ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------
HOÀNG THANH NGA
BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Giải tích
Mã số
: 60 46 01
Thái Nguyên, năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Môc lôc
1
Mét sè ký hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Lêi nãi ®Çu
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C¬ së to¸n häc
5
1.1
Bµi to¸n æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Bµi to¸n æn ®Þnh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
Ph¬ng ph¸p hµm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Bµi to¸n æn ®Þnh hãa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Bµi to¸n æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa hÖ cã trÔ . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1
Bµi to¸n æn ®Þnh hÖ cã trÔ
9
1.2.2
Bµi to¸n æn ®Þnh hãa hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ®iÒu
1.2
. . . . . . . . . . . . . . . .
khiÓn cã trÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
Bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u
1.3.1
1.3.2
1.4
2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mét sè bµi to¸n tèi u ®Æc biÖt
11
. . . . . . . . . . . . . 12
Bµi to¸n tèi u toµn ph¬ng tuyÕn tÝnh
. . . . . . . . . 13
Mét sè bæ ®Ò bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u
15
2.1
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh . . 15
2.2
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u hÖ tuyÕn tÝnh cã trÔ
18
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh cã
®é trÔ kh«ng kh¶ vi
3.1
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh cã
®é trÔ kh«ng kh¶ vi
3.2
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Mét sè ký hiÖu
• R = (−∞; +∞) : tËp c¸c sè thùc.
• R+ = [0; +∞) : tËp c¸c sè thùc kh«ng ©m.
• Rn×r : kh«ng gian c¸c ma trËn n × r
chiÒu.
• Rn : kh«ng gian vÐct¬ tuyÕn tÝnh thùc n chiÒu víi ký hiÖu tÝch v« híng
lµ
< ., . > vµ chuÈn vÐc t¬ lµ || . ||.
• C([a; b], Rn ) : tËp tÊt c¶ c¸c hµm liªn tôc trªn [a; b] vµ nhËn gi¸ trÞ trªn
Rn .
• L2 ([a, b], Rm ): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ tÝch bËc hai trªn [a, b] vµ lÊy gi¸
m
trÞ trong R .
• AT : ma trËn chuyÓn vÞ cña A; ma trËn A ®îc gäi lµ ma trËn ®èi xøng
T
nÕu A = A .
• I : ma trËn ®¬n vÞ.
• λ(A): tËp c¸c gi¸ trÞ riªng cña A.
• λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• A > 0: ma trËn A x¸c ®Þnh d¬ng.
• A ≥ 0: ma trËn A x¸c ®Þnh kh«ng ©m.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Lêi nãi ®Çu
Lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi u ra ®êi vµo cuèi nh÷ng n¨m 50 cña thÕ kØ hai
m¬i. Tr¶i qua qu¸ tr×nh ph¸t triÓn m¹nh mÏ nã ®· thu ®îc nhiÒu thµnh tùu
rùc rì. Ngµy nay, c¸c bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u cã tÇm quan träng ®Æc biÖt,
thu hót sù quan t©m cña ®«ng ®¶o c¸c nhµ khoa häc. Lý thuyÕt ®iÒu khiÓn
tèi u ®· trë thµnh mét lÜnh vùc nghiªn cøu quan träng trong to¸n häc, cã
nhiÒu øng dông to lín trong ®êi sèng kinh tÕ, khoa häc vµ kÜ thuËt.
Ph¸t triÓn tõ bµi to¸n tèi u hãa cæ ®iÓn, bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u lµ bµi
to¸n t×m qu¸ tr×nh tèi u cho c¸c hÖ ®iÒu khiÓn m« t¶ bëi ph¬ng tr×nh to¸n
häc. Trªn thùc tÕ c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn thêng bÞ t¸c ®éng bëi nhiÒu ®iÒu
kiÖn ph¸t sinh tõ ®Æc tÝnh vËt lÝ cña ®èi tîng vµ yªu cÇu thiÕt kÕ ®Æt ra. V×
vËy, viÖc nghiªn cøu hÖ thèng ®iÒu khiÓn tèi u lµ mét nhiÖm vô quan träng
cña lý thuyÕt ®iÒu khiÓn to¸n häc.
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu bµi to¸n ®iÒu khiÓn gi¸ trÞ tèi u
cho c¸c hÖ ®éng lùc ®îc m« t¶ bëi hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n cã trÔ. LuËn v¨n
bao gåm 3 ch¬ng:
Ch¬ng 1: C¬ së to¸n häc.
Trong ch¬ng nµy, tríc hÕt chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ së vÒ
hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ®iÒu khiÓn cã trÔ, bµi to¸n æn ®Þnh, æn ®Þnh hãa
hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ®iÒu khiÓn cã trÔ, mét sè bæ ®Ò dïng ®Ó chøng
minh kÕt qu¶ ë ch¬ng sau.
Ch¬ng 2: Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u.
Ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ c¬ së gi¶i bµi to¸n ®¶m b¶o
gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u. PhÇn ®Çu ch¬ng tr×nh bµy vÒ bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸
trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh víi hµm môc tiªu toµn ph¬ng. PhÇn
tiÕp theo chóng t«i tr×nh bµy bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho
hÖ tuyÕn tÝnh cã trÔ. PhÇn cuèi cña ch¬ng lµ më réng kÕt qu¶ ®Þnh lÝ cho
hÖ cã trÔ biÕn thiªn.
Ch¬ng 3: Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh
cã ®é trÔ kh«ng kh¶ vi. Môc ®Ých cña ch¬ng nµy lµ viÖc t×m lêi gi¶i cho bµi
to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn cho hÖ tuyÕn tÝnh cã ®é trÔ kh«ng kh¶ vi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i còng ®a ra mét vÝ dô minh häa cho kÕt qu¶
chøng minh.
T«i xin bµy tá sù biÕt ¬n s©u s¾c tíi GS. TSKH Vò Ngäc Ph¸t, ngêi thÇy
®· tËn t×nh chØ b¶o t«i trong suèt thêi gian t«i lµm luËn v¨n.
T«i rÊt biÕt ¬n Trêng §HSP Th¸i Nguyªn, Khoa To¸n, Khoa Sau ®¹i häc
®· gióp ®ì t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp t¹i trêng.
T«i xin c¶m ¬n ngêi th©n, ®ång nghiÖp, b¹n bÌ ®· cæ vò ®éng, viªn t«i
trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n.
MÆc dï ®· cè g¾ng rÊt nhiÒu nhng v× thêi gian vµ tr×nh ®é cßn h¹n chÕ
nªn luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt vµ sai lÇm. T«i rÊt mong
nhËn ®îc sù chØ b¶o vµ nh÷ng ®ãng gãp cña thÇy c« vµ c¸c b¹n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Ch¬ng 1
C¬ së to¸n häc
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ tÝnh æn
®Þnh vµ æn ®Þnh hãa ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng vµ hÖ ph¬ng
tr×nh vi ph©n cã trÔ vµ mét sè bæ ®Ò bæ trî cho chøng minh c¸c ®Þnh lý chÝnh.
1.1
1.1.1
Bµi to¸n æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa
Bµi to¸n æn ®Þnh
XÐt mét hÖ thèng ®îc m« t¶ bëi mét hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n:
(
ẋ(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,
trong ®ã
x(t) ∈ Rn
lµ vÐc t¬ tr¹ng th¸i cña hÖ,
(1.1)
f (t, x) : R+ × Rn → Rn
lµ
f (t, x) lµ hµm tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sao cho
nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy hÖ (1.1) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0
hµm vÐc t¬ cho tríc. Gi¶ thiÕt
lu«n cã nghiÖm. Khi ®ã d¹ng tÝch ph©n cña nghiÖm ®îc cho bëi c«ng thøc
Z
t
x(t) = x0 +
f (s, x(s))ds.
t0
x(t) cña hÖ (1.1) gäi lµ æn ®Þnh nÕu víi mäi sè
ε > 0, t0 ≥ 0 sÏ tån t¹i sè δ > 0 ( phô thuéc vµo ε, t0 ) sao cho bÊt kú nghiÖm
y(t), y(t0 )) = y0 cña hÖ tháa m·n k y0 − x0 k< δ th× sÏ nghiÖm ®óng bÊt
§Þnh nghÜa 1.1.1.
NghiÖm
®¼ng thøc
k y(t) − x(t) k< ε, ∀t ≥ t0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Nãi c¸ch kh¸c, nghiÖm
x(t)
lµ æn ®Þnh khi mäi nghiÖm kh¸c cña hÖ cã
gi¸ trÞ ban ®Çu ®ñ gÇn víi gi¸ trÞ ban ®Çu cña
suèt thêi gian
x(t)
th× vÉn ®ñ gÇn nã trong
t ≥ t0 .
§Þnh nghÜa 1.1.2.
x(t) cña hÖ (1.1) gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu nã
δ > 0 sao cho víi k y0 − x0 k< δ th×
NghiÖm
lµ æn ®Þnh vµ cã mét sè
lim k y(t) − x(t) k = 0.
t→∞
x(t)
NghÜa lµ, nghiÖm
lµ æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu nã æn ®Þnh vµ mäi nghiÖm
y(t) kh¸c cã gi¸ trÞ ban ®Çu y0
gÇn víi gi¸ trÞ ban ®Çu
x0
sÏ tiÕn tíi gÇn
x(t)
khi t tiÕn tíi v« cïng.
NhËn xÐt r»ng b»ng phÐp biÕn ®æi
tr×nh
(x − y) 7→ z, (t − t0 ) 7→ τ
hÖ ph¬ng
(1.1) sÏ ®îc ®a vÒ d¹ng
ż = F (τ, z)
(1.2)
F (τ, 0) = 0, vµ khi ®ã sù æn ®Þnh cña mét nghiÖm x(t) nµo ®ã cña
hÖ (1.1) sÏ ®îc ®a vÒ nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm 0 cña hÖ (1.2).
§Ó ng¾n gän, tõ nay ta sÏ nãi hÖ (1.2) lµ æn ®Þnh thay vµo nãi nghiÖm 0 cña
hÖ lµ æn ®Þnh. Do ®ã, tõ b©y giê ta xÐt hÖ (1.1) víi gi¶ thiÕt hÖ cã nghiÖm 0,
+
tøc lµ , f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R . Ta nãi :
trong ®ã
(1.1) lµ æn ®Þnh nÕu víi bÊt k× > 0, t0 ∈ R+ sÏ tån t¹i sè δ > 0 ( phô
thuéc vµo , t0 ) sao cho bÊt k× nghiÖm x(t) : x(t0 ) = x0 tháa m·n k x0 k< δ
th× k x(t) k< víi mäi t ≥ t0 .
HÖ
(1.1) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn nÕu hÖ æn ®Þnh vµ cã mét sè δ > 0 sao cho
k x0 k< δ th×
lim k x(t) k = 0.
HÖ
nÕu
t→∞
NÕu sè
δ>0
trong c¸c ®Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc vµo thêi ®iÓm
ban ®Çu t0 , th× tÝnh æn ®Þnh ( hay æn ®Þnh tiÖm cËn) ®îc gäi lµ æn ®Þnh ®Òu
(hay æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu).
§Þnh nghÜa 1.1.3.
HÖ
(1.1)
sao cho mäi nghiÖm cña hÖ
lµ æn ®Þnh mò nÕu tån t¹i c¸c sè
(1.1) víi x(t0 ) = x0
M >0δ>0
tháa m·n
k x(t) k≤ M e−δ(t−t0 ) k x0 k, ∀t ≥ t0
lµ nghiÖm 0 cña hÖ kh«ng nh÷ng æn ®Þnh tiÖm cËn mµ mäi nghiÖm cña nã
tiÕn tíi 0 nhanh víi tèc ®é theo hµm sè mò.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
1.1.2
Ph¬ng ph¸p hµm Lyapunov
Tríc tiªn ta xÐt hÖ ph¬ng tr×nh phi tuyÕn dõng
ẋ = f (x), f (0) = 0, t ∈ R+ .
Nh¾c l¹i r»ng hµm
(i)
(ii)
(1.3)
V (x) : Rn → R lµ x¸c ®Þnh d¬ng nÕu
V (x) ≥ 0 víi mäi x ∈ Rn .
V (x) = 0 khi vµ chØ khi x = 0.
Hµm
§Þnh nghÜa 1.1.4.
V (x) : Rn → R+ gäi lµ hµm Lyapunov cña hÖ (1.3)
nÕu
(i)
(ii)
(iii)
V (x) lµ hµm kh¶ vi liªn tôc trªn Rn .
V (x) lµ hµm x¸c ®Þnh d¬ng.
Df V (x) :=
∂V
∂x f
(x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn .
Hµm V(x) gäi lµ hµm Lyapunov chÆt nÕu nã lµ hµm Lyapunov vµ thªm vµo
®ã, bÊt ®¼ng thøc trong ®iÒu kiÖn iii) lµ thùc sù ©m, víi mäi x n»m ngoµi
mét l©n cËn 0 nµo ®ã, chÝnh x¸c h¬n:
(iv)
∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c k x k< 0, x ∈ Rn \{0}
§Þnh lÝ díi ®©y cho ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hÖ
(1.3) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn víi sù tån
t¹i hµm Lyapunov.
§Þnh lý 1.1.5.
NÕu hÖ
(1.3)
cã hµm Lyapunov th× æn ®Þnh. H¬n n÷a, nÕu
hµm Lyapunov ®ã chÆt th× hÖ lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu.
Ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm hµm Lyapunov cho hµm hai biÕn víi hÖ ph¬ng
tr×nh vi ph©n sau:
ẋ(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0,
(1.4)
f (t, x) : R+ × Rn → Rn lµ hµm phi tuyÕn cho tríc f (t, 0) = 0
+
víi mäi t ∈ R . Ta lu«n gi¶ thiÕt c¸c ®iÒu kiÖn trªn f(.) sao cho hÖ (1.4) cã
nghiÖm x(t) víi x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0.
§èi víi hÖ phi tuyÕn kh«ng dõng tæng qu¸t (1.4) th× hµm Lyapunov ®îc
®Þnh nghÜa t¬ng tù cho hµm hai biÕn V(t, x). KÝ hiÖu K lµ tËp c¸c hµm liªn
+
+
tôc t¨ng chÆt a(.) : R → R
a(0) = 0.
+
n
+
Hµm V (t, x) : R × R → R gäi lµ hµm Lyapunov nÕu tháa m·n:
trong ®ã
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
i,
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(k x k) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
ii,
Df V (t, x) =
∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
∂t
∂x
Trêng hîp V(t,x) lµ hµm Lyapunov vµ tháa m·n thªm ®iÒu kiÖn:
iii,
∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(k x k) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
iv,
∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(k x k) ∀x ∈ R+ ∀x ∈ Rn \{0}
th× ta gäi lµ hµm Lyapunov chÆt.
§Þnh lý 1.1.6.
NÕu hÖ phi tuyÕn kh«ng dõng
(1.4)
cã hµm Lyapunov th× hÖ
æn ®Þnh. NÕu hµm Lyapunov ®ã lµ chÆt th× hÖ lµ æn ®Þnh tiÖm cËn.
§Þnh lý 1.1.7.
Gi¶ sö tån t¹i hµm
V (t, x) : R+ × Rn → R tháa m·n:
(i)
∃λ1 , λ2 > 0 : λ1 k x(t) k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λ2 k x(t) k2 , ∀(t, x) ∈
R+ × Rn
(ii)
∃α > 0 : V̇ (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) víi mäi
q nghiÖm x(t) cña hÖ(1.1)
th× hÖ
(1.1)
lµ æn ®Þnh mò víi
α, N =
λ2
λ1 . lµ c¸c chØ sè æn ®Þnh
Lyapunov.
1.1.3
Bµi to¸n æn ®Þnh hãa
XÐt hÖ ®iÒu khiÓn m« t¶ bëi hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n
(
ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t0 ,
x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm
(1.5)
u(.) ∈ L2 ([0, t], Rm )∀t ≥ 0 lµ ®iÒu khiÓn chÊp nhËn ®îc
(1.5) gäi lµ æn ®Þnh hãa ®îc nÕu tån t¹i hµm
u(t) = h(x(t)) : R → Rm sao cho víi hµm ®iÒu khiÓn nµy hÖ ph¬ng tr×nh
§Þnh nghÜa 1.1.8.
HÖ
n
vi ph©n
ẋ(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
lµ æn ®Þnh tiÖm cËn.
Hµm
u = h(x) thêng gäi lµ hµm ®iÒu khiÓn ngîc.
Trêng hîp hÖ
(1.5) lµ hÖ tuyÕn tÝnh
ẋ = Ax + Bu
th× hÖ lµ æn ®Þnh hãa ®îc nÕu tån t¹i ma trËn
(1.6)
K
sao cho ma trËn
(A + BK)
lµ æn ®Þnh. Hay hÖ tuyÕn tÝnh
ẋ = Ax + Bu
lµ æn ®Þnh hãa ®îc nÕu tån t¹i ma trËn
K
sao cho hÖ
˙ = (A + BK)
x(t)
lµ æn ®Þnh. Nh vËy, môc ®Ých cña bµi to¸n æn ®Þnh hãa lµ t×m c¸c hµm ®iÒu
khiÓn ngîc
h(.) hoÆc ma trËn K
HÖ ®iÒu khiÓn
n
nÕu tån t¹i hµm g(x) : R →
§Þnh lý 1.1.9.
sao cho hÖ lµ æn ®Þnh theo nghÜa Lyapunov.
(1.5) ®îc gäi lµ æn ®Þnh hãa ®îc d¹ng
Rm sao cho hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n
mò
ẋ(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0
lµ æn ®Þnh mò.
1.2
1.2.1
Bµi to¸n æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa hÖ cã trÔ
Bµi to¸n æn ®Þnh hÖ cã trÔ
(1.1) m« t¶ mèi
x(t) vµ vËn tèc thay
Chóng ta nhËn thÊy r»ng hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng
quan hÖ gi÷a biÕn thêi gian
®æi cña tr¹ng th¸i
t,
tr¹ng th¸i cña hÖ thèng
x(t) t¹i cïng mét thêi ®iÓm t.
Song trªn thùc tÕ, c¸c qu¸ tr×nh x¶y ra trong tù nhiªn thêng cã sù liªn quan
®Õn qu¸ khø, ®Òu Ýt nhiÒu mang tÝnh di truyÒn. V× vËy, khi m« t¶ qu¸ tr×nh
nµy, chóng sÏ ®îc biÓu diÔn b»ng líp c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n cã trÔ.
Gi¶ sö mét hÖ thèng phô thuéc vµo qu¸ khø víi ®é trÔ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(0 ≤ h ≤ +∞),
http://www.lrc-tnu.edu.vn
víi
10
+
n
lµ mét hµm cã trÔ liªn tôc trªn R nhËn gi¸ trÞ trong R , chóng ta x©y
n
dùng hµm xt ∈ C := C([−h; 0], R ) nh sau xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h; 0],
n
trong ®ã kh«ng gian hµm C := C([−h; 0], R ). Nh vËy, xt lµ mét ®o¹n quü
x(t)
®¹o trªn
[t − h; t] cña hµm x(.) víi chuÈn trong C ®îc x¸c ®Þnh bëi
k xt k= Sup k x(t + s) k .
s∈[−h,0]
Khi ®ã, HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n cã trÔ m« t¶ sù phô thuéc cña vËn tèc
thay ®æi t¹i thêi ®iÓm t vµo tr¹ng th¸i cña hÖ thèng trong kho¶ng thêi gian
tríc ®ã
[t − h; t] ®îc cho díi d¹ng
(
ẋ(t) = f (t, xt ), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0]
(1.7)
f : R+ × C → Rn . Ta kÝ hiÖu x(t, φ)lµ nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn
ban ®Çu x(t) = φ(t), ∀t ∈ [−h, 0].T¬ng tù nh c¸c hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n
trong ®ã
thêng chóng ta còng cã c¸c kh¸i niÖm æn ®Þnh, æn ®Þnh tiÖm cËn, æn ®Þnh
mò cho hÖ.
§Þnh lý 1.2.1.
(i)
NÕu hÖ
(1.7) cã hµm Lyapunov V : R+ × C → R sao cho
∃λ1 , λ2 > 0 : λ1 k x(t) k2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 k xt k2 , ∀t ≥ 0
V̇ (t, xt ) ≤ 0, víi mäi nghiÖm x(t) cña hÖ (1.7) th× hÖ (1.7) lµ æn ®Þnh vµ
mäi nghiÖm x(t) lµ bÞ chÆn, tøc lµ
(ii)
∃N > 0 :k x(t, φ) k≤ N k φ k, ∀t ≥ 0.
NÕu ®iÒu kiÖn ii, ®îc thay b»ng ®iÒu kiÖn
(iii)
V̇ (t, xt ) < 0 th× hÖ (1.7) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn
NÕu ®iÒu kiÖn ii, ®îc thay b»ng ®iÒu kiÖn
∃λ3 > 0 : V̇ (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt )víi mäi nghiÖm x(t)qcña hÖ (1.7) th×
λ2
hÖ (1.7) lµ æn ®Þnh mò vµ c¸c chØ sè æn ®Þnh mò lµ λ3 vµ
λ1
(iv)
1.2.2
Bµi to¸n æn ®Þnh hãa hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ®iÒu khiÓn cã
trÔ
XÐt hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ®iÒu khiÓn cã trÔ
(
ẋ(t) = f (t, xt , u(t)), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0], h > 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(1.8)
http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
x(t) ∈ Rn lµ vÐc t¬ tr¹ng th¸i u(t) ∈ Rm lµ vÐc t¬ ®iÒu khiÓn, xt ∈ C ,
f : R ×C×Rm → Rn lµ hµm vÐc t¬ cho tríc tháa m·n f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0
m
vµ hµm u(.) ∈ L2 ([0; t], R ), ∀t ≥ 0.
trong ®ã
+
§Þnh nghÜa 1.2.2.
hµm
n
g:R →R
m
HÖ ®iÒu khiÓn
(1.7)
®îc gäi lµ æn ®Þnh hãa, nÕu tån t¹i
sao cho hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ®ãng
(
ẋ(t) = f (t, xt , g(x(t))), t ≥ 0,
(1.9)
x(t0 ) = φ(t), t0 ∈ [−h; 0],
lµ æn ®Þnh tiÖm cËn.
§Þnh nghÜa 1.2.3.
α > 0. HÖ ®iÒu khiÓn (1.7) ®îc gäi lµ α
g : Rn → Rm sao cho hÖ (1.10) lµ α-æn ®Þnh
Cho sè
®Þnh hãa nÕu tån t¹i hµm
(
ẋ(t) = f (t, xt , g(x(t))), t ≥ 0,
x(t0 ) = φ(t), t ∈ [−h; 0],
1.3
- æn
(1.10)
Bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u
B©y giê ta cã thÓ m« t¶ bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u nh sau. XÐt hÖ ®iÒu khiÓn
ẋ(t) = f (t, x(t), u(t), t ∈ [t0 , t1 ] = I
x(t0 ) = x0 , x(t) ∈ Rn ,
u(t) = Ω ⊆ Rm
u(.) ∈ L2 ([t0 , t1 ], Ω) lµ ®iÒu khiÓn chÊp nhËn ®îc.
f (t, x, u) : I × Rn × Rm → Rn lµ hµm m« t¶ qu¸ tr×nh chuyÓn
(1.11)
trong ®ã
®éng cña
tr¹ng th¸i. Cho phiÕm hµm môc tiªu
Z
J(u) =
trong ®ã
f 0 (t, x, u) dt
(1.12)
I
m
f 0 (t, x, u) : I × Rn × R → R
lµ hµm cho tríc. Bµi to¸n tèi u
∗
Ω
®Æt ra lµ t×m ®iÒu khiÓn chÊp nhËn ®îc u (t) ∈ U1 sao cho cïng víi quü
∗
®¹o t¬ng øng x (t) cña hÖ (1.11) hµm môc tiªu (1.12) sÏ ®¹t cùc tiÓu t¹i
∗
®iÒu khiÓn u (t) ®ã, tøc lµ
J (u∗ ) =
Z
min
f 0 (t, x, u) dt,.
u(.)∈L2 ([t0 ,t1 ],Ω)
I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
∗
§iÒu khiÓn u (t) t×m ®îc sÏ ®îc gäi lµ ®iÒu khiÓn tèi u cho bµi to¸n tèi
∗
∗
u, cÆp (u (t), x (t)) gäi lµ qu¸ tr×nh tèi u cña hÖ (1.11) (1.12) .
Ngêi ta ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u c¨n cø theo cÊu tróc cña
hµm môc tiªu. NÕu hµm môc tiªu cã d¹ng
(1.12)
th× ta cã bµi to¸n tèi u
Lagrange.
NÕu
J(u) cã d¹ng
J(u) = g(t1 , x(t1 )),
trong ®ã
t1
(1.13)
lµ thêi ®iÓm cuèi cè ®Þnh tríc cña hÖ, th× ta cã bµi to¸n ®iÒu
khiÓn tèi u Meyer. Cßn nÕu hµm môc tiªu cho bëi
Z
J(u) =
f 0 (t, x, u)dt + g(t1 , x(t1 )),
I
tøc lµ, kÕt hîp gi÷a
(1.12) vµ (1.13) th× ta cã bµi to¸n tèi u Bolza.
Môc ®Ých chÝnh cña c¸c nghiªn cøu trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi u lµ:
- T×m c¸c ®iÒu kiÖn cÇn hoÆc ®ñ ®Ó mét ®iÒu khiÓn chÊp nhËn ®îc lµ
tèi u.
- Nghiªn cøu c¸c bµi to¸n tån t¹i ®iÒu khiÓn tèi u.
- X©y dùng vµ thiÕt kÕ thuËt to¸n t×m c¸c ®iÒu khiÓn tèi u
- ¦ng dông c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u vµo c¸c bµi
to¸n trong kü thuËt, kinh tÕ.
1.3.1
Mét sè bµi to¸n tèi u ®Æc biÖt
Dùa trªn nguyªn lÝ cùc ®¹i cho bµi to¸n tèi u tæng qu¸t, ngêi ta ®· gi¶i
®îc nhiÒu bµi to¸n tèi u cô thÓ, ®Æc biÖt ®èi víi c¸c hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn
tÝnh. MÆc dï viÖc t×m c¸c ®iÒu khiÓn tèi u cho c¸c hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh
trong nhiÒu trêng hîp vÉn ®ßi hái nhiÒu kÜ thuËt phøc t¹p, xong ®èi víi mét
sè bµi to¸n tèi u tuyÕn tÝnh ®Æc thï th× ta cã thÓ gi¶i vµ t×m ®iÒu kiÖn tèi u
gi¸n tiÕp tõ nguyªn lÝ cùc ®¹i Pontriagin díi c¸c c«ng thøc tÝnh to¸n cô thÓ
vµ ®¬n gi¶n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
1.3.2
Bµi to¸n tèi u toµn ph¬ng tuyÕn tÝnh
Bµi to¸n tèi u toµn ph¬ng tuyÕn tÝnh lµ bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ
tuyÕn tÝnh.
(
ẋ = Ax + Bu(t), t ∈ [0; T ]
x(0) = x0 ∈ Rn , u ∈ Rm ,
(1.14)
víi hµm môc tiªu d¹ng toµn ph¬ng
Z
T
(hQx, xi + hRu, ui)dt + hP0 x(T ), x(T )i → min,
J(u) =
(1.15)
0
trong ®ã
P0 , Q, R
lµ nh÷ng ma trËn ®èi xøng, kh«ng ©m vµ
m
d¬ng. XÐt líp hµm ®iÒu khiÓn u(t) ∈ L2 ([t0 , t1 ], R ).
Tõ nguyªn lÝ cùc ®¹i, ®èi víi bµi to¸n tèi u
R
lµ x¸c ®Þnh
(1.14) vµ (1.15) ta cã:
f 0 (x, u) = hQx, xi + hRu, ui
f (x, u) = Ax + Bu
h(x(T )) = hP0 x(T ), x(T )i
H(p, x, u) = hp, Ax + Bui + hQx, xi + hRu, ui.
HÖ liªn hîp lµ:
V×
u∗ ∈ Rm
(
0
ṗ(t) = −A p(t) + 2Qx,
p(T ) = 2p0 x(T ).
lµ ®iÒu khiÓn tèi u nªn sÏ x¸c ®Þnh ®îc tõ biÓu thøc
cho ta
Thay ®iÒu khiÓn
1
0
u∗ (t) = − R−1 B p∗ (t).
2
∗
u (t) vµo ph¬ng tr×nh (1.14) ta cã
∂H
∂u
= 0,
(1.16)
1
d ∗
0
(x (t)) = Ax∗ (t) − BR−1 B p∗ (t).
dt
2
KÕt hîp víi
(1.16)
qu¸ tr×nh tèi u
u∗ (t), x∗ (t)
®îc t×m tõ nghiÖm cña hÖ
ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh
(
0
x˙∗ = Ax∗ − 12 BR−1 B p∗ , x(0) = x0
0
ṗ∗ = 2Qx∗ − A p∗ , p∗ (T ) = 2P0 x(T ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(1.17)
http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
1.4
Mét sè bæ ®Ò bæ trî
Bæ ®Ò 1.4.1.
Gi¶ sö
δ>0
Khi ®ã víi
Z
M ∈ Rn×n
lµ mét ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng.
n
vµ víi mäi hµm kh¶ tÝch ω : [0; δ] → R ta cã
!T
δ
ω(s)ds
0
Bæ ®Ò 1.4.2.
Z
!
δ
M
ω(s)ds
Z
≤δ
0
Gi¶ sö
M ∈ Rn×n
δ
ω T (s)M ω(s)ds.
0
lµ mét ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng.
n
x, y ∈ R . Khi ®ã ta cã
±2xT y ≤ xT M x + y T M −1 y
Bæ ®Ò 1.4.3.
T
X ,Y = Y
T
(Bæ ®Ò Schur) Cho c¸c ma trËn h»ng sè ®èi xøng X, Y, Z
≥ 0. Khi ®ã R > 0, X + Z T Y −1 Z < 0 khi vµ chØ khi
X=
X ZT
< 0.
Z −Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Ch¬ng 2
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi
u
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ c¬ së gi¶i bµi to¸n
®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u.
2.1
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn
tÝnh
XÐt hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh
(
ẋ = Ax + Bu;
x(0) = x0 , x ∈ Rn , u ∈ Rm ,
(2.1)
trong ®ã
A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m (n ≥ m)
vµ hµm môc tiªu
Z∞
J(u) = [hQx, xi + hRu, ui]dt, Q > 0, R > 0.
(2.2)
0
XÐt bµi to¸n ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh gi¸ trÞ tèi u (2.1) víi
∗
hµm môc tiªu (2.2). Gi¶ sö tån t¹i ®iÒu khiÓn ngîc u (t) = Kx(t) vµ mét
∗
sè d¬ng J > 0 sao cho hÖ ®ãng ẋ = [A + BK]x lµ æn ®Þnh hãa ®îc vµ
∗
∗
∗
hµm môc tiªu (2.2) tháa m·n J(u ) ≤ J khi ®ã u gäi lµ ®iÒu khiÓn ngîc
∗
®¶m b¶o gi¸ trÞ tèi u, vµ J gäi lµ gi¸ trÞ môc tiªu tèi u cña hÖ.
§Þnh nghÜa 2.1.1.
(2.1) víi hµm môc tiªu (2.2). Gi¶ sö tån t¹i ma trËn
®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng P sao cho bÊt ®¼ng thøc ma trËn tuyÕn tÝnh (LMI)
§Þnh lý 2.1.2.
XÐt hÖ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
sau tháa m·n
0
0
0
P A + AP − BB + 14 BRB P Q
QP
−Q
0
u(t) = − 21 B P −1 x(t) lµ ®iÒu khiÓn ngîc ®¶m
J = λmax (P −1 ) k x0 k2 lµ gi¸ trÞ môc tiªu tèi u.
khi ®ã
∗
<0
(2.3)
b¶o gi¸ trÞ tèi u vµ
Chøng minh. XÐt hµm Lyapunov - Krasovskii sau
V (x) = hP −1 x, xi.
§Æt
y = P −1 x, dÔ dµng kiÓm tra ®îc:
λmin (P −1 ) k x k2 ≤ V (.) ≤ λmax (P −1 ) k x k2 .
LÊy ®¹o hµm cña
V (x), ta cã:
V̇ (x(t)) = 2hP −1 ẋ(t), x(t)i = 2hP −1 (Ax + Bu), xi
0
= 2hP −1 Ax, xi + 2hP −1 Bu, xi = 2hAP y, yi − hBB y, yi
0
0
= h(P A + AP )y, yi − hBB y, yi < −hSy, yi.
Tõ bÊt ®¼ng thøc ma trËn tuyÕn tÝnh LMI
(2.3) ta cã:
1
0
0
0
P A + AP − BB < − BRB − P QP = −S,
4
trong ®ã
0
S = 14 BRB + P QP > 0. do ®ã:
V̇ (x(t)) ≤ −λmin (S) k y k2 ≤ −λmin (S)λmin (P −2 ) k x k2 .
0
(2.1) lµ æn ®Þnh hãa ®îc vµ u∗ = − 12 B P −1 x(t)
lµ ®iÒu khiÓn ngîc lµm æn ®Þnh hãa hÖ (2.1)
Theo ®Þnh lÝ Lyapunov, hÖ
§Ó t×m
J ∗ , ta cã:
0
0
V̇ (x(t)) = h(P A + AP − BB )y, yi + hQx, xi + hRu, ui
− hQx, xi − hRu, ui.
MÆt kh¸c ta l¹i cã:
1
hQx, xi = hP QP y, yi, hRu, ui = hBRB T y, yi.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Do ®ã:
1
0
V̇ (x) =
P A + AP − BB + BRB + P QP
4
− [hQx, xi + hRu, ui].
0
0
y, y
Ap dông bæ ®Ò Schur, bÊt ®¼ng thøc ma trËn tuyÕn tÝnh (LMI) t¬ng ®¬ng
víi ®iÒu kiÖn:
1
0
0
0
P A + AP − BB + BRB + P QP < 0.
4
Do ®ã:
V̇ (x) < −[hQx, xi + hRu, ui].
Suy ra
[hQx, xi + hRu, ui] < −V̇ (x).
0 tíi t, ta cã
Z t
Z t
V̇ (x(s))ds = V (x(0)) − V (x(t))
[hQx, xi + hRu, ui]ds < −
LÊy tÝch ph©n hai vÕ tõ
0
0
< V (x(0)) = hP −1 x0 , x0 i.
Cho
t → +∞ ta cã:
J(u) ≤ J ∗ = hP −1 x0 , x0 i ≤ (λmax (P −1 )) k x0 k2 .
VÝ dô 2.1.3.
XÐt hÖ
(2.1) víi hµm môc tiªu (2.2), trong ®ã:
−3 0.2
1
A=
; B=
1 −1
0
1 0
; R= 2
Q=
0 2
B»ng c¸ch sö dông hép c«ng cô Matlab, chóng ta cã thÓ thÊy r»ng bÊt ®¼ng
thøc ma trËn
(2.3) tháa m·n víi:
0.2009 0.0100
P =
0.0100 0.3678
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
tõ ®ã ®iÒu khiÓn ngîc gi¸ trÞ tèi u lµ:
u(t) = −2.4918 0.0677 x(t),
vµ gi¸ trÞ môc tiªu tèi u lµ:
J ∗ = 4, 9916.
2.2
Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u hÖ tuyÕn tÝnh
cã trÔ
XÐt hÖ tuyÕn tÝnh cã trÔ h»ng
(
ẋ(t) = Ax(t) + Dx(t − h) + Bu, t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0], u ∈ L2 (Rv )
(2.4)
vµ hµm môc tiªu:
Z
∞
[hQ1 x, xi + hQ2 x(t − h), x(t − h)i + hRu(t), u(t)i]dt
J(u) =
(2.5)
0
trong ®ã:
Q1 , Q2 , R > 0 lµ c¸c ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng.
(2.4), víi hµm môc tiªu (2.5). Gi¶ sö tån t¹i ma trËn
®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng P sao cho bÊt ®¼ng thøc ma trËn tuyÕn tÝnh (LMI)
§Þnh lý 2.2.1.
XÐt hÖ
sau tháa m·n
0
0
0
0
P A + AP − BB + 41 BRB + DP D + P P Q1 P Q2
Q1 P
−Q1 0 < 0,
Q2 P
0 −Q2
khi ®ã
(2.6)
0
u(t) = − 21 B P −1 x(t) lµ ®iÒu khiÓn ngîc ®¶m b¶o gi¸ trÞ tèi u vµ
J ∗ = [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )] k ϕ k2
lµ gi¸ trÞ môc tiªu tèi u.
Chøng minh. XÐt hµm Lyapunov
V (xt ) = hP
−1
Z
t
Z
t
hQ2 x, xids +
x, xi +
t−h
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
hP −1 x, xids.
t−h
http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
DÔ dµng kiÓm tra ®îc:
λmin (P −1 ) k x k2 ≤ V (xt ) ≤ [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )] k xt k2
(k ϕ k= max ϕ(t)).
t∈[−h,0]
LÊy ®¹o hµm cña
V (xt ), ta cã:
V̇ (xt ) = 2hP −1 ẋ, xi + hQ2 x(t), x(t)i − hQ2 x(t − h), x(t − h)i
+ hP −1 x(t), x(t)i − hP −1 x(t − h), x(t − h)i.
§Æt
y = P −1 x, ta cã:
0
0
V̇ (xt ) = h(P A + AP )y, yi − hBB y, yi + 2hDPy (t − h), yi
+ hP Q2 P y, yi − hP Q2 P y(t − h), y(t − h)i
+ hP y(t), y(t)i − hP y(t − h), y(t − h)i].
Ap dông bæ ®Ò
1.4.2 ta cã:
0
0
2hDP yh , yi = 2hyh , P D yi ≤ hDP D y, yi + hP yh , yh i.
Do ®ã:
0
0
0
V̇ (xt ) = h(P A + AP − BB + P Q2 P + DP D + P )y, yi
− hP Q2 P y(t − h), y(t − h)i.
Thªm vµ bít ®¹i lîng
[hQ1 x, xi + hQ2 x(t − h), x(t − h)i + hRu, ui],
ta cã:
0
0
0
0
0
0
V̇ (xt ) = h(P A + AP − BB + P Q2 P + DP D + P )y, yi
− hP Q2 P y(t − h), y(t − h)i
+ [hQ1 x, xi + hQ2 x(t − h), x(t − h)i + hRu, ui]
− [hQ1 x, xi + hQ2 x(t − h), x(t − h)i + hRu, ui]
= h(P A + AP − BB + P Q2 P + DP D + P
1
0
+ P Q1 P + BRB )y, yi
4
− [hQ1 x, xi + hQ2 x(t − h), x(t − h)i + hRu(t), u(t)i].
V× bÊt ®¼ng thøc:
1
0
0
0
0
P A + AP − BB + BRB + P + P Q2 P + P Q1 P + DP D < 0
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
41 
30 
107 
