thêng nöa liªn tôc díi vµ
f ≡ 0 ∈ X ∗ th× bÊt ®¼ng thøc biÕn
ph©n (1.1) t¬ng ®¬ng víi bµi to¸n cùc trÞ låi kh«ng kh¶ vi
min F (x).
x∈K
(1.3)
Ta cã kÕt qu¶ sau (xem [7]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
MÖnh ®Ò 1.2. Gi¶ sö
F : X → R ∪ {+∞}
thêng, nöa liªn tôc díi trªn
F0
X
lµ mét phiÕm hµm låi chÝnh
vµ kh¶ vi G©teaux víi ®¹o hµm G©teaux
gi¶ thiÕt lµ liªn tôc. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng:
i)
x0
ii)
iii)
lµ nghiÖm cña bµi to¸n
(1.3);
hF 0 (x0 ), x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K ;
hF 0 (x), x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K .
Chøng minh.
Tríc hÕt ta chøng minh
i)
t¬ng ®¬ng víi
ii).
ThËt vËy, nÕu
x0 lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.3) th× víi ∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1) ta cã
F (x0 ) ≤ F ((1 − λ)x0 + λx).
Tõ bÊt ®¼ng thøc nµy suy ra
1
F (x0 + λ(x − x0 )) − F (x0 ) ≥ 0.
λ
LÊy giíi h¹n vÕ tr¸i cña (1.4) khi λ → 0 ta ®îc:
(1.4)
F (x0 + λ(x − x0 )) − F (x0 )
= hF 0 (x0 ), x − x0 i ≥ 0.
λ→0
λ
Ngîc l¹i víi ∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1), do F lµ hµm låi chÝnh thêng nªn
1
F (x) − F (x0 ) ≥ F ((1 − λ)x0 + λx) − F (x0 ) .
λ
Cho qua giíi h¹n khi λ → 0 vµ sö dông tÝnh chÊt nöa liªn tôc díi yÕu cña
lim
F ta ®îc
F (x) − F (x0 ) ≥ hF 0 (x0 ), x − x0 i, ∀x ∈ K.
V× x0 tháa m·n ®iÒu kiÖn
cña
nªn tõ bÊt ®¼ng thøc trªn ta suy ra
x0 lµ nghiÖm
(1.3).
B©y giê ta sÏ chØ ra
1.1,
ii)
ii) t¬ng ®¬ng víi iii). ThËt vËy, theo MÖnh ®Ò
F 0 : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu nªn
hF 0 (x) − F 0 (x0 ), x − x0 )i ≥ 0, ∀x, x0 ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(1.5)
http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
KÕt hîp (1.5) víi
Ngîc l¹i, nÕu
ii) ta suy ra iii).
x0 tháa m·n iii), lÊy x = (1−λ)x0 +λy, y ∈ K, λ ∈ [0, 1],
ta cã
hF 0 (1 − λ)x0 + λy , (1 − λ)x0 + λy − x0 i ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇔ hF 0 (λ(y − x0 ) + x0 ), λ(y − x0 )i ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇔ λhF 0 x0 + λ(y − x0 ) , y − x0 i ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇒ hF 0 (x0 + λ(y − x0 )), y − x0 i ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
Trong bÊt ®¼ng thøc trªn cho
λ → 0 ta nhËn ®îc
2
hF 0 (x0 ), y − x0 i ≥ 0, ∀y ∈ K.
1.1.2. Sù tån t¹i vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm
§Þnh nghÜa 1.7. To¸n tö
A : X → X∗
®îc gäi lµ
to¸n tö bøc
nÕu
hAx, xi
= ∞, ∀x ∈ X.
kxk→+∞ kxk
lim
§Þnh lý 1.1.
(xem [7])
liªn tôc vµ bøc,
K
Gi¶ sö
NÕu
lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu
lµ mét tËp con låi ®ãng cña
®ã, bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
Chó ý 1.2.
A : X → X∗
X
tháa m·n
hemi-
intK 6= ∅. Khi
(1.1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm víi mäi f ∈ X ∗ .
A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu ngÆt th× nghiÖm x0 cña bÊt ®¼ng thøc
biÕn ph©n (1.1) lµ duy nhÊt.
ThËt vËy, gi¶ sö
x1 lµ mét nghiÖm kh¸c cña (1.1). Khi ®ã ta cã
hAx0 − f, x1 − x0 i ≥ 0,
(1.6)
hAx1 − f, x0 − x1 i ≥ 0.
(1.7)
KÕt hîp hai bÊt ®¼ng thøc nµy ta ®îc
hAx0 − Ax1 , x1 − x0 i ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
V×
A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu nªn tõ bÊt ®¼ng thøc cuèi cïng suy ra
hAx0 − Ax1 , x0 − x1 i = 0.
BÊt ®¼ng thøc nµy m©u thuÉn víi
to¸n tö
A.
KÝ hiÖu
PhÇn tö
x1 6= x0 vµ tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ngÆt cña
S0 lµ tËp nghiÖm cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu (1.1).
x0 ∈ S0 cã chuÈn nhá nhÊt ®îc gäi lµ nghiÖm chuÈn t¾c cña bµi
to¸n (1.1). TÝnh chÊt cña tËp nghiÖm ®óng
cña bµi to¸n
S0 vµ tËp nghiÖm chuÈn t¾c S∗
(1.1) ®îc cho bëi bæ ®Ò sau.
Bæ ®Ò 1.2.
(xem [3, 7])
®ãng. NÕu
S0 6= ∅ th× tËp con S∗
Ngoµi ra nÕu
A
TËp nghiÖm ®óng
S0
cña bµi to¸n
(1.1) lµ mét tËp
còng lµ tËp ®ãng.
lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu
hemi-liªn
tôc, th×
S0
vµ
S∗
lµ
c¸c tËp låi.
§Þnh nghÜa 1.8.
¸
nh x¹
U s : X → X∗
(nãi chung ®a trÞ) x¸c ®Þnh bëi
U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ k.kxk; kx∗ k = kxks−1 }, s ≥ 2
®îc gäi lµ
¸nh x¹ ®èi ngÉu
thêng ®îc viÕt lµ
U
tæng qu¸t cña kh«ng gian
vµ ®îc gäi lµ
X . Khi s = 2 th× U s
¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c
cña
X.
TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®îc cho trong mÖnh ®Ò sau:
MÖnh ®Ò 1.3.
(xem [4])
Gi¶ sö
X
lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã,
1)
U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R;
2)
U
lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi
X∗
lµ kh«ng gian låi chÆt.
NhËn xÐt 1.2.
i) Trong kh«ng gian Hilbert
tö ®¬n vÞ
H , ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c chÝnh lµ to¸n
I trong H .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
ii)
¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã
tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach.
Víi
X = Lp (Ω), 1 < p < ∞ vµ Ω lµ mét tËp ®o ®îc cña kh«ng gian
Rn th× ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c U cã d¹ng
(U x)(t) = kxk2−p |x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω.
Trong kh«ng gian
Lp (Ω), ¸nh x¹ ®èi ngÉu U s cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ®Òu vµ
liªn tôc Holder, v×
ë ®©y
hU s (x) − U s (y), x − yi ≥ mU kx − yks , mU > 0,
(1.8)
kU s (x) − U s (y)k ≤ C(R)kx − ykκ , 0 < κ ≤ 1,
(1.9)
C(R) lµ mét hµm d¬ng vµ ®¬n ®iÖu t¨ng theo R = max{kxk, kyk}
(xem [1] vµ tµi liÖu dÉn).
§Þnh lý 1.2.
(xem [4])
®èi ngÉu chuÈn t¾c
H¬n n÷a, nÕu
X
NÕu
X∗
lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹
U : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ demi-liªn tôc.
lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th×
U
lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu
chÆt.
§Þnh nghÜa 1.9. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn
cÇu ®¬n vÞ
kÐo theo
S = {x ∈ X : kxk = 1}
kx + yk < 2
cña
X
X
®îc gäi lµ
låi chÆt
lµ låi chÆt, tøc lµ tõ
(nãi c¸ch kh¸c biªn cña
S
nÕu mÆt
x, y ∈ S
kh«ng chøa bÊt k× mét
®o¹n th¼ng nµo).
VÝ dô 1.2.
Kh«ng gian
Lp [a, b], 1 < p < ∞ lµ mét kh«ng gian låi chÆt.
§Þnh nghÜa 1.10. Kh«ng
∀ε > 0, ∃δ > 0
sao cho
gian
Banach
∀x, y ∈ X
víi
X
®îc
gäi
lµ
låi
®Òu
nÕu
kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk = ε
bÊt ®¼ng thøc
kx + yk ≤ 2(1 − δ)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
®óng.
§Þnh nghÜa 1.11. Cho
lµ
X
lµ kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹,
kh«ng gian cã tÝnh chÊt Ephimov-Stechkin
E-S) nÕu trong
X
X
®îc gäi
(hay kh«ng gian cã tÝnh chÊt
xn * x
sù héi tô yÕu c¸c phÇn tö
vµ sù héi tô chuÈn
kxn k → kxk lu«n kÐo theo sù héi tô m¹nh kxn − xk → 0 .
1.2.
Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh vµ ®Æt kh«ng chØnh
Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt chØnh ®îc J. Hadamard [9] ®a ra khi nghiªn
cøu ¶nh hëng cña c¸c ®iÒu kiÖn biªn lªn nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh
eliptic còng nh parabolic.
ViÖc t×m nghiÖm
kiÖn ban ®Çu
x cña bÊt kú mét bµi to¸n nµo còng ph¶i dùa vµo d÷
f , cã nghÜa lµ x = R(f ). Ta sÏ coi nghiÖm còng nh c¸c d÷
kiÖn ®ã lµ nh÷ng phÇn tö thuéc kh«ng gian
øng lµ ρX (x1 , x2 ) vµ ρY (f1 , f2 ),
X vµ Y víi c¸c ®é ®o t¬ng
x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y .
Gi¶ sö ®· cã mét kh¸i niÖm thÕ nµo lµ nghiÖm cña mét bµi to¸n. Khi
®ã, bµi to¸n t×m nghiÖm
x = R(f ) ®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian
(X, Y ), nÕu víi mçi sè ε > 0 cã thÓ t×m ®îc mét sè δ(ε) > 0, sao cho tõ
ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) ta cã ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ë ®©y
x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y.
§Þnh nghÜa 1.12. Bµi to¸n t×m nghiÖm
x∈X
theo d÷ kiÖn
lµ bµi to¸n ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian mªtric
f ∈Y
2) nghiÖm
x ®ã ®îc x¸c ®Þnh mét c¸ch duy nhÊt;
x ∈ X;
3) bµi to¸n nµy æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
®îc gäi
(X, Y ), nÕu:
1) víi mçi
tån t¹i nghiÖm
f ∈Y
(X, Y ).
http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Trong mét thêi gian dµi ngêi ta cho r»ng mäi bµi to¸n ®Æt ra ®Òu tháa
m·n ba ®iÒu kiÖn trªn. Nhng thùc tÕ chØ ra r»ng quan niÖm ®ã lµ sai lÇm.
Trong tÝnh to¸n thùc tÕ c¸c bµi to¸n b»ng m¸y tÝnh lu«n diÔn ra qu¸ tr×nh
lµm trßn sè. ChÝnh sù lµm trßn ®ã dÉn ®Õn c¸c kÕt qu¶ sai lÖch ®¸ng kÓ.
NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tháa m·n th× bµi to¸n t×m
nghiÖm
x ∈ X theo d÷ kiÖn f ∈ Y ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
§«i khi ngêi ta cßn gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chÝnh quy hoÆc bµi to¸n thiÕt
lËp kh«ng ®óng ®¾n.
Còng cÇn lu ý r»ng mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian
mªtric nµy, nhng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian mªtric kh¸c.
VÝ dô 1.3.
HÖ ph¬ng tr×nh
2x1 + x2 = 2
2x1 + 1, 01x2 = 2, 01
cã nghiÖm lµ
x1 =
1
vµ x2 = 1, trong khi ®ã hÖ ph¬ng tr×nh
2
2x1 + x2 = 2
2.01x1 + 1, 01x2 = 2, 05
cã nghiÖm lµ
x1 = 5 vµ x2 = −8. Ta thÊy mét thay ®æi nhá cña hÖ sè vµ
vÕ ph¶i trong ph¬ng tr×nh thø hai kÐo theo nh÷ng thay ®æi ®¸ng kÓ cña
nghiÖm. §©y lµ mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
Chó ý 1.3.
V× tÝnh kh«ng duy nhÊt cña nghiÖm cña bµi to¸n (1.10), nªn
ngêi ta thêng cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cña nghiÖm. Ta sÏ sö
dông nghiÖm
x0 cã x∗ - chuÈn nhá nhÊt, nghÜa lµ ta t×m nghiÖm tháa m·n
A(x0 ) = f,
vµ
kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : A(x) = f }.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
B»ng c¸ch chän
x∗ , ta cã thÓ cã ®îc nghiÖm mµ ta muèn xÊp xØ.
1.2.2. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh
Sau ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh cho bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
ë d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö
(1.10)
Ax = f.
Cho
A lµ mét to¸n tö kh¶ nghÞch trong l©n cËn cña x0 vµ gi¶ sö Ax0 = f .
Víi ph¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh (1.10), nÕu chØ biÕt d÷ kiÖn
fδ
sao cho
(1.11)
kfδ − f k ≤ δ,
th× thËm chÝ ngay c¶ khi tån t¹i
A−1 , xδ := A−1 fδ vÉn cã thÓ lµ mét xÊp xØ
tåi cho nghiÖm cña bµi to¸n nµy. §Ó nhËn ®îc nghiÖm æn ®Þnh ta ph¶i sö
dông c¸c ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh. Mét vÝ dô vÒ ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh lµ
hiÖu chØnh Tikhonov.
• Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov
Gi¶ thiÕt r»ng
X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Hilbert thùc. Néi dung cña
ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov lµ x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh cho
ph¬ng tr×nh to¸n tö (1.10) dùa trªn viÖc t×m phÇn tö cùc tiÓu
xδα cña phiÕm
hµm Tikhonov
Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x∗ k2 .
(1.12)
KÕt qu¶ cña ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov lµ víi ®iÒu kiÖn ®Æt cho to¸n
tö
A, víi c¸ch chän tham sè hiÖu chØnh α thÝch hîp, phÇn tö cùc tiÓu xδα lµ
xÊp xØ tèt cho nghiÖm
§Þnh lý 1.3.
vµ
{xk }
x0 cña bµi to¸n (1.10). Ta cã ®Þnh lý sau.
(xem [8])
Cho
A
lµ mét to¸n tö liªn tôc vµ ®ãng yÕu,
lµ mét d·y cùc tiÓu cña
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(1.12)
víi
fδ
®îc thay bëi
fk
α>0
sao cho
http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
fk → fδ . Khi ®ã, tån t¹i mét d·y con héi tô cña d·y xk
con héi tô nµy lµ phÇn tö cùc tiÓu cña
vµ giíi h¹n cña d·y
(1.12).
Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ trong bµi to¸n tham sè hiÖu chØnh chän tiªn
nghiÖm cho hiÖu chØnh Tikhonov.
§Þnh lý 1.4.
tháa m·n
khi
(xem [8])
A lµ mét to¸n tö liªn tôc vµ ®ãng yÕu, fδ ∈ Y
(1.11) vµ tham sè α(δ) ®îc chän sao cho α(δ) → 0 vµ δ 2 /α → 0
δ → 0. Khi ®ã mçi d·y {xδαkk }, ë ®©y δk → 0, αk = α(δk ) vµ xδαkk
cùc tiÓu cña
(1.12),
tô ®Òu lµ nghiÖm cã
x0
Cho
cã
lµ d·y
®Òu cã d·y con héi tô. Giíi h¹n cña mäi d·y con héi
x∗ -chuÈn
nhá nhÊt cña
(1.10).
Ngoµi ra nÕu nghiÖm
x∗ -chuÈn nhá nhÊt lµ duy nhÊt th×
lim xδα(δ) = x0 .
δ→0
HÖ thøc sau ®©y sÏ ®îc sö dông khi ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm
hiÖu chØnh: cho
a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m ®ñ bÐ, p > q > 0. NÕu
ap ≤ baq + c th× ta cã ap = O bp/(p−q) + c (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn).
Qui íc viÕt v« cïng bÐ:
Gi¶ sö ®¹i lîng
ρ(h) lµ mét v« cïng bÐ khi
h → 0. NÕu tån t¹i mét sè α > 0 vµ h»ng sè M > 0 sao cho
|ρ(h)| ≤ M hα
th× ta viÕt
ρ(h) = O(hα ).
ViÕt nh trªn cã nghÜa lµ khi
h nhá th× ρ(h) lµ mét ®¹i lîng nhá vµ khi
h → 0 th× ρ(h) tiÕn ®Õn sè 0 kh«ng chËm h¬n M hα .
§Ó nhËn ®îc kÕt qu¶ vÒ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh, ngêi ta
cÇn thªm mét vµi gi¶ thiÕt cho to¸n tö
§Þnh lý 1.5.
(xem [8])
Cho
D(A)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A. Ta cã ®Þnh lý sau.
lµ mét tËp låi,
fδ ∈ Y
tháa m·n
(1.11)
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
40 
27870 
83 
